第2章 2.6.2 第2课时 双曲线的几何性质的综合问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦双曲线几何性质的综合应用，系统梳理焦半径最值、共渐近线双曲线方程设法及综合问题解决。从巩固基础性质出发，通过类比椭圆焦半径引入双曲线焦半径取值范围，再到共渐近线方程的参数设法，最后结合定义与几何关系解决综合问题，构建递进式学习支架。 该资料以问题驱动和方法归纳为特色，通过类比椭圆焦半径提出问题培养数学眼光，例题中运用定义转化、数形结合发展数学思维，反思感悟总结结论规范数学语言。如例1利用双曲线定义求焦半径最小值，跟踪训练强化方法应用，课中辅助教师突破难点，课后帮助学生查漏补缺，提升综合应用能力。

第2课时　双曲线的几何性质的综合问题 学习目标　1.进一步巩固双曲线的几何性质.2.掌握共渐近线的双曲线方程的设法.3.会求双曲线的有关最值及综合问题. 一、双曲线中焦半径的最值 问题　类比求椭圆的焦半径，你能求双曲线的焦半径的取值范围吗？ 提示　|PF|≥c－a. 例1　(1)已知定点A，B且|AB|＝4，动点M满足|MA|－|MB|＝2，则|MA|的最小值是(　　) A.1＋ B.2 C.3 D.－1 答案　C 解析　设定点A在点B的左边， 因为|AB|＝4，|MA|－|MB|＝2<|AB|， 所以根据双曲线的定义可知点M的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支， 设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)， 则c＝2，2a＝2，a＝1， 当M在双曲线的右顶点时，|MA|有最小值， 最小值为a＋c＝2＋1＝3. (2)已知A(－4，0)，B是圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A.9 B.2＋6 C.10 D.12 答案　C 解析　由题意知点C(1，4)，点B在圆上， 则|PB|≥|PC|－1， 由点P在双曲线右支上， 点A为双曲线左焦点， 设A'为双曲线右焦点， 所以由双曲线定义知 |PA|＝|PA'|＋2a＝|PA'|＋6， 所以|PA|＋|PB|＝|PA'|＋|PB|＋6 ≥|PA'|＋|PC|＋6－1 ≥|A'C|＋5＝5＋5＝10. 反思感悟　(1)解决与双曲线有关的最值或范围问题，要灵活利用双曲线的定义进行转化，同时要结合图形中三角形三边的长度关系，寻求取得最值时需满足的条件，从而使问题得以解决. (2)最值问题的两个结论 设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，Q(x0，y0)为平面上一定点，M为双曲线右支上任意一点. ①若定点Q(x0，y0)与双曲线右焦点F2在双曲线右支的同侧，则|MQ|＋|MF2|的最小值是|QF1|－2a，最大值不存在. ②若定点Q(x0，y0)与双曲线右焦点F2在双曲线右支的异侧，则|MQ|＋|MF2|的最小值是|QF2|，最大值不存在. 跟踪训练1　(1)过双曲线x2－＝1的右支上的一点P分别向圆C1：(x＋3)2＋y2＝4和圆C2：(x－3)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 答案　B 解析　设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2， 则|PF2|≥2， |PM|2－|PN|2＝(|PF1|2－4)－(|PF2|2－1) ＝|PF1|2－|PF2|2－3 ＝(|PF1|＋|PF2|)(|PF1|－|PF2|)－3 ＝2(|PF1|＋|PF2|)－3 ＝2(2|PF2|＋2)－3＝4|PF2|＋1 ≥4×2＋1＝9. (2)已知定点A(3，1)，F是双曲线＝1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　) A. B.5＋4 C.5－4 D.＋4 答案　C 解析　设F1是双曲线的左焦点，根据双曲线的定义及P是双曲线右支上的动点可得|PF1|－|PF|＝2a， 所以|PF|＝|PF1|－2a，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|－2a＝|PA|＋|PF1|－4， 结合图形可得|PA|＋|PF1|≥|AF1| ＝＝5， 当且仅当P，A，F1三点共线时取得等号， 即图形中点P在P'处取得最小值， 所以|PA|＋|PF1|－4≥5－4， 所以|PA|＋|PF|的最小值为5－4. 二、共渐近线的双曲线的设法 例2　(1)求与双曲线＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程； (2)求渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)的双曲线的标准方程. 解　(1)设所求双曲线的方程为＝λ(λ≠0). ∵点M(3，－2)在双曲线上， ∴＝λ，即λ＝－2. ∴双曲线的标准方程为＝1. (2)方法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x. 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，则. ① ∵点A(2，－3)在双曲线上， ∴＝1. ② ①②联立，无解. 当焦点在y轴上时，设所求方程为 ＝1(a>0，b>0)，则. ③ ∵点A(2，－3)在双曲线上，∴＝1. ④ 联立③④，解得a2＝8，b2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为＝1. 方法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上， ∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为＝1. 反思感悟　(1)与双曲线＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0). (2)渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0). 跟踪训练2　已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)与双曲线＝1有相同的渐近线，且经过点M(，－). (1)求双曲线C的方程； (2)求双曲线C的实轴长、离心率、焦点到渐近线的距离. 解　(1)设双曲线C：＝λ(λ≠0)， 把点M(，－)， 代入方程得λ＝－， ∴双曲线C的方程为x2－＝1. (2)由(1)知双曲线C：x2－＝1， ∴a＝1，b＝，c＝， ∴实轴长为2a＝2，离心率为e＝， 设双曲线C的一个焦点为(－，0)， 一条渐近线方程为y＝x， ∴d＝， 即焦点到渐近线的距离为. 三、双曲线性质的综合应用 例3　已知双曲线的中心在原点，左、右焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(3，－1)，点M(3，m)在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)求·的值； (3)求△F1MF2的面积. 解　(1)因为e＝， 所以可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ>0). 因为过点(3，－1)， 所以9－1＝λ，即λ＝8， 所以双曲线的方程为＝1. (2)由(1)可得F1(－4，0)，F2(4，0)， ＝(－4－3，－m)，＝(4－3，－m)， 所以·＝(－4－3)×(4－3)＋m2＝2＋m2， 因为点M在双曲线上，所以18－m2＝8， 即m2＝10，所以·＝12. (3)因为|F1F2|＝8， 又由(2)知m＝±. 所以△F1MF2的高h＝|m|＝， 所以|F1F2|·|m|＝4. 反思感悟　解决双曲线的几何性质问题可用代数法，也可用几何法，综合应用几何性质解题可简化运算. 跟踪训练3　设F1，F2是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A为左顶点，点P为双曲线C右支上一点，|F1F2|＝10，PF2⊥F1F2，|PF2|＝，O为坐标原点，则·等于(　　) A.－ B. C.15 D.－15 答案　D 解析　由题意得c＝5，，a2＋b2＝c2， 解得a＝3，b＝4，则A(－3，0)，P， 则·＝－15. 1.知识清单： (1)双曲线中焦半径的最值. (2)共渐近线的双曲线的设法. (3)双曲线性质的综合问题. 2.方法归纳：转化法、数形结合法. 3.常见误区：求焦半径时要注意点P与焦点是否在同一侧. 1.点M为双曲线－x2＝1上任意一点，点O是坐标原点，则|OM|的最小值是(　　) A.1 B. C.2 D.2 答案　B 解析　设M(x，y)，|OM|＝， ∵点M在双曲线－x2＝1上， ∴x2＝－1，|y|≥， ∴|OM|＝≥. 2.若双曲线与椭圆＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为(　　) A.y2－x2＝96 B.y2－x2＝160 C.y2－x2＝80 D.y2－x2＝24 答案　D 解析　设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ<0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24. 3.已知A(－3，0)，B是圆x2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A.9 B.2＋4 C.8 D.7 答案　C 解析　如图所示，设圆心为C， 双曲线右焦点为A'(3，0)， 且|PB|≥|PC|－1，|PA|＝|PA'|＋4， 所以|PB|＋|PA|≥|PC|＋|PA'|＋3 ≥|A'C|＋3＝8， 当且仅当A'，B，C三点共线时取得等号. 4.设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为3，则双曲线C的方程为　　　　　　.  答案　x2－＝1 解析　方法一　不妨设P在双曲线左支上，|PF1|＝m， 则|PF2|＝m＋2a， ∵F1P⊥F2P， ∴＝3， ① 且m2＋(m＋2a)2＝(2c)2， ② 又∵离心率为2，∴＝2， ③ 联立①②③，解得∴b＝， ∴双曲线C的方程为x2－＝1. 方法二　＝b2＝3， 又∵离心率为2，∴ e2＝＝4， ∴a2＝1，则双曲线的方程为x2－＝1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角小于，则的取值范围为(　　) A.(，＋∞) B.(0，) C. D. 答案　B 解析　由题意得，C的渐近线方程为y＝±x，则0<<tan. 2.过点(4，－)且与双曲线＝1有相同渐近线的双曲线方程是(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　B 解析　因为所求双曲线与双曲线＝1有相同的渐近线，所以设其方程为＝t(t≠0)， 又点(4，－)在双曲线上，所以＝t，解得t＝3， 则所求双曲线方程为＝1. 3.双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点为F(－，0)，点A的坐标为(0，2)，点P为双曲线右支上的动点，且△APF周长的最小值为8，则双曲线的离心率为(　　) A. B. C.2 D. 答案　D 解析　由题意知双曲线的右焦点F1(，0)， 即c＝，|AF|＝＝3， 点P为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知|PF|－|PF1|＝2a， ∴|PF|＝|PF1|＋2a， ∴△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF| ＝|AF|＋|AP|＋|PF1|＋2a， 当点A，P，F1共线，即|AP|＋|PF1|＝|AF1|时，周长最小， 即|AF|＋|AF1|＋2a＝8，解得a＝1， 故离心率e＝. 4.已知圆锥曲线＝1的离心率e为方程3x2－10x＋3＝0的根，则满足条件的m有　　　　　个不同的值(　　)  A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　由3x2－10x＋3＝(3x－1)(x－3)＝0，则x＝或x＝3， 当e＝时，曲线为椭圆，当椭圆的焦点在x轴上时，0<m<4， 则，可得m＝，符合题意； 当椭圆的焦点在y轴上时，m>4， 则，可得m＝，符合题意； 当e＝3时，曲线为双曲线，则m<0， 则＝9，可得m＝－32，符合题意. 综上，满足条件的m有3个不同的值. 5.若圆x2＋＝r2与双曲线＝1没有公共点，则半径r的取值范围是(　　) A.0<r< B.0<r< C.0<r< D.0<r< 答案　C 解析　若圆x2＋＝r2与双曲线＝1没有公共点，则半径r小于双曲线上的点到圆心距离的最小值，设双曲线上任意点P(x，y)，圆心A(0，)， 则|PA|＝ ＝， 当y＝时，|PA|取得最小值， ∴半径r的取值范围是0<r<. 6.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是 (　　) A.C的方程为＝1 B.C的离心率为 C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2 答案　AD 解析　 由双曲线C的一个焦点F(5，0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为＝1，A正确； 离心率为e＝，B不正确； 焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确； |PF|的最小值为c－a＝2，D正确. 7.(5分)焦点为(0，6)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是　　　　　　　　.  答案　＝1 解析　设所求双曲线方程为－y2＝λ(λ<0)， 所以＝1. 所以－λ－2λ＝36，所以λ＝－12. 故双曲线方程为＝1. 8.(5分)已知F1，F2分别是双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点M是双曲线E上一点，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为　　　　　.  答案　 解析　将x＝－c代入双曲线方程，得＝1， 所以－1＝， 所以y＝±，所以|MF1|＝. 因为sin∠MF2F1＝， 所以tan∠MF2F1＝， 又e>1，所以e＝. 9.(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；(5分) (2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6.(5分) 解　(1)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3. 由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得 2c＝4a＝12，即c＝6， 于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为＝1或＝1. (2)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)， 即＝1(λ≠0)，由题意得a＝3. 当λ>0时，＝9，λ＝36， 双曲线方程为＝1； 当λ<0时，－＝9，λ＝－81， 双曲线方程为＝1. 故所求双曲线的标准方程为 ＝1或＝1. 10.(10分)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率等于，且点在双曲线上. (1)求双曲线的方程；(5分) (2)若双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上任意一点，求·的取值范围.(5分) 解　(1)由题意得，＝1， 又∵c2＝a2＋b2，∴a2＝4，b2＝5，c＝3， ∴双曲线的方程为＝1. (2)由题意得A1(－2，0)，F2(3，0)，设P(x，y)(x≥2)， ∴＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)， 由点P在双曲线上得，y2＝5x2－5， ∴·＝x2－x－6＋y2＝x2－x－6＋x2－5＝x2－x－11＝. ∵x≥2，∴当x＝2时，·取得最小值－4， ∴·的取值范围为[－4，＋∞). 11.P是双曲线C：－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线的一条渐近线.P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值是(　　) A.1 B.2＋ C.4＋ D.2＋1 答案　D 解析　设双曲线的右焦点为F2， 因为|PF1|－|PF2|＝2， 所以|PF1|＝2＋|PF2|， |PF1|＋|PQ|＝2＋|PF2|＋|PQ|， 当且仅当Q，P，F2三点共线， 且P在Q，F2之间时，|PF2|＋|PQ|的值最小， 最小值为点F2到直线l的距离. 由题意可取直线l的方程为 y＝x，焦点F2(，0)到直线l的距离d＝1， 故|PF2|＋|PQ|的最小值为1， 所以|PF1|＋|PQ|的最小值为2＋1. 12.(多选)已知点P(1，)是双曲线C：3x2－y2＝1上一点，过P向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为A，B，则下列说法正确的是(　　) A.双曲线的渐近线方程为y＝±x B.双曲线的焦点到渐近线的距离为1 C.· D.△PAB的面积为 答案　ABD 解析　因为双曲线的方程为C：3x2－y2＝1，所以a＝，b＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.故A正确； 双曲线的右焦点到渐近线y＝x的距离为d＝＝1，故B正确； 由点到直线的距离公式可得·×，故C错误； 如图，由双曲线的对称性，不妨设点A在渐近线y＝x上，则kOA＝，所以∠AOx＝60°.设直线OA和PB相交于点D，在△PAD和△OBD中，∠PAD＝∠OBD＝90°， ∠PDA＝∠ODB，所以∠APD＝∠BOD＝60°，所以 S△PAB＝×·sin 60°＝××，故D正确. 13.(5分)如图，设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，过F作倾斜角为60°的直线l与双曲线C的左支交于A，B两点，若＝4，则双曲线C的渐近线方程为　　　　　. 答案　y＝±x 解析　令双曲线的右焦点为F'，半焦距为c，设|BF|＝t，则|AF|＝4t， 由双曲线定义得|BF'|＝t＋2a，|AF'|＝4t＋2a，由直线l的倾斜角为60°， 得由余弦定理得 即 整理得 于是c＝a，b＝a， 所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x. 14.(5分)双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P为双曲线右支上的一点，连接PF1交左支于点Q.若|PF2|＝|PQ|，且＝6，则双曲线的离心率为　　　.  答案　 解析　如图所示，由双曲线的定义可知，|PF1|－|PF2|＝|PQ|＋|QF1|－|PF2|＝2a，结合|PF2|＝|PQ|， 所以|QF1|＝2a，又有|QF2|＝2a＋|QF1|＝4a， 故由＝6可得 ＝6， 所以|PQ|＝2|QF1|＝4a，则|PF1|＝6a， 则△PQF2为等边三角形，∠F1PF2＝， 由余弦定理可得 ＝， 解得e＝. 15.(多选)设O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点P为双曲线上一点，则(　　) A.若|PF1|＝3，则|PF2|＝1 B.若△POF2的面积为，则∠F1PF2＝60° C.若线段PF1的中点在y轴上，则|PF2|＝3 D.△F1PF2内切圆的圆心到y轴的距离为1 答案　BCD 解析　渐近线方程为bx±ay＝0， 由题意可得e＝＝2，焦点(c，0)到渐近线的距离为，结合c2＝a2＋b2，解得a＝1，b＝，c＝2，则双曲线的方程为x2－＝1， ||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2，所以|PF2|＝1或|PF2|＝5，选项A错； 记∠F1PF2＝θ，则＝2＝3， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，由双曲线定义得|m－n|＝2a， ① 在△F1PF2中，由余弦定理得m2＋n2－2mncos θ＝4c2，即(m－n)2＋2mn－2mncos θ＝4c2， ② 即mn＝， 故mnsin θ＝··sin θ＝＝3， 可得tan，即有＝30°，所以θ＝60°，选项B对； 因为PF1的中点M在y轴上，所以|MF2|＝|MF1|＝|PF1|，故PF2⊥x轴，故|PF2|＝＝3，选项C对； 取点P在双曲线的右支上，如图所示， |PF1|－|PF2|＝|F1C|－|BF2|＝|F1A|－|AF2|＝2， 又因为|F1A|＋|AF2|＝4，解得|F1A|＝3，|AF2|＝1， 所以切点A是双曲线的右顶点，从而内切圆的圆心到y轴的距离为1，选项D对. 16.(12分)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的焦距为10，F为双曲线的右焦点，且点F到渐近线的距离为4. (1)求双曲线C的方程；(6分) (2)若点A(12，0)，点P为双曲线C左支上一点，求的最小值.(6分) 解　(1)＝1的一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0， 点F(c，0)到bx－ay＝0的距离d＝＝b＝4， 又因为2c＝10，所以c＝5， 所以a2＝c2－b2＝9， 所以双曲线C的方程为＝1. (2)如图，设双曲线C的左焦点为F0，则F0(－5，0)， |PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF0|＋2a＝|PA|＋|PF0|＋6， 当F0，P，A三点共线时，|PA|＋|PF0|最小，且最小值为|AF0|＝17. 故|PA|＋|PF|的最小值为17＋6＝23. 学科网（北京）股份有限公司 $