单元过关(三) 函数的概念与性质-【衡水真题密卷】2027年高考数学单元过关检测（A版）

·数学· 参考答案及解析 19.解：(1)设正方形GFEB的边长为x,有x≥d. 易知∠BD'E'=∠CE'F'=A=a, 由题可知，△AGF与△FEC相似， 所以a=BE'+CE'=ysin a+ y 所以有二工=工，解得x= cos (2分) x a-x a十b 则y=一 a 因为a=5,x≥d,显然d<5, 1· sin a+ 所以写6≥d,得6≥ 56 cos a 5-d1 (5分) BC a AB 6 (2)BM≥BF 又na-ACa+Fosa-ACVa+石 2AC=YaFbr 所以y= a ab va+b2 理由如下：由题可知BM= 2 1 a2+62+ab' sin a+- 由(1)可知，BF=√2BE= √2ab cos a a十b 所以正方形D'GF'E'面积为a+b) (a2+b2+ab)2 由基本不等式可知，BM=ya+6、2ab BF (13分) 2 2 -2ab-V2ab 因为a2b2>0, √/2ab a+b2√ab 2, 所以(a+b)4-2ab(a+b)2+a2b2>(a+b)4- 2ab(a+b)2, 石1a名≥22②Qb 2 atb =BF,当且仅 即[(a+b)2-ab]2>(a+b)2[(a+b)2-2ab], 即(a2+b2+ab)2>(a+b)2(a2+b2), 当a=b时等号成立， 即a2+b2+ab>(a+b)√a2+b2, 所以BM≥BF. (10分) (3)我们比较正方形面积的大小，只需要比较其 即1、 、√a2+b2 边长的大小即可. a+b a2+62+ab 由(I)可知正方形GFEB的边长为BE=6 即ab>abva+b a+b' a+ba2+62+ab' 所以正方形GFEB的面积为，a6 所以BE>y. (a+b)2 (11分) 所以正方形GFEB的面积大于正方形D'G'F'E 我们设正方形D'GF'E'的边长为y,A=a, 的面积。 (17分) 2026一2027学年度单元过关（三） 数学·函数的概念与性质 一、选择题 3.D【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所 1.C【解析】由题意得， 3-20'解得x≤3且x 以f(一x)=-f(x),当x≥0时，f(x)=x(1十x), x一2≠0， ≠2，所以f(x)的定义域是(-∞，2)U(2,3]. 所以当x<0时，-x>0,则f(-x)=(-x)(1-x) 2.A【解析】集合P到集合Q的函数即集合P中 =一f(x),整理得f(x)=x(1一x)=一x2十x,所以 的任意元素，按照某种确定的对应关系，在集合Q |-x2+x,x<0, 中都有唯一元素与之对应， f(x)的解析式为f(x)= x2+x,x≥0. 对于A,由图象可知符合函数的定义，故A正确； 对于B,显然定义域没有取尽集合P中的元素，不 4.B【解析】由f(8)=1,可逆推得f(7)=2,从而 符合函数定义，故B错误； 可逆推得f(6)=4. 对于C,显然对于集合P中的元素，集合Q中与 5.B【解析】由图②可知，将y-f(x)在x≤0的图 之对应的元素并不唯一，如当x=2时，对应的y 象沿着y轴对称得到y=f(一x),然后再沿着 值有2个，故C错误； 对于D,由图象可知，当x=2时，y=2或y=4,不 x轴翻折得到y=一f(一|x|),即为图②对应的 符合函数定义，故D错误. 函数 。7 A 2027 单元过关 6.A【解析】若x<0,则xf(x)>0等价于f(x)< 对于C,S= 0,因为f(x)是偶函数，所以∫(4)=∫（一4）=0，又 ,则-= (4S3)2 f(x)在（一∞，0]上单调递减，则由f(x)<0可得 S2S4 -4<x<0; ,当5=15=17，-12时)- 若x>0,则xf(x)>0等价于f(x)>0,由题意 11×17187 122144 >1,即12I4>I,故C错误； 得，f(x)在[0，十∞)上单调递增，则由f(x)>0 可得x>4, 对于D8=r,- 4SaX4S5 综上，xf(x)>0的解集为（一4,0）U(4,+∞). 7.D【解析】在1,2，…，12这12个数中，与12互质 9-号>1，中1，>1，成D魂 4× 的数为1,5,7,11，则p(12)=4; 11.AB【解析】因为y=f(x一2)的图象关于直线 在1,2，…，13这13个数中，与13互质的数为1， x=2对称，又f(x)的图象可由y=f(x-2)的 2,…,12,则9(13)=12>p(12); 图象向左平移2个单位得到，所以f(x)的图象 在1,2，…，14这14个数中，与14互质的数为1， 关于直线x=0对称，即f(x)是偶函数，故A 3,5,9,11,13,则9(14)=6<p(13), 正确； 所以“m>n”是“p(m)>p(n)”的既不充分也不必 要条件， 在fx+3)-f(z)=2f(g)中，令x=- 8.C【解析】令x=y=1,可得f(1)-f(3)= 释f()-f(←）-2f(2)又周为fx)是 f(1)·f(1),即2-f(3)=22,解得f(3)=-2; 令x=1,y=0,可得f(1)f(0)=f(2)-f(2)= 偶函数，所以f()-f()=2f(),则 0,则f(0)=0; 令x=0,y=1,可得f(0)-f(2)=f(0)f(1)= f()=0,故fx+3)-fx)=0,即fx+3) 0,则f(2)=f(0)=0; f(x),故f(x)的周期T=3,故B正确； 令x=2,y-1,可得f(2)-∫(4)=f(2)f(1)= 0,则f(4)=f(2)=0, 由于V,:∈b,引≠，南有 即f(2)+f(3)+f(4)=-2. 二、选择题 f:）-f)<0,故f(x)在(0，)上单调递 x2-x1 9.ABD【解析】对于A,因为f(-x)2)-f(x2), 所以f(x2)是偶函数，故A正确； 减，又1<：故f1)>f(经)=0，所以 对于B,因为f(x)是奇函数，所以|f(-x)|= f(2026)=f(675×3+1)=f(1)>0,故C |-f(x)|=f(x)|,故|f(x)|是偶函数，故B 错误； 正确； 由于f(2)在(0，）上单羽递减，f(x)为偶函 对于C,因为g(x)是偶函数，所以g[f(-x门= g[-f(x)]=g[f(x门，故g[f(x门是偶函数， 数0，)=(-3，）所以fx)在(-3，)上 故C错误； 不可能单调递增，故D错误 对于D,因为h(-x)=h(x),所以h(|x)是偶 三、填空题 函数，又因为f(x)是奇函数，所以f(x)h(x|)是奇 12.y=x(答案不唯一)【解析】y=x|的图象 函数，故D正确 关于y轴对称，且形状与v相似. 10,ABD【银标】对于A,S-子户，则I=VS 13.0【解析】因为f(-x)+f(x十2)=0，f(x)= f(-x),所以f(x)=-f(x+2), 2S,由S3>S2,可知I>I2,故A正确； 故f(x十4)=一f(x+2)=f(x),所以4为f(x)的 对于B,注意到I=2√S5≥2√18=6√2，I1= 一个周期. 2vS<28=4,成1，≥1即21≥3， 令x=-1,则f(-1)=-f(1),故f(1)=-f(1), 得f(1)=0, 故B正确； 令x=1,则f(1)+f(3)=0; A ·8· ·数学· 参考答案及解析 令x=2,则f(2)+f(4)=0,所以f(1)+ 16.解：(1)由f(x)= 1+x2 f(2)+f(3)+f(4)=0. 、1可得f《2)122 所以置f(i)=506[f)+f2)+f3)+ 1= f(4)]+f(1)=0. - 3 (3分) 1咨a:是【#钉西方A1wN内西东是 1+()》 5 △ABC面教的-年，所以日AB·AC=2X号× 1-( 4 AM·AN,即7XEXE=2xX·AN,可 (5分) 得AN=,又国为AMr+AN=MN,所以 (2)由(1)中求得的结果发现f(x)+f（ =0. (6分) 0<x≤2， y=x2+1,且/0% ,解 2≤x≤2，所以 证明如下： 1+x2 1+x2 因为f(x)+ fx)=x2+1 ,且f(x)的定义城为 1-x 1-( 1-x2 x2+1 ，易知 x2-1 =0， (9分) g@在[日1上单洞运减，在1,2]上单河递 所以fa)+f(）=0, (10分) 增，且8（分）-g2)=881)=2所以g)在 (3)由(2)可知fx)+f(）=0 [日上的要小值为2大值为号中1)在 所以f2)+f(分)+f3)+f()+…十 学2上的最小值为2，最大值为号，所以 fee)+(22） =2024×0=0. (15分) 17.解：(1)因为∫(x)是单调函数，所以Hx1,x2∈ 于)的最小值与装大位之和方计-} (0,+∞)，都有f(x1)≠f(x2). 四、解答题 设fm)=2,因为vx>0,f(x)+2)=2, 15.(1)证明：设x1,x2∈R,且x1<x2,则x2一x1> 0,即f(x2-x1)>1, (2分) 所以Vx>0,f(x)+3- =m, x 所以f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)十x1] 所以当x=m时，有f0m)+3=m,即2+3 f(x1)=f(x2-x1)+f(x)-1-f(x1) m m =f(x2-x1)-1>0, m,解得m=3或m=-1. 即f(x1)<f(x2), 又因为m>0,所以m=3. (4分) 所以f(x)是R上的增函数. (6分) 当x-2时有fe)+》-3,放f②)-含 2 (2)解：因为f(a十b)=f(a)+f(b)-1, 3 f(2)=2, 所以f2)的值为 (6分) 取a=2,b=2,则f(4)=f(2)+f(2)-1=3, (2)对Hx1,x2∈(0，+∞)，且x1<x2,有f(x1) 于是f(x2)十f(-3x)≤4等价于f(x2-3x) +1≤4，即f[x(x-3)]≤f(4), f)-)6》 3(x1-x）<0, (10分) 由(1)知f(x)是R上的增函数， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增. (9分) 所以x2-3x≤4，解得-1≤x≤4， 对Vx∈(-∞，0)U(0,+∞)，有g(-x)= 所以原不等式的解集为[一1,4幻. (13分) f(-x|)=f(x|)=g(x),故g(x)为偶函数. 。9· A 2027 单元过关 m1 所以g(x)= |f(x),x>0, (12分) 0≤ f(-x),x<0. 22’ 解得0≤m≤1， (16分) 结合f(x)的单调性，可知不等式g(3x一2)≤ m2 g(x-1)等价于|3x-2|≤|x-1|, m-4≥0， 等价于(3x-2)2≤(x-1)2,即8x2-10x十3≤ 所以m的取值范围为[0,1]. (17分) 0,解得x∈24 「13 ,π3 19.解：1由于f(5）=in3-: 3x一2≠0即 2 f+小-如- 2 x-1≠0， x≠1， 所以于不是M,中的元素， (2分) 故原不等式的解集为日号》U(后是引 (2)方法一：因为M。≠☑，所以3x。∈R,使得 (15分) f(xo十a)=f(xo),且a>0, 18.解：(1)f(x)=x2一mx十m的图象对应的抛物 当x<0时，f(x)=x十2，其在(-∞，0)上严格单 调递增， 线开口向上，且对称轴为直线x-公 (1分) 当x≥0时，f(x)=√元，其在[0，+∞)上也严格单 所以f)在(-o,贸]上单调递减，在（份+）上 调递增， 则xo<0≤xo十a,则xo十2=√x0十a, (4分) 单调递增， (2分) 令x十2=0，解得x=-2,则-2≤x0<0, 放当z-罗时，f)取最小值，最小值为f(份) 则a=(Vx+a)2-x=(xo十2)2-x0 312,7 「7 =xo 2+ m (4分) 4∈44 4, (6分) 所以fx)的值域为m-m ,+∞) (5分) 放：的取值范猫为子，小 方法二：作出f(x)的图象，如图所示， (2)由g(x)=+3 x+1 2 (x+1)2-2(x+1)+4 x+1 v=fx) 4 V=I 2=(x+1D+z+14, 当x∈[0,1]时，令t=x+1,可得x=t-1且t 2 ∈[1,2]， 由题意知直线y=t与f(x)有两个交点， 则8)-4+4，在，2止单调递减， 由图知0≤t<2, (4分) 假设交点分别为A(m,t),B(n,t), 所以g(t)mm=g(2)=0,g(t)max=g(1)=1,所 以g(x)在[0,1]上的值域为[0,1]. (10分) 联立 元=t,得a=AB到=m一m=-L-2》 n+2=t, 由对于Hx。∈[0,1，总3x1∈[0,1门，使得 f(x0)=g(x1)成立， -》+e[ 可得在[0,1]上f(x)的值域为g(x)的值域的子 (6分) 集，即{yy=f(x)}二[0,1]， 故a的取值范围为 由f(x)=x2-m.x十m,可得f(0)=m,f(1)=1, (3)Hx0∈(1,2)，x。-2∈(-1,0)，因为y= 当究<0，即m<0时，显然不成立： f(x)是偶函数， (12分) 所以f(x。-2)=f(2-x0),而2-x0-(x。-2) 当空>号即m>1时，根据抛物线的对称性，可得 =4-2xo∈(0,2)， 所以x0-2∈M4-2,二M2, f(0)>f(1),显然不成立； 所以f(xo)=f(x。-2)=f(2-x0),(8分) 所以要使{yly=f(x)}二[0,1]，则 因为xo∈(1,2)，所以2-x0∈(0,1)， A ·10· ·数学· 参考答案及解析 所以f(x。)=f(2-x6)=1-(2-x0)=x。一1， 所以f(x)=x-1,x∈(1,2)， (9分) 所以当s∈(0,1)时，1-s∈(0,1)，1+s∈(1,2)， 32-10 则f(1-s)=1-(1-)=s, f(1+s)=(1+s)-1=5, 当c≥1时，若f(-2)=f(2)=f(0)=f(-3)= 则f(1-s)=f(1十s), f(3)=c,最多5个零点； 而1十5-(1-s)=2s,(3-5)-(1-5)=2, 则1-s∈M2,三M2,则f(1-s)=f(3-s), (10分) 3-2-10 所以当x∈(2,3)时，f(x)=f(x-2)=1-(x-2) =3-x,又f(x)为偶函数，画出f(x)的图象如图 当c<0时，若f(-2)-f(2)=f(0)=f(-3)= 所示： f(3)=c,最多5个零点； (15分) 1=C 其中f(-3)=f(3),f(-2)=f(2),f(0),但 当0<c<1时，若f(-2)=f(2)=f(0)=c,此 其对应的y值均未知. 时有3个零点， 首先说明f(-3)=n￠(0,1)， 又f(-3)=f(3)年(0,1)， 若f(-3)=n∈(0,1)，则-3+n∈(-3，-2)， 则最多在(-3，-2)，(-2，一1)，(-1,0)，(0， 易知此时f(x)=x十3，x∈(-3，一2)， 1),(1,2),(2,3)之间取得6个零点， 则f(-3十n)=n,所以f(-3)∈M.三M2, 以及在x=一2,0,2处的零点，故至多不超过9 而当x∈[-1,0)时，f(x)=x+1, 个零点. 所以f(-3)=f(-1)=0,与f(-3)=n矛盾， 所以f(-3)年(0,1)，即f(-3)=f(3)年 (0,1), (12分) 令y=f(x)-c=0,则y=f(x)=c, -3-2-10123 当c=0时，若f(-3)=f(3)=f(-2)=f(2) 综上，y=f(x)-c在[-3,3]上至多有9个 =f(0)=0,最多7个零点， 零点 (17分) 2026一2027学年度单元过关（四） 数学·幂函数、指数函数与对数函数 一、选择题 3.B【解析】因为幂函数f(x)=(t2-t一1)x24-3的 1.C【解析】因为函数y=log(3x-8)十27的图 t2-t-1=1, 图象与y轴无交点，则 解得t=一1. 象恒过定点P,令3x一8=1，即当x=3时，y= 2t-3≤0， 27,所以点P的坐标为(3,27)，又点P在幂函数 4.A【解析】由已知得， f(x)的图象上，设f(x)=x,则3=27，a=3,所 f(1)_f(0.5).f(1) ,f(2)f(0.5) f0=f0)·f0.5=4,f0)=f0) 以f)=,所以了分）=（合》'=君 f(1)f(1.5)f(2) f(0.5)f(1) f1.5)-4, 2.B【解析】依题当[H+门=10-7时，pH=-lg10- f(3)f(0.5) f(1)f(1.5)。f(2) =7,所以该纯净水的pH值为7. f(0)f0)∴f(0.5)·f(1)·f(1.5)· ·11· A2026一2027学年度单元过关（三） 数学·函数的概念与性质 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 6 8 答案 1.函数f(x)=√3-z+c二2的定义域是 A.(2,3] B.(-∞，2)U(2,3) C.(-∞，2)U(2,3] D.(-∞，3] 2.设集合P={x0≤x≤4}，Q={y0≤y≤4}，则下列图象能表示集合P到集合Q的函 数关系的是 ( C D 3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(1十x),则f(x)的解析 式为 -x2-x,x<0, x2+x,x<0, A.f(x)= B.f(x)- x2+x,x≥0 -x2十x,x≥0 一x,x<0； -x2十x,x<0, C.f(x)- D.f(a)= x2十x,x≥0 x2+x,x≥0 单元过关（三）数学第1页（共8页） 万物皆有规律，而你的劳力终会找到答案的轨迹 2f),当f()是偶数时， 班级 4.已知函数f(x)>0,且f(x+1) 若f(8)=1,则f(6)的 3f(x)十1，当f(x)是奇数时. 姓名 值为 A.3 B.4 C.6 D.8 得分 5.已知图①对应的函数为y=f(x),则图②对应的函数是 ( 图① 图② A.y=f(-x) B.y=-f(-x) C.y=f(-x) D.y=-f(-x) 6.已知偶函数f(x)在(-∞，0]上单调递减，且f(4)=0,则不等式xf(x)>0的解集为 () A.(-4,0)U(4,+∞) B.(-∞，-4)U(0,4) C.(-4,0)U(1,4) D.(-∞，-4)U(4,+∞) 7.若正整数p,q的最大公约数为1，则称p,q互质.对于正整数n,函数p(n)表示不大于 n的正整数中与n互质的数的个数，例如：p(2)=1,9(9)=6.已知m,n均为大于11的 正整数，则“m>n”是“p(m)>p(n)”的 () A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x-y+1)-f(x+y+1)=f(x)f(y),且f(1)= 2,则f(2)+f(3)+f(4)= () A.2 B.0 C.-2 D.-4 单元过关（三）数学第2页（共8页） A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 9.若函数f(x),g(x),h(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则() A.f(x2)是偶函数 B.f(x)是偶函数 C.g[f(x)]是奇函数 D.f(x)h(x)是奇函数 10.在极端刺激下，物理刺激强度与人类心理感受之间的关系近似满足史蒂文斯幂定律： S=k·I”,其中k为非零常数，n为幂常数，S为主观感觉强度，I为物理刺激强度， I>0.现有如下RPE(主观感觉强度)表： 强度 S1 S2 S3 S4 Ss 自我感觉 6-8 9-11 12-14 15-17 18-20 已知在临床条件下=4，在RPE强度为S:时得到的实际物理刺激强度为I:,则 A.当n=2时，I3>I2 B.当n=2时，2I5≥3I1 C.当n=3时，I2I4<I3 D.当n=4时，I1I2I4>I3I5 1.已知函数f)对Vx∈R都有fx+3)-fx)=2f(侵），若y=fx-2)的图象关于 直线x=2对称，且Hx1,x2∈ 3 0,2 1≠4都有a-f<0,则 () x2一x1 A.f(x)是偶函数 B.f(x)的周期T=3 C.f(2026)=0 D.f)在(-3，)上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.小顾同学学习编程后，决定利用函数汇编一套输入法，如：文字一可以用函数y=1的 图象表示，请写出一个可以表示字母的函数 单元过关（三）数学第3页（共8页） 13.已知函数f)满足f(-x)+f(x+2》=0,f)=f(-),则觉f()的值为 14.如图，在△ABC中，AB=AC=√2，AB⊥AC,直线1与边AB,AC分别交于M,N两 点，且△AMN的面积是△ABC面积的一半.设MN2=y,AM=x,记y=f(x),则 f(x)的定义域为 ,f(x)的最小值与最大值之和为 M 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a十b)=f(a)+f(b)一1，且当x>0 时，f(x)>1. (1)证明：f(x)是R上的增函数. (2)若f(2)=2,解不等式f(x2)+f(一3x)≤4. 单元过关（三）数学第4页（共8页） 16.15分)已知函数f(c)=1+x 1-x2 1)求f2)与f(2),f3)与f3)的值， (2②)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f()有什么关系？并证明你的发现。 (3)求f2)+f(分)+f(3)+f(得)++f2025)+f(2025)的值. 单元过关（三）数学第5页（共8页） 17.(15分)设fx)是定义在0，十∞)上的单调函数，且Vx>0,ffx)+)=2. (1)求f(2)的值； (2)若g(x)=f(x|),解不等式g(3x-2)≤g(x-1). 单元过关（三）数学第6页（共8页） A 18.17分)已知函数fx)=x2-mx+m,g(x)=十3 x+1 2,m∈R. (1)求f(x)的单调区间和值域； (2)若对Hxo∈[0,1]，总x1∈[0,1]，使得f(xo)=g(x1)成立，求m的取值范围. A 单元过关（三）数学第7页（共8页） 19.(17分)已知函数y=f(x)的定义域为R.对于正实数a,定义集合Ma={x|f(x十a)= f(x). (1)若f(x)=sinx,判断写是否是M.中的元素，并说明理由.。 x+2,x<0, (2)若f(x)= M。≠，求a的取值范围. x,x≥0， (3)若y=f(x)是偶函数，当x∈(0,1]时，f(x)=1一x,且Ha∈(0,2)，M.二M2.写 出y=f(x),x∈(1,2)的解析式，并证明：Hc∈R,函数y=f(x)一c在[一3,3]上 至多有9个零点. 单元过关（三）数学第8页（共8页）