精品解析：江苏省泗阳中学、泗阳桃源路中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

数 学 满分：150 时间120分钟 一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．） 1. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 3. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列根式与分数指数幂的互化中，错误的是（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 已知，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 高一年级某班共有45人，其中文艺爱好者20人，体育爱好者15人，文艺、体育均不爱好的20人，则文艺、体育均爱好的人数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 空集是任何集合的真子集 B. 设，若，则 C. D. 10. 下列命题中假命题有（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“不等式在上恒成立”的充要条件 C. 的最小值是 D. 设为实数，若二次函数在区间上仅有一个零点，则的取值范围是 11. 群论，是近代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合“”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对所有的、，有； ②、、，有； ③，使得，有，称为单位元； ④，，使，称与互为逆元． 则称关于“”构成一个群．则下列说法正确的有（ ） A. 关于数的乘法构成群 B. 自然数集关于数的加法构成群 C. 实数集关于数的乘法构成群 D. 关于数的加法构成群 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．） 12. 函数的零点为______. 13. 已知，，，若，则的取值范围为__________． 14. 已知命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，． （1）若全集，求： （2）若全集，求． 16. 已知． （1）用分数指数幂表示：； （2）若，求下列各式的值： ①； ②． 17. 设全集，集合，非空集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 18. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 19. 设，． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）当实数时，解关于的不等式：； （3）若不等式对于时恒成立，求实数的取值集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数 学 满分：150 时间120分钟 一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．） 1. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据集合并集运算，即可求解. 【详解】， 故选： 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题. 2. 不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接求解一元二次不等式即可. 【详解】因为，所以， 所以不等式的解集是. 故选：D 3. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论． 【详解】命题，，为全称量词命题， 则该命题的否定为：，. 故选：C． 4. 下列根式与分数指数幂的互化中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根式与分数指数幂的互化运算即可求解. 【详解】，则A选项正确； ，则B选项正确； ，则C选项正确； ，则D选项错误. 5. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先化简，进而得到“”是“”的充分不必要条件. 【详解】由，可得且， 则由“”可得“”，但是不能由“”得到“”， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】选项A、C、D可有反例推导错误；选项B利用不等式性质推导可得. 【详解】选项A：当时，，故A错误； 选项B：因，，所以，得，故B正确； 选项C：当时，满足，，但，故C错误； 选项D：当时，满足，，但，故D错误， 故选：B 7. 已知，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，则，所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，函数的最小值为. 8. 高一年级某班共有45人，其中文艺爱好者20人，体育爱好者15人，文艺、体育均不爱好的20人，则文艺、体育均爱好的人数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】先用"总人数减去两类都不爱好的人"求出至少爱好一类的人数，再由容斥公式得都爱好的人数. 【详解】设文艺爱好者组成集合，体育爱好者组成集合. 全班人中两类都不爱好的有人， 所以至少爱好一类的人数为，即. 由容斥原理得， 即文艺、体育均爱好的有人. 二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 空集是任何集合的真子集 B. 设，若，则 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，根据空集性质可得空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，A错误； 对于B，根据子集定义，若，则对任意，都有，B正确； 对于C，根据集合中元素的无序性可得，任何集合都是其本身的子集，因此，C正确； 对于D，因为，所以当时，代入方程解得，符合； 当时，代入方程解得，符合； 当时，代入方程解得，符合； 因此集合，D正确. 10. 下列命题中假命题有（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“不等式在上恒成立”的充要条件 C. 的最小值是 D. 设为实数，若二次函数在区间上仅有一个零点，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】依据充分必要条件定义、二次恒成立判别式、基本不等式等号成立条件、二次函数单调性与零点分布，逐一判断命题真假． 【详解】对于A，当时，若，则，所以，即“”不是“”的必要条件，A为假命题； 对于B，充分性：当时，不等式恒成立，即充分性成立； 必要性：由不等式在上恒成立，得，解得，即必要性成立，B为真命题； 对于C，因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以等号取不到， 即的最小值不是，C为假命题； 对于D，二次函数的对称轴为，开口向上，在单调递增， 所以，解得，D为假命题． 11. 群论，是近代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合“”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对所有的、，有； ②、、，有； ③，使得，有，称为单位元； ④，，使，称与互为逆元． 则称关于“”构成一个群．则下列说法正确的有（ ） A. 关于数的乘法构成群 B. 自然数集关于数的加法构成群 C. 实数集关于数的乘法构成群 D. 关于数的加法构成群 【答案】AD 【解析】 【分析】根据选项中给的集合和运算，通过一一判断是否满足题干中的4个条件即可判断各选项. 【详解】对于A，对所有的，有，且满足①乘法结合律；②，使得，有； ③，，有，故A正确； 对于B，对所有的，有，且①自然数满足乘法结合律；②，使得，有； 但是对于，，不存在，使，故B错误； 对于C，对所有的，有，且①实数满足乘法结合律；②，使得，有； 但对于，不存在，使，故C错误； 对于D，对所有的，可设，则， 且①满足乘法结合律，即，有； ②，使得，有； ③，设，使，故D正确. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．） 12. 函数的零点为______. 【答案】2 【解析】 【分析】先解方程，由函数零点定义可知方程的根即为函数零点. 【详解】解方程得， 所以函数的零点为2. 故答案为：2. 13. 已知，，，若，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用补集运算求得，再利用集合间的基本关系即可求解. 【详解】因为，，所以， 因为，所以. 14. 已知命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为命题“，使得”是假命题， 则该命题的否定“，使得”是真命题， 参变分离可得， 由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最小值为，故，即实数的取值范围是. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，． （1）若全集，求： （2）若全集，求． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】分别解绝对值不等式、分式不等式化简集合，再依据并集、补集、交集的定义进行集合运算． 【小问1详解】 由，得，解得， 所以， 由，得，解得或， 所以或， 所以或或； 【小问2详解】 由或，得， 所以． 16. 已知． （1）用分数指数幂表示：； （2）若，求下列各式的值： ①； ②． 【答案】（1） （2）①,②. 【解析】 【分析】(1)利用根式与分数指数幂的关系，结合幂的运算法则计算即可； (2)①由两边同时除以即可求出的值；②将目标式取平方，求出结果，结合即可求得其值. 【小问1详解】 因此： . 【小问2详解】 ①已知，且，等式两边同时除以整理得； ②设，则 ， 因，则，故. 17. 设全集，集合，非空集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据充分不必要条件与集合的等价关系可知，是的真子集，结合包含关系列不等式可解出； （2）根据题意可知是的子集，结合包含关系列不等式即可解出. 【小问1详解】 不等式可化为，解得， 所以集合， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 则，解得， 当时，，满足，符合题意. 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 命题“，则”是真命题，所以， 因为，则， 又，所以， 所以实数的取值范围为． 18. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 【答案】（1） （2）设备占地面积为时，y的值最小 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式即可得解. （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 令即，整理得即， 所以解得， 所以设备占地面积的取值范围为. 【小问2详解】 ， 当且仅当即时等号成立， 所以设备占地面积为时，的值最小. 19. 设，． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）当实数时，解关于的不等式：； （3）若不等式对于时恒成立，求实数的取值集合． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知，且和是对应方程的两个根，可代入根求解或用韦达定理计算的值， （2）先对不等式移项整理为标准一元二次不等式形式，再求对应二次方程的根，再比较两个根的大小关系，由此可得结论； （3）将不等式整理为关于的一次不等式，结合一次函数性质列不等式求的取值范围. 【小问1详解】 因为不等式的解集为闭区间， 所以，且方程的两个实根为，， 根据一元二次方程的根与系数关系可得，，解得， 验证：时不等式为，因式分解得，解集恰好为，符合要求. 综上所述，. 【小问2详解】 不等式，可化为， 所以，方程的两个根为，， 结合可得，，解不等式得， 所以不等式的解集为； 【小问3详解】 不等式可化为， 因为， 因此关于的一次函数的值随变量的增大而增大， 要让该式对所有恒成立，只需时函数值大于等于即可， 所以，化简可得，故，所以， 所以的取值集合为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $