第02讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦同角三角函数基本关系式及诱导公式核心考点，按“知识解构-题型破译”逻辑梳理平方关系、商数关系及诱导公式，通过考情分析、知识框架构建、核心知识拆解、方法技巧归纳、真题训练与分层练习，系统帮助学生突破求值化简难点，针对性强。 资料以“奇变偶不变”规律和齐次式化切技巧为突破点，如题型1通过分子分母同除cos²θ化切为弦培养运算能力，题型4用“负化正，大化小”步骤提升推理意识，结合分层练习与真题溯源，保障复习效果，助力学生筑牢基础，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

第02讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 同角三角函数的基本关系式 知识点2 同角三角函数基本关系式的变形 知识点3 诱导公式 知识点4 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 题型破译 题型1 已知的值，求关于、的齐次式的值问题 【方法技巧】已知的值，求关于、的齐次式的值问题 题型2 与关系的应用 【方法技巧】与关系的应用 题型3 利用同角关系化简三角函数式 【方法技巧】利用同角关系化简三角函数式 题型4 利用诱导公式求解给角求值问题 【方法技巧】利用诱导公式求解给角求值问题 题型5 利用诱导公式求解给值求值问题 【方法技巧】利用诱导公式求解给值求值问题 题型6 诱导公式在三角函数式化简中的应用 【方法技巧】诱导公式在三角函数式化简中的应用 题型7 诱导公式的综合应用 【方法技巧】诱导公式的综合应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 同角三角函数基本关系式的基础应用（求值、化简） 天津卷 T6（5 分） 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T5（5 分） 三角函数诱导公式的理解与基础应用 天津卷 T7（5 分） 天津卷 T4（5 分） 天津卷 T13（5 分） 同角公式与诱导公式的综合应用 天津卷 T17（1）（6分） 天津卷 T17（1）（6分） 天津卷 T17（1）（6分） 考情分析 同角三角函数基本关系式及诱导公式是天津高考数学必考基础考点，是三角函数模块的核心入门内容，以选择、填空题为主，偶尔在解答题第一问出现，单题分值5-6分，整体难度低，属于基础送分题。 高频考查方向为：①同角三角函数基本关系式（平方关系、商数关系）的求值、化简，尤其是齐次式的化简技巧；②诱导公式的“奇变偶不变，符号看象限”核心规律的应用，包括三角函数值的符号判断、任意角三角函数化简；③同角公式与诱导公式的综合应用，常作为三角恒等变换、解三角形解答题的基础步骤。 本模块是三角函数模块的必备基础，几乎所有三角函数相关题目都会涉及本模块的内容，是高考数学的必拿分考点，为后续三角恒等变换、三角函数图像与性质、解三角形等内容的学习筑牢基础。 复习目标 1. 理解同角三角函数的基本关系式（平方关系、商数关系），掌握公式的变形应用，能熟练进行三角函数的求值、化简，尤其是齐次式的化简技巧； 2. 掌握三角函数诱导公式的推导逻辑，牢记“奇变偶不变，符号看象限”的核心规律，能熟练运用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，完成化简与求值； 3. 能综合运用同角三角函数基本关系式与诱导公式，完成三角函数式的化简、恒等式证明、条件求值等问题，筑牢三角函数模块的学习基础，为后续三角恒等变换、解三角形等内容做好准备。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： （2）商数关系：. 必记结论 （1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立； （2）是的简写； （3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取． 自主检测已知都是锐角，，则______ 知识点2 同角三角函数基本关系式的变形 1、平方关系式的变形： ，， 2、商数关系式的变形 ，． 必记结论 求（1）求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值． ①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解； ②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解； ③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解． 求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取． （2）化简题型：化简三角函数式的一般要求是：①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低函数次数，达到化简的目的． （3）证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简．化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式．证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②比较法） 自主检测已知，则（    ） A． B． C． D． 知识点3 诱导公式 诱导公式一： ，，，其中 诱导公式二： ，，，其中 诱导公式三： ，，，其中 诱导公式四： ，．，，其中 必记结论 （1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． 自主检测已知，则___________． 知识点4 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是： ①化负角的三角函数为________的三角函数； ②化为内的三角函数； ③化为锐角的三角函数． 可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）． 自主检测（2026·天津河西·开学考试）已知 (1)化简； (2)若，求的值． 题●型●破●译 题型1 已知的值，求关于、的齐次式的值问题 例1-1（2026·天津宝坻·阶段检测）（1）已知，且为第三象限角，求和的值； （2）已知，求的值． 例1-2（2026·天津·模拟预测）已知 (1)求的值； (2)若是第三象限角，求的值. 方法技巧 已知的值，求关于、的齐次式的值问题 ①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值； ②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值． 【变式训练1-1】（2026·天津西青·阶段检测）已知，则_____. 【变式训练1-2】（2026·天津静海·阶段检测）计算： (1)已知为第二象限角，，求， (2)已知， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值. 【变式训练1-3】（2026·天津东丽·阶段检测）已知，. (1)求和的值； (2)求. 题型2 与关系的应用 例2-1（1）已知角的终边与单位圆的交点为 ①求的值； ②求的值. （2）已知，求： 例2-2已知，且，则__________. 方法技巧 与关系的应用 三角函数求值中常见的变形公式 （1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. （2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 【变式训练2 -1】（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，且，求的值； （3）若角的终边落在直线上，求的值. 【变式训练2 -2】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2 -3】已知. (1)求的值； (2)若是方程的两个根，求的值. 题型3 利用同角关系化简三角函数式 例3-1（2026·天津·阶段检测）已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 例3-2（2026·天津南开·开学考试）在中，，则___________． 例3-3已知，则（    ） A． B． C．4 D．6 方法技巧 利用同角关系化简三角函数式 化简要求 （1）项数尽量少；（2）次数尽量低；（3）分母、根式中尽量不含三角函数；（4）尽量不含根式；（5）能求值的尽可能求值． 【变式训练3-1】（2026·天津静海·阶段检测）已知，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【变式训练3-2】若，其中，则＝（   ） A． B． C． D． 题型4 利用诱导公式求解给角求值问题 例4-1（2026·天津津南·一模）______． 例4-2（25-26高一下·天津河北·阶段检测）若，则______. 方法技巧 利用诱导公式求解给角求值问题 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角． （3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 【变式训练4-1】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知，则_____. 【变式训练4-3】角的终边经过点，则______. 题型5 利用诱导公式求解给值求值问题 例5-1（2026·天津宁河·阶段检测）已知角为第二象限角，且，求： (1)和的值； (2)若，化简并求值. 例5-2（2026·天津静海·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 利用诱导公式求解给值求值问题 解决条件求值问题的方法 （1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系． （2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 【变式训练5-1】已知，则_____. 【变式训练5-2】（2026·天津·阶段检测）已知，则______. 【变式训练5-3】（2026·天津·阶段检测）已知，则________. 题型6 诱导公式在三角函数式化简中的应用 例6-1已知角的始边为x轴的非负半轴，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 例6-2已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 诱导公式在三角函数式化简中的应用 三角函数式化简的常用方法 （1）合理转化：①将角化成，，的形式． ②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角的三角函数． （2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． （3）注意“1”的应用：． （4）用诱导公式进行化简时，若遇到的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简． 【变式训练6-1】若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C．1 D．-1 【变式训练6-3】已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型7 诱导公式的综合应用 例7-1（2026·天津津南·模拟预测）在中，设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 例7-2（2026·天津津南·阶段检测）已知，，若（为自然对数的底数），则的最小值为（     ） A． B． C． D． 方法技巧 诱导公式的综合应用 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱． 【变式训练7-1】角的终边上有一点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2012·天津·高考真题）已知函数 （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值. 2．（2008·天津·高考真题）已知函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数.令 ，则 A． B． C． D． 3．（2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________． 4．（2003·江苏·高考真题）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（2008·天津·高考真题）已知． (1)求的值； (2)求的值． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求值：（－）·（－）. 2．已知，角的终边在第一象限，求的值． 3．已知，，求，，． 4．已知，，求，的值． 5．已知，求和的值． 6．计算：______． 7．化简： (1)； (2)． 8．角α的终边与单位圆交于点，分别写出点P关于x轴、y轴和原点对称的点的坐标，并求角，，，的正弦函数值、余弦函数值． 9．计算：． 10．在单位圆中，确定下列三角函数值的符号： (1)； (2)； (3)； (4)． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考同角三角函数基本关系以基础综合考查为主，常融入选择填空与第 16 题三角大题。核心考查平方、商数两大公式变形，已知一函数值求另外两值，重点考和积互化、齐次式化切求值。常结合象限判定符号，搭配二倍角、解三角形综合设问，侧重公式灵活变形，易错点为忽略角范围导致符号出错，复习需熟练分类讨论与整体代换，规范书写取值判断步骤。 1．若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，已知，，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 5．角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知，求的值（ ） A． B． C． D． 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 9．已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．现有3本相同的书，厚度为3cm，长为15cm，摆放在书架的一角（如图1），在其正视图（图2）中，记，则（    ） A． B． C． D． 重难·创新演练 设题创新:天津高考该板块创新集中在四方面：一是跳出直白 “知一求二”，用充分必要条件、多结论辨析深挖公式变形逻辑；二是与向量、不等式、二倍角公式交汇命题，打破单一考点局限；三是设置隐藏角范围，刻意制造符号判断陷阱；四是引入新定义或单位圆数形结合设问，弱化套路模板，侧重整体代换、齐次化切的灵活推导，考查严谨推理与公式迁移能力。 1．已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知是第二象限角，，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 5．设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 6．（　　）． A． B． C． D． 7．已知，，则“存在使得”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知，则（    ） A． B． C． D．2 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 同角三角函数的基本关系式 知识点2 同角三角函数基本关系式的变形 知识点3 诱导公式 知识点4 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 题型破译 题型1 已知的值，求关于、的齐次式的值问题 【方法技巧】已知的值，求关于、的齐次式的值问题 题型2 与关系的应用 【方法技巧】与关系的应用 题型3 利用同角关系化简三角函数式 【方法技巧】利用同角关系化简三角函数式 题型4 利用诱导公式求解给角求值问题 【方法技巧】利用诱导公式求解给角求值问题 题型5 利用诱导公式求解给值求值问题 【方法技巧】利用诱导公式求解给值求值问题 题型6 诱导公式在三角函数式化简中的应用 【方法技巧】诱导公式在三角函数式化简中的应用 题型7 诱导公式的综合应用 【方法技巧】诱导公式的综合应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 同角三角函数基本关系式的基础应用（求值、化简） 天津卷 T6（5 分） 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T5（5 分） 三角函数诱导公式的理解与基础应用 天津卷 T7（5 分） 天津卷 T4（5 分） 天津卷 T13（5 分） 同角公式与诱导公式的综合应用 天津卷 T17（1）（6分） 天津卷 T17（1）（6分） 天津卷 T17（1）（6分） 考情分析 同角三角函数基本关系式及诱导公式是天津高考数学必考基础考点，是三角函数模块的核心入门内容，以选择、填空题为主，偶尔在解答题第一问出现，单题分值5-6分，整体难度低，属于基础送分题。 高频考查方向为：①同角三角函数基本关系式（平方关系、商数关系）的求值、化简，尤其是齐次式的化简技巧；②诱导公式的“奇变偶不变，符号看象限”核心规律的应用，包括三角函数值的符号判断、任意角三角函数化简；③同角公式与诱导公式的综合应用，常作为三角恒等变换、解三角形解答题的基础步骤。 本模块是三角函数模块的必备基础，几乎所有三角函数相关题目都会涉及本模块的内容，是高考数学的必拿分考点，为后续三角恒等变换、三角函数图像与性质、解三角形等内容的学习筑牢基础。 复习目标 1. 理解同角三角函数的基本关系式（平方关系、商数关系），掌握公式的变形应用，能熟练进行三角函数的求值、化简，尤其是齐次式的化简技巧； 2. 掌握三角函数诱导公式的推导逻辑，牢记“奇变偶不变，符号看象限”的核心规律，能熟练运用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，完成化简与求值； 3. 能综合运用同角三角函数基本关系式与诱导公式，完成三角函数式的化简、恒等式证明、条件求值等问题，筑牢三角函数模块的学习基础，为后续三角恒等变换、解三角形等内容做好准备。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： （2）商数关系：. 必记结论 （1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立； （2）是的简写； （3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取． 自主检测已知都是锐角，，则______ 【答案】 【分析】根据两角差的余弦公式，结合同角三角函数关系式进行求解即可. 【详解】因为都是锐角， 所以，又因为， 所以， ， 因此 ， 因为是锐角， 所以. 知识点2 同角三角函数基本关系式的变形 1、平方关系式的变形： ，， 2、商数关系式的变形 ，． 必记结论 求（1）求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值． ①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解； ②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解； ③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解． 求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取． （2）化简题型：化简三角函数式的一般要求是：①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低函数次数，达到化简的目的． （3）证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简．化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式．证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②比较法） 自主检测已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 又因为， 联立，解得. 可得 . 知识点3 诱导公式 诱导公式一： ，，，其中 诱导公式二： ，，，其中 诱导公式三： ，，，其中 诱导公式四： ，．，，其中 必记结论 （1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． 自主检测已知，则___________． 【答案】 【详解】． 知识点4 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是： ①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化为内的三角函数； ③化为锐角的三角函数． 可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）． 自主检测（2026·天津河西·开学考试）已知 (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）利用三角函数诱导公式逐项化简： ，，， ，， 代入原式可得：, 由于，所以， 即； （2）当，， 可得 . 题●型●破●译 题型1 已知的值，求关于、的齐次式的值问题 例1-1（2026·天津宝坻·阶段检测）（1）已知，且为第三象限角，求和的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据同角三角函数关系式，结合象限角的三角函数符号，可得答案； （2）根据同角三角函数的商关系，结合题意，可得答案. 【详解】（1）由为第三象限角，则，. （2）. 例1-2（2026·天津·模拟预测）已知 (1)求的值； (2)若是第三象限角，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）分子分母同除以转化为求的值，再结合已知求解即可； （2）根据同角三角函数关系直接求解即可得答案. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，所以， 所以，即， 因为是第三象限角，所以， 所以， 所以，即. 方法技巧 已知的值，求关于、的齐次式的值问题 ①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值； ②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值． 【变式训练1-1】（2026·天津西青·阶段检测）已知，则_____. 【答案】 【分析】可利用商数关系对化简，变成关于的分式，再代入的值，计算求值即可得出正确答案. 【详解】由题意分式的分子与分母都除以， 可得， 又， ∴. 故答案为：. 【变式训练1-2】（2026·天津静海·阶段检测）计算： (1)已知为第二象限角，，求， (2)已知， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值. 【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用同角三角函数的关系解方程组，再根据角的范围求解； （2）（ⅰ）利用齐次化思想求出，再利用齐次化思想化简；（ⅱ）根据以及齐次化思想化简. 【详解】（1）因为，， 得或， 又为第二象限角，所以； （2）因为，所以， （ⅰ）； （ⅱ）. 【变式训练1-3】（2026·天津东丽·阶段检测）已知，. (1)求和的值； (2)求. 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）由，平方可得：， 所以，因为，， 所以， 将代入， 得即， 所以，则， 所以 （2） 题型2 与关系的应用 例2-1（1）已知角的终边与单位圆的交点为 ①求的值； ②求的值. （2）已知，求： 【答案】（1）①；②； （2） 【分析】（1）①利用三角函数的定义求解即可； ②利用齐次式化简求解即可； （2）由题可得，化简可得 【详解】（1）因为角的终边与单位圆的交点为， ①所以， ② （2）因为， 所以，， 则， 所以 例2-2已知，且，则__________. 【答案】 【分析】根据同角三角函数关系即可求解. 【详解】由题意得， 所以， 因为，所以，所以， ， 所以. 故答案为：. 方法技巧 与关系的应用 三角函数求值中常见的变形公式 （1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. （2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 【变式训练2 -1】（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，且，求的值； （3）若角的终边落在直线上，求的值. 【答案】（1）；（2），（3）0 【分析】（1）由同角三角函数的平方关系代入计算即可得到，从而得到； （2）由和的关系即可求解.； （3）由角的终边所在直线，可得角是第二或第四象限角，分别讨论正弦和余弦的符号，化简即可. 【详解】（1）在第二象限， ，. （2）将两边平方得， 所以， 又∵，，又 ， ∴， 所以， 所以， 则. （3）， ∵角的终边落在直线上，∴是第二或第四象限角， 当是第二象限角时，， 当是第四象限角时，， 综上，的值为. 【变式训练2 -2】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用平方关系，得，再结合条件，即可求解. 【详解】因为， 又，则， 又因为，则，所以， 故选：B. 【变式训练2 -3】已知. (1)求的值； (2)若是方程的两个根，求的值. 【答案】(1)2 (2)3 【分析】（1）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解； （2）利用韦达定理得到，从而得到，再由同角三角函数的基本关系求出，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，所以，解得； （2）因为是方程的两个根， 所以， ， 由（1）知， 则， . 题型3 利用同角关系化简三角函数式 例3-1（2026·天津·阶段检测）已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式得到，再由同角关系得到，最后由两角差的正切公式即可求解. 【详解】由，可得， 又，由， 可得：， 所以， 所以， 故选：A 例3-2（2026·天津南开·开学考试）在中，，则___________． 【答案】/ 【分析】根据同角的三角函数的基本关系式可求正切值. 【详解】因为且为三角形内角，故为钝角，故， 故， 故答案为： 例3-3已知，则（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】首先利用诱导公式化简已知条件，得到，再结合同角三角函数的基本关系，将进行化简，将代入即可求解. 【详解】根据诱导公式可得 ， 即 ，所以 ， 则， 因为，则，而又因为， 所以， 将 代入得： ； 故选：D 方法技巧 利用同角关系化简三角函数式 化简要求 （1）项数尽量少；（2）次数尽量低；（3）分母、根式中尽量不含三角函数；（4）尽量不含根式；（5）能求值的尽可能求值． 【变式训练3-1】（2026·天津静海·阶段检测）已知，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，根据“齐次式”进行弦化切，最后代入正切值即可. 【详解】根据题意，，且， 则. 故选：C. 【变式训练3-2】若，其中，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将和平方后相加，结合的值，建立方程求解. 【详解】∵，则令①， ∵②， 由①2＋②2得， 又，∴． ∴． 故选：A. 题型4 利用诱导公式求解给角求值问题 例4-1（2026·天津津南·一模）______． 【答案】 【详解】 . 例4-2（25-26高一下·天津河北·阶段检测）若，则______. 【答案】 【详解】由诱导公式可得：. 方法技巧 利用诱导公式求解给角求值问题 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角． （3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 【变式训练4-1】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由诱导公式可得，再结合条件利用二倍角公式求结论. 【详解】因为， . 【变式训练4-2】已知，则_____. 【答案】 【分析】根据诱导公式，结合同角三角函数关系中的商关系进行求解即可. 【详解】. 故答案为： 【变式训练4-3】角的终边经过点，则______. 【答案】 【分析】由三角函数的定义可得正弦值，即可由诱导公式化简求解. 【详解】由于角的终边经过点，故 故， 故答案为： 题型5 利用诱导公式求解给值求值问题 例5-1（2026·天津宁河·阶段检测）已知角为第二象限角，且，求： (1)和的值； (2)若，化简并求值. 【答案】(1)(2)4 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系及商数关系求解即可； （2）根据诱导公式和同角三角函数的商数关系化简计算即可． 【详解】（1）角为第二象限角，且， ， . （2）根据诱导公式，化简得， 把代入得. 例5-2（2026·天津静海·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式，可得答案. 【详解】由，即，则. 故选：D 方法技巧 利用诱导公式求解给值求值问题 解决条件求值问题的方法 （1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系． （2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 【变式训练5-1】已知，则_____. 【答案】/ 【分析】利用诱导公式直接求解即可. 【详解】因为，所以， 由诱导公式得. 故答案为： 【变式训练5-2】（2026·天津·阶段检测）已知，则______. 【答案】/ 【分析】根据结合诱导公式求解即可. 【详解】因为，所以 . 故答案为：. 【变式训练5-3】（2026·天津·阶段检测）已知，则________. 【答案】 【分析】根据，结合诱导公式求解即可. 【详解】因为，， 所以 故答案为： 题型6 诱导公式在三角函数式化简中的应用 例6-1已知角的始边为x轴的非负半轴，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】终边过，故，． ． 例6-2已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将未知角转化为已知角，利用两角和差公式以及二倍角公式计算式子的值． 【详解】因为； ； 因为，则；则， 则； 代入可得． 方法技巧 诱导公式在三角函数式化简中的应用 三角函数式化简的常用方法 （1）合理转化：①将角化成，，的形式． ②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角的三角函数． （2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． （3）注意“1”的应用：． （4）用诱导公式进行化简时，若遇到的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简． 【变式训练6-1】若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用诱导公式化简根号内的三角函数式，再结合半角公式与α的取值范围去绝对值即可得到结果. 【详解】已知，因此，可得， 根据诱导公式得 ， 由余弦半角公式得 ， 结合，去绝对值得. 【变式训练6-2】已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】C 【分析】先根据三角函数的定义求出，再利用诱导公式化简目标式，结合齐次式弦切互化的方法计算结果. 【详解】由角的终边上一点， 可得， 所以 . 【变式训练6-3】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用诱导公式及同角三角函数关系计算，再结合角的范围求解. 【详解】. 因为，所以， 又因为，所以，所以. 所以， 故. 题型7 诱导公式的综合应用 例7-1（2026·天津津南·模拟预测）在中，设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，利用三角函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】在中，若，可得，即， 所以，所以充分性成立； 反之：在中，若，可得， 所以或，可得或， 所以或，所以必要性不成立， 综上可得，甲是乙的充分条件但不是必要条件. 例7-2（2026·天津津南·阶段检测）已知，，若（为自然对数的底数），则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过等式转化，将等式转换为函数，进而得出参数之间关系，根据参数关系，利用基本不等式即可求解. 【详解】由诱导公式有，， 因此原式转化为， 故令，则， 而，因为，，则， 因为当时，且，故， 即在上单调递增， 又因，则，即， 则，当且仅当时取等， 故的最小值为5. 方法技巧 诱导公式的综合应用 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱． 【变式训练7-1】角的终边上有一点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由任意角的三角函数的定义求出的值，结合诱导公式及两角和的正弦公式展开代入求解即可. 【详解】解：由任意角的三角函数定义可知，则， 所以，， 又， 则， 所以， 即. 【变式训练7-2】（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式和两角和的正弦公式即可求解. 【详解】由题意得： . 【变式训练7-3】已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 即集合，且集合，所以. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2012·天津·高考真题）已知函数 （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） (2) 最大值为，最小值为-1 【详解】（1） 所以，的最小正周期 （2）因为在区间上是增函数，在区间上是减函数， 又，，， 故函数在区间上的最大值为，最小值为-1. 2．（2008·天津·高考真题）已知函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数.令 ，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 因为，所以，所以，选A． 3．（2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________． 【答案】/ 【详解】在中，，所以， 由正弦定理可得. 4．（2003·江苏·高考真题）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：∵，，∴，∴， ∴． 考点：平方关系、倍角关系． 5．（2008·天津·高考真题）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式及和角的正弦公式计算得解. （2）由（1）的结论，利用二倍角公式及和角的正弦公式求解. 【详解】（1）由，得，则， ． （2）由及（1），得， 因此，， 所以. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求值：（－）·（－）. 【答案】当为一三象限角时，原式；当为二四象限角时，原式. 【详解】解：原式＝· ， 当为一三象限角时，原式； 当为二四象限角时，原式. 2．已知，角的终边在第一象限，求的值． 【答案】 【分析】先求出，根据半角公式得出的值． 【详解】解：因为，角的终边在第一象限， 所以， 所以. 3．已知，，求，，． 【答案】，， 【分析】根据二倍角正余弦公式以及同角的三角函数关系即可求得答案. 【详解】因为，故，则， 由可得，解得， 由可得，解得， 故. 4．已知，，求，的值． 【答案】, 【分析】由同角三角函数关系求，再由二倍角公式求， 【详解】由，，, ; 5．已知，求和的值． 【答案】当在第一象限时，， 当在第三象限时，. 【分析】根据同角三角函数基本关系求解. 【详解】因为，所以在第一象限或第三象限 当在第一象限时， 由同角三角函数基本关系得 ， 解得. 当在第三象限时，由得， 故当在第一象限时，， 当在第三象限时，. 6．计算：______． 【答案】0 【分析】由，使用和差公式和诱导公式展开变形，然后利用二倍角和辅助角公式化简可得. 【详解】 . 故答案为：0 7．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据诱导公式结合同角三角函数的关系计算得到答案. 【详解】（1） ， ，，故， 故. （2） . 8．角α的终边与单位圆交于点，分别写出点P关于x轴、y轴和原点对称的点的坐标，并求角，，，的正弦函数值、余弦函数值． 【答案】答案见解析 【分析】结合图象，根据对称性直接写出点的坐标；然后根据角的关系、对称性以及三角函数的定义，即可得出答案. 【详解】    点P关于x轴对称的点的坐标，点P关于y轴对称的点的坐标，点P关于原点对称的点的坐标. 易知角的终边经过点，根据三角函数的定义可知， ，； 角的终边经过点，根据三角函数的定义可知， ，； 角的终边经过点，根据三角函数的定义可知， ，； 角的终边经过点，根据三角函数的定义可知， ，. 9．计算：． 【答案】 【分析】根据诱导公式以及特殊角的三角函数值，逐项求解，即可得出答案. 【详解】，，，， 所以，. 10．在单位圆中，确定下列三角函数值的符号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)正 (2)负 (3)负 (4)正 【分析】在单位圆中，作出角（或与该角终边相同的角），根据角的象限，结合三角函数的定义，即可得出答案. 【详解】（1）    如图1，作出（自轴非负半轴起，逆时针旋转），可知该角的终边位于第二象限， 设，易知， 根据三角函数的定义可得，. （2）    如图2，作出（自轴非负半轴起，逆时针旋转），可知该角的终边位于第三象限， 设，易知， 根据三角函数的定义可得，， 所以. （3）    如图3，作出（自轴非负半轴起，顺时针旋转），可知的终边位于第三象限， 设，易知， 根据三角函数的定义可得，. （4）    如图4，作出（自轴非负半轴起，逆时针旋转），可知的终边位于第四象限， 设，易知， 根据三角函数的定义可得，. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考同角三角函数基本关系以基础综合考查为主，常融入选择填空与第 16 题三角大题。核心考查平方、商数两大公式变形，已知一函数值求另外两值，重点考和积互化、齐次式化切求值。常结合象限判定符号，搭配二倍角、解三角形综合设问，侧重公式灵活变形，易错点为忽略角范围导致符号出错，复习需熟练分类讨论与整体代换，规范书写取值判断步骤。 1．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 2．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， 解得. 3．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得 ， 所以. 4．在中，已知，，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由三角形内角的性质，应用平方关系及和角余弦公式求. 【详解】在中，，则，得， 已知，，则是锐角，故， 已知，则也是锐角，故， 因此. 5．角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由角的终边过点，得. 6．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，因为，所以， 所以， 当时，因为，所以，所以， 所以时，则“”是“”的“必要不充分条件”. 7．已知，求的值（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 则， 可得，所以. 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简得，再利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】由题意得：，所以， 所以， 所以. 9．已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用三角函数的基本关系式，求得，再利用两角和的正弦公式，代入计算，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得，所以， 则. 10．现有3本相同的书，厚度为3cm，长为15cm，摆放在书架的一角（如图1），在其正视图（图2）中，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过解直角三角形求出关键点的坐标或线段长度，利用平行线性质和角度关系确定第三本书的倾斜角，最后通过线段投影计算的长度． 【详解】如图，设为坐标原点，直线为轴，直线为轴， 在中，，，， 所以，因为，， 所以（其中为在轴上的投影）， 在中，，所以，， 所以点的纵坐标， 因为四边形为矩形，所以，又与竖直方向（）夹角为， 所以与竖直方向夹角也为，因为在上，所以射线与竖直方向夹角为， 已知，所以与竖直方向的夹角为，则与水平方向的夹角为， 因为， 所以点的纵坐标， 设在的左上方，则与的竖直距离为， 因为与竖直方向夹角为， 与的水平距离为， 点在点的右下方，水平距离为， 所以， ， 所以． 重难·创新演练 设题创新:天津高考该板块创新集中在四方面：一是跳出直白 “知一求二”，用充分必要条件、多结论辨析深挖公式变形逻辑；二是与向量、不等式、二倍角公式交汇命题，打破单一考点局限；三是设置隐藏角范围，刻意制造符号判断陷阱；四是引入新定义或单位圆数形结合设问，弱化套路模板，侧重整体代换、齐次化切的灵活推导，考查严谨推理与公式迁移能力。 1．已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，联立方程组，求得，代入即可求解. 【详解】因为，联立方程组， 因为角为第二象限角，所以， 所以， 则. 2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦二倍角公式，对原式化简，可求得，再结合正余弦的平方关系，即可求解. 【详解】由正弦二倍角公式，可得， 所以， 又，所以， 所以化简得，解得， 所以. 3．已知是第二象限角，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为第二象限角，因此， 故， ， 则. 4．已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角的正余弦函数的平方关系求解，再由两角差的正弦公式求解即可. 【详解】因为，，所以，所以. 5．设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，即集合为全体复数， 又，则，故． 6．（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 . 7．已知，，则“存在使得”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】将方程化为，利用正弦相等的一般解集，判断给定条件是否覆盖所有情况. 【详解】充分性：若满足题设，即， 则故充分性成立. 必要性：若，可能满足或， 此时并不一定满足题设情形，因此必要性不成立. 所以题设条件是结论的充分不必要条件，故选A. 8．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ ，∴ ，即 . 由得， 整理得 ，即 ，解得 . ∵ ，且 ， ∴ 为第二象限角，第二象限角的正弦值为正，∴ . 9．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再用两角差的余弦公式进行求解. 【详解】因为，，，即， 解得， 则. 10．已知，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因 由，可得， 即，由题意可知， 两边同除以，得， 又因，则， 故. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $