2.6.2双曲线的几何性质（高效培优讲义）高二数学人教B版选择性必修第一册

2.6.2 双曲线的几何性质 教学目标 1.掌握双曲线的简单几何性质，了解双曲线中的几何意义及范围。 2.会根据双曲线的方程解决双曲线的几何性质。 3.会用双曲线的几何意义解决相关问题。 教学重难点 1.重点 （1）双曲线的渐近线、离心率等几何性质； （2）会用坐标法解决一些与双曲线几何性质有关的问题。 2.难点 双曲线的渐近线、离心率的意义及算法。 知识点01 双曲线的几何性质 1. 双曲线的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图象 标准方程 范围 或 或 顶点 轴长 虚轴长，实轴长 焦点 焦距 的关系 离心率 渐近线 2. 等轴双曲线 在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有： （1）离心率：等轴双曲线的离心率为：； （2）渐近线：①等轴双曲线的渐近线为：； ②等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°. 【即学即练】 例1：（26-27高二上·广西梧州·阶段检测）（多选）已知双曲线：，则（    ） A．的顶点坐标为、 B．的实半轴长为 C．的离心率 D．的渐近线的方程是 例2：（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为，离心率是 ； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为； (3)焦点在轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12； 例3：（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 例4：（26-27高二上·全国·课后作业）设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型01 由双曲线的方程求几何性质 【典例1】（26-27高二上·河北保定·期中）（多选）已知双曲线：，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线实轴长为3 B．双曲线虚轴长为 C．双曲线离心率为2 D．双曲线的两渐近线夹角的正切值为 【变式1】（26-27高三上·广东深圳·开学考试）双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）双曲线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27高三上·安徽·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的实轴长为（    ） A． B． C．2 D．1 【变式4】（2026·北京西城·二模）双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 题型02 根据双曲线的几何性质求其标准方程 【典例1】（26-27高二上·全国·课后作业）与双曲线共焦点，且经过点的双曲线的方程为________． 【变式1】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的焦点在轴上，且实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的标准方程为_________. 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）根据下列条件，求双曲线方程： (1)与双曲线有公共焦点，且过点； (2)与双曲线有公共渐近线，且过点． 【变式3】（25-26高二上·河北·阶段检测）（多选）已知双曲线的焦距为4，则下列条件能使的方程为的是（   ） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C．的实轴长为 D．是上的点 【变式4】（2026·福建泉州·模拟预测）双曲线焦点在轴，离心率，且过点，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 题型03 双曲线的渐近线问题 【典例1】（26-27高三上·河北沧州·开学考试）（多选）双曲线的渐近线方程有（   ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27高二上·广西柳州·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，且一条渐近线倾斜角为，则该双曲线的焦距为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（26-27高三上·云南·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【变式3】（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则离心率为______． 【变式4】（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线渐近线，过点，求双曲线标准方程. 题型04 双曲线的离心率问题（定值） 【典例1】（26-27高二上·江苏·期中）已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27高三上·江西·开学考试）若双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27高三上·广西贺州·开学考试）已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知、是双曲线的左右焦点，点是其渐近线在第一象限内的一点，直线与轴相交于点，是正三角形，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D．2 【变式4】（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 题型05 双曲线的离心率问题（范围或最值） 【典例1】（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·重庆·期中）已知焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·河南驻马店·期末）直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的半焦距为c，若，则它的离心率的取值的范围是_______． 【变式4】（26-27高三·全国·一轮复习）已知分别为双曲线 的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，则双曲线的离心率的取值范围为_______． 题型06 根据双曲线中的范围求范围或最值 【典例1】（25-26高三上·湖北·开学考试）设点是双曲线上的动点，定点，则的最小值为（    ） A． B．3 C．12 D． 【变式1】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·辽宁·一模）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）已知双曲线的左，右焦点分别为，若上存在点满足，则的离心率的最小值为___________. 【变式4】（25-26高二上·上海·期中）已知双曲线，点、是右支上任意两点，且，则的取值范围是______． 1．（25-26高二上·山西太原·期末）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广西百色·期末）双曲线的顶点坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）设双曲线C：经过点和点，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）设直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．3 D． 5．（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）若双曲线：（）的渐近线方程为，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 6．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的焦距为（） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·广西·阶段检测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在的一条渐近线上，与轴垂直，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·安徽马鞍山·阶段检测）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 9．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）设、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆与双曲线渐近线在第一象限的交点为，且满足，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·江西南昌·期中）若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 12．（25-26高二上·山东枣庄·期末）（多选）已知双曲线，则（   ） A．的焦点坐标为 B．的实半轴长为4 C．的离心率 D．的渐近线的方程是 13．（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）（多选）已知双曲线，则（   ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C．顶点坐标为 D．焦点坐标为 14．（26-27高三上·安徽·开学考试）（多选）双曲线：的上、下焦点分别为，，下列结论正确的是（    ） A．的虚轴长为 B．的离心率为 C．若为上一点，则 D．C的渐近线方程为 15．（26-27高二上·全国·课后作业）（多选）下列关于双曲线的共轭双曲线的说法正确的有（   ） A．标准方程是 B．焦点坐标是和 C．渐近线是 D．离心率 16．（26-27高三上·浙江·开学考试）双曲线的焦距为________． 17．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）与椭圆的焦点相同，且离心率为的双曲线的方程为________； 18．（26-27高三上·江苏徐州·开学考试）已知双曲线：的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为______． 19．（26-27高三·全国·一轮复习）已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________. 20．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 21．（2026·浙江·模拟预测）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率为___________． 22．（2025·云南昆明·模拟预测）若两焦点为，的双曲线上一点满足，则称为该双曲线的“阶和谐点”.若双曲线存在“阶和谐点”，则的最小值为_____. 23．（25-26高二上·广西桂林·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 24．（26-27高二上·全国·课后作业）根据以下条件，分别求出双曲线的方程： (1)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (2)过点，离心率； (3)与双曲线有共同的渐近线，且过点． 25．（26-27高二上·河南南阳·开学考试）（1）已知椭圆的离心率为，其左焦点F到直线的距离为，求此椭圆方程. （2）求渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程. 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线（，）的两条渐近线夹角为，离心率，则该双曲线的标准方程可能是（    ）. A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东广州·期末）双曲线和有相同的渐近线，离心率分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·浙江·开学考试）已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·福建漳州·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于直线的直线与交于点，与的右支交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 8．（2026·山东·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，中心为，是右支上的动点，若点满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 9．（24-25高二上·吉林延边·期中）已知曲线：，为上一点， ①的取值范围为； ②的取值范围为； ③不存在点，使得； ④的取值范围为. 则上述命题正确的序号是_________． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.6.2 双曲线的几何性质 教学目标 1.掌握双曲线的简单几何性质，了解双曲线中的几何意义及范围。 2.会根据双曲线的方程解决双曲线的几何性质。 3.会用双曲线的几何意义解决相关问题。 教学重难点 1.重点 （1）双曲线的渐近线、离心率等几何性质； （2）会用坐标法解决一些与双曲线几何性质有关的问题。 2.难点 双曲线的渐近线、离心率的意义及算法。 知识点01 双曲线的几何性质 1. 双曲线的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图象 标准方程 范围 或 或 顶点 轴长 虚轴长，实轴长 焦点 焦距 的关系 离心率 渐近线 2. 等轴双曲线 在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有： （1）离心率：等轴双曲线的离心率为：； （2）渐近线：①等轴双曲线的渐近线为：； ②等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°. 【即学即练】 例1：（26-27高二上·广西梧州·阶段检测）（多选）已知双曲线：，则（    ） A．的顶点坐标为、 B．的实半轴长为 C．的离心率 D．的渐近线的方程是 【答案】BCD 【分析】先将双曲线方程化为标准形式，确定焦点在轴上，求出的取值，再结合双曲线的几何性质逐一判断各选项. 【详解】将双曲线化为标准形式：， 可得，即，，即. 选项A：该双曲线焦点在轴上，顶点坐标为，故A错误； 选项B：由可知实半轴长为，故B正确； 选项C：离心率，故C正确； 选项D：焦点在轴上的双曲线渐近线方程为，整理得，故D正确. 例2：（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为，离心率是 ； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为； (3)焦点在轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12； 【答案】(1)；(2)；(3)； 【分析】根据双曲线的顶点或焦点位置、渐近线方程及焦距、实轴长，结合双曲线的性质求双曲线方程. 【详解】（1）由题设，且，则，， 又顶点在轴上，故双曲线的标准方程为. （2）由题设，，则， 又一个焦点为，故双曲线的标准方程为. （3）由题设，，又焦点在轴上，令双曲线的标准方程为， 又一条渐近线方程为，即，则， 所以双曲线的标准方程为. 例3：（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意作图，根据双曲线定义表示各线段的长，利用余弦定理，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 则①，②， 在中，， 可得， 则， 由，则， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 由，则，解得. 例4：（26-27高二上·全国·课后作业）设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用双曲线的对称性确定双曲线渐近线斜率范围，进而求出离心率范围. 【详解】依题意，不妨设双曲线的方程为， 而双曲线的弦和都过双曲线的中心，且， 由双曲线的对称性，得直线和关于轴对称，不妨令点在第一象限， 又直线和的夹角为，则直线的倾斜角为或， 而符合要求的直线和有且只有一对，则只有倾斜角为的直线与双曲线有两交点， 因此双曲线的渐近线的倾斜角满足：， 则，， 所以该双曲线的离心率的取值范围是. 题型01 由双曲线的方程求几何性质 【典例1】（26-27高二上·河北保定·期中）（多选）已知双曲线：，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线实轴长为3 B．双曲线虚轴长为 C．双曲线离心率为2 D．双曲线的两渐近线夹角的正切值为 【答案】BC 【详解】由双曲线：，得，则， 即， 则双曲线实轴长为，虚轴长为，离心率为，故A错误，BC正确； 而双曲线的两渐近线方程为， 则两渐近线的倾斜角分别为， 所以两渐近线的夹角为，则夹角的正切值为，故D错误. 【变式1】（26-27高三上·广东深圳·开学考试）双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线，化为标准式：， 焦点在轴上，，即， 焦点在轴上的双曲线渐近线方程为， 代入得：. 【变式2】（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）双曲线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用双曲线的几何性质求解即得. 【详解】由双曲线方程，得该双曲线焦点在轴上，实半轴长， 所以双曲线的顶点坐标为. 故选：B 【变式3】（26-27高三上·安徽·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的实轴长为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线方程可求得，结合求得的值，进而求得双曲线的实轴长. 【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程为， 其一条渐近线方程为，可得， 而，所以可得， 则双曲线的实轴长为. 【变式4】（2026·北京西城·二模）双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到右顶点为，及其中一条渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算． 【详解】解：双曲线，则右顶点为， 由对称性，不妨取其中一条渐近线，方程为，即， 则右顶点到其渐近线的距离为． 题型02 根据双曲线的几何性质求其标准方程 【典例1】（26-27高二上·全国·课后作业）与双曲线共焦点，且经过点的双曲线的方程为________． 【答案】 【分析】设所求双曲线的方程为，再待定系数求解即可. 【详解】因为所求双曲线与双曲线共焦点， 所以，设所求双曲线的方程为． 因为方程经过点， 所以，解得或（舍去）， 所以所求双曲线的方程为． 【变式1】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的焦点在轴上，且实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的标准方程为_________. 【答案】 【分析】根据已知条件求得，进而求得双曲线的标准方程. 【详解】依题意，双曲线的焦点在轴上， 且，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）根据下列条件，求双曲线方程： (1)与双曲线有公共焦点，且过点； (2)与双曲线有公共渐近线，且过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线有公共焦点得到，然后将点的坐标代入双曲线方程求解. （2）根据双曲线有公共渐近线得到，然后将点的坐标代入双曲线方程求解. 【详解】（1）解法1：设双曲线方程为. 由题意易求. 又双曲线过点， ， ， ， 故所求双曲线方程为， 解法2：设双曲线方程为， 将点代入得， ∴双曲线方程为. （2）解法1：设双曲线方程为. 由题意得，解得. 故双曲线方程为. 解法2：设所求双曲线方程为， 将点代入得. 所以双曲线方程为，即. 【变式3】（25-26高二上·河北·阶段检测）（多选）已知双曲线的焦距为4，则下列条件能使的方程为的是（   ） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C．的实轴长为 D．是上的点 【答案】AD 【分析】根据双曲线的方程以及双曲线的几何性质，对选项逐一判断即可. 【详解】由题可知，，即，因此. 双曲线方程，等价于. 对于A：若的离心率，解得， 又因为，故，符合题意，故A正确； 对于B：若的渐近线方程为，则，即， 又因为，易解得，与题意不符，故B错误； 对于C：若的实轴长为，即，则，与题意不符，故C错误； 对于D：将代入，可得，又因为， 联立，可得，整理得：，解得或（舍去，因为），又因为，故，符合题意，故D正确. 故选：AD. 【变式4】（2026·福建泉州·模拟预测）双曲线焦点在轴，离心率，且过点，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，所以，所以， 所以双曲线方程为. 题型03 双曲线的渐近线问题 【典例1】（26-27高三上·河北沧州·开学考试）（多选）双曲线的渐近线方程有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】双曲线化为标准方程为：， 所以双曲线的渐近线方程为：. 【变式1】（26-27高二上·广西柳州·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，且一条渐近线倾斜角为，则该双曲线的焦距为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】求出双曲线的渐近线方程，由给定倾斜角求出即可. 【详解】依题意，双曲线的渐近线的倾斜角为， 则，由题意，则，半焦距， 所以该双曲线的焦距. 【变式2】（26-27高三上·云南·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】因为，渐近线方程为，故， 所以，所以， 所以离心率. 【变式3】（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则离心率为______． 【答案】 【详解】由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，得这条渐近线的斜率； 双曲线的渐近线为； ，，得； ，，； . 【变式4】（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线渐近线，过点，求双曲线标准方程. 【答案】. 【分析】根据双曲线的渐近线方程和经过的点坐标求出标准方程即可. 【详解】解：渐近线，设双曲线. 代入点，，. 方程：. 题型04 双曲线的离心率问题（定值） 【典例1】（26-27高二上·江苏·期中）已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的左焦点为，则，再由已知可得四边形为矩形，则可得，再由，得到关系，即可求得离心率. 【详解】如图，设在右支上， 设双曲线的左焦点为，则，且， 所以由双曲线的对称性可得四边形为矩形， 所以， 因为，， 所以， 因为，所以， 所以. 【变式1】（26-27高三上·江西·开学考试）若双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆心坐标和双曲线渐近线方程，可以得到圆与相切，然后利用圆心到渐近线的距离等于半径列出的一个方程，求解间的关系，最后求离心率. 【详解】双曲线的两条渐近线方程为. 圆的圆心坐标为，半径. 由题意双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，所以圆与其中一条渐近线相切. 圆心坐标位于第一象限，圆与相交，与相切. 圆心到渐近线的距离等于半径，即，整理得， ，， ， . 【变式2】（26-27高三上·广西贺州·开学考试）已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于为等腰直角三角形，所以，通过双曲线的性质可知，整理可得，最后求得的离心率. 【详解】根据题意，又为等腰直角三角形，所以，则，即， 整理得，即， 解得或（舍），所以． 【变式3】（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知、是双曲线的左右焦点，点是其渐近线在第一象限内的一点，直线与轴相交于点，是正三角形，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】设双曲线的左右焦点为，满足，第一象限渐近线方程为， 因为在轴上，则， 又是正三角形，，而三点共线， 故，是的中点， 在中，，由余弦定理， 故， 设，则，解得，即， 故， 则，故，． 【变式4】（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线方程得其一条渐近线的方程，由圆得圆心、半径，利用直线与圆相切列方程即可得． 【详解】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，， 由圆，得，则圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，则，可得. 题型05 双曲线的离心率问题（范围或最值） 【典例1】（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据双曲线方程求出渐近线方程，再利用圆心到渐近线距离小于半径列出不等式求出的范围，最后根据离心率公式求出离心率的范围. 【详解】双曲线：中，，则， 所以渐近线方程为，即， 又因为圆：的圆心为，半径， 由题意得，化简可得：，整理得：， 求解可得：，又因为，所以， 又因为，，则，即， 所以，即的离心率． 【变式1】（25-26高二上·重庆·期中）已知焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为：，将该渐近线与圆有公共点，转化为圆心到渐近线的距离小于或等于圆的半径，列出相应的关系式，求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】由，得. 记圆的圆心为，半径为. 设焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为：，即. 由题可知，，化简得：. 由，得. 化简，得，所以. 双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 【变式2】（25-26高二下·河南驻马店·期末）直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点差法求得，结合已知可得，求解即可. 【详解】设， 因为，两点在双曲线上，所以， 两式相减得， 又为的中点，所以， 所以，所以， 又双曲线的渐近线方程为，为的中点，所以， 所以，两边平方得，所以， 所以，所以，所以，又，所以， 所以的离心率的取值范围是. 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的半焦距为c，若，则它的离心率的取值的范围是_______． 【答案】 【分析】根据题目条件和得到方程，求出离心率取值范围 【详解】，且，故， 两边同除以得，解得， 因为，所以离心率取值范围是. 【变式4】（26-27高三·全国·一轮复习）已知分别为双曲线 的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，则双曲线的离心率的取值范围为_______． 【答案】 【详解】由题意可得，，， 所以，当且仅当， 即时取等号，所以， 因为，， 所以，所以． 题型06 根据双曲线中的范围求范围或最值 【典例1】（25-26高三上·湖北·开学考试）设点是双曲线上的动点，定点，则的最小值为（    ） A． B．3 C．12 D． 【答案】A 【分析】由数量积的定义可得，结合点在双曲线上可得，且，由此可求结论. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 因为点是双曲线上的动点， 所以或，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以当点的坐标为或时，取最小值，最小值为， 故选：A. 【变式1】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件求出双曲线方程和焦点坐标，然后表示出，结合的范围求出最小值即可. 【详解】双曲线的离心率为. ，解得， 又，. 设点， 则且. . 的最小值为. 故选： 【变式2】（2025·辽宁·一模）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用坐标计算，再利用进行消元，解关于的不等式. 【详解】点在上，则，且或， 因，则，， 则， 解得，故或. 故选：B 【变式3】（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）已知双曲线的左，右焦点分别为，若上存在点满足，则的离心率的最小值为___________. 【答案】 【分析】设，根据平面向量的坐标运算以及数量积的坐标运算，结合在双曲线上，可得，利用列不等式求解即可. 【详解】设，则 所以，又因为， 所以① 又② ②代入①得，， 整理得，因为， 所以， 化简可得， 即的离心率的最小值为， 故答案为：. 【变式4】（25-26高二上·上海·期中）已知双曲线，点、是右支上任意两点，且，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】设，则，数形结合分析得，即可得. 【详解】设，则，则或为锐角，如下图， 设点为双曲线的渐近线在第一象限内的一点， 设点为双曲线的渐近线在第四象限内的一点， 由题意知，，则，解得. 故答案为： 1．（25-26高二上·山西太原·期末）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得，进而求得焦点坐标. 【详解】因为，，所以，得， 焦点在轴上， 所以焦点坐标为. 故选：A 2．（25-26高二上·广西百色·期末）双曲线的顶点坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用双曲线方程直接求解即可. 【详解】由双曲线方程可知顶点在y轴上，且， ∴则顶点坐标为，. 故选：D. 3．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）设双曲线C：经过点和点，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将代入双曲线方程得， 解得， 所以的渐近线方程为 4．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）设直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】双曲线的渐近线方程为，则， 所以双曲线C的离心率． 5．（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）若双曲线：（）的渐近线方程为，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【详解】双曲线：（），得双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为， 所以，，所以，. 6．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的焦距为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设出与共渐近线的双曲线方程，再代入点，求出，从而求出的方程，进而求解的焦距. 【详解】由题可知与有相同的渐近线， 故设的方程为：， 点代入得：， 把代入所设方程得：， ，，因此，即，双曲线的焦距为. 7．（26-27高三上·广西·阶段检测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在的一条渐近线上，与轴垂直，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定点的横坐标，再结合双曲线渐近线方程求出点的纵坐标，已知，在中，用、、表示，即可得到，进而求解离心率 【详解】对于双曲线，设半焦距为，满足， 左右焦点为，离心率， 由轴，得横坐标为，不妨令在渐近线上，代入得， 是直角三角形，直角在处，记， 已知，则，， 又，所以， 则，因此. 8．（26-27高三上·安徽马鞍山·阶段检测）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，据此可得离心率. 【详解】因双曲线一条渐近线的倾斜角为，则， 从而. 9．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）设、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆与双曲线渐近线在第一象限的交点为，且满足，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点的坐标，再利用余弦定理求出之间的关系，即可得出双曲线的离心率． 【详解】由题意得圆的方程为，由题意得双曲线的渐近线为． 由解得或， 因为点在第一象限，所以. 又，所以， 在中，，由余弦定理得， 即，化简得， 所以，则离心率. 10．（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线求得，根据双曲线的性质可得的不等式，从而得出的不等式，结合离心率公式求解即可． 【详解】如图： ，又，所以， 而是圆切线，则， 在中，，因此有， 从而， 而，所以， 在双曲线上，因此，所以， ∴，从而，所以， ∴双曲线的离心率. 11．（24-25高二上·江西南昌·期中）若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】利用数形结合的思想，将等式两边平方后可看作曲线的方程，最后将看作是曲线上的点到原点距离的平方，结合图形求其最小值. 【详解】由题意得，， 将两边同时平方可得：， 即， 所以可看作是双曲线的右支上的点， 又如图所示， 双曲线的右支上的点到原点距离最小， 即的最小值为1，故的最小值为1. 故选：A. 12．（25-26高二上·山东枣庄·期末）（多选）已知双曲线，则（   ） A．的焦点坐标为 B．的实半轴长为4 C．的离心率 D．的渐近线的方程是 【答案】BCD 【分析】根据双曲线的性质，由双曲线方程求出，进而得出焦点坐标，判断选项A，B，求出离心率判断选项C，求出渐近线方程，判断选项D． 【详解】 已知双曲线，即， 则，解得，，解得，，故， 焦点坐标为，故A错误； 实半轴长为，故B正确； 离心率，故C正确； 渐近线方程为，即，故D正确． 故选：BCD． 13．（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）（多选）已知双曲线，则（   ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C．顶点坐标为 D．焦点坐标为 【答案】ACD 【分析】首先根据双曲线的标准方程，判断焦点在轴上，且，，，然后根据渐近线公式，判断选项；根据离心率公式，判断选项；根据顶点坐标公式，判断选项；根据焦点坐标公式，判断选项. 【详解】由题意得：双曲线焦点在轴上，且，，，所以，，； 对于选项：根据渐近线公式，所以渐近线方程为，选项正确； 对于选项：根据离心率公式，所以离心率为：，选项错误； 对于选项：根据顶点坐标公式，所以顶点坐标为，选项正确； 对于选项：根据焦点坐标公式，所以焦点坐标为，选项正确. 故选：. 14．（26-27高三上·安徽·开学考试）（多选）双曲线：的上、下焦点分别为，，下列结论正确的是（    ） A．的虚轴长为 B．的离心率为 C．若为上一点，则 D．C的渐近线方程为 【答案】ABD 【详解】由题可得双曲线方程可化为，则， 双曲线虚轴长为，故A选项正确； 双曲线的离心率，故B选项正确； 根据双曲线的定义，若在上支则，若在下支则， C选项没有给出具体位置，所以C选项错误； 因为焦点在y轴上，故C的渐近线方程为，故D选项正确. 15．（26-27高二上·全国·课后作业）（多选）下列关于双曲线的共轭双曲线的说法正确的有（   ） A．标准方程是 B．焦点坐标是和 C．渐近线是 D．离心率 【答案】ACD 【详解】由共轭双曲线的定义可知的共轭双曲线为， 其焦点在轴上，坐标为和，渐近线为，离心率，故A，C，D正确，B不正确． 16．（26-27高三上·浙江·开学考试）双曲线的焦距为________． 【答案】 【详解】由题可得， ，则， 故，因此焦距为. 17．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）与椭圆的焦点相同，且离心率为的双曲线的方程为________； 【答案】 【分析】利用椭圆方程得到其焦点在轴上，且求出半焦距，设出双曲线方程，联立方程即可求解. 【详解】由椭圆方程，可得其焦点在轴上， 且其半焦距为， 设所求双曲线方程为， 则，解得， 则该双曲线方程为. 18．（26-27高三上·江苏徐州·开学考试）已知双曲线：的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【分析】根据渐近线方程求得与的关系式，再代入离心率公式. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，得，即， 则双曲线的离心率. 19．（26-27高三·全国·一轮复习）已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________. 【答案】 【详解】依题意，设双曲线M的方程为， 将点代入得,解得， 所以双曲线M的方程为. 20．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用双曲线的定义及矩形的性质建立不等式解之即可. 【详解】根据圆与双曲线的对称性可知三点共线，则四边形为矩形， 设，则， 所以，即. 21．（2026·浙江·模拟预测）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率为___________． 【答案】 【分析】先用双曲线定义表示出两条焦半径长度，再对焦点三角形用余弦定理，建立关系式，算出离心率． 【详解】设，则， 由双曲线定义可得， 即， 所以，， 又，， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，解得， 故离心率． 22．（2025·云南昆明·模拟预测）若两焦点为，的双曲线上一点满足，则称为该双曲线的“阶和谐点”.若双曲线存在“阶和谐点”，则的最小值为_____. 【答案】3 【分析】由双曲线定义可得，再设，计算可得、，再结合的范围计算即可得. 【详解】对于双曲线，有，，， 所以，设，则， 所以， ， 故，因为，所以， 所以，即的最小值为.    故答案为：. 23．（25-26高二上·广西桂林·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）假设双曲线标准方程，根据焦距、实轴长和之间关系可构造方程求得结果； （2）分别讨论双曲线焦点在轴和轴上的情况，根据离心率、双曲线上的点和之间的关系可构造方程求得结果. 【详解】（1）设双曲线标准方程为：， ，，双曲线标准方程为. （2）当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：，双曲线标准方程为； 当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：，双曲线标准方程为； 综上所述：双曲线标准方程为或. 24．（26-27高二上·全国·课后作业）根据以下条件，分别求出双曲线的方程： (1)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (2)过点，离心率； (3)与双曲线有共同的渐近线，且过点． 【答案】(1)或． (2) (3) 【详解】（1）由两顶点间的距离是6得，即． 由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得，即， 于是有． 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为或． （2）依题意，双曲线的实轴可能在轴上，也可能在轴上，分别讨论如下： 若双曲线的实轴在轴上，设双曲线的方程为．由，得． 因为，所以① 由点在双曲线上，得② 由①②得，．此时双曲线的方程为．若双曲线的实轴在轴上，设双曲线的方程为． 同理有，，，解得（舍去）． 故双曲线的实轴只能在轴上，所求双曲线的方程为． （3）设所求双曲线的方程为．将点代入得． 所以双曲线的方程为，即． 25．（26-27高二上·河南南阳·开学考试）（1）已知椭圆的离心率为，其左焦点F到直线的距离为，求此椭圆方程. （2）求渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的几何性质和点到直线的距离公式，分别求得和，进而求得的值，即可求解； （2）根据题意，设双曲线方程为，将点代入双曲线的方程，求得的值，即可求解. 【详解】解：（1）因为椭圆的离心率为， 可得 ，即，可得， 又因为左焦点到直线的距离为， 可得 ，解得 ，即， 联立方程组，解得， 所以椭圆方程为. （2）因为双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为， 又因为双曲线经过点，可得，解得， 所以双曲线的方程为. 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线（，）的两条渐近线夹角为，离心率，则该双曲线的标准方程可能是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据渐近线夹角求出的两种可能，由离心率范围舍去一种，再验证各选项中 的比值得到答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 两条渐近线夹角为，则渐近线与轴的夹角为或， 因此或. 由离心率定义，结合，得. 已知，故，即. 若，则，，不符合的要求，故舍去，仅保留，即. 验证选项： 选项：，，不符合，排除； 选项：，，不符合，排除； 选项：，，不符合，排除； 选项：，，此时，满足所有条件. 2．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线定义求的长度，根据题意结合离心率的条件可得，利用余弦定理结合求出的值，进而得到渐近线方程. 【详解】因为点是双曲线右支上一点，， 则，即， 可知三边长为，，， 又因为双曲线离心率，得，即， 可知焦点三角形的最大内角与最小内角之和为， 则， 由余弦定理可得， 即，整理可得， 即，可得，即， 双曲线的渐近线方程为. 3．（25-26高二下·广东广州·期末）双曲线和有相同的渐近线，离心率分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若双曲线和的焦点在同一坐标轴上，则离心率相等，不合题意， 不妨设双曲线，，，，，， 则对于，其半焦距为，实半轴为，则； 对于，其半焦距为，实半轴为，则， 所以，又，所以，所以，所以. 4．（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆，双曲线，设点在第一象限，且，根据椭圆及双曲线的定义，结合余弦定理、离心率公式列式求解即可. 【详解】如图，设椭圆，双曲线， 因为它们有相同的焦点，所以， 不妨设点在第一象限，且， 因为点在椭圆上，所以， 即，又因为， 所以，所以， 因为，所以， 又因为点在双曲线上，所以， 即，又因为， 所以，所以，可得， 所以双曲线的离心率为. 5．（26-27高二上·浙江·开学考试）已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义推得，结合对称性得，设，分别利用三角函数定义和余弦定理列方程，消去，得关于的齐次方程，求解即得. 【详解】如图，连接，由双曲线定义，， 因，则， 由对称性可知，，设， 在等腰三角形中，，即（*） 在中，由余弦定理，， 即， 将（*）代入，可得， 整理得，则有， 故. 6．（2026·福建漳州·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于直线的直线与交于点，与的右支交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得过且垂直于直线的直线方程，联立两直线方程求出，再结合条件求出，利用点在双曲线上，得到间的关系，即可求解. 【详解】设，其中，， 则过且垂直于直线的直线为， 由，解得，所以， 又，且三点共线，点在双曲线右支上，则， 所以，得到，， 所以，又点在双曲线上， 所以，整理得到，得到， 又，所以. 7．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 【答案】 【分析】设点且，，从而有直线为，根据三角形角平分线的性质有，且，，得即可求范围. 【详解】设双曲线的焦距为，且，则，， 设点且，， 直线的方程为，令，得，， 所以，则在线段上， 由是的角平分线，在中， 由三点共线，则， 因为，则， 而点到右焦点的距离为， 所以，所以， 由，则，即， 综上，离心率的取值范围为. 8．（2026·山东·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，中心为，是右支上的动点，若点满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量垂直的性质得到点的轨迹，再结合双曲线和圆的性质求出的最小值. 【详解】 双曲线，右焦点， 因为，所以， 则点在以为直径的圆上，设点， 以为直径的圆的圆心为，半径， 所以的最小值为， ， 因为，代入可得， 因为是右支上的动点，所以，， ， 又，所以， 所以的最小值为. 9．（24-25高二上·吉林延边·期中）已知曲线：，为上一点， ①的取值范围为； ②的取值范围为； ③不存在点，使得； ④的取值范围为. 则上述命题正确的序号是_________． 【答案】②③④ 【分析】分段化简方程画出图形，数形结合得到判断①；数形结合，结合椭圆性质判断②；由双曲线渐近线性质及图形判断③；利用的几何意义，结合三角换元得到求出取值范围判断④. 【详解】曲线化为， 画出图形如下，其中直线为曲线对应双曲线的渐近线，    对于①，当时，，①错误； 对于②，当时，；当时，， 当时，，因此的取值范围为，②正确； 对于③，直线与直线平行且在该直线左侧，曲线在直线的右侧， 因此直线与曲线无公共点，不存在点，使得，③正确； 对于④，表示点到直线的距离的倍， 又直线与直线平行且在该直线左侧，且距离为， 于是，随着的增大，值无限接近于， 当在上时，该点到直线的距离可取得最大值， 设，则到直线的距离为 ，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为，④正确. 故答案为：②③④ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $