专题06 反比例函数22大题型66题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材冀教版

专题06 反比例函数（22大题型66题） 基础·固本强基 题型1 反比例函数的定义 题型2 用反比例函数描述数量关系 题型3 反比例函数的自变量与反比例函数的值 题型4 画反比例函数的图象 题型5 求反比例函数的解析式（重点） 题型6 判断反比例函数的增减性 题型7 反比例函数的k值意义（重点） 提升·进阶突破 题型8 根据反比例函数的定义求参数（重点） 题型9 反比例函数图象的对称性 题型10 已知双曲线分布的象限求参数范围（重点） 题型11 已知反比例函数的增减性求参数（重点） 题型12 比较反比例函数值或自变量的大小（重点） 题型13 已知比例系数求特殊图形的面积（重点） 题型14 根据图形面积求比例系数（重点） 题型15 反比例函数的实际应用（重点） 题型16 反比例函数与一次函数结合 拔高·压轴破难 题型17 反比例函数k值的几何意义与面积计算（难点） 题型18 反比例函数与一次函数交点综合（难点） 题型19 反比例函数的几何模型（难点） 题型20 反比例函数的存在性问题（难点） 题型21 反比例函数选填压轴（难点） 题型22 反比例函数的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 反比例函数的定义（共3小题） 【步骤】先对照定义列条件，保证自变量次数为 - 1，系数不为 0，解方程后代入检验。 【易错】容易忽略系数不等于 0；误把指数看成 1，忘记检验参数是否符合题意。 1．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知是反比例函数，则m的值为 _______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义、解一元二次方程，熟练掌握反比例函数的形式是解题的关键．根据反比例函数的定义进行计算即可． 【详解】解：由题意得，且， 解得或且且， ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的定义： （1）根据正比例函数的定义可得且，即可求解； （2）根据反比例函数的定义可得且，即可求解． 【详解】（1）解：∵是正比例函数， ∴且， 解得：； （2）解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：； ∴该反比例函数的解析式为， 当时，， 解得：． 3．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）已知是反比例函数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即，只需令，即可． 【详解】解：由题意得：且； 解得，又； ． 题型2 用反比例函数描述数量关系（共3小题） 【步骤】分析变量，确定乘积为定值，列出反比例关系式，代入数值求解并检验实际意义。 【易错】混淆正反比例；误将和为定值当作反比例，忽略变量取值限制条件。 4．（24-25九年级上·重庆·期中）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于即可判断该点在函数图象上，据此求解即可，掌握反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：． 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（    ） A．某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系 B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系 C．压强公式中，一定时，压强与受力面积之间的关系 D．三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，对于两个变量，若它们的乘积一定，则这两个变量是反比例函数关系，据此可得答案． 【详解】解：A、由题意得，，则时间与跑步平均速度之间的关系是反比例函数，不符合题意； B、由题意得，，则长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系是反比例函数，不符合题意； C、由题意得，，则一定时，压强与受力面积之间的关是反比例函数，不符合题意； D、由题意得，（l为一边长，h为该边上的高），则l一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系不是反比例函数，符合题意； 故选：D 6．（25-26九年级上·河北·期中）下列等式中，a和b成反比例的是（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例的含义，则a和b成反比例，即是a变大时b则跟着变小，或者a变小时b则跟着变大，是解答本题的关键．a和b成反比例，即是a变大时b则跟着变小，或者a变小时b则跟着变大，据此作答即可． 【详解】解：A项，a和b的变化一致，即一起变大或者一起变小，故本项不符合题意； B项，a和b的变化一致，即一起变大或者一起变小，故本项不符合题意； C项，a和b成反比例，即是a变大时b则跟着变小，或者a变小时b则跟着变大；故C符合题意 故选：C． 题型3 反比例函数的自变量与反比例函数的值（共6小题） 【步骤】将自变量代入解析式，求出对应函数值；已知函数值，解方程求自变量并检验。 【易错】忽略自变量不能为 0；求自变量时漏检验，易出现无意义的增根。 7．（25-26九年级上·江苏南通·期中）在反比例函数中，若，则x的取值范围为_________. 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质和图象，的图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，由此可解． 【详解】解：中比例系数大于0， 图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， 当时，， 当时，， 若，则x的取值范围为， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图像上，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，将点代入反比例函数解析式，求解的值． 【详解】解：∵点 在的图像上， ∴， ∴的值为， 故选：A． 9．（2025·河北邯郸·二模）已知反比例函数的图象上有两点和，且满足：，，则的值为_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上的点的横纵坐标一定满足其解析式，则，根据题意可得，则可推出，再由可得，据此可得答案． 【详解】解：点和点在反比例函数的图象上， ， ∵， ∴，即， ∴， 又， ∴解得， ，即， ∴． ， ， 故答案为：3． 题型4 画反比例函数的图象（共3小题） 10．（25-26九年级上·全国·期中）填表并用描点法在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． 1 2 4 【答案】 解： 1 2 4 2 1 【分析】本题考查了反比例函数图象的画法，解题的关键是准确计算函数值、规范进行描点和连线操作． 先将的值代入反比例函数求出对应的值完成表格，再依据表格中的坐标进行描点、连线，画出函数图象 【详解】略 11．（25-26九年级上·全国·期中）在如图所示的平面直角坐标系中画出反比例函数和的图象，并解答下列问题： 反比例函数的图象叫做_______．因为自变量x与函数y的值都不能取_______，所以反比例函数的图象与x轴、y轴_______(填“有”或“无”)交点． 【答案】双曲线； 0 ； 无 【分析】本题考查了反比例函数图象的画法和性质，准确画出函数的图象是解题的关键． 利用描点法，作出反比例函数的图象，结合图象填空． 【详解】对于函数，选取点，，，，在坐标系中，描出这四个点，再画出反比例函数的图象； 对于函数，选取点，，，，在坐标系中，描出这四个点，再画出反比例函数的图象； 如下图所示： 由图知，反比例函数的图象叫做双曲线．因为自变量x与函数y的值都不能取0，所以反比例函数的图象与x轴、y轴无交点． 12．（25-26九年级上·广东佛山·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，作出函数的图象（请先完成表格再描点画图） 1 2 3 请你任意写出一条有关上述函数的性质． 【答案】 解：列表： 1 2 3 7 4 3 描点、连线即得到函数图象如下： 由图象知，当时，函数值随自变量的增大而减小．（答案不唯一） 【分析】本题考查画函数图象及函数图象性质；把所给自变量值代入解析式中即可完成列表，再描点连线即可得到函数图象． 【详解】略 题型5 求反比例函数的解析式（共3小题） 【步骤】设反比例函数解析式，代入图像上一点坐标求出 k，回代写出完整解析式。 【易错】忘记 k≠0；坐标代入时符号出错，遗漏自变量 x 不等于 0 的限制。 13．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）已知与成反比例，且当时，． (1)求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求当时的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数的解析式求解及函数值计算，解题的关键是利用反比例函数的定义设出函数表达式，再代入已知条件求解． （1）根据反比例函数的定义设出表达式，代入已知的值求出比例系数，进而得到函数关系式，再确定自变量的取值范围； （2）将给定的值代入已求出的函数关系式，计算对应的值． 【详解】（1）解：与成反比例， 设（为常数，）． 已知当时，， 将其代入表达式得：，即． 关于的函数关系式为． 由于分母不能为0，故自变量的取值范围是； （2）解：将代入， 得． 14．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）若与成反比例，当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数的函数值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）所求的函数解析式中求出y的值即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为； （2）解：在中，当时，． 15．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的增减性，掌握待定系数法是解题的关键． （1）把点代入反比例函数为常数，中，求出的值，即可得出这个函数的解析式； （2）分别求出当时，当时的值，再根据函数的增减性得出的取值范围． 【详解】（1）解：反比例函数为常数，的图象经过点， ， ， ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：当时，， 当时，， ∵反比例函数，在每个象限内函数值随自变量的增大而减小， 当时，的取值范围是． 题型6 判断反比例函数的增减性（共3小题） 16．（2026·河北沧州·一模）关于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象与性质，逐一判断各选项即可． 【详解】A、因为点的坐标不满足，所以函数图象不经过点，说法错误，该选项不符合题意； B、因为，所以函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，说法错误，该选项不符合题意； C、当时，随的增大而增大，说法错误，该选项不符合题意； D、当时，随的增大而增大，且点和点在函数图象上，所以，当时，，该选项说法正确． 17．（2026·天津和平·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质得出的图象在一、三象限，在各象限，随的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵中，， ∴图象在一、三象限，在各象限，随的增大而减小， ∵，， ∴，， ∴． 18．（24-25九年级下·全国·期中）已知反比例函数(k为常数，k≠2)． (1)若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； (2)若，试写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数（为常数）中，当时，在每一象限内随的增大而减小；当时，在每一象限内随的增大而增大是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质，当反比例函数（为常数）中时，在每一支上随的增大而增大，所以通过这个性质列关于的不等式求解． （2）先把代入函数解析式得到具体的反比例函数，再分别求出和时对应的的值，最后根据反比例函数的单调性确定的取值范围． 【详解】（1）解：反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大 ； （2）解：当时，反比例函数为 当时，，解得 当时，，解得 反比例函数在时，随的增大而减小 当时，． 题型7 反比例函数的k值意义（共3小题） 【步骤】过双曲线上点作坐标轴垂线，利用S=，结合图形面积列式求 k 并判断符号。 【易错】忘记 k 要加绝对值；图形跨象限时符号判断错误，面积直接等同于 k。 19．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，点是反比例函数的图像上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于3，则的值等于___________． 【答案】 【分析】本题考查了根据图形面积求比例系数，设，则；推出的面积，即可求解； 【详解】解：设，则； ∵的面积， ∴， ∴， 故答案为： 20．（2026·安徽宣城·一模）如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，连接交轴于点，且，若，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的图形及性质，三角形的中线平分面积，反比例函数比例系数k的几何意义等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键． 过点C作轴于H点，证明，可得到，然后根据反比例函数比例系数k的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，过点C作轴于H点， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为： 21．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，轴于点，轴于点，连接，．若与的面积之和为2，则的值为_____________． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，过反比例函数图象上的点向轴或轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积等于． 根据反比例函数比例系数的几何意义可得，然后根据题意得到，进而求解即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点，，轴于点轴于点， ∴， ∵与的面积之和为2， ∴， ∴． 故答案为：2． 提升·进阶突破 题型8 根据反比例函数的定义求参数（共3小题） 【步骤】依据定义列次数等于 - 1、系数不为 0 两个条件，联立求解参数，再代入检验。 【易错】只考虑次数，漏掉系数不为 0 条件；求出参数后不验证，忽略分母不能为零。 22．（25-26九年级上·河北唐山·期末）已知是第一象限内的点，且在双曲线上，点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为（   ） A． B． C．4 D．－4 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于y轴对称的点的坐标的特征，熟练掌握性质是解题的关键． 利用点在双曲线上得，然后求点关于轴的对称点，代入另一双曲线得，计算值即可． 【详解】解：∵点 在上， ∴ ∵点关于轴的对称点在双曲线上， ∴，代入得： ， ∴， ∴． 故选：D． 23．（2026九年级上·全国·专题练习）已知函数 （为常数）． (1)若该函数是反比例函数，则________； (2)若该函数是正比例函数，则________． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据反比例函数的定义，得且，解答即可； （2）根据正比例函数的定义，且，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得且， 故且， 故且， 综上所述，． （2）解：根据题意，得且 且 故且 综上． 24．（25-26九年级上·全国·期中）已知函数． (1)当为何值时，该函数是一次函数？ (2)当为何值时，该函数是正比例函数？ (3)当为何值时，该函数是反比例函数？ 【答案】(1)当时，该函数是一次函数 (2)当时，该函数是正比例函数 (3)当时，该函数是反比例函数 【分析】本题考查根据正比例函数，一次函数，反比例函数的定义求参数的值，熟练掌握相关定义，是解题的关键： （1）根据一次函数的定义，得到，进行求解即可； （2）根据正比例函数的定义，得到，进行求解即可； （3）根据反比例函数的定义，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，解得， 即当时，该函数是一次函数． （2）由题意，得，解得， 即当时，该函数是正比例函数． （3）由题意，得，解得， 即当时，该函数是反比例函数． 题型9 反比例函数图象的对称性（共3小题） 25．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）关于函数的图象有以下四个结论：①函数图象与坐标轴没有公共点；②函数图象关于直线对称；③函数图象关于直线对称；④函数图象关于成中心对称．其中正确的个数是（     ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】将函数转化为平移后的反比例函数，利用反比例函数的对称性判断各结论正误． 【详解】解：函数由反比例函数向左平移3个单位得到， 当时，，即函数图象与轴有公共点，故①错误； ∵的对称中心为，对称轴为直线和，平移后对称中心、对称轴随图象同步左移3个单位， ∴平移后对称中心为，对称轴为直线和， ∴ ②③④正确，故选项B符合题意． 26．（2026·西藏·模拟预测）已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数图象的交点，利用中心对称图形的性质即可解决． 【详解】解：∵直线与双曲线均是关于原点中心对称的图象， ∴它们的交点也关于原点对称， 由其中一个交点坐标是，可知另外一个交点为． 故选：C． 27．（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为．    (1)求出点B的坐标． (2)请根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数与反比例函数的性质是解题关键． （1）根据正比例函数与反比例函数的性质求解即可得； （2）找出正比例函数的图象位于反比例函数的图象的上方即可得． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于两点， 点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为． （2）解：不等式表示的是正比例函数的图象位于反比例函数的图象的上方， 所以不等式的解集为或． 题型10 已知双曲线分布的象限求参数范围（共3小题） 【步骤】根据双曲线所在象限判断 k 正负，列出不等式求解参数，兼顾解析式隐含限制条件。 【易错】只看象限符号，忽略反比例系数不为 0；解不等式时不等号方向发生错误。 28．（25-26九年级上·四川达州·期中）已知反比例函数的图像过第二、四象限，则的取值可能是（　　） A．2 B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据分比例函数的性质即可解答，根据反比例函数的图像过第二、四象限得到是解答本题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图像过第二、四象限， ∴，即B选项符合题意． 故选B． 29．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键． （1）根据反比例函数的性质得到，进而解不等式即可求解； （2）根据反比例函数在第一象限内，y随x的增大而减小得到，进而解不等式即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴，解得， 即k的取值范围是； （2）解：∵反比例函数图象经过第一象限的两点，，且， ∴，解得， 又∵， ∴a的取值范围是． 30．（25-26九年级下·天津红桥·期中）如图，它是反比例函数（m为常数，且）图象的一支． (1)图象的另一支位于哪个象限？求的取值范围； (2)点在该反比例函数的图象上． ①判断点，，是否在这个函数的图象上，并说明理由； ②在该函数图象的某一支上任取点和．如果，那么和有怎样的大小关系？ 【答案】(1)第三象限， (2)①点B，D在其图象上，理由如下： ∵点在其图象上， ∴，解得． ∴这个反比例函数的解析式为． 当时，；当时，；当时，． ∴点B，D在这个函数的图象上，点C不在这个函数的图象上． ② 【分析】（1）根据反比例函数的图象在第一象限，可得支必位于第三象限，，即可解答； （2）①先求出解析式，再分别将各点的横坐标代入，计算出y值与纵坐标比较即可；②根据反比例函数的性质即可解答． 【详解】（1）∵这个函数图象的一支位于第一象限， ∴另一支必位于第三象限． ∴． 解得． （2）∵点在其图象上， ∴，解得． ∴这个反比例函数的解析式为． ①略 ②∵， ∴在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小． ∴当时，． 【点睛】此题考查了反比例函数的知识，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象及性质，正确掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 题型11 已知反比例函数的增减性求参数（共3小题） 【步骤】依据增减性判断 k 正负，列出不等式，结合 k≠0 求解参数，再核对自变量取值范围。 【易错】忽略 “同一象限” 前提；混淆增减性与 k 的关系，遗漏系数不能等于 0。 31．（2026·浙江杭州·一模）设反比例函数（k为常数，）．已知当时，y的最大值为，则当时，y的最大值为（   ）． A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】先利用反比例函数的性质判断k的符号，再根据给定x区间的y最大值求出k的值，最后结合反比例函数性质求出目标区间y的最大值． 【详解】解：当时，y的最大值为， ，， ， 对于反比例函数，当时，每个象限内y随x的增大而减小， 在区间，x取最小值时y取得最大值， 将代入，得，即反比例函数为， 在区间中，x取最小值2时y取最大值． 32．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）已知反比例函数 (1)若，写出反比例函数的图像所在的象限； (2)当时，y随x的增大而增大，求k的取值范围； (3)若点与点均在双曲线上，请比较m与n的大小． 【答案】(1)第二、第四象限 (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，掌握函数图像性质与的关系是解题的关键． （1）将的值代入，由系数的正负判断函数图像的位置； （2）要使y随x的增大而增大，即，解得的取值范围； （3）根据与的大小关系进行分类讨论． 【详解】（1）解：当时，反比例函数， ∵系数为， ∴其图象位于第二、第四象限． （2）解：∵当时，y随x的增大而增大， ∴，解得． （3）解：当时，，， ∴； 当时，，， ∴． 33．（2024·河北石家庄·模拟预测）记反比例函数的图像为，其上有两点，，为正数． （1）当时，有，则的取值范围是______； （2）在（1）成立的情况下，若为整数，过点作平行与轴的直线交于点，则点的横坐标可为______；（写出一个即可） 【答案】 或或 【分析】本题考查反比例函数的性质及图像上的点的坐标特征， （1）根据当时，有，可知反比例函数的图像在第一、三象限，则，求解后得出的值，再根据为正数即可得出的取值范围； （2）依题意得点的纵坐标为，设点的横坐标为，则，再根据在（1）成立的情况下可得的值，可得答案； 理解反比例函数图像上的点满足反比例函数的表达式是解题的关键． 【详解】解：（1）∵点，在比例函数的图像上， 又∵当时，有， ∴反比例函数的图像在第一、三象限， ∴， 解得：， 又∵为正数， ∴的取值范围是， 故答案为：； （2）∵过点作平行与轴的直线与反比例函数的图像交于点， ∴点的纵坐标为， 设点的横坐标为，则点， ∴，即， ∵在（1）成立的情况下， ∴， 又∵为整数， ∴或或， 当时，， 当时，， 当时，， ∴点的横坐标可为或或． 故答案为：或或． 题型12 比较反比例函数值或自变量的大小（共3小题） 【步骤】先判断点是否在同一象限，结合 k 的正负，利用增减性或代入坐标比较大小。 【易错】跨象限直接用增减性比较；忽略自变量正负，直接套用函数增减规律。 34．（26-27九年级上·河北邢台·期中）已知反比例函数，当时，y的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，y随x的增大而增大， 当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是． 35．（2026·河北唐山·二模）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，得到函数的增减性，再根据两点横坐标的大小关系分情况讨论与的大小，即可判断各选项． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴比例系数， ∴反比例函数图象在第一，三象限，且在每个象限内随的增大而减小． ∵点横坐标为，点横坐标为， ∴，即． 当时，，可得，都在第一象限， ∵在第一象限内随增大而减小，∴，选项C正确． 对于其他选项，A，B未分情况，大小不确定，因此A，B错误， 当且时，，都在第三象限，可得，因此D错误． 36．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知反比例函数（为常数，且）的图象经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由； (3)当时，则的取值范围为_______． 【答案】(1)； (2)不在这个函数的图象上，在这个函数的图象上， 理由：当时，；当时，； 点不在这个函数的图象上，在这个函数的图象上； (3)或． 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握其性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将，两点的横坐标代入函数解析式中，从而求出所对应的函数值，然后与，两点的纵坐标进行比较，即可判断两点是否在函数图象上； （3）根据函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数（为常数，且）的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为； （2）略 （3）解：， 当或时，随的增大而减小， 当时，， ， 当时，则的取值范围为或， 故答案为：或． 题型13 已知比例系数求特殊图形的面积（共3小题） 37．（26-27九年级上·全国·期中）如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据其比例系数求出的面积即可． 【详解】解：∵反比例函数过点， ∴ 解得， ∴， ∵点P是函数图象上任意一点，且轴， ∴． 38．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，过点作垂直轴交反比例函数的图象于点，连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接，则的面积为______． 【答案】6 【分析】根据反比例函数值的几何意义及关于原点对称的点的坐标特征解答即可． 【详解】解：如图，连接， 点在反比例函数的图象上，轴 ， 点在反比例函数图象上， ， ， 点与点关于原点对称， ， ． 39．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，反比例函数的图象经过点，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数第三象限的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的长． (3)记图中两处矩形阴影的面积分别为，，则__________．（填“<”“=”或“>”） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象，比例系数的几何意义，熟练掌握相关知识是关键． （1）将点代入反比例函数的表示式求出的值即可； （2）将代入反比例函数的表达式，求出点的坐标，使用勾股定理计算出的长； （3）根据反比例函数的比例系数的几何意义进行判断即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数，得， ， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为， ∵轴于点， ∴，， 在直角中，； （3）解：由反比例函数的比例系数的几何意义可知， ，， ∴． 故答案为：． 题型14 根据图形面积求比例系数（共3小题） 【步骤】利用 k 的几何意义，写出面积与|k|关系式，算出绝对值，结合图像象限确定 k 符号。 【易错】面积直接等于 k，漏掉绝对值；跨象限解题时，容易搞错 k 的正负符号。 40．（2026·河北邯郸·三模）如图，已知在中，，点B在y轴上，轴，反比例函数的图象经过点A和点C，若点A的横坐标为3，，则k的值为（   ） A．18 B． C．12 D．6 【答案】C 【分析】添加辅助线，得到点C的横坐标，再根据三角形面积得到高的长度，设出点A坐标，结合点在反比例函数图象上求解即可． 【详解】解：如图，作于点D， ∵在中，，且点A的横坐标为3， ∴，即可得点C的横坐标为6． 由，解得． 设，则， ∵反比例函数的图象经过点A和点C， ∴，，即 解得，则． 41．（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，点A是y轴上一点，点B，C分别在反比例函数和的图象上，且轴，若的面积为，则k的值为_______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由轴，可知、的横坐标相同，设，，则，根据的面积为，得出，求得答案即可． 【详解】解：∵轴， 、的横坐标相同， 设，，，则， ， ∵的面积为， ∴， ． 故答案为：． 42．（24-25九年级上·河北张家口·期末）在如图，中，的面积为6，与轴负半轴的夹角为，双曲线经过点，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、反比例函数系数的几何意义，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出是解题关键． 过点作于轴，得，设，利用含角的直角三角形的性质可得，，证，利用相似三角形的性质可得，进而求得，再利用反比例函数系数的几何意义即可求解． 【详解】解：过点作轴于，如图： ， ，， ， 设， 则，， 与x轴负半轴的夹角为， ， ， ，即：， 解得：， ， 由图得：， 故答案为：． 题型15 反比例函数的实际应用（共3小题） 43．（2026·河北承德·二模）某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷 【答案】D 【分析】根据题意，判断出人均耕地面积y与总人口x成反比例关系，根据成反比例关系可判断A、B，再根据所列代数式求x值或y值，可判定C，D． 【详解】解：根据题意，，则， 故该村人均耕地面积y与总人口x成反比例，人均耕地面积随总人口的增多而减少， 故选项B、A错误，不符合题意； 当时，由得，即若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有25人，故选项C错误，不符合题意； 当时，，即当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷，故选项D正确，符合题意． 44．（2026·河北邯郸·二模）如图，是某海洋公园“水上滑梯”的侧面图，矩形为梯子，梯子的高米，宽米，滑梯可以近似看成双曲线的一段，为水面，且米，以点为原点，建立平面直角坐标系，轴．当一人在滑梯上的点处时，此时他到的距离与到的距离相等，则他距离点的水平距离为（   ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】C 【分析】设反比例函数的表达式为，可得．求解，，进一步可得答案． 【详解】解：四边形为矩形， ， 点B的坐标为． 设反比例函数的表达式为， ， ． ， ∴， ∵轴． ∴， ∵当一人在滑梯上的点处时，此时他到的距离与到的距离相等， ∴，即， ∴， ∴他距离点的水平距离为． 45．（2026·河北秦皇岛·一模）某物流公司承接一项运输任务，需要将一批物资从仓库运往灾区，该公司拥有不同型号的货车，且对于同一型号的货车，每辆货车的实际载重量相同． 要求：每次任务派出货车的型号相同． 如果用点的横坐标（辆）表示完成该任务所需的货车数量，纵坐标（吨/辆）表示每辆货车的载重量，图中给出了一部分点的坐标．已知． (1)根据所给信息，求与的函数关系式． (2)原计划用若干辆货车运输，实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的．求原计划使用的货车数量． (3)受道路限重条件影响，每辆货车的实际载重量不得超过8吨．请问至少需要多少辆货车才能完成任务？请结合反比例函数图象说明理由． 【答案】(1)（，且x为正整数） (2)原计划使用货车6辆 (3)至少需要8辆货车，理由见解析 【分析】（1）根据题意可得y是x的反比例函数，据此利用待定系数法求解即可； （2）设原计划使用货车辆，根据实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的建立方程求解即可； （3）求出时x的值，再根据增减性可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，所给的点的坐标的横纵坐标的乘积都为60， ∴y是x的反比例函数， 设 当时， ， 解得， ∴， ∵，即， ∴， 与的函数关系式为（，且x为正整数）； （2）解：设原计划使用货车辆， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 答：原计划使用货车6辆． （3）解：至少需要8辆货车才能完成任务，理由如下： 在中，当时，， 由反比例函数的图象可知，当，且x为正整数时，随增大而减小， ∴当时，， ∵为正整数， ∴至少需要8辆货车． 题型16 反比例函数与一次函数结合（共3小题） 46．（26-27九年级上·河北邢台·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数（，）的图象交于点C，已知点A的坐标为． (1)求b的值； (2)当时，求反比例函数的表达式（不必写自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出B点坐标，进而得到C点坐标，即可得出结果； （3）直接利用图象法求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，且在一次函数的图象上， ∴， 解得； （2）解：由（1）可知，， ∴当时，， ∴， ∵， ∴点B为的中点， ∵， ∴， ∵反比例函数（，）的图象过点C， ∴， ∴； （3）解：由图象可知，时，x的取值范围为． 47．（2026·甘肃白银·三模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将正比例函数的图象沿y轴向上平移，平移后的直线l与反比例函数的图象在第二象限内交于点C，当的面积为10时，求平移后直线l的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据一次函数解析式求解点，再由待定系数法求解反比例函数解析式； （2）先求出设平移后的直线与x轴交于点D，连接．由得到，则根据求解点，即可求解直线的函数表达式． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点 ∴当时， 解得， ， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：∵直线与反比例函数的图象交于A、B两点（点A在点B左侧）， ∴ 设平移后的直线与x轴交于点D，连接． ， ． 的面积为10， ， ∴， ∴ ， ， ， 设平移后的直线的函数表达式为， 把代入，可得， 解得， 平移后的直线的函数表达式为． 48．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，双曲线与直线交于A，B两点．点和点在双曲线上，点C为x轴正半轴上的一点． (1)求双曲线的表达式和a，b的值； (2)请直接写出使得的x的取值范围； (3)若的面积为12，求此时C点的坐标． (4)若点也在反比例函数的图像上，求当时，函数值y的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）根据表达式，交点的意义，确定点，点，求解即可； （2）根据函数的交点分别为点，点，结合已知求解即可； （3）根据函数的交点分别为点，点，设点，根据题意，得，列式计算即可． （4）根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：双曲线与直线交于A，B两点．点和点在双曲线上， 故，， 解得， 故点，点， 故， 解得， 故反比例函数的表达式为． （2）解：根据题意，得，的交点为点，点， ， 故x的取值范围为或； （3）解：根据函数的交点分别为点，点，设点， 根据题意，得， 由的面积为12， ， 解得， 故点． （4）解：点也在反比例函数的图像上， 当时，； 当时，； 根据反比例函数的性质，得y随x的增大而减小， 故函数值y的取值范围为或． 拔高·压轴破难 题型17 反比例函数k值的几何意义与面积计算（共3小题） 49．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，P是反比例函数的图象上的一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线，交反比例函数的图象于点A，B，连接，，则的面积为_________． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，利用反比例函数中k的几何意义，结合图形中线段的平行关系计算出三角形面积即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意知，设， ∵轴，轴，A，B在上， ∴设，， ∴，， ∴ ． 故答案为：3． 50．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，，两点在反比例函数的图象上，分别过，两点向坐标轴作垂线段．若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【分析】设阴影部分的面积为，根据，得，继而得到，结合解答即可． 本题考查了反比例函数的k的几何意义，熟练掌握定义和意义是解题的关键． 【详解】解：设阴影部分的面积为，根据，得，故， 又， 故； 解得， 故选：A． 51．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图是函数 与 在第二象限内的图象，点在的图象上，轴于点A，轴于点B，分别交的图象于C，D两点，连接，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数中k的几何意义．根据反比例函数的图象和性质，求得点，，，求得，，，，根据，代入数据计算，即可得出正确答案． 【详解】解：∵点在的图象上， ∴， ∴点， ∵轴，轴，C，D两点在的图象上， ∴四边形是矩形， ∴点，， ∴，，，， ， ∴，， ∴ ， 故选：B． 题型18 反比例函数与一次函数交点综合（共3小题） 52．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意得出，，进而求得的坐标，分情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，②当且反比例函数图象过点时，分别代入反比例函数解析式，求得的值，进而根据，得出的范围，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象过点，， ，， ，． 反比例函数的图象与线段只有一个交点， ∴分两种情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时； ②当且反比例函数图象过点，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时， ， ，， 不可能为，故选A． 53．（2026·河北唐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中点，点，动点从点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，运动时间为秒，过点的直线：也随之移动，反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)若直线：与反比例函数的图象有唯一的公共点，求的值； (3)若直线：与轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点，且点在点的左侧，当时，求的值． 【答案】(1) (2). (3) 【分析】（1）将点代入反比例函数解析式，即可求解； （2）依题意得出，方程有唯一解，进而求得的值，结合题意求得的值； （3）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，勾股定理求得，根据求得，，进而求得，结合题意求得的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； （2）解：∵直线：与反比例函数的图象有唯一的公共点， 当时， 即，有两个相等的解， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，运动时间为秒， ∴， （3）解：如图， ∵与轴交于点，在上， 设，， ∴， ∵当时，， ∴， 联立， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，运动时间为秒， ∴． 54．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式． (2)结合图形，请直接写出不等式的解集． (3)若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点和点，已知，求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，求反比例函数的解析式，掌握待定系数法求解析式，图象法求不等式的解集是关键． （1）将代入，可求出反比例函数表达式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入，即可求解； （2）观察图象得到一次函数的图象在反比例函数图象的上方时，x的取值范围，即可求解； （3）由题意可知，点N坐标为点M的坐标为，再由且，可得，即可求解． 【详解】（1）解：（1）∵反比例函数的图象过点, ∴, ∴反比例函数关系式为：． ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴点B坐标为． ∵一次函数的图象过点和， ∴， ∴， ∴一次函数关系式为． （2）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和， ∴不等式的解集为或． （3）解：设点N坐标为点M的坐标为， ∵且， ∴， 解得（不合题意），． 经检验，为方程的解， ∴． 题型19 反比例函数的几何模型（共3小题） 55．（2026·河北张家口·二模）如图，在中，，点在轴上，点在轴上，轴，平分，交于点，反比例函数的图象经过点，与交于点，则______． 【答案】 【分析】作轴于点，交于点，设点，由条件可知，则有，证明，所以，即，则，即，设，则，所以，然后解方程即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点，交于点， 设点， 由条件可知，， ， 轴，轴， ， ， ，即， ，即， 设，则， ，解得或（舍去）， ， ． 56．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，，点和点都在反比例函数图象上，过点作轴于点，过点作轴于点．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作于点，作于点，设点的坐标为，点的坐标为，证明，得到，，表示出值，建立等式，得到，据此计算即可解题． 【详解】解：作于点，作于点， 设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ，， ， ，， ，，，， ，整理得， ，整理得， ，整理得，解得或， ， ，即， ． 57．（2026·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的面积是________ ． 【答案】 【分析】过点分别作轴、轴和的垂线，垂足为、、，设点的坐标为，由角平分线的性质可得，，结合反比例函数的解析式可得点．容易证明四边形是正方形，用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得到的面积． 【详解】解：如图，过点分别作轴、轴和的垂线，垂足为、、，设点的坐标为， 由题意可知，平分，平分， ∵轴，轴，， ∴，， ∴， 解得（负根舍去）， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ， ， ， ， ． 题型20 反比例函数的存在性问题（共3小题） 58．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知：如图，直线与函数的图像交于A，B两点，且与x，y轴分别交于C，D两点． (1)若直线与直线平行，且面积为2，求m的值； (2)若的面积是的面积的倍，过A作轴于E，过B作轴于F，与交于H点． ①求的值； ②求k与m之间的函数关系式． (3)若点P坐标为，在（2）的条件下，是否存在k，m，使得为直角三角形，且，若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②m与k的关系式为（） (3)存在，，或， 【分析】（1）利用两直线平行得到，从而得到点，设点，根据的面积求出a的值，从而得到点A的坐标，根据待定系数法即可求出m的值； （2）①设，（其中，），由得到，根据三角形的面积公式可推出，而，即可求解； ②由得到，进而有，联立与得，根据根与系数的关系得到，，代入后得到，从而； （3）过点B作轴于点N，，可证明，根据相似三角形的性质得到，即，变形得到，利用得到，进而，由（2）有，，代入后得到，求解即可得到m，k的值，从而可解答． 【详解】（1）解：∵直线与直线平行， ∴， 对于直线，令，则， ∴， ∴， 设， ∵，即， ∴， ∴， ∵点在函数的图像上， ∴； （2）解： ①设，（其中，） ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②对于直线，令，则， ∴， ∴， 由①有， ∴，即， 联立与得， ∴，， ∴，即， ∴m与k的关系式为（）． （3）解：存在k，m，使得为直角三角形，且． 过点B作轴于点N， 若，则 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即， 由（2）有，， ∴，解得，， 当时，； 当时，； ∴存在k，m，使得为直角三角形，且． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，涉及待定系数法，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的判定及性质，三角形的面积等，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的坐标特征和一次函数图像上点的坐标特征；会求反比例函数与一次函数的交点坐标，灵活运用根与系数的关系；会利用相似比计算线段的长． 59．（2025·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴相交于点，点在反比例函数图象上． (1)求的值及点的坐标； (2)若为等腰直角三角形，，求点的坐标； (3)过点，的直线与轴交于点，点与点关于点对称，若存在，使得，请直接写出的值． 【答案】(1)，点 (2)或 (3)或 【分析】`（1）由待定系数法求出的表达式，进而求解； （2）当点在第一象限或第三象限时，利用一线三垂直构造三角形全等求点的坐标即可； （3）分两种情形证明，则，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入，则，即点， 将点的坐标代入得，，则， 则直线的表达式为：， 把代入得：， 解得：， ∴点； （2）解：当点在第一象限时，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，如图所示： ∵为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∴， 则，， 则点； 当点在第三象限时，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，如图所示： ∵为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上所述：点坐标为或； （3）解：设点，点与点关于点对称，则点， 则，，， ∵，， ∴， 则， 即， 解得：（负值已舍去），即点， ∵，则为的中点， 由中点坐标公式得：点， 则． 如图，当点在第三象限时． 同理可得：， 即， 解得， 可得， ∴， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形全等和相似，一次函数的性质，中点坐标公式的运用等，综合性强，难度适中． 60．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图像与边交于点，与边交于点． (1)直接写出与的数量关系． (2)若，面积为3． ①求反比例函数关系式； ②点是轴上一点，当以点、、为顶点的的周长最小时，求出点的坐标； ③是线段边上的点．是否存在点，以、、为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)① ② ③存在，点坐标为或 【分析】本题考查反比例函数的图像性质，待定系数法求反比例函数解析式，坐标与图形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，题目属反比例与几何综合题目，难度较大，熟练掌握相关性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． （1）将坐标代入反比例函数解析式，即可得到与的数量关系， （2）①先利用直角坐标系表示得到的值，然后利用三角形相似和直角三角形正切值得到的值，进而得到分别用含的代数式表示的坐标，利用三角形的面积公式得到含的方程，求得，进而得到的坐标，求得反比例函数的解析式．②作点关于轴的对称点，的周长转化为的长，当三点共线时，取得最小值，通过求解的坐标值，得到的解析式，进而得到其与轴的交点的坐标．③此问需要分情况讨论，和两种情况，分别作图，连接，过作，利用三角形相似得到的比值，然后利用，得到，进而得到的值，最后求得点的坐标． 【详解】（1）解：将和代入反比例函数，得到， 答：与的数量关系为． （2）解：①如图，过点作，垂足为， 在中，，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：． ②由、的坐标分别为：、， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时的周长最小， ∵的周长为最小，由点的坐标得， 直线的表达式为：， 令，即， 得， 即点的坐标为：． ③点坐标为或， 理由如下：由①知， ， 第一种情况，当时，， 连接，过作，如图， ， ， ， ， ， 即点的坐标为， 第二种情况，当时，， 连接，过作，如图， 在中，， ， 解得：， 同理可得：， ， ， ， 即点的坐标为， 综上，符合条件的点坐标为或． 答：反比例关系式为 ，点的坐标为：，点存在，其坐标为或． 题型21 反比例函数选填压轴（共3小题） 61．（2026·河北·三模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与边长是的正方形的两边，分别相交于，两点．的面积为若动点在轴上，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质以及反比例函数可得，即、．再根据的面积为10列方程可求得，即；再利用轴对称和勾股定理求最值即可． 【详解】解：∵正方形的边长是6， ∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6， ∴， ∴，． ∵的面积为10， ∴， 解得：， ∴． 如图：作M关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则，的最小值为的长． ∴，， ∴． 62．（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线，交轴于点，交反比例函数的图象于点．过点作轴的平行线，交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A．15 B．12 C．9 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 连接，根据反比例函数k的几何意义可得，进而得到，结合，可推出，得到，再结合图象可知，，从而求得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得， ∴， 同理，即． ∴， ∵， ∴，即． ∵， ∴． ∴，即． 由图象可知，， ∴， ∴． 故选：D． 63．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，若双曲线与边长为6的等边的边分别相交于C，D两点，且，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质和判定、反比例函数图象上点的坐标特征，过点C作于点E，过点D作于点F，则，由，得到，设，得到点C和点D的坐标，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征列出方程，求得x的值，然后得到实数k的值． 【详解】解：过点C作于点E，过点D作于点F，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∴，， ∴， ∵点C和点D在反比例函数图象上， ∴， 解得：（舍）或， ∴． 故选：B． 题型22 反比例函数的新定义问题（共3小题） 64．（2026·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为（不含双曲线与坐标轴）． (1)求的值； (2)求内整点的个数； (3)设点在直线上，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为，若内部（不包括边界）不超过个整点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数综合应用，一次函数的性质； （1）利用待定系数法即可求解； （2）将内，，，分别代入双曲线，即可求出整点； （3）根据的情况进行分类讨论，根据函数图像可得，当时，刚好个整点，进而求得临界值即可求解． 【详解】（1）解：∵经过点， ∴， ∴， （2）解：对于双曲线 ， 当时，， 在直线上，当时，有整点个， 当时，， 在直线上，当时，有整点个， 当时，， 在直线上，当时，有整点2个， 当时，， 在直线上，当时，有整点2个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，没有整点， ∴内整点的个数为个． （3）解：如图，当时，区域内至少有个整点， 当时，， 解得： 内部（不包括边界）不超过个整点，． 65．（2025·河北沧州·一模）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数的图象与直线：交于整点，与直线交于整点和整点，直线与交于整点，若线段上有7个整点（包括端点），且，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，先求出点的坐标为，过点作轴的平行线，与过点作轴的平行线交于点，则，联立，求出，则可得，所以，又线段上有个整点，点，，都是整点，故，然后代入解析式即可求解，读懂图象中的交点及其他特殊点的坐标和性质是解题的关键． 【详解】解：联立， 解得， ∴点的坐标为， 过点作轴的平行线，与过点作轴的平行线交于点，则， 联立，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵线段上有个整点，点，，都是整点， ∴， ∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 故答案为：． 66．（2026·河北邯郸·一模）定义：在平面直角坐标系中，如果将点绕点旋转得到点，那么称线段为“拓展点”，点为点的“拓展点”． （1）当时，点的“拓展点”坐标为__________． （2）如果，当点的“拓展点”在函数的图象上时，的值为__________． 【答案】 2 【分析】（1）根据“拓展点”的定义，P、Q两点横坐标、纵坐标的平均数等于点T的横坐标、纵坐标求解； （2）根据“拓展点”的定义，点M和点N两点横坐标、纵坐标的平均数等于点T的横坐标、纵坐标表示出点N的坐标，然后代入得到方程求t． 【详解】（1）根据“拓展点”的定义，互为“拓展带”的两点关于点成中心对称， ∴互为“拓展点”的两点的横坐标互为相反数，纵坐标的平均数等于t， ∴点的“拓展点”坐标为． （2）根据“拓展点”的定义，点M和点N关于点成中心对称， 设N点坐标为(x，y)，则，， 解得x＝－2，y＝2t－1， ∵N在函数的图象上， ∴－2(2t－1)＝－6， 解得t＝2． 【点睛】本题属于新定义问题，考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据定义找到相等关系． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 反比例函数（22大题型66题） 基础·固本强基 题型1 反比例函数的定义 题型2 用反比例函数描述数量关系 题型3 反比例函数的自变量与反比例函数的值 题型4 画反比例函数的图象 题型5 求反比例函数的解析式（重点） 题型6 判断反比例函数的增减性 题型7 反比例函数的k值意义（重点） 提升·进阶突破 题型8 根据反比例函数的定义求参数（重点） 题型9 反比例函数图象的对称性 题型10 已知双曲线分布的象限求参数范围（重点） 题型11 已知反比例函数的增减性求参数（重点） 题型12 比较反比例函数值或自变量的大小（重点） 题型13 已知比例系数求特殊图形的面积（重点） 题型14 根据图形面积求比例系数（重点） 题型15 反比例函数的实际应用（重点） 题型16 反比例函数与一次函数结合 拔高·压轴破难 题型17 反比例函数k值的几何意义与面积计算（难点） 题型18 反比例函数与一次函数交点综合（难点） 题型19 反比例函数的几何模型（难点） 题型20 反比例函数的存在性问题（难点） 题型21 反比例函数选填压轴（难点） 题型22 反比例函数的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 反比例函数的定义（共3小题） 【步骤】先对照定义列条件，保证自变量次数为 - 1，系数不为 0，解方程后代入检验。 【易错】容易忽略系数不等于 0；误把指数看成 1，忘记检验参数是否符合题意。 1．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知是反比例函数，则m的值为 _______． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 3．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）已知是反比例函数，求的值． 题型2 用反比例函数描述数量关系（共3小题） 【步骤】分析变量，确定乘积为定值，列出反比例关系式，代入数值求解并检验实际意义。 【易错】混淆正反比例；误将和为定值当作反比例，忽略变量取值限制条件。 4．（24-25九年级上·重庆·期中）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（    ） A．某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系 B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系 C．压强公式中，一定时，压强与受力面积之间的关系 D．三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系 6．（25-26九年级上·河北·期中）下列等式中，a和b成反比例的是（   ） A． B． C． 题型3 反比例函数的自变量与反比例函数的值（共6小题） 【步骤】将自变量代入解析式，求出对应函数值；已知函数值，解方程求自变量并检验。 【易错】忽略自变量不能为 0；求自变量时漏检验，易出现无意义的增根。 7．（25-26九年级上·江苏南通·期中）在反比例函数中，若，则x的取值范围为_________. 8．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图像上，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 9．（2025·河北邯郸·二模）已知反比例函数的图象上有两点和，且满足：，，则的值为_____． 题型4 画反比例函数的图象（共3小题） 10．（25-26九年级上·全国·期中）填表并用描点法在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． 1 2 4 11．（25-26九年级上·全国·期中）在如图所示的平面直角坐标系中画出反比例函数和的图象，并解答下列问题： 反比例函数的图象叫做_______．因为自变量x与函数y的值都不能取_______，所以反比例函数的图象与x轴、y轴_______(填“有”或“无”)交点． 12．（25-26九年级上·广东佛山·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，作出函数的图象（请先完成表格再描点画图） 1 2 3 请你任意写出一条有关上述函数的性质． 题型5 求反比例函数的解析式（共3小题） 【步骤】设反比例函数解析式，代入图像上一点坐标求出 k，回代写出完整解析式。 【易错】忘记 k≠0；坐标代入时符号出错，遗漏自变量 x 不等于 0 的限制。 13．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）已知与成反比例，且当时，． (1)求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求当时的值． 14．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）若与成反比例，当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，求的值． 15．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求的取值范围． 题型6 判断反比例函数的增减性（共3小题） 16．（2026·河北沧州·一模）关于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 17．（2026·天津和平·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级下·全国·期中）已知反比例函数(k为常数，k≠2)． (1)若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； (2)若，试写出当时，x的取值范围． 题型7 反比例函数的k值意义（共3小题） 【步骤】过双曲线上点作坐标轴垂线，利用S=，结合图形面积列式求 k 并判断符号。 【易错】忘记 k 要加绝对值；图形跨象限时符号判断错误，面积直接等同于 k。 19．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，点是反比例函数的图像上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于3，则的值等于___________． 20．（2026·安徽宣城·一模）如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，连接交轴于点，且，若，则______． 21．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，轴于点，轴于点，连接，．若与的面积之和为2，则的值为_____________． 提升·进阶突破 题型8 根据反比例函数的定义求参数（共3小题） 【步骤】依据定义列次数等于 - 1、系数不为 0 两个条件，联立求解参数，再代入检验。 【易错】只考虑次数，漏掉系数不为 0 条件；求出参数后不验证，忽略分母不能为零。 22．（25-26九年级上·河北唐山·期末）已知是第一象限内的点，且在双曲线上，点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为（   ） A． B． C．4 D．－4 23．（2026九年级上·全国·专题练习）已知函数 （为常数）． (1)若该函数是反比例函数，则________； (2)若该函数是正比例函数，则________． 24．（25-26九年级上·全国·期中）已知函数． (1)当为何值时，该函数是一次函数？ (2)当为何值时，该函数是正比例函数？ (3)当为何值时，该函数是反比例函数？ 题型9 反比例函数图象的对称性（共3小题） 25．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）关于函数的图象有以下四个结论：①函数图象与坐标轴没有公共点；②函数图象关于直线对称；③函数图象关于直线对称；④函数图象关于成中心对称．其中正确的个数是（     ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 26．（2026·西藏·模拟预测）已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为．    (1)求出点B的坐标． (2)请根据图象直接写出不等式的解集． 题型10 已知双曲线分布的象限求参数范围（共3小题） 【步骤】根据双曲线所在象限判断 k 正负，列出不等式求解参数，兼顾解析式隐含限制条件。 【易错】只看象限符号，忽略反比例系数不为 0；解不等式时不等号方向发生错误。 28．（25-26九年级上·四川达州·期中）已知反比例函数的图像过第二、四象限，则的取值可能是（　　） A．2 B． C．1 D．0 29．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求a的取值范围． 30．（25-26九年级下·天津红桥·期中）如图，它是反比例函数（m为常数，且）图象的一支． (1)图象的另一支位于哪个象限？求的取值范围； (2)点在该反比例函数的图象上． ①判断点，，是否在这个函数的图象上，并说明理由； ②在该函数图象的某一支上任取点和．如果，那么和有怎样的大小关系？ 题型11 已知反比例函数的增减性求参数（共3小题） 【步骤】依据增减性判断 k 正负，列出不等式，结合 k≠0 求解参数，再核对自变量取值范围。 【易错】忽略 “同一象限” 前提；混淆增减性与 k 的关系，遗漏系数不能等于 0。 31．（2026·浙江杭州·一模）设反比例函数（k为常数，）．已知当时，y的最大值为，则当时，y的最大值为（   ）． A．3 B．2 C．1 D． 32．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）已知反比例函数 (1)若，写出反比例函数的图像所在的象限； (2)当时，y随x的增大而增大，求k的取值范围； (3)若点与点均在双曲线上，请比较m与n的大小． 33．（2024·河北石家庄·模拟预测）记反比例函数的图像为，其上有两点，，为正数． （1）当时，有，则的取值范围是______； （2）在（1）成立的情况下，若为整数，过点作平行与轴的直线交于点，则点的横坐标可为______；（写出一个即可） 题型12 比较反比例函数值或自变量的大小（共3小题） 【步骤】先判断点是否在同一象限，结合 k 的正负，利用增减性或代入坐标比较大小。 【易错】跨象限直接用增减性比较；忽略自变量正负，直接套用函数增减规律。 34．（26-27九年级上·河北邢台·期中）已知反比例函数，当时，y的取值范围是______． 35．（2026·河北唐山·二模）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C．当时， D．当时， 36．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知反比例函数（为常数，且）的图象经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由； (3)当时，则的取值范围为_______． 题型13 已知比例系数求特殊图形的面积（共3小题） 37．（26-27九年级上·全国·期中）如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 38．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，过点作垂直轴交反比例函数的图象于点，连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接，则的面积为______． 39．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，反比例函数的图象经过点，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数第三象限的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的长． (3)记图中两处矩形阴影的面积分别为，，则__________．（填“<”“=”或“>”） 题型14 根据图形面积求比例系数（共3小题） 【步骤】利用 k 的几何意义，写出面积与|k|关系式，算出绝对值，结合图像象限确定 k 符号。 【易错】面积直接等于 k，漏掉绝对值；跨象限解题时，容易搞错 k 的正负符号。 40．（2026·河北邯郸·三模）如图，已知在中，，点B在y轴上，轴，反比例函数的图象经过点A和点C，若点A的横坐标为3，，则k的值为（   ） A．18 B． C．12 D．6 41．（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，点A是y轴上一点，点B，C分别在反比例函数和的图象上，且轴，若的面积为，则k的值为_______ ． 42．（24-25九年级上·河北张家口·期末）在如图，中，的面积为6，与轴负半轴的夹角为，双曲线经过点，则的值为__________． 题型15 反比例函数的实际应用（共3小题） 43．（2026·河北承德·二模）某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷 44．（2026·河北邯郸·二模）如图，是某海洋公园“水上滑梯”的侧面图，矩形为梯子，梯子的高米，宽米，滑梯可以近似看成双曲线的一段，为水面，且米，以点为原点，建立平面直角坐标系，轴．当一人在滑梯上的点处时，此时他到的距离与到的距离相等，则他距离点的水平距离为（   ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 45．（2026·河北秦皇岛·一模）某物流公司承接一项运输任务，需要将一批物资从仓库运往灾区，该公司拥有不同型号的货车，且对于同一型号的货车，每辆货车的实际载重量相同． 要求：每次任务派出货车的型号相同． 如果用点的横坐标（辆）表示完成该任务所需的货车数量，纵坐标（吨/辆）表示每辆货车的载重量，图中给出了一部分点的坐标．已知． (1)根据所给信息，求与的函数关系式． (2)原计划用若干辆货车运输，实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的．求原计划使用的货车数量． (3)受道路限重条件影响，每辆货车的实际载重量不得超过8吨．请问至少需要多少辆货车才能完成任务？请结合反比例函数图象说明理由． 题型16 反比例函数与一次函数结合（共3小题） 46．（26-27九年级上·河北邢台·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数（，）的图象交于点C，已知点A的坐标为． (1)求b的值； (2)当时，求反比例函数的表达式（不必写自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，当时，直接写出x的取值范围． 47．（2026·甘肃白银·三模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将正比例函数的图象沿y轴向上平移，平移后的直线l与反比例函数的图象在第二象限内交于点C，当的面积为10时，求平移后直线l的表达式． 48．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，双曲线与直线交于A，B两点．点和点在双曲线上，点C为x轴正半轴上的一点． (1)求双曲线的表达式和a，b的值； (2)请直接写出使得的x的取值范围； (3)若的面积为12，求此时C点的坐标． (4)若点也在反比例函数的图像上，求当时，函数值y的取值范围． 拔高·压轴破难 题型17 反比例函数k值的几何意义与面积计算（共3小题） 49．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，P是反比例函数的图象上的一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线，交反比例函数的图象于点A，B，连接，，则的面积为_________． 50．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，，两点在反比例函数的图象上，分别过，两点向坐标轴作垂线段．若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 51．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图是函数 与 在第二象限内的图象，点在的图象上，轴于点A，轴于点B，分别交的图象于C，D两点，连接，则（    ） A． B． C．2 D．3 题型18 反比例函数与一次函数交点综合（共3小题） 52．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 53．（2026·河北唐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中点，点，动点从点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，运动时间为秒，过点的直线：也随之移动，反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)若直线：与反比例函数的图象有唯一的公共点，求的值； (3)若直线：与轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点，且点在点的左侧，当时，求的值． 54．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式． (2)结合图形，请直接写出不等式的解集． (3)若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点和点，已知，求的值． 题型19 反比例函数的几何模型（共3小题） 55．（2026·河北张家口·二模）如图，在中，，点在轴上，点在轴上，轴，平分，交于点，反比例函数的图象经过点，与交于点，则______． 56．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，，点和点都在反比例函数图象上，过点作轴于点，过点作轴于点．的值为（   ） A． B． C． D． 57．（2026·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的面积是________ ． 题型20 反比例函数的存在性问题（共3小题） 58．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知：如图，直线与函数的图像交于A，B两点，且与x，y轴分别交于C，D两点． (1)若直线与直线平行，且面积为2，求m的值； (2)若的面积是的面积的倍，过A作轴于E，过B作轴于F，与交于H点． ①求的值； ②求k与m之间的函数关系式． (3)若点P坐标为，在（2）的条件下，是否存在k，m，使得为直角三角形，且，若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由． 59．（2025·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴相交于点，点在反比例函数图象上． (1)求的值及点的坐标； (2)若为等腰直角三角形，，求点的坐标； (3)过点，的直线与轴交于点，点与点关于点对称，若存在，使得，请直接写出的值． 60．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图像与边交于点，与边交于点． (1)直接写出与的数量关系． (2)若，面积为3． ①求反比例函数关系式； ②点是轴上一点，当以点、、为顶点的的周长最小时，求出点的坐标； ③是线段边上的点．是否存在点，以、、为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型21 反比例函数选填压轴（共3小题） 61．（2026·河北·三模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与边长是的正方形的两边，分别相交于，两点．的面积为若动点在轴上，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 62．（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线，交轴于点，交反比例函数的图象于点．过点作轴的平行线，交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A．15 B．12 C．9 D．6 63．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，若双曲线与边长为6的等边的边分别相交于C，D两点，且，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 题型22 反比例函数的新定义问题（共3小题） 64．（2026·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为（不含双曲线与坐标轴）． (1)求的值； (2)求内整点的个数； (3)设点在直线上，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为，若内部（不包括边界）不超过个整点，直接写出的取值范围． 65．（2025·河北沧州·一模）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数的图象与直线：交于整点，与直线交于整点和整点，直线与交于整点，若线段上有7个整点（包括端点），且，则的值为______． 66．（2026·河北邯郸·一模）定义：在平面直角坐标系中，如果将点绕点旋转得到点，那么称线段为“拓展点”，点为点的“拓展点”． （1）当时，点的“拓展点”坐标为__________． （2）如果，当点的“拓展点”在函数的图象上时，的值为__________． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $