第三章 圆锥曲线的方程单元检测卷（五）--2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版2019高中数学选择性必修一 第三章 圆锥曲线的方程 单元检测卷（五） 学校＿＿＿＿＿＿　考号＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿ 注意事项： 1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号、姓名填写清楚． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应的位置上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．椭圆 （）的左、右焦点分别为 、，若椭圆上存在点 使得 ，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 、 两点，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 为抛物线 的焦点， 为抛物线上一点， 为坐标原点，若 的面积为 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．等轴双曲线（实半轴长等于虚半轴长）的中心在原点，焦点在 轴上，且经过点 ，则双曲线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 5．已知椭圆 （）上存在点 使得 ，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．已知抛物线 ， 为坐标原点，过点 的直线与抛物线 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 7．设 、 是椭圆 上关于原点对称的两点， 为椭圆上异于 、 的任意一点，直线 、 的斜率分别为 、（存在且非零），则 （　　） A． B． C． D．与点 的位置有关 8．已知双曲线 上一点 与两焦点 、 构成焦点三角形，若 的面积为 ，则 为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．已知 、 是椭圆 （）的左、右焦点， 为椭圆上一点，则下列结论正确的是（　　） A．当 时， 的面积为 B．当 时， 的面积为 C． 面积的最大值为 D．当 时，椭圆离心率 10．已知抛物线 ， 为坐标原点， 为焦点，则下列结论正确的是（　　） A．过焦点 的直线与抛物线交于 、 两点，则 B．过点 的直线与抛物线交于 、 两点，则 C．抛物线 的通径的长为 D．以抛物线的焦点弦为直径的圆与准线相切 11．设双曲线 （，）的左、右焦点分别为 、， 为双曲线右支上一点，则下列结论正确的是（　　） A． 的最小值为 B． 的最小值为 C． 的面积有最大值 D． 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．过抛物线 （）的焦点 作直线交抛物线于 、 两点，若 ，，则 ＿＿＿＿＿＿． 13．椭圆 上一点 与两焦点 、 构成焦点三角形，若 的面积为 ，则 ＿＿＿＿＿＿． 14．已知双曲线 上一点 到左焦点 的距离为 ，则 的面积为＿＿＿＿＿＿． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）已知抛物线 ， 为坐标原点，、 为抛物线上的两个动点，且 ． 图1 （1）求证：直线 经过定点； （2）求 面积的最小值． 16．（15 分）已知双曲线 ． （1）求双曲线 的离心率和渐近线方程； （2）过双曲线的左焦点 作倾斜角为 的直线，交双曲线于 、 两点，求弦长 ； （3）设 、 为双曲线右支上的两个不同点，若线段 的垂直平分线经过点 ，求线段 的中点 的轨迹方程． 17．（15 分）已知椭圆 ，过点 的直线与椭圆 交于 、 两点， 为坐标原点． （1）判断点 与椭圆 的位置关系； （2）若以 为直径的圆经过原点 ，求直线 的方程； （3）求弦 长的取值范围． 18．（17 分）已知椭圆 ， 为坐标原点，直线 与椭圆 交于 、 两点． （1）若 ，求 面积 的最大值； （2）若 ，求 与 满足的关系式； （3）在（2）的条件下，求 面积 的取值范围． 19．（17 分）已知抛物线 （）经过点 ． 图2 （1）求抛物线 的标准方程； （2）设 、 为抛物线 上异于 的两个动点，若直线 、 的斜率之积为 ，求证：直线 经过定点； （3）在（2）的条件下，求弦长 的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版2019高中数学选择性必修一 第三章 圆锥曲线的方程 单元检测卷（五） 学校＿＿＿＿＿＿　考号＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿ 注意事项： 1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号、姓名填写清楚． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应的位置上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．椭圆 （）的左、右焦点分别为 、，若椭圆上存在点 使得 ，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 、 两点，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 为抛物线 的焦点， 为抛物线上一点， 为坐标原点，若 的面积为 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．等轴双曲线（实半轴长等于虚半轴长）的中心在原点，焦点在 轴上，且经过点 ，则双曲线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 5．已知椭圆 （）上存在点 使得 ，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．已知抛物线 ， 为坐标原点，过点 的直线与抛物线 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 7．设 、 是椭圆 上关于原点对称的两点， 为椭圆上异于 、 的任意一点，直线 、 的斜率分别为 、（存在且非零），则 （　　） A． B． C． D．与点 的位置有关 8．已知双曲线 上一点 与两焦点 、 构成焦点三角形，若 的面积为 ，则 为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．已知 、 是椭圆 （）的左、右焦点， 为椭圆上一点，则下列结论正确的是（　　） A．当 时， 的面积为 B．当 时， 的面积为 C． 面积的最大值为 D．当 时，椭圆离心率 10．已知抛物线 ， 为坐标原点， 为焦点，则下列结论正确的是（　　） A．过焦点 的直线与抛物线交于 、 两点，则 B．过点 的直线与抛物线交于 、 两点，则 C．抛物线 的通径的长为 D．以抛物线的焦点弦为直径的圆与准线相切 11．设双曲线 （，）的左、右焦点分别为 、， 为双曲线右支上一点，则下列结论正确的是（　　） A． 的最小值为 B． 的最小值为 C． 的面积有最大值 D． 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．过抛物线 （）的焦点 作直线交抛物线于 、 两点，若 ，，则 ＿＿＿＿＿＿． 13．椭圆 上一点 与两焦点 、 构成焦点三角形，若 的面积为 ，则 ＿＿＿＿＿＿． 14．已知双曲线 上一点 到左焦点 的距离为 ，则 的面积为＿＿＿＿＿＿． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）已知抛物线 ， 为坐标原点，、 为抛物线上的两个动点，且 ． 图1 （1）求证：直线 经过定点； （2）求 面积的最小值． 16．（15 分）已知双曲线 ． （1）求双曲线 的离心率和渐近线方程； （2）过双曲线的左焦点 作倾斜角为 的直线，交双曲线于 、 两点，求弦长 ； （3）设 、 为双曲线右支上的两个不同点，若线段 的垂直平分线经过点 ，求线段 的中点 的轨迹方程． 17．（15 分）已知椭圆 ，过点 的直线与椭圆 交于 、 两点， 为坐标原点． （1）判断点 与椭圆 的位置关系； （2）若以 为直径的圆经过原点 ，求直线 的方程； （3）求弦 长的取值范围． 18．（17 分）已知椭圆 ， 为坐标原点，直线 与椭圆 交于 、 两点． （1）若 ，求 面积 的最大值； （2）若 ，求 与 满足的关系式； （3）在（2）的条件下，求 面积 的取值范围． 19．（17 分）已知抛物线 （）经过点 ． 图2 （1）求抛物线 的标准方程； （2）设 、 为抛物线 上异于 的两个动点，若直线 、 的斜率之积为 ，求证：直线 经过定点； （3）在（2）的条件下，求弦长 的最小值． 参考答案与解析 1．【答案】A　【解析】设 、，由 及 得 ，．椭圆上点到焦点距离 ，故需 ，由左不等式得 ，右不等式 即 恒成立，故 ，又 ，范围为 ． 2．【答案】B　【解析】设 、，焦点弦满足 ，即 ，故 ． 3．【答案】B　【解析】，，得 ，代入 得 ．由抛物线定义 ． 4．【答案】A　【解析】等轴双曲线可设为 ，代入 得 ，故方程为 （即 ）． 5．【答案】A　【解析】椭圆上点 对两焦点的张角在短轴端点处最大，故存在 等价于短轴端点处张角不小于 ，即 ，得 ，，，故 ，又 ． 6．【答案】D　【解析】过点 的直线与抛物线 交于 、 时，恒有 ，故 ．（可用特例验证：取直线 ，则 、，） 7．【答案】A　【解析】设 、，则 ，且 ，．两式相减得 ，即 ，所以 ．而 ，为定值． 8．【答案】D　【解析】双曲线中 ，，．设 ，则 ，得 ，，．（也可由 得 ，进而求出 、，用余弦定理得 ） 9．【答案】ABC　【解析】设 、，则 ，．当 时 ，，A 正确；当 时 ，代入椭圆得 ，，B 正确；，C 正确； 时由第 1 题知只要求 ，并非必有 ，D 错误． 10．【答案】ACD　【解析】焦点弦满足 ，A 正确；过 时，设 代入得 ，，，，不垂直（过 时才垂直），B 错误；通径长 ，C 正确；焦点弦 为直径的圆，圆心到准线 的距离等于半径 ，故相切，D 正确． 11．【答案】ABD　【解析】右支上点 到右焦点距离 （右顶点处取等），A 正确；到左焦点距离 ，B 正确；由定义 ，D 正确；双曲线向右上方、右下方无限延伸， 的高 无上界，面积无最大值，C 错误． 12．【答案】　【解析】设 、，则 ，即 ，解得 ． 13．【答案】　【解析】椭圆中 ，焦点三角形面积 （），由 得 ，． 14．【答案】 或 　【解析】双曲线中 ，，，由定义 ．若 在左支上，则 ，三边为 、、，半周长 ，海伦公式得 ；若 在右支上，则 ，三边为 、、，，．两种情形均满足三角形三边关系和双曲线存在条件，故面积为 或 ． 15．（13 分）【答案】（1）直线 过定点 ；（2） 【解析】（1）设 、，则 ，．由 得 ，而 ，故 ，即 ．因 、 异于原点，，所以 ．设直线 ，代入 得 ，故 ，，直线 为 ，即 ，故直线 恒过定点 ．当直线 斜率不存在时，设 ，则 ，，仍过 ，综上得证．（7 分） （2）直线 中，原点 到 的距离 ，，故 ，当 （弦 垂直于 轴）时取等号，故面积的最小值为 ．（6 分） 【评分说明】（1）中 的讨论不可省略（对应 或 与原点重合的退化情形）；（2）也可用 型方法或坐标法 ． 16．（15 分）【答案】（1），渐近线 ；（2）；（3）（其中 ） 【解析】（1），，，离心率 ；渐近线方程为 ．（4 分） （2）左焦点 ，倾斜角 的直线斜率为 ，方程为 ．代入双曲线方程 ，得 ，整理得 ．设 、，则 ，，，故 ．（5 分） （3）设 、，中点 ．由 、 在双曲线上，两式相减得 ，即 ，故 ．又点 在 的垂直平分线上，等价于 ，即 ，整理得 ，两边除以 得 ，即 （，否则 ，弦水平，中点不可能在右支内部）．联立得 ，即 ，整理得 ．由 、 在右支上知 ；中点须落在双曲线两支之间的区域（两支上各一点连线中点可落在任一支外侧，同支两点中点必在两支之间区域），即 ，代入得 ，； 对应 、 重合，舍去．故中点 的轨迹方程为 （其中 ）．（6 分） 【评分说明】（3）用 转化比直接写垂直平分线方程更简洁；轨迹范围（ 的限制）占 2 分，只写轨迹方程得 4 分． 17．（15 分）【答案】（1）点 在椭圆上；（2） 或 ；（3） 【解析】（1）将 代入椭圆方程：，故点 恰在椭圆上（为椭圆的上顶点）．（3 分） （2）过 的直线斜率不存在时为 ，交椭圆于 、，以 为直径的圆圆心为 、半径为 ，不经过原点（原点为圆心），不合题意．设直线为 ，代入椭圆得 ，整理得 ，故一个交点为 ，另一个交点 ．以 为直径的圆经过 ，等价于 ，即 ，解得 ，故直线 的方程为 ，即 或 ．（6 分） （3）由（2）的方程知 （）．令 ，，考察 ，，故 在 上单调递增，，即 ；当直线斜率不存在时（），．综上， 的取值范围为 ．（6 分） 【评分说明】（2）中 时直线 与椭圆相切（只有 一个交点），不在考虑范围内；（3）注意斜率不存在时弦长可达 ，故右端点是闭的． 18．（17 分）【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）将 代入 ，得 ．原点 到直线 的距离 ，由判别式 ，得 ，故 ． 令 ，，设 ，则 ，故 单调递减，，即 ，当 时取等号．（5 分） （2）将 代入椭圆方程得 ，设 、，则 ，，．由 得 ，即 ，故 ，即 ．（6 分） （3）直线与椭圆有两个交点需 ，化简得 ，代入（2）的结论恒成立．，其中 ，，故 ． 令 ，，，故 在 上递增、在 上递减，，，，故 ，从而 ，即 ．（5 分） 【评分说明】（1）先猜后证思路可接受，但须给出 的表达式并说明单调性；（3）中 的左端在 时取到，右端在 时取到，注意两端都是闭的． 19．（17 分）【答案】（1）；（2）直线 过定点 ；（3） 【解析】（1）将 代入 得 ，，故抛物线 的标准方程为 ．（3 分） （2）设 、，则 ，且 （异于 ）．直线 的斜率 ，同理 ．由 得 ，即 ．设直线 ，代入 得 ，故 ，，代入得 ，即 ．直线 ，即 ，故直线 恒过定点 ．当直线 斜率不存在时，设 ，则 、，代入得 ，，仍过 ，综上得证．（7 分） （3）由（2）知直线 ，与抛物线交于两个不同点需 ，即 ．此时 ． 令 （则 ），有 ，，，故 ． 记 ，则 ，． 在 上的最小值在 处取得，且 ，由 知 ，故 在 上恒成立， 单调递增， 的最小值为 ，即 ，当 （即直线 ）时取得．（7 分） 【评分说明】（2）中斜率不存在（ 垂直 轴）的情形必须讨论；证明时用 整体消去 是关键技巧；（3）也可对 展开后求导，说明其在 上递增即可． 学科网（北京）股份有限公司 $