第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 单调性 知识点2 最大（小）值 知识点3 奇偶性 知识点4 周期性 知识点5 对称性 题型破译 (含超链接） 题型1 函数的单调性及单调区间 题型2 复合函数的单调性 【方法技巧】求函数的单调区间的方法 题型3 比较大小 题型4 利用单调性解函数不等式 【方法技巧】利用单调性解不等式注意四点 题型5 利用单调性求参数的取值范围 题型6 利用函数单调性求最值（值域） 【方法技巧】一些重要函数的单调性 题型7 函数奇偶性的判断 题型8 根据奇偶性求解析式或函数值 【方法技巧】判断奇偶性的两个必备条件 题型9 利用奇偶性求值或求参数 题型10 利用奇偶性和单调性解不等式 题型11 函数的周期性 题型12 对称性 【方法技巧】中心对称与轴对称的相关结论 题型13 由函数对称性求函数值或参数 题型14 对称性、周期性的综合 题型15 对称性、单调性的综合 题型16 对称性求函数的解析式 题型17 函数性质的综合应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 函数的单调性及其应用 全国Ⅰ卷T6（5分） 函数的奇偶性及其应用 全国二卷T10（5分） 全国II卷T6（5分） 函数的周期性 全国一卷T5（5分） 函数的对称性 全国II卷T1（6分） 函数性质的综合应用 全国一卷T5（5分） 考情分析 高考中函数的基本性质问题是必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，是高考一轮复习的重点内容。题型以选择题、填空题为主，分值为5-6分，难度中档。 近三年考情显示，函数基本性质命题会侧重单调性与奇偶性、周期性、不等式融合考查，强化含参函数单调性讨论与区间最值求解，注重数形结合思想运用，题型灵活且实用性更强。 1.以选择题或填空题的形式出现，考查具体函数的单调性求参问题. 2.以选择题的形式考查函数奇偶性在函数不等式中的应用问题. 3.多选中考查抽象函数求值与相关性质分析问题 4.由对数函数与幂函数组合的函数图象对称性证明问题 5.根据函数图象的对称性探究参数的取值情况 复习目标 1.会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法 2.理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值 3.能够利用函数的单调性解决有关问题 4.了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 5.了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题 6.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题. 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 单调性 1．函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，[ 当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的 设，， 若有或，则在闭区间上是增函数； 若有或，则在闭区间上是减函数 2．单调区间的定义 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． 必记结论 （1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．简记：“同增异减”． （3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； ✅注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． （2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域． （3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然. 自主检测下列函数中，在区间上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，由于，故在区间上不是单调递增的，A错误， 对于B, 在区间上单调递减，B错误， 对于C,当时，单调递增，且值恒为正，故为单调递减，所以为单调递增，C正确， 对于D，在区间上单调递增，故在区间上单调递减，D错误， 故选：C 知识点2 最大（小）值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 对于任意的，都有； 存在，使得 对于任意的，都有； 存在，使得 结论 为最大值 为最小值 ✅注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 自主检测函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【答案】B 【详解】因为，由反比例函数性质可得在上单调递增， 当时，，当时，. 故选：B. 知识点3 奇偶性 1．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 必记结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反； （2），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括，则． （4）若函数是偶函数，则． （5）掌握一些重要类型的奇偶函数： ①函数为偶函数，函数为奇函数． ②函数（且）为奇函数． ③函数（且）为奇函数． ④函数（且）为奇函数． ✅注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是： 对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 自主检测（1）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项在其定义域内是增函数，C选项在其定义域内为偶函数， D选项在其定义域内为非奇非偶函数，B选项在其定义域内既是奇函数，又是减函数. 故选：B （2）（多选）下列函数是偶函数的有（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】选项A：的定义域为，不关于原点对称， 不是偶函数，故A错误； 选项B：的定义域为，关于原点对称，且，满足偶函数定义， 是偶函数，故B正确； 选项C：的定义域为，关于原点对称，且，满足偶函数定义，是偶函数，故C正确； 选项D：的定义域为，关于原点对称，但，不满足偶函数定义，不是偶函数，故D错误． 故选：． 知识点4 周期性 周期函数 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 必记结论 函数周期性与图象对称性二级结论 周期结论 “周期为1倍差”： “周期为2倍差”：； “周期为4倍差”： 双对称 结论 的图象关于直线与直线对称周期 的图象关于点与点对称周期 的图象关于直线与点对称周期 自主检测（1）已知函数是周期为2的奇函数，且，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题函数是周期为2的奇函数，且， 所以. 故选：A （2）（2026·陕西西安·模拟）已知函数的周期是3，则的周期为（     ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】C 【详解】因为的周期是3， 所以，令，则，所以的周期为6， 故选：C． 知识点5 对称性 1．函数自身的对称性 （1）函数的图像关于点对称的充要条件是： ，即； （2）函数的图像关于直线对称的充要条件是： ，即。 2．不同函数对称性 （1）函数与的图像关于直线成轴对称。 （2）互为反函数的两个函数关于直线对称。 自主检测（多选）（2026·福建泉州·模拟）定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（     ） A． B． C．是图象的一个对称中心 D．为偶函数 【答案】BCD 【详解】A：是定义在上的奇函数，所以，又满足，令，所以，错；B：由，可知，所以，所以，对； C：因为，所以是图象的对称轴， 又为图象的一个对称中心，所以是图象的一个对称中心，对； D：因为，所以，即为偶函数，对. 故选：BCD 题●型●破●译 题型1 函数的单调性及单调区间 例1-1下列函数为增函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在单调递减，故A错误；定义域为，且在上单调递增，故B正确；在上单调递减，故C错误；在上单调递减，故D错误． 故选：B 例1-2下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，函数是奇函数，在上单调递增，A是； 对于B，函数是偶函数，不是奇函数，B不是； 对于C，函数是偶函数，不是奇函数，C不是； 对于D，函数是偶函数，不是奇函数，D不是. 故选：A 例1-3【新思维】（2026·四川内江·模拟）函数的单调减区间是____________. 【答案】 【详解】由 解得， 外层函数是减函数（底数），要求的单调减区间，根据同增异减，等价于求内层函数的单调增区间（同时满足）。 的单调增区间为， 由，可得,解得， 即函数的单调递减区间是. 故答案为：. 例1-4设函数，且. （1）求的值； （2）用定义证明在上单调递增. 【答案】（1） （2）证明见详解 【详解】（1）由题意得，解得. （2）由（1）知，任取，，且，有 因为，所以，，， 所以，即，所以在上单调递增. 方法技巧 求函数的单调区间的方法 1．图象法：如果f(x)是以图象给出的，或者f(x)的图象易作出，可由函数图象直观地写出它的单调区间． 2．复合函数法： （1）求函数的定义域． （2）求简单函数的单调区间． （3）求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”． 【变式训练1-1】下列函数中，在定义域内函数值随的增大而增大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项：可看作是反比例函数向左平移一个单位得到的，在和上都是增函数， 但不能说在整个定义域内随的增大而增大，因为在处函数不连续，不符合条件. 选项：是一次函数，在定义域上是减函数，随的增大而减小，不符合条件. 选项：是反比例函数，在和上都是减函数，不符合条件. 选项：是正比例函数，在定义域上是增函数，随的增大而增大，符合条件. 故选：. 【变式训练1-2】若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是，又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 【变式训练1-3】（2026·湖北荆州·一模）下列函数中，是奇函数且在上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由于在R上单调递减，故在R上单调递减，A错误； 对于B，，由于在上单调递增，故在上单调递增，则在上单调递增，故在上单调递减，B错误； 对于C，由可得，当时，，此时在上单调递减，C错误； 对于D，令，当时，，在上单调递增， 再判断函数的奇偶性：当时，令，当时，，则时，，则；时，， 则；即可知为奇函数，D正确. 故选：D. 【变式训练1-4·变考法】已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2）在上单调递减，证明见解析 【详解】（1）函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域， 因为任意，都有， 又，所以函数是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性，所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． 题型2 复合函数的单调性 例2-1（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数，则的单调递增区间为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，是指数函数，且在上单调递增， 是二次函数，图象开口向下，对称轴为，且在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，的单调递增区间为． 故选：B. 例2-2函数的单调增区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数有意义，则，解得. 令，开口向下，对称轴为. 则函数在上单调递增，在上单调递减. 函数关于是单调递减，根据复合函数"同增异减"，要求原函数的增区间，等价于求内层 的减区间，即. 故选：D. 例2-3若函数在上单调，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，且函数在上单调，根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 例2-4【新角度】已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【详解】由题意，为定义在上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减， 所以，解得，则. 故答案为：. 【变式训练2-1·变载体】（2026·山西太原·模拟）若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据函数 在区间上单调递增，且单调递增， 可得在区间上单调递增，所以. 故选:D. 【变式训练2-2·变载体】函数在上是减函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，对于函数，令，则， 又由且，则为减函数，若函数在上是减函数， 必有，解可得，即的取值范围为. 故选：D. 【变式训练2-3】函数的单调递减区间是____________. 【答案】 【详解】由题得. 设，函数的对称轴为，在单调递增，在单调递减. 所以函数的单调递减区间为. 故答案为： 【变式训练2-4】已知函数则函数的单调增区间为____________. 【答案】 【详解】设，因是上的减函数，而在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的同增异减原则，可得该函数的单调增区间为. 故答案为：. 题型3 比较大小 例3-1（2026·浙江金华·阶段检测）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数， 所以函数在上为减函数，又 ，， 所以，则， 故选：B 例3-2【新思维】（2026·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，定义域为，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，所以， 又，任取，且，则，则， 故在上单调递增，又由对数函数的单调性可得， 所以，即. 故选：D 例3-3【新思维】（2026·江西·二模）已知函数，若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因函数在上单调递减，在上单调递增.故.设在上单调递增且恒为正数，而在上单调递增，由复合函数的单调性可知在上单调递增，所以，即． 故选：C 例3-4【新考法】（2026·陕西咸阳·二模）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】构造，，则，可知在内单调递增，因为，可得，即，所以，又因为，可得，则，所以，综上所述：. 故选：C 【变式训练3-1】（2026·福建厦门·二模）设函数，记，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为,所以函数是偶函数，所以. 当时,,此时有，所以函数在单调递增， 又因为,所以.又因为,所以,由函数的单调性可得即 故选：C. 【变式训练3-2·变载体】已知，则下列不等关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知， ， 即函数图象的对称轴为，且在上单调递增，在上单调递减. . ，. 故选：A. 【变式训练3-3】（2026·湖南湘潭·三模）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则． 令，则，当时，单调递增， 当时，，单调递减，则， 则，即．故． 故选：B. 【变式训练3-4·变载体】设，，，则下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知， 设函数，则，在上，即函数在单调递减，可知，当时，恒成立，所以，即， 设函数，则，在上，即函数在单调递增， 可知，当时，恒成立，所以，即， 综上所述，可知. 故选：D. 题型4 利用单调性解函数不等式 例4-1（2026·安徽芜湖·二模）已知，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上均为增函数，则在上为增函数， 由，得，即，则不等式的解集为. 故选：A. 例4-2（2026·贵州贵阳·二模）已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因对任意，总有，可知在上单调递减， 又因是定义在上的偶函数，故在上单调递增， 故， 两边取平方得，即，解得或， 故不等式的解集为. 故选：A 例4-3【新角度】设函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，且，即为偶函数． 当时，和，和均在上单调递增，所以和均在上单调递增，则在上单调递增，所以不等式等价于，即，解得或． 所以不等式的解集为． 故选:D 方法技巧 利用单调性解不等式注意四点 （1）准确判断函数的单调性． （2）不等式的一边没有”f“而是常数时应将其化为函数值f(x0)的形式． （3）注意利用函数性质(奇偶性、对称性)对函数值进行转化． （4）勿忘定义域对变量的限制． 【变式训练4-1·变载体】已知函数，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为， 且，可知函数为奇函数， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可知函数在定义域内单调递增， 若，则， 可得，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D 【变式训练4-2·变载体】已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】,设，的定义域为R， ，所以为奇函数， 则，又因为在R上均为减函数， 所以在R上为减函数，由可得， 即，所以，解得：或. 故选：D. 【变式训练4-3】（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数，则满足的实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，令，则恒成立， 故在上单调递增，则， 则在上单调递减，则，又当时，， 则有，解得， 故满足的实数的取值范围是. 故选：C 【变式训练4-4·原创题】已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，设函数，， 则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数，在上单调递减，而不等式，又因为，所以， 所以不等式的解集为. 故选：B 题型5 利用单调性求参数的取值范围 例5-1 函数在区间上单调递减，则a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，在区间上单调递减， 所以，即，解得，所以的取值范围是. 故选：C 例5-2（2026·河北承德·模拟预测）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，为单调递增函数，不符合题意， 当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意， 当时，在单调递增，在单调递减， 故在上单调递减，则， 故选：C 例5-3【真题改编】已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，求导得， 在上单调递增； 当时，，函数单调递增，则，当时，，当时，， 则，解得，，即． 方法技巧 一些重要函数的单调性 （1）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； （2）（，）的单调性：在和上单调递增，在和 【变式训练5-1】若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，在上单调递增，满足题意，当时，，满足题意， 当时，，由对勾函数的性质知，若满足题意则，解得． 综上，. 故选：B． 【变式训练5-2】若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【详解】当时，是R上的减函数，符合题意，则； 当时，函数在上单调递减，因此，解得； 当时，函数在上单调递减，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【变式训练5-3·变载体】已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【详解】因为（且）在上单调递减，所以，解得.所以实数的取值范围为. 故答案为： 【变式训练5-4】【新情境】（2026高三·全国·专题练习）形如的函数，我们称之为“对勾函数”，考虑“对勾函数”的单调性，若函数在上单调，则a的取值范围为____________. 【答案】 【详解】易知函数在区间和上单调递减，在和上单调递增，从而当函数在上单调递减时，，则，得， 当函数在上单调递增时，，则，得， 综上，a的取值范围为． 故答案为： 题型6 利用函数的单调性求最值（值域） 例6-1下列函数中，单调递增且值域为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A：函数在上单调递减，在上单调递增，故A不满足函数的单调性； 对B：函数在上单调递增，且函数值域为，故B满足题意； 对C：函数在上单调递增，且函数值域为，故C函数的值域不满足条件； 对D：函数在上单调递增，值域为，故D函数的值域不满足条件. 故选：B 例6-2【新考法】已知函数，则在上的最大值为（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】，令，则，则， 且，则 因，则，则， 又，则，即，则在上单调递增， 则的最大值为. 故选：C 例6-3【新思维】函数的值域为____________. 【答案】 【详解】使用二倍角公式 ，将原函数化为 ， 整理为关于 的二次函数， 令 ，可知 ，因此， 易知该抛物线的对称轴为， 因此函数 在区间 上是单调递减的， 所以函数最大值在 处取得，即 ， 最小值在 处取得，即 ，因此，该函数的值域为 ． 故答案为： 例6-4（25-26高三上·甘肃兰州·期中测试）已知函数， （1）求函数的单调区间； （2）求函数的值域． 【答案】（1）的减区间为，增区间为 （2） 【详解】（1）， 在上单调递增，在上单调递减，又因为在上单调递减， 所以根据复合函数单调性判断法则：的减区间为，增区间为. （2）令，则， 则，即的值域为. 【变式训练6-1】函数的最值为（     ） A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8 C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值 【答案】B 【详解】令，则．又,故在上单调递减，当，即时，函数有最大值8，无最小值. 故选：B． 【变式训练6-2】【新考法】（多选）下列关于函数，下列结论正确的有（     ） A．的定义域为 B．的值域为 C．当时， D．在上是增函数 【答案】ABD 【详解】由， 对于A，的定义域为，A正确； 对于B，的值域为，B正确； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递增， 而，，则时，，C错误； 对于D，由C知知C在上单调递增，D正确． 故选：ABD． 【变式训练6-3】已知函数，下列说法正确的是（     ） A．有最大值也有最小值 B．有最大值无最小值 C．无最大值有最小值 D．无最大值也无最小值 【答案】A 【详解】函数的分母恒成立，定义域为. 根据除法求导法则，， 令，得极值点和.时，，单调递减； 时，，单调递增；时，，单调递减； 则极小值，极大值；且当时，， 因为极小值，极大值，所以函数的最小值为，最大值为. 因此既有最大值，也有最小值. 【变式训练6-4】已知函数. （1）指出的定义域； （2）求的最小值与最大值. 【答案】（1） （2）； 【详解】（1）由题可知，解得，即的定义域为. （2）令，，则， 代入原函数得. 令，由得， 代入得函数化为， ，由得， 因此，即.是开口向上的二次函数，对称轴为，在区间上单调递增，因此最小值，最大值， 因此的最小值为，最大值为. 题型7 函数奇偶性的判断 例7-1判断下列各函数是否具有奇偶性 （1） （2） （3） （4）； （5） （6） 【答案】（1）奇函数 （2）非奇非偶函数 （3）非奇非偶函数 （4）奇函数 （5）即是奇函数也是偶函数 （6）非奇非偶函数 【详解】（1）的定义域为，它关于原点对称．，故为奇函数； （2）的定义域为不关于原点对称，故既不是奇函数也不是偶函数； （3）因为，所以，即函数的定义域为， 不关于原点对称，故既不是奇函数也不是偶函数； （4）由，得，且， 所以的定义域为，关于原点对称， 所以．又， 所以是奇函数； （5）对于函数，因为，所以， 其定义域为，关于原点对称．因为对定义域内的每一个， 都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数； （6）因为，所以，所以的定义域为， 不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数． 故答案为：①奇函数；②非奇非偶函数；③非奇非偶函数；④奇函数；⑤即是奇函数也是偶函数；⑥非奇非偶函数 例7-2【新角度】（多选题）已知函数的定义域为R，，则（     ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】ABD 【详解】A选项，中，令得，，A正确； B选项，中，令得，，解得，B正确； CD选项，中，令得，， 解得，中，令得， ，函数的定义域为R，故为偶函数，C错误，D正确. 故选：ABD 方法技巧 判断函数奇偶性的两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数. (2)判断与是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式((奇函数)或(偶函数))是否成立. 【变式训练7-1】(多选)（2026·河南开封·二模）下列函数是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，函数的定义域为且 ，所以函数是偶函数，故A符合题意；对于B，函数的定义域为， 因为定义域不关于原点对称，所以函数不具有奇偶性，故B不符合题意； 对于C，函数的定义域为且， 所以函数是奇函数，故C不符合题意；对于D，函数的定义域为且，所以函数是偶函数，故D符合题意. 【变式训练7-2·变考法】（2026·山东济宁·阶段检测）设函数，则下列函数中为奇函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则函数的定义域为不关于原点对称， 所以该函数不是奇函数，A错； 令，则函数的定义域为不关于原点对称， 所以该函数不是奇函数，B错； 令，则函数的定义域为关于原点对称， 且，所以该函数是奇函数，C正确； 令，则函数的定义域为关于原点对称， 但，所以该函数不是奇函数，D错. 故选：C 【变式训练7-3·变题型】（多选）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（     ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数 D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数 【答案】ABD 【详解】设， 因为，是定义在上，所以的定义域为， ，所以为偶函数，故A正确； 设，因为是定义在上，所以的定义域为， ，所以为奇函数，故B正确； 设，因为，都是定义在上，所以定义域为， 因为为奇函数，为偶函数，所以， 所以为偶函数，故C错误； 设，因为，都是定义在上，所以定义域为， ， 因为是不恒为0的函数，所以不恒成立，所以不是奇函数， ， 因为是不恒为0的函数，所以不恒成立，所以不是偶函数， 所以是非奇非偶函数，故D正确. 故选:ABD. 【变式训练7-4·变载体】（多选）已知定义在上的函数满足，定义在上的函数满足，则（     ） A．不是奇函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．是奇函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】BC 【详解】令，得，令，得，则， 所以既是奇函数又是偶函数．由，得， 因为，所以是奇函数． 故选：BC 题型8 根据奇偶求解析式或函数值 例8-1（26-27高三上·河南新乡·阶段考试）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 故选：D 例8-2（2026·安徽滁州·二模）已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是奇函数，所以，所以，又因为的周期为 2，所以．当时，，故. 故选：A 例8-3（2026·河北张家口·一模）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由是定义在上的偶函数，得；由是定义在上周期为2的函数，所以，又因为， 所以，故. 故选：A 【变式训练8-1】（2026·山西太原·二模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】是定义在上的奇函数，∴当时，，解得， ∴当时，，. 故选：B 【变式训练8-2】（2026·江西赣州·二模）设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由是偶函数可知，又满足， 则. 故选：B 【变式训练8-3】（2026·山东东营·二模）已知奇函数的周期为2，且当时，，则____________. 【答案】 【详解】由的周期为2，可得， 由是奇函数，可得，再由的周期为2，可得，因为当时，，所以，即. 故答案为： 【变式训练8-4·变题型】定义在上的奇函数有最小正周期为2，且时，． （1）求在上的解析式； （2）取何值时，方程在上有解． 【答案】（1） （2） 【详解】（1）时，，则， 因为为奇函数，则； 因的最小正周期为，则， 又，则，则 （2），且，则 ， 因，则，， 则，即，则在上单调递减，则； 利用奇函数性质可得， 在上也单调递减，且， 画出图象如图所示， 由图象可知，则或或时，与的图象有交点， 即方程在上有解，故． 题型9 利用奇偶性求值或求参数 例9-1（2026·河北·二模）若函数为偶函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的定义域为，由于为偶函数，故， 即，整理可得， 故，则，所以. 故选：D 例9-2（2026·天津河东·二模）已知函数，当函数为奇函数时，则（     ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】由题知，，则定义域为，所以， ，经检验满足题意，又，所以． 故选：A 例9-3已知函数为奇函数，则（     ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 【答案】C 【详解】若，则，所以， 所以，，. 故选：C 【变式训练9-1·变载体】（2026·山西朔州·一模）函数是偶函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是偶函数，所以，所以， 所以，所以，所以，因为，所以，解得. 故选：A 【变式训练9-2·变载体】已知函数为奇函数，则m＝（     ） A．5 B．4 C． D．1 【答案】C 【详解】函数的定义域为，且是奇函数， 则，而不恒为0，因此，所以． 故选：C 【变式训练9-3·变载体】已知为偶函数，则实数（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】易得函数的定义域为，由是偶函数，得恒成立， 可得，故. 故选：C 【变式训练9-4·变考法】已知，，则“”是“是奇函数”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，，定义域为关于原点对称， 且，因此是奇函数； 如果是奇函数，则定义域必须关于原点对称，因此， 所以“”是“是奇函数”的充分必要条件． 故选：C 【变式训练9-5】（2026·山东威海·二模）已知函数为偶函数，则____________. 【答案】1 【详解】因为函数有意义，则． 若，则，此时定义域为，不关于原点对称，不符合偶函数定义，故． 当时，临界点为和，定义域为或． 因为为偶函数，所以定义域关于原点对称，故两个临界点互为相反数，即，解得． 当时，定义域为． 对任意，有.所以． 故答案为：1 题型10 利用奇偶性和单调性解不等式 例10-1（2026·安徽黄山·一模）已知是上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数是上的奇函数，且， 在上单调递减，可得函数的图像关于原点对称，，且在上单调递减，函数的图像如图所示，结合图像可得，不等式的解集为. 故选：A. 例10-2（2026·贵州贵阳·二模）已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因对任意，总有，可知在上单调递减， 又因是定义在上的偶函数，故在上单调递增， 故，两边取平方得，即，解得或，故不等式的解集为. 故选：A. 例10-3【新角度】（2026·河北邢台·二模）已知函数 则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的定义域为，，故为偶函数， 当时，，由于为上的单调递增函数，故 为上的单调递增函数，结合为单调递增函数，故为上的单调递增函数， 由可得，解得. 故选：A. 【变式训练10-1·变载体】已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则函数在上单调递增， 又，所以，即当时，，当或时，， 所以不等式的解集为. 故选：C. 【变式训练10-2·变载体】已知函数，且满足，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以为奇函数，又因为， 所以为上的增函数.因为，为奇函数，所以， 又为上的增函数，所以，即，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 【变式训练10-3·变考法】（2026·贵州贵阳·二模）已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因对任意，总有，可知在上单调递减， 又因是定义在上的偶函数，故在上单调递增， 故， 两边取平方得，即，解得或， 故不等式的解集为. 故选：A. 【变式训练10-4】(多选)（2026·河北邯郸·二模）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（     ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ACD 【详解】A选项，因为为奇函数，且定义域为，所以，代入解得：， 验证：当时，，，即，所以A选项正确；B选项，由A选项解析得：，即， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 则在上单调递增，所以B选项错误；C选项，令，则，，因为，所以，，，则：，的值域为，所以C选项正确；D选项，因为，所以，又因为是奇函数，所以，原不等式变形为：，由B选项解析得：在上单调递增，所以需满足，解得：，所以D选项正确. 故选：ACD 【变式训练10-5】（2026·广东茂名·一模）已知函数，则不等式的解集为____________. 【答案】 【详解】函数，令，解得， 故函数的定义域为，，故函数是奇函数. 而函数在上单调递减，函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减. 不等式 ，所以所求不等式的解集为． 故答案为：． 题型11 函数的周期性 例11-1已知奇函数的周期为8，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的周期为8，所以，又为奇函数，所以，则， 所以.无法确定. 故选：D. 例11-2（2026·湖南怀化·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（     ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为，所以，所以， 即.所以是周期为4的周期函数.所以. 在中，令，则，所以.因此. 故选：D. 例11-3（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，，则（     ） A．5 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由题意得，用代替x，得. 两式相加，得，所以，所以函数是以6为周期的周期函数. 因为，所以，又因为，所以. 又因为，即，解得， 所以. 故选：D. 【变式训练11-1】（2026·广东深圳·一模）设是定义在上的奇函数，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】由于，，则. 故选：A 【变式训练11-2】（25-26高三下·江西·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（     ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】C 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以.又因为， 所以，所以，所以的周期为. 因为时，，所以. 故选：C. 【变式训练11-3·变考法】（多选）（2026·陕西西安·一模）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（     ） A． B． C．是周期为的周期函数 D． 【答案】CD 【详解】由函数是定义域为的奇函数，可知且， 因为，代入 得，整理得， 即知，故是周期为的周期函数，C正确； 选项A，B，，由是周期为的周期函数可知，， 同理，故A，B都错误； 选项D，因为，，，，所以一个周期内，所以，故D正确. 故选：CD. 【变式训练11-4·变载体】已知，．当时，，则____________. 【答案】 【详解】因为，用替换，可得：，故周期为6，因为，故，因为当时，，故；故． 故答案为： 题型12 对称性 例12-1（2026·河北邢台·一模）函数图象的对称中心的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 易知函数的图像可由函数向左平移个单位，再向下平移个单位得到， 由奇函数的图像关于成中心对称，则函数的图像关于成中心对称. 故选：D. 例12-2（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（     ） A． B． C． D．9 【答案】B 【详解】因为两个函数图象关于直线对称，所以是的反函数， 对整理得：，，交换可得反函数：，又因为，所以 ，化简可得：，即，两边取以3为底的对数，则. 故选：B 例12-3（2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（     ） A．99 B．78 C．66 D．52 【答案】A 【详解】因为关于对称，所以，用替换可得①，因为关于对称，所以，又，用替换可得， 用替换可得，两式相加可得， 用替换可得②，由①②可得， 用替换可得，因为， 在中令，得，故， ， 因此. 故选：A. 方法技巧 中心对称与轴对称的相关结论 1.中心对称结论： （1）若函数满足，则的一个对称中心为 （2）若函数满足，则的一个对称中心为 （3）若函数满足，则的一个对称中心为. 2.轴对称性的常用结论如下： （1）若函数满足,则的一条对称轴为 （2）若函数满足,则的一条对称轴为 （3）若函数满足,则的一条对称轴为 （4）f(a－x)= f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x=对称； 【变式训练12-1·变载体】（2026·安徽滁州·二模）已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由为偶函数，得，即关于对称. 由为奇函数，得，令可得.所以，，联立得，，周期为. 选项A：仅知关于对称，无任何条件可推出，值不确定，A错误. 选项B：由为奇函数得，由对称性，未知，故不一定成立，B错误.选项C：由，令，得，即恒成立，C正确.选项D：在中，令，得，由， 所以，故，不一定等于，D错误. 故选：C. 【变式训练12-2·变载体】（2026·福建龙岩·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（     ） A．是偶函数 B．的最小正周期是2 C．关于点中心对称 D．是奇函数 【答案】A 【详解】由，得，周期为2， 但最小正周期不能判定，例如函数满足题设条件，但该函数没有最小正周期，故B错误； 由于周期为2，所以，， 又，得，所以是偶函数，A正确； 由只能推出对称轴为，无中心对称的推导依据，C错误； 令，由是偶函数且， 得，又， 所以，所以为偶函数，D错误. 故选：A. 【变式训练12-3·变考法】已知函数. （1）若为中心对称图形，求a的值以及对称中心坐标； （2）当时，，求a的取值范围. 【答案】（1），对称中心 【详解】（1）由，则，即，得或， 所以函数的定义域为， 所以， 若为中心对称图形，其对称中心的横坐标必为，设对称中心为， 则满足， ， 所以，得， 当时，，因此对称中心的坐标为. 题型13 由函数对称性求函数值或参数 例13-1【新思维】（2026·西藏日喀则·模拟）若曲线关于直线对称，则（     ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】C 【详解】令，由，得或，故函数的定义域为． 由曲线关于直线对称，得定义域关于直线对称，则， 此时必有，即，解得， 此时， 因此函数的图象关于直线对称，即，满足题意，故． 故选：C. 例13-2（2026·山东·二模）已知函数的图象关于点对称，则____________. 【答案】2 【详解】，关于点对称， 由题意可知函数关于点对称，所以解得. 故答案为：2 【变式训练13-1】【新思维】函数的图像与函数的图像关于直线对称，其中（     ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】设点在函数的图像上，则点关于直线的对称点，则，则，则，即与关于直线对称，则，得. 故选：D 【变式训练13-2·变载体】已知曲线关于点中心对称，则（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为关于点中心对称，所以， 所以，可得， 故选：C． 【变式训练13-3·变考法】已知函数对称中心在直线上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得， ，所以， 即，所以函数的对称中心为， 又因为在直线上，所以，所以， 所以， 因为，所以，，根据基本不等式有：， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：C 【变式训练13-4】【新考法】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数的图象关于坐标原点对称，则的值为（     ） A．20 B．50 C．70 D．90 【答案】D 【详解】依题意，可知函数为奇函数，满足. 因， ， 则， 由 ，因不恒为0，故得，即. 故选：D 题型14 对称性、周期性的综合 例14-1（2026·江西·二模）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为为奇函数，所以，令，则，即①；因为为偶函数，所以， 令，则，即， 所以，所以，即②， 所以，所以4是的一个周期． 由① 式，取，可得，即得， 又由② 式，取，可得,故，， 由② 式，取，可得，取，可得， 故， 则. 故选：A 例14-2【新角度】定义在上的函数满足，且，当时，，当时，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，即，可得的图象关于点对称； 由，即，可得的图象关于点对称， ，所以的周期为4． 易知，所以，所以，， 所以在上的值域为． 又的图象关于点对称，所以当时，， 即在一个周期内的值域为，所以的最小值为. 故选：D． 【变式训练14-1·变载体】已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（     ） A．的图象关于y轴对称 B．为的一个周期 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又因为，所以，所以，所以的图象关于y轴对称，故A正确； 又因为，所以，所以，即， 所以，所以，故B正确； 在中，令，得，所以，故C错误； 因为，所以，所以，所以，， 故，故D正确． 故选：C 【变式训练14-2·变考法】（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于，因为为偶函数，所以， 即①，所以，所以关于对称， 则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，， 所以关于对称，由①求导，和， 得， 所以，所以关于对称， 因为其定义域为，所以，结合关于对称， 从而周期，所以，，故B正确，D正确； 若函数满足题设条件，则函数（为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误， 故选：BCD． 【变式训练14-3·变考法】（多选）已知定义在上的函数满足，是偶函数，且对任意的，，当时，都有，则以下判断正确的是（     ） A．若，则 B．函数的最小正周期是4 C．函数在上单调递增 D．直线是图象的对称轴 【答案】ACD 【详解】由，得，所以函数为奇函数， 由是偶函数，得函数关于对称， 则直线是图象的对称轴，故D正确； 且，则， 所以，则， 所以函数的周期为8，故B错误； 对于A，由，若，则，故A正确； 对任意的，，当时，都有， 即，所以在上递减， 结合奇函数知，函数在上递减，即函数上函数递减， 由于函数关于对称， 所以函数在上单调递增，故C正确. 故选：ACD. 题型15 对称性、单调性的综合 例15-1（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，即， ，令，解得：， 当时，，，则在区间单调递增； 当时，，在区间单调递减； ，， 即，关于对称， ，，即， 两边平方得，解得， 则实数的取值范围是. 故选：D 例15-2（2026·吉林·二模）已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由关于直线对称，且在上单调递减，因为，恒成立，所以 ，两边平方展开化简： 即 ，整理得，因为对任意不等式恒成立，故，即，故的取值范围是. 故选：D 【变式训练15-1·变载体】（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，定义域为.易知函数只含项， 因此关于直线对称.当增大时，增大，函数值增大， 所以在上单调递减，在上单调递增.等价于离的距离小于离的距离大小问题，即.两边平方得； 整理得，解得.故的取值范围为. 故选：B 【变式训练15-2】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数是定义在上的偶函数，得，即函数的图象关于直线对称， 由函数在上单调递增，得函数在上单调递减， 且，则当或时，；当时，， 不等式等价于或， 即或，解得或， 所以的解集为. 故选：C 【变式训练15-3】（多选）已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．在上单调递增 【答案】ABD 【详解】∵函数是定义在R上的奇函数，∴且，A选项正确； ∵，，B选项正确；∵，∴当时，，C选项错误；∵， ∴，即，∴函数关于点中心对称， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，∴，又∵函数关于点中心对称， ∴在上单调递增，D选项正确. 故选：ABD. 题型16 对称性求函数的解析式 例16【新考法】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数． （1）若函数与的图象关于点对称，求的解析式； （2）当时，求的最大值； 【答案】（1） （2） 【详解】（1）由题意得，； （2）由题意得，，，令，解得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为； 【变式训练16-1·变载体】已知函数与的图象关于点对称， ____________. 【答案】 【详解】设为上任一点，为关于点的对称点， 则解得因为点在的图象上，所以. 把代入上式，可得，整理得， 即. 故答案为：. 【变式训练16-2·变载体】已知函数，与函数关于原点对称 （1）求函数的解析式 （2）已知，求的最大值及取最大值时的值． 【答案】（1）； （2）时，取得最大值13 【详解】（1）由题可得函数与函数关于原点对称， 则在任取一点，则在函数上， 则得，故. （2）由题 函数的定义域为，要使函数有意义， 需使，解得，即， 所以， 当，即时，. 故当时，函数取得最大值. 题型17 函数性质的综合应用 例17-1 (多选)（2026·广东茂名·二模）已知是定义在上的函数，且，，则（     ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．是的周期 【答案】ACD 【详解】在中,令，可得，所以，故A正确； 由，可得的图象关于直线对称，故C正确； 在中，令，可得，又由选项A知，故， 若是定义在上的奇函数，则与矛盾，故不是奇函数，故B错误； 由，可得的图象关于点对称，又因为的图象关于直线对称， 故，故D正确． 故选：ACD 例17-2 (多选)（2026·湖南衡阳·二模）已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，则（     ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数是周期为2的周期函数 D．函数在上单调递增 【答案】ACD 【详解】对于A：因为为偶函数，当时，， 所以，故A正确； 对于B：因为函数为偶函数，所以，所以函数的图象关于直线对称，故B错误； 对于C：因为和均为偶函数，所以， 在中，将替换为，得，故， 所以的一个周期为2，故C正确； 对于D：当时，，故， 故当时，，所以函数在上单调递增，故D正确． 故选：ACD 例17-3 (多选)（2026·四川广安·二模）【新思维】已知定义在上的偶函数满足，，设在上的导函数为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题得，所以即，所以是奇函数，故，又由得函数关于点对称，， 所以，故，所以，即函数是周期为6的函数，所以也是周期为6的函数，即， 由求导得即，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，由无法确定的值，故B错误； 对于C，由上也是周期为6的函数，即，C正确；对于D，由得，且即，且即，且即，，所以，所以，， 所以，故D正确； 故选：ACD 【变式训练17-1·变考法】已知定义域为的函数的图象经过坐标原点，若，，且为偶函数，则（     ） A．190 B．210 C．230 D．400 【答案】D 【详解】由，得（*）． 在中，用替换，可得， 则，即①， 在①式中，用替换，则得②． 又因为偶函数，所以③， 故由②③，可得，用替换，可得 ， 比较两式，可得，即是以4为一个周期的函数． 因为的图象经过原点，所以，由（*）可得． 在中，令，得，所以， 在中，令，可得， 在中，令，可得， 则， 则 ． 故选：D 【变式训练17-2·变考法】（多选）函数对于任意的，满足，且，则（     ） A．为偶函数 B．是函数的一个周期 C．点是图象的对称中心 D． 【答案】BCD 【详解】由题知， 对于选项A：令，得，所以， 令，得，即，所以为偶函数， 所以函数为奇函数，故选项A不正确； 对于选项B：令，，即， ，所以周期为，故选项B正确； 对于选项C： 由B中，即，所以关于 对称，且，又周期为，所以，故选项C正确； 对于选项D：令，得，即， 令，得，所以， 所以， 故，故选项D正确.    故选：BCD.. 【变式训练17-3·变载体】定义在上的函数满足：①对任意，都有；②的图象关于直线对称：③则下列说法正确的是（     ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】C 【详解】令，得，即，故函数的图象关于对称． 又的图象关于直线对称，故，的图象关于直线对称． ，是以4为周期的周期函数． 对于A，的图象是将的图象向左平移2个单位，故的图象关于轴对称，是偶函数，故A错误； 对于B，的图象是将的图象向左平移1个单位，故的图象关于原点对称，是奇函数，故B错误； 对于C，由，得；由，得， ，故C正确； 对于D，依题意，得，，，故D错误． 故选：C． 【变式训练17-4·变载体】已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（     ） A． B．为周期函数 C．是奇函数 D．若，则 【答案】AC 【详解】令，则，而， 所以，A对； 令，则，令，则， 令，则，故，故是奇函数，C对； 由 ， 由，则，故， 所以， 所以， 所以，D错. 假设为的最小正周期， 由，则，故， 显然，对于，，，不能恒成立， 即不能恒成立，与前提矛盾，B错. 故选：AC 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知对一切成立，于是. 故选：A 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（     ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以，综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 7．（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（     ） A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【详解】方法一：因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二：因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减， 显然，此时是的极大值点，故D错误. 故选：. 8．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则____________. 【答案】2 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故，此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数，所以. 故答案为：2. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知函数是偶函数，而且在上单调递减，判断在上单调递增还是单调递减，并证明你的判断. 【答案】单调递增 【详解】在上单调递增，任取，则. 在上单调递减，. 是偶函数，. ，故在上单调递增. 【点睛】本题考查偶函数的单调性证明，解题关键是利用偶函数的对称性，通过定义法，结合已知区间的单调性，推导对称区间上的单调性，体现了函数奇偶性与单调性的综合应用。 2．已知函数，. （1）求、的单调区间； （2）求、的最小值. 【答案】（1）函数的减区间为，增区间为，函数的增区间为； （2）函数的最小值为，函数的最小值为. 【详解】（1）函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以，函数的减区间为，增区间为，函数的增区间为； （2）由（1）知，函数在处取得最小值， 由于函数在定义域上单调递增，则函数在处取得最小值. 【点睛】本题考查二次函数的单调性与最值，解题关键是利用二次函数的图象与性质，结合开口方向和对称轴分析单调性，再根据函数在定义域内的单调性求最值，同时要注意区分定义域为全体实数与限定区间的不同情况。 3．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，. （1）画出函数的图象； （2）求出函数的解析式. 【答案】（1）图象见解析；（2）. 【详解】（1） （2）任取，则，故， 因为是奇函数，所以，故时，， 因为是定义在R上的奇函数，所以有，. 【点睛】本题考查奇函数的解析式求解与图象绘制，解题关键是利用奇函数的对称性，由已知区间的解析式推导对称区间的表达式，同时注意定义域为全体实数时需补充原点处的函数值，再根据解析式绘制图象，体现了函数奇偶性在解题中的应用。 4．（1）根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递增. （2）讨论函数在区间上的单调性. （3）讨论函数在区间上的单调性. 【详解】（1）且， 则. . 又，即. 在区间上单调递增. （2）且. . ①当时，，又， ，即.在上为减函数. ②当时，，又. ，即在上为增函数. （3）且， 则. ①当时，，又，，即. 在上为减函数. ②当时，又，，即. 在上为增函数. 【点睛】本题考查对勾函数的单调性证明与讨论，解题关键是利用函数单调性的定义，通过取值、作差、变形、判断符号这几个步骤完成证明，再由具体到一般，归纳出这类函数的通用单调性规律，体现了从特殊到一般的数学思想。 5．设函数的定义域为D，区间，记. 证明： （1）函数在区间I上单调递增的充要条件是：，都有； （2）函数在区间I上单调递减的充要条件是：，都有. 【详解】（1）充分性：不妨设，则， ， 即在I上单调递增. 必要性：若在I上单调递增.则，不妨设， 则..即，都有. （2）充分性：不妨设，则， ，即，在I上单调递减. 必要性：若在I上单调递减. ，不妨设，则. 即，都有. 【点睛】本题考查函数单调性的等价条件证明，解题关键是紧扣单调性的定义，结合自变量差与函数值差的符号关系，从充分性与必要性两个方向完成证明，体现了对单调性本质的理解与逻辑推理能力。 6．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论. 【答案】（1）；（2）见详解 【详解】（1）. 设，则. 为奇函数.的图象关于点对称. 即的图象的对称中心是点. （2）函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数. 【点睛】本题考查函数对称性的推广应用，解题关键是理解并运用函数中心对称、轴对称的充要条件，通过构造新函数，将一般函数的对称性问题转化为熟悉的奇偶性问题，体现了转化与化归、类比推理的数学思想。 4 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 单调性 知识点2 最大（小）值 知识点3 奇偶性 知识点4 周期性 知识点5 对称性 题型破译 (含超链接） 题型1 函数的单调性及单调区间 题型2 复合函数的单调性 【方法技巧】求函数的单调区间的方法 题型3 比较大小 题型4 利用单调性解函数不等式 【方法技巧】利用单调性解不等式注意四点 题型5 利用单调性求参数的取值范围 题型6 利用函数单调性求最值（值域） 【方法技巧】一些重要函数的单调性 题型7 函数奇偶性的判断 题型8 根据奇偶性求解析式或函数值 【方法技巧】判断奇偶性的两个必备条件 题型9 利用奇偶性求值或求参数 题型10 利用奇偶性和单调性解不等式 题型11 函数的周期性 题型12 对称性 【方法技巧】中心对称与轴对称的相关结论 题型13 由函数对称性求函数值或参数 题型14 对称性、周期性的综合 题型15 对称性、单调性的综合 题型16 对称性求函数的解析式 题型17 函数性质的综合应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 函数的单调性及其应用 全国Ⅰ卷T6（5分） 函数的奇偶性及其应用 全国二卷T10（5分） 全国II卷T6（5分） 函数的周期性 全国一卷T5（5分） 函数的对称性 全国II卷T11（6分） 函数性质的综合应用 全国一卷T5（5分） 考情分析 高考中函数的基本性质问题是必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，是高考一轮复习的重点内容。题型以选择题、填空题为主，分值为5-6分，难度中档。 近三年考情显示，函数基本性质命题会侧重单调性与奇偶性、周期性、不等式融合考查，强化含参函数单调性讨论与区间最值求解，注重数形结合思想运用，题型灵活且实用性更强。 1.以选择题或填空题的形式出现，考查具体函数的单调性求参问题. 2.以选择题的形式考查函数奇偶性在函数不等式中的应用问题. 3.多选中考查抽象函数求值与相关性质分析问题 4.由对数函数与幂函数组合的函数图象对称性证明问题 5.根据函数图象的对称性探究参数的取值情况 复习目标 1.会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法 2.理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值 3.能够利用函数的单调性解决有关问题 4.了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 5.了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题 6.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题. 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 单调性 1．函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，[ 当时，都有，那么就说函数在区间上是 当时，都有，那么就说函数在区间上是 图象描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的 设，， 若有或，则在闭区间上是 ； 若有或，则在闭区间上是 . 2．单调区间的定义 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． 必记结论 （1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．简记：“同增异减”． （3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性 ； ✅注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． （2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域． （3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然. 自主检测下列函数中，在区间上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 知识点2 最大（小）值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 对于任意的，都有 ； 存在，使得 对于任意的，都有 ； 存在，使得 结论 为最大值 为最小值 ✅注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 自主检测函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 知识点3 奇偶性 1．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 必记结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反； （2），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括，则． （4）若函数是偶函数，则． （5）掌握一些重要类型的奇偶函数： ①函数为偶函数，函数为奇函数． ②函数（且）为奇函数． ③函数（且）为奇函数． ④函数（且）为奇函数． ✅注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是： 对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 自主检测（1）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的为（     ） A． B． C． D． （2）（多选）下列函数是偶函数的有（     ） A． B． C． D． 知识点4 周期性 周期函数 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有___________，那么就称函数为___________，称T为这个函数的周期． 必记结论 函数周期性与图象对称性二级结论 周期结论 “周期为1倍差”： “周期为2倍差”：； “周期为4倍差”： 双对称 结论 的图象关于直线与直线对称周期 的图象关于点与点对称周期 的图象关于直线与点对称周期 自主检测（1）已知函数是周期为2的奇函数，且，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 知识点5 对称性 1．函数自身的对称性 （1）函数的图像关于点对称的充要条件是： ，即； （2）函数的图像关于直线对称的充要条件是： ，即。 2．不同函数对称性 （1）函数与的图像关于直线_____________成轴对称。 （2）互为反函数的两个函数关于直线对称。 自主检测（多选）（2026·福建泉州·模拟）定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（     ） A． B． C．是图象的一个对称中心 D．为偶函数 题●型●破●译 题型1 函数的单调性及单调区间 例1-1下列函数为增函数的是（     ） A． B． C． D． 例1-2下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（     ） A． B． C． D． 例1-3【新思维】（2026·四川内江·模拟）函数的单调减区间是____________. 例1-4设函数，且. （1）求的值； （2）用定义证明在上单调递增. 方法技巧 求函数的单调区间的方法 1．图象法：如果f(x)是以图象给出的，或者f(x)的图象易作出，可由函数图象直观地写出它的单调区间． 2．复合函数法： （1）求函数的定义域． （2）求简单函数的单调区间． （3）求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”． 【变式训练1-1】下列函数中，在定义域内函数值随的增大而增大的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（2026·湖北荆州·一模）下列函数中，是奇函数且在上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-4·变考法】已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； 题型2 复合函数的单调性 例2-1（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数，则的单调递增区间为（     ） A． B． C． D． 例2-2函数的单调增区间是（     ） A． B． C． D． 例2-3若函数在上单调，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 例2-4【新角度】已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为____________. 【变式训练2-1·变载体】（2026·山西太原·模拟）若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） 【变式训练2-2·变载体】函数在上是减函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】函数的单调递减区间是____________. 【变式训练2-4】已知函数则函数的单调增区间为____________. 题型3 比较大小 例3-1（2026·浙江金华·阶段检测）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 例3-2【新思维】（2026·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 例3-3【新思维】（2026·江西·二模）已知函数，若，，，则（     ） A． B． C． D． 例3-4【新考法】（2026·陕西咸阳·二模）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】（2026·福建厦门·二模）设函数，记，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练3-2·变载体】已知，则下列不等关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】（2026·湖南湘潭·三模）已知，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练3-4·变载体】设，，，则下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 题型4 利用单调性解函数不等式 例4-1（2026·安徽芜湖·二模）已知，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 例4-2（2026·贵州贵阳·二模）已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（     ） 例4-3【新角度】设函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 方法技巧 利用单调性解不等式注意四点 （1）准确判断函数的单调性． （2）不等式的一边没有”f“而是常数时应将其化为函数值f(x0)的形式． （3）注意利用函数性质(奇偶性、对称性)对函数值进行转化． （4）勿忘定义域对变量的限制． 【变式训练4-1·变载体】已知函数，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式训练4-2·变载体】已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数，则满足的实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式训练4-4·原创题】已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 题型5 利用单调性求参数的取值范围 例5-1 函数在区间上单调递减，则a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 例5-2（2026·河北承德·模拟预测）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例5-3【真题改编】已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 方法技巧 一些重要函数的单调性 （1）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； （2）（，）的单调性：在和上单调递增，在和 【变式训练5-1】若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为____________. 【变式训练5-3·变载体】已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为____________. 【变式训练5-4】【新情境】（2026高三·全国·专题练习）形如的函数，我们称之为“对勾函数”，考虑“对勾函数”的单调性，若函数在上单调，则a的取值范围为____________. 题型6 利用函数的单调性求最值（值域） 例6-1下列函数中，单调递增且值域为的是（     ） A． B． C． D． 例6-2【新考法】已知函数，则在上的最大值为（     ） A． B． C．0 D．1 例6-3【新思维】函数的值域为____________. 例6-4（25-26高三上·甘肃兰州·期中测试）已知函数， （1）求函数的单调区间； （2）求函数的值域． 【变式训练6-1】函数的最值为（     ） A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8 C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值 【变式训练6-2】【新考法】（多选）下列关于函数，下列结论正确的有（     ） A．的定义域为 B．的值域为 C．当时， D．在上是增函数 【变式训练6-3】已知函数，下列说法正确的是（     ） A．有最大值也有最小值 B．有最大值无最小值 C．无最大值有最小值 D．无最大值也无最小值 【变式训练6-4】已知函数. （1）指出的定义域； （2）求的最小值与最大值. 题型7 函数奇偶性的判断 例7-1判断下列各函数是否具有奇偶性 （1） （2） （3） （4）； （5） （6） 例7-2【新角度】（多选题）已知函数的定义域为R，，则（     ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 方法技巧 判断函数奇偶性的两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数. (2)判断与是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式((奇函数)或(偶函数))是否成立. 【变式训练7-1】(多选)（2026·河南开封·二模）下列函数是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练7-2·变考法】（2026·山东济宁·阶段检测）设函数，则下列函数中为奇函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练7-3·变题型】（多选）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（     ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数 D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数 【变式训练7-4·变载体】（多选）已知定义在上的函数满足，定义在上的函数满足，则（     ） A．不是奇函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．是奇函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 题型8 根据奇偶求解析式或函数值 例8-1（26-27高三上·河南新乡·阶段考试）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（     ） A． B． C． D． 例8-2（2026·安徽滁州·二模）已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（     ） 例8-3（2026·河北张家口·一模）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练8-1】（2026·山西太原·二模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（     ） A． B． C．1 D．2 【变式训练8-2】（2026·江西赣州·二模）设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】（2026·山东东营·二模）已知奇函数的周期为2，且当时，，则____________. 【变式训练8-4·变题型】定义在上的奇函数有最小正周期为2，且时，． （1）求在上的解析式； （2）取何值时，方程在上有解． 题型9 利用奇偶性求值或求参数 例9-1（2026·河北·二模）若函数为偶函数，则（     ） A． B． C． D． 例9-2（2026·天津河东·二模）已知函数，当函数为奇函数时，则（     ） A． B． C．0 D． 例9-3已知函数为奇函数，则（     ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 【变式训练9-1·变载体】（2026·山西朔州·一模）函数是偶函数，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练9-2·变载体】已知函数为奇函数，则m＝（     ） A．5 B．4 C． D．1 【变式训练9-3·变载体】已知为偶函数，则实数（     ） A．0 B．1 C． D． 【变式训练9-4·变考法】已知，，则“”是“是奇函数”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练9-5】（2026·山东威海·二模）已知函数为偶函数，则____________. 题型10 利用奇偶性和单调性解不等式 例10-1（2026·安徽黄山·一模）已知是上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 例10-2（2026·贵州贵阳·二模）已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 例10-3【新角度】（2026·河北邢台·二模）已知函数 则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式训练10-1·变载体】已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【变式训练10-2·变载体】已知函数，且满足，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式训练10-3·变考法】（2026·贵州贵阳·二模）已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式训练10-4】(多选)（2026·河北邯郸·二模）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（     ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 【变式训练10-5】（2026·广东茂名·一模）已知函数，则不等式的解集为____________. 题型11 函数的周期性 例11-1已知奇函数的周期为8，则（     ） A． B． C． D． 例11-2（2026·湖南怀化·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（     ） A．0 B．2 C．3 D．4 例11-3（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，，则（     ） A．5 B． C．2 D． 【变式训练11-1】（2026·广东深圳·一模）设是定义在上的奇函数，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式训练11-2】（25-26高三下·江西·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（     ） A． B．1 C．3 D．7 【变式训练11-3·变考法】（多选）（2026·陕西西安·一模）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（     ） A． B． C．是周期为的周期函数 D． 【变式训练11-4·变载体】已知，．当时，，则____________. 题型12 对称性 例12-1（2026·河北邢台·一模）函数图象的对称中心的坐标为（     ） A． B． C． D． 例12-2（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（     ） A． B． C． D．9 例12-3（2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（     ） A．99 B．78 C．66 D．52 方法技巧 中心对称与轴对称的相关结论 1.中心对称结论： （1）若函数满足，则的一个对称中心为 （2）若函数满足，则的一个对称中心为 （3）若函数满足，则的一个对称中心为. 2.轴对称性的常用结论如下： （1）若函数满足,则的一条对称轴为 （2）若函数满足,则的一条对称轴为 （3）若函数满足,则的一条对称轴为 （4）f(a－x)= f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x=对称； 【变式训练12-1·变载体】（2026·安徽滁州·二模）已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练12-2·变载体】（2026·福建龙岩·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（     ） A．是偶函数 B．的最小正周期是2 C．关于点中心对称 D．是奇函数 【变式训练12-3·变考法】已知函数. （1）若为中心对称图形，求a的值以及对称中心坐标； （2）当时，，求a的取值范围. 题型13 由函数对称性求函数值或参数 例13-1【新思维】（2026·西藏日喀则·模拟）若曲线关于直线对称，则（     ） A． B．2 C．0 D．1 例13-2（2026·山东·二模）已知函数的图象关于点对称，则____________. 【变式训练13-1】【新思维】函数的图像与函数的图像关于直线对称，其中（     ） A．3 B． C． D． 【变式训练13-2·变载体】已知曲线关于点中心对称，则（     ） A．2 B．1 C． D． 【变式训练13-3·变考法】已知函数对称中心在直线上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式训练13-4】【新考法】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数的图象关于坐标原点对称，则的值为（     ） A．20 B．50 C．70 D．90 题型14 对称性、周期性的综合 例14-1（2026·江西·二模）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则（     ） A． B． C．1 D．2 例14-2【新角度】定义在上的函数满足，且，当时，，当时，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式训练14-1·变载体】已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（     ） A．的图象关于y轴对称 B．为的一个周期 C． D． 【变式训练14-2·变考法】（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练14-3·变考法】（多选）已知定义在上的函数满足，是偶函数，且对任意的，，当时，都有，则以下判断正确的是（     ） A．若，则 B．函数的最小正周期是4 C．函数在上单调递增 D．直线是图象的对称轴 题型15 对称性、单调性的综合 例15-1（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 例15-2（2026·吉林·二模）已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式训练15-1·变载体】（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式训练15-2】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式训练15-3】（多选）已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．在上单调递增 题型16 对称性求函数的解析式 例16【新考法】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数． （1）若函数与的图象关于点对称，求的解析式； （2）当时，求的最大值； 【变式训练16-1·变载体】已知函数与的图象关于点对称， ____________. 【变式训练16-2·变载体】已知函数，与函数关于原点对称 （1）求函数的解析式 （2）已知，求的最大值及取最大值时的值． 题型17 函数性质的综合应用 例17-1 (多选)（2026·广东茂名·二模）已知是定义在上的函数，且，，则（     ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．是的周期 例17-2 (多选)（2026·湖南衡阳·二模）已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，则（     ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数是周期为2的周期函数 D．函数在上单调递增 例17-3 (多选)（2026·四川广安·二模）【新思维】已知定义在上的偶函数满足，，设在上的导函数为，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练17-1·变考法】已知定义域为的函数的图象经过坐标原点，若，，且为偶函数，则（     ） A．190 B．210 C．230 D．400 【变式训练17-2·变考法】（多选）函数对于任意的，满足，且，则（     ） A．为偶函数 B．是函数的一个周期 C．点是图象的对称中心 D． 【变式训练17-3·变载体】定义在上的函数满足：①对任意，都有；②的图象关于直线对称：③则下列说法正确的是（     ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【变式训练17-4·变载体】已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（     ） A． B．为周期函数 C．是奇函数 D．若，则 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（     ） A． B．0 C． D．1 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（     ） A． B． C． D． 7．（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（     ） A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 8．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则____________. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知函数是偶函数，而且在上单调递减，判断在上单调递增还是单调递减，并证明你的判断. 2．已知函数，. （1）求、的单调区间； （2）求、的最小值. 3．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，. （1）画出函数的图象； （2）求出函数的解析式. 4．（1）根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递增. （2）讨论函数在区间上的单调性. （3）讨论函数在区间上的单调性. 5．设函数的定义域为D，区间，记. 证明： （1）函数在区间I上单调递增的充要条件是：，都有； （2）函数在区间I上单调递减的充要条件是：，都有. 6．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论. 8 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $