专题：指对幂函数 提优专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题：指对幂函数-2027届高三数学上学期一轮提优专项 一、单选题 1．设，，，则（     ） A． B． C． D． 2．若集合，则（     ） A． B． C． D． 3．函数的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在某个物理实验中，测量得变量和变量的几组数据，如下表： 0.50 0.99 2.01 3.98 0.01 0.98 2.00 则对，最适合的拟合函数是（   ） A． B． C． D． 6．最小值为（    ） A． B． C． D． 7．若函数（，）满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 8．在某密码系统中，生成密码需要从含有 个符号的字符集中随机选择字符. 密码熵 (单位: 比特) 的计算公式为 ，其中 为密码长度. 根据密码熵估计表，当 时， 比特. 若某用户将密码长度从 增加到 ， 则密码熵的增加量约为（    ） A．26.2 比特 B．39.3 比特 C．52.4 比特 D．69.9 比特 二、多选题 9．已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 10．设，则下列选项是“”的充分不必要条件的是（   ） A． B． C．， D． 11．在科技、经济以及社会生活中经常需要用到无理数，并且在数学中也起着举足轻重的作用，它的值约等于2.71828 ，若命题“，使得成立”是假命题，则实数可能的值是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知偶函数有两个零点，的取值范围为___________. 13．设函数，则________；若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为________. 14．住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过，否则，该新房达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风周与室内甲醛浓度（单位：）之间近似满足函数关系式，其中，且，，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风________周． 四、解答题 15．计算： (1)； (2) 16．已知函数且）的图象过点. (1)求的解析式； (2)设函数，求在上的最大值. 17．已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)求证：． 18．已知定义在上的函数（且）． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，函数，，求函数的值域． 19．我们说函数 在其定义域 上具有 “不减性质”，是指 ，若 ，则有 . 代表不超过 的最大整数，如[4.8] = 4，[-0.3] = -1 . 已知 ，其中 . (1)求出 的定义域 ； (2)若 恒成立，求实数 的取值范围； (3)若 在其定义域 上具有不减性质，求实数 的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《专题：指对幂函数-2027届高三数学上学期一轮提优专项》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C B D B D B ACD BCD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】先判断为负数最小，再将、与中间值比较大小，即可得出三者的大小关系. 【详解】由得，由于对数函数在上单调递增，且，因此，即； 对于，由于对数函数在上单调递增，且，因此，即； 对于，由于，所以， 综上可得，. 2．C 【分析】利用对数函数的性质解出对数不等式得出集合，然后再利用集合并集运算即可. 【详解】因为，所以，即，解得：， 所以，又，所以. 3．C 【详解】设函数和. 函数的零点个数就是函数和的交点个数. 在同一坐标系内作出函数和的图象，如图， 可知两函数的图象有4个交点，故函数有4个零点. 4．B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合指数函数单调性与对数函数定义域判断两个命题的推出关系即可. 【详解】若，由于指数函数是上的单调递增函数，因此可推出； 当时，与均无意义，无法推出，故充分性不成立； 若，根据对数函数的定义域要求，可得， 再由对数函数在上单调递增，可推出，因此，故必要性成立. 5．D 【详解】由表可画散点图如图所示， 的增长速率趋缓，对比各选项，拟合函数为对数函数， 则符合条件，所以对，最适合的拟合函数是. 6．B 【分析】先将表达式翻译为对应的几何意义，然后识别两个函数之间是反函数的关系，根据反函数的性质可得两曲线点的最短距离等于其中一条曲线上的点到直线最短距离的2倍，最后利用导数的几何意义计算上一点到的最短距离即可求解. 【详解】的几何意义是： 曲线上的任意一点， 与曲线上的任意一点之间的距离的最小值. 与互为反函数，图像关于直线对称， 因此两条曲线上点的最短距离，等于其中一条曲线上的点到直线的最短距离的2倍. 对求导，令导数等于直线的斜率1： ， 代入得对应点为，该点到直线的距离为： . 故两条曲线的最短距离为. 7．D 【分析】利用函数值求参数，再根据复合函数单调性法则求单调递减区间. 【详解】因为， 所以，即，解得或（舍）， 所以， 令，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数知，在定义域上单调递减， 所以在上单调递减. 8．B 【详解】根据密码熵计算公式 ， 时， ，由此可得 ， 时，密码熵 ，当 时，密码熵 ， 密码熵的增加量 . 9．ACD 【分析】由题意可知，构造函数，求导得到的单调性，从而得到，可判断A；代入可判断B；根据，构造函数，求出的范围，再根据的单调性可判断C；根据构造函数可证明，求出的范围，再根据可证明，可判断D. 【详解】由题干易知，， 令，则恒成立，所以在单调递增. ，已知，所以，即， 又在单调递增，所以，选项A正确； 由，代入得，即，选项B错误； ，设，， 令得，得， 所以在单调递增，在上单调递减， 设，， 令得，得， 所以在单调递增，在单调递减， 由，，，所以， 因为在单调递增，所以，即，选项C正确； ，函数在单调递增，，所以 ， 由，，，在单调递增,所以， 又，，所以， 由对勾函数图象可知，当时，，即， 所以，选项D正确. 10．BCD 【详解】由，得．由，得，不能推出，故A错误； 由，得，可以推出，又由，推不出，故B正确； 因为，，所以，又因为，可以推出，又由，推不出，故C正确； 由，得，可以推出，又由，推不出，故D正确． 11．ACD 【分析】根据原命题的否定为真命题将问题转化为恒成立问题，结合指数函数单调性和值域可求得，由此可得的取值范围，进而确定可能的取值. 【详解】因为原命题为假命题，则其否定：“，恒成立”为真命题； 当时，，所以， ，. 则实数可能的值为，，. 12． 【分析】利用偶函数的性质可以计算的值，再利用最小值小于0即可求得的取值范围. 【详解】因为为偶函数，所以， 所以，化简得：，则， 所以，， 令，解得：，即：在单调递增，在单调递减， 所以，且当时，，时，， 若有两个零点，则需满足，即：，所以的取值范围为. 13． 2 【详解】，. 草图如下： 时，时， 故有两个不相等的实数根可转化为函数的图像与直线的图像有两个交点，所以. 14．26 【分析】由可得解析式，据此结合对数运算性质可得答案. 【详解】因，从而， 则，则.为使该住房装修完成后达到安全入住的标准， 则. 15．(1) (2)1 【分析】（1）利用对数运算法则和指数运算法则计算即可； （2）利用对数运算法则计算即可求解. 【详解】（1） （2）原式 ． 16．(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，求解即可； （2）令，可得，分三种情况求解可得的最大值. 【详解】（1）因为函数且）的图象过点， 所以，所以，所以 （2）， 令，则， 当时，对称轴为，所以在上单调递增， 所以， 当时，，所以在上单调递增，所以， 当时，对称轴为， 若，即时，在上单调递增，， 若，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以在上的最大值为. 17．(1)奇函数 (2)在内是减函数， 设， 则 ． ，，则． ，． ，． ，即． 故在内是减函数． (3)， ． ， ． 【分析】（1）根据条件，直接利用奇偶函数的判定方法，即可求解； （2）利用函数单调性的定义，设，再判断与的大小，即可证明； （3）利用对数的运算，直接代入，即可证明 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， 又，所以是奇函数． （2）在内是减函数，略. （3）略 18．(1)是奇函数，证明： 因为，函数的定义域为，关于原点对称， 对于定义域内任意，， 故函数是奇函数． (2) 【分析】（1）利用函数奇偶性定义，判断函数的奇偶性； （2）先求，再采用换元法转化为二次函数，最后在给定区间求值域． 【详解】（1）略 （2）已知，则，即，解得（舍去）或， 故，， 令，令， 已知，且函数在上单调递增，在上单调递增， 故在上单调递增， 时，； 时，； 故的取值范围是， 开口向上，对称轴为， 在区间内，最小值为， ；， 综上可得，． 19．(1)． (2)． (3)． 【分析】（1）由对数的真数必须为正，结合 为整数确定定义域；（2）先取定义域左端点 得到必要条件，再证明该条件下不等式恒成立；（3）令 ，研究 与 的单调变化，并对 构造使函数值下降的两个自变量，从而得到 的范围． 【详解】（1）因为 有意义，所以 ． 又因为 为整数，所以 ，即 ． 因为 ，所以 ． 故 的定义域为 （2）必要性：由（1）知 ． 此时所以 若 恒成立，则从而 解得 结合 ，得 充分性：当 时，对任意 ，有 令 则 因为 ，所以 ； 又 ，故 ． 所以 在 上单调递增，从而 于是 又因为 ，所以 ，从而 ． 因此 故 的取值范围为. （3）令 在定义域 上， 随 的增大而不减，因此 也随 的增大而不减． 下面研究 ． 先证明当 时， 在 上具有不减性质． 因为且 随 的增大而增大，所以 随 的增大而增大． 若则对任意 ，均有 ，所以 在 上单调递增，从而 在 上具有不减性质． 若则 ． 此时必有 ． 事实上，若 ，则 ； 又 ，所以 ，从而 ，矛盾． 因此 又由 可得 故 在 上单调递减，在 上单调递增． 因为 ，所以 于是当 时，从而 当 时， 单调递增，所以 也具有不减性质． 因此 在整个定义域 上具有不减性质． 由此，当 时， 与 都具有不减性质，所以 在 上具有不减性质． 下面证明 时不满足题意． 当 时，对 ，有所以 在该区间上单调递减． 又而 因此存在 ，使得 取 且充分接近 ，使得并且 于是而 这与 且 在 上具有不减性质矛盾． 所以 不合题意． 综上， 的取值范围为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $