函数的基本性质：函数奇偶性与单调性的应用、函数奇偶性与对称性的应用、函数奇偶性与周期性的应用 专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习专项训练 函数奇偶性与单调性的应用、函数奇偶性与对称性的应用、函数奇偶性与周期性的应用专项训练 考点目录 函数奇偶性与单调性的应用 函数奇偶性与对称性的应用 函数奇偶性与周期性的应用 考点一 函数奇偶性与单调性的应用 例1．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知是上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（） A． B． C． D． 例2．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，图象连续不间断，其导函数为，当时，，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 例3．（26-27高三上·江西·阶段检测）已知定义在上的可导函数满足，且当时，，则不等式的解集为________． 例4．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）函数，则不等式的解集为______. 变式1．（26-27高三上·天津河西·开学考试）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知是定义域为的奇函数，且单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 变式3．（26-27高三上·天津河东·阶段检测）函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，满足不等式的的取值范围是__________． 变式4．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为__________． 考点二 函数奇偶性与对称性的应用 例1．（26-27高三上·江西宜春·阶段检测）已知函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·福建漳州·模拟预测）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·辽宁锦州·模拟预测）若方程有唯一解，则_________． 例4．（25-26高三上·湖南株洲·阶段检测）设函数的最大值为M，最小值为m，则__________． 变式1．（26-27高三上·河南新乡·阶段检测）已知函数，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 变式2．（25-26高三下·云南曲靖·阶段检测）若函数有奇数个零点，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．16 D．18 变式3．（2026·湖南怀化·二模）已知函数有且仅有1个零点，则＝________． 变式4．（25-26高三上·新疆喀什·阶段检测）设为奇函数，若在区间的最大值为3，则在区间的最小值为___________. 考点三 函数奇偶性与周期性的应用 例1．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，，当时，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 例2．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）定义在上的奇函数满足且，在区间上，则不等式在上的解集为（   ） A． B． C． D． 例3．（26-27高三上·江苏徐州·开学考试）设､都是定义在上的奇函数，且为单调函数，．若对任意有（为常数），，则______． 例4．（2026·安徽安庆·模拟预测）设是周期为4的奇函数，当时，，则______． 变式1．（2026·湖北武汉·三模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（    ） A．71 B．-71 C． D． 变式2．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知是定义在上且周期为2的奇函数，则（   ） A．12 B．-12 C．0 D．-3 变式3．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）设是定义在上的奇函数，且，当时，，则＝__________． 变式4．（2026·安徽芜湖·二模）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，则__________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 函数奇偶性与单调性的应用、函数奇偶性与对称性的应用、函数奇偶性与周期性的应用专项训练 考点目录 函数奇偶性与单调性的应用 函数奇偶性与对称性的应用 函数奇偶性与周期性的应用 考点一 函数奇偶性与单调性的应用 例1．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知是上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的性质，分区间讨论求解不等式即可. 【详解】当时：此时，已知， 原不等式化为：， 整理得：，即，结合，解得； 当时：因为是上的偶函数，故； 又，代入已知解析式得， 此时，原不等式化为：， 整理得：，即，结合，解得， 综上，不等式的解集为. 例2．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，图象连续不间断，其导函数为，当时，，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，利用导数的运算法则及导数研究单调性，结合奇偶性解不等式，即可得. 【详解】令，则，结合题设， 当时，，即在上单调递减， 因为为定义在上的奇函数， 则， 所以在上为偶函数，且，则在上单调递增， 由，即，即， 故， 综上，不等式的解集为. 例3．（26-27高三上·江西·阶段检测）已知定义在上的可导函数满足，且当时，，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】先构造函数令，由题意判断出的奇偶性和单调性，将不等式转化成，由函数单调性及奇偶性可得到，进而求解即可． 【详解】 由于，则， 令，则， 又的定义域为，关于原点对称，所以为偶函数， 当时，，则，则在上单调递减， 又，则， 则， 又，即，即， 又为偶函数，则，即，解得， 所以不等式的解集为． 例4．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】先判断出函数是R上的奇函数，再利用基本函数的单调性及单调性法则判断出函数在R上单调递增，由此将所求不等式转化为，然后利用正弦函数性质求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以函数是R上的奇函数， 又因为在R上单调递增，在R上单调递增， 所以函数在R上单调递增， 所以不等式，即为， 即，所以，所以， 可得，解得， 故不等式的解集为. 变式1．（26-27高三上·天津河西·开学考试）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用奇偶性把不等式化为，再由单调性脱去函数符号转化为二次不等式，最后与定义域限定的区间取交集. 【详解】由为奇函数且在上单调递减知在上单调递减， 则化为， 由单调性得，即，解得或； 由定义域得且， 即且，故； 两式取交集得或. 变式2．（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知是定义域为的奇函数，且单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数性质转化不等式，结合函数单调性去掉函数符号，求解一元一次不等式得到解集. 【详解】是定义域为的奇函数，，且由题可知在上单调递减， 对原不等式变形：等价于， 根据奇函数性质可得，因此不等式化为， 在上单调递减， ，移项解得，即不等式解集为 变式3．（26-27高三上·天津河东·阶段检测）函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，满足不等式的的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由函数的奇偶性将不等式化为，再利用单调性即可求解． 【详解】由函数是定义在上的奇函数， 又在上单调递增， 由，得， 得， 得，解得， 故的取值范围是． 变式4．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】先构造，证明其为奇函数且单调递增，再将原不等式转化为，利用单调性去掉函数符号，解一次不等式即可得到解集． 【详解】令， 因为 ，所以为奇函数， 设，令，其中， 任取、，且， 则 ， 因为，则，，故，同理可得， 又因为，所以， 即，所以内层函数在上单调递增， 又因为外层函数在上为增函数， 根据复合函数单调性可判断在上单调递增， 设，因为单调递增，所以在上单调递减， 从而在上单调递增， 因为是两个单调递增函数之和，所以在上单调递增， 所以原不等式即为， 等价于，即 由在上单调递增，得，解得， 故原不等式的解集为. 考点二 函数奇偶性与对称性的应用 例1．（26-27高三上·江西宜春·阶段检测）已知函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得函数为上的偶函数，再由，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，且， 所以函数为上的偶函数，可得的图象关于轴对称，可排除A，B项； 又因为，可排除选项C， 所以函数的部分图象可能是选项D. 例2．（2026·福建漳州·模拟预测）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用可得函数关于点中心对称，从而可求解. 【详解】因为， ， 所以函数关于点中心对称， 则在区间上的最大值为，最小值为，可得. 例3．（2026·辽宁锦州·模拟预测）若方程有唯一解，则_________． 【答案】 【分析】令，转化为有唯一的解，设，求得是偶函数，结合偶函数的性质，得到唯一的解只能是，进而求得的值. 【详解】令，原方程即为， 则原方程有唯一的解，即方程有唯一的解， 设， 可得， 函数是偶函数，其图像关于轴对称， 所以方程有唯一的解，这个唯一的解只能是， 当时，可得，解得， 经验证：当时，方程，即为， 当时，，，等式成立； 当时，方程即为， 根据指数函数的增长速度远快于函数，即， 所以在上，方程没有实数根， 又因为为偶函数，所以在上，方程没有实数根， 综上可得，实数的值为. 例4．（25-26高三上·湖南株洲·阶段检测）设函数的最大值为M，最小值为m，则__________． 【答案】2 【分析】构造函数，可证为奇函数，且的最大值为，最小值为，结合奇函数的性质，可求得. 【详解】，设，所以的最大值为，最小值为，又，所以为奇函数，所以，即. 故答案为：2. 变式1．（26-27高三上·河南新乡·阶段检测）已知函数，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再逐一判断各选项的函数是否满足定义域关于原点对称，且即可得到答案． 【详解】依题意得函数的定义域需满足，解得，或， 对于A，令，其定义域满足，或，即，不关于原点对称， 所以不是奇函数，故A错误； 对于B，令，其定义域满足，或，即，关于原点对称， 又， 则， 则， 所以不是奇函数，故B错误； 对于C，令，其定义域满足，或，即，关于原点对称， 又， 则， 则， 所以是奇函数，故C正确； 对于D，令，其定义域满足或，即，不关于原点对称， 所以不是奇函数，故D错误． 变式2．（25-26高三下·云南曲靖·阶段检测）若函数有奇数个零点，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．16 D．18 【答案】B 【分析】借助偶函数定义可得为偶函数，则由函数有奇数个零点可得，代入计算可得，再借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 又定义域为，则函数为偶函数， 由函数有奇数个零点，则，即， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 即的最小值是. 变式3．（2026·湖南怀化·二模）已知函数有且仅有1个零点，则＝________． 【答案】1 【详解】为偶函数，要使得有且仅有1个零点，则，解得． 经验证，当时，在上单调递减，在上单调递增，且，符合题意． 变式4．（25-26高三上·新疆喀什·阶段检测）设为奇函数，若在区间的最大值为3，则在区间的最小值为___________. 【答案】 【分析】先利用为奇函数求出，根据条件构造函数，利用奇偶性定义判断其为奇函数，结合题意求出在区间的最大值，利用奇函数的对称性求出在区间的最小值，即得答案. 【详解】因为奇函数，则 ，解得， 即，则， 设，因，则是奇函数， 因在区间的最大值为3，则在区间的最大值为， 故在区间的最小值为，从而在区间的最小值为. 故答案为：. 考点三 函数奇偶性与周期性的应用 例1．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，，当时，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以，且，因为，所以①， 为偶函数，所以②， 当时，，由①②得，， 解得，. 例2．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）定义在上的奇函数满足且，在区间上，则不等式在上的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】奇函数得，又， 所以，即函数关于点对称． 在区间上， 则在上单调递增，且，， 由题意可得示意图，则在上的解集为． 例3．（26-27高三上·江苏徐州·开学考试）设､都是定义在上的奇函数，且为单调函数，．若对任意有（为常数），，则______． 【答案】 【分析】先利用奇函数的性质与的单调性求出，代入条件得到的递推式；构造辅助函数推出 ，判定为等差数列，最后用等差数列求和公式算出结果. 【详解】都是上奇函数，故， 因为，令，得， 所以， 因为 为单调函数，因此得， 因为，所以， 构造，则，得， 所以，得，则， 故是周期为的函数，即，得， 因为，令，得，得， 令，得，得， 由，取，得， 数列是首项，公差的等差数列， 所以， 所以. 例4．（2026·安徽安庆·模拟预测）设是周期为4的奇函数，当时，，则______． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性及周期性求解即可. 【详解】因为是周期为4的奇函数，所以， 又当时，，所以. 所以. 变式1．（2026·湖北武汉·三模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（    ） A．71 B．-71 C． D． 【答案】C 【详解】因为为偶函数，所以， 所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，所以， 所以是以为周期的函数， . 变式2．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知是定义在上且周期为2的奇函数，则（   ） A．12 B．-12 C．0 D．-3 【答案】C 【分析】结合奇函数性质和周期性求解即可. 【详解】由周期为2，可得；是上的奇函数，故. 所以，； 所以. 变式3．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）设是定义在上的奇函数，且，当时，，则＝__________． 【答案】 【分析】先根据可得函数的对称轴为直线，再根据函数为奇函数，可推出函数是周期为的周期函数，最后将转化为求即可解决问题. 【详解】解：由可得，则关于直线对称， 又是定义在上的奇函数，则，所以， 因此，用替换得， 再用替换得，所以， 根据周期函数定义可知是周期为的周期函数，所以， 又因为当时，，所以. 变式4．（2026·安徽芜湖·二模）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，则__________. 【答案】0 【分析】由题设可得，，，进而得到，进而代值求解即可. 【详解】由是定义在上的奇函数，得， 由为偶函数，得， 则，即， 则， 由，可得，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $