第三章 圆锥曲线的方程单元测试卷（2）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线的方程单元测试卷（2） 一、单选题 1．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）平面内，动点P的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方程表示动点 到两个定点和之间的距离之和为定值， 根据椭圆的定义可以知道，,, ，焦点在轴上，∴动点的轨迹方程为 . 2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知的焦点与点的坐标，利用双曲线定义求出和，再通过算出即可写出标准方程. 【详解】由题意得双曲线的焦点在轴上，且， 设双曲线， ， ， 由双曲线的定义得，解得， ，所以双曲线. 3．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，所以， 所以抛物线的准线方程为． 4．（26-27高二上·河北保定·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率不为0的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积比得到线段比例关系，结合等腰三角形性质和椭圆定义，利用余弦定理建立的关系求解离心率即可. 【详解】由，得. 因在线段上，，所以. 由，得. 根据椭圆定义，，故， 因此； 则. 因共线，，故. 在等腰中由余弦定理得： . 在中由余弦定理： . 即. 整理得，即，解得或. 又，所以. 5．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知双曲线：（）的实轴长为2，且两条渐近线夹角为，则该双曲线的焦距为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由实轴长为2，得，所以． 双曲线的渐近线方程为． 两条渐近线的锐角夹角为， 所以渐近线方程为的倾斜角为， 所以，所以． 由双曲线关系，得，从而． 双曲线的焦距为． 6．（2026·广东深圳·模拟预测）若椭圆：，与抛物线有相同焦点，则该椭圆与在第一象限的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出抛物线的焦点，求出椭圆焦点，利用两者相等求出的值，然后利用联立方程组解出第一象限坐标即可得到答案. 【详解】由题可得抛物线的焦点坐标是, 所以椭圆的右焦点坐标是,所以即, 所以椭圆方程是， 联立椭圆方程与抛物线方程, 把抛物线方程代入椭圆方程，去分母整理得, 解得或，因为，故， 因为求第一象限的交点，代入抛物线方程解得, 所以交点坐标为. 7．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】利用双曲线的性质，结合已知条件求出双曲线方程，再求出塔顶的纵坐标，从而计算塔高． 【详解】 以双曲线虚轴为轴，最小直径处的水平线为轴，双曲线中心为原点， 最小直径为米， 实半轴，双曲线标准方程为， 塔底直径为米，最小直径处距塔底高度为米， 点在双曲线上，故，解得， 双曲线方程为， 塔顶直径为，设塔顶直径上点为， ，解得， 塔顶位于轴上方， ，故， 塔高：米，故B正确 故选：B． 8．（26-27高二上·全国·课后作业）直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：设直线，与抛物线方程联立利用韦达定理运算求解即可；解法二：利用结论，，代入运算求解即可. 【详解】解法一：由题意可知：，且直线的斜率不为0， 设直线，，， 联立方程，消去x可得， 则，可得，， 则，， 可得， 所以的取值范围为； 解法二：设直线的倾斜角为，点在点上方， 则，， 则， 由题意知，，即， 所以的取值范围为. 二、多选题 9．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的值可以是（      ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据焦点在轴上的椭圆的方程特征列出不等式组，求解得到的取值范围，再逐一判断选项即可. 【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆， 则，解得. 故BCD满足. 10．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）已知，为双曲线：的两个焦点，为上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A． B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D．若，则 【答案】BCD 【分析】化简双曲线的方程为，求得，结合选项，利用双曲线的几何性质，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由双曲线，可得，其中 则，所以，可得， 对于A，由双曲线的定义，可得， 当时，；当时，，所以A错误； 对于B，双曲线的渐近线方程为，所以B正确； 对于C，由双曲线的离心率为，所以C正确； 对于D，设坐标原点为， 根据向量的运算法则，可得，所以， 当时，双曲线，此时，可得， 所以，所以D正确. 11．（25-26高二下·广东潮州·期末）抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 【答案】ABC 【分析】求出焦点坐标判断A；利用抛物线定义，结合两点间线段最短求解判断B；利用抛物线定义求出倾斜角判断C；联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及抛物线定义求出弦长关系判断D. 【详解】对于A，由直线与轴的交点为，得焦点，准线方程为， 因此抛物线的焦点到准线的距离，A正确； 对于B，由点，，过点作准线的垂线，垂足为， 则周长为， 当且仅当共线时取等号，B正确； 对于C，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，由，即， 得，则，因此直线的倾斜角为，斜率，C正确； 对于D，由消去得，设， 显然，，，，D错误. 三、填空题 12．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知椭圆：，其左右焦点分别为，．点是椭圆上任意一点，则的周长为__________． 【答案】6 【详解】由题意，根据椭圆的定义可知，. 所以的周长为. 因为椭圆方程为，所以. 所以的周长为. 13．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知两点，动点满足直线和直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为________ 【答案】 【分析】设动点坐标，写出直线和的斜率，由题意建立方程，整理得到动点P的轨迹方程. 【详解】设动点，由题意可知 则直线斜率，直线的斜率， 则，整理得. 14．（26-27高二上·全国·课后作业）已知抛物线，则弦长为定值的焦点弦有________条． 【答案】 【分析】根据抛物线的通径与其焦点弦的关系即可得到答案． 【详解】因为抛物线通径的长为焦点弦长的最小值，所以给定弦长， 若，则焦点弦存在两条； 若，则焦点弦存在一条； 若，则焦点弦不存在． 由，知，则通径长， 因为，所以弦长为定值1的焦点弦有条． 四、解答题 15．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在原点，焦点在轴上，且经过两点和； (2)焦点在坐标轴上，且过点和的椭圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设焦点在y轴上的椭圆标准方程，代入已知两点用待定系数法求解参数； （2）设不含焦点位置限制的椭圆一般方程，代入两点求解参数后整理为标准方程. 【详解】（1）已知椭圆中心在原点、焦点在轴上，设其标准方程为， 将点、分别代入方程，得方程组：，解得， 因此所求椭圆标准方程为。 （2）由于椭圆焦点在坐标轴上且位置不确定，设其方程为， 将点、分别代入方程，得方程组：， 解得，代入，得椭圆的标准方程为. 16．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为，离心率是 ； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为； (3)焦点在轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12； 【答案】(1)； (2)； (3)； 【分析】根据双曲线的顶点或焦点位置、渐近线方程及焦距、实轴长，结合双曲线的性质求双曲线方程. 【详解】（1）由题设，且，则，， 又顶点在轴上，故双曲线的标准方程为. （2）由题设，，则， 又一个焦点为，故双曲线的标准方程为. （3）由题设，，又焦点在轴上，令双曲线的标准方程为， 又一条渐近线方程为，即，则， 所以双曲线的标准方程为. 17．（26-27高二上·湖北·阶段检测）已知点在抛物线上，过点作抛物线的切线交轴于点． (1)求抛物线及切线的方程； (2)过抛物线的焦点F作直线，且与交于两点，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将点的坐标代入解出可得抛物线的方程，联立后利用可求得切线的方程； （2）求出直线的方程为，设，，将与的方程联立，利用韦达定理及即可求解． 【详解】（1）将点的坐标代入，得，解得， 所以C的方程为， 显然切线的斜率存在，设其方程为， 由，消去得， 则，故， 因此切线的方程为． （2）由（1）得C的焦点为，由于，故直线的方程为， 设，， 由，消去得， 则，， 故， 又切线的方程为，则，故 因此的面积．    18．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）已知双曲线：（，）的焦距为，点在其渐近线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)设为双曲线的右顶点，过点且斜率为的直线与双曲线交于，两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线焦距得值，结合渐近线过点列方程求解得标准方程； （2）先求直线方程，联立双曲线方程用韦达定理求弦长，再求点到直线的距离，进而计算三角形面积. 【详解】（1）由双曲线：的焦距为，得，即，故. 又因为双曲线：的渐近线方程为， 将代入渐近线方程得，即. 将代入，解得， 因此双曲线的标准方程为. （2）由（1）知双曲线的标准方程为，所以双曲线右顶点的坐标为. 过且斜率为的直线方程为，整理得. 联立直线与双曲线方程得，消去，化简整理得， ， 设，由韦达定理得. 由弦长公式得. 点到直线的距离. 所以的面积. 因此的面积为. 19．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，且直线不与轴重合． （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）点关于原点的对称点为，连接，设为原点到直线的距离，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）或；（ii） 【分析】（1）根据左焦点可知，结合离心率可得，即可得椭圆方程； （2）（i）设直线的方程为，，，联立方程可得韦达定理，由题意可得，结合韦达定理运算求解；（ii）分析可知，，进而可得，换元运算求解即可. 【详解】（1）由题意知：， 因为离心率，则，可得， 所以椭圆的标准方程为． （2）（i）由题意可知：直线过点，斜率不为0，且直线与椭圆必相交， 设直线的方程为，，， 联立方程，消去得， 则，， 可得 ， 整理得：，即， 因为，则，解得， 所以直线的方程为或，即或； （ii）由（i）可知：， 因为为中点，故， 又因为点关于原点对称的点为， 则， 则， 令，则，可得， 因为，则，， 可得，即，则， 所以原点到动直线的距离的取值范围为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆锥曲线的方程单元测试卷（2） 一、单选题 1．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）平面内，动点P的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·河北保定·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率不为0的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知双曲线：（）的实轴长为2，且两条渐近线夹角为，则该双曲线的焦距为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（2026·广东深圳·模拟预测）若椭圆：，与抛物线有相同焦点，则该椭圆与在第一象限的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．（26-27高二上·全国·课后作业）直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的值可以是（      ） A． B． C． D． 10．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）已知，为双曲线：的两个焦点，为上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A． B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D．若，则 11．（25-26高二下·广东潮州·期末）抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 三、填空题 12．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知椭圆：，其左右焦点分别为，．点是椭圆上任意一点，则的周长为__________． 13．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知两点，动点满足直线和直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为________ 14．（26-27高二上·全国·课后作业）已知抛物线，则弦长为定值的焦点弦有________条． 四、解答题 15．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在原点，焦点在轴上，且经过两点和； (2)焦点在坐标轴上，且过点和的椭圆的标准方程. 16．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为，离心率是 ； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为； (3)焦点在轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12； 17．（26-27高二上·湖北·阶段检测）已知点在抛物线上，过点作抛物线的切线交轴于点． (1)求抛物线及切线的方程； (2)过抛物线的焦点F作直线，且与交于两点，求的面积． 18．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）已知双曲线：（，）的焦距为，点在其渐近线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)设为双曲线的右顶点，过点且斜率为的直线与双曲线交于，两点，求的面积． 19．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，且直线不与轴重合． （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）点关于原点的对称点为，连接，设为原点到直线的距离，求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $