精品解析：江苏宜兴市官林中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段性测试数学试卷

官林中学2026级高一上学期第一次阶段性测试 数学试题 班级_____姓名__________10.14 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，则为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则“”是“函数为偶函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 若偶函数在上单调递减，则有（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，且恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足对定义域内任意实数，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则正确的是（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11. 下列说法中正确的是（ ） A. B. 若正实数，满足，则的最大值为 C. D. 若正实数，满足，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合的子集个数为__________个. 13. 已知函数，则______． 14. 若函数是定义在上的奇函数，且，设的最大值为，最小值为，则的值是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，且． （1）求实数的值，并用分段函数形式表示函数的解析式； （2）画出函数的图象并写出单调减区间； （3）若关于的方程总有三个实数根，求实数的取值范围． 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； （3）解关于实数的不等式. 19. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 官林中学2026级高一上学期第一次阶段性测试 数学试题 班级_____姓名__________10.14 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集概念进行计算. 【详解】. 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可； 【详解】命题“，”为全称量词命题， 其否定为：，； 故选：C 3. 已知，则“”是“函数为偶函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件的充分性和必要性判断即可. 【详解】充分性：当时，，函数是偶函数，充分性成立； 必要性：若函数是偶函数，则， 得，必要性成立 故“”是“函数为偶函数”的充要条件 故选：C 4. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断各选项的正误. 【详解】A：的定义域为，的定义域为，则A错误； B：的定义域为的定义域为，则B错误； C：和的定义域均为，且，则C正确； D：的定义域为的定义域为，则D错误. 故选：C 5. 若偶函数在上单调递减，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为偶函数在上单调递减，所以，， 所以即，故D正确.； 其余错误. 6. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，问题转化为一次或者二次不等式恒正的问题，先检验一次不等式是否符合题意，对于二次不等式，联立二次项系数范围，判别式范围求解. 【详解】∵函数的定义域为，∴对任意实数恒成立. 若，不等式转化为：，显然成立； 若，要使对任意实数恒成立，则，解得，综上所述， 故选：A 7. 已知实数，且恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用乘“1”法并结合基本不等式可求得的最小值，从而可得实数m的取值范围. 【详解】由，可得：， 又因为，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以， 由恒成立，可得，即实数m的取值范围为. 故选：A. 8. 已知函数满足对定义域内任意实数，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数为上的严格减函数，再分别保证两段函数在对应区间单调递减，且分段点处左段函数值不小于右段函数值，联立不等式求解即可. 【详解】由对任意恒成立，可知是上的严格单调递减函数，需满足三个条件： 当时，一次函数单调递减，故斜率，解得； 当时，二次函数开口向上，对称轴为， 要使其在上单调递减，需对称轴位于区间的右侧，即，解得； 在分段点处，左段函数在处的取值不小于右段函数在处的取值， 即，化简得，解得. 联立上述三个不等式取交集，得，即. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义以及常见函数的单调性，逐一判断，即可得到结果． 【详解】对于A，的定义域为，且， 所以为奇函数，且在上单调递增，故A正确； 对于B，的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，的定义域为，且， 所以为奇函数，且在上单调递增，故C正确； 对于D，的定义域为，且， 所以为奇函数，且在上单调递增，故D正确． 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则正确的是（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集可知，且是方程的两根，由韦达定理得，，再逐项验证即可. 【详解】选项A：由题意知，，是方程的两根. 由韦达定理，，，所以，，故A错误. 选项B：代入，得，故B正确. 选项C：不等式，即，又，化简得，故解集为，C正确. 选项D：代入，不等式，即， 又，化简得，即，解得或， 故解集为或，D错误. 11. 下列说法中正确的是（ ） A. B. 若正实数，满足，则的最大值为 C. D. 若正实数，满足，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过利用基本不等式（均值不等式）、柯西不等式，结合函数单调性与等号成立条件，对每个选项逐一分析判断. 【详解】对于A：当时，，当且仅当时取等号； 当时，，当且仅当时取等号， 故A错误； 对于B： ， ，所以，， 即，等号成立条件：， 即，联立，解得，满足， 故最大值为，故B正确； 对于C：， 令，则，设， 由对勾函数单调性可知：函数在上单调递增， ， 因为，所以，不等式成立，故C正确； 对于D：由，得，其中， ， ，当且仅当，即时取等号， 此时，符合条件， 于是，即的最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合的子集个数为__________个. 【答案】4 【解析】 【分析】根据“集合中有个元素，子集个数为”可得结果. 【详解】∵集合中元素个数为2， ∴集合的子集个数为. 故答案为：4. 13. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的定义直接计算. 【详解】由已知， 则， 故答案为：. 14. 若函数是定义在上的奇函数，且，设的最大值为，最小值为，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用奇函数定义域关于原点对称求出，再由奇函数不含偶次项和常数项的性质求出，最后结合奇函数在对称区间上最值互为相反数的性质计算.  【详解】 因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 此时定义域为，符合要求，则. 又，则 ， 所以，，解得，. 则. 又，则是定义在上的奇函数， 根据奇函数的性质，可知，因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或，或 （2） 【解析】 【分析】（1）先解一元二次不等式化简集合，代入得到集合，按照集合交、并、补的定义进行运算； （2）根据交集为空，利用区间位置关系列出不等式组求解参数范围，注意区分开闭区间． 【小问1详解】 当时，， 或， 所以或， 所以或或， 所以或或或， 【小问2详解】 或，， 因为，所以，解得， 所以实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入参数解一元二次不等式； （2）先对二次式因式分解，按正负、与大小关系分类讨论写出解集； （3）利用二次函数单调性，结合开口方向、对称轴位置列不等式求的范围． 【小问1详解】 当时，，解得， 所以当时，不等式的解集为； 【小问2详解】 ， 当时，，， 所以不等式的解集为； 当时，，， 所以不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，，， 所以不等式的解集为． 【小问3详解】 因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，且． （1）求实数的值，并用分段函数形式表示函数的解析式； （2）画出函数的图象并写出单调减区间； （3）若关于的方程总有三个实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2），单调减区间为和 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性及函数值，可得函数解析式； （2）根据函数解析式作出函数图象，进而判断函数单调减区间； （3）可转化为函数与函数的交点个数，结合图象即可求解. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，且， 所以，即，解得， 即当时，， 当时，，则， 则， 当时，， 综上所述，. 【小问2详解】 函数的图象如下： 由图可知，函数的单调减区间为和. 【小问3详解】 方程有三个实数根， 即函数与有三个公共点， 则根据函数图象可知或或， 所以实数的取值范围是或或. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； （3）解关于实数的不等式. 【答案】（1） （2）函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 因此函数在区间上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，结合，列方程求解即可； （2）根据的解析式结合单调性的定义证明即可； （3）根据函数的奇偶性化简不等式，再利用单调性求解即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，则， 由，解得， 所以，故函数的解析式为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，函数是定义在上的奇函数， 则由，得， 即， 又函数是定义在区间上的单调递增函数， 所以，解得， 则关于实数的不等式的解集为. 19. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 【答案】（1）和3 （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义列方程，解二次方程即可； （2）根据不动点定义得方程有两个不相等的正实数根，列不等式求得，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可； （3）根据不动点定义得，结合判别式即可求解. 【小问1详解】 由题意知，即，则， 解得，，所以不动点为和3. 【小问2详解】 依题意，有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，解得， 所以 ， 因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8. 【小问3详解】 由题知：， 所以，由于函数恒有不动点， 所以，即， 又因为是任意实数，所以， 即，解得，所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了新定义，解题关键是把握不动点的定义，转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数、判别式来求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $