12 概率与统计 专项训练 2027年中考数学一轮复习（新疆专用）

12 概率与统计 专项训练 2027年数学中考复习（新疆专用） 基于2026年新疆中考数学试题分析 【真题（第12题）】如果在一次投米试验中，结果落在区域中的每一点都是等可能的．如图，是一个正方形及其内切圆，且正方形的边长为，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率是____________． 【答案】 【分析】先计算正方形的面积，再计算内切圆的面积，最后用内切圆面积除以正方形面积，得到米粒落在圆内的概率． 【详解】解：∵正方形边长为， ∴正方形面积 ， ∵正方形的内切圆直径等于正方形边长， ∴圆的半径 ， 圆面积 ， ∴概率． 【真题（第19题）】为了解某景区游客消费情况，某天工作人员采用抽样调查的方法，随机抽取若干名游客，调查人均日消费金额．统计情况如下表： 【数据收集与整理】 组别 人均日消费金额x（元） 组中值 频数 频率 A 100 20 0.1 B 300 60 0.3 C 500 a 0.4 D 700 30 b E 900 10 0.05 【数据描述】 【数据分析与应用】根据以上信息，解答下列问题： (1)频数分布表中____________，____________； (2)补全频数分布直方图； (3)用组中值表示该组人均日消费金额，根据统计信息，估计这一天游客人均日消费金额的平均数； (4)从D组，E组中各选取2人，在这4人中再随机抽取2人进行访谈，请利用列表法或树状图法求这2人恰好来自同一组别的概率． 【答案】(1)80；0.15；(2)解：补图如下： (3)450元；(4) 【分析】 （1）求出样本容量，减去已知几个组的人数即可求出a的值；用组的人数除以样本容量即可求出b的值； （2）根据（1）中结果补图即可； （3）根据加权平均数定义求解即可； （4）根据题意画出树状图，可分别得到总共有多少种等可能的结果与符合条件的结果，根据概率公式即可求解． 【详解】 （1）解：样本容量为， ∴， ； （2）略 （3）解：， 答：估计这一天游客人均日消费金额的平均数为450元； （4）解：记D组两人为、；E组两人为、， 画树状图如下： 共12种等可能结果，其中2人恰好来自同一组别的结果为4种， ∴2人恰好来自同一组别的概率为. 中考第12题和第19题属于简单题，主要考察如下知识点： 知识点 2026年模拟考试考察次数 几何概率★ 2次 求加权平均数★ 2次 频数分布表★ 6次 频数分布直方图★ 5次 由样本所占百分比估计总体的数量★ 24次 列表法或树状图法求概率★ 25次 事件的分类 3次 根据概率公式计算概率 11次 用频率估计概率的综合应用 2次 求扇形统计图的圆心角 13次 由扇形统计图求总量 6次 条形统计图和扇形统计图信息关联 15次 求众数 9次 求中位数 13次 【知识点简介】 求中位数 将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数． 例 一组数据且 中位数为 一组数据且 中位数为 求众数 一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数． 求加权平均数 若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数． 统计相关概念 总体 调查时，调查对象的全体叫做总体． 个体 组成总体的每一个调查对象叫做个体． 样本 从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本． 样本容量 样本中个体的数量叫做样本容量（不带单位）． 调查的方法 全面调查 考察全体对象的调查叫做全面调查． 抽样调查 从调查对象中抽取部分对象进行调查，然后根据调查的数据推断全体对象的情况，这种调查方式称为抽样调查． 调查方法的 选择 ①全面调查是对考查对象的全体调查，它要求对考查范围内所有个体进行一个不漏的逐个准确统计；而抽样调查则只是对总体中的部分个体进行调查，以样本来估计总体的情况． ②在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小． 数据的描述 描述数据的方法有两种：统计表和统计图． 统计表 利用表格将要统计的数据填入相应的表格内，表格统计法可以很好地整理数据． 统计图 利用“条形图”、“扇形图”、“折线图”描述数据，这样做的最大优点是将表格中的数据所呈现出来的信息直观化． 条形统计图 用线段长度表示数据，根据数据的多少画成长短不同的长方形直条，然后按顺序把这些直条排列起来，条形统计图很容易看出数据的大小，便于比较，但不能清楚地反映各部分占总体的百分比． 扇形统计图 用整个圆表示总体，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量，从扇形上可清楚地看出各部分量和总数量之间的关系，但不能直接表示出各个项目的具体数据． 因为整个圆的一周是360°，扇形统计图就是用圆心角的大小来反映各部分所占的比例。百分比越大，扇形越"胖"，圆心角越大。 折线统计图 用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况，但不能清楚地反映数据的分布情况． 组距 每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）． 频数 落在各小组内数据的个数． 频数分布表 把各个类别及其对应的频数用表格的形式表示出来，所得表格就是频数分布表． 频数分布 直方图 频数分布 直方图 是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小，直方图由横轴、纵轴、条形图三部分组成． 横轴 直方图的横轴表示分组的情况（数据分组）； 纵轴 直方图的纵轴表示频数； 条形图 直方图的主体部分是条形图，每一条是立于横轴之上的一个长方形、底边长是这个组的组距，高为频数． 作直方图的 步骤 ①计算最大值与最小值的差； ②决定组距与组数； ③列频数分布表； ④画频数分布直方图． 直方图和 条形图 联系 它们都是用矩形来表示数据分布情况的；当矩形的宽度相等时，都是用矩形的高来表示数据分布情况的； 区别 由于分组数据具有连续性，直方图中各矩形之间通常是连续排列，中间没有空隙，而条形图中各矩形是分开排列，中间有一定的间隔；直方图是用面积表示各组频数的多少，而条形图是用矩形的高表示频数． 考点公式 由样本所占百分比估计总体的数量 样本百分比×总体总数=估计数量 求扇形统计图的圆心角 圆心角=该部分所占百分比× 由扇形统计图求总量 核心思想：扇形统计图给你的是"一角"——一个扇形的圆心角（或百分比），以及这个扇形所代表的具体数量，就可以反推出总量。 已知某扇形的圆心角和它对应的实际数量 已知某扇形的百分比和它对应的实际数量 已知 求 公式 总量+百分比 部分数量 总量百分比 部分数量+百分比 总量 部分数量百分比 部分数量+总量 百分比 部分数量总量 概率 事件的类型 必然事件 在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件． 不可能事件 在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件． 随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 概率 定义 对于一个随机事件，把刻画其发生可能性大小的数值称为随机事件发生的概率，记为． 核心公式 若一次试验中有种等可能的结果，事件包含其中的种结果，则=． 列举法的适用场景 直接列举法 适用于试验涉及的对象单一、等可能结果数目较少的情况； 列表法 适用于一次试验涉及两个因素，且等可能结果数目较多的情况； 树状图法 用树形结构分层展开，每一步有几个分支就画几条线，最终所有"叶子"就是所有结果． 适用于一次试验涉及三个或更多个因素，需不重不漏列出所有等可能结果的情况． 画法步骤： ①从起点开始画一个点； ②第一步有几种选择，就画几条分支； ③每条分支的末端，再画出第二步的几种选择； ④以此类推，直到最后一步； ⑤沿着每条路径从起点走到终点，就是一个结果． 注意 区分“放回”与“不放回” 放回：每步选择不变； 不放回：每步选择减少 确认是否“等可能” 只有等可能结果才能直接数个数求概率 区分相同颜色的不同个体 如2个白球，应标为白₁、白₂，视为不同结果，保证等可能 顺序是否重要 （正,反）和（反,正）是不同的结果，除非题目明确说不分顺序 频率与概率的关系 在大量重复试验中，事件发生的频率（为发生次数，为试验总次数）会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件的概率，即． 频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． 古典概型 概念 所有基本事件发生的可能性相等时，概=符合条件的结果数÷总结果数 公式 计算步骤 ①判断试验结果是否为等可能事件； ②确定试验的总结果数； ③找出事件A包含的结果数； ④代入公式计算概率． 频率估计概率 介绍 古典概型虽好，但有两个严格的前提：有限性 + 等可能性。现实中大量随机事件并不满足这两个条件；当古典概型失效时，我们就用"做实验、统计数据"的方式来估计概率——这就是频率估计概率。 频率 ， 概率 概率是一个理论值，表示随机事件发生的可能性大小，是一个固定的数； 频率 概率 性质 实验值，会波动 理论值，固定不变 获得方式 通过实验统计 通过理论分析 稳定性 随试验次数变化 稳定不变 符号 通常写为 通常写为 计算步骤 ①收集大量重复试验的频率数据； ②观察频率的稳定值，将其作为概率的估计值； ③应用于实际问题，如通过摸球试验频率估计袋中某种颜色球的数量． 游戏公平性的判断 ①计算游戏双方各自获胜的概率； ②若双方获胜概率相等，则游戏公平；若不相等，则游戏不公平； ③可通过调整规则（如改变得分标准、试验条件）使游戏公平． 几何概型 概念 如果每个基本事件发生的可能性相等，且基本事件的总数无限，但可以用几何度量（长度、面积、体积、角度等）来描述， 那么： 或 类型 几何度量 公式 线段型 长度 平面型 面积 立体型 体积 角度型 角度 核心技巧 模型 适用场景 解题方法 古典概率 计算模型 已知试验的等可能结果，求随机事件的概率，包括“放回”与“不放回”情境、单因素与多因素试验． ①单因素：直接列举法，确定总结果数n和事件A包含的结果数m，代入； ②双因素：列表法，横行列第一个因素结果，竖行列第二个因素结果，统计总结果数和目标结果数； ③三因素及以上：树状图法，按步骤列出所有结果，避免重复或遗漏； ④区分“放回”（总结果数不变）与“不放回”（总结果数递减）． 频率估计概率模型 无法直接计算概率的实际问题，如估计总体数量、预测事件发生可能性． ①收集数据：进行大量重复试验，记录事件发生的频率； ②估计概率：取频率的稳定值作为概率的估计值； ③应用：若已知总体数量，可通过“事件发生数量=总体数量×概率估计值”计算；若已知事件发生数量和频率，可估计总体数量． 几何概率计算模型 随机点落在几何图形内的概率问题，如投镖、转盘、区域取点等，基本事件与几何度量（长度、面积、体积）相关． ①确定几何模型：根据情境判断用长度、面积还是体积作为度量标准； ②计算总区域度量值S总和事件A对应的区域度量值； ③代入公式计算； ④确保随机点在区域内均匀分布，保证结果的等可能性． 概率与统计综合模型 结合统计图表（条形统计图、扇形统计图、折线统计图）或统计数据（平均数、众数、中位数）求概率． ①解读统计图表：从图表中提取数据，确定试验的总结果数（如总人数、总次数）； ②确定事件A对应的统计数据（如符合条件的人数、次数）； ③将统计数据转化为总结果数和目标结果数，代入概率公式计算． 2026年乌鲁木齐中考模拟考试汇编： 1．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）在下列事件中，不可能事件是（   ） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【详解】解：选项A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不合题意； 选项B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，属于不可能事件，符合题意； 选项C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意； 选项D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意； 综上，只有选项B符合不可能事件的定义，故选：B． 2．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（   ）． A．3个都是正品 B．至少有1个是次品 C．3个都是次品 D．至少有1个是正品 【答案】D 【详解】解：∵次品总数为2个， ∴抽取3个产品时，最多只能抽取到2个次品， ∴至少有一个正品， ∴ “至少有1个是正品”是必然事件；选项A和B是随机事件，选项C是不可能事件． 3．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）从，1，2这三个数中任取两个数作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ∴， 即且， 列表如下，           ab 1 2 2 一共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同， 其中满足的结果数有3种：，；，；，； 故关于的一元二次方程有实数根的概率是． 4．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）某校社团开展关于古代四大发明的项目式学习活动，小明从造纸术、印刷术、指南针、火药项目中随机选择一项，恰好选择“造纸术”这个项目的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：∵ 总共有造纸术、印刷术、指南针、火药4个等可能选择的项目，选择“造纸术”的结果只有1种 ∴ 恰好选择“造纸术”的概率为． 5．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）不透明的袋子中有3个白球和2个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，恰好是白球的概率为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵有5种可能性,白球有3种可能性, ∴摸出1个球，恰好是白球的概率为,故选C． 6．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）2021年“绿城·春风江南”杯洛阳元旦长跑暨半程马拉松赛于2021年1月1日盛大开赛，小明和小刚分别从A、B、C三个组中随机选择一个组参加志愿者活动，假设每人参加这三个组的可能性都相同，小明和小刚恰好选择同一组的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一组的有3种情况， ∴． 7．（2026·新疆昌吉·二模）如图是一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品，则获得一等奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由扇形统计图得出一等奖的圆心角是， 则， 即获得一等奖的概率为，故选：A． 8．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）李伟同学购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，则“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：一共有5种等可能性，“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的有2种可能， ∴“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是． 9．（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）图，在标有数字1，2，3，4的四宫格里任选两个小方格，则所选方格中数字之和为4的概率是________． 【答案】 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 1 3 4 5 2 3 5 6 3 4 5 7 4 5 6 7 共有12种等可能的结果，其中和为4有2种等可能的结果， ∴． 10．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）把英文单词“”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡的概率是_______． 【答案】 【详解】 根据题意，画出树状图如下： 从中随机抽取2张共有30种等可能性，其中恰好是字母相同的两张卡片有4种， 从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的概率为． 【频率估算概率】 11．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）不透明袋子中有1个黑球，2个红球，3个白球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀后重复操作，某一颜色的球出现的频率如图所示，则此球的颜色最有可能是___________． 【答案】红球 【详解】解：观察统计图可知：该球的频率稳定在左右， 即抽到该球的概率为， 球的总个数为：（个）， 抽到黑球的概率为， 抽到红球的概率为， 抽到白球的概率为， 抽到黄球的概率为， 所以此球的颜色最有可能是红球． 12．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球_______个． 【答案】12 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.4， ∴摸到黄球的概率是0.4， ∴黄球的个数为（个）， ∴口袋中大约有红球（个），故答案为：12． 【统计与概率综合】 13．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，，，四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题： (1)本次抽样调查共抽取了_____名学生，并补全条形统计图； (2)“B等级”在扇形图中的圆心角度数为_____； (3)若从体能测试结果为等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为重点帮扶对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率． 【答案】(1)，补全条形图如图： (2)；(3) 【详解】 （1）解：（名）． C等级学生人数为：（人）． 故答案为：50． （2）解：测试结果为等级的学生数为20名， ． 故答案为：． （3）解：画出树状图如下： 共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2． 所以抽取的两人恰好都是男生的概率为． 14．（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）某校数学兴趣小组的同学们从“校园农场“中随机抽取了20棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿的个数．其数据如下：28，36，37，39，42，45，46，47，48，50，54，54，54，54，55，60，62，62，63，64．通过对以上数据的分析整理，绘制了统计图表： 分组 频数 组内小西红柿的总个数 1 28 n 154 9 452 6 366 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图；这20个数据的众数是 ； (2)求这20个数据的平均数； (3)“校园农场“中共有300棵这种西红柿植株，请估计这300棵西红枝植株上小西红柿的总个数． 【答案】(1)54，补全频数分布直方图如下；(2)50；(3)15000个 【详解】 （1）解：由题意得，， 这20个数据中，54出现的次数最多，故众数为54； （2）解：． ∴这20个数据的平均数是50； （3）解：所求总个数：（个． ∴估计这300棵西红柿植株上小西红柿的总个数是15000个． 15．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： (1)①此次调查一共随机抽取了 名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角 度； (2)若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； (3)学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【答案】(1)①400；②补全条形统计图如下： ③54° (2)980人；(3) 【详解】 （1）解：①调查人数：（名）， 故答案为：400； ②A组的人数：（名）， C组的人数：（名）， ③扇形统计图中圆心角， 故答案为：， （2）解：（人）， 答：参加D组（阅读）的学生人数为980人； （3）解：树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两人同时参赛的有两种， ∴P（恰好抽中甲、乙两人）． 16．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 七年级 95 八年级 92.5 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中的_____，_____，_____（填“”“”或“”）； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由； (3)该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 【答案】(1)93.2；96.5；；(2)我认为该校七年级学生环保知识掌握较好，理由：七年级这10名学生成绩；的平均数较高，且方差较小；（答案不唯一，言之有理即可） (3)256人 【详解】 （1）解：依题意，， 把八年级的成绩从大到小排序：， 位于中间位置的数分别为， 观察七，八年级的成绩统计图得出七年级成绩波动不大，稳定性较好，八年级成绩波动较大，稳定性较差， ∴； （2）略 （3）解：依题意，， 估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为256人． 17．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ；请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； (3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 【答案】(1)10%，30%，补全频数分布直方图如下： (2)4；(3)全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人 【详解】（1）解：抽取的学生人数为人， 则， ， ，， （2）解：抽取的名学生竞赛成绩中，中位数为第和名学生竞赛成绩的平均数， 由（1）可知，第1组有5人，第2组有10人，第3组有15人，第4组有40人， 前三组人数为人，前四组人数为人， 则中位数处于第4组的分数段内， 故答案为：4； （3）解：由（1）可知，，即全校91分以上的同学占比约为， 则全校91分以上的同学约有（人）， 答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人． 18．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）为培养学生科学素养，某校在七、八年级开展“智创未来”校园科技挑战赛活动，随机抽取了七、八年级各20名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析（数据分成四组：A．，B．，C．，D．）． 下面给出了部分信息： 七年级20名学生的挑战赛成绩是： 61，61，62，63，69，70，72，72，72，72，75，75，76，79，80，85，92，99，99，100． 八年级20名学生的挑战赛成绩在B组中的数据是：70，70，70，70，71，72， 七、八年级抽取的学生挑战赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 76.7 73 中位数 73.5 a 众数 b 70 八年级抽取的学生挑战赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ； (2)在八年级抽取的学生挑战赛成绩扇形统计图中，B组对应的圆心角为 度； (3)已知七年级有600名学生，八年级有800名学生，请估计全校七、八年级挑战赛成绩在80分及以上的学生人数． 【答案】(1)70，72；(2)108；(3)全校七、八年级挑战赛成绩在80分及以上的学生人数约有420人 【详解】 （1）解：八年级B组有6人，成绩从小到大排序为：70，70，70，70，71，72， 八年级C组有（人），D组有（人）， ∴A组有（人）， ∴八年级20名学生成绩的中位数是第10，11名学生成绩的平均数，即， 七年级20名学生成绩中，出现次数最多的是72， ∴； （2）解：， 故答案为：108； （3）解：（人）， ∴全校七、八年级挑战赛成绩在80分及以上的学生人数约有420人． 19．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）受2025年春晚节目《秧》的影响，人形机器人跳舞引发一番浪潮．为满足市场需求，某商场准备购入一批人形机器人，现有和两款人形机器人适合．相关调研人员分别随机调查了这两款机器人各10台，记录了它们续航时间x（分钟），并将其分四个等级：不合格，合格，良好，优秀，调查结果如下： 款：111，115，112，108，118，122，114，115，105，110； 款： 根据以上信息，解答下列问题： 类别 平均数 中位数 众数 方差 113 113 a 21.8 b c 112 36.6 (1)上表中________，________，________； (2)若该商场购买一批款人形机器人500台，请估算这批款人形机器人续航时长的等级为“良好及以上”的台数； (3)根据题中的信息和数据，你认为商场应该选择哪款人形机器人？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】(1)115，113，112；(2)350台；(3)选择款人形机器人，理由：根据表中的和两款人形机器人的平均数相同，款人形机器人的中位数，众数和方差都优于款人形机器人，因此商场应该选择款人形机器人． 【详解】 （1）解：∵款：111，115，112，108，118，122，114，115，105，110， ∴从小到大排列：105，108，110，111，112，114，115，115， 118，122， ∴； ∵款：109，118，102，119，106，112，123，112，112，117， ∴从小到大腓列：102，106，109，112，112，112，117，118，119，123， ∴ ， ∵第5个与第6个数都是112， ∴， 故答案为：115，113，112； 类别 平均数 中位数 众数 方差 113 113 115 21.8 113 112 112 36.6 （2）解：（台）， 故这批款人形机器人续航时长的等级为“良好及以上”的约350台； 20．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备10队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期队员 2月10日 2月21日 3月5日 3月14日 3月25日 4月7日 4月17日 4月27日 5月8日 5月20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)分别写出：甲的中位数是__________；乙的中位数是__________． (2)根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (3)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； (4)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 【答案】(1)84， (2)甲、乙两人平均水平相当，乙的成绩比甲更稳定 (3)近五年获奖分数线平均数为，选甲更合适 (4)选甲更合适，， ∵甲的成绩超过的频数有4个，乙的成绩超过的频数有1个， ∴选甲更合适． 【详解】 （1）解：甲的成绩从小到大排列为73，75，80，81，83，85，90，92，95，96，则中位数为； 乙的成绩从小到大排列为82，82，83，83，84，85，86，86，87，92，则中位数为． （2）解：∵甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是， ∴，， ∴甲、乙两人平均水平相当，乙的成绩比甲更稳定． （3）略 （4）解：选甲更合适．理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适． 21．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）某校组织七、八年级学生参加人工智能科普测试，从两个年级中各随机抽取20名学生的成绩进行整理分析，各分成、、、四组（用表示成绩分数），组：，B组：，C组：，D组：，下面是部分信息： 七年级20名学生的得分在组中的分数为：84，86，86，87，88，89； 八年级20名学生的得分：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100； 抽取的七年级和八年级学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 组所占百分比 七 88 96 八 88 87.5 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由（写出一条理由即可）： (3)已知该校七年级有1000人参加测试，八年级有900人参加测试，请估计七、八两个年级得分在组的共有多少人？ 【答案】(1)，， (2)七年级在此次人工智能科普测试中表现更好 (3)估计七、八年级得分在组的共有人 【详解】 （1）解：八年级20名学生的得分中98出现4次，出现的次数最多，故八年级的众数； 七年级20名学生中，组有人，七年级20名学生的得分按从大到小排列，前名都在组，第10名得分89，第11名88，故七年级中位数， 七年级20名学生中，组有人，组有人，组有人，则组有人，故，， 故答案为：，，； （2）解：七年级在此次人工智能科普测试中表现更好， 由表知，七、八年级学生成绩的平均数相等，而七年级成绩的中位数大于八年级，组高分段人数更多，所以七年级高分人数多于八年级， 所以七年级在此次人工智能科普测试中表现更好； （3）解：， 答：估计七、八年级得分在组的共有人． 22．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）为了解八年级学生的体育运动水平，某校对全体八年级学生进行了体能测试．老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100分）作为样本进行整理和分析（成绩共分成五组： A．，B．，C．，D．，E．），并绘制了不完整的统计图表． 【收集、整理数据】20名男生的体能测试成绩分别为： 54，57，69，76，77，77，78，86，87，88，88，89，89，89，90，93，93，95，98，99； 女生C组体能测试成绩为73，74，74，74，76，78； D组体能测试成绩为82，88，89． 【分析数据】两组样本不完整的统计图表： 测试成绩 平均数 中位数 众数 男生 88 a 女生 b 74 请根据以上信息，回答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)填空： ， ； (3)女生体能测试扇形统计图中，E组所对应的扇形圆心角的度数是 ； (4)若该校八年级有男生260名，女生220名，请估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数． 【答案】(1)补全频数分布直方图： (2)；；(3)；(4)人 【详解】 （1）解：20名男生的体能测试成绩的人数为：人； 补全频数分布直方图略 （2）解：男生成绩的众数， 根据扇形统计图得到女生组各人，组人，组人，中位数为第个数据的平均数， 第个为组数据最后一个，第个为组数据第一个， 女生成绩的中位数， 故答案为：；； （3）解：组所占百分比：， 组所占百分比， 组所占百分比， ， 故答案为：； （4）解：男生不低于分的学生人数为人， 女生不低于分的学生人数为， 故八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数：人． 答：八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数为人． 23．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分  满分100分  均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图： 其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： (1)B组15个成绩的平均数为______分； (2)本次被抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的所有成绩的中位数为______分； (3)学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 【答案】(1)；(2)，；(3)人 【详解】 （1）解：B组15个成绩的平均数为： ； （2）解：∵， ∴本次被抽取的所有成绩的个数为， ∵，而， 所抽取的50个成绩分数排序后排在第个，第个分数落在B组， 而B组成绩排序后为： 从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． ∴第个，第个分数， 本次被抽取的所有成绩的中位数为分； （3）解：学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，则本次竞赛的获奖人数为（人）. 24．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级： （：，：，：，：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 乙 乙款聊天机器人的评分人数扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________； (2)计算乙款聊天机器人的评分扇形统计图中组对应的圆心角； (3)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数： (4)Deepseek（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择Deepseek的概率． 【答案】(1)；；(2)；(3)人；(4) 【详解】 （1）解：根据题意可知，甲款满意度的众数为，故； 乙款、组共有个数据，则乙组的中位数为第个、第个数的平均数，即，故． 答：，． （2）解：根据（1）可知，乙款组人数为人，则组人数为人， 则其对应圆心角：． 答：． （3）解：乙款组人数为人， 组人数占比为， 组人数占比为， 组人数为人， 在乙款调查用户中，非常满意的人数为人， 在甲组用户中，非常满意的人数为人， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． 答：对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． （4）解：画树状图列出所有可能的结果为： 共有种等可能的结果数，其中两人中至少有一人选择Deepseek的结果数为种， 故两人中至少有一人选择Deepseek的概率为． 试卷第2页（共29页） 试卷第1页（共29页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 12 概率与统计 专项训练 2027年数学中考复习（新疆专用） 基于2026年新疆中考数学试题分析 【真题（第12题）】如果在一次投米试验中，结果落在区域中的每一点都是等可能的．如图，是一个正方形及其内切圆，且正方形的边长为，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率是____________． 【真题（第19题）】为了解某景区游客消费情况，某天工作人员采用抽样调查的方法，随机抽取若干名游客，调查人均日消费金额．统计情况如下表： 【数据收集与整理】 组别 人均日消费金额x（元） 组中值 频数 频率 A 100 20 0.1 B 300 60 0.3 C 500 a 0.4 D 700 30 b E 900 10 0.05 【数据描述】 【数据分析与应用】根据以上信息，解答下列问题： (1)频数分布表中____________，____________； (2)补全频数分布直方图； (3)用组中值表示该组人均日消费金额，根据统计信息，估计这一天游客人均日消费金额的平均数； (4)从D组，E组中各选取2人，在这4人中再随机抽取2人进行访谈，请利用列表法或树状图法求这2人恰好来自同一组别的概率． 中考第12题和第19题属于简单题，主要考察如下知识点： 知识点 2026年模拟考试考察次数 几何概率★ 2次 求加权平均数★ 2次 频数分布表★ 6次 频数分布直方图★ 5次 由样本所占百分比估计总体的数量★ 24次 列表法或树状图法求概率★ 25次 事件的分类 3次 根据概率公式计算概率 11次 用频率估计概率的综合应用 2次 求扇形统计图的圆心角 13次 由扇形统计图求总量 6次 条形统计图和扇形统计图信息关联 15次 求众数 9次 求中位数 13次 【知识点简介】 求中位数 将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数． 例 一组数据且 中位数为 一组数据且 中位数为 求众数 一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数． 求加权平均数 若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数． 统计相关概念 总体 调查时，调查对象的全体叫做总体． 个体 组成总体的每一个调查对象叫做个体． 样本 从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本． 样本容量 样本中个体的数量叫做样本容量（不带单位）． 调查的方法 全面调查 考察全体对象的调查叫做全面调查． 抽样调查 从调查对象中抽取部分对象进行调查，然后根据调查的数据推断全体对象的情况，这种调查方式称为抽样调查． 调查方法的 选择 ①全面调查是对考查对象的全体调查，它要求对考查范围内所有个体进行一个不漏的逐个准确统计；而抽样调查则只是对总体中的部分个体进行调查，以样本来估计总体的情况． ②在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小． 数据的描述 描述数据的方法有两种：统计表和统计图． 统计表 利用表格将要统计的数据填入相应的表格内，表格统计法可以很好地整理数据． 统计图 利用“条形图”、“扇形图”、“折线图”描述数据，这样做的最大优点是将表格中的数据所呈现出来的信息直观化． 条形统计图 用线段长度表示数据，根据数据的多少画成长短不同的长方形直条，然后按顺序把这些直条排列起来，条形统计图很容易看出数据的大小，便于比较，但不能清楚地反映各部分占总体的百分比． 扇形统计图 用整个圆表示总体，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量，从扇形上可清楚地看出各部分量和总数量之间的关系，但不能直接表示出各个项目的具体数据． 因为整个圆的一周是360°，扇形统计图就是用圆心角的大小来反映各部分所占的比例。百分比越大，扇形越"胖"，圆心角越大。 折线统计图 用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况，但不能清楚地反映数据的分布情况． 组距 每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）． 频数 落在各小组内数据的个数． 频数分布表 把各个类别及其对应的频数用表格的形式表示出来，所得表格就是频数分布表． 频数分布 直方图 频数分布 直方图 是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小，直方图由横轴、纵轴、条形图三部分组成． 横轴 直方图的横轴表示分组的情况（数据分组）； 纵轴 直方图的纵轴表示频数； 条形图 直方图的主体部分是条形图，每一条是立于横轴之上的一个长方形、底边长是这个组的组距，高为频数． 作直方图的 步骤 ①计算最大值与最小值的差； ②决定组距与组数； ③列频数分布表； ④画频数分布直方图． 直方图和 条形图 联系 它们都是用矩形来表示数据分布情况的；当矩形的宽度相等时，都是用矩形的高来表示数据分布情况的； 区别 由于分组数据具有连续性，直方图中各矩形之间通常是连续排列，中间没有空隙，而条形图中各矩形是分开排列，中间有一定的间隔；直方图是用面积表示各组频数的多少，而条形图是用矩形的高表示频数． 考点公式 由样本所占百分比估计总体的数量 样本百分比×总体总数=估计数量 求扇形统计图的圆心角 圆心角=该部分所占百分比× 由扇形统计图求总量 核心思想：扇形统计图给你的是"一角"——一个扇形的圆心角（或百分比），以及这个扇形所代表的具体数量，就可以反推出总量。 已知某扇形的圆心角和它对应的实际数量 已知某扇形的百分比和它对应的实际数量 已知 求 公式 总量+百分比 部分数量 总量百分比 部分数量+百分比 总量 部分数量百分比 部分数量+总量 百分比 部分数量总量 概率 事件的类型 必然事件 在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件． 不可能事件 在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件． 随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 概率 定义 对于一个随机事件，把刻画其发生可能性大小的数值称为随机事件发生的概率，记为． 核心公式 若一次试验中有种等可能的结果，事件包含其中的种结果，则=． 列举法的适用场景 直接列举法 适用于试验涉及的对象单一、等可能结果数目较少的情况； 列表法 适用于一次试验涉及两个因素，且等可能结果数目较多的情况； 树状图法 用树形结构分层展开，每一步有几个分支就画几条线，最终所有"叶子"就是所有结果． 适用于一次试验涉及三个或更多个因素，需不重不漏列出所有等可能结果的情况． 画法步骤： ①从起点开始画一个点； ②第一步有几种选择，就画几条分支； ③每条分支的末端，再画出第二步的几种选择； ④以此类推，直到最后一步； ⑤沿着每条路径从起点走到终点，就是一个结果． 注意 区分“放回”与“不放回” 放回：每步选择不变； 不放回：每步选择减少 确认是否“等可能” 只有等可能结果才能直接数个数求概率 区分相同颜色的不同个体 如2个白球，应标为白₁、白₂，视为不同结果，保证等可能 顺序是否重要 （正,反）和（反,正）是不同的结果，除非题目明确说不分顺序 频率与概率的关系 在大量重复试验中，事件发生的频率（为发生次数，为试验总次数）会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件的概率，即． 频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． 古典概型 概念 所有基本事件发生的可能性相等时，概=符合条件的结果数÷总结果数 公式 计算步骤 ①判断试验结果是否为等可能事件； ②确定试验的总结果数； ③找出事件A包含的结果数； ④代入公式计算概率． 频率估计概率 介绍 古典概型虽好，但有两个严格的前提：有限性 + 等可能性。现实中大量随机事件并不满足这两个条件；当古典概型失效时，我们就用"做实验、统计数据"的方式来估计概率——这就是频率估计概率。 频率 ， 概率 概率是一个理论值，表示随机事件发生的可能性大小，是一个固定的数； 频率 概率 性质 实验值，会波动 理论值，固定不变 获得方式 通过实验统计 通过理论分析 稳定性 随试验次数变化 稳定不变 符号 通常写为 通常写为 计算步骤 ①收集大量重复试验的频率数据； ②观察频率的稳定值，将其作为概率的估计值； ③应用于实际问题，如通过摸球试验频率估计袋中某种颜色球的数量． 游戏公平性的判断 ①计算游戏双方各自获胜的概率； ②若双方获胜概率相等，则游戏公平；若不相等，则游戏不公平； ③可通过调整规则（如改变得分标准、试验条件）使游戏公平． 几何概型 概念 如果每个基本事件发生的可能性相等，且基本事件的总数无限，但可以用几何度量（长度、面积、体积、角度等）来描述， 那么： 或 类型 几何度量 公式 线段型 长度 平面型 面积 立体型 体积 角度型 角度 核心技巧 模型 适用场景 解题方法 古典概率 计算模型 已知试验的等可能结果，求随机事件的概率，包括“放回”与“不放回”情境、单因素与多因素试验． ①单因素：直接列举法，确定总结果数n和事件A包含的结果数m，代入； ②双因素：列表法，横行列第一个因素结果，竖行列第二个因素结果，统计总结果数和目标结果数； ③三因素及以上：树状图法，按步骤列出所有结果，避免重复或遗漏； ④区分“放回”（总结果数不变）与“不放回”（总结果数递减）． 频率估计概率模型 无法直接计算概率的实际问题，如估计总体数量、预测事件发生可能性． ①收集数据：进行大量重复试验，记录事件发生的频率； ②估计概率：取频率的稳定值作为概率的估计值； ③应用：若已知总体数量，可通过“事件发生数量=总体数量×概率估计值”计算；若已知事件发生数量和频率，可估计总体数量． 几何概率计算模型 随机点落在几何图形内的概率问题，如投镖、转盘、区域取点等，基本事件与几何度量（长度、面积、体积）相关． ①确定几何模型：根据情境判断用长度、面积还是体积作为度量标准； ②计算总区域度量值S总和事件A对应的区域度量值； ③代入公式计算； ④确保随机点在区域内均匀分布，保证结果的等可能性． 概率与统计综合模型 结合统计图表（条形统计图、扇形统计图、折线统计图）或统计数据（平均数、众数、中位数）求概率． ①解读统计图表：从图表中提取数据，确定试验的总结果数（如总人数、总次数）； ②确定事件A对应的统计数据（如符合条件的人数、次数）； ③将统计数据转化为总结果数和目标结果数，代入概率公式计算． 2026年乌鲁木齐中考模拟考试汇编： 1．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）在下列事件中，不可能事件是（   ） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心 2．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（   ）． A．3个都是正品 B．至少有1个是次品 C．3个都是次品 D．至少有1个是正品 3．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）从，1，2这三个数中任取两个数作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）某校社团开展关于古代四大发明的项目式学习活动，小明从造纸术、印刷术、指南针、火药项目中随机选择一项，恰好选择“造纸术”这个项目的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）不透明的袋子中有3个白球和2个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，恰好是白球的概率为（） A． B． C． D． 6．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）2021年“绿城·春风江南”杯洛阳元旦长跑暨半程马拉松赛于2021年1月1日盛大开赛，小明和小刚分别从A、B、C三个组中随机选择一个组参加志愿者活动，假设每人参加这三个组的可能性都相同，小明和小刚恰好选择同一组的概率是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·新疆昌吉·二模）如图是一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品，则获得一等奖的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）李伟同学购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，则“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的概率是（     ） A． B． C． D． 9．（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）图，在标有数字1，2，3，4的四宫格里任选两个小方格，则所选方格中数字之和为4的概率是________． 10．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）把英文单词“”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡的概率是_______． 【频率估算概率】 11．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）不透明袋子中有1个黑球，2个红球，3个白球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀后重复操作，某一颜色的球出现的频率如图所示，则此球的颜色最有可能是___________． 12．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球_______个． 【统计与概率综合】 13．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，，，四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题： (1)本次抽样调查共抽取了_____名学生，并补全条形统计图； (2)“B等级”在扇形图中的圆心角度数为_____； (3)若从体能测试结果为等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为重点帮扶对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率． 14．（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）某校数学兴趣小组的同学们从“校园农场“中随机抽取了20棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿的个数．其数据如下：28，36，37，39，42，45，46，47，48，50，54，54，54，54，55，60，62，62，63，64．通过对以上数据的分析整理，绘制了统计图表： 分组 频数 组内小西红柿的总个数 1 28 n 154 9 452 6 366 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图；这20个数据的众数是 ； (2)求这20个数据的平均数； (3)“校园农场“中共有300棵这种西红柿植株，请估计这300棵西红枝植株上小西红柿的总个数． 15．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： (1)①此次调查一共随机抽取了 名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角 度； (2)若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； (3)学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 16．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 七年级 95 八年级 92.5 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中的_____，_____，_____（填“”“”或“”）； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由； (3)该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 17．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ；请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； (3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 18．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）为培养学生科学素养，某校在七、八年级开展“智创未来”校园科技挑战赛活动，随机抽取了七、八年级各20名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析（数据分成四组：A．，B．，C．，D．）． 下面给出了部分信息： 七年级20名学生的挑战赛成绩是： 61，61，62，63，69，70，72，72，72，72，75，75，76，79，80，85，92，99，99，100． 八年级20名学生的挑战赛成绩在B组中的数据是：70，70，70，70，71，72， 七、八年级抽取的学生挑战赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 76.7 73 中位数 73.5 a 众数 b 70 八年级抽取的学生挑战赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ； (2)在八年级抽取的学生挑战赛成绩扇形统计图中，B组对应的圆心角为 度； (3)已知七年级有600名学生，八年级有800名学生，请估计全校七、八年级挑战赛成绩在80分及以上的学生人数． 19．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）受2025年春晚节目《秧》的影响，人形机器人跳舞引发一番浪潮．为满足市场需求，某商场准备购入一批人形机器人，现有和两款人形机器人适合．相关调研人员分别随机调查了这两款机器人各10台，记录了它们续航时间x（分钟），并将其分四个等级：不合格，合格，良好，优秀，调查结果如下： 款：111，115，112，108，118，122，114，115，105，110； 款： 根据以上信息，解答下列问题： 类别 平均数 中位数 众数 方差 113 113 a 21.8 b c 112 36.6 (1)上表中________，________，________； (2)若该商场购买一批款人形机器人500台，请估算这批款人形机器人续航时长的等级为“良好及以上”的台数； (3)根据题中的信息和数据，你认为商场应该选择哪款人形机器人？请说明理由（写出一条理由即可）． 20．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备10队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期队员 2月10日 2月21日 3月5日 3月14日 3月25日 4月7日 4月17日 4月27日 5月8日 5月20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)分别写出：甲的中位数是__________；乙的中位数是__________． (2)根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (3)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； (4)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 21．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）某校组织七、八年级学生参加人工智能科普测试，从两个年级中各随机抽取20名学生的成绩进行整理分析，各分成、、、四组（用表示成绩分数），组：，B组：，C组：，D组：，下面是部分信息： 七年级20名学生的得分在组中的分数为：84，86，86，87，88，89； 八年级20名学生的得分：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100； 抽取的七年级和八年级学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 组所占百分比 七 88 96 八 88 87.5 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由（写出一条理由即可）： (3)已知该校七年级有1000人参加测试，八年级有900人参加测试，请估计七、八两个年级得分在组的共有多少人？ 22．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）为了解八年级学生的体育运动水平，某校对全体八年级学生进行了体能测试．老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100分）作为样本进行整理和分析（成绩共分成五组： A．，B．，C．，D．，E．），并绘制了不完整的统计图表． 【收集、整理数据】20名男生的体能测试成绩分别为： 54，57，69，76，77，77，78，86，87，88，88，89，89，89，90，93，93，95，98，99； 女生C组体能测试成绩为73，74，74，74，76，78； D组体能测试成绩为82，88，89． 【分析数据】两组样本不完整的统计图表： 测试成绩 平均数 中位数 众数 男生 88 a 女生 b 74 请根据以上信息，回答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)填空： ， ； (3)女生体能测试扇形统计图中，E组所对应的扇形圆心角的度数是 ； (4)若该校八年级有男生260名，女生220名，请估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数． 23．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分  满分100分  均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图： 其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： (1)B组15个成绩的平均数为______分； (2)本次被抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的所有成绩的中位数为______分； (3)学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 24．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级： （：，：，：，：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 乙 乙款聊天机器人的评分人数扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________； (2)计算乙款聊天机器人的评分扇形统计图中组对应的圆心角； (3)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数： (4)Deepseek（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择Deepseek的概率． 试卷第16页（共17页） 试卷第17页（共17页） 学科网（北京）股份有限公司 $