第三章 圆锥曲线的方程单元测试卷（3）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线的方程单元测试卷（3） 一、单选题 1．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，. 2．（2026·江西九江·模拟预测）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．5 B．10 C．25 D．50 【答案】C 【详解】因为双曲线的一个焦点坐标为， 所以 3．（26-27高二上·江苏·期中）设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先由标准方程读出 并写出焦点与准线，再结合点 在抛物线上、由抛物线的定义把焦半径转化为点到准线的距离求解，并用两点间距离公式核对结果. 【详解】由 得 ，即 ，所以焦点 、准线为 . 由抛物线的定义， 等于点 到准线 的距离， 故 . 4．（25-26高二下·湖南·期末）已知抛物线，点 ，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出 ，利用，可得，由此可求解范围． 【详解】设点的坐标为， 因为的最小值是，所以， 所以，整理得，， 因为，所以， 所以，又， 所以． 5．（26-27高二上·浙江绍兴·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，若面积是面积的2倍，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得点到直线的距离为点到直线距离的2倍，利用点到直线的距离公式列式求解即可. 【详解】，，所以，， 由题可得点到直线的距离为点到直线距离的2倍， 所以，即， 两边平方得，因为， 所以，即， 解得（舍去）或. 6．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，推出点在轴的右侧，由角平分线定理得，推出，，再在中，由余弦定理得出的关系， 【详解】如图所示； 是内心， 是的角平分线， . 又 ， . 在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得， ， . ， ， . 由椭圆的定义得，， ，. 在中，由余弦定理得, ，化简得 . 该椭圆的离心率为. 7．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知抛物线C：的焦点为，过的直线l与C交于A，B两点，与圆交于M，N两点.若点A，M在第一象限，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得，，再求得，再结合抛物线的焦半径公式，用表示，结合基本不等式可求其最小值. 【详解】如图： 因为，可设直线：，代入，整理得. 设，，则，. 所以 ， 所以. 又 . 因为，所以，当且仅当即时取等号. 即. 8．（25-26高二下·河南驻马店·期末）直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点差法求得，结合已知可得，求解即可. 【详解】设， 因为，两点在双曲线上，所以， 两式相减得， 又为的中点，所以， 所以，所以， 又双曲线的渐近线方程为，为的中点，所以， 所以，两边平方得，所以， 所以，所以，所以，又，所以， 所以的离心率的取值范围是. 二、多选题 9．（26-27高二上·全国·课后作业）下列关于双曲线的共轭双曲线的说法正确的有（   ） A．标准方程是 B．焦点坐标是和 C．渐近线是 D．离心率 【答案】ACD 【详解】由共轭双曲线的定义可知的共轭双曲线为， 其焦点在轴上，坐标为和，渐近线为，离心率，故A，C，D正确，B不正确． 10．（26-27高二上·江西抚州·阶段检测）若方程表示椭圆，则m的值可以为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】ACD 【详解】方程表示椭圆， ，解得且， 结合选项，故m的值可以为ACD． 11．（25-26高二下·湖南邵阳·阶段检测）抛物线的焦点为F，顶点为O，过点F作倾斜角为的直线l，交抛物线于A，B两点，点A在x轴上方，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为，，准线与x轴交于点C，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．三角形ABC面积的最小值为3 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】求出两点的坐标可判断A；根据焦半径公式可判断B；根据弦长公式、点到直线距离公式，结合三角形面积公式判断C；利用焦半径公式结合基本不等式以及韦达定理可判断D． 【详解】由可得，抛物线的焦点为，准线方程为， 选项A：当时，可得，，，故A正确； 选项B：当时，直线l的方程为，与抛物线方程联立， 消去y，化简整理得，解得或， 所以，，所以，故B正确； 选项C：设直线l的方程为，与抛物线方程联立， 消去x，化简整理得，设，，则，， 所以， 又点C到直线l的距离， 所以， 当且仅当时，等号成立，三角形面积的最小值为4，故C错误； 选项D：由抛物线的定义得 ， 当且仅当，即时等号成立，故D正确． 三、填空题 12．（26-27高二上·江苏·期中）已知抛物线的准线为，则与直线的交点坐标为_________ 【答案】 【详解】的准线方程为：， 当时，， 解得，故交点为. 13．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知为椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据椭圆性质写出顶点坐标，算出向量，由，求出；由椭圆的定义可知椭圆上任意一点满足，结合条件求解即可． 【详解】由椭圆性质可知，，，则，， 所以，解得， 联立，解得，所以． 14．（26-27高二上·全国·课后作业）已知双曲线上存在关于直线对称的两点，，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据直线与双曲线的联立方程，求解两点坐标关系，基于对称关系，即可求解参数范围. 【详解】当时，显然不成立．当时，由， 可设直线的方程为，代入 中， 得． 所以，， 即．① 设的中点为，由根与系数的关系， 得，所以，． 因为点在直线上， 所以，即．② 把②代入①得，解得或． 所以或，即或，且． 故的取值范围是． 四、解答题 15．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知双曲线：的虚轴长为2，离心率为． (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据虚轴长及离心率直接求解即可； （2）将直线与的方程联立，结合韦达定理得出的坐标，由两点之间距离公式即可求解． 【详解】（1）依题意可得，， 解得，， 所以的方程为． （2）将代入，整理得， ． 设，，． 由韦达定理得， 则， ， 所以． 16．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线：与椭圆相交于，两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件确定的值，确定椭圆方程. （2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求出，再利用求的面积即可. 【详解】（1）由题知，，则， 又因为， 所以椭圆的标准方程为． （2）由题意知，直线过右焦点，如图，作出符合题意的图形， 设，，联立， 消去得，所以由韦达定理得，， 则由弦长公式得， 所以的面积． 17．（2026高二上·河南叶县·阶段检测）已知抛物线的焦点为，，对于C上的点，的最小值为 (1)求抛物线C的标准方程； (2)是抛物线C上在第一象限内的一点，直线与C交于两点，若的面积为，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据三点共线时，线段的和最小，然后再结合两点间的距离公式求解； （2）将直线与抛物线方程联立，表示出弦长，然后根据的面积为，建立方程，解方程即可. 【详解】（1）由题意可得,当F，A，B三点共线时，取得最小值，有， 由两点间距离公式，解得， 所以抛物线C的方程为. （2）把代入方程，可得， 设，， 联立方程组，消去y可得， 由，解得， 又知，， 所以 ， 由到直线l的距离为， 所以， 即，得， 解得或，经检验均满足， 所以的值为或 18．（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知双曲线的一条渐近线的斜率为左、右焦点分别为 (1)求C的方程; (2)设x轴上方的点A，B分别在C的左支与右支上，若求直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据双曲线焦点坐标得，结合已知渐近线斜率得，再由双曲线关系求出、，即可得到双曲线的方程； （2）设出直线​的方程与点、的坐标，根据向量关系得到坐标间的倍数关系，将、坐标代入双曲线方程联立求解得到直线斜率，即可得到直线的方程. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，依题意，，可得， 由焦点坐标可知，而，即， 解得，所以， 所以的方程为． （2）设，，，而，， 则 由，得，解得,即得， 依题意，解得即， 又，所以直线的方程为，整理得． 19．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知椭圆的两个焦点分别是，，为椭圆上一点． (1)若椭圆和椭圆共焦点，且点的坐标为，求椭圆的标准方程； (2)若，面积为，且椭圆的离心率为，求椭圆的长轴长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设椭圆的标准方程为，从而根据共焦点得到，再将点的坐标代入椭圆得到，进而即可求出椭圆的标准方程； （2）设椭圆的长半轴长为，半焦距为，则根据椭圆的定义，三角形的面积公式及余弦定理得到，再根据椭圆离心率的定义得到，进而即可求出长轴长。 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，半焦距为， 由椭圆和椭圆共焦点，则设其长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 则，，则，则①， 又为椭圆上一点，则②， 联立①和②，得，解得，或（舍去）； 则，所以椭圆的标准方程为． （2）设椭圆的长半轴长为，半焦距为， 由椭圆的两个焦点分别是，，为椭圆上一点， 则，， 又，面积为， 则，即， 则由余弦定理得， 即③， 又椭圆的离心率为，即，即④， 联立③和④，得，得， 所以椭圆的长轴长为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $回▣互薄 动弱 第三章圆锥曲线的方程单元测试卷(3) :讲诊 百题断 一、单选题 1.（26-27高二上江苏南京阶段检测)若方程 =1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取 m-12-m 值范围是() A. 3<m<2 B.m>2 C.1<m<2 D.m>3 2.（2026江西九江模拟预测)己知双曲线之兰=1m>0,n>0的一个焦点坐标为0,51.则m+n m n () A.5 B.10 C.25 D.50 3.(26-27高二上·江苏期中)设抛物线C:y=8x的焦点为F,点A1,a在C上，则AF=() A.2 B.3 C.4 D.5 4.(25-26高二下湖南期末)已知抛物线C:y=4x,点Qa,0a>0,点P在C上，|PQ的最小值 是a,则a的取值范围是() A.0<a≤2 B.0<a<2 C.0<a≤1 D.0<a<1 5.(2627高二上浙江绍兴阶段检测)已知双曲线C:芩-y=1的左、右焦点分别为R,F2,直线 3 y=kx-m(-2<m<2)与C交于A'B两点，若△F,AB面积是△E,AB面积的2倍，则m=（） 2 2 A.3 B. 3 c.-2 3 D.2 3 6。(26-27高二上河南南阳阶段检测)椭圆c:X+上 言+长=1a>b>0》的左右焦点分别为F:FP 是C上一点且∠F,PF,=60·是△PF,E,内心，连接pr的直线交x轴于M若F,M=3M下，：则该 椭圆的离心率为（) A.2 B.3 7 2 D. 3 C.4 试卷第1页（共3页） 7.(25-26高二下·河南洛阳·期末)已知抛物线C:y=12x的焦点为F,过F的直线1与C交于A,B两 点，与圆x-3+y=4交于M,N两点若点A,M在第一象限，则1AM+3BN的最小值为（) A.63+4 B.33+4 c.10 D.7 8%商下河马后别直的的风线兰-苦1a060交TAB调与，布 在以M号a产AB点，则c高心年。的取位他是《） A.1,3 B.旧3，+0 C.1,5 D.5,+∞ 二、多选题 9.(2627高二上全国，课后作业)下列关于双曲线誉-上-1的共轭双曲线的说法正确的有《) 9 4 A.标准方程是上X =1 B. 焦点坐标是V13,0和-V13,0 49 V13 C.渐近线是y=±？x D.离心率e= 10.（26-27商二上江西抚州阶段检测)若方程，。之+ 10-mm-2 =1表示椭圆，则的值可以为() A.5 B.6 C.7 D.8 11.(25-26高二下，湖南邵阳·阶段检测)抛物线y=4x的焦点为F,顶点为O,过点F作倾斜角为0的直 线1，交抛物线于A,B两点，点A在x轴上方，分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为A1,B1,准 线与x轴交于点C,则下列说法正确的是() A.当0=90时，|AB=4 B.当0=60时，|AF=3BF C.三角形ABC面积的最小值为3 D.AA1+2BB,的最小值为3+2V2 三、填空题 12.(26-27高二上江苏期中)已知抛物线x2=兰的准线为，则1与直线8x-4y+3=0的交点坐标为 13.（26-27商二上河南：阶段检测)已知p为椭圆c:兰+之=1a>b>0上一点，F'F,分别为C的 a2 b2 试卷第2页（共3页） 左、右焦点，A,?A,分别为c的左、右顶点，B为C的上顶点.若|PF,=3PE,AA2·AB=18 则PF,-PE,的值为 14.(26.27高二上全司课后作业)已知双南线X-号=1上存在关于直线1：y=+4对称的两点A,B, 3 则实数k的取值范围为 四、解答题 15.（26-27商=上河南阶段检测)已知双曲线C:-兰 。台=1Q>0,b>0的虚轴长为2，离心率为 4V15 15· (1)求C的方程： 1 (②若直线y=亏X-1与C交于A,B两点，线段AB的中点为D,O为坐标原点，求OD. 16.(26-27高二上河北石家庄阶段检测)已知椭圆c:+少=1a>b>01的左、右焦点分别为 a2 b2 F-1,0F21,0:长轴长为4. (1)求椭圆C的标准方程： (2)若直线l:x+y-1=0与椭圆C相交于M,N两点，求△MNF1的面积. 17.（2026高二上：河南叶县：阶段检测)已知抛物线C:y=2px(p>0的焦点为F·B10,1对于C上 5 的点A,|AB+AF的最小值为2 (1)求抛物线C的标准方程； ②D2,y是抛物线C上在第一象限内的一点，直线1：y=X+m与C交于M,N两点，若△DMN的面积 为m2,求m的值. 18。(2526高二下湖南长沙期末)已知双曲线C:号-兰=1la>0,b>0的一条浙近线的斜率为5， 试卷第3页（共3页） 左、右焦点分别为F,-4,0,F24,0 (1)求C的方程： (2设x轴上方的点A,B分别在C的左支与右支上，若E)B=3FA,求直线AF,的方程. 19.(26-27高二上江苏常州·阶段检测)已知椭圆C的两个焦点分别是F1,F2,P为椭圆上一点. ①若椭圆C和椭圆术+y g+亏=1共焦点，且点P的坐标为22,6，求椭圆C的标准方程； 3 (②若∠卫，PF,=背△PFF,面积为3，且椭圈C的离心率为2，求椭圆C的长轴长. 试卷第4页（共3页）