第02讲 函数的性质讲义-2027届高三数学一轮复习

高中数学·一轮复习讲义系列 第02讲 函数的性质（复习讲义）（解析版） 2026-2027学年高三一轮复习数学 6 大题型 · 30 题 · 10 道典例 · 8 道变式 · 12 道分层 目　录 01　考情解码·命题预警 2 02　知识梳理 3 03　题型精讲 5 题型一　单调性判断与证明（基础） 5 题型二　由单调性求参数与解不等式（重点） 7 题型三　奇偶性判断与求值求参（重点） 8 题型四　周期性（常考） 11 题型五　对称性（常考） 13 题型六　最值与恒成立（难点） 15 04　易错核对 17 05　分层练习 18 使用说明 • 本讲义共 30 题：03 题型精讲 18 题（10 道典例 + 8 道变式），05 分层练习 12 题（A、B、C 各 4 题）；03 与 05 不重复。 • 题号为全讲统一编号，03 内按题型顺序排列；同一题型内先典例后变式，题号可能不连续。 • 原卷版用于课堂演练与限时训练，解析版逐题给出答案、分析与详解；解答题先独立书写，再对照解析。 • 建议顺序：02 知识梳理 → 03 题型精讲（先典例、后变式）→ 04 易错核对 → 05 分层练习。 01　考情解码·命题预警 本讲复习定位：以函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性四条性质为主线，以最值与恒成立为落点。选填题重在“性质转化”：把抽象关系化为单调性、奇偶性或周期，再用定义域与端点开闭定答案；解答题重在“写全步骤”：定义法证明要写取值、作差、变形、定号、结论，求参与恒成立要写清分类依据和等号条件。 考查要求 方法与条件 对应题号 理解单调性定义，会用定义证明 取值、作差、变形、定号、结论；分段函数分段判断 第01、02、03题 会由单调性求参数、解不等式 二次函数对称轴位置、分段点衔接、定义域限制 第04、05、06、22、24题 理解奇偶性，会判断与求参 定义域关于原点对称、、 第07、08、09、19、20、23、26题 理解周期性，会求值与求和 、化到已知区间、整周期求和 第10、11、12、21、25、28题 理解对称性，会求对称轴与对称中心 、 第13、14、15、29、30题 掌握最值与恒成立 闭区间最值分类、恒成立与存在、分离参数 第16、17、18、27题 命题预警 • 单调性定义中的“任意 ”不能换成“存在”；单调区间要分开写，不能用并集连接。 • 由单调性求参数时，二次函数对称轴与区间端点可以取等号；分段函数还要检查分段点处左右函数值是否“接得上”。 • 判断奇偶性先看定义域是否关于原点对称；奇函数在 处有定义时 ，但这只是必要条件，求出参数要回代。 • 的周期是 不是 ；两条对称轴得周期 ，一轴一中心得周期 。 • 恒成立用最小值（或最大值），存在性方向相反；开区间上的最值要说明端点取不到。 复习建议：先过单调性定义与定义法证明，再练由单调性求参数、解不等式；随后把奇偶性、周期性、对称性放在一起，记清“奇偶看定义域、周期看 、对称看自变量和与函数值和”；最后集中突破二次函数闭区间最值、恒成立与存在性转化。每道题先写定义域，再判断端点能否取到。 02　知识梳理 按“单调性—由单调性求参数与解不等式—奇偶性—周期性—对称性—最值与恒成立”六块整理，公式后注明使用条件；带“•”的条目是 03 题型直接调用的结论。 一、单调性 • 设函数 的定义域为 ，区间 。若 ，当 时都有 ，则称 在 上单调递增；若都有 ，则称在 上单调递减。 • 单调性是对区间而言的，区间 叫单调区间；一个函数在不同区间上可以有不同的单调性，单调区间之间不能用并集连接。 • 定义法证明的五个环节：取值、作差、变形、定号、结论。作差后通常化为因式之积或商，再用已知范围判断每个因式的符号。 • 常见结论：（ 增， 减）；（ 时在 减、在 增）；（）在 减、在 增。 • 复合函数 的单调性遵循“同增异减”：内外层单调性相同则增，相反则减；前提是 的取值落在 的相应单调区间内。 • 分段函数在 上单调：各段同向，且分段点处左段端点值与右段端点值满足整体单调关系（递增时左端不大于右端）。 二、由单调性求参数与解不等式 • 二次函数在区间上单调，关键是比较对称轴与区间端点的位置：开口向上时，在 上递增 ，递减 。 • 含参数的分段函数整体单调，除各段同向外，还要在分段点处“接得上”：递增时左段在分段点的值不大于右段在分段点的值。 • 解抽象不等式：先化成 的形式，再用单调性得到 （递增）或 （递减）；最后与 的定义域限制取交集。 • 奇偶性帮忙变号：奇函数满足 ，偶函数满足 ；偶函数在 上递增时，。 • 含“”“”的题，去 时不等号方向由单调性决定，端点是否可取要回到定义域与原始不等号单独核对。 三、奇偶性 • 设函数 的定义域为 。若 ，都有 ，且 ，则 为偶函数；若 ，则为奇函数。 • 判断步骤：先求定义域并检查是否关于原点对称；再计算 并与 比较；最后下结论。定义域不对称时直接判“既不是奇函数也不是偶函数”。 • 等价写法： 表示奇函数， 表示偶函数；奇函数若在 处有定义，则 。 • 奇偶性与单调性：奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反。 • 分段函数判断奇偶性，要按 落在哪一段代入对应解析式；由奇偶性求参数时，特殊值只能提供必要条件，最后要回代验证恒等式。 四、周期性 • 若存在非零常数 ，使得对定义域内任意 ，都有 在定义域内且 ，则称 为周期函数， 为它的一个周期。 • 常用变形： 或 都可推出 ，即 是周期； 也推出 是周期。 • 求函数值：把自变量减去整数个周期，化到已知解析式的区间；若化到的区间在原点另一侧，再用奇偶性把负自变量化为正自变量。 • 求和：先求一个周期内各函数值之和，再把总项数写成“整周期数 周期长 余项”，余项逐项计算。 • 周期与对称的联系：两条对称轴 、（）得周期 ；两个对称中心得周期 ；一条对称轴与一个对称中心得周期 。 五、对称性 • 轴对称：若对定义域内任意 ，都有 ，则图象关于直线 对称；等价写法是 。 • 中心对称：若对定义域内任意 ，都有 ，则图象关于点 对称；等价写法是 。 • 奇函数图象关于原点 对称，偶函数图象关于 轴（直线 ）对称；这是中心对称、轴对称的特例。 • 求对称轴或对称中心：把等式两边的自变量相加除以 得横坐标；中心对称时再把函数值相加除以 得纵坐标。 • 对称性与周期性可以互相转化：两条对称轴、两个对称中心或一轴一中心，都能推出周期，进而求函数值或求和。 六、最值与恒成立 • 最大值：若存在 ，使 都有 ，且 使 ，则 是最大值；最小值同理，把不等号反向。 • 二次函数在闭区间上的最值：对称轴在区间左侧、内部、右侧三种情况分别求；轴在内部时顶点值参与比较，轴在外部时端点值即为最值。 • 单调函数在闭区间上的最值在端点取得；在开区间上要说明端点取不到，不能把端点值直接当作最值。 • 恒成立与存在：，；，。量词决定用最小值还是最大值。 • 分离参数后， 恒成立 ， 恒成立 ；对勾函数 （）的最值要看 是否落在给定区间内。 03　题型精讲 按解法分 6 个题型。每个题型先给方法条件，再给 1—2 道【典例】完整展示过程，并配 1—2 道【变式】当堂训练；解析版给出答案、分析与详解。 题型一　单调性判断与证明（共3题）　基础 【方法条件】 • 定义法五步：取值（ 且 ）→作差 →变形（因式分解、通分、配方）→定号（用 与区间范围）→结论。 • 作差后优先化成“若干因式的积”： 的差式为 ，符号由 决定。 • 含绝对值或分段函数：先按零点分段去掉绝对值，再在各段上用定义或图象判断；分段点处的函数值要单独交代。 • 抽象函数：先用赋值法求出 、 等特殊值，再把 化成已知符号的 型。 • 概念辨析题逐项判断：举反例否定，用定义证明肯定；注意“任意”与“存在”不能互换，单调区间不能用并集连接。 【典例1】 01．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 讨论函数在区间上的单调性． 【答案】在上为减函数，在上为增函数. 【分析】利用函数单调性的定义证明函数的单调性即可. 【详解】解：且. . ①当时，，又， 即.在上为减函数. ②当时，，又. 即在上为增函数. 综上，在上为减函数，在上为增函数. 【典例2】 02．（单选题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要利用函数单调性的概念逐项判断即可. 【详解】因为在上单调递增，且，所以，； 判断斜率符号：两点连线斜率，所以选项D正确； 排除其他选项： 选项A：，A错误； 选项B：斜率为正，B错误； 选项C：取，则，，两者相等，C错误. 【变式1】 03．（多选题） （2026·江苏南通·模拟预测） 狄利克雷（Dirichlet）是非常重视概念的数学家，提倡以概念代替直觉，他举出了著名的例子：函数，对于该函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．的值域是 C．是增函数 D．， 【答案】AD 【详解】A.若是有理数，则也是有理数，， 若是无理数，则也是无理数，， ∴，即是偶函数，A正确. B.的值域是，B错误. C.取，则，但是 ，即，不满足增函数定义，C错误. D.当时，则，即， 当时，则，， ∴对任意有理数，都有， 即任意有理数都是它的周期，D正确. 题型二　由单调性求参数与解不等式（共3题）　重点 【方法条件】 • 二次函数在区间上单调：开口向上时，在 上递增 对称轴 ，递减 对称轴 ；端点可取等号，别漏。 • 含参数的分段函数在 上单调：各段同向，且左段端点值不大于（递增）或不小于（递减）右段端点值。 • 抽象不等式先化为 ：利用奇偶性把 写成 ，偶函数写成 ，再用单调性去掉 。 • 去 之前先写定义域： 都必须落在 的定义域内，最后与单调性得到的不等式取交集。 • 解集写成区间或集合，注意端点开闭；含“”“”的题要在最后一步单独核对端点。 【典例1】 04．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数在区间上单调递增，且在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质得出，再根据单调性求得，即可求解的范围． 【详解】，对称轴为，在上单调递增，故， 因为在上单调递增()，所以， 要使恒成立，只需，即的取值范围为． 【典例2】 05．（单选题） （2025·河南·模拟预测） 已知是定义在上的奇函数，它的图象是一条连续不断的曲线.若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分析可得为定义在上的偶函数，在上递减，在上递增，由可得即可求解． 【详解】设 因为是定义在上的奇函数，所以. 所以，则是定义在上的偶函数. 若，即， 所以在区间上是减函数. 又是偶函数，所以在区间上是增函数. 不等式，即等价于， 即，所以，解得. 故不等式的解集为. 【变式1】 06．（填空题） （2026·甘肃天水·模拟预测） 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】函数在区间上单调递减， 由函数图象抛物线开口向上，对称轴为直线， 所以有，解得，即实数的取值范围是. 题型三　奇偶性判断与求值求参（共3题）　重点 【方法条件】 • 判断奇偶性先看定义域：定义域必须关于原点对称，否则既不是奇函数也不是偶函数。 • 再算 并与 比较： 为偶函数， 为奇函数；分段函数按 所在区间代入对应解析式。 • 由奇偶性求参数：用 对定义域内任意 恒成立，比较系数；若 在定义域内，奇函数先用 求必要条件，再回代验证。 • 抽象函数用赋值法：令 、 等，先求 ，再证 ；注意赋值必须在定义域内。 • 奇偶性与单调性联合：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反；解不等式时优先把偶函数化为 。 【典例1】 07．（解答题） （25-26高三上·天津西青·阶段检测） 已知函数的定义域为，，，且为偶函数. (1)求的值； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)（i）用定义判断并证明在上的奇偶性； （ii）解不等式. 【答案】(1) (2) 由（1）知，函数，定义域为， 函数在上单调递增，证明如下： 设， ， ∵，∴， ∴，即， ∴函数在上单调递增. (3)（i）是奇函数，证明如下： 函数，定义域为， ∵， ∴是奇函数. （ii） 【分析】（1）利用函数的偶函数的定义求解； （2）利用函数单调性的定义判断并证明即可； （3）（i）用函数奇偶性的定义判断并证明； （ii）利用函数的单调性和奇偶性解不等式. 【详解】（1）因为 ，，且 为偶函数，所以 ，即 ，整理得 对任意 成立，故 。 （2）由（1）知 ，定义域为 。任取 ，则 。因为 ，，所以 ，又分母为正，故 ，即 。所以 在 上单调递增。 （3）（i） 的定义域 关于原点对称，且 ，所以 是奇函数。 （ii）不等式 可化为 。由 在 上单调递增，得 ，，且 。解得 ，，，取交集得 。故不等式的解集为 。 【典例2】 08．（单选题） （2026·湖南衡阳·模拟预测） 已知函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解即可． 【详解】由奇函数的定义域为，得，解得． 当时，0，则， 又时，，所以，所以． 【变式1】 09．（填空题） （2026·四川遂宁·一模） 已知函数，若函数为偶函数，则________． 【答案】 【分析】令，通过已知条件得出为奇函数，再根据即可求出. 【详解】令， 因为函数为偶函数，且为三次函数， 为奇函数，即， ， 即， 即， ，解得，. 题型四　周期性（共3题）　常考 【方法条件】 • 证明周期：对定义域内任意 ，由已知关系推出 （），即得 为周期。 • 常用变形：；；。 • 求值：把自变量减去整数个周期，化到已知解析式的区间；再结合奇偶性把负自变量化为正自变量。 • 求和：先算一个周期内的函数值之和，再用“总项数 整周期数 周期长 余项”处理余项，余项逐项算。 • 周期与对称：两条对称轴 、 得周期 ；两个对称中心得周期 ；一轴一中心得周期 。 【典例】 10．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数是定义在上的奇函数，且它的图象关于直线对称． (1)求证：是周期为4的周期函数； (2)若，求时，函数的解析式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用函数对称以及奇函数的性质证明. (2)通过函数的周期性以及奇函数性质求解. 【详解】（1）证：因为关于直线对称，所以，进而. 因为是定义在上的奇函数，，所以. 因此. 即是周期为4的周期函数. （2）由函数是定义在上的奇函数，有． 当时，，，符合式子， 故时，． 时，，． 从而，时，函数. 【变式1】 11．（单选题） （2026·河北唐山·模拟预测） 设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为偶函数，所以. 又因为函数周期，因此， ，且， 则 因此. 【变式2】 12．（单选题） （2026·山东聊城·三模） 已知函数，的定义域均为R，且，，若是偶函数，且，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】联立两个函数关系式消去，推导得出的对称轴，结合偶函数性质推出函数周期，利用周期性和对称性求出，再代入关系式求出，最终计算目标值. 【详解】由得. 又因，则有， 即，故函数的图象关于直线对称. 又是偶函数，其图象关于直线对称. 故的一个周期为. 由得. 在中令，得. 由得. 因此. 题型五　对称性（共3题）　常考 【方法条件】 • 轴对称：（或 ） 图象关于直线 对称。 • 中心对称：（或 ） 图象关于点 对称。 • 求对称轴/中心：横坐标取自变量和的一半，纵坐标取函数值和的一半；含常数项时先把常数移到等式右边。 • 由平移看对称：若 ，则 的对称中心/对称轴由 的对应量平移得到。 • 对称性推周期：两条对称轴、两个对称中心或一轴一中心，按“距离的 2 倍或 4 倍”得周期，再用周期求值。 【典例】 13．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数满足下列关系式，请分别写出其图象的对称轴方程或对称中心坐标 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对称轴的求法，结合条件，即可得答案. （2）根据对称中心的求法，结合条件，即可得答案. （3）根据对称中心的求法，结合条件，即可得答案. 【详解】（1）因为，所以函数图象关于直线对称，即对称轴. （2）因为，所以对称中心横坐标，对称中心纵坐标为， 所以对称中心为. （3）因为，所以， 所以对称中心横坐标，对称中心纵坐标， 所以对称中心为. 【变式1】 14．（单选题） （2026·山东聊城·模拟预测） 已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，， 则， 则的图象的对称中心是 【变式2】 15．（填空题） （2026·江苏·模拟预测） 函数的对称中心坐标为______． 【答案】 【分析】根据的奇偶性求解. 【详解】由，解得 ， 所以的定义域为 ，关于原点对称， 又， 所以是奇函数，所以函数的对称中心的坐标为， 故答案为： 题型六　最值与恒成立（共3题）　难点 【方法条件】 • 二次函数在闭区间上的最值：先看对称轴是否落在区间内；轴在区间左侧、内部、右侧三种情况分别讨论，动区间题按“轴动区间定”或“轴定区间动”分类。 • 单调函数在闭区间上最值在端点取得；开区间上要说明端点取不到，不能直接代端点。 • 恒成立：，；。 • 存在性：，；。量词不同，转化方向相反。 • 分离参数： 恒成立 ；分离时若除以含 的式子，先确定其符号。 【典例1】 16．（解答题） （26-27高三·全国·一轮复习） ，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意可得，结合恒成立问题分析可得，求解即可． 【详解】由，可得， 因为在上单调递减，所以当时，， 若，恒成立，则，解得， 所以m的取值范围为． 【典例2】 17．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数，且的解集为． (1)求的解析式； (2)求在区间 上的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得为方程的两根，再利用根与系数的关系可求出的值，从而可求得的解析式； （2）分，和三种情况，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为的解集为，所以为方程的两根， 所以，解得， 所以； （2）由于的对称轴为， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在区间上单调递增， 此时； 当时，即时， 在区间上单调递减，在上单调递增， 所以； 当，即时，在区间上单调递减， 所以， 综上所述：. 【变式1】 18．（单选题） （25-26高三上·甘肃白银·阶段检测） 已知函数，则在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．最大值为1，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【答案】B 【分析】令，结合对勾函数的性质求出外层函数的最值即可. 【详解】函数， 令，则， 由对勾函数的性质得，函数在上单调递增， 故当，即时，，当，即时，． 故选：B． 04　易错核对 以下 8 条来自本讲题目的常见失分点，每条给出典型表现、纠正方法和对应题号；做题时先对照，再回看原题。 序号 易错点 典型表现与纠正 对应题 易错一 单调区间写成并集，或忽略“任意” 把在 上减、在 上增写成“在 上先减后增”或“单调区间为 ”。纠正：单调性是对区间而言的，分段写；定义中的“任意 ”不能换成“存在”。 第01、02、03题 易错二 由单调性求参漏掉端点等号或区间有效性 二次函数在 上递增，只写“对称轴 ”而漏掉“”也成立；在 上递增却漏掉 ；分段函数只保证各段同向，漏检分段点衔接。纠正：端点单独代入检验，先确认区间有效，再比较分段点左右函数值。 第04、06、22题 易错三 奇偶性判断不看定义域 拿到函数直接算 ，没有先检查定义域是否关于原点对称；定义域不对称时仍判为奇/偶。纠正：判断奇偶性第一步永远是求定义域。 第07、08、09题 易错四 奇函数在 处有定义却漏用 分段奇函数求参数时，只利用 的表达式，忘记 给出的方程；或求出参数后不回代验证。纠正：先看 是否在定义域内，用 求必要条件，再回代。 第08、10、23题 易错五 把 的周期当成 由 只写“周期为 ”；或把“”误判为周期 。纠正：再代一次得 ，周期是 ； 的周期是 。 第10、25题 易错六 对称轴、对称中心的坐标算错 把 的对称轴写成 ；中心对称时纵坐标漏掉“函数值和的一半”。纠正：横坐标取自变量和的一半，纵坐标取函数值和的一半。 第13、14、15题 易错七 用单调性解不等式时漏定义域或忘变号 把 直接化为 ，既没有用奇函数把 变成 ，也没有写 、 都在定义域内；分段函数解不等式忘记先判断单调性。纠正：先变号、再单调、最后与定义域取交集。 第07、22、23、24题 易错八 恒成立与存在混用，端点取不到仍代端点 把“，”当成“”；开区间上求最值直接代端点；分离参数时没有判断除式的符号。纠正：恒成立用最小值（或最大值），存在性方向相反；开区间说明端点取不到。 第16、17、26、27题 05　分层练习 另选 12 题，按 A 基础、B 提升、C 综合三层编排；与 03 的典例、变式均不重复，解析版给出答案与详解。 A　基础达标（4题，建议用时约 20 分钟） 19．（单选题） （2026·湖南株洲·模拟预测） 已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据幂函数运算规则可得, 易知，因此A正确，B错误； 则，可得C错误，D错误. 20．（填空题） （2025·辽宁铁岭·模拟预测） 设是奇函数，且，则______． 【答案】 【详解】因为是奇函数，且， 所以，即. 21．（填空题） （2026·安徽安庆·模拟预测） 设是周期为4的奇函数，当时，，则______． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性及周期性求解即可. 【详解】因为是周期为4的奇函数，所以， 又当时，，所以. 所以. 22．（填空题） （25-26高三上·全国·期中） 已知函数则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】先判断的单调性，然后化简不等式，从而求得不等式的解集. 【详解】当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且时，， 所以在上单调递增， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为： B　能力提升（4题，建议用时约 25 分钟） 23．（解答题） （25-26高三上·安徽淮北·阶段检测） 已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 【答案】(1)， (2)定义域内单调递减，证明：对，且，. 其中，，. 因此，，即对且，有. 所以函数在定义域内单调递减. (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质及列方程求，，进而求出解析式；（2）利用单调性定义判断函数的单调性；（3）在定义域的区间内，利用奇函数的性质将不等式进行变形，再利用函数的单调性求解. 【详解】（1）因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，即 ，故 。又 ，所以 ，即 。故 ，。 （2）任取 ，则 。因为 ，，所以 ，又分母为正，故 ，即 。所以 在 上单调递减。 （3）由 、 有意义，得 ，，解得 。此时 ，也在 的定义域内。因为 是奇函数，所以 。原不等式化为 。又 在 上单调递减，所以 ，解得 。综上，，即不等式的解集为 。 24．（单选题） （2026·陕西榆林·模拟预测） 定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 25．（多选题） （2026·贵州遵义·模拟预测） 设函数是定义在上的奇函数，且，则（    ） A． B．的周期为4 C． D．是偶函数 【答案】AD 【分析】根据奇函数的性质可判断A，根据赋值法结合周期性的定义可判断B，举反例可判断C；根据赋值法结合偶函数的定义可判断D. 【详解】选项A： 因为是定义在上的奇函数，根据奇函数性质：对任意定义域内的都有， 令，可得，即，因此，A正确； 选项B： 由题设条件，将替换为可得：， 因此的周期是8，不是4，B错误； 选项C： 在条件中令，得；结合奇函数性质， 代入后仅能得到恒等式，无法推出， 例如符合题设的函数，满足上是奇函数、， 但，因此不一定为0，C错误； 选项D： 令，则；由变形得， 结合奇函数性质，可得，即， 所以是偶函数，即是偶函数，D正确. 26．（解答题） （25-26高三上·四川广元·阶段检测） 已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若函数，且恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的定义可求答案； （2）利用定义法判断的单调性，根据单调性求出在的最小值即得答案. 【详解】（1）由是偶函数得， 即，解得． （2）由（1）得，则， 因为恒成立， 即． 当时，， 因为，所以， 则，则， 因此，即， 故函数在区间上单调递增， 则， 则原不等式等价于，解得， 故的取值范围是． C　综合拓展（4题，建议用时约 30 分钟） 27．（解答题） （25-26高三上·北京顺义·阶段检测） 已知，且的解集为. (1)求t，m的值； (2)若在上恒成立，求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）问题化为的两个根为，且，应用根与系数关系求参数值； （2）问题化为在上恒成立，结合对勾函数的性质求右侧最小值，即可得. 【详解】（1）由题设方程的两个根为，且，则，可得； （2）由（1）及题设知在上恒成立， 根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增， 所以在上，， 故，即的最大值为. 28．（单选题） （2026·甘肃兰州·模拟预测） 已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由及可得，进而可得的一个对称中心，再由是轴对称可知函数是周期函数，从而根据周期及对称可得所求值. 【详解】因为．所以， 又因为，所以， 即，所以的图象关于点对称，且． 又因为的图象关于直线对称，所以，且 所以，则， 所以，所以是函数的一个周期． 所以 ． 又因为，所以． 所以，所以. 29．（多选题） （2026·安徽·模拟预测） 已知定义域为R的函数的图象关于直线对称，且对任意的，恒有．若，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期为3 B．直线为的图象的一条对称轴 C． D． 【答案】BCD 【分析】由题设易得，即可判断A；由直线是对称轴可得，进而得到，即可判断B；先根据周期性可得，再利用赋值法求解判断C；由易得，再求出，进而求解判断D. 【详解】依题意，，则， 即，故的周期，故A错误； 已知直线是对称轴，则， 而，则， 故为的图象的一条对称轴，故B正确； 由，则， 令，可得，则， 由，令，可得，故C正确； 由 ， 所以， 已知，而，则， 则 ，故D正确． 30．（填空题） （2026·湖南长沙·三模） 已知函数的定义域为R，的图象关于点对称， ，且的图象关于点对称，则______. 【答案】99 【分析】先利用函数的对称性找到等式关系，再用赋值法得到，从而求出. 【详解】因为 关于点 对称，所以, 即， 因为 关于点 对称，所以, 因为 ，所以 即， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 因此， 在，令，得， 因此. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·一轮复习讲义系列 第02讲 函数的性质（复习讲义）（原卷版） 2026-2027学年高三一轮复习数学 6 大题型 · 30 题 · 10 道典例 · 8 道变式 · 12 道分层 目　录 01　考情解码·命题预警 2 02　知识梳理 3 03　题型精讲 5 题型一　单调性判断与证明（基础） 5 题型二　由单调性求参数与解不等式（重点） 6 题型三　奇偶性判断与求值求参（重点） 7 题型四　周期性（常考） 9 题型五　对称性（常考） 10 题型六　最值与恒成立（难点） 11 04　易错核对 13 05　分层练习 14 使用说明 • 本讲义共 30 题：03 题型精讲 18 题（10 道典例 + 8 道变式），05 分层练习 12 题（A、B、C 各 4 题）；03 与 05 不重复。 • 题号为全讲统一编号，03 内按题型顺序排列；同一题型内先典例后变式，题号可能不连续。 • 原卷版用于课堂演练与限时训练，解析版逐题给出答案、分析与详解；解答题先独立书写，再对照解析。 • 建议顺序：02 知识梳理 → 03 题型精讲（先典例、后变式）→ 04 易错核对 → 05 分层练习。 01　考情解码·命题预警 本讲复习定位：以函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性四条性质为主线，以最值与恒成立为落点。选填题重在“性质转化”：把抽象关系化为单调性、奇偶性或周期，再用定义域与端点开闭定答案；解答题重在“写全步骤”：定义法证明要写取值、作差、变形、定号、结论，求参与恒成立要写清分类依据和等号条件。 考查要求 方法与条件 对应题号 理解单调性定义，会用定义证明 取值、作差、变形、定号、结论；分段函数分段判断 第01、02、03题 会由单调性求参数、解不等式 二次函数对称轴位置、分段点衔接、定义域限制 第04、05、06、22、24题 理解奇偶性，会判断与求参 定义域关于原点对称、、 第07、08、09、19、20、23、26题 理解周期性，会求值与求和 、化到已知区间、整周期求和 第10、11、12、21、25、28题 理解对称性，会求对称轴与对称中心 、 第13、14、15、29、30题 掌握最值与恒成立 闭区间最值分类、恒成立与存在、分离参数 第16、17、18、27题 命题预警 • 单调性定义中的“任意 ”不能换成“存在”；单调区间要分开写，不能用并集连接。 • 由单调性求参数时，二次函数对称轴与区间端点可以取等号；分段函数还要检查分段点处左右函数值是否“接得上”。 • 判断奇偶性先看定义域是否关于原点对称；奇函数在 处有定义时 ，但这只是必要条件，求出参数要回代。 • 的周期是 不是 ；两条对称轴得周期 ，一轴一中心得周期 。 • 恒成立用最小值（或最大值），存在性方向相反；开区间上的最值要说明端点取不到。 复习建议：先过单调性定义与定义法证明，再练由单调性求参数、解不等式；随后把奇偶性、周期性、对称性放在一起，记清“奇偶看定义域、周期看 、对称看自变量和与函数值和”；最后集中突破二次函数闭区间最值、恒成立与存在性转化。每道题先写定义域，再判断端点能否取到。 02　知识梳理 按“单调性—由单调性求参数与解不等式—奇偶性—周期性—对称性—最值与恒成立”六块整理，公式后注明使用条件；带“•”的条目是 03 题型直接调用的结论。 一、单调性 • 设函数 的定义域为 ，区间 。若 ，当 时都有 ，则称 在 上单调递增；若都有 ，则称在 上单调递减。 • 单调性是对区间而言的，区间 叫单调区间；一个函数在不同区间上可以有不同的单调性，单调区间之间不能用并集连接。 • 定义法证明的五个环节：取值、作差、变形、定号、结论。作差后通常化为因式之积或商，再用已知范围判断每个因式的符号。 • 常见结论：（ 增， 减）；（ 时在 减、在 增）；（）在 减、在 增。 • 复合函数 的单调性遵循“同增异减”：内外层单调性相同则增，相反则减；前提是 的取值落在 的相应单调区间内。 • 分段函数在 上单调：各段同向，且分段点处左段端点值与右段端点值满足整体单调关系（递增时左端不大于右端）。 二、由单调性求参数与解不等式 • 二次函数在区间上单调，关键是比较对称轴与区间端点的位置：开口向上时，在 上递增 ，递减 。 • 含参数的分段函数整体单调，除各段同向外，还要在分段点处“接得上”：递增时左段在分段点的值不大于右段在分段点的值。 • 解抽象不等式：先化成 的形式，再用单调性得到 （递增）或 （递减）；最后与 的定义域限制取交集。 • 奇偶性帮忙变号：奇函数满足 ，偶函数满足 ；偶函数在 上递增时，。 • 含“”“”的题，去 时不等号方向由单调性决定，端点是否可取要回到定义域与原始不等号单独核对。 三、奇偶性 • 设函数 的定义域为 。若 ，都有 ，且 ，则 为偶函数；若 ，则为奇函数。 • 判断步骤：先求定义域并检查是否关于原点对称；再计算 并与 比较；最后下结论。定义域不对称时直接判“既不是奇函数也不是偶函数”。 • 等价写法： 表示奇函数， 表示偶函数；奇函数若在 处有定义，则 。 • 奇偶性与单调性：奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反。 • 分段函数判断奇偶性，要按 落在哪一段代入对应解析式；由奇偶性求参数时，特殊值只能提供必要条件，最后要回代验证恒等式。 四、周期性 • 若存在非零常数 ，使得对定义域内任意 ，都有 在定义域内且 ，则称 为周期函数， 为它的一个周期。 • 常用变形： 或 都可推出 ，即 是周期； 也推出 是周期。 • 求函数值：把自变量减去整数个周期，化到已知解析式的区间；若化到的区间在原点另一侧，再用奇偶性把负自变量化为正自变量。 • 求和：先求一个周期内各函数值之和，再把总项数写成“整周期数 周期长 余项”，余项逐项计算。 • 周期与对称的联系：两条对称轴 、（）得周期 ；两个对称中心得周期 ；一条对称轴与一个对称中心得周期 。 五、对称性 • 轴对称：若对定义域内任意 ，都有 ，则图象关于直线 对称；等价写法是 。 • 中心对称：若对定义域内任意 ，都有 ，则图象关于点 对称；等价写法是 。 • 奇函数图象关于原点 对称，偶函数图象关于 轴（直线 ）对称；这是中心对称、轴对称的特例。 • 求对称轴或对称中心：把等式两边的自变量相加除以 得横坐标；中心对称时再把函数值相加除以 得纵坐标。 • 对称性与周期性可以互相转化：两条对称轴、两个对称中心或一轴一中心，都能推出周期，进而求函数值或求和。 六、最值与恒成立 • 最大值：若存在 ，使 都有 ，且 使 ，则 是最大值；最小值同理，把不等号反向。 • 二次函数在闭区间上的最值：对称轴在区间左侧、内部、右侧三种情况分别求；轴在内部时顶点值参与比较，轴在外部时端点值即为最值。 • 单调函数在闭区间上的最值在端点取得；在开区间上要说明端点取不到，不能把端点值直接当作最值。 • 恒成立与存在：，；，。量词决定用最小值还是最大值。 • 分离参数后， 恒成立 ， 恒成立 ；对勾函数 （）的最值要看 是否落在给定区间内。 03　题型精讲 按解法分 6 个题型。每个题型先给方法条件，再给 1—2 道【典例】完整展示过程，并配 1—2 道【变式】当堂训练；解析版给出答案、分析与详解。 题型一　单调性判断与证明（共3题）　基础 【方法条件】 • 定义法五步：取值（ 且 ）→作差 →变形（因式分解、通分、配方）→定号（用 与区间范围）→结论。 • 作差后优先化成“若干因式的积”： 的差式为 ，符号由 决定。 • 含绝对值或分段函数：先按零点分段去掉绝对值，再在各段上用定义或图象判断；分段点处的函数值要单独交代。 • 抽象函数：先用赋值法求出 、 等特殊值，再把 化成已知符号的 型。 • 概念辨析题逐项判断：举反例否定，用定义证明肯定；注意“任意”与“存在”不能互换，单调区间不能用并集连接。 【典例1】 01．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 讨论函数在区间上的单调性． 【典例2】 02．（单选题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】 03．（多选题） （2026·江苏南通·模拟预测） 狄利克雷（Dirichlet）是非常重视概念的数学家，提倡以概念代替直觉，他举出了著名的例子：函数，对于该函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．的值域是 C．是增函数 D．， 题型二　由单调性求参数与解不等式（共3题）　重点 【方法条件】 • 二次函数在区间上单调：开口向上时，在 上递增 对称轴 ，递减 对称轴 ；端点可取等号，别漏。 • 含参数的分段函数在 上单调：各段同向，且左段端点值不大于（递增）或不小于（递减）右段端点值。 • 抽象不等式先化为 ：利用奇偶性把 写成 ，偶函数写成 ，再用单调性去掉 。 • 去 之前先写定义域： 都必须落在 的定义域内，最后与单调性得到的不等式取交集。 • 解集写成区间或集合，注意端点开闭；含“”“”的题要在最后一步单独核对端点。 【典例1】 04．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数在区间上单调递增，且在上恒成立，求实数的取值范围． 【典例2】 05．（单选题） （2025·河南·模拟预测） 已知是定义在上的奇函数，它的图象是一条连续不断的曲线.若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】 06．（填空题） （2026·甘肃天水·模拟预测） 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是________． 题型三　奇偶性判断与求值求参（共3题）　重点 【方法条件】 • 判断奇偶性先看定义域：定义域必须关于原点对称，否则既不是奇函数也不是偶函数。 • 再算 并与 比较： 为偶函数， 为奇函数；分段函数按 所在区间代入对应解析式。 • 由奇偶性求参数：用 对定义域内任意 恒成立，比较系数；若 在定义域内，奇函数先用 求必要条件，再回代验证。 • 抽象函数用赋值法：令 、 等，先求 ，再证 ；注意赋值必须在定义域内。 • 奇偶性与单调性联合：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反；解不等式时优先把偶函数化为 。 【典例1】 07．（解答题） （25-26高三上·天津西青·阶段检测） 已知函数的定义域为，，，且为偶函数. (1)求的值； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)（i）用定义判断并证明在上的奇偶性； （ii）解不等式. 【典例2】 08．（单选题） （2026·湖南衡阳·模拟预测） 已知函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】 09．（填空题） （2026·四川遂宁·一模） 已知函数，若函数为偶函数，则________． 题型四　周期性（共3题）　常考 【方法条件】 • 证明周期：对定义域内任意 ，由已知关系推出 （），即得 为周期。 • 常用变形：；；。 • 求值：把自变量减去整数个周期，化到已知解析式的区间；再结合奇偶性把负自变量化为正自变量。 • 求和：先算一个周期内的函数值之和，再用“总项数 整周期数 周期长 余项”处理余项，余项逐项算。 • 周期与对称：两条对称轴 、 得周期 ；两个对称中心得周期 ；一轴一中心得周期 。 【典例】 10．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数是定义在上的奇函数，且它的图象关于直线对称． (1)求证：是周期为4的周期函数； (2)若，求时，函数的解析式． 【变式1】 11．（单选题） （2026·河北唐山·模拟预测） 设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】 12．（单选题） （2026·山东聊城·三模） 已知函数，的定义域均为R，且，，若是偶函数，且，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型五　对称性（共3题）　常考 【方法条件】 • 轴对称：（或 ） 图象关于直线 对称。 • 中心对称：（或 ） 图象关于点 对称。 • 求对称轴/中心：横坐标取自变量和的一半，纵坐标取函数值和的一半；含常数项时先把常数移到等式右边。 • 由平移看对称：若 ，则 的对称中心/对称轴由 的对应量平移得到。 • 对称性推周期：两条对称轴、两个对称中心或一轴一中心，按“距离的 2 倍或 4 倍”得周期，再用周期求值。 【典例】 13．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数满足下列关系式，请分别写出其图象的对称轴方程或对称中心坐标 (1)； (2)； (3)． 【变式1】 14．（单选题） （2026·山东聊城·模拟预测） 已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【变式2】 15．（填空题） （2026·江苏·模拟预测） 函数的对称中心坐标为______． 题型六　最值与恒成立（共3题）　难点 【方法条件】 • 二次函数在闭区间上的最值：先看对称轴是否落在区间内；轴在区间左侧、内部、右侧三种情况分别讨论，动区间题按“轴动区间定”或“轴定区间动”分类。 • 单调函数在闭区间上最值在端点取得；开区间上要说明端点取不到，不能直接代端点。 • 恒成立：，；。 • 存在性：，；。量词不同，转化方向相反。 • 分离参数： 恒成立 ；分离时若除以含 的式子，先确定其符号。 【典例1】 16．（解答题） （26-27高三·全国·一轮复习） ，恒成立，求实数m的取值范围． 【典例2】 17．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数，且的解集为． (1)求的解析式； (2)求在区间 上的最小值． 【变式1】 18．（单选题） （25-26高三上·甘肃白银·阶段检测） 已知函数，则在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．最大值为1，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 04　易错核对 以下 8 条来自本讲题目的常见失分点，每条给出典型表现、纠正方法和对应题号；做题时先对照，再回看原题。 序号 易错点 典型表现与纠正 对应题 易错一 单调区间写成并集，或忽略“任意” 把在 上减、在 上增写成“在 上先减后增”或“单调区间为 ”。纠正：单调性是对区间而言的，分段写；定义中的“任意 ”不能换成“存在”。 第01、02、03题 易错二 由单调性求参漏掉端点等号或区间有效性 二次函数在 上递增，只写“对称轴 ”而漏掉“”也成立；在 上递增却漏掉 ；分段函数只保证各段同向，漏检分段点衔接。纠正：端点单独代入检验，先确认区间有效，再比较分段点左右函数值。 第04、06、22题 易错三 奇偶性判断不看定义域 拿到函数直接算 ，没有先检查定义域是否关于原点对称；定义域不对称时仍判为奇/偶。纠正：判断奇偶性第一步永远是求定义域。 第07、08、09题 易错四 奇函数在 处有定义却漏用 分段奇函数求参数时，只利用 的表达式，忘记 给出的方程；或求出参数后不回代验证。纠正：先看 是否在定义域内，用 求必要条件，再回代。 第08、10、23题 易错五 把 的周期当成 由 只写“周期为 ”；或把“”误判为周期 。纠正：再代一次得 ，周期是 ； 的周期是 。 第10、25题 易错六 对称轴、对称中心的坐标算错 把 的对称轴写成 ；中心对称时纵坐标漏掉“函数值和的一半”。纠正：横坐标取自变量和的一半，纵坐标取函数值和的一半。 第13、14、15题 易错七 用单调性解不等式时漏定义域或忘变号 把 直接化为 ，既没有用奇函数把 变成 ，也没有写 、 都在定义域内；分段函数解不等式忘记先判断单调性。纠正：先变号、再单调、最后与定义域取交集。 第07、22、23、24题 易错八 恒成立与存在混用，端点取不到仍代端点 把“，”当成“”；开区间上求最值直接代端点；分离参数时没有判断除式的符号。纠正：恒成立用最小值（或最大值），存在性方向相反；开区间说明端点取不到。 第16、17、26、27题 05　分层练习 另选 12 题，按 A 基础、B 提升、C 综合三层编排；与 03 的典例、变式均不重复，解析版给出答案与详解。 A　基础达标（4题，建议用时约 20 分钟） 19．（单选题） （2026·湖南株洲·模拟预测） 已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 20．（填空题） （2025·辽宁铁岭·模拟预测） 设是奇函数，且，则______． 21．（填空题） （2026·安徽安庆·模拟预测） 设是周期为4的奇函数，当时，，则______． 22．（填空题） （25-26高三上·全国·期中） 已知函数则不等式的解集为__________. B　能力提升（4题，建议用时约 25 分钟） 23．（解答题） （25-26高三上·安徽淮北·阶段检测） 已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 24．（单选题） （2026·陕西榆林·模拟预测） 定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 25．（多选题） （2026·贵州遵义·模拟预测） 设函数是定义在上的奇函数，且，则（    ） A． B．的周期为4 C． D．是偶函数 26．（解答题） （25-26高三上·四川广元·阶段检测） 已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若函数，且恒成立，求的取值范围． C　综合拓展（4题，建议用时约 30 分钟） 27．（解答题） （25-26高三上·北京顺义·阶段检测） 已知，且的解集为. (1)求t，m的值； (2)若在上恒成立，求的最大值. 28．（单选题） （2026·甘肃兰州·模拟预测） 已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 29．（多选题） （2026·安徽·模拟预测） 已知定义域为R的函数的图象关于直线对称，且对任意的，恒有．若，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期为3 B．直线为的图象的一条对称轴 C． D． 30．（填空题） （2026·湖南长沙·三模） 已知函数的定义域为R，的图象关于点对称， ，且的图象关于点对称，则______. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $