八年级数学上学期期中分层模拟·能力进阶卷（新教材冀教版）

2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B B C C A C C A C D B 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．（答案不唯一） 14． 15． 16． 5 三、解答题（本大题共8小题，第17每小题7分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23题每小题11分，第24题每小题12分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．7（分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的化简计算． 解题思路为先将非最简二次根式化为最简二次根式． 第一题直接合并同类二次根式得到结果． 第二题利用完全平方公式和平方差公式展开后， 合并同类项得到最终结果． 【详解】（1）解： ．······························3分 （2）解： ．·····························7分 18．（8分） 【答案】(1) (2)①理由：当该分式的值为6时，则， 解得， 当时，，原分式分母为零，分式无意义， 该分式的值不可能为6； ②该分式的值也不可能为8 【分析】（1）由除法和减法的意义列式进行计算即可； （2）①②结合分式的意义进行判断即可． 【详解】（1）解：， ， ；·····························3分 （2）解：①理由：当该分式的值为6时，则， 解得， 当时，，原分式分母为零，分式无意义， 该分式的值不可能为6；·····························6分 ② 即该分式的值也不可能为8．·····························8分 19．（8分） 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）根据不等式组无解的判定规则得到第一问的取值范围．再解分式方程； （2）结合第一问的范围、分式方程解为整数且分式有意义的要求，筛选出符合条件的所有整数． 【详解】（1）解：， 解不等式得， ∵不等式组无解， ∴；·····························3分 （2）解：， 方程两边同乘，得， 整理得， 由（1）知， 若，方程变为，不成立， ∴， ∴， 解得，·····························5分 ∵分式方程的解是整数，是整数，且， ∴是的负整数因数，且，的负整数因数为， 当时，，，符合要求， 当时，，，符合要求， 当时，，，为增根，舍去， ∴满足条件的整数为和．·····························8分 20．（8分） 【答案】(1)证明：，， ， ， ， 在与中， ． (2)A、B两点间的距离是40米 【分析】（1）根据，可得，再由可判定； （2）由全等三角形的性质得，进而可得米． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 在与中， ．·····························3分 （2）解：， ， 又， ， 即米． 即A、B两点间的距离是40米．·····························8分 21．（9分） 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题主要考查实数与数轴、算术平方根、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）分当动点在点A左边和右边两种情况求解． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为x， 则， 解得：， 故这个魔方的棱长为4；·····························2分 （2）解：棱长为4， 每个小立方体的棱长都是2， 阴影部分； 阴影部分正方形的边长为：；·····························5分 （3）解：正方形的边长为，点A与2重合，， 动点E在点左边时，数轴上表示的数为：， 动点E在点右边时，数轴上表示的数为：， 故答案为：或．·····························9分 22．（9分） 【答案】(1)；1；；； (2) 【分析】（1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ．·····························4分 （2）解： ．·····························9分 23．（11分） 【答案】(1)③ (2)甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为50元； (3)商店最少购进甲种商品件； (4) 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用，二元一次方程的应用．理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）设甲种商品每件进价为元，根据用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （3）设甲商品购进件，则乙种商品购进件，利用两种商品的总进价不超过元，列出不等式，求解的范围，可得答案； （4）设购进甲种商品件，购进乙种商品件．根据该商店准备再花费元全部用于购进甲、乙两种商品（两种商品都买），列出关于，的等式，根据等式关系可得答案． 【详解】（1）解：根据表格中解法二的等量关系：乙商品进价-甲商品进价=及可知表示的是购进甲种商品和乙种商品相同的数量．故选：③；·····························2分 （2）解：设甲种商品每件进价元． 根据题意，得， 解得，经检验，是原方程的根，且符合题意． ∴． ∴甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为50元；·····························5分 （3）解：∵设购进甲种商品件， ∴购进乙种商品件． 根据题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴商店最少购进甲种商品件；·····························8分 （4）解：设购进甲种商品件，购进乙种商品件． 根据题意，得， 整理，得． ∵，均为正整数， ∴当越小时，越大． ∴当时，． ∴最多可购进甲种商品件． 故答案为：．·····························11分 24．（12分） 【答案】(1)点Q到直线AC的距离为1； (2) 证明：作交直线于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (3)或． 【分析】（1）作交于，利用全等三角形判定方法证明，再利用全等三角形对应边相等，即可求解； （2）作交直线于，先利用证出，得到，再利用证出，即可完成证明； （3）由图可知，点在射线上运动过程中，点在射线上运动，分2类情况讨论：①若点在线段上；②若点在延长线上，由，得出，设，则，利用（2）中的全等三角形结论，用表示出、，再利用列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：作交于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为1．·····························3分 （2）证明：作交直线于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．·····························8分 （3）解：由图可知，点在射线上运动过程中，点在射线上运动， 下面分2类情况讨论： 若点在线段上，同（2）作辅助线， 由（2）得，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， ∴； 若点在延长线上，同（2）作辅助线， 同①可得：， 设，则， ∴，， ∴， 解得： ∴． 综上所述，的长为或． 故答案为：或．·····························12分 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、作垂线辅助线构造全等、三角形的面积问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形并证明，以及学会将三角形面积关系转化为线段关系并通过方程思想解决问题，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材冀教版八年级数学上册第12~15章。 5．难度系数：0.70 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（3分）2026年7月，河北省第十七届运动会射击步手枪项目决赛举行，各参赛选手展现出极强的综合实力与心理素质．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（     ） A．三角形的稳定性 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 2．（3分）下列实数：，，，，中，无理数有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（3分）2025年5月，我国在西昌卫星发射中心成功将天问二号探测器发射升空，天问二号探测器将对小行星和主带彗星开启科学探测，其中一个目标所在轨道与太阳间距将达到约3.74亿千米．下列说法正确的是（    ） A．3.74亿 B．3.74亿 C．3.74亿是一个七位数 D．近似数3.74亿精确到了百分位 4．（3分）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（3分）如图，是的平分线，P是（不包括端点）上任意一点，，，垂足分别为D，E．下列关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：；淇淇说：； A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人都错 6．（3分）如果最简二次根式能与合并，那么的值为（     ） A．1 B．2 C．6 D．10 7．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．对顶角相等 C．等边三角形的三个内角都等于 D．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 8．（3分）已知，，下列与的大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D．以上都不对 9．（3分）已知，则下列判断正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为正数 D．若是整数，则或 10．（3分）小武老师在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”聪明的小武老师想：同学们虽然不会求出具体的数值，但是可以推断出该中线的取值范围．根据小武老师的想法，边上的中线长可能是（   ） A． B．2 C． D．4 11．（3分）某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（   ） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 12．（3分）已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．（3分）写出在实数范围内有意义的的一个值________． 14．（3分）如图，在一个大正方形的内部放置两个大小不同的正方形，，正方形的面积为，重叠部分小正方形的面积为，阴影部分的面积为，则正方形的边长为________． 15．（3分）有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则__________． 16．（3分）如图，等边中，于点，，点分别在边上，且，在上有一动点，连接，．则（1）______；（2）的最小值为______．    三、解答题（本大题共8小题，第17每小题7分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23题每小题11分，第24题每小题12分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．7（分）计算： (1)； (2)． 18．（8分）下面的分式化简题呈现了嘉嘉的正确解答过程，但部分算式被遮挡． 解： (1)求被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)嘉嘉认为“该分式的值不可能为6”， ①请你帮她说明理由； ②淇淇认为嘉嘉的说法不全面，你认为该分式的值还不可能为__________． 19．（8分）已知不等式组和分式方程 (1)若不等式组无解，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若分式方程的解是整数，求满足条件的所有整数的值． 20．（8分）滹沱河从山西进入河北后，自西向东流经石家庄市、衡水市，最终在沧州市献县与滏阳河汇合形成子牙河．某数学兴趣小组就“测量滹沱河某段两岸A、B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案： 课题 测量滹沱河某段两岸A、B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器，卷尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在一条直线上，且； ②测得，； ③在的延长线上取点E，使得； ④测得的长度为40米． (1)求证：； (2)求A、B两点间的距离． 21．（9分）图1是由8个同样大小的正方体组成的二阶魔方，体积为． (1)求这个魔方的棱长； (2)图1中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图2所示，使点A与2重合，数轴上有一个点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 22．（9分）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：． 解决问题： (1)在横线上填上适当的数： ______． (2)根据上述思路，试将予以化简． 23．（11分）下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题．题目：某商店准备购进甲、乙两种商品；甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价少元，用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设甲种商品每件进价元 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：乙商品进价-甲商品进价= (1)解法二所列方程中的表示 （填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③购进甲种商品和乙种商品各件． (2)请根据解法一列出方程，并求出甲、乙两种商品每件的进价； (3)若该商店准备购进甲、乙两种商品共件，且两种商品的总进价不超过元，设购进甲种商品件，则该商店最少购进甲种商品多少件？ (4)该商店准备再花费元全部用于购进甲、乙两种商品（两种商品都买），则最多可购进甲种商品 件． 24．（12分）在中，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作直角三角形，其中． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为________． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（3分）2026年7月，河北省第十七届运动会射击步手枪项目决赛举行，各参赛选手展现出极强的综合实力与心理素质．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（     ） A．三角形的稳定性 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 【答案】A 【分析】“三角形的稳定性”能够使结构稳定不易变形，“垂线段最短”适用于最短距离问题，“两点之间，线段最短”涉及最短路径问题，“两点确定一条直线”是指经过两点有且只有一条直线．由题意“射击队员的手、肘、肩构成托枪三角形”，可知利用了三角形的稳定性． 【详解】解：“射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形”利用了三角形的稳定性，使自身更稳定，不受外力干扰， ∴这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性． 2．（3分）下列实数：，，，，中，无理数有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】无限不循环小数是无理数，逐个判断所给实数，统计无理数的个数即可得到结果． 【详解】解：根据定义，整数和分数是有理数，无限不循环小数是无理数， 是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是有限小数，可化为分数，属于有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 综上，无理数共有个． 3．（3分）2025年5月，我国在西昌卫星发射中心成功将天问二号探测器发射升空，天问二号探测器将对小行星和主带彗星开启科学探测，其中一个目标所在轨道与太阳间距将达到约3.74亿千米．下列说法正确的是（    ） A．3.74亿 B．3.74亿 C．3.74亿是一个七位数 D．近似数3.74亿精确到了百分位 【答案】B 【分析】根据科学记数法和近似数的精确度，依次对各选项计算判断即可． 【详解】解：A、3.74亿，本选项说法错误； B、3.74亿，本选项说法正确； C、3.74亿，是一个九位数，本选项说法错误； D、近似数3.74亿中，数字4位于百万位，因此精确到百万位，不是百分位，本选项说法错误． 4．（3分）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：与、均不是同类二次根式，不能直接合并，故A、B错误； ，故C正确； ，故D错误. 5．（3分）如图，是的平分线，P是（不包括端点）上任意一点，，，垂足分别为D，E．下列关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：；淇淇说：； A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人都错 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据角平分线的性质得出相等的角，根据垂直得出直角，证明，即可得出结论． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故选：C． 6．（3分）如果最简二次根式能与合并，那么的值为（     ） A．1 B．2 C．6 D．10 【答案】A 【分析】先将化为最简二次根式，根据可合并的最简二次根式被开方数相同列方程求解． 【详解】解：∵， 且最简二次根式能与合并， ∴ ， 解得． 7．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．对顶角相等 C．等边三角形的三个内角都等于 D．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 【答案】C 【分析】本题考查命题与逆命题的概念，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，准确写出逆命题是解题关键． 先写出各选项命题的逆命题，再依据全等三角形、对顶角、等边三角形的判定及有理数的性质，判断逆命题的真假，进而选出正确选项． 【详解】解：选项：原命题的逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形， ∵对应角相等的三角形可能是相似三角形，不一定全等， ∴该逆命题是假命题； 选项：原命题的逆命题为相等的角是对顶角， ∵相等的角可能是同位角、内错角等，不一定是对顶角， ∴该逆命题是假命题； 选项：原命题的逆命题为如果一个三角形的三个内角都等于，那么它是等边三角形， ∵三个内角都相等的三角形是等边三角形， ∴该逆命题是真命题； 选项：原命题的逆命题为如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等， ∵互为相反数的两个有理数平方相等，但本身不相等， ∴该逆命题是假命题． 综上，逆命题为真命题的是选项． 故选：． 8．（3分）已知，，下列与的大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】利用夹逼法求得与的大小范围即可解答． 【详解】解：， ，即， ，即， ， ，即， ，即， ． 9．（3分）已知，则下列判断正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为正数 D．若是整数，则或 【答案】A 【分析】先对原式因式分解，将除法转化为乘法约分得到化简结果，再结合分式有意义的条件逐个判断选项即可． 【详解】解： ，故A正确； 选项B：时原算式中两个分母均为0，无意义，故B错误； 选项C：当时，，， ∴ ，为负数，故C错误； 选项D：若为整数，只需为整数，例如时，也为整数，故D错误． 10．（3分）小武老师在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”聪明的小武老师想：同学们虽然不会求出具体的数值，但是可以推断出该中线的取值范围．根据小武老师的想法，边上的中线长可能是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，设边上的中线为，点为边的中点，延长至点，使得，连接，则，由题意可得，证明，得出，再由三角形三边关系得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，设边上的中线为，点为边的中点，延长至点，使得，连接，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴边上的中线长可能是， 故选：C． 11．（3分）某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（   ） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 【答案】D 【分析】根据总价，单价，数量的关系，逐一验证各选项即可得出结果． 【详解】解：∵方程中，是第二次购买的总价，是第三次购买的总价，且第二次和第三次购买的数量相同， 故第二次购买的单价为，第三次购买的单价为， ∵第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元， ∴表示第一次购买节能灯单价，故A选项说法正确，不符合题意； ， ， ， ， 解得， ∴ 第一次购买节能灯的单价是元，故B选项说法正确，不符合题意； 故第二次购买单价为元， ∴第一次购买数量为个，第二次购买数量为个，个， ∴ 第二次购买数量比第一次多个，故C选项说法正确，不符合题意； 若设第二次购买数量为个， ∵ 第二次和第三次购买数量相同， ∴ 第三次购买数量也为个， 故第二次单价为，第一次单价为，第三次单价为， ∵第三次单价比第一次单价多元， 故， 整理得，与选项D给出的方程不符，故D选项说法错误，符合题意． 12．（3分）已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据路程等于速度乘时间求出点和点的路程，即可判断①；先求出点到达点时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③；根据全等三角形边角的对应关系，分种情况求出的值即可判断④． 【详解】解：对于①，点以每秒个单位长度的速度，运动时间为秒， 点运动路程为． 若，则点运动路程为， 点运动路程始终是点运动路程的倍，故①符合题意； 对于②，当点到达点时，秒， ，故②符合题意； 对于③，如图所示， 当，时， 点运动的路程为，点运动的路程为． ，， ，． ， ， ， 和不全等， ． ， ， ， 与不垂直，故③不符合题意； 对于④，当时，则，． ， ， ， ， ， ； 当时，则，． ， ， ． ， ， ， 若与全等，则或，故④不符合题意． 综上所述，符合题意的结论为①②． 【点睛】本题是一道动点问题，考查了全等三角形的性质和判定．解题的关键是能充分把握运动过程，找出符合条件时点的位置及满足的数量关系，分类时做到不重不漏． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．（3分）写出在实数范围内有意义的的一个值________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解后在解集内任取一个值即可． 【详解】解：由题意得 ， 解得 ， 故的一个值可以是（答案不唯一）． 14．（3分）如图，在一个大正方形的内部放置两个大小不同的正方形，，正方形的面积为，重叠部分小正方形的面积为，阴影部分的面积为，则正方形的边长为________． 【答案】 【分析】根据已知的面积可求出正方形的边长为，小正方形的边长为，阴影部分的宽为，即可求出阴影部分的边长，进而可求出正方形的边长． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵重叠部分小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为， ∴阴影部分的宽为， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的边长， ∴正方形的边长为． 15．（3分）有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式运算规律探究，通过计算可得，据此即可求解，通过计算找到数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．（3分）如图，等边中，于点，，点分别在边上，且，在上有一动点，连接，．则（1）______；（2）的最小值为______．    【答案】 5 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，根据线段的和差关系求出的长即可得到答案； （2）在上截取，连接，可证明是等边三角形，得到；证明，得到，则可得到当Q、E、F三点共线时，有最小值，最小值为的长，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，在上截取，连接，    ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当Q、E、F三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∴的最小值为5． 故答案为：5． 三、解答题（本大题共8小题，第17每小题7分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23题每小题11分，第24题每小题12分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．7（分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的化简计算． 解题思路为先将非最简二次根式化为最简二次根式． 第一题直接合并同类二次根式得到结果． 第二题利用完全平方公式和平方差公式展开后， 合并同类项得到最终结果． 【详解】（1）解： ．······························3分 （2）解： ．·····························7分 18．（8分）下面的分式化简题呈现了嘉嘉的正确解答过程，但部分算式被遮挡． 解： (1)求被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)嘉嘉认为“该分式的值不可能为6”， ①请你帮她说明理由； ②淇淇认为嘉嘉的说法不全面，你认为该分式的值还不可能为__________． 【答案】(1) (2)①理由：当该分式的值为6时，则， 解得， 当时，，原分式分母为零，分式无意义， 该分式的值不可能为6； ②该分式的值也不可能为8 【分析】（1）由除法和减法的意义列式进行计算即可； （2）①②结合分式的意义进行判断即可． 【详解】（1）解：， ， ；·····························3分 （2）解：①理由：当该分式的值为6时，则， 解得， 当时，，原分式分母为零，分式无意义， 该分式的值不可能为6；·····························6分 ② 即该分式的值也不可能为8．·····························8分 19．（8分）已知不等式组和分式方程 (1)若不等式组无解，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若分式方程的解是整数，求满足条件的所有整数的值． 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）根据不等式组无解的判定规则得到第一问的取值范围．再解分式方程； （2）结合第一问的范围、分式方程解为整数且分式有意义的要求，筛选出符合条件的所有整数． 【详解】（1）解：， 解不等式得， ∵不等式组无解， ∴；·····························3分 （2）解：， 方程两边同乘，得， 整理得， 由（1）知， 若，方程变为，不成立， ∴， ∴， 解得，·····························5分 ∵分式方程的解是整数，是整数，且， ∴是的负整数因数，且，的负整数因数为， 当时，，，符合要求， 当时，，，符合要求， 当时，，，为增根，舍去， ∴满足条件的整数为和．·····························8分 20．（8分）滹沱河从山西进入河北后，自西向东流经石家庄市、衡水市，最终在沧州市献县与滏阳河汇合形成子牙河．某数学兴趣小组就“测量滹沱河某段两岸A、B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案： 课题 测量滹沱河某段两岸A、B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器，卷尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在一条直线上，且； ②测得，； ③在的延长线上取点E，使得； ④测得的长度为40米． (1)求证：； (2)求A、B两点间的距离． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， 在与中， ． (2)A、B两点间的距离是40米 【分析】（1）根据，可得，再由可判定； （2）由全等三角形的性质得，进而可得米． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 在与中， ．·····························3分 （2）解：， ， 又， ， 即米． 即A、B两点间的距离是40米．·····························8分 21．（9分）图1是由8个同样大小的正方体组成的二阶魔方，体积为． (1)求这个魔方的棱长； (2)图1中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图2所示，使点A与2重合，数轴上有一个点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题主要考查实数与数轴、算术平方根、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）分当动点在点A左边和右边两种情况求解． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为x， 则， 解得：， 故这个魔方的棱长为4；·····························2分 （2）解：棱长为4， 每个小立方体的棱长都是2， 阴影部分； 阴影部分正方形的边长为：；·····························5分 （3）解：正方形的边长为，点A与2重合，， 动点E在点左边时，数轴上表示的数为：， 动点E在点右边时，数轴上表示的数为：， 故答案为：或．·····························9分 22．（9分）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：． 解决问题： (1)在横线上填上适当的数： ______． (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；1；；； (2) 【分析】（1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ．·····························4分 （2）解： ．·····························9分 23．（11分）下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题．题目：某商店准备购进甲、乙两种商品；甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价少元，用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设甲种商品每件进价元 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：乙商品进价-甲商品进价= (1)解法二所列方程中的表示 （填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③购进甲种商品和乙种商品各件． (2)请根据解法一列出方程，并求出甲、乙两种商品每件的进价； (3)若该商店准备购进甲、乙两种商品共件，且两种商品的总进价不超过元，设购进甲种商品件，则该商店最少购进甲种商品多少件？ (4)该商店准备再花费元全部用于购进甲、乙两种商品（两种商品都买），则最多可购进甲种商品 件． 【答案】(1)③ (2)甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为50元； (3)商店最少购进甲种商品件； (4) 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用，二元一次方程的应用．理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）设甲种商品每件进价为元，根据用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （3）设甲商品购进件，则乙种商品购进件，利用两种商品的总进价不超过元，列出不等式，求解的范围，可得答案； （4）设购进甲种商品件，购进乙种商品件．根据该商店准备再花费元全部用于购进甲、乙两种商品（两种商品都买），列出关于，的等式，根据等式关系可得答案． 【详解】（1）解：根据表格中解法二的等量关系：乙商品进价-甲商品进价=及可知表示的是购进甲种商品和乙种商品相同的数量．故选：③；·····························2分 （2）解：设甲种商品每件进价元． 根据题意，得， 解得，经检验，是原方程的根，且符合题意． ∴． ∴甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为50元；·····························5分 （3）解：∵设购进甲种商品件， ∴购进乙种商品件． 根据题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴商店最少购进甲种商品件；·····························8分 （4）解：设购进甲种商品件，购进乙种商品件． 根据题意，得， 整理，得． ∵，均为正整数， ∴当越小时，越大． ∴当时，． ∴最多可购进甲种商品件． 故答案为：．·····························11分 24．（12分）在中，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作直角三角形，其中． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为________． 【答案】(1)点Q到直线AC的距离为1； (2) 证明：作交直线于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (3)或． 【分析】（1）作交于，利用全等三角形判定方法证明，再利用全等三角形对应边相等，即可求解； （2）作交直线于，先利用证出，得到，再利用证出，即可完成证明； （3）由图可知，点在射线上运动过程中，点在射线上运动，分2类情况讨论：①若点在线段上；②若点在延长线上，由，得出，设，则，利用（2）中的全等三角形结论，用表示出、，再利用列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：作交于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为1．·····························3分 （2）证明：作交直线于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．·····························8分 （3）解：由图可知，点在射线上运动过程中，点在射线上运动， 下面分2类情况讨论： 若点在线段上，同（2）作辅助线， 由（2）得，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， ∴； 若点在延长线上，同（2）作辅助线， 同①可得：， 设，则， ∴，， ∴， 解得： ∴． 综上所述，的长为或． 故答案为：或．·····························12分 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、作垂线辅助线构造全等、三角形的面积问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形并证明，以及学会将三角形面积关系转化为线段关系并通过方程思想解决问题，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材冀教版八年级数学上册第12~15章。 5．难度系数：0.70 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（3分）2026年7月，河北省第十七届运动会射击步手枪项目决赛举行，各参赛选手展现出极强的综合实力与心理素质．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（     ） A．三角形的稳定性 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 2．（3分）下列实数：，，，，中，无理数有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（3分）2025年5月，我国在西昌卫星发射中心成功将天问二号探测器发射升空，天问二号探测器将对小行星和主带彗星开启科学探测，其中一个目标所在轨道与太阳间距将达到约3.74亿千米．下列说法正确的是（    ） A．3.74亿 B．3.74亿 C．3.74亿是一个七位数 D．近似数3.74亿精确到了百分位 4．（3分）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（3分）如图，是的平分线，P是（不包括端点）上任意一点，，，垂足分别为D，E．下列关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：；淇淇说：； A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人都错 6．（3分）如果最简二次根式能与合并，那么的值为（     ） A．1 B．2 C．6 D．10 7．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．对顶角相等 C．等边三角形的三个内角都等于 D．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 8．（3分）已知，，下列与的大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D．以上都不对 9．（3分）已知，则下列判断正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为正数 D．若是整数，则或 10．（3分）小武老师在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”聪明的小武老师想：同学们虽然不会求出具体的数值，但是可以推断出该中线的取值范围．根据小武老师的想法，边上的中线长可能是（   ） A． B．2 C． D．4 11．（3分）某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（   ） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 12．（3分）已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．（3分）写出在实数范围内有意义的的一个值________． 14．（3分）如图，在一个大正方形的内部放置两个大小不同的正方形，，正方形的面积为，重叠部分小正方形的面积为，阴影部分的面积为，则正方形的边长为________． 15．（3分）有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则__________． 16．（3分）如图，等边中，于点，，点分别在边上，且，在上有一动点，连接，．则（1）______；（2）的最小值为______．    三、解答题（本大题共8小题，第17每小题7分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23题每小题11分，第24题每小题12分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．7（分）计算： (1)； (2)． 18．（8分）下面的分式化简题呈现了嘉嘉的正确解答过程，但部分算式被遮挡． 解： (1)求被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)嘉嘉认为“该分式的值不可能为6”， ①请你帮她说明理由； ②淇淇认为嘉嘉的说法不全面，你认为该分式的值还不可能为__________． 19．（8分）已知不等式组和分式方程 (1)若不等式组无解，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若分式方程的解是整数，求满足条件的所有整数的值． 20．（8分）滹沱河从山西进入河北后，自西向东流经石家庄市、衡水市，最终在沧州市献县与滏阳河汇合形成子牙河．某数学兴趣小组就“测量滹沱河某段两岸A、B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案： 课题 测量滹沱河某段两岸A、B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器，卷尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在一条直线上，且； ②测得，； ③在的延长线上取点E，使得； ④测得的长度为40米． (1)求证：； (2)求A、B两点间的距离． 21．（9分）图1是由8个同样大小的正方体组成的二阶魔方，体积为． (1)求这个魔方的棱长； (2)图1中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图2所示，使点A与2重合，数轴上有一个点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 22．（9分）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：． 解决问题： (1)在横线上填上适当的数： ______． (2)根据上述思路，试将予以化简． 23．（11分）下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题．题目：某商店准备购进甲、乙两种商品；甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价少元，用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设甲种商品每件进价元 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：乙商品进价-甲商品进价= (1)解法二所列方程中的表示 （填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③购进甲种商品和乙种商品各件． (2)请根据解法一列出方程，并求出甲、乙两种商品每件的进价； (3)若该商店准备购进甲、乙两种商品共件，且两种商品的总进价不超过元，设购进甲种商品件，则该商店最少购进甲种商品多少件？ (4)该商店准备再花费元全部用于购进甲、乙两种商品（两种商品都买），则最多可购进甲种商品 件． 24．（12分）在中，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作直角三角形，其中． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为________． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $