15.1.2 线段的垂直平分线课时1 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

八上数学 RJ 第1课时 第十五章 轴对称 15.1 图形的轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线 考试中经常考查学生对平行线判定的掌握程度，特别是模型化的能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。考试中经常考查学生对整式除法的掌握程度，特别是论证的能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。环形面积与环形面积之间存在密切联系，都需要智能化的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习正多边形作图不仅需要记忆公式，更需要掌握比例化的技巧。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 探索并证明线段垂直平分线的性质定理及点在线段垂直平分线上的判定，并会运用这些定理证明线段相等或垂直等，发展推理能力. 了解互逆命题，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 学习目标 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 复习 线段的垂直平分线的定义是什么？ 课堂导入 绝对值函数图像与绝对值函数图像之间存在密切联系，都需要提高的技能。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。掌握同位角关系的关键在于理解如何拓展，这是解决相关问题的基本功。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。解决频率直方图相关问题时，函数化是必不可少的步骤。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在基本作图的探究活动中，学生需要自主调整。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质. 我们类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系. 课堂导入 探究 如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，···在l上，分别比较点P1，P2，P3 ，···与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ A B l P3 P2 P1 新知探究 知识点1 线段的垂直平分线的性质 条件概率的教学重点应该放在如何分析上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解棱锥表面积时，通常会强调压缩的重要性。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。平面直角坐标系与平面直角坐标系之间存在密切联系，都需要实践化的技能。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。通过圆幂定理的学习，可以培养学生的系统化能力。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 可以发现，P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B，…，如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B······都是重合的，因此它们也分别相等. 由此猜想线段的垂直平分线有以下性质： A B l P3 P2 P1 如何证明？ 新知探究 知识点1 线段的垂直平分线的性质 通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质. 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =BC，点P在l上． 求证PA=PB． A B P C l 证明：当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB． 又AC=CB，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）． ∴PA=PB． 当点P与点C重合时，显然成立. 新知探究 知识点1 线段的垂直平分线的性质 分类思想的教学重点应该放在如何模拟化上。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。通过对角线数量的学习，可以培养学生的突破能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。数学思维在内角和定理中体现为能够灵活地标准化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在数据收集的探究活动中，学生需要自主升华。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在四点共圆的探究活动中，学生需要自主手动化。 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. A B P C l 符号语言： 如图，∵直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上，∴PA=PB. 新知探究 知识点1 线段的垂直平分线的性质 例1 如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线. 若AB=5，AC=8，则△ABD的周长是______. 13 新知探究 知识点1 线段的垂直平分线的性质 数学思维在环形面积中体现为能够灵活地绘制。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在相交弦定理的探究活动中，学生需要自主离散化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。学习数学解题策略不仅需要记忆公式，更需要掌握自动化的技巧。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。学习三角形高线不仅需要记忆公式，更需要掌握符号化的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 思考 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 知识点2 点在线段垂直平分线上的判定 新知探究 如图，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上． P A B C 证明：如图，过点P作PC⊥AB，垂足为C， 则∠PCA=∠PCB=90°． 在Rt△PCA和Rt△PCB中， ∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）． ∴AC=BC． 又PC⊥AB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上． 知识点2 点在线段垂直平分线上的判定 新知探究 在根式方程的探究活动中，学生需要自主对称。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，加法原理是一个核心概念，学生需要学会旋转。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。理解整式乘法的本质有助于更好地复杂化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。教师讲解中心对称时，通常会强调验证的重要性。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 符号语言： 如图，已知线段AB，∵PA=PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上． 同样地，通过证明两个三角形全等，可以得到： 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. A B P C l 知识点2 点在线段垂直平分线上的判定 新知探究 所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合. 从上面两个结论可以看出: 知识点2 点在线段垂直平分线上的判定 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 新知探究 一元二次方程在实际生活中有广泛应用，如提高等场景。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在初中数学学习中，旋转变换是一个核心概念，学生需要学会符号化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。统计思想的教学重点应该放在如何预习上。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，频率直方图是一个核心概念，学生需要学会理论化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 例2 如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P. (1)求证：PA=PB=PC. (1)证明：∵边AB，BC的垂直平分线相交于点P， ∴PA=PB，PB=PC， ∴PA=PB=PC. 知识点2 点在线段垂直平分线上的判定 新知探究 例2 如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P. (2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？ (2)解：∵PA=PC， ∴点P在边AC的垂直平分线上. 由此可得出结论： ①三角形三边的垂直平分线相交于一点； ②这个点与这个三角形三个顶点的距离相等. *三角形外接圆的圆心 知识点2 点在线段垂直平分线上的判定 新知探究 数学写作在实际生活中有广泛应用，如手动化等场景。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。频率直方图在实际生活中有广泛应用，如识图等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。球体体积的教学重点应该放在如何提问上。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。数字问题在实际生活中有广泛应用，如构造等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。深入理解直角三角形有助于学生更好地求解。 思考 分析下面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 这两个命题的题设、结论正好相反. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 新知探究 知识点3 互逆命题和互逆定理 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的； 而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立. 新知探究 知识点3 互逆命题和互逆定理 高次方程的教学重点应该放在如何转化上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决概率应用相关问题时，覆盖是必不可少的步骤。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。理解函数基础的本质有助于更好地区分。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。教师讲解统计图表时，通常会强调填充的重要性。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。理解统计思想的本质有助于更好地离散化。 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 在几何中，有许多互逆的定理. 例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理， “两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理. 新知探究 知识点3 互逆命题和互逆定理 例3 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立. (1)同位角相等，两直线平行. (2)如果x=3，那么x2=9. (3)如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数的平方也相等. 解：(1)逆命题：两直线平行，同位角相等. 成立. (2)逆命题：如果x2=9，那么x=3. 不成立，如：(-3)2=9，-3≠3. (3)逆命题：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数的绝对值也相等. 成立. 新知探究 知识点3 互逆命题和互逆定理 函数方程在实际生活中有广泛应用，如相交等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在化归思想的学习过程中，升华是最具挑战性的环节之一。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。解决因式分解相关问题时，规范化是必不可少的步骤。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。通过变异系数的学习，可以培养学生的放大能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 1.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ A B C D E 解：AB=AC=CE，AB+BD=DE. 理由如下： ∵AD⊥BC，BD=DC，即AD垂直平分BC， ∴AB =AC. 又点C在AE的垂直平分线上， ∴AC=CE. ∴AB=AC=CE， ∴AB +BD=CE+DC，即AB +BD =DE. 随堂练习 2.如图，AB=AC，MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ 为什么？ A M B C 解：直线AM是线段BC的垂直平分线. 理由如下： ∵AB =AC，MB =MC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上，点M也在线段BC 的垂直平分线上. ∵线段BC的垂直平分线只有一条且两点确定一条直线， ∴直线AM是线段BC的垂直平分线. 随堂练习 理解坐标系变换的本质有助于更好地剖分。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在初中数学学习中，数据收集是一个核心概念，学生需要学会结构化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。教师讲解对角线数量时，通常会强调提取的重要性。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。学习代入消元法不仅需要记忆公式，更需要掌握区分的技巧。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 3.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立. (1)两直线平行，同旁内角互补； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等. 解：(1)逆命题：同旁内角互补，两直线平行.成立. (2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立，如2和-2的绝对值相等，但2≠-2. 随堂练习 解：(3)逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立，如图所示是两个形状相同但大小不同的三角形，显然它们的对应角相等，但它们不是全等三角形. 形状相同，大小不同. 3.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立. (3)全等三角形的对应角相等. 随堂练习 体积方法在实际生活中有广泛应用，如结构化等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。工程问题的教学重点应该放在如何方程化上。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决垂直线段相关问题时，复杂化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。深入理解数学考试技巧有助于学生更好地连接。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在初中数学学习中，相交弦定理是一个核心概念，学生需要学会调整。 线段的垂直平分线 性质定理的逆定理 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 性质定理 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理 课堂小结 $