常见的值域的四种求法专项训练-2027届高三数学一轮复习

常见的值域的四种求法 题型一：根据一次、二次、反比例函数性质求值域 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4．函数的值域为________ 5．函数的值域为___________； 6．已知函数，，则此函数的值域为______． 三、解答题 7．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)， 题型二：换元法求值域 1．函数的值域为________. 2．函数的值域为__________. 3．函数的值域为______. 4．已知，则函数的值域为_____________. 5．函数的值域是______________ 题型三：分离常数法求值域 1．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．函数的值域是（ ） A． B． C． D． 3．函数的值域是（     ） A． B． C． D． 4．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 5．函数，x∈[3，+∞）的值域是（    ） A． B． C． D． 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型四：不等式法 1．函数的值域是__. 2．函数的值域是______________. 3．已知函数的定义域为，则函数的值域为_________． 4．函数的值域为___________. 5．函数的值域是_________． 6．求函数的值域. 答案与解析 题型一答案与解析 1．B 【分析】根据题意，由二次函数的性质，即可得到结果. 【详解】因为函数的对称轴为， 则当时，， 当时，，即. 故选：B 2．B 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】函数的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 所以该函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，又， 所以，即函数的值域为. 故选：B. 3．A 【分析】根据函数定义域及不等式的性质求解值域即可. 【详解】函数的定义域为， 由，可得， ，即函数的值域为. 故选：A. 4． 【分析】根据题意，由二次函数的单调性，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，且，则当时，，当时，，则函数值域为. 故答案为： 5． 【分析】根据题意结合二次函数最值分析求解即可. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 所以函数的值域为. 故答案为：. 6． 【分析】求出给定函数的值域. 【详解】由，且，则， 所以函数的值域为. 故答案为： 7．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可； （2）利用二次根式的意义求出值域； （3）利用二次函数的性质求出值域； （4）根据不等式性质运算求解即可． 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为 题型二答案与解析 1． 【分析】令，转换成二次函数即可求解. 【详解】令，则， 的图像开口向下，对称轴， ∴在上是减函数， ， 所以的值域为. 故答案为： 2． 【详解】令，则， 换元可得函数的解析式：， 二次函数开口向上，对称轴为， 结合二次函数的性质可得函数的最小值为：， 综上可得，函数的值域为. 3． 【分析】设，则，利用换元法，结合二次函数的性质即可求出． 【详解】解：设，则，则，即， ， 故函数的值域为，， 故答案为， 【点睛】本题考查了函数值域的求法，换元法是常用的方法，属于中档题 4． 【解析】令可得，结合二次函数可得值域. 【详解】令，所以， 所以， 当时，； 当或时，， 所以值域为. 故答案为：. 5． 【分析】设，用换元法转化为求二次函数在某个区间的值域． 【详解】设，则，所以， 因为 ，所以当时，，所以函数的值域是. 故答案为： 题型三答案与解析 1．A 【分析】利用分离常数法将原函数变形为，再根据自变量的条件逐步推导出最终的值域. 【详解】由题意得， 因为，所以，所以，所以，所以， 即函数的值域为． 2．C 【分析】整理可得，根据结合分式分析求解. 【详解】由题意可知：， 因为，则，可得，即， 所以的值域为. 故选：C. 3．C 【分析】将函数分离常数后可直接求解. 【详解】，从而可知函数的值域为. 故选：C 4．C 【分析】对分离常数，结合反比例函数的性质，可求出的值域. 【详解】∵，且，∴， ∴函数的值域为. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的值域，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 5．D 【分析】利用函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得，， 显然函数在上为减函数， 所以，当时，函数取得最大值，且最大值为，当接近时，接近， 所以的值域为. 故选：D. 6．D 【分析】分离常数可得，进而可得函数的值域. 【详解】， ∴原函数的值域为， 故选：D. 题型四答案与解析 1． 【分析】利用配凑法化简，结合基本不等式求解. 【详解】当时，函数 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即函数的值域为. 2． 【分析】设，则，得到，结合基本不等式，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，设，则，因为，所以， 则， 当且仅当时，即，即时，等号成立， 所以函数的值域为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了函数的值域的求解，其中解答中合理使用换元法，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了换元思想，以及推理与运算能力，属于基础题. 3． 【分析】当时，，利用对勾函数的单调性求得的值域，进而求在上的值域，最后结合进而得解． 【详解】由，定义域为，且， 当时，， 令，， 由对勾函数的单调性知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增， 所以，即， 所以当时，，又， 所以当时，函数的值域为． 故答案为：． 4． 【分析】利用换元法和基本不等式求值域. 【详解】令，则， ， 当时，； 当时，， 因为，当且仅当，时等号成立， 所以， 所以函数的值域为， 故答案为： 5． 【分析】利用基本不等式直接可得函数的最小值，进而可得值域. 【详解】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立.. 当时，，所以函数的值域为. 故答案为：. 6． 【分析】令，则，得，当时，得，当时，得，再利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以定义域为， 令，则， 得， 当时，得， 当时，得， 则， 得，或，等号成立时，分别对应和， 因为， 则，或， 得，或， 则，或， 综上知，函数的值域为： 学科网（北京）股份有限公司 $