期中复习卷2 2026-2027学年人教版八年级数学上册

人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷2 人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷2 考查范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）将两块三角板按如图方式叠放在一起，以BC为边的三角形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BDE＝∠A，则△BDE为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能 3．（3分）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 4．（3分）将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，∠FEB＝65°，则∠EDB的度数为（　　） A．18° B．15° C．12° D．10° 5．（3分）在5cm、5cm、8cm、8cm、10cm的五根小棒中，任选三根围成一个等腰三角形，有（　　）种不同的围法． A．2 B．3 C．4 D．5 6．（3分）如图，△ABC的中线AD、角平分线BE交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．AO是△ABE的角平分线 B．ED是△EBC的角平分线 C．DE是△ADC的中线 D．BO是△ABD的角平分线 7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B﹣∠A＝10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中有两个角相等，则∠ACD的度数为（　　） A．15°或20° B．20°或30° C．15°或30° D．15°或25° 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点F，交AC于点E，分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点G，作射线AG交BC于点D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（　　） A． B．1 C． D．2 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如图，3×3方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有　　　　 个． 10．（3分）如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，AB＝7，BD＝11，顶点A、B、C分别与顶点C、D、E分别对应，则DE＝ 　　　　 ． 11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，MN经过点O，且MN∥BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是　　　　 ． 12．（3分）如图，已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G，若∠ADF＝80°，则∠GEC的度数为 　　　　 ． 13．（3分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（2，5），P为第一象限内的整点．若连接不共线的A，B，P三点构成轴对称图形，则点P的坐标为　　　　 ．（写出一个即可），在网格图中符合要求的点P的个数为　　　　 ． 14．（3分）如图在⊙O中，弦AD、BC交于点P，AB＝2，CD=3，∠APB＝30°，求圆的半径　　　　 ． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABE＝∠EBC，AE⊥BE，垂足为E，F是AC的中点，BC＝7，AB＝4，则EF＝ 　　　　 ． 16．（3分）如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动　　　　 秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D．连接DE． （1）若△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，求AB的长． （2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数． 18．（6分）如图，台球运动中母球P击中桌边上的点A，经桌边反弹后击中相邻桌边上的点B，再次反弹后击中球C．（提示：∠1＝∠2，∠3＝∠4） （1）若∠1＝32°，求∠PAB的度数； （2）已知∠2+∠3＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由． 19．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为42cm，AC＝16cm，求DC的长． 20．（6分）已知关于x，y的方程组． （1）求这个方程组的解（用含a的式子表示x和y）； （2）当a取何整数值时，这个方程组的解满足x小于3且y不大于﹣2； （3）若以x，y，a的长恰好可以围成一个三角形，求a的取值范围． 21．（6分）如图，正方形网格中，每个小网格的边长是1，△ABC是格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）． （1）请作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1； （2）求出△ABC的面积； （3）试在直线l上找一点P，使PA+PB最小（不写作图过程，保留作图痕迹）． 22．（6分）如图，在△ABC中，D是AB边上的动点，过点D作DF⊥AC交AC于点E，交BC的延长线于点F． （1）若∠A＝25°，∠B＝40°，求∠F的度数； （2）在D点运动的过程中，探究∠A+∠B+∠F是否为定值，如果是求出定值并证明；如果不是定值，请说明理由． 23．（8分）已知在△ABC中，AB＝AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点，已知∠ABC＝∠ADB＝20°（1）当射线BM在∠ABC内，如图①所示，求∠BDC的度数． （2）当射线BM在BC下方，如图②所示，请问∠BDC的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出∠BDC的度数． 24．（8分）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在△ABC中，如果∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC为“友爱三角形”． （1）如图1，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），∠ACB＝90°．①求∠A、∠B的度数．②若CD是△ABC中AB边上的高，则△ACD、△BCD都是“友爱三角形”吗？为什么？（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠A＝66°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），连接CD，若△ACD是“友爱三角形”，直接写出∠ACD的度数． 25．（10分）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM 交AB于点E，PN交CD于点F． （1）当△PMN在如图1所示的位置时，求出∠PFD与∠AEM的数量关系． （2）当△PMN在如图2所示的位置时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°， （3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝20°，∠PEB＝30°，求∠N的度数． 26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作P1，P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作P2．例如，点P（﹣2，5）的一次反射点为P1（2，5），二次反射点为P2（5，2）．根据定义，回答下列问题： （1）点（4，3）的一次反射点为　　　　 ，二次反射点为　　　　 ； （2）若点A在第二象限，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，OA1＝OA2，∠A1OA2＝60°，求射线OA与x轴所夹锐角的度数； （3）若点A在y轴左侧，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，△AA1A2是等腰直角三角形，请直接写出点A在平面直角坐标系xOy中的位置． 27．（10分）【初步探索】 （1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　　　　 ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷2 人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷2 考查范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称 参考答案与解析 1．（3分）将两块三角板按如图方式叠放在一起，以BC为边的三角形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：以BC为边的三角形有△ABC、△EBC、△DBC共3个，故选：C． （来源：2025秋•龙湖区校级期中） 2．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BDE＝∠A，则△BDE为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能 【答案】B 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠BDE＝∠A， ∴∠BDE+∠B＝90°， ∴∠DEB＝180°﹣（∠BDE+∠B）＝90°， ∴△BDE为直角三角形．故选：B． （来源：2026春•同步） 3．（3分）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 【答案】B 【解答】解：根据基本作图可判断图1中AD为∠BAC的平分线，图2中AD为BC边上的中线，图3中AD为∠BAC的平分线．故选：B． （来源：2026•招远市模拟） 4．（3分）将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，∠FEB＝65°，则∠EDB的度数为（　　） A．18° B．15° C．12° D．10° 【答案】D 【解答】解：由三角板的性质可得∠FED＝45°，∠ABC＝30°， ∵∠FEB＝65°， ∴∠DEB＝∠FEB﹣∠FED＝65°﹣45°＝20°， ∵∠ABC是△DEB的外角， ∴∠ABC＝∠DEB+∠EDB， ∴30°＝20°+∠EDB， ∴∠EDB＝10°，故选：D． （来源：2026春•麦积区期末） 5．（3分）在5cm、5cm、8cm、8cm、10cm的五根小棒中，任选三根围成一个等腰三角形，有（　　）种不同的围法． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：由等腰三角形的判定，三角形三边关系定理，可得围成的等腰三角形有三种：第一种选法：5cm、5cm、8cm；第二种选法：5cm、8cm、8cm；第三种选法：8cm、8cm、10cm．故选：B． （来源：2026春•青山区校级月考） 6．（3分）如图，△ABC的中线AD、角平分线BE交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．AO是△ABE的角平分线 B．ED是△EBC的角平分线 C．DE是△ADC的中线 D．BO是△ABD的角平分线 【答案】D 【解答】解： ∵△ABC的中线AD、角平分线BE相交于点O， ∴BD＝CD，∠ABE＝∠CBE，在△ABD中，∠ABO＝∠DBO， ∴BO是△ABD的角平分线，故选：D． （来源：2026春•浚县月考） 7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B﹣∠A＝10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中有两个角相等，则∠ACD的度数为（　　） A．15°或20° B．20°或30° C．15°或30° D．15°或25° 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠B+∠A＝90°， ∵∠B﹣∠A＝10°， ∴∠A＝40°，∠B＝50°，设∠ACD＝x°，则∠CDF＝（40+x）°，∠ADC＝180°﹣40°﹣x°＝（140﹣x）°，由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，当∠DFE＝∠E＝40°时， ∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°， ∴∠FDE＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴140﹣x＝100+40+x，解得x＝0（不存在）；当∠FDE＝∠E＝40°时， ∴140﹣x＝40+40+x，解得x＝30，即∠ACD＝30°；当∠DFE＝∠FDE时， ∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°， ∴∠FDE==70°， ∴140﹣x＝70+40+x，解得x＝15，即∠ACD＝15°，综上，∠ACD＝15°或30°，故选：C． （来源：2026春•淮安期中） 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点F，交AC于点E，分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点G，作射线AG交BC于点D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解答】解： ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB==5，过D作DH⊥AB于H， ∵AD平分∠CAB， ∴CD＝DH，∠CAD＝∠HAD，在Rt△ACD与Rt△AHD中，， ∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL）， ∴AH＝AC＝3， ∴BH＝AB﹣AH＝2， ∵BH2+DH2＝BD2， ∴22+CD2＝（4﹣CD）2， ∴CD=．方法二： ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB==5，过D作DH⊥AB于H， ∵AD平分∠CAB， ∴CD＝DH，∠CAD＝∠HAD，在Rt△ACD与Rt△AHD中，， ∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL）， ∴AH＝AC＝3， ∴BH＝AB﹣AH＝2，在Rt△BDH中，tanB==，在Rt△ABC中， ∵tanB==， ∴=， ∴DH=， ∴CD=DH=， ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB==5，过D作DH⊥AB于H， ∵AD平分∠CAB， ∴CD＝DH，S△ABC=AC⋅BC=S△ACD+S△ABD=AC⋅CD+AB⋅DH， ∴AC•BC＝AC•CD+AB•DH，设CD＝DH＝x， ∴3×4＝3x+5x， ∴x=，故选：C． （来源：2026春•兴庆区校级期中） 9．（3分）如图，3×3方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有 个． 【答案】3 【解答】解：将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形为：故答案为：3． （来源：2026春•姑苏区校级期中） 10．（3分）如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，AB＝7，BD＝11，顶点A、B、C分别与顶点C、D、E分别对应，则DE＝ ． 【答案】4 【解答】解： ∵△ABC≌△CDE，顶点A、B、C分别与顶点C、D、E分别对应， ∴AB＝CD＝7，BC＝DE， ∵点B、C、D在同一直线上，BD＝11， ∴BC＝BD﹣CD＝11﹣7＝4， ∴DE＝4，故答案为：4． （来源：2025春•闵行区校级期中） 11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，MN经过点O，且MN∥BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是 ． 【答案】15 【解答】解： ∵在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB， ∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC， ∴BM＝OM，CN＝ON， ∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝9+6＝15．故答案为：15． （来源：2026春•同步） 12．（3分）如图，已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G，若∠ADF＝80°，则∠GEC的度数为 ． 【答案】40° 【解答】解： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，由翻折可得∠B′＝∠B＝60°， ∴∠A＝∠B′＝60°， ∵∠AFD＝∠GFB′， ∴△ADF∽△B′GF， ∴∠ADF＝∠B′GF， ∵∠EGC＝∠FGB′， ∴∠EGC＝∠ADF＝80°， ∴∠CEG＝180°﹣∠C﹣∠CGE＝180°﹣60°﹣80°＝40°．故答案为：40° （来源：2026春•龙泉驿区校级期中） 13．（3分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（2，5），P为第一象限内的整点．若连接不共线的A，B，P三点构成轴对称图形，则点P的坐标为 ．（写出一个即可），在网格图中符合要求的点P的个数为 ． 【答案】（4，1）（答案不唯一），6 【解答】解：满足条件的点C有6个，C可以是（4，1）（答案不唯一）．故答案为：（4，1）（答案不唯一），6． （来源：2025秋•中牟县期中） 14．（3分）如图在⊙O中，弦AD、BC交于点P，AB＝2，CD=3，∠APB＝30°，求圆的半径 ． 【答案】7 【解答】解：过A作弦AE∥BC，过E作EH⊥DC，交DC的延长线于H，连接DE，OE，OD， ∴∠DAE＝∠APB＝30°，EC=AB， ∴EC＝AB＝2， ∵四边AECD是圆内接四边形， ∴∠DAE+∠DCE＝180°， ∵∠ECH+∠DCE＝180°， ∴∠ECH＝∠DAE＝30°， ∵∠CHE＝90°， ∴EH=CE＝1， ∴CH=EH=， ∴DH＝CH+CD=+3=4，由勾股定理得到：DE==7， ∵∠DOE＝2∠DAE＝60°，OE＝OD， ∴△ODE是等边三角形， ∴OD＝DE＝7， ∴圆的半径长为7．故答案为：7． （来源：2026•宁波模拟） 15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABE＝∠EBC，AE⊥BE，垂足为E，F是AC的中点，BC＝7，AB＝4，则EF＝ ． 【答案】1.5 【解答】解：延长AE交BC于点H，如图所示： ∵AE⊥BE，垂足为E， ∴∠BEH＝∠BEA＝90°，在△ABE和△HBE中，， ∴△ABE≌△HBE（SAS）， ∴BH＝AB＝4，EH＝EA， ∵BC＝7， ∴CH＝BC﹣BH＝7﹣4＝3， ∵EH＝EA，点F是AC的中点， ∴EF是△AHC的中位线， ∴EF=CH＝1.5．故答案为：1.5． （来源：2026春•沁水县期末） 16．（3分）如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动 秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等． 【答案】0或4或8或12 【解答】解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等， ∵AC＝2， ∴BP＝2， ∴CP＝6﹣2＝4， ∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）；②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB与△NBP全等，这时BC＝PB＝6，CP＝0，因此时间为0秒；③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等， ∵AC＝2， ∴BP＝2， ∴CP＝2+6＝8， ∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）；④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB与△NBP全等， ∵BC＝6， ∴BP＝6， ∴CP＝6+6＝12，点P的运动时间为12÷1＝12（秒），故答案为：0或4或8或12． （来源：2026春•徐汇区期末） 17．（6分）如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D．连接DE． （1）若△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，求AB的长． （2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵BD是线段AE的垂直平分线， ∴AB＝BE，AD＝DE， ∵△ABC的周长为19，△DEC的周长为7， ∴AB+BE+CE+CD+AD＝19，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝7， ∴AB+BE＝19﹣7＝12， ∴AB＝BE＝6； （2） ∵∠ABC＝30°，∠C＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，在△BAD和△BED中，， ∴△BAD≌△BED（SSS）， ∴∠BED＝∠BAC＝105°， ∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°． （来源：2026春•金凤区校级期中） 18．（6分）如图，台球运动中母球P击中桌边上的点A，经桌边反弹后击中相邻桌边上的点B，再次反弹后击中球C．（提示：∠1＝∠2，∠3＝∠4） （1）若∠1＝32°，求∠PAB的度数； （2）已知∠2+∠3＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵∠1＝∠2＝32°，∠1+∠PAB+∠2＝180°， ∴∠PAB＝180°﹣32°×2＝116°； （2）PA∥BC，理由： ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2+∠3＝90°，而∠1+∠2+∠PAB＝180°＝∠3+∠4+∠ABC， ∴∠1+∠2+∠PAB+∠3+∠4+∠ABC＝180°×2＝360°， ∴∠PAB+∠ABC＝360°﹣90°×2＝180°， ∴PA∥BC． （来源：2025春•拱墅区校级月考） 19．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为42cm，AC＝16cm，求DC的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵EF垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AB＝AE， ∴AB＝EC； （2）解： ∵△ABC的周长为42cm， ∴AB+BC+AC＝42cm， ∵AC＝16cm， ∴AB+BC＝26cm， ∵AB＝EC，BD＝DE， ∴DC=DE+EC=(AB+BC)=13cm． （来源：2026春•南海区校级期中） 20．（6分）已知关于x，y的方程组． （1）求这个方程组的解（用含a的式子表示x和y）； （2）当a取何整数值时，这个方程组的解满足x小于3且y不大于﹣2； （3）若以x，y，a的长恰好可以围成一个三角形，求a的取值范围． 【答案】见解析 【解答】解： （1），①×3﹣②，得8x＝﹣4a+16，解得x=-a+2③，把③代入①，得3×(-a+2)+y=a+3，解得y=a-3，故方程组的解是； （2）由（1）知，方程组的解是， ∵方程组的解满足x小于3且y不大于﹣2， ∴，解得-2＜a≤， ∵a是整数， ∴a＝﹣1或0； （3） ∵以x，y，a的长恰好可以围成一个三角形， ∴，解得＜a＜4，由三角形三边关系得：， ∴，解得＜a＜，综上所述，＜a＜． （来源：2026•哈尔滨校级开学） 21．（6分）如图，正方形网格中，每个小网格的边长是1，△ABC是格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）． （1）请作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1； （2）求出△ABC的面积； （3）试在直线l上找一点P，使PA+PB最小（不写作图过程，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图，△A1B1C1为所求； （2）S△ABC=3×5---=15﹣2.5﹣1﹣6＝5.5； （3）如图，点P即为所求． （来源：2026春•渠县校级期末） 22．（6分）如图，在△ABC中，D是AB边上的动点，过点D作DF⊥AC交AC于点E，交BC的延长线于点F． （1）若∠A＝25°，∠B＝40°，求∠F的度数； （2）在D点运动的过程中，探究∠A+∠B+∠F是否为定值，如果是求出定值并证明；如果不是定值，请说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵DF⊥AC于点E，交BC的延长线于点F， ∴∠AED＝90°， ∵∠A＝25°，∠B＝40°， ∴∠ADE＝90°﹣∠A＝65°， ∴∠F＝∠ADE﹣∠B＝25°， ∴∠F的度数是25°． （2）∠A+∠B+∠F为定值，证明： ∵DF⊥AC于点E，交BC的延长线于点F， ∴∠AEF＝90°， ∵∠AEF＝∠A+∠ADF，∠ADF＝∠B+∠F， ∴∠AEF＝∠A+∠B+∠F， ∴∠A+∠B+∠F＝90°， ∴∠A+∠B+∠F为定值． （来源：2026春•锦江区校级月考） 23．（8分）已知在△ABC中，AB＝AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点，已知∠ABC＝∠ADB＝20°（1）当射线BM在∠ABC内，如图①所示，求∠BDC的度数． （2）当射线BM在BC下方，如图②所示，请问∠BDC的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出∠BDC的度数． 【答案】见解析 【解答】（1）解：在BD上取一点E，使AE＝AD，如图①所示：在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝20°， ∴∠ACB＝∠ABC＝20°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝140°，在△ADE中，AE＝AD，∠ADB＝20°， ∴∠AED＝∠ADB＝20°， ∴∠BEA＝180°﹣∠AED＝160°，∠EAD＝180°﹣（∠AED+∠ADB）＝140°， ∴∠BAC＝∠EAD＝140°， ∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAD﹣∠CAE，即∠BAE＝∠CAD，在△BAE和△CAD中，， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴∠BEA＝∠CDA＝160°， ∴∠BDC＝∠CDA﹣∠ADB＝160°﹣20°＝140°； （2）解：∠BDC的度数会变化，此时∠BDC＝40°，理由如下：在DB的延长线上取一点E，使AE＝AD，如图②所示：同（1）得：∠E＝∠ADE＝20°，∠EAD＝∠BAC＝140°， ∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，即∠BAE＝∠CAD，在△BAE和△CAD中，， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴∠E＝∠ADC＝20°， ∴∠BDC＝∠ADE+∠ADC＝20°+20°＝40°． （来源：2026秋•单元） 24．（8分）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在△ABC中，如果∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC为“友爱三角形”． （1）如图1，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），∠ACB＝90°．①求∠A、∠B的度数．②若CD是△ABC中AB边上的高，则△ACD、△BCD都是“友爱三角形”吗？为什么？（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠A＝66°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），连接CD，若△ACD是“友爱三角形”，直接写出∠ACD的度数． 【答案】见解析 【解答】解： （1）① ∵△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B）， ∴∠A＝2∠B， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝180°﹣90°＝90°，即2∠B+∠B＝90°，解得∠B＝30°， ∴∠A＝60°；②△ACD、△BCD都是“友爱三角形”，理由： ∵CD是△ABC中AB边上的高， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵∠A＝60°，∠B＝30°， ∴∠ACD＝30°，∠BCD＝60°在△ACD中，∠A＝60°，∠ACD＝30°， ∴∠ACD=∠A， ∴△ACD为“友爱三角形”；在△BCD中，∠BCD＝60°，∠B＝30°， ∴∠B=∠BCD ∴△BCD为“友爱三角形”； （2） ∵△ACD是“友爱三角形”，D是边AB上一点（不与点A，B重合）， ∴∠ACD=∠A或∠ACD=∠ADC，当∠ACD=∠A时，∠ACD=∠A=33°；当∠ACD=∠ADC时， ∴∠A+3∠ACD＝180°，即3∠ACD＝114°， ∴∠ACD＝38°，综上所述，∠ACD的度数为33°或38°． （来源：2026春•南海区期中） 25．（10分）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM 交AB于点E，PN交CD于点F． （1）当△PMN在如图1所示的位置时，求出∠PFD与∠AEM的数量关系． （2）当△PMN在如图2所示的位置时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°， （3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝20°，∠PEB＝30°，求∠N的度数． 【答案】见解析 【解答】解： （1）∠PFD与∠AEM的数量关系为∠PFD+∠AEM＝90°．如图①，过点P作PH∥AB， ∵AB∥CD， ∴PH∥CD， ∴∠PFD＝∠NPH，∠AEM＝∠HPM， ∵∠MPN＝90°， ∴∠NPH+∠HPM＝90° ∴∠PFD+∠AEM＝90°． （2）证明：设PN与AB相交于点G，如图②， ∵AB∥CD， ∴∠PFD＝∠PGB， ∵∠PGB﹣∠PEB＝90°，∠PEM＝∠AEM， ∴∠PFD﹣∠AEM＝90°． （3）如图②， ∵∠PEB＝30°，∠P＝90°， ∴∠PFD＝∠PGB＝∠P+∠PEB＝120°， ∴∠OFN＝∠PFD＝120°， ∵∠DON＝20°，∠OFN+∠DON+∠N＝180°， ∴∠N＝180°﹣∠OFN﹣∠DON＝180°﹣120°﹣20°＝40°． （来源：2026春•新余期末） 26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作P1，P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作P2．例如，点P（﹣2，5）的一次反射点为P1（2，5），二次反射点为P2（5，2）．根据定义，回答下列问题： （1）点（4，3）的一次反射点为 ，二次反射点为 ； （2）若点A在第二象限，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，OA1＝OA2，∠A1OA2＝60°，求射线OA与x轴所夹锐角的度数； （3）若点A在y轴左侧，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，△AA1A2是等腰直角三角形，请直接写出点A在平面直角坐标系xOy中的位置． 【答案】（﹣4，3），（3，﹣4） 【解答】解： （1）根据一次反射点，二次反射点的定义可知：点（4，3）关于y轴的对称点为（﹣4，3），所以一次反射点为（﹣4，3），（﹣4，3）关于直线l的对称点为（3，﹣4），所以二次反射点为（3，﹣4）；故答案为：（﹣4，3），（3，﹣4）； （2）如图1中，当点A靠近y轴在第二象限时，如图所示：点A1，A2关于直线l对称，点A、A1关于y轴对称， ∴∠AOE＝∠A1OE，∠A1OG＝∠A2OG，∠A1OE＝∠A2OF， ∵∠A1OA2＝60°， ∴∠A1OE=∠A2OF==15°， ∴∠AOE＝∠A1OE＝15°， ∴∠AOF＝90°+15°＝105°， ∴射线OA与x轴所夹锐角的度数为180°﹣105°＝75°；同理当点A靠近x轴在第二象限时，射线OA与x轴所夹锐角的度数为15°，综上：射线OA与x轴所夹锐角的度数为15°或75°； （3）设点A（x，y），则A1（﹣x，y），A2（y，﹣x），根据题意分三种情况讨论如下：①当AA1⊥AA2时，x﹣y＝0，即x＝y，且AA1＝AA2，即2|x|=，解得：x＝y，即y＝x（x＜0）上的点均满足，如图所示：②当AA1⊥A1A2时，不存在；③当AA2⊥A1A2时，∠A2AA1＝45°，且AA2＝A1A2，即=|x+y|，解得y＝0，即在x轴的负半轴上，如图所示：综上所述，点A在x轴的负半轴上或直线y＝x（x＜0）上． （来源：2026春•海淀区校级期中） 27．（10分）【初步探索】 （1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【拓展延伸】 （3）已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 【答案】∠BAE+∠FAD＝∠EAF 【解答】解： （1）结论：∠BAE+∠FAD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，在△ABE和△ADG中，， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG， ∵EF＝BE+DF， ∴EF＝DF+DG＝FG，在△AEF和△AGF中，， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠FAD＝∠EAF； （2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG， ∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°， ∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，在△AEF和△AGF中，， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF； （3）结论：∠EAF＝180°-∠DAB．理由：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°， ∴∠ADC＝∠ABE，在△ABE和△ADG中，， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，在△AEF和△AGF中，， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠FAE＝∠FAG， ∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠FAE+∠DAB＝360°， ∴∠EAF＝180°-∠DAB． （来源：2026春•惠来县期末） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷2 人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷2 考查范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷2 人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷2 考查范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）将两块三角板按如图方式叠放在一起，以BC为边的三角形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BDE＝∠A，则△BDE为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能 3．（3分）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 4．（3分）将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，∠FEB＝65°，则∠EDB的度数为（　　） A．18° B．15° C．12° D．10° 5．（3分）在5cm、5cm、8cm、8cm、10cm的五根小棒中，任选三根围成一个等腰三角形，有（　　）种不同的围法． A．2 B．3 C．4 D．5 6．（3分）如图，△ABC的中线AD、角平分线BE交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．AO是△ABE的角平分线 B．ED是△EBC的角平分线 C．DE是△ADC的中线 D．BO是△ABD的角平分线 7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B﹣∠A＝10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中有两个角相等，则∠ACD的度数为（　　） A．15°或20° B．20°或30° C．15°或30° D．15°或25° 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点F，交AC于点E，分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点G，作射线AG交BC于点D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（　　） A． B．1 C． D．2 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如图，3×3方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有　　　　 个． 10．（3分）如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，AB＝7，BD＝11，顶点A、B、C分别与顶点C、D、E分别对应，则DE＝ 　　　　 ． 11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，MN经过点O，且MN∥BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是　　　　 ． 12．（3分）如图，已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G，若∠ADF＝80°，则∠GEC的度数为 　　　　 ． 13．（3分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（2，5），P为第一象限内的整点．若连接不共线的A，B，P三点构成轴对称图形，则点P的坐标为　　　　 ．（写出一个即可），在网格图中符合要求的点P的个数为　　　　 ． 14．（3分）如图在⊙O中，弦AD、BC交于点P，AB＝2，CD=3，∠APB＝30°，求圆的半径　　　　 ． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABE＝∠EBC，AE⊥BE，垂足为E，F是AC的中点，BC＝7，AB＝4，则EF＝ 　　　　 ． 16．（3分）如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动　　　　 秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D．连接DE． （1）若△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，求AB的长． （2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数． 18．（6分）如图，台球运动中母球P击中桌边上的点A，经桌边反弹后击中相邻桌边上的点B，再次反弹后击中球C．（提示：∠1＝∠2，∠3＝∠4） （1）若∠1＝32°，求∠PAB的度数； （2）已知∠2+∠3＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由． 19．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为42cm，AC＝16cm，求DC的长． 20．（6分）已知关于x，y的方程组． （1）求这个方程组的解（用含a的式子表示x和y）； （2）当a取何整数值时，这个方程组的解满足x小于3且y不大于﹣2； （3）若以x，y，a的长恰好可以围成一个三角形，求a的取值范围． 21．（6分）如图，正方形网格中，每个小网格的边长是1，△ABC是格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）． （1）请作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1； （2）求出△ABC的面积； （3）试在直线l上找一点P，使PA+PB最小（不写作图过程，保留作图痕迹）． 22．（6分）如图，在△ABC中，D是AB边上的动点，过点D作DF⊥AC交AC于点E，交BC的延长线于点F． （1）若∠A＝25°，∠B＝40°，求∠F的度数； （2）在D点运动的过程中，探究∠A+∠B+∠F是否为定值，如果是求出定值并证明；如果不是定值，请说明理由． 23．（8分）已知在△ABC中，AB＝AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点，已知∠ABC＝∠ADB＝20°（1）当射线BM在∠ABC内，如图①所示，求∠BDC的度数． （2）当射线BM在BC下方，如图②所示，请问∠BDC的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出∠BDC的度数． 24．（8分）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在△ABC中，如果∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC为“友爱三角形”． （1）如图1，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），∠ACB＝90°．①求∠A、∠B的度数．②若CD是△ABC中AB边上的高，则△ACD、△BCD都是“友爱三角形”吗？为什么？（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠A＝66°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），连接CD，若△ACD是“友爱三角形”，直接写出∠ACD的度数． 25．（10分）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM 交AB于点E，PN交CD于点F． （1）当△PMN在如图1所示的位置时，求出∠PFD与∠AEM的数量关系． （2）当△PMN在如图2所示的位置时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°， （3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝20°，∠PEB＝30°，求∠N的度数． 26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作P1，P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作P2．例如，点P（﹣2，5）的一次反射点为P1（2，5），二次反射点为P2（5，2）．根据定义，回答下列问题： （1）点（4，3）的一次反射点为　　　　 ，二次反射点为　　　　 ； （2）若点A在第二象限，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，OA1＝OA2，∠A1OA2＝60°，求射线OA与x轴所夹锐角的度数； （3）若点A在y轴左侧，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，△AA1A2是等腰直角三角形，请直接写出点A在平面直角坐标系xOy中的位置． 27．（10分）【初步探索】 （1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　　　　 ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷2 人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷2 考查范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷2 人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷2 考查范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称 参考答案与解析 1．（3分）将两块三角板按如图方式叠放在一起，以BC为边的三角形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：以BC为边的三角形有△ABC、△EBC、△DBC共3个，故选：C． （来源：2025秋•龙湖区校级期中） 2．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BDE＝∠A，则△BDE为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能 【答案】B 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠BDE＝∠A， ∴∠BDE+∠B＝90°， ∴∠DEB＝180°﹣（∠BDE+∠B）＝90°， ∴△BDE为直角三角形．故选：B． （来源：2026春•同步） 3．（3分）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 【答案】B 【解答】解：根据基本作图可判断图1中AD为∠BAC的平分线，图2中AD为BC边上的中线，图3中AD为∠BAC的平分线．故选：B． （来源：2026•招远市模拟） 4．（3分）将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，∠FEB＝65°，则∠EDB的度数为（　　） A．18° B．15° C．12° D．10° 【答案】D 【解答】解：由三角板的性质可得∠FED＝45°，∠ABC＝30°， ∵∠FEB＝65°， ∴∠DEB＝∠FEB﹣∠FED＝65°﹣45°＝20°， ∵∠ABC是△DEB的外角， ∴∠ABC＝∠DEB+∠EDB， ∴30°＝20°+∠EDB， ∴∠EDB＝10°，故选：D． （来源：2026春•麦积区期末） 5．（3分）在5cm、5cm、8cm、8cm、10cm的五根小棒中，任选三根围成一个等腰三角形，有（　　）种不同的围法． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：由等腰三角形的判定，三角形三边关系定理，可得围成的等腰三角形有三种：第一种选法：5cm、5cm、8cm；第二种选法：5cm、8cm、8cm；第三种选法：8cm、8cm、10cm．故选：B． （来源：2026春•青山区校级月考） 6．（3分）如图，△ABC的中线AD、角平分线BE交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．AO是△ABE的角平分线 B．ED是△EBC的角平分线 C．DE是△ADC的中线 D．BO是△ABD的角平分线 【答案】D 【解答】解： ∵△ABC的中线AD、角平分线BE相交于点O， ∴BD＝CD，∠ABE＝∠CBE，在△ABD中，∠ABO＝∠DBO， ∴BO是△ABD的角平分线，故选：D． （来源：2026春•浚县月考） 7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B﹣∠A＝10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中有两个角相等，则∠ACD的度数为（　　） A．15°或20° B．20°或30° C．15°或30° D．15°或25° 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠B+∠A＝90°， ∵∠B﹣∠A＝10°， ∴∠A＝40°，∠B＝50°，设∠ACD＝x°，则∠CDF＝（40+x）°，∠ADC＝180°﹣40°﹣x°＝（140﹣x）°，由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，当∠DFE＝∠E＝40°时， ∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°， ∴∠FDE＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴140﹣x＝100+40+x，解得x＝0（不存在）；当∠FDE＝∠E＝40°时， ∴140﹣x＝40+40+x，解得x＝30，即∠ACD＝30°；当∠DFE＝∠FDE时， ∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°， ∴∠FDE==70°， ∴140﹣x＝70+40+x，解得x＝15，即∠ACD＝15°，综上，∠ACD＝15°或30°，故选：C． （来源：2026春•淮安期中） 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点F，交AC于点E，分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点G，作射线AG交BC于点D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解答】解： ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB==5，过D作DH⊥AB于H， ∵AD平分∠CAB， ∴CD＝DH，∠CAD＝∠HAD，在Rt△ACD与Rt△AHD中，， ∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL）， ∴AH＝AC＝3， ∴BH＝AB﹣AH＝2， ∵BH2+DH2＝BD2， ∴22+CD2＝（4﹣CD）2， ∴CD=．方法二： ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB==5，过D作DH⊥AB于H， ∵AD平分∠CAB， ∴CD＝DH，∠CAD＝∠HAD，在Rt△ACD与Rt△AHD中，， ∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL）， ∴AH＝AC＝3， ∴BH＝AB﹣AH＝2，在Rt△BDH中，tanB==，在Rt△ABC中， ∵tanB==， ∴=， ∴DH=， ∴CD=DH=， ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB==5，过D作DH⊥AB于H， ∵AD平分∠CAB， ∴CD＝DH，S△ABC=AC⋅BC=S△ACD+S△ABD=AC⋅CD+AB⋅DH， ∴AC•BC＝AC•CD+AB•DH，设CD＝DH＝x， ∴3×4＝3x+5x， ∴x=，故选：C． （来源：2026春•兴庆区校级期中） 9．（3分）如图，3×3方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有 个． 【答案】3 【解答】解：将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形为：故答案为：3． （来源：2026春•姑苏区校级期中） 10．（3分）如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，AB＝7，BD＝11，顶点A、B、C分别与顶点C、D、E分别对应，则DE＝ ． 【答案】4 【解答】解： ∵△ABC≌△CDE，顶点A、B、C分别与顶点C、D、E分别对应， ∴AB＝CD＝7，BC＝DE， ∵点B、C、D在同一直线上，BD＝11， ∴BC＝BD﹣CD＝11﹣7＝4， ∴DE＝4，故答案为：4． （来源：2025春•闵行区校级期中） 11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，MN经过点O，且MN∥BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是 ． 【答案】15 【解答】解： ∵在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB， ∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC， ∴BM＝OM，CN＝ON， ∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝9+6＝15．故答案为：15． （来源：2026春•同步） 12．（3分）如图，已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G，若∠ADF＝80°，则∠GEC的度数为 ． 【答案】40° 【解答】解： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，由翻折可得∠B′＝∠B＝60°， ∴∠A＝∠B′＝60°， ∵∠AFD＝∠GFB′， ∴△ADF∽△B′GF， ∴∠ADF＝∠B′GF， ∵∠EGC＝∠FGB′， ∴∠EGC＝∠ADF＝80°， ∴∠CEG＝180°﹣∠C﹣∠CGE＝180°﹣60°﹣80°＝40°．故答案为：40° （来源：2026春•龙泉驿区校级期中） 13．（3分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（2，5），P为第一象限内的整点．若连接不共线的A，B，P三点构成轴对称图形，则点P的坐标为 ．（写出一个即可），在网格图中符合要求的点P的个数为 ． 【答案】（4，1）（答案不唯一），6 【解答】解：满足条件的点C有6个，C可以是（4，1）（答案不唯一）．故答案为：（4，1）（答案不唯一），6． （来源：2025秋•中牟县期中） 14．（3分）如图在⊙O中，弦AD、BC交于点P，AB＝2，CD=3，∠APB＝30°，求圆的半径 ． 【答案】7 【解答】解：过A作弦AE∥BC，过E作EH⊥DC，交DC的延长线于H，连接DE，OE，OD， ∴∠DAE＝∠APB＝30°，EC=AB， ∴EC＝AB＝2， ∵四边AECD是圆内接四边形， ∴∠DAE+∠DCE＝180°， ∵∠ECH+∠DCE＝180°， ∴∠ECH＝∠DAE＝30°， ∵∠CHE＝90°， ∴EH=CE＝1， ∴CH=EH=， ∴DH＝CH+CD=+3=4，由勾股定理得到：DE==7， ∵∠DOE＝2∠DAE＝60°，OE＝OD， ∴△ODE是等边三角形， ∴OD＝DE＝7， ∴圆的半径长为7．故答案为：7． （来源：2026•宁波模拟） 15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABE＝∠EBC，AE⊥BE，垂足为E，F是AC的中点，BC＝7，AB＝4，则EF＝ ． 【答案】1.5 【解答】解：延长AE交BC于点H，如图所示： ∵AE⊥BE，垂足为E， ∴∠BEH＝∠BEA＝90°，在△ABE和△HBE中，， ∴△ABE≌△HBE（SAS）， ∴BH＝AB＝4，EH＝EA， ∵BC＝7， ∴CH＝BC﹣BH＝7﹣4＝3， ∵EH＝EA，点F是AC的中点， ∴EF是△AHC的中位线， ∴EF=CH＝1.5．故答案为：1.5． （来源：2026春•沁水县期末） 16．（3分）如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动 秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等． 【答案】0或4或8或12 【解答】解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等， ∵AC＝2， ∴BP＝2， ∴CP＝6﹣2＝4， ∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）；②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB与△NBP全等，这时BC＝PB＝6，CP＝0，因此时间为0秒；③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等， ∵AC＝2， ∴BP＝2， ∴CP＝2+6＝8， ∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）；④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB与△NBP全等， ∵BC＝6， ∴BP＝6， ∴CP＝6+6＝12，点P的运动时间为12÷1＝12（秒），故答案为：0或4或8或12． （来源：2026春•徐汇区期末） 17．（6分）如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D．连接DE． （1）若△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，求AB的长． （2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵BD是线段AE的垂直平分线， ∴AB＝BE，AD＝DE， ∵△ABC的周长为19，△DEC的周长为7， ∴AB+BE+CE+CD+AD＝19，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝7， ∴AB+BE＝19﹣7＝12， ∴AB＝BE＝6； （2） ∵∠ABC＝30°，∠C＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，在△BAD和△BED中，， ∴△BAD≌△BED（SSS）， ∴∠BED＝∠BAC＝105°， ∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°． （来源：2026春•金凤区校级期中） 18．（6分）如图，台球运动中母球P击中桌边上的点A，经桌边反弹后击中相邻桌边上的点B，再次反弹后击中球C．（提示：∠1＝∠2，∠3＝∠4） （1）若∠1＝32°，求∠PAB的度数； （2）已知∠2+∠3＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵∠1＝∠2＝32°，∠1+∠PAB+∠2＝180°， ∴∠PAB＝180°﹣32°×2＝116°； （2）PA∥BC，理由： ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2+∠3＝90°，而∠1+∠2+∠PAB＝180°＝∠3+∠4+∠ABC， ∴∠1+∠2+∠PAB+∠3+∠4+∠ABC＝180°×2＝360°， ∴∠PAB+∠ABC＝360°﹣90°×2＝180°， ∴PA∥BC． （来源：2025春•拱墅区校级月考） 19．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为42cm，AC＝16cm，求DC的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵EF垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AB＝AE， ∴AB＝EC； （2）解： ∵△ABC的周长为42cm， ∴AB+BC+AC＝42cm， ∵AC＝16cm， ∴AB+BC＝26cm， ∵AB＝EC，BD＝DE， ∴DC=DE+EC=(AB+BC)=13cm． （来源：2026春•南海区校级期中） 20．（6分）已知关于x，y的方程组． （1）求这个方程组的解（用含a的式子表示x和y）； （2）当a取何整数值时，这个方程组的解满足x小于3且y不大于﹣2； （3）若以x，y，a的长恰好可以围成一个三角形，求a的取值范围． 【答案】见解析 【解答】解： （1），①×3﹣②，得8x＝﹣4a+16，解得x=-a+2③，把③代入①，得3×(-a+2)+y=a+3，解得y=a-3，故方程组的解是； （2）由（1）知，方程组的解是， ∵方程组的解满足x小于3且y不大于﹣2， ∴，解得-2＜a≤， ∵a是整数， ∴a＝﹣1或0； （3） ∵以x，y，a的长恰好可以围成一个三角形， ∴，解得＜a＜4，由三角形三边关系得：， ∴，解得＜a＜，综上所述，＜a＜． （来源：2026•哈尔滨校级开学） 21．（6分）如图，正方形网格中，每个小网格的边长是1，△ABC是格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）． （1）请作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1； （2）求出△ABC的面积； （3）试在直线l上找一点P，使PA+PB最小（不写作图过程，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图，△A1B1C1为所求； （2）S△ABC=3×5---=15﹣2.5﹣1﹣6＝5.5； （3）如图，点P即为所求． （来源：2026春•渠县校级期末） 22．（6分）如图，在△ABC中，D是AB边上的动点，过点D作DF⊥AC交AC于点E，交BC的延长线于点F． （1）若∠A＝25°，∠B＝40°，求∠F的度数； （2）在D点运动的过程中，探究∠A+∠B+∠F是否为定值，如果是求出定值并证明；如果不是定值，请说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵DF⊥AC于点E，交BC的延长线于点F， ∴∠AED＝90°， ∵∠A＝25°，∠B＝40°， ∴∠ADE＝90°﹣∠A＝65°， ∴∠F＝∠ADE﹣∠B＝25°， ∴∠F的度数是25°． （2）∠A+∠B+∠F为定值，证明： ∵DF⊥AC于点E，交BC的延长线于点F， ∴∠AEF＝90°， ∵∠AEF＝∠A+∠ADF，∠ADF＝∠B+∠F， ∴∠AEF＝∠A+∠B+∠F， ∴∠A+∠B+∠F＝90°， ∴∠A+∠B+∠F为定值． （来源：2026春•锦江区校级月考） 23．（8分）已知在△ABC中，AB＝AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点，已知∠ABC＝∠ADB＝20°（1）当射线BM在∠ABC内，如图①所示，求∠BDC的度数． （2）当射线BM在BC下方，如图②所示，请问∠BDC的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出∠BDC的度数． 【答案】见解析 【解答】（1）解：在BD上取一点E，使AE＝AD，如图①所示：在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝20°， ∴∠ACB＝∠ABC＝20°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝140°，在△ADE中，AE＝AD，∠ADB＝20°， ∴∠AED＝∠ADB＝20°， ∴∠BEA＝180°﹣∠AED＝160°，∠EAD＝180°﹣（∠AED+∠ADB）＝140°， ∴∠BAC＝∠EAD＝140°， ∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAD﹣∠CAE，即∠BAE＝∠CAD，在△BAE和△CAD中，， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴∠BEA＝∠CDA＝160°， ∴∠BDC＝∠CDA﹣∠ADB＝160°﹣20°＝140°； （2）解：∠BDC的度数会变化，此时∠BDC＝40°，理由如下：在DB的延长线上取一点E，使AE＝AD，如图②所示：同（1）得：∠E＝∠ADE＝20°，∠EAD＝∠BAC＝140°， ∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，即∠BAE＝∠CAD，在△BAE和△CAD中，， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴∠E＝∠ADC＝20°， ∴∠BDC＝∠ADE+∠ADC＝20°+20°＝40°． （来源：2026秋•单元） 24．（8分）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在△ABC中，如果∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC为“友爱三角形”． （1）如图1，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），∠ACB＝90°．①求∠A、∠B的度数．②若CD是△ABC中AB边上的高，则△ACD、△BCD都是“友爱三角形”吗？为什么？（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠A＝66°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），连接CD，若△ACD是“友爱三角形”，直接写出∠ACD的度数． 【答案】见解析 【解答】解： （1）① ∵△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B）， ∴∠A＝2∠B， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝180°﹣90°＝90°，即2∠B+∠B＝90°，解得∠B＝30°， ∴∠A＝60°；②△ACD、△BCD都是“友爱三角形”，理由： ∵CD是△ABC中AB边上的高， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵∠A＝60°，∠B＝30°， ∴∠ACD＝30°，∠BCD＝60°在△ACD中，∠A＝60°，∠ACD＝30°， ∴∠ACD=∠A， ∴△ACD为“友爱三角形”；在△BCD中，∠BCD＝60°，∠B＝30°， ∴∠B=∠BCD ∴△BCD为“友爱三角形”； （2） ∵△ACD是“友爱三角形”，D是边AB上一点（不与点A，B重合）， ∴∠ACD=∠A或∠ACD=∠ADC，当∠ACD=∠A时，∠ACD=∠A=33°；当∠ACD=∠ADC时， ∴∠A+3∠ACD＝180°，即3∠ACD＝114°， ∴∠ACD＝38°，综上所述，∠ACD的度数为33°或38°． （来源：2026春•南海区期中） 25．（10分）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM 交AB于点E，PN交CD于点F． （1）当△PMN在如图1所示的位置时，求出∠PFD与∠AEM的数量关系． （2）当△PMN在如图2所示的位置时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°， （3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝20°，∠PEB＝30°，求∠N的度数． 【答案】见解析 【解答】解： （1）∠PFD与∠AEM的数量关系为∠PFD+∠AEM＝90°．如图①，过点P作PH∥AB， ∵AB∥CD， ∴PH∥CD， ∴∠PFD＝∠NPH，∠AEM＝∠HPM， ∵∠MPN＝90°， ∴∠NPH+∠HPM＝90° ∴∠PFD+∠AEM＝90°． （2）证明：设PN与AB相交于点G，如图②， ∵AB∥CD， ∴∠PFD＝∠PGB， ∵∠PGB﹣∠PEB＝90°，∠PEM＝∠AEM， ∴∠PFD﹣∠AEM＝90°． （3）如图②， ∵∠PEB＝30°，∠P＝90°， ∴∠PFD＝∠PGB＝∠P+∠PEB＝120°， ∴∠OFN＝∠PFD＝120°， ∵∠DON＝20°，∠OFN+∠DON+∠N＝180°， ∴∠N＝180°﹣∠OFN﹣∠DON＝180°﹣120°﹣20°＝40°． （来源：2026春•新余期末） 26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作P1，P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作P2．例如，点P（﹣2，5）的一次反射点为P1（2，5），二次反射点为P2（5，2）．根据定义，回答下列问题： （1）点（4，3）的一次反射点为 ，二次反射点为 ； （2）若点A在第二象限，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，OA1＝OA2，∠A1OA2＝60°，求射线OA与x轴所夹锐角的度数； （3）若点A在y轴左侧，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，△AA1A2是等腰直角三角形，请直接写出点A在平面直角坐标系xOy中的位置． 【答案】（﹣4，3），（3，﹣4） 【解答】解： （1）根据一次反射点，二次反射点的定义可知：点（4，3）关于y轴的对称点为（﹣4，3），所以一次反射点为（﹣4，3），（﹣4，3）关于直线l的对称点为（3，﹣4），所以二次反射点为（3，﹣4）；故答案为：（﹣4，3），（3，﹣4）； （2）如图1中，当点A靠近y轴在第二象限时，如图所示：点A1，A2关于直线l对称，点A、A1关于y轴对称， ∴∠AOE＝∠A1OE，∠A1OG＝∠A2OG，∠A1OE＝∠A2OF， ∵∠A1OA2＝60°， ∴∠A1OE=∠A2OF==15°， ∴∠AOE＝∠A1OE＝15°， ∴∠AOF＝90°+15°＝105°， ∴射线OA与x轴所夹锐角的度数为180°﹣105°＝75°；同理当点A靠近x轴在第二象限时，射线OA与x轴所夹锐角的度数为15°，综上：射线OA与x轴所夹锐角的度数为15°或75°； （3）设点A（x，y），则A1（﹣x，y），A2（y，﹣x），根据题意分三种情况讨论如下：①当AA1⊥AA2时，x﹣y＝0，即x＝y，且AA1＝AA2，即2|x|=，解得：x＝y，即y＝x（x＜0）上的点均满足，如图所示：②当AA1⊥A1A2时，不存在；③当AA2⊥A1A2时，∠A2AA1＝45°，且AA2＝A1A2，即=|x+y|，解得y＝0，即在x轴的负半轴上，如图所示：综上所述，点A在x轴的负半轴上或直线y＝x（x＜0）上． （来源：2026春•海淀区校级期中） 27．（10分）【初步探索】 （1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【拓展延伸】 （3）已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 【答案】∠BAE+∠FAD＝∠EAF 【解答】解： （1）结论：∠BAE+∠FAD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，在△ABE和△ADG中，， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG， ∵EF＝BE+DF， ∴EF＝DF+DG＝FG，在△AEF和△AGF中，， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠FAD＝∠EAF； （2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG， ∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°， ∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，在△AEF和△AGF中，， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF； （3）结论：∠EAF＝180°-∠DAB．理由：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°， ∴∠ADC＝∠ABE，在△ABE和△ADG中，， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，在△AEF和△AGF中，， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠FAE＝∠FAG， ∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠FAE+∠DAB＝360°， ∴∠EAF＝180°-∠DAB． （来源：2026春•惠来县期末） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $