13 数学活动 搭等边三角形与多边形的三角剖分&第十三章章末复习（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材 贵州专版）

数学活动搭等边三角形与多 活动1搭等边三角形 情境引入：如图，用3根相同的火柴棒搭一个 三角形： 动手操作1：你能用5根相同的火柴棒搭出两 个三角形吗？先用火柴棒摆一摆，再画出来 延伸问：在动手操作1的基础上，再增加1根相 同的火柴棒，你能否拼出四个三角形？怎样 拼？（画出简图，可以考虑立体图形） 动手操作2：如图，移动哪两根火柴棒可以组成 四个三角形？先用火柴棒摆一摆，再把结果画 出来. 【变式题】如图，你能移动四根火柴棒组成三个 三角形吗？试试看. 边形的三角剖分【落实课标】 活动2多边形的三角剖分 数学抽象：多边形上或内部的一点与多边形各 顶点的连线，可以将多边形分割成若干个小三 角形.如图①，给出了四边形的三种具体分割 方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个 小三角形，这样我们就可以借助研究三角形的 经验研究四边形了. 图① (1)请按照上述三种方法分别将如图②所示的 六边形进行分割，并写出每种方法所得到 的小三角形的个数： 图② 第1个图被分割成 个小三角形； 第2个图被分割成 个小三角形； 第3个图被分割成 个小三角形 (2)如果按照上述三种分割方法分别分割n边 形，请写出每种方法所得到的小三角形的 个数.（用含n的代数式写出结论即可，不 必画图) 第十三章三角形13 第十三章 章末复习 思维导图 ··构建知识体系 三角形的概念和分类 与三角形有 三边关系一三角形两边的和 第三边；三角形两边的差 第三边 麀 关的线段 中线、角平分线、高一定义、画法 三角形的内角和等于 ;直角三角形的两个锐角 三角形的内 三角形的内角 有两个角 的三角形是直角三角形 角与外角 三角形的外角 三角形的外角等于与它 的两个内角的和 【考点整合 ◆◆◆直击核心要点 考点1三角形的三边关系 考点2 三角形的稳定性 1.(2026·遵义一模)在下面的四个盒子中，每 4.下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定 个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒 性的是 用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段 小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成 个三角形的是 A.太阳能热水器 B.篮球架 哭 A B C D 2.一个三边都不相等的三角形的两边长分别 为6和10，且第三边长为偶数，符合条件的 C.三脚架 D.活动衣架 三角形有 ( 5.如图，自行车的主框架采用了 A.2个 B.3个C.4个 D.5个 三角形结构，这样设计的依据 3.(2025一2026·遵义期中)已知a,b,c是 是三角形具有 △ABC的三边长，a=4,b=7. 考点3三角形的三条重要线段 (1)求c的取值范围； 6.如图，AD,BE,CF分别是△ABC的中线、高 (2)若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长， 和角平分线，∠ABC=90°，CF交AD于点 G,交BE于点H,则下列结论一定正确的 是 A.∠ABE=∠FCB B.∠GAC=∠GCA C.FG=GC D.∠BFC=∠BHF 7.(2025一2026·遵义期末)如图，用一根细绳 将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架 上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角 14数学Ⅱ八年级上册 形上的悬挂点应是 A.三角形三条中线的交点 B.三角形三条内角平分线的交点 C.三角形三条高线的交点 D.三角形三边垂直平分线的交点 B D (第7题图) (第8题图) 8.(2025一2026·黔东南期中)如图，AD,BE 分别是△ABC,△ABD的中线，EF⊥BC,垂 足为F.若S△ABC=12,BD=3,则EF的长为 A.3.2B.3 C.2.5D.2 9.如图，△ABC的边BC上的高为AF,中线为 AD,AC边上的高为BG.已知AF=6,BC= 10,BG=5. (1)求△ABC的面积； (2)求AC的长； (3)△ABD和△ACD的面积有何关系？ 考点4三角形的内角与外角 10.如图是一块三角形木板的残余 部分，量得∠A=100°，∠B= 40°，则这块三角形木板另外 一个角∠C的度数为 A.30°B.40°C.50° D.60° 11.(2025一2026·黔西南期末)如图，∠1和 ∠2是△ABC的两个外角.若∠BAC= 39°，则∠1+∠2的度数为 () A.118°B.219°C.198 D.188° 2 B C (第11题图) (第12题图) 12.(2026·凉山中考)如图，AD∥CB,CA⊥BA. 若∠C=30°，则∠DAB的度数为 ( ) A.40°B.60° C.70° D.150 13.如图，图中三角形的个数为；以∠ADE 为外角的三角形是 ;在△ADC 中，边AD的对角是 ;在△ADE中， ∠ADE的对边是 (第13题图) (第14题图) 14.如图，在△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB= 80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的 平分线，则∠AEB的度数是 15.如图，在△ABC中，点E,F分别在AB,AC 边上，点M,N在BC边上，连接EN,FM 交于点D,∠1+∠2=180°，∠3=∠C,连 接EF (1)求证：EF∥BC; (2)若∠2=110°，∠DMN=35°，求∠C的 度数. KD 第十三章三角形15 【聚焦课标 。·强化情境任务 16.综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心.重心是个物理名词.从效果 上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心.如图①中，如果 取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平、 平衡状态， 图① 图② 【提出问题】 问题1：探究图①中，△AOE,△BOE,△AOF,△COF,△BOD,△COD这6个小三角形的面 积关系？ 问题2：探究图①中的AO:DO,BO:FO,CO:EO的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们跟随老师的思 路，逐步解决以上提出的问题， 【解决问题】 (1)AD是△ABC的中线，△ABD与△ACD等底同高，可以得到它们面积的大小关系为： S△ABD S△ACD(填“>”“<”或“=”)： (2)在△ABC中，由于点D是BC边的中点，那么△ACD的面积是△ABC的面积的2，同理 △BCF的面积是△ABC的面积的，这样△ACD的面积与△BCF的面积相等，减去公共 部分可得△BOD的面积与 的面积相等，同样可得△COD的面积与△AOE的面积相 等，从而可得△AOE,△BOE,△AOF,△COF,△BOD,△COD这6个小三角形的面积相等； (3)由△AOB的面积是△BOD的面积的2倍，可得AO:DO= ,同理可得BO：FO= CO:EO= 【拓展应用】 (4)如图②，在△ABC中，点F是△ABC的重心，连接BF,CF并延长分别交AC,AB于点E, D.若BE⊥CD,CD=21,BE=9,直接利用上面的结论，求四边形ADFE的面积. 提示 清完成阶段微测试（一）[第十三章] 16数学Ⅱ八年级上册=110°.∠BAE=28°，∠CDE=12°，∴.∠DAE+∠ADE=(∠DAB+∠ADC)-∠BAE ∠CDE=70°..∠AED=180°-（∠DAE+∠ADE)=110°.4.解：(1）∠E∠D (2)∠A180(3):∠AFG是△CEF的一个外角，∠AGF是△BDG的一个外角， ∴.∠AFG=∠C+∠E,∠AGF=∠B+∠D.在△AFG中，∠A+∠AFG+∠AGF=180°， ∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°.即∠A十∠B+∠C+∠D+∠E=180°.【变式题】 解：连接EF.由题意，得∠BOF=∠B十∠C=∠EFO十∠FEO=120°，∠A十∠D=∠DFE+ ∠AEF.·∠A+∠D+∠CFD+∠AEB=∠DFE+∠AEF+∠CFD+∠AEB=∠EFO+ ∠FEO=120°.∴.∠A十∠B+∠C+∠D+∠AEB+∠CFD=240. 数学活动搭等边三角形与多边形的三角剖分【落实课标】 活动1 动手操作1：解：如图所示 延伸问：解：先把3根火柴棒拼成一个等边三角 形，再把剩下的3根火柴棒与原来的3根火柴棒组合成三棱锥，如图所示， 三棱 锥有四个面，每个面都是一样大小的三角形.动手操作2：解：如图所示 移动 最上面两根火柴棒即可.【变式题】解：如图所示 活动2 解：(1)如图所示 456(2)按照上述三种方法，n边 形分别可以被分割成n一2，n一1，n个三角形. 第十三章章末复习 思维导图 大于小于180°互余互余不相邻 考点整合 1.C2.B3.解：(1)：a,b,c是△ABC的三边长，a=4,b=7,.b-a<c<b十a,即7-4< c<7十4..3<c<11.(2),a=4,b=7,a≠h.c必须与a或b相等，当c=a=4时，满足 3<c<11,即此时能构成三角形，此时△ABC的周长为4十4十7=15.当c=b=7时，满足 3<c<11,即此时能构成三角形，此时△ABC的周长为4十7+7=18.综上所述，△ABC的 周长是15或18.4.D5.稳定性6.D7.A8.D9.解：(1)S△c=7BC·AF 2X10X6=30.(2):Sax=AC,BG.AC=2=2X30-12(3):AD为 BG 5 △ABC的中线，.S△ABD=SAACD.10.B1L.B12.B13.6△ABD∠CAE 14.100°15.(1)证明：：∠1十∠2=180°，∠2=∠FDN,∴∠1十∠FDN=180°，.CF∥ NE,∴∠C=∠ENB.又：∠3=∠C,∴∠3=∠ENB,∴.EF∥BC.(2)解：'∠2为△DMN 的外角，∴.∠DNM=∠2-∠DMN=110°-35°=75.：CF∥NE,∴∠C=∠DNM=75°. 聚焦课标 16.解：(1)=(2)△AOF(3)2:12:1(4)由条件可知BF:EF=CF：DF=2:1, ∴BF=号BE=6,DF=号CD=7.:BE⊥CD∴△BFD的面积为之BF·DF=号X6X 7=21.∴.四边形ADFE的面积=2S△FD=2×21=42. 64 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 新知梳理 ①全等形全等三角形②对应顶点对应边对应角③相等相等 例题引路 【例I】解：(1)：△EFG≌△NMH,·边FG的对应边是MH,∠EGF的对应角是∠NHM, (2)△EFG≌△NMH,.MN=EF=2.1cm,FG=MH=3.3cm.FH=1.1cm, :'HG=FG-FH=2.2 cm. 易错典例 【例219或6 基础过关 1.C2.C3.C4.≌∠A'∠A'B'C'∠CAB与A'B',BC与B'C',AC与A'C 5.A6.C7.358.解：(1)△ABE≌△ACD,.BE=CD=6.DE=2,.CE=CD DE=4..BC=BE十CE=10.(2)△ABE≌△ACD,.∠ADE=∠AED.∠DAE=20°， ∴∠AED=2180°-∠DA=80: 能力提升 9.B10.B11.65°12.解：△ABC≌△ADE,.∠BAC=∠DAE=（∠EAB ∠CAD)=之X(120°-10)=55.：∠DFB是△FAB的外角，∠DFB=∠FAB+∠B= ∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°.：∠DFB是△GDF的外角，∴∠DGB= ∠DFB-∠D=90°-25°=65. 思维拓展 13.解：(1)BD=DE十CE.理由如下：'△BAD≌△ACE,∴.BD=AE,AD=CE..BD= AE=AD十DE=CE+DE,即BD=DE+CE.(2)△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥CE.理 由如下：：BD∥CE,∴∠E=∠BDE.△BAD≌△ACE,∠ADB=∠E.∴∠ADB= ∠BDE.:∠ADB+∠BDE=180°，即2∠ADB=180°，∴∠ADB=90. 14.2三角形全等的判定 第1课时用“SAS”判定三角形全等 新知梳理 ①全等边角边SAS②不一定 例题引路 【例1】证明：：∠1=∠2，∴∠1十∠EBC=∠2+∠EBC,即∠ABC=∠EBD.在△ABC和 BA=BE, △EBD中，J∠ABC=∠EBD,.△ABC≌△EBD(SAS).【例2】证明：在△AOD和 BC=BD, AO-CO, △COB中， ∠AOD=∠COB,∴.△AOD≌△COB(SAS),∴∠D=∠B. OD=OB, 基础过关 AC=AD 1.B2.∠FCA=∠EBD3.证明：在△ABC和△ABD中，∠CAB=∠DAB,∴.△ABC≌ AB-AB. △ABD(SAS)..BC=BD.4.(1)证明：.AC∥DF,.∠ACB=∠F.BE=CF,∴.BE (AC=DF, CE=CF+CE,即BC=EF.在△ABC和△DEF中，∠ACB=∠F,∴.△ABC≌△DEF(SAS) BC=EF, 65 (2)解：由(1)，得△ABC≌△DEF,∴.∠DEF=∠B.∠B=50°，∴∠DEF=50.:∠F= 72°，∴.∠D=180°-∠DEF-∠F=58°.：AC∥DF,∴.∠EGC=∠D=58°.5.B 能力提升 6.B7.C8.解：(1)一(2)BD=CE,AB=AC,.AB-BD=AC-CE,.AD=AE.在 AB=AC, △ABE和△ACD中，J ∠A=∠A,.∴.△ABE≌△ACD(SAS),.∠B=∠C. AE=AD, 思维拓展 9.解：(1)BD=CE,BD⊥CE.(2)BD=CE,BD⊥CE.理由如下：：∠BAC=∠DAE=90°， ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中， AB=AC, ∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE(SAS).·∠ABD=∠ACE,BD=CE.延长BD交 AD=AE, AC于点F,交CE于点H.在△ABF和△HCF中，：∠ABF=∠HCF,∠AFB=∠HFC, .由三角形内角和定理易得∠CHF=∠BAF=90°..BD⊥CE. 第2课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 新知梳理 ①夹边角边角ASA②对边角角边AAS 例题引路 【例1】证明：：MQ⊥PN,∴.∠MQP=∠MQN=90°，∴.∠PMQ+∠P=90°.：NR⊥MP, ∴.∠NRP=90°，∴.∠HNQ+∠P=90°，.∠PMQ=∠HNQ.在△PMQ和△HNQ中， ∠MQP=∠NQH, MQ=NQ, .△PMQ≌△HNQ(ASA),.HN=PM.【例2】证明：.AD∥BC, ∠PMQ=∠HNQ, ∴∠A=∠C.:AE=CF,∴AE十EF=CF十EF,即AF=CE.在△ADF和△CBE中， ∠A=∠C, ∠D=∠B,.△ADF≌△CBE(AAS),∴AD=CB. AF=CE, 基础过关 1.∠AOC ∠BOD ASA2.AO=CO3.证明：在△ABC和△DEC中， ∠A=∠D, AB=DE,.△ABC≌△DEC(ASA).4.B5.46.证明：在△AOC和△BOD中， ∠B=∠E, ∠C=∠D, ∠AOC=∠BOD,.△AOC≌△BOD(AAS). AC=BD· 能力提升 7.D8.39.解：选择①OA=OC.AD∥BC,.∠DAO=∠BCO.在△DAO和△BCO中， ∠DAO=∠BCO, OA=OC, .△DAO≌△BCO(ASA).,.AD=CB.选择②∠ABC=∠CDA. ∠AOD=∠COB, ∠DAC=∠BCA, AD∥BC,∴.∠DAO=∠BCO.在△ADC和△CBA中， ∠CDA=∠ABC,∴.△ADC≌ AC=CA, △CBA(AAS)..AD=CB. 思维拓展 10.(1)解：∠AOB=∠DOC(答案不唯一)(2)证明：：O是AD的中点，∴.AO=OD.在 66