2026--2027学年人教版八年级数学上册期中复习卷1

人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷1 人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷1 考查范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）如图，以点A为顶点的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（3分）如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝7．若△ACD的周长为18，则△ABD的周长为（　　） A．15 B．16 C．20 D．19 3．（3分）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠1﹣∠2﹣∠3的度数为（　　） A．30° B．45° C．55° D．60° 4．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 5．（3分）如图，下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 8．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（　　） A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如图，该轴对称图形有　　　　 条对称轴． 10．（3分）如图，在△ABC中，CE是∠ACB的平分线，且CE＝CB，D是BE的中点，若∠BCD＝20°，则∠A＝　　　　 ． 11．（3分）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F．当EF＝6，BE＝4时，CF的长为　　　　 ． 12．（3分）如图，正方形中的阴影部分是一个三角形，与其成轴对称的图形是　　　　 （填序号）． 13．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，AC=BD=4，∠BDC=105°，∠ACB＝45°，则BC的长为　　　　 ． 14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝12cm，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和点Q分别以1cm/s和3cm/s的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．当点P运动 　　　　 秒时，△PEC与△QFC全等． 15．（3分）如图，在直线ABC的同一侧分别作两个等边△ABD和△BCE，连接AE，CD，BH，GF，有以下结论：①△ABE≌△DBC；②AG＝DH；③BH平分∠AHC；④△GBF是等边三角形；以上结论正确有 　　　　 ． 16．（3分）定义：对于平面直角坐标系xOy中的不在同一条直线上的三点P，M，N，若满足点M绕点P逆时针旋转90°后恰好与点N重合，则称点N为点M关于点P的“垂等点”．请根据以上定义，完成填空：如图，已知点A的坐标为（3，0），点C是y轴上的动点，点B是点A关于点C的“垂等点”，连接OB，AB，则OB+AB的最小值是 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）如图在△ABD中，AB⊥AD，E为线段BD的中点，CE∥AF，∠B＝30°，DC平分∠ADB，AF交DC于点G，交BD于点F． （1）证明：CE⊥BD； （2）判断△ACG的形状，并说明理由． 18．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，CD的垂直平分线FM交AC于点F，交BC于点M，FM＝2． （1）求∠ADE的度数； （2）△ADF是等边三角形吗？为什么？（3）求AB的长． 19．（6分）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）． （1）∠ABO的度数为 　　　　 ，△AOB 　　　　 （填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”； 【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数． 20．（6分）如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）求∠PAQ的度数． （2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长． 21．（6分）已知：如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'． （2）求△A'B'C'的面积． 22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F． （1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数； （2）求证：FB＝FE． 23．（8分）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE． （1）求证：△ABE≌△BCD； （2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由； 24．（8分）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． （1）如图1，若∠AOB＝72°，则∠BOC＝　　　　 °； （2）折叠长方形纸片，BC，BD均为折痕，折叠后，点A落在点A′，点E落在点E′．①如图2，当点E′在BA′上时，求证：∠CBD＝90°；②如图3，若∠A′BE′＝40°，求∠CBD的度数；③如图4，若∠ACB＝35°，∠A′BE′＝n°，直接写出∠DBE的度数（用含n的式子表示）． 25．（10分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts． （1）如图①，当t＝　　　　 时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； （2）如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度． 26．（10分）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE 　　　　 CF；EF 　　　　 |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 　　　　 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 27．（10分）如图：在∠EAF的平分线上取点B作BC⊥AF于点C，在直线AC上取一动点P．在直线AE上取点Q使得BQ＝BP． （1）如图1，当点P在点线段AC上时，∠BQA+∠BPA＝　　　　 °； （2）如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，说明理由； （3）在满足（1）的结论条件下，当点P运动到在射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条线段之间的数量关系为：　　　　 ． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷1 人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷1 考查范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称 参考答案与解析 1．（3分）如图，以点A为顶点的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【解答】解：以点A为顶点的三角形有△ABC，△ABD，△ACE，△ADE， ∴以点A为顶点的三角形有4个，故选：A． （来源：2026•盐亭县开学） 2．（3分）如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝7．若△ACD的周长为18，则△ABD的周长为（　　） A．15 B．16 C．20 D．19 【答案】D 【解答】解： ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵△ACD的周长为18， ∴AC+AD+CD＝18， ∴AD+CD＝18﹣7＝11， ∴△ABD的周长为：AB+AD+BD＝8+AD+CD＝11+8＝19，故选：D． （来源：2026春•西安期末） 3．（3分）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠1﹣∠2﹣∠3的度数为（　　） A．30° B．45° C．55° D．60° 【答案】B 【解答】解：如图，则∠1＝90°，∠2＝∠4，∠3+∠4＝45°， ∴∠1﹣∠2﹣∠3＝90°﹣45°＝45°，故选：B． （来源：2026•海城市开学） 4．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【解答】解：过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DF＝2， ∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC=AB•DE+AC•DF=×4×2+AC×2＝7，解得AC＝3．故选：A． （来源：2026春•卫东区校级月考） 5．（3分）如图，下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来比下面那根木棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形；B．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来比下面那根木棒长，这两段相减比下面那根木棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形；C．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段相减比下面那根木棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形；D．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来和下面那根木棒相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形．故选：B． （来源：2026春•五华县期末） 6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【答案】B 【解答】解： ∵∠C＝90°，∠B＝40°， ∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣40°＝50°，由作图知，AP平分∠BAC， ∴∠BAD=∠BAC=×50°=25°， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD， ∴∠ADC＝40°+25°＝65°，故选：B． （来源：2026春•榆树市月考） 7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【解答】解：如图，①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA＝PB），交直线BC于点P2；②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB＝AP）；③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP＝BA）．2+（3﹣1）+（3﹣1）＝6， ∴符合条件的点有六个．故选：C． （来源：2026秋•杭州月考） 8．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（　　） A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5 【答案】B 【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图， ∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，DA⊥AB， ∴DE＝DA， ∴===．故选：B． （来源：2026秋•杭州月考） 9．（3分）如图，该轴对称图形有 条对称轴． 【答案】2 【解答】解：如图所示，该轴对称图形有2条对称轴，故答案为：2． （来源：2026春•丹阳市期中） 10．（3分）如图，在△ABC中，CE是∠ACB的平分线，且CE＝CB，D是BE的中点，若∠BCD＝20°，则∠A＝ ． 【答案】30° 【解答】解： ∵CE＝CB，D是BE的中点， ∴CD⊥AB，∠BCE＝2∠BCD＝2×20°＝40°， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠BCD＝90°﹣20°＝70°， ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACB＝2∠BCE＝2×40°＝80°， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∵∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣80°＝30°，故答案为：30°． （来源：2025秋•德阳校级期中） 11．（3分）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F．当EF＝6，BE＝4时，CF的长为 ． 【答案】2 【解答】解：如图， ∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠CBO； ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC， ∴∠EOB＝∠EBO， ∴BE＝OE；同理可证CF＝OF， ∴EF＝BE+CF， ∵EF＝6，BE＝4， ∴OF＝EF﹣OE＝EF﹣BE＝2， ∴CF＝OF＝2，故答案为2． （来源：2026春•雁塔区校级月考） 12．（3分）如图，正方形中的阴影部分是一个三角形，与其成轴对称的图形是 （填序号）． 【答案】①或③或⑤或⑦ 【解答】解：如图，正方形中的阴影部分是一个三角形，与其成轴对称的图形是①或③或⑤或⑦．故答案为：①或③或⑤或⑦． （来源：2026春•同步） 13．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，AC=BD=4，∠BDC=105°，∠ACB＝45°，则BC的长为 ． 【答案】见解析 【解答】证明：延长CD至点E，使得CE＝BA，连接BE，过点A作AH⊥BC，如图所示， ∵∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，AB＝CE， ∴△ABC≌△ECB（SAS）， ∴∠BAC＝∠E，AC＝BE．又 ∵AC＝BD， ∴BE＝BD， ∴∠BDE＝∠E， ∴∠BAC＝∠BDE． ∵∠BDE+∠BDC＝180°， ∴∠BAC+∠BDC＝180°， ∵∠BDC＝105°， ∴∠BAC＝75°， ∵∠ACB＝45°， ∴∠ABC＝60°°， ∵三角形ACH是等腰直角三角形， ∴sin∠ACH==，cos∠ACH==， ∴AH＝CH＝4， ∵∠ABC＝60°，∠AHB＝90°， ∴tan∠ABC==， ∴BH＝4， ∴BC＝BH+HC＝4+4． （来源：2026春•沈河区期末） 14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝12cm，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和点Q分别以1cm/s和3cm/s的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．当点P运动 秒时，△PEC与△QFC全等． 【答案】2或5或16 【解答】解： ∵PE⊥l于E，QF⊥l于F． ∴∠PEC＝∠CFQ＝90°， ∴∠QCF+∠CQF＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠PCE+∠QCF＝90°， ∴∠PCE＝∠CQF，①当4≤t＜8时，点P在AC上，点Q在AC上，如图，当PC＝QC，即8﹣t＝3t﹣12，解得t＝5；②当0≤t＜4时，点P在AC上，点Q在BC上，如图：此时有AP＝tcm，BQ＝3tm，AC＝8cm，BC＝12cm．当PC＝QC即t﹣8＝3t﹣12，解得t＝2；③当点Q停在点A处，点P在BC上，如图，当PC＝QC＝8，即t﹣8＝8，解得t＝16；综上所述：当t等于2或5或16时，△PEC与△QFC全等．故答案为：2或5或16． （来源：2026春•萍乡期末） 15．（3分）如图，在直线ABC的同一侧分别作两个等边△ABD和△BCE，连接AE，CD，BH，GF，有以下结论：①△ABE≌△DBC；②AG＝DH；③BH平分∠AHC；④△GBF是等边三角形；以上结论正确有 ． 【答案】①③④ 【解答】解： ∵△ABD，△BCE都是等边三角形， ∴BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，BA＝BD， ∴∠DBF＝180°﹣∠ABD﹣∠EBC＝60°，∠ABE＝∠DBC，在△ABE和△DBC中，， ∴△ABE≌△DBC（SAS），故①正确， ∴∠BAE＝∠BDC，在△AGB和△DFB中，， ∴△AGB≌△DFB（ASA）， ∴AG＝DF＞DH，故②错误；过点B作BN⊥CD于N．BM⊥AE于M， ∵△ABE≌△DBC， ∴AE＝CD， ∵BN⊥CD，BM⊥AE， ∴AE•BM=CD•BN， ∴BM＝BN， ∴BH平分∠AHC，故③正确； ∵△AGB≌△DFB， ∴GB＝FB，又 ∵∠DBF＝60°， ∴△GBF是等边三角形，故④正确；综上可知，正确的是①③④，故答案为：①③④． （来源：2025秋•喀什地区期末） 16．（3分）定义：对于平面直角坐标系xOy中的不在同一条直线上的三点P，M，N，若满足点M绕点P逆时针旋转90°后恰好与点N重合，则称点N为点M关于点P的“垂等点”．请根据以上定义，完成填空：如图，已知点A的坐标为（3，0），点C是y轴上的动点，点B是点A关于点C的“垂等点”，连接OB，AB，则OB+AB的最小值是 ． 【答案】3 【解答】解：如图，作BH⊥OH于H．设点C的坐标为（0，m），由题意，知∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠BCH＝90°， ∵∠ACO+∠OAC＝90°， ∴∠BCH＝∠OAC， ∵∠BHC＝∠COA＝90°，BC＝CA， ∴△BCH≌CAO（AAS）， ∴HB＝OC＝m，HC＝OA＝3， ∴点B（m，3+m），则BO+BA=+，相当于在直线y＝x上寻找一点P（m，m），使得点P到M（0，﹣3），到N（3，﹣3）的距离和最小，如图，作M关于直线y＝x的对称点M′（﹣3，0）， ∴M′N==3， ∵PM+PN＝PM′+PN≥M′N， ∴PM+PN的最小值为M′N的长，即3， ∴OB+AB的最小值是3．故答案为：3． （来源：2026•江阳区校级模拟） 17．（6分）如图在△ABD中，AB⊥AD，E为线段BD的中点，CE∥AF，∠B＝30°，DC平分∠ADB，AF交DC于点G，交BD于点F． （1）证明：CE⊥BD； （2）判断△ACG的形状，并说明理由． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵AB⊥AD，∠B＝30°， ∴∠ADB＝60°， ∵DC平分∠ADB， ∴∠BDC=∠ADC=∠ADB=30°=∠B， ∴BC＝DC（等角对等边）， ∵E是BD的中点， ∴CE⊥BD； （2）解：△ACG是等边三角形，理由如下： ∵AF∥CE，CE⊥BD， ∴AF⊥BD，又 ∵∠B＝30°， ∴∠BAF＝90°﹣30°＝60°， ∵∠B＝∠CDB＝30°， ∴∠ACG＝∠B+∠CDB＝30°+30°＝60°， ∴∠AGC＝60°＝∠ACG＝∠BAF， ∴△ACG是等边三角形． （来源：2025秋•古蔺县期中） 18．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，CD的垂直平分线FM交AC于点F，交BC于点M，FM＝2． （1）求∠ADE的度数； （2）△ADF是等边三角形吗？为什么？（3）求AB的长． 【答案】见解析 【解答】解： （1）在△ABC中， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°．又 ∵BD＝BE， ∴∠BDE＝∠BED=×（180°﹣∠B）＝75°．在△ABC中， ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝90°﹣75°＝15°； （2）△ADF是等边三角形．理由如下： ∵FM垂直平分DC， ∴DF＝CF． ∵∠C＝30°， ∴∠FDC＝∠C＝30°， ∴∠AFD＝∠C+∠FDC＝60°． ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAF＝90°﹣∠C＝60°， ∴∠AFD＝∠DAF＝∠ADF＝60°， ∴△ADF是等边三角形． （3） ∵FM垂直平分DC， ∴∠FMC＝90°． ∵∠C＝30°，FM＝2， ∴FC＝2FM＝4．又DF＝FC， ∴DF＝4． ∵△ADF是等边三角形， ∴AF＝DF＝4， ∴AC＝AF+CF＝4+4＝8．又 ∵AB＝AC， ∴AB＝8． （来源：2026春•揭东区期末） 19．（6分）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”．【概念理解】如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）． （1）∠ABO的度数为 ，△AOB （填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数． 【答案】30°，不是 【解答】解： （1） ∵AB⊥OM， ∴∠OAB＝90°， ∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°， ∴∠OAB＝3∠ABO， ∴△AOB不是“和谐三角形”；故答案为：30°，不是； （2） ∵∠ACB是△AOC的一个外角， ∴∠ACB＝∠O+∠OAC，又∠O＝60°，∠ACB＝84° ∴∠OAC＝24°，∠ACO＝180°﹣84°＝96°， ∴∠ACO＝4∠OAC， ∴△AOC是“和谐三角形”； （3） ∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°， ∴∠EFC＝∠ADC， ∴AD∥EF， ∴∠DEF＝∠ADE，而∠DEF＝∠B， ∴∠B＝∠ADE， ∵DE∥BC， ∴∠CDE＝∠BCD， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠B＝∠BCD， ∵△BCD是“和谐三角形”， ∴∠BDC＝4∠B或者∠B＝4∠BDC ∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180° ∴∠B＝30°或者∠B＝80°． （来源：2026春•温江区期末） 20．（6分）如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）求∠PAQ的度数． （2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长． 【答案】见解析 【解答】解： （1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z， ∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴AP＝PB，AQ＝CQ， ∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y， ∵∠BAC＝80°， ∴∠B+∠C＝100°，即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°， ∴x＝20°， ∴∠PAQ＝20°； （2） ∵△APQ周长为12， ∴AQ+PQ+AP＝12， ∵AQ＝CQ，AP＝PB， ∴CQ+PQ+PB＝12，即CQ+BQ+2PQ＝12，BC+2PQ＝12， ∵BC＝8， ∴PQ＝2． （来源：2026春•高新区期末） 21．（6分）已知：如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'． （2）求△A'B'C'的面积． 【答案】见解析 【解答】解： （1）△A'B'C'即为所求； （2）△A'B'C'的面积＝4×4-×2×2-×2×4-×2×4＝16﹣2﹣4﹣4＝6． （来源：2026春•七里河区期末） 22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F． （1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数； （2）求证：FB＝FE． 【答案】见解析 【解答】（1）解： ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∵∠C＝36°， ∴∠ABC＝36°， ∵BD＝CD，AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°． （2）证明： ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE=∠ABC， ∵EF∥BC， ∴∠FEB＝∠CBE， ∴∠FBE＝∠FEB， ∴FB＝FE． （来源：2026春•渠县校级期末） 23．（8分）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE． （1）求证：△ABE≌△BCD； （2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由； 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵AB∥CD， ∴∠ABE+∠C＝180°， ∵∠C＝90°， ∴∠ABE＝90°＝∠C， ∵E是BC的中点， ∴BC＝2BE， ∵BC＝2CD， ∴BE＝CD，在△ABE和△BCD中，， ∴△ABE≌△BCD（SAS）； （2）解：AE＝BD，AE⊥BD，理由如下：由（1）得：△ABE≌△BCD， ∴AE＝BD， ∵∠BAE＝∠CBD，∠ABF+∠CBD＝90°， ∴∠ABF+∠BAE＝90°， ∴∠AFB＝90°， ∴AE⊥BD． （来源：2026•香河县模拟） 24．（8分）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． （1）如图1，若∠AOB＝72°，则∠BOC＝ °； （2）折叠长方形纸片，BC，BD均为折痕，折叠后，点A落在点A′，点E落在点E′．①如图2，当点E′在BA′上时，求证：∠CBD＝90°；②如图3，若∠A′BE′＝40°，求∠CBD的度数；③如图4，若∠ACB＝35°，∠A′BE′＝n°，直接写出∠DBE的度数（用含n的式子表示）． 【答案】36 【解答】解： （1）由折叠的性质可得OC平分∠AOB， ∴∠BOC=∠AOB=36°，故答案为：36； （2）①由折叠的性质可得∠ABC＝∠A′BC，∠EBD＝∠E′BD， ∵∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD＝180°， ∴2（∠A′BC+∠E′BD）＝180°， ∴∠A′BC+∠E′BD＝90°， ∴∠CBD＝90°；②由折叠的性质可得∠ABC＝∠A′BC，∠EBD＝∠E′BD， ∵∠ABC+∠A′BC+∠A′BE′+∠EBD+∠E′BD＝180°， ∵∠A′BE′＝40°， ∴∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD＝180°﹣∠A′BE′＝140°， ∴2（∠A′BC+∠E′BD）＝140°， ∴∠A′BC+∠E′BD＝70°， ∴∠CBD＝∠A′BC+∠A′BE′+∠E′BD＝110°；③ ∵∠ACB＝35°， ∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝55°，由折叠的性质可得∠ABC＝∠A′BC＝55°，∠EBD＝∠E′BD， ∵∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD﹣∠A′BE′＝180°，∠A′BE′＝n°， ∴2∠DBE＝180°+∠A′BE′﹣∠ABC﹣∠A′BC＝70°+n°， ∴∠DBE=(35+n)°． （来源：2026春•乐平市期末） 25．（10分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts． （1）如图①，当t＝ 时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； （2）如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度． 【答案】或 【解答】解： （1）①当点P在BC上时，如图①﹣1，若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP=BC=cm，此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+=，移动的时间为：÷3=秒，②当点P在BA上时，如图①﹣2若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD=AB，即点P为BA中点，此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+=cm，移动的时间为：÷3=秒，故答案为：或； （2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；①当点P在AC上，如图②﹣1所示：此时，AP＝4，AQ＝5， ∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）=cm/s，②当点P在AB上，如图②﹣2所示：此时，AP＝4，AQ＝5，即点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm， ∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）=cm/s，综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，点Q的运动速度为cm/s或cm/s． （来源：2025秋•船营区校级期中） 26．（10分）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE CF；EF |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 【答案】见解析 【解答】解： （1）① ∵∠BCA＝90°，∠α＝90°， ∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°， ∴∠CBE＝∠ACF，在△BCE和△CAF中，， ∴△BCE≌△CAF（AAS）， ∴BE＝CF；EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|．②所填的条件是：∠α+∠BCA＝180°．证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣∠α． ∵∠BCA＝180°﹣∠α， ∴∠CBE+∠BCE＝∠BCA．又 ∵∠ACF+∠BCE＝∠BCA， ∴∠CBE＝∠ACF，又 ∵BC＝CA，∠BEC＝∠CFA， ∴△BCE≌△CAF（AAS） ∴BE＝CF，CE＝AF，又 ∵EF＝CF﹣CE， ∴EF＝|BE﹣AF|． （2）猜想：EF＝BE+AF．证明过程： ∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF＝180°， ∴∠BCE＝∠CAF，又 ∵BC＝CA， ∴△BCE≌△CAF（AAS）． ∴BE＝CF，EC＝FA， ∴EF＝EC+CF＝BE+AF． （来源：2025秋•冷水江市期末） 27．（10分）如图：在∠EAF的平分线上取点B作BC⊥AF于点C，在直线AC上取一动点P．在直线AE上取点Q使得BQ＝BP． （1）如图1，当点P在点线段AC上时，∠BQA+∠BPA＝ °； （2）如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，说明理由； （3）在满足（1）的结论条件下，当点P运动到在射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条线段之间的数量关系为： ． 【答案】180 【解答】解： （1）作BM⊥AE于点M， ∵AB平方∠EAF，BC⊥AF， ∴BM＝BC，在Rt△BMQ和Rt△BPC中，， ∴Rt△BMQ≌Rt△BPC（HL）， ∴∠BQA＝∠BPC，又 ∵∠BPC+∠BPA＝180°， ∴∠BQA+∠BPA＝180°，故答案为：180； （2）AQ﹣AP＝2AC，理由如下，作BM⊥AE于点M， ∵AB平方∠EAF，BC⊥AF， ∴BM＝BC，∠BMA＝∠BCA＝90°，在Rt△ABM和Rt△ABC中，， ∴Rt△ABM≌Rt△ABC（HL）， ∴∠ABM＝∠ABC，AM＝AC，在Rt△BMQ和Rt△BCP中，， ∴Rt△BMQ≌Rt△BCP（HL）， ∴PC＝QM， ∴AQ﹣AP＝（AM+QM）﹣（PC﹣AC）＝AM+AC＝2AC； （3）当点P在线段AC上时，如图，AQ﹣AP＝2PC，作BM⊥AE于点M， ∵BC⊥AF， ∴，∠BMA＝∠BCA＝90°， ∵∠BQA+∠BPA＝180°，∠BPC+∠BPA＝180°， ∴∠BPC＝∠BQM，在△QBM和△PBC中，， ∴△QBM≌△PBC（AAS）， ∴∠QBC＝∠PBC，QM＝PC，BM＝BC，在Rt△ABM和Rt△ABC中，， ∴Rt△ABM≌Rt△ABC（HL）， ∴AM＝AC， ∴AQ﹣AP＝AM+QM﹣（AC﹣PC）＝QM+PC＝2PC；当P在线段AC的延长线上，如图，AP﹣AQ＝2PC，作BM⊥AE于点M， ∵BC⊥AF， ∴∠BMA＝∠BCA＝90°， ∵∠BQA+∠BPA＝180°，∠BQM+∠BQA＝180°， ∴∠BPC＝∠BQM，在△QBM和△PBC中，， ∴△QBM≌△PBC（AAS）， ∴∠QBC＝∠PBC，QM＝PC，BM＝BC，在Rt△ABM和Rt△ABC中，， ∴Rt△ABM≌Rt△ABC（HL）， ∴AM＝AC， ∴AP﹣AQ＝AC+CP﹣（AM﹣QM）＝MQ+PC＝2PC．故答案为：AQ﹣AP＝2PC或AP﹣AQ＝2PC． （来源：2026秋•单元） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷1 人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷1 考查范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷1 人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷1 考查范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷1 人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷1 考查范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）如图，以点A为顶点的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（3分）如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝7．若△ACD的周长为18，则△ABD的周长为（　　） A．15 B．16 C．20 D．19 3．（3分）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠1﹣∠2﹣∠3的度数为（　　） A．30° B．45° C．55° D．60° 4．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 5．（3分）如图，下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 8．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（　　） A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如图，该轴对称图形有　　　　 条对称轴． 10．（3分）如图，在△ABC中，CE是∠ACB的平分线，且CE＝CB，D是BE的中点，若∠BCD＝20°，则∠A＝　　　　 ． 11．（3分）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F．当EF＝6，BE＝4时，CF的长为　　　　 ． 12．（3分）如图，正方形中的阴影部分是一个三角形，与其成轴对称的图形是　　　　 （填序号）． 13．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，AC=BD=4，∠BDC=105°，∠ACB＝45°，则BC的长为　　　　 ． 14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝12cm，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和点Q分别以1cm/s和3cm/s的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．当点P运动 　　　　 秒时，△PEC与△QFC全等． 15．（3分）如图，在直线ABC的同一侧分别作两个等边△ABD和△BCE，连接AE，CD，BH，GF，有以下结论：①△ABE≌△DBC；②AG＝DH；③BH平分∠AHC；④△GBF是等边三角形；以上结论正确有 　　　　 ． 16．（3分）定义：对于平面直角坐标系xOy中的不在同一条直线上的三点P，M，N，若满足点M绕点P逆时针旋转90°后恰好与点N重合，则称点N为点M关于点P的“垂等点”．请根据以上定义，完成填空：如图，已知点A的坐标为（3，0），点C是y轴上的动点，点B是点A关于点C的“垂等点”，连接OB，AB，则OB+AB的最小值是 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）如图在△ABD中，AB⊥AD，E为线段BD的中点，CE∥AF，∠B＝30°，DC平分∠ADB，AF交DC于点G，交BD于点F． （1）证明：CE⊥BD； （2）判断△ACG的形状，并说明理由． 18．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，CD的垂直平分线FM交AC于点F，交BC于点M，FM＝2． （1）求∠ADE的度数； （2）△ADF是等边三角形吗？为什么？（3）求AB的长． 19．（6分）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）． （1）∠ABO的度数为 　　　　 ，△AOB 　　　　 （填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”； 【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数． 20．（6分）如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）求∠PAQ的度数． （2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长． 21．（6分）已知：如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'． （2）求△A'B'C'的面积． 22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F． （1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数； （2）求证：FB＝FE． 23．（8分）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE． （1）求证：△ABE≌△BCD； （2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由； 24．（8分）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． （1）如图1，若∠AOB＝72°，则∠BOC＝　　　　 °； （2）折叠长方形纸片，BC，BD均为折痕，折叠后，点A落在点A′，点E落在点E′．①如图2，当点E′在BA′上时，求证：∠CBD＝90°；②如图3，若∠A′BE′＝40°，求∠CBD的度数；③如图4，若∠ACB＝35°，∠A′BE′＝n°，直接写出∠DBE的度数（用含n的式子表示）． 25．（10分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts． （1）如图①，当t＝　　　　 时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； （2）如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度． 26．（10分）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE 　　　　 CF；EF 　　　　 |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 　　　　 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 27．（10分）如图：在∠EAF的平分线上取点B作BC⊥AF于点C，在直线AC上取一动点P．在直线AE上取点Q使得BQ＝BP． （1）如图1，当点P在点线段AC上时，∠BQA+∠BPA＝　　　　 °； （2）如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，说明理由； （3）在满足（1）的结论条件下，当点P运动到在射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条线段之间的数量关系为：　　　　 ． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷1 人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷1 考查范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称 参考答案与解析 1．（3分）如图，以点A为顶点的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【解答】解：以点A为顶点的三角形有△ABC，△ABD，△ACE，△ADE， ∴以点A为顶点的三角形有4个，故选：A． （来源：2026•盐亭县开学） 2．（3分）如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝7．若△ACD的周长为18，则△ABD的周长为（　　） A．15 B．16 C．20 D．19 【答案】D 【解答】解： ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵△ACD的周长为18， ∴AC+AD+CD＝18， ∴AD+CD＝18﹣7＝11， ∴△ABD的周长为：AB+AD+BD＝8+AD+CD＝11+8＝19，故选：D． （来源：2026春•西安期末） 3．（3分）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠1﹣∠2﹣∠3的度数为（　　） A．30° B．45° C．55° D．60° 【答案】B 【解答】解：如图，则∠1＝90°，∠2＝∠4，∠3+∠4＝45°， ∴∠1﹣∠2﹣∠3＝90°﹣45°＝45°，故选：B． （来源：2026•海城市开学） 4．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【解答】解：过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DF＝2， ∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC=AB•DE+AC•DF=×4×2+AC×2＝7，解得AC＝3．故选：A． （来源：2026春•卫东区校级月考） 5．（3分）如图，下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来比下面那根木棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形；B．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来比下面那根木棒长，这两段相减比下面那根木棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形；C．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段相减比下面那根木棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形；D．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来和下面那根木棒相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形．故选：B． （来源：2026春•五华县期末） 6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【答案】B 【解答】解： ∵∠C＝90°，∠B＝40°， ∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣40°＝50°，由作图知，AP平分∠BAC， ∴∠BAD=∠BAC=×50°=25°， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD， ∴∠ADC＝40°+25°＝65°，故选：B． （来源：2026春•榆树市月考） 7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【解答】解：如图，①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA＝PB），交直线BC于点P2；②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB＝AP）；③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP＝BA）．2+（3﹣1）+（3﹣1）＝6， ∴符合条件的点有六个．故选：C． （来源：2026秋•杭州月考） 8．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（　　） A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5 【答案】B 【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图， ∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，DA⊥AB， ∴DE＝DA， ∴===．故选：B． （来源：2026秋•杭州月考） 9．（3分）如图，该轴对称图形有 条对称轴． 【答案】2 【解答】解：如图所示，该轴对称图形有2条对称轴，故答案为：2． （来源：2026春•丹阳市期中） 10．（3分）如图，在△ABC中，CE是∠ACB的平分线，且CE＝CB，D是BE的中点，若∠BCD＝20°，则∠A＝ ． 【答案】30° 【解答】解： ∵CE＝CB，D是BE的中点， ∴CD⊥AB，∠BCE＝2∠BCD＝2×20°＝40°， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠BCD＝90°﹣20°＝70°， ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACB＝2∠BCE＝2×40°＝80°， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∵∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣80°＝30°，故答案为：30°． （来源：2025秋•德阳校级期中） 11．（3分）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F．当EF＝6，BE＝4时，CF的长为 ． 【答案】2 【解答】解：如图， ∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠CBO； ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC， ∴∠EOB＝∠EBO， ∴BE＝OE；同理可证CF＝OF， ∴EF＝BE+CF， ∵EF＝6，BE＝4， ∴OF＝EF﹣OE＝EF﹣BE＝2， ∴CF＝OF＝2，故答案为2． （来源：2026春•雁塔区校级月考） 12．（3分）如图，正方形中的阴影部分是一个三角形，与其成轴对称的图形是 （填序号）． 【答案】①或③或⑤或⑦ 【解答】解：如图，正方形中的阴影部分是一个三角形，与其成轴对称的图形是①或③或⑤或⑦．故答案为：①或③或⑤或⑦． （来源：2026春•同步） 13．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，AC=BD=4，∠BDC=105°，∠ACB＝45°，则BC的长为 ． 【答案】见解析 【解答】证明：延长CD至点E，使得CE＝BA，连接BE，过点A作AH⊥BC，如图所示， ∵∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，AB＝CE， ∴△ABC≌△ECB（SAS）， ∴∠BAC＝∠E，AC＝BE．又 ∵AC＝BD， ∴BE＝BD， ∴∠BDE＝∠E， ∴∠BAC＝∠BDE． ∵∠BDE+∠BDC＝180°， ∴∠BAC+∠BDC＝180°， ∵∠BDC＝105°， ∴∠BAC＝75°， ∵∠ACB＝45°， ∴∠ABC＝60°°， ∵三角形ACH是等腰直角三角形， ∴sin∠ACH==，cos∠ACH==， ∴AH＝CH＝4， ∵∠ABC＝60°，∠AHB＝90°， ∴tan∠ABC==， ∴BH＝4， ∴BC＝BH+HC＝4+4． （来源：2026春•沈河区期末） 14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝12cm，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和点Q分别以1cm/s和3cm/s的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．当点P运动 秒时，△PEC与△QFC全等． 【答案】2或5或16 【解答】解： ∵PE⊥l于E，QF⊥l于F． ∴∠PEC＝∠CFQ＝90°， ∴∠QCF+∠CQF＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠PCE+∠QCF＝90°， ∴∠PCE＝∠CQF，①当4≤t＜8时，点P在AC上，点Q在AC上，如图，当PC＝QC，即8﹣t＝3t﹣12，解得t＝5；②当0≤t＜4时，点P在AC上，点Q在BC上，如图：此时有AP＝tcm，BQ＝3tm，AC＝8cm，BC＝12cm．当PC＝QC即t﹣8＝3t﹣12，解得t＝2；③当点Q停在点A处，点P在BC上，如图，当PC＝QC＝8，即t﹣8＝8，解得t＝16；综上所述：当t等于2或5或16时，△PEC与△QFC全等．故答案为：2或5或16． （来源：2026春•萍乡期末） 15．（3分）如图，在直线ABC的同一侧分别作两个等边△ABD和△BCE，连接AE，CD，BH，GF，有以下结论：①△ABE≌△DBC；②AG＝DH；③BH平分∠AHC；④△GBF是等边三角形；以上结论正确有 ． 【答案】①③④ 【解答】解： ∵△ABD，△BCE都是等边三角形， ∴BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，BA＝BD， ∴∠DBF＝180°﹣∠ABD﹣∠EBC＝60°，∠ABE＝∠DBC，在△ABE和△DBC中，， ∴△ABE≌△DBC（SAS），故①正确， ∴∠BAE＝∠BDC，在△AGB和△DFB中，， ∴△AGB≌△DFB（ASA）， ∴AG＝DF＞DH，故②错误；过点B作BN⊥CD于N．BM⊥AE于M， ∵△ABE≌△DBC， ∴AE＝CD， ∵BN⊥CD，BM⊥AE， ∴AE•BM=CD•BN， ∴BM＝BN， ∴BH平分∠AHC，故③正确； ∵△AGB≌△DFB， ∴GB＝FB，又 ∵∠DBF＝60°， ∴△GBF是等边三角形，故④正确；综上可知，正确的是①③④，故答案为：①③④． （来源：2025秋•喀什地区期末） 16．（3分）定义：对于平面直角坐标系xOy中的不在同一条直线上的三点P，M，N，若满足点M绕点P逆时针旋转90°后恰好与点N重合，则称点N为点M关于点P的“垂等点”．请根据以上定义，完成填空：如图，已知点A的坐标为（3，0），点C是y轴上的动点，点B是点A关于点C的“垂等点”，连接OB，AB，则OB+AB的最小值是 ． 【答案】3 【解答】解：如图，作BH⊥OH于H．设点C的坐标为（0，m），由题意，知∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠BCH＝90°， ∵∠ACO+∠OAC＝90°， ∴∠BCH＝∠OAC， ∵∠BHC＝∠COA＝90°，BC＝CA， ∴△BCH≌CAO（AAS）， ∴HB＝OC＝m，HC＝OA＝3， ∴点B（m，3+m），则BO+BA=+，相当于在直线y＝x上寻找一点P（m，m），使得点P到M（0，﹣3），到N（3，﹣3）的距离和最小，如图，作M关于直线y＝x的对称点M′（﹣3，0）， ∴M′N==3， ∵PM+PN＝PM′+PN≥M′N， ∴PM+PN的最小值为M′N的长，即3， ∴OB+AB的最小值是3．故答案为：3． （来源：2026•江阳区校级模拟） 17．（6分）如图在△ABD中，AB⊥AD，E为线段BD的中点，CE∥AF，∠B＝30°，DC平分∠ADB，AF交DC于点G，交BD于点F． （1）证明：CE⊥BD； （2）判断△ACG的形状，并说明理由． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵AB⊥AD，∠B＝30°， ∴∠ADB＝60°， ∵DC平分∠ADB， ∴∠BDC=∠ADC=∠ADB=30°=∠B， ∴BC＝DC（等角对等边）， ∵E是BD的中点， ∴CE⊥BD； （2）解：△ACG是等边三角形，理由如下： ∵AF∥CE，CE⊥BD， ∴AF⊥BD，又 ∵∠B＝30°， ∴∠BAF＝90°﹣30°＝60°， ∵∠B＝∠CDB＝30°， ∴∠ACG＝∠B+∠CDB＝30°+30°＝60°， ∴∠AGC＝60°＝∠ACG＝∠BAF， ∴△ACG是等边三角形． （来源：2025秋•古蔺县期中） 18．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，CD的垂直平分线FM交AC于点F，交BC于点M，FM＝2． （1）求∠ADE的度数； （2）△ADF是等边三角形吗？为什么？（3）求AB的长． 【答案】见解析 【解答】解： （1）在△ABC中， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°．又 ∵BD＝BE， ∴∠BDE＝∠BED=×（180°﹣∠B）＝75°．在△ABC中， ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝90°﹣75°＝15°； （2）△ADF是等边三角形．理由如下： ∵FM垂直平分DC， ∴DF＝CF． ∵∠C＝30°， ∴∠FDC＝∠C＝30°， ∴∠AFD＝∠C+∠FDC＝60°． ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAF＝90°﹣∠C＝60°， ∴∠AFD＝∠DAF＝∠ADF＝60°， ∴△ADF是等边三角形． （3） ∵FM垂直平分DC， ∴∠FMC＝90°． ∵∠C＝30°，FM＝2， ∴FC＝2FM＝4．又DF＝FC， ∴DF＝4． ∵△ADF是等边三角形， ∴AF＝DF＝4， ∴AC＝AF+CF＝4+4＝8．又 ∵AB＝AC， ∴AB＝8． （来源：2026春•揭东区期末） 19．（6分）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”．【概念理解】如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）． （1）∠ABO的度数为 ，△AOB （填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数． 【答案】30°，不是 【解答】解： （1） ∵AB⊥OM， ∴∠OAB＝90°， ∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°， ∴∠OAB＝3∠ABO， ∴△AOB不是“和谐三角形”；故答案为：30°，不是； （2） ∵∠ACB是△AOC的一个外角， ∴∠ACB＝∠O+∠OAC，又∠O＝60°，∠ACB＝84° ∴∠OAC＝24°，∠ACO＝180°﹣84°＝96°， ∴∠ACO＝4∠OAC， ∴△AOC是“和谐三角形”； （3） ∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°， ∴∠EFC＝∠ADC， ∴AD∥EF， ∴∠DEF＝∠ADE，而∠DEF＝∠B， ∴∠B＝∠ADE， ∵DE∥BC， ∴∠CDE＝∠BCD， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠B＝∠BCD， ∵△BCD是“和谐三角形”， ∴∠BDC＝4∠B或者∠B＝4∠BDC ∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180° ∴∠B＝30°或者∠B＝80°． （来源：2026春•温江区期末） 20．（6分）如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）求∠PAQ的度数． （2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长． 【答案】见解析 【解答】解： （1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z， ∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴AP＝PB，AQ＝CQ， ∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y， ∵∠BAC＝80°， ∴∠B+∠C＝100°，即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°， ∴x＝20°， ∴∠PAQ＝20°； （2） ∵△APQ周长为12， ∴AQ+PQ+AP＝12， ∵AQ＝CQ，AP＝PB， ∴CQ+PQ+PB＝12，即CQ+BQ+2PQ＝12，BC+2PQ＝12， ∵BC＝8， ∴PQ＝2． （来源：2026春•高新区期末） 21．（6分）已知：如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'． （2）求△A'B'C'的面积． 【答案】见解析 【解答】解： （1）△A'B'C'即为所求； （2）△A'B'C'的面积＝4×4-×2×2-×2×4-×2×4＝16﹣2﹣4﹣4＝6． （来源：2026春•七里河区期末） 22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F． （1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数； （2）求证：FB＝FE． 【答案】见解析 【解答】（1）解： ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∵∠C＝36°， ∴∠ABC＝36°， ∵BD＝CD，AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°． （2）证明： ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE=∠ABC， ∵EF∥BC， ∴∠FEB＝∠CBE， ∴∠FBE＝∠FEB， ∴FB＝FE． （来源：2026春•渠县校级期末） 23．（8分）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE． （1）求证：△ABE≌△BCD； （2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由； 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵AB∥CD， ∴∠ABE+∠C＝180°， ∵∠C＝90°， ∴∠ABE＝90°＝∠C， ∵E是BC的中点， ∴BC＝2BE， ∵BC＝2CD， ∴BE＝CD，在△ABE和△BCD中，， ∴△ABE≌△BCD（SAS）； （2）解：AE＝BD，AE⊥BD，理由如下：由（1）得：△ABE≌△BCD， ∴AE＝BD， ∵∠BAE＝∠CBD，∠ABF+∠CBD＝90°， ∴∠ABF+∠BAE＝90°， ∴∠AFB＝90°， ∴AE⊥BD． （来源：2026•香河县模拟） 24．（8分）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． （1）如图1，若∠AOB＝72°，则∠BOC＝ °； （2）折叠长方形纸片，BC，BD均为折痕，折叠后，点A落在点A′，点E落在点E′．①如图2，当点E′在BA′上时，求证：∠CBD＝90°；②如图3，若∠A′BE′＝40°，求∠CBD的度数；③如图4，若∠ACB＝35°，∠A′BE′＝n°，直接写出∠DBE的度数（用含n的式子表示）． 【答案】36 【解答】解： （1）由折叠的性质可得OC平分∠AOB， ∴∠BOC=∠AOB=36°，故答案为：36； （2）①由折叠的性质可得∠ABC＝∠A′BC，∠EBD＝∠E′BD， ∵∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD＝180°， ∴2（∠A′BC+∠E′BD）＝180°， ∴∠A′BC+∠E′BD＝90°， ∴∠CBD＝90°；②由折叠的性质可得∠ABC＝∠A′BC，∠EBD＝∠E′BD， ∵∠ABC+∠A′BC+∠A′BE′+∠EBD+∠E′BD＝180°， ∵∠A′BE′＝40°， ∴∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD＝180°﹣∠A′BE′＝140°， ∴2（∠A′BC+∠E′BD）＝140°， ∴∠A′BC+∠E′BD＝70°， ∴∠CBD＝∠A′BC+∠A′BE′+∠E′BD＝110°；③ ∵∠ACB＝35°， ∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝55°，由折叠的性质可得∠ABC＝∠A′BC＝55°，∠EBD＝∠E′BD， ∵∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD﹣∠A′BE′＝180°，∠A′BE′＝n°， ∴2∠DBE＝180°+∠A′BE′﹣∠ABC﹣∠A′BC＝70°+n°， ∴∠DBE=(35+n)°． （来源：2026春•乐平市期末） 25．（10分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts． （1）如图①，当t＝ 时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； （2）如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度． 【答案】或 【解答】解： （1）①当点P在BC上时，如图①﹣1，若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP=BC=cm，此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+=，移动的时间为：÷3=秒，②当点P在BA上时，如图①﹣2若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD=AB，即点P为BA中点，此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+=cm，移动的时间为：÷3=秒，故答案为：或； （2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；①当点P在AC上，如图②﹣1所示：此时，AP＝4，AQ＝5， ∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）=cm/s，②当点P在AB上，如图②﹣2所示：此时，AP＝4，AQ＝5，即点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm， ∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）=cm/s，综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，点Q的运动速度为cm/s或cm/s． （来源：2025秋•船营区校级期中） 26．（10分）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE CF；EF |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 【答案】见解析 【解答】解： （1）① ∵∠BCA＝90°，∠α＝90°， ∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°， ∴∠CBE＝∠ACF，在△BCE和△CAF中，， ∴△BCE≌△CAF（AAS）， ∴BE＝CF；EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|．②所填的条件是：∠α+∠BCA＝180°．证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣∠α． ∵∠BCA＝180°﹣∠α， ∴∠CBE+∠BCE＝∠BCA．又 ∵∠ACF+∠BCE＝∠BCA， ∴∠CBE＝∠ACF，又 ∵BC＝CA，∠BEC＝∠CFA， ∴△BCE≌△CAF（AAS） ∴BE＝CF，CE＝AF，又 ∵EF＝CF﹣CE， ∴EF＝|BE﹣AF|． （2）猜想：EF＝BE+AF．证明过程： ∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF＝180°， ∴∠BCE＝∠CAF，又 ∵BC＝CA， ∴△BCE≌△CAF（AAS）． ∴BE＝CF，EC＝FA， ∴EF＝EC+CF＝BE+AF． （来源：2025秋•冷水江市期末） 27．（10分）如图：在∠EAF的平分线上取点B作BC⊥AF于点C，在直线AC上取一动点P．在直线AE上取点Q使得BQ＝BP． （1）如图1，当点P在点线段AC上时，∠BQA+∠BPA＝ °； （2）如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，说明理由； （3）在满足（1）的结论条件下，当点P运动到在射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条线段之间的数量关系为： ． 【答案】180 【解答】解： （1）作BM⊥AE于点M， ∵AB平方∠EAF，BC⊥AF， ∴BM＝BC，在Rt△BMQ和Rt△BPC中，， ∴Rt△BMQ≌Rt△BPC（HL）， ∴∠BQA＝∠BPC，又 ∵∠BPC+∠BPA＝180°， ∴∠BQA+∠BPA＝180°，故答案为：180； （2）AQ﹣AP＝2AC，理由如下，作BM⊥AE于点M， ∵AB平方∠EAF，BC⊥AF， ∴BM＝BC，∠BMA＝∠BCA＝90°，在Rt△ABM和Rt△ABC中，， ∴Rt△ABM≌Rt△ABC（HL）， ∴∠ABM＝∠ABC，AM＝AC，在Rt△BMQ和Rt△BCP中，， ∴Rt△BMQ≌Rt△BCP（HL）， ∴PC＝QM， ∴AQ﹣AP＝（AM+QM）﹣（PC﹣AC）＝AM+AC＝2AC； （3）当点P在线段AC上时，如图，AQ﹣AP＝2PC，作BM⊥AE于点M， ∵BC⊥AF， ∴，∠BMA＝∠BCA＝90°， ∵∠BQA+∠BPA＝180°，∠BPC+∠BPA＝180°， ∴∠BPC＝∠BQM，在△QBM和△PBC中，， ∴△QBM≌△PBC（AAS）， ∴∠QBC＝∠PBC，QM＝PC，BM＝BC，在Rt△ABM和Rt△ABC中，， ∴Rt△ABM≌Rt△ABC（HL）， ∴AM＝AC， ∴AQ﹣AP＝AM+QM﹣（AC﹣PC）＝QM+PC＝2PC；当P在线段AC的延长线上，如图，AP﹣AQ＝2PC，作BM⊥AE于点M， ∵BC⊥AF， ∴∠BMA＝∠BCA＝90°， ∵∠BQA+∠BPA＝180°，∠BQM+∠BQA＝180°， ∴∠BPC＝∠BQM，在△QBM和△PBC中，， ∴△QBM≌△PBC（AAS）， ∴∠QBC＝∠PBC，QM＝PC，BM＝BC，在Rt△ABM和Rt△ABC中，， ∴Rt△ABM≌Rt△ABC（HL）， ∴AM＝AC， ∴AP﹣AQ＝AC+CP﹣（AM﹣QM）＝MQ+PC＝2PC．故答案为：AQ﹣AP＝2PC或AP﹣AQ＝2PC． （来源：2026秋•单元） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $