15.1.2 课时1 线段的垂直平分线的性质与判定课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质、判定及互逆命题，通过复习定义和对称轴上点的距离关系，引导学生从旧知出发发现性质猜想，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以探究活动（对折操作）培养几何直观，通过严格证明发展推理意识，规范符号语言强化数学表达。互逆命题教学结合实例辨析，助学生理解逻辑关系。学生能提升探究与推理能力，教师可借助清晰结构高效教学。

15.1.2 线段的垂直平分线 课时1 线段的垂直平分线的性质与判定 22051 学 习 目 标 1.探索并证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理. 2.了解原命题及其逆命题的概念,会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 学习目标 22051 2.请画一条线段 AB，你能找到线段的对称轴吗？ 线段对称轴上的点和它的两个端点的距离有怎样的关系？ A B 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 1.线段的垂直平分线的定义是什么？ 复习导入 22051 知识点1 线段的垂直平分线的性质 探究：如图，直线 l 垂直平分线段 AB，点 P1，P2，P3，…在 l 上，分别比较点 P1，P2，P3，… 与点 A 的距离和这些点与点 B 的距离，你有什么发现？对此有什么猜想？ A B l P1 P2 P3 如果把线段沿直线对折，线段与、 线段与、线段与......都是重合的. 发现：P1A = P1B，P2A = P2B，P3A = P3B······ 猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如何证明你的猜想？ 新知讲解 22051 猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图，直线 l ⊥ AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上. 求证：PA = PB. A B l P C 证明：当点P与点C不重合时， ∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB = 90°． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA△PCB（SAS）． ∴ PA =PB． 当点P与点C重合时，显然成立 新知讲解 22051 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 几何语言： ∵直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上， ∴PA = PB. A B l P C 注：用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等. 归纳小结 22051 如图，在△ABC中，线段BC的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E， BE＝5，则CE的长是(　C　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 C 小试牛刀 22051 知识点2 线段垂直平分线的判定 思考：把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗? 你有什么猜想？ PA = PB 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 猜想：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 如何证明你的猜想？ 新知讲解 22051 猜想：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 如图，在△ABP 中， PA = PB. 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 证明：过点 P 作线段 AB 的垂线 PC，垂足为 C． 则∠PCA =∠PCB = 90°． A B P C 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵ PA = PB，PC = PC， ∴ Rt△PCARt△PCB（HL），∴ AC =BC． 又 PC⊥AB，∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上. 新知讲解 22051 线段垂直平分线的判定： 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． A B l P C 符号语言： ∵PA =PB， ∴点P 在AB 的垂直平分线上． 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 归纳小结 22051 如图，在△ABC中，点D在BC上，且AD＝CD，则点D在(　A　) A. AC的垂直平分线上 B. ∠BAC的平分线上 C. BC的中线上 D. AB的垂直平分线上 A 小试牛刀 22051 知识点3 互逆命题与互逆定理 思考：分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 两个命题的题设、结论正好相反. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 新知讲解 22051 我们把具有题设、结论正好相反这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 注意：一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的； 而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立. 新知讲解 22051 ①线段的垂直平分线的性质与判定； ②角的平分线的性质与判定； ③“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”； ······ 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 思考：你能列举一些我们学过的互逆定理吗？ 新知讲解 22051 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立. (1)两直线平行，同位角相等； 解：(1)同位角相等，两直线平行，成立. (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等. 解：(2)如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，不 成立. 解：(1)同位角相等，两直线平行，成立. 解：(2)如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，不成立. 小试牛刀 22051 线段的垂直平分线 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 判定定理 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 性质定理 互逆命题 互逆定理 课堂小结 22051 1.如图，已知直线l垂直平分线段AB，P是直线l上一点，连接PA，PB. 若PA＝2，则PB的长( ) A.等于2 B.小于2 C.大于2 D.不能确定 A 当堂检测 基础 22051 2.如图，点是内的一点，若 ，则( ) D A.点在 的平分线上 B.点在 的平分线上 C.点在边 的垂直平分线上 D.点在边 的垂直平分线上 当堂检测 基础 22051 3.命题“锐角小于 ”的逆命题是( ) A A.小于 的角是锐角 B.不是锐角的角不小于 C.不小于 的角不是锐角 D.如果一个角是锐角，那么这个角小于 当堂检测 基础 22051 4.如图，在中，边的垂直平分线 分别交,于点，,边 的 垂直平分线分别交，于点，，已知 的周长为，求 的长. 解：是的垂直平分线，是 的垂直平分线， ， . 的周长为 ， ， ，即 . 当堂检测 基础 22051 5.如图，在△ABC中，AD是高，AB＋BD＝DC，在线段DC上取一点E，使DE ＝BD.求证：点E在线段AC的垂直平分线上. 证明：∵AD是高，∴AD⊥BC. 又∵BD＝DE， ∴AD所在直线是线段BE的垂直平分线， ∴AB＝AE，∴AB＋BD＝AE＋DE. 又∵AB＋BD＝DC，∴DC＝AE＋DE， ∴DE＋EC＝AE＋DE，∴EC＝AE， ∴点E在线段AC的垂直平分线上. 当堂检测 提升 22051 $