第01讲 函数的概念及其表示 专项训练（5大题型32题）-2027届高三数学一轮复习

高中数学·题型专项训练系列 第01讲 函数的概念及其表示 专项训练（5大题型32题） （解析版） 2026-2027学年高三一轮复习 数学 题型归纳 · 内容导航 题型 定位 题号 题数 题型一　函数的概念与解析式 重点 第1—10题 10 题型二　函数的定义域 常考 第11—16题 6 题型三　分段函数 重点 第17—22题 6 题型四　函数值与抽象函数赋值 难点 第23—27题 5 题型五　函数的值域 重点 第28—32题 5 题型通关 · 靶向提分 题型一　函数的概念与解析式（共10小题） 【知识积累】 函数的概念：设 是非空数集，若对 中任意一个数 ，按照某种确定的对应关系 ，在 中都有唯一确定的数 与之对应，则称 为从 到 的函数，记作 。定义域、对应关系、值域称为函数的三要素。 函数相等：定义域相同，且对应关系完全一致，两个函数才相同。化简后解析式相同但定义域不同的，不是同一函数。 求解析式的常用方法：已知函数类型用待定系数法；已知 用换元法或配凑法，令 后要写出 的取值范围；形如 或 用方程组法，替换后联立消元。 易错：换元后漏写新元范围；方程组法只写一个方程未联立；求出解析式后未回代检验。 【典例】 1．（多选题） （26-27高三·全国·一轮复习） 下列说法中正确的是（　　） A．式子可表示自变量为x，因变量为y的函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．若，则 D．与是同一个函数 【答案】BCD 【分析】对于A，通过求函数的自变量范围即可判断；对于B，根据函数的定义及图象特征判断；对于C，从内到外依次计算即得；对于D，分别比较两函数的定义域和对应法则即可判断. 【详解】对于A，由有意义，可得，解得， 故该式不能表示自变量为x，因变量为y的函数，故A错误； 对于B，当函数在处无定义时，函数的图象与直线无交点； 当函数在处有定义时，函数的图象与直线只有1个交点， 所以函数的图象与直线的交点最多有1个，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为与的定义域都为， 且，所以两函数是同一个函数，故D正确． 【变式训练】 2．（多选题） （25-26高三·全国·一轮复习） 下列命题中正确的有（   ） A．若一次函数满足，则函数的解析式为 B．若，则函数的定义域为 C．若，则函数的解析式为 D．若函数满足关系式，则 【答案】BCD 【分析】设一次函数比对系数判定 A 错误，换元确定对数型函数定义域知 B 正确，配方变形推出对应函数解析式证 C 正确，联立倒数替换所得方程组解出函数式得 D 正确，最终 BCD 正确 A 错误. 【详解】对于A，设，则， 因为，所以，解得或， 故函数的解析式为或，A错误； 对于B，令，则，则，，故函数的定义域为，B正确； 对于C，， 且的取值范围是R，所以，C正确； 对于D，由，得，联立解得，D正确． 3．（多选题） （25-26高三·全国·一轮复习） 下列说法中正确的有（    ） A．与表示同一个函数 B．函数的定义域是 C．与是同一个函数 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据定义域和对应关系即可判断AC，由解出即可判断B，根据解析式先计算，再计算即可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为R， 两函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故A错误； 对于B，由题意，在中，解得且，故B正确； 对于C，函数与的定义域与对应关系都相同， 所以两函数是同一个函数，故C正确； 对于D，由，可得，所以，故D错误． 故选：BC. 4．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知二次函数满足且，求的解析式． 【答案】． 【详解】设， 由得，，故， 因为， 所以， 即，所以，∴， 所以． 5．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 若一次函数满足，求的函数解析式. 【答案】或 【分析】利用待定系数法求函数解析式即可得到答案. 【详解】由题意设， 则， 所以， 解得或， 所以的函数解析式为或. 6．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数满足，求的解析式. 【答案】 【分析】将已知式子中的换成，利用方程组法即可求得答案. 【详解】将已知式子中的换成得， 所以，消去得， 所以的解析式为. 7．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 若函数满足，求函数的解析式. 【答案】 【分析】利用换元法求函数的解析式即可. 【详解】由题意，令，则，得，故. 8．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知一次函数满足． (1)求的解析式； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法列出方程组即可求得解析式； （2）所求式子为对称结构，通过验证发现，再通过分组求和即可求解. 【详解】（1）设， 则， 故有，解得， 故. （2）由（1）知，则， 则， 故， 且当时，可得，解得， 因此. 9．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） （1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 【答案】（1），；（2）或；（3），. 【分析】（1）利用换元法求函数的解析式； （2）利用待定系数法求函数的解析式； （3）用代替，构造函数方程，求函数的解析式. 【详解】（1）设，则，，且， 所以 ，. 用代替，得：，. （2）因为为一次函数，可设，. 所以 ， 又， 所以 或. 所以或. （3）因为① 用代替，得② ①②得： ，. 10．（解答题） （25-26高三上·甘肃甘南·阶段检测） 分别求满足下列条件的函数的解析式： (1)已知是二次函数，且； (2)函数满足． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，代入已知条件列出方程组，解方程组得出，得出方程为，代入验证成立. （2）根据得出，联立消去得出. 【详解】（1）设， 根据题意得 解得 则. 验证：，成立； ，成立； ，成立. 所以. （2）因为①， 所以②， ②①得，， 所以． 题型二　函数的定义域（共6小题） 【知识积累】 具体函数：分式的分母不为 ；偶次根式的被开方数不小于 ；零次幂与负指数幂的底数不为 。多个限制同时存在时取交集。 抽象函数：若 的定义域为 ，则 的定义域由 解出；若 的定义域为 ，则 的定义域是 在 上的值域。 含参定义域：定义域为 可转化为不等式恒成立。二次型先讨论二次项系数是否为 ，再结合判别式。 易错：定义域是自变量 的集合，不是 的集合；多个限制要取交集；端点开闭由原限制决定。 【典例】 11．（单选题） （2026·广东梅州·模拟预测） 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质列出不等式求解即可. 【详解】由题意得：，解得， 所以函数的定义域为. 【变式训练】 12．（单选题） （2026·广东清远·二模） 设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，所以 13．（单选题） （2026·甘肃·一模） 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要使函数有意义，需使，解得或， 即函数的定义域为. 14．（单选题） （2026·山东·一模） 函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据具体函数的定义域的求解方法直接求解即可. 【详解】要使函数有意义，只需满足，解得且， 所以函数的定义域是 故选：A 15．（填空题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数，则其定义域为________(用区间表示)，________． 【答案】 / 【分析】根据函数有意义列式计算函数定义域，根据解析式直接代值计算. 【详解】由，解得且， 则函数的定义域为， 而. 故答案为：；. 16．（填空题） （25-26高三上·甘肃·阶段检测） 若函数的定义域为，则函数的定义域为______． 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域和分母不为0得到不等式组，解出即可. 【详解】由，解得，故的定义域为． 故答案为：. 题型三　分段函数（共6小题） 【知识积累】 分段函数是一个函数：各段定义域互不相交，并集为整个定义域；解析式分段写，不能把各段强行合并。 求值：先判断自变量落在哪一段，再代入该段解析式；遇到 由内向外逐层计算。 已知函数值求自变量：分段讨论，解出的值必须落在该段区间内，否则舍去。 解不等式：分段讨论或借助图象，注意端点归属；含绝对值或取大、取小的，先化为分段函数。 【典例】 17．（单选题） （2026·陕西榆林·模拟预测） 已知函数满足：当时，；当时，；且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义域，逐步将自变量转化到已知解析式的区间上，再代入相应的解析式进行计算. 【详解】当时，， 则 当时，，则 当时，，所以，即 【变式训练】 18．（单选题） （2026·浙江·二模） 已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即，， 方程无实数解，综上. 19．（单选题） （2026·江西·模拟预测） 已知函数若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象结合列式解方程，数形结合得出范围. 【详解】作出的图象. 当，解得， 当，解得， 由结合函数图象，可得或. 当，解得，当，解得，由，可得； 当，解得，当，解得， 当，解得，当，解得， 由，可得或或. 综上，的取值范围为. 20．（单选题） （2026·广东茂名·一模） 已知函数，若，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】利用分段函数求值的方法进行求解. 【详解】因为， 所以，解得． 故选：A． 21．（填空题） （2026·河北唐山·一模） 已知，若，则______. 【答案】3 【分析】由题意可得：，分和两种情况讨论，去绝对值解方程即可. 【详解】由题意可得：， 当时，可得，即，解得或（舍去）； 当时，可得，即，方程无解； 综上所述：. 22．（解答题） （23-24高三下·青海海南·开学考试） 已知，函数. (1)当时，解不等式; (2)若的图象与轴围成的面积小于，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据绝对值不等式及一元二次不等式的解法求解； （2）转化为分段函数，求出三角形顶点坐标即可求出面积，解不等式得解. 【详解】（1）当时，化为，即， 可得，，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. （2）由题设可知，， 所以的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为 ， 所以三角形面积， 即，所以，解得， 又，所以. 题型四　函数值与抽象函数赋值（共5小题） 【知识积累】 直接代入：已知解析式求函数值，按运算顺序代入；含 先算内层。 赋值法：抽象函数求值，常令 、、 等，先求 、 等特殊值，再逐步推出所求。 常见模型： 对应正比例型； 对应指数型； 对应对数型。模型只作方向，答案必须由条件推出。 易错：赋值后未说明任意性；把特殊值当成唯一值；臆造函数模型代替推导。 【典例】 23．（单选题） （2026·浙江绍兴·模拟预测） 已知函数的定义域为，当时，有，对，都有，则（    ） A．0 B．1 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】利用题中给出的函数性质，代入特殊值，求出. 【详解】因为，， 当时，， 因为，都有， 所以， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 所以． 【变式训练】 24．（单选题） （2026·辽宁锦州·二模） 是定义在上的函数，满足对都成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，依次代入特殊值，，，联立方程组，即可求出. 【详解】令，则①， 令，则②， 令，则③， 令，则④， 联立③④，解得，，将代入②，解得， 再将代入①，解得. 25．（单选题） （25-26高三上·河南·期中） 已知定义在上的函数满足对任意恒成立，且，则（    ） A．200 B．210 C．110 D．220 【答案】B 【分析】赋值法，依次令，，，即可求出的解析式. 【详解】令，则， 因，则， 令，则， 令，则，得， 则，得. 故选：B 26．（填空题） （2026·广东梅州·模拟预测） 函数满足，且，则___________． 【答案】4051 【分析】利用已知条件进行赋值变换得出相应的表达式，然后代入数据计算即可. 【详解】令可得，① 将赋值为，代入①得：，② 根据题设及①有：，③ 由①②③得：， 即， 令可得，则， 因此． 27．（填空题） （2026·重庆·一模） 若函数满足:对任意的，都有，且，则______. 【答案】/0.125 【分析】由，通过累加即可求解. 【详解】由， 得， 即， ， ， 累加可得：， 又， 得， 故答案为： 题型五　函数的值域（共5小题） 【知识积累】 配方法：二次函数在给定区间上求值域，先看对称轴与区间的位置关系，再比较顶点与端点。 分离常数法：形如 的函数，先化为 ，再由 求值域。 判别式法：去分母整理成关于 的二次方程，分二次项系数为 与不为 讨论，用 求 的范围，并检验原定义域。 换元法：含根式时令 ，化为二次函数；注意 的取值范围。值域写成集合或区间。 【典例】 28．（单选题） （2026·四川巴中·模拟预测） 若满足，当时，，则时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用赋值法结合题意可得，当时，，由，可得进而计算可解. 【详解】令得，，所以或， 当时，有，与时，矛盾，故， 当时，，则， 因为，得， 所以，即时，的取值范围为. 【变式训练】 29．（多选题） （2026·陕西汉中·模拟预测） 下列函数中，值域正确的是（     ） A．当时，函数的值域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】ACD 【分析】本题考查了函数值域的求法，配方法、分离常数法和换元法的应用，掌握根据函数类型选择合适方法求值域的技巧是解题的关键． 对每个选项，使用配方法、分离常数法或换元法，结合函数单调性求值域，逐一判断正误． 【详解】对于A，（配方法），由，再结合函数的图象（如图①所示），可得函数的值域为． 对于B，（分离常数法），显然，． 故函数的值域为． 对于C，（换元法）设，则，且，， 由，再结合函数的图象（如图②所示），可得函数的值域为． 对于D，函数的定义域为， 与在上均单调递增， 在上为增函数， 当时，，即函数的值域为． 故选：ACD． 30．（填空题） （2025·上海长宁·一模） 函数的值域为，则集合___________． 【答案】 【分析】利用函数的值域求解不等式，进而得到函数的定义域即可. 【详解】令，解得， 令，解得， 则集合. 故答案为： 31．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 求函数的值域. 【答案】 【详解】, 所以该函数的值域为. 32．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 求函数的值域． 【答案】 【分析】根据已知函数的性质，运用换元法化简不等式，结合的值域构造不等式，解不等式求函数的值域． 【详解】令，则，原函数化为：， 整理得即，当时显然不合题意； 当时，， ，即，等价于，解得， 原函数的值域为. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 第01讲 函数的概念及其表示 专项训练（5大题型32题） （原卷版） 2026-2027学年高三一轮复习 数学 题型归纳 · 内容导航 题型 定位 题号 题数 题型一　函数的概念与解析式 重点 第1—10题 10 题型二　函数的定义域 常考 第11—16题 6 题型三　分段函数 重点 第17—22题 6 题型四　函数值与抽象函数赋值 难点 第23—27题 5 题型五　函数的值域 重点 第28—32题 5 题型通关 · 靶向提分 题型一　函数的概念与解析式（共10小题） 【知识积累】 函数的概念：设 是非空数集，若对 中任意一个数 ，按照某种确定的对应关系 ，在 中都有唯一确定的数 与之对应，则称 为从 到 的函数，记作 。定义域、对应关系、值域称为函数的三要素。 函数相等：定义域相同，且对应关系完全一致，两个函数才相同。化简后解析式相同但定义域不同的，不是同一函数。 求解析式的常用方法：已知函数类型用待定系数法；已知 用换元法或配凑法，令 后要写出 的取值范围；形如 或 用方程组法，替换后联立消元。 易错：换元后漏写新元范围；方程组法只写一个方程未联立；求出解析式后未回代检验。 【典例】 1．（多选题） （26-27高三·全国·一轮复习） 下列说法中正确的是（　　） A．式子可表示自变量为x，因变量为y的函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．若，则 D．与是同一个函数 【变式训练】 2．（多选题） （25-26高三·全国·一轮复习） 下列命题中正确的有（   ） A．若一次函数满足，则函数的解析式为 B．若，则函数的定义域为 C．若，则函数的解析式为 D．若函数满足关系式，则 3．（多选题） （25-26高三·全国·一轮复习） 下列说法中正确的有（    ） A．与表示同一个函数 B．函数的定义域是 C．与是同一个函数 D．若，则 4．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知二次函数满足且，求的解析式． 5．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 若一次函数满足，求的函数解析式. 6．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数满足，求的解析式. 7．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 若函数满足，求函数的解析式. 8．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知一次函数满足． (1)求的解析式； (2)若，求的值． 9．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） （1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 10．（解答题） （25-26高三上·甘肃甘南·阶段检测） 分别求满足下列条件的函数的解析式： (1)已知是二次函数，且； (2)函数满足． 题型二　函数的定义域（共6小题） 【知识积累】 具体函数：分式的分母不为 ；偶次根式的被开方数不小于 ；零次幂与负指数幂的底数不为 。多个限制同时存在时取交集。 抽象函数：若 的定义域为 ，则 的定义域由 解出；若 的定义域为 ，则 的定义域是 在 上的值域。 含参定义域：定义域为 可转化为不等式恒成立。二次型先讨论二次项系数是否为 ，再结合判别式。 易错：定义域是自变量 的集合，不是 的集合；多个限制要取交集；端点开闭由原限制决定。 【典例】 11．（单选题） （2026·广东梅州·模拟预测） 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 12．（单选题） （2026·广东清远·二模） 设集合，则（   ） A． B． C． D． 13．（单选题） （2026·甘肃·一模） 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 14．（单选题） （2026·山东·一模） 函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 15．（填空题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数，则其定义域为________(用区间表示)，________． 16．（填空题） （25-26高三上·甘肃·阶段检测） 若函数的定义域为，则函数的定义域为______． 题型三　分段函数（共6小题） 【知识积累】 分段函数是一个函数：各段定义域互不相交，并集为整个定义域；解析式分段写，不能把各段强行合并。 求值：先判断自变量落在哪一段，再代入该段解析式；遇到 由内向外逐层计算。 已知函数值求自变量：分段讨论，解出的值必须落在该段区间内，否则舍去。 解不等式：分段讨论或借助图象，注意端点归属；含绝对值或取大、取小的，先化为分段函数。 【典例】 17．（单选题） （2026·陕西榆林·模拟预测） 已知函数满足：当时，；当时，；且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 18．（单选题） （2026·浙江·二模） 已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 19．（单选题） （2026·江西·模拟预测） 已知函数若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．（单选题） （2026·广东茂名·一模） 已知函数，若，则（   ） A． B．2 C． D．1 21．（填空题） （2026·河北唐山·一模） 已知，若，则______. 22．（解答题） （23-24高三下·青海海南·开学考试） 已知，函数. (1)当时，解不等式; (2)若的图象与轴围成的面积小于，求的取值范围. 题型四　函数值与抽象函数赋值（共5小题） 【知识积累】 直接代入：已知解析式求函数值，按运算顺序代入；含 先算内层。 赋值法：抽象函数求值，常令 、、 等，先求 、 等特殊值，再逐步推出所求。 常见模型： 对应正比例型； 对应指数型； 对应对数型。模型只作方向，答案必须由条件推出。 易错：赋值后未说明任意性；把特殊值当成唯一值；臆造函数模型代替推导。 【典例】 23．（单选题） （2026·浙江绍兴·模拟预测） 已知函数的定义域为，当时，有，对，都有，则（    ） A．0 B．1 C．2025 D．2026 【变式训练】 24．（单选题） （2026·辽宁锦州·二模） 是定义在上的函数，满足对都成立，则（    ） A． B． C． D． 25．（单选题） （25-26高三上·河南·期中） 已知定义在上的函数满足对任意恒成立，且，则（    ） A．200 B．210 C．110 D．220 26．（填空题） （2026·广东梅州·模拟预测） 函数满足，且，则___________． 27．（填空题） （2026·重庆·一模） 若函数满足:对任意的，都有，且，则______. 题型五　函数的值域（共5小题） 【知识积累】 配方法：二次函数在给定区间上求值域，先看对称轴与区间的位置关系，再比较顶点与端点。 分离常数法：形如 的函数，先化为 ，再由 求值域。 判别式法：去分母整理成关于 的二次方程，分二次项系数为 与不为 讨论，用 求 的范围，并检验原定义域。 换元法：含根式时令 ，化为二次函数；注意 的取值范围。值域写成集合或区间。 【典例】 28．（单选题） （2026·四川巴中·模拟预测） 若满足，当时，，则时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 29．（多选题） （2026·陕西汉中·模拟预测） 下列函数中，值域正确的是（     ） A．当时，函数的值域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 30．（填空题） （2025·上海长宁·一模） 函数的值域为，则集合___________． 31．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 求函数的值域. 32．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 求函数的值域． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $