第2章 2.6.2 第1课时 双曲线的几何性质（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦双曲线的几何性质核心知识点，通过类比椭圆性质引入，系统梳理范围、对称性、顶点、实轴虚轴、离心率及渐近线等内容，构建从性质探究到方程求解、离心率应用的完整学习支架。 资料以类比迁移和问题驱动为特色，引导学生用数学眼光观察双曲线“开放式”特征，通过例题中方程转化、离心率计算培养数学思维的推理与运算能力，知识表格与规范解析助力数学语言表达。课中辅助教师授课，课后通过跟踪训练和对点练帮助学生巩固提升，查漏补缺。

2.6.2　双曲线的几何性质 第1课时　双曲线的几何性质 学习目标　1.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题. 导语 我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它具有四个顶点，离心率的范围是(0，1)，它的大小决定着椭圆的扁圆程度；双曲线和椭圆有着相似之处，那双曲线又有怎样的性质呢？让我们一起对双曲线的性质进行探究吧！ 一、双曲线的简单几何性质 问题　类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线＝1(a>0，b>0)的几何性质. 提示　1.范围利用双曲线的方程求出它的范围，由方程＝1可得＝1＋≥1， 于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，所以x≥a 或x≤－a； y∈R. 2.对称性 ＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称. x轴、y轴是双曲线的对称轴，坐标原点是对称中心，又称为双曲线的中心. 3.顶点 (1)双曲线与对称轴的交点，称为双曲线的顶点. 顶点是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有两个. (2)如图，称线段A1A2为双曲线的实轴，它的长为2a，a称为半实轴长；称线段B1B2为双曲线的虚轴，它的长为2b，b称为双曲线的半虚轴长. (3)实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线. 方程为x2－y2＝m(m≠0). 4.渐近线 双曲线在第一象限内部分的方程为y＝(x>a)， 它与直线y＝x的位置关系：在直线y＝x的下方. 它与直线y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近，如图. (1)双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x. (2)利用渐近线可以较准确地画出双曲线的草图. 5.离心率 (1)定义：e＝. (2)e的范围：e>1. (3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄. 知识梳理 1.双曲线的简单几何性质 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：坐标原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 离心率 e＝(e>1) 渐近线 y＝±x y＝±x 2.等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线. 注意点：(1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大. (2)等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x. (3)求双曲线的渐近线方程时要注意焦点所在坐标轴的位置. (4)焦点到渐近线的距离为b. 例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 解　将9y2－4x2＝－36变形为＝1， 即＝1，所以a＝3，b＝2，c＝， 因此顶点坐标为(－3，0)，(3，0)， 焦点坐标为(－，0)，(，0)， 实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4， 离心率e＝，渐近线方程为y＝±x. 延伸探究　若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，求双曲线的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 解　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为＝1(m>0，n>0)， 由此可知，半实轴长a＝， 半虚轴长b＝，c＝， 焦点坐标为(，0)，(－，0)， 离心率e＝， 顶点坐标为(－，0)，(，0)， 渐近线方程为y＝±x，即y＝±x. 例1　(课本例1)求下列方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率以及渐近线方程： (1)＝1；(2)x2－y2＝－9. 解　(1)由标准方程可知双曲线的焦点在x轴上，且a2＝9，b2＝16，因此实轴长2a＝6. 又因为c2＝a2＋b2＝9＋16＝25，即c＝5.因此，双曲线的焦点坐标为(－5，0)，(5，0). 离心率e＝. 渐近线方程为y＝±x. (2)已知双曲线的方程可化为＝1， 由此可知这个双曲线的焦点在y轴上，且a2＝b2＝9，因此实轴长2a＝6. 又因为c2＝a2＋b2＝9＋9＝18，即c＝3.因此，双曲线的焦点坐标为(0，－3)，(0，3). 离心率e＝. 渐近线方程为y＝±x. 反思感悟　由双曲线的标准方程求几何性质的一般步骤 跟踪训练1　已知双曲线C：＝1，则C的右焦点的坐标为　　　　　；C的焦点到其渐近线的距离是　　　　　.  答案　(3，0)　 解析　双曲线C：＝1中，c2＝6＋3＝9， ∴c＝3，则C的右焦点的坐标为(3，0)， C的渐近线方程为y＝±x， 即y＝±x，即x±y＝0， 则C的焦点到其渐近线的距离d＝. 二、由简单几何性质求标准方程 例2　求满足下列条件的双曲线的方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)； (2)一个焦点为(0，13)，且离心率为； (3)过点(2，1)的等轴双曲线. 解　(1)设所求双曲线方程为＝1(a>0，b>0).∵e＝， ∴e2＝＝1＋， ∴.由题意得解得 ∴所求的双曲线方程为＝1. (2)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13， 又，∴a＝5，b2＝c2－a2＝144， 故其标准方程为＝1. (3)设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)， 代入点(2，1)，得λ＝3， ∴所求双曲线方程为＝1. 反思感悟　由双曲线的性质求双曲线的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式. (2)巧设双曲线方程的技巧 ①与双曲线＝1共焦点的双曲线方程可设为＝1(λ≠0，－b2<λ<a2). ②等轴双曲线可设为x2－y2＝λ(λ≠0). 跟踪训练2　求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； (2)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程. 解　(1)设所求双曲线的标准方程为 ＝1(a>0，b>0)， 由题意知2b＝8，e＝，从而b＝4，c＝a， 代入c2＝a2＋b2，得a2＝9， 故双曲线的标准方程为＝1. (2)∵e＝，∴，∴， ∴a2＝3b2. ① 又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0， ∴d＝，即4a2b2＝3(a2＋b2). ② 解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1. ∴双曲线的标准方程为－y2＝1. 三、双曲线的离心率 例3　已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由双曲线＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0， 又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0， 可得圆心为C(0，5)，半径r＝2， 则圆心到渐近线的距离为d＝， 则＝2，可得e＝. 例3　(课本例2)已知双曲线C的顶点为A1，A2，虚轴的一个端点为B，且△BA1A2是一个等边三角形，求双曲线C的离心率. 解　设O为坐标原点，则A1A2的中点为O，且|OA1|＝a，|BO|＝b.由△BA1A2是等边三角形可知|BO|＝|OA1|，因此b＝a， 又因为c2＝a2＋b2＝a2＋(a)2＝4a2， 所以c＝2a，从而e＝＝2. 反思感悟　求双曲线离心率的方法 (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解. (2)齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解. 跟踪训练3　已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为(　　) A.＋1 B.＋1 C.2 D.2 答案　B 解析　不妨设点P在双曲线的右支上， 则|PF1|－|PF2|＝2a. 因为△PF1F2是等腰直角三角形， 所以只能是∠PF2F1＝90°， 所以|PF2|＝|F1F2|＝2c， 所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝2a＋2c， 所以(2a＋2c)2＝2·(2c)2， 即c2－2ac－a2＝0，两边同除以a2， 得e2－2e－1＝0. 因为e>1，所以e＝＋1. 1.知识清单： (1)双曲线的几何性质. (2)由简单几何性质求标准方程. (3)双曲线的离心率. 2.方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法. 3.常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错. 1. (多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　) A.实轴长为8 B.虚轴长为4 C.焦距为6 D.离心率为 答案　ABD 解析　双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为＝1， 可得a＝4，b＝2，c＝6， 所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为. 2.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±2x D.y＝±x 答案　B 解析　由已知可得2b＝2，2c＝2，∴b＝1，c＝， ∴a＝， ∴双曲线的渐近线方程为 y＝±x＝±x＝±x. 3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是(　　) A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4 C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4 答案　A 解析　令y＝0，得x＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点为(－4，0)， ∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故所求双曲线的方程为x2－y2＝8. 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是　　　　. 答案　＋1 解析　设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，由以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线，可得C(c，2c)， 代入双曲线方程得＝1， 即＝1.可得e4－6e2＋1＝0， 解得e2＝3＋2，所以e＝＋1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　D 解析　由题意知，所求双曲线是等轴双曲线， 设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)， 将点(5，3)代入方程，可得λ＝52－32＝16， 所以双曲线方程为x2－y2＝16，即＝1. 2.若双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　) A.y＝±2x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 答案　B 解析　∵e＝，∴，即＝3， ∴b2＝2a2，即b＝a， ∴渐近线方程为y＝±x. 3.设双曲线＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 答案　C 解析　由双曲线的几何性质可得，双曲线＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，又因为渐近线方程为3x±2y＝0，即y＝±x，故a＝2. 4.已知双曲线C：＝1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　A 解析　由题意，点P(2，1)在双曲线C的渐近线 y＝x上，∴，即a＝2b. 又2c＝10，∴c＝5. 由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5. 故所求双曲线C的方程为＝1. 5.已知双曲线C：x2－2y2＝λ(λ≠0)，则其离心率为(　　) A. B. C. D.或 答案　D 解析　当λ>0时，原方程化为＝1， 此时a2＝λ，b2＝，c2＝a2＋b2＝， 由e2＝，可得e＝； 当λ<0时，原方程化为＝1， 此时a2＝－，b2＝－λ，c2＝a2＋b2＝－， e2＝＝3，可得e＝. ∴其离心率为或. 6.(多选)已知曲线C：＝1，下列说法不正确的是(　　) A.m<2时该曲线为双曲线 B.m＝1是曲线C为等轴双曲线的充要条件 C.若曲线C为双曲线，则该双曲线的焦点一定在x轴上 D.若曲线C为双曲线且离心率为，则m＝或m＝－ 答案　AB 解析　由题意知，若曲线C为双曲线， 则即m<2且m≠0，故A不正确； 若该曲线为等轴双曲线，方程可化为＝1， 则m2＝2－m，解得m＝1或m＝－2，故B不正确； 若曲线C为双曲线，则m≠0，∴m2>0，故C正确； e＝＝7，即6m2＋m－2＝0， 解得m＝或m＝－，故D正确. 7.(5分)若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝　　　　.  答案　 解析　双曲线的渐近线方程为x±my＝0， 圆x2＋y2－4y＋3＝0的方程可化为 x2＋(y－2)2＝1， 则圆心坐标为(0，2)，半径r＝1. ∵双曲线的渐近线与圆相切， ∴圆心到渐近线的距离d＝＝1，得m＝或m＝－(舍去). 8.(5分)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN＝90°，则C的离心率为　　　　　　.  答案　 解析　双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右顶点为A(a，0)，一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0， ∵圆A的半径为b，且∠MAN＝90°， ∴|AM|＝|AN|＝b，∠AMN＝45°， ∴A到渐近线bx－ay＝0的距离为bsin 45°＝b， 又A(a，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为， ∴b＝， 则e＝， 则C的离心率为. 9.(10分)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x－5)2＋y2＝16相切. (1)求双曲线的离心率；(5分) (2)P(3，－4)是渐近线上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若PF1⊥PF2，求双曲线的方程.(5分) 解　(1)设经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝kx，则＝4，解得k＝. 若双曲线焦点在x轴上， 则，e＝； 若双曲线焦点在y轴上，则， e＝， 故所求双曲线的离心率为e＝或e＝. (2)由题意设F1(－c，0)，F2(c，0)， 由PF1⊥PF2得·＝0. 即(－c－3，4)·(c－3，4)＝0， 所以(3＋c)(3－c)＋16＝0，解得c＝5， 由(1)知，又a2＋b2＝c2＝25， 所以a＝3，b＝4， 所以双曲线的方程为＝1. 10.(11分)设双曲线＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率. 解　直线l的方程为＝1， 即bx＋ay－ab＝0. 于是有c， 所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4. 又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4， 两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0， 解得e2＝4或e2＝. 又b>a，所以e2＝＝1＋>2，则e＝2. 于是双曲线的离心率为2. 11.已知P为双曲线－x2＝1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|·|PB|的值为(　　) A.4 B.5 C. D.与点P的位置有关 答案　C 解析　设点P(x0，y0)，则有＝1， 所以－4＝4. 易知双曲线－x2＝1的渐近线方程为2x±y＝0， 所以|PA|·|PB|＝· ＝. 12.(多选)如图，有公共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e1，e2，e3，e4，则下列说法正确的是(　　) A.e1<e2 B.e3<e4 C.e1<e2<e4<e3 D.e2<e1<e3<e4 答案　AC 解析　在椭圆＝1(a>b>0)中，e＝，①②中b相同，a越大，e越大，椭圆越扁，故0<e1<e2<1； 在双曲线＝1(a>0，b>0)中，e＝，③④中a相同，b越大，e越大，双曲线开口越大，故e3>e4>1； 综上，0<e1<e2<1<e4<e3，即A，C正确. 13.(5分)若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为　　　　　　.  答案　＝1 解析　椭圆4x2＋y2＝64可变形为＝1， a2＝64，c2＝64－16＝48， ∴焦点为(0，4)，(0，－4)，离心率e＝， 则双曲线的焦点在y轴上，c'＝4，e'＝， 从而a'＝6，b'2＝12， 故所求双曲线的方程为＝1. 14.(5分)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)，设左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，在C的右支上存在一点P，使得以F1F2，F2P为邻边的平行四边形为菱形，且直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切，则该双曲线C的离心率为　　　　　.  答案　 解析　由题意得|PF2|＝|F1F2|＝2c，设直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切于点T，如图，则PF1⊥TF2，|TF2|＝c，在Rt△F1TF2中，∠TF2F1＝60°，则|PF1|＝2c，则由双曲线的定义可得|PF2|＝|PF1|－2a＝2c－2a，所以2c＝2c－2a，解得e＝. 15.(5分)已知椭圆M：＝1(a>b>0)，双曲线N：＝1(m>0，n>0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆M的离心率为　　　　；双曲线N的离心率为　　　　.  答案　－1　2 解析　椭圆、双曲线都关于x轴、y轴对称，所以只需考虑第一象限内的情况. 记双曲线N的一条渐近线与椭圆M在第一象限的交点为P，椭圆左焦点为Q，右焦点为F，连接PQ，如图. 由题意知，△OPF为正三角形，边长设为2，则高为， 所以椭圆半焦距为2，2a＝|PQ|＋|PF|＝2＋2， a＝＋1，椭圆M的离心率为－1. 双曲线N的一条渐近线斜率为＝tan 60°＝， e2＝＝1＋＝4， 所以双曲线N的离心率为2. 16.(12分)已知F1，F2分别为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围. 解　因为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点， 所以|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2a＋|PF2|， 所以＋4a＋|PF2|≥8a，当且仅当＝|PF2|，即|PF2|＝2a时取等号，所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝4a， 因为|PF1|－|PF2|＝2a<2c， |PF1|＋|PF2|＝6a≥2c⇒e＝≤3， 所以e的取值范围为(1，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $