精品解析：江苏省宿迁市泗阳县海门实验2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

2026级高一年级第一次调研测试 数学试题 满分150分 时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，若 ，则满足条件的集合的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若实数，满足，，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围是 C. 的最小值是 D. 的最大值是9 6. 小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（ ） A. 一样多 B. 小齐低 C. 小港低 D. 无法比较 7. 命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 3 D. 4 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分） 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 已知，则 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，且，则 11. 下列说法正确的有　　 A. 若，则的最大值是 B. 若，则的最小值为2 C. 若，，均为正实数，且，则的最小值是4 D. 已知，，且，则最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：___________． 13. 若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合，，若这两个集合构成“全食”或“偏食”，则实数a的值为__________. 14. 已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知命题p：关于x的方程有实数根． （1）若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）设，，，求实数的取值范围． 16. 已知全集，集合，，． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 17. 某洗发水厂商为扩大销量，拟开展广告促销活动．根据前期调研，该款洗发水的月销售量a万瓶与投入的广告费用x万元满足关系式（k为常数），若不进行广告宣传，该产品的月销售量为16万瓶．已知该产品每一万瓶需要投入成本30万元，厂商将每瓶洗发水的销售价格定为元，且每月该产品都能销售完．设该产品的月销售利润为y万元．（注：销售利润＝销售收入－投入成本－广告费用） （1）求出k的值，并将y表示为x的函数； （2）求投入的广告费用为多少万元时，该产品的月销售利润最大？最大为多少？ 18. 已知函数. （1）对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集. 19. 定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. （1）证明：是一个“乘法封闭集”； （2）若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； （3）若是集合的一个“完美元素”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一年级第一次调研测试 数学试题 满分150分 时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合. 【详解】依题意，集合，而，则， 由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为. 故选：B 2. 已知集合，，若 ，则满足条件的集合的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的包含关系判断求解即可. 【详解】由 ，得集合中一定包含集合中的所有元素且集合是集合的真子集， 所以集合或或. 故满足条件的集合的个数为3个. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】令，解得，所以原命题等价为“，”， 所以命题否定是“，”. 4. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】集合. 因为在上是增函数且，所以. A选项：是集合，不是的元素，应为，故A错误； B选项：，故B错误； C选项：，故C错误； D选项：中的元素全部属于，即，故D正确. 5. 若实数，满足，，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围是 C. 的最小值是 D. 的最大值是9 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD. 【详解】对于A，由，，两式相加得，即，故A错误； 对于B，由，得，又， 两式相加得，所以，故B错误； 对于C，D，设， 由，解得，即． 因为，所以，又，所以，故C正确，D错误． 6. 小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（ ） A. 一样多 B. 小齐低 C. 小港低 D. 无法比较 【答案】C 【解析】 【分析】设两次葡萄的单价分别为，分别计算出小齐和小港两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小，得到答案. 【详解】设两次葡萄的单价分别为， 则小齐两次购买葡萄的平均价格是， 小港两次购买葡萄的平均价格是， ， 故，小港两次购买葡萄的平均价格低. 故选：C. 7. 命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出原命题为真命题的充要条件，再根据题意，找到为其范围真子集的选项即得. 【详解】由命题“对，”为真命题，可知在上恒成立， 当时可得，当时不等式可化为：， 设， ① 因在上单调递减，故，则，故得； ②又因在上单调递减，在上单调递增，故， 则有，故得. 综上，可得，即命题“对，”为真命题等价于， 依题意需使选项的范围是的真子集，故C正确. 故选：C. 8. 若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理将所求代数式转化为关于的表达式，再利用基本不等式求最小值. 【详解】∵ 关于的不等式的解集为， ∴ 二次项系数，且、是方程的两个实根， 由韦达定理得：，即，（）， 所以，令，由得，则， 代入上式得： ，根据基本不等式，对任意， 有，当且仅当即时等号成立， 因此，当即时等号成立，故最小值为. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分） 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 已知，则 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据根式运算和指数幂的运算法则求解判断. 【详解】A. ，故错误； B. ，故正确； C. ，故正确； D. 因为，所以，则，故错误； 故选：BC 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，举出反例；BC选项，由不等式性质得到BC正确；D选项，判断出，D正确. 【详解】对于A，若，取，，则，A错误； 对于B，若，则，B正确； 对于C，，两边同乘以得，，C正确； 对于D，由知，则，故，D正确． 故选：BCD． 11. 下列说法正确的有　　 A. 若，则的最大值是 B. 若，则的最小值为2 C. 若，，均为正实数，且，则的最小值是4 D. 已知，，且，则最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据选项中各式的特点，进行适当变形，使用基本不等式进行判断．注意“1”的妙用及等号能否取到． 【详解】对于，由可得， 由基本不等式可得， 当且仅当即时取等号， 所以的最大值为，故正确； 对于，， 当且仅当时等号成立，但此时无解，等号无法取得， 则最小值不为2，故错误； 对于，由可得 ， 当且仅当且，即，，时，等号成立， 由于，，均为正实数，则等号取不到，故错误； 对于，由可得， 代入到， 当且仅当即时，等号成立，故正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据实数指数幂运算法则进行计算即可. 【详解】原式． 故答案为： 13. 若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合，，若这两个集合构成“全食”或“偏食”，则实数a的值为__________. 【答案】0或1或4 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，再结合“全食”和“偏食”的定义即可得解. 【详解】若，则，满足为的子集，此时A与B构成“全食”； 若，则， 由与构成“全食”或“偏食”，得或，解得或， 综上，实数的值为0或1或4. 故答案为：0或1或4. 14. 已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式分类讨论分析可知，为方程的根，代入化简可得，进而代入消去，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以当时，；当时. 要使关于的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立. 则当时，；当时，； 所以当时，， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知命题p：关于x的方程有实数根． （1）若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）设，，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据为真命题得到为假命题，即方程无实数根，列不等式求解即可. （2）根据得到方程没有大于的实数根，对集合分情况求解即可. 【小问1详解】 为真命题，则为假命题，即方程无实数根. 所以，即， 整理得，即，解得：. 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 由，得方程没有大于的实数根. ①当时，方程无实根，由（1）得：； ②当时，方程有实根，，即或. 设，抛物线开口向上，若两根均不大于， 则，联立解得：. 综上. 故实数的取值范围为. 16. 已知全集，集合，，． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别解分式不等式和绝对值不等式确定集合，然后由集合的运算法则计算； （2）由充分不必要条件得，再对参数分类讨论确定出集合，然后结合真子集的概念得参数范围． 【小问1详解】 ，，或， ， 所以； 【小问2详解】 若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， ， 若，则，符合题意； 若，则，若是的真子集，则， 若，则，若是的真子集，则， 综上，的范围是． 17. 某洗发水厂商为扩大销量，拟开展广告促销活动．根据前期调研，该款洗发水的月销售量a万瓶与投入的广告费用x万元满足关系式（k为常数），若不进行广告宣传，该产品的月销售量为16万瓶．已知该产品每一万瓶需要投入成本30万元，厂商将每瓶洗发水的销售价格定为元，且每月该产品都能销售完．设该产品的月销售利润为y万元．（注：销售利润＝销售收入－投入成本－广告费用） （1）求出k的值，并将y表示为x的函数； （2）求投入的广告费用为多少万元时，该产品的月销售利润最大？最大为多少？ 【答案】（1）， （2）所以当投入广告的费用为6万元时，该产品的月利润最大，最大利润为162万元. 【解析】 【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可； （2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 由题知，时，， 于是，，解得. 所以，.根据题意， 即 所以 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以当促销费用为6万元时，该产品的利润最大，最大利润为162万元. 18. 已知函数. （1）对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，结合根的判别式即可得解； （2）先因式分解，再分，和三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 由题有恒成立，即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得， 综上可得，的取值范围是； 【小问2详解】 由题，即， 当时，则，即，所以不等式的解集为； 当时，令，解得或， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为， ③当时，，不等式的解集为； 当时，则，不等式的解集为， 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. （1）证明：是一个“乘法封闭集”； （2）若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； （3）若是集合的一个“完美元素”，求的值. 【答案】（1） 设，则， 所以， 因为，所以，所以， 所以是一个“乘法封闭集”. （2），或. （3） 【解析】 【分析】（1）根据“乘法封闭集”的定义证明即可； （2）根据“乘法封闭集”的定义进行讨论即可； （3）根据“完美元素”的定义，得到m和n的关系，进行讨论排除即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意，中恰有2个元素，不妨设， 由“乘法封闭集”的定义可知，， 由，得或，即或，所以，或， 若令，则，所以，解得（舍去），此时； 若令，则，所以或，解得或（舍去），此时，或. 综上，，或. 【小问3详解】 因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 因为，所以，或. 假设，则，即为7的倍数， 设，若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数， 假设不成立，所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $