专题07 圆23大题型69题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材冀教版

专题07 圆（30大题型90题） 基础·固本强基 题型1 圆的概念辨析 题型2 与圆有关的弦、弧、角的简单计算 题型3 确定圆的条件 题型4 垂径定理及其推论与应用（重点） 题型5 圆周角定理（重点） 题型6 圆的内接四边形（重点） 题型7 弧长、扇形面积计算（重点） 提升·进阶突破 题型8 三角形外接圆的计算（重点） 题型9 利用垂径定理求值（重点） 题型10 垂径定理的实际应用问题（重点） 题型11 圆周角定理问题（重点） 题型12 直径所对的圆周角是直角问题（重点） 题型13 圆的内接四边形有关计算问题（重点） 题型14 求某点的弧形运动路径长度 题型15 求不规则扇形面积（重点） 题型16 圆锥的侧面积 拔高·压轴破难 题型17 与圆有关的多结论问题（难点） 题型18 圆与三角形综合（难点） 题型19 圆与四边形综合（难点） 题型20 圆与函数综合（难点） 题型21 圆中最值（隐圆）问题（难点） 题型22 圆中最值（动点）问题（难点） 题型23 圆的新定义与材料理解型问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 圆的概念辨析（共3小题） 【模型】圆上点到圆心距离相等；等弧必同圆，直径是圆内最长弦。 【步骤】紧扣定义辨析，抓半径、弦、弧等关键词，举反例判断命题真假。 【易错】忽略前提条件，混淆等弧与长度相等的弧，误把直径当作最长弦以外结论。 1．（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 2．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）在半径为6的中有一条弦，则的长度不可能是（） A．3 B．6 C．12 D．14 3．（25-26六年级上·黑龙江大庆·期中）下列说法错误的是（   ） A．圆内最长的线段是直径 B．圆的周长是直径的倍 C．半径2厘米的圆的圆周率比直径3厘米的圆的圆周率大 D．用同一根绳子围成长方形、正方形和圆形，圆的面积最大 题型2 与圆有关的弦、弧、角的简单计算（共3小题） 【模型】等弧对等弦对等角；垂径垂直平分弦，半径半弦弦心距构成直角三角形。 【步骤】找准对应弧，用圆周角圆心角关系，垂径定理构造直角三角形计算线段角度。 【易错】一条弦对应两段弧两个圆周角，易漏一解；跨弧角不能直接套用定理。 4．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交、于C、D两点，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，是弦，C是上一点，连结并延长交于点D，连接，，．若，，则的度数为______度． 6．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在中，是直径，于，若，，则的值是（   ） A． B． C．2 D．4 题型3 确定圆的条件（共3小题） 7．（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 8．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心； (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． 题型4 垂径定理及其推论与应用（共3小题） 【模型】垂直于弦的直径平分弦和弧；半径、半弦、弦心距组成直角三角形。 【步骤】过圆心作弦垂线，平分弦与对应弧，构造直角三角形，勾股定理求解。 【易错】平分弦（非直径）才垂直，易忽略前提；漏考虑弦在圆心两侧双解。 10．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在中，弦的长为，圆心到的距离为，则的半径为_________ ． 11．（25-26九年级上·河北·单元复习）已知A、B、C、D是上的点，为直径，过点D作的垂线交延长线于点E．    (1)求证：； (2)若，当时，求半径的长． 12．（2025九年级上·河北·专题练习）如图所示，是的半径，弦于点P，已知 ，，____________________． 题型5 圆周角定理（共3小题） 【模型】同弧所对圆周角相等；圆心角为圆周角两倍，直径所对圆周角是直角。 【步骤】锁定同弧或等弧，转化圆心角圆周角，倒角，结合直角、相似求解角度线段。 【易错】不同弧不可套用二倍关系；一条弦对应两段弧，易遗漏钝角圆周角情况。 13．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图，点A，B，C均在上，若，则的度数是（    ） A．35° B．120° C．25° D．140° 14．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，顶点A、B、C均在上，，则为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，，，．若，则的度数为（    ）     A． B． C． D． 题型6 圆的内接四边形（共3小题） 【模型】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角，用于角度等量代换。 【步骤】识别四点共圆，用对角互补或外角等于内对角，转移角度，证角相等。 【易错】无共圆不可套用性质；区分内对角，不要把普通四边形当成圆内接四边形。 16．（2026·重庆·二模）如图，四边形为的内接四边形，，的度数是（     ） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，四边形内接于，，在的延长线上，点在上，连接，则（   ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，四边形内接于是的直径，，求的度数． 题型7 弧长、扇形面积计算（共3小题） 【模型】；= 【步骤】找准圆心角与半径，代入弧长、扇形面积公式，割补法求阴影面积。 【易错】圆心角单位用度，勿直接代弧度；区分扇形面积两公式，看错半径。 19．（25-26九年级上·河北唐山·期末）每年的十月中下旬都是银杏落黄的时候，银杏林中就像金黄的蝴蝶满天飞，如图1所示，非常漂亮，佳佳发现银杏叶片的形状近似于扇形，如图2是他画的银杏叶片的几何示意图，通过测量得到，，则的长为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26九年级上·北京海淀·期中）如图是一块扇面宣传展板示意图，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 21．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则母线的长为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 提升·进阶突破 题型8 三角形外接圆的计算（共3小题） 【模型】外心到三顶点距离相等；直角三角形外接圆直径等于斜边长。 【步骤】找外心即三边垂直平分线交点，直角三角形外心在斜边中点，求外接圆半径。 【易错】混淆外心、内心；非直角三角形误用斜边为直径，计算半径出错。 22．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，是的平分线，是的中点，过点作交于点，交于点．若，则外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 23．（2024九年级·全国·竞赛）已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则________． 24．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（    ） A． B． C．2 D． 题型9 利用垂径定理求值（共3小题） 25．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在中，，经过点A，B，C，为的直径，且，过点O作于点E，则的长是（   ） A． B． C．1 D． 26．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，的直径垂直于弦，垂足为，则的长为（    ）    A．2 B． C．4 D． 27．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，为的直径，，点为圆上一点，为的中点，连接，过点作交于点，过点作，垂足为，． (1)求的长； (2)求的长． 题型10 垂径定理的实际应用问题（共3小题） 【模型】实际拱形类问题转化为圆中弦问题，半径半弦弦心距构成 Rt△。 【步骤】构建圆模型，过圆心作弦垂线，利用垂径定理造直角三角形，勾股求解。 【易错】忽略实际图形存在双解；误把弦心距当成半径，看错线段对应关系。 28．（2026·河北廊坊·一模）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”．图2是月洞门的示意图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．已知，，则月洞门所在圆的半径为______． 29．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26九年级上·江苏南通·期末）根据素材解决问题： 设计货船通过拱桥的方案 素材1 左图中有一座圆拱石桥，右图是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离． 素材2 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降． 问题解决 任务1 确定桥拱半径 （1）求圆形桥拱的半径； 任务2 拟定设计方案 （2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 题型11 圆周角定理问题（共3小题） 31．（2026·安徽安庆·二模）如图，是的外接圆，为直径，点D在上，且，延长交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 32．（25-26九年级下·河北衡水·期中）下图是一款机械零件的工程图纸，是的弦，直径于点E，点F是上一点，连接，，．已知，，则______________． 33．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． (1)完成上述性质的证明过程： 如图①，已知点，，，在上，求证：； (2)如图②，已知点，，，在上，若，的半径为4．求的长． 题型12 直径所对的圆周角是直角问题（共3小题） 【模型】直径所对圆周角为 90°；90° 圆周角所对弦为直径，常构造直角。 【步骤】看到直径，连接弦构造直角，利用直角三角形性质倒角、勾股或相似计算。 【易错】必须是直径所对圆周角；顶点不在圆上，不能直接判定为直角。 34．（25-26九年级下·河北衡水·期中）已知点A、B、C、D在上，是直径，，，的半径为2． (1)求证：是的平分线； (2)求圆内接四边形的周长． 35．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图，是半圆的直径，点在半圆上，点在上．若，半径，则（    ） A． B． C．2 D．4 36．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）点为半圆的圆心，是半圆的直径，．为半圆上的两点，点是弧的中点，连接．，的延长线与的延长线相交于点． (1)若，求_____ (2)求证：； 题型13 圆的内接四边形有关计算问题（共3小题） 37．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接和，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 38．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知：中，以为直径的交边，于点，，且点为边的中点． (1)求证：； (2)若，，求半径长． 39．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 题型14 求某点的弧形运动路径长度（共3小题） 40．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）直径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右无滑动地滚动到如图的位置，则点对应的数是（    ） A． B． C． D． 41．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是某款可折叠台灯的平面示意图，台灯罩为一个半圆，直径．，交半圆于点，底座放在水平面上，是支架，，灯泡初始位置时．将灯罩绕点顺时针旋转，使得半圆与相切，点的对应点分别为． (1)求灯罩顺时针旋转的角度； (2)求点到的距离； (3)求点经过的路径的长． 42．（25-26九年级下·山东·自主招生）如图，扇形中，点C在弧上，连接，P为中点，若，点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 题型15 求不规则扇形面积（共3小题） 43．（2026·河北廊坊·一模）如图，的半径为2，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 44．（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，，分别以点、为圆心、的长为半径画弧，交、的延长线于点、．则图中阴影部分的面积为________． 45．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，为正方形的外接圆，，，分别为和的中点，则图中阴影部分的面积为__________． 题型16 圆锥的侧面积（共3小题） 【模型】圆锥侧面展开为扇形，S侧=πrl，底面周长等于扇形弧长。 【步骤】分清母线、底面半径，套用圆锥侧面积公式，转化扇形进行计算求值。 【易错】混淆底面半径与母线；误把全面积当成侧面积，忘记扇形圆心角转换。 46．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，陀螺的底部是一个圆锥的造型．如图，圆锥底面圆的半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 47．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥，圆锥的母线长为． (1)求圆锥的侧面积和底面圆的半径； (2)求从A点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径的长．（保留一位小数，，） 48．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，格点纸中每个小正方形的边长均为，以小正方形的顶点为圆心，为半径做了一个扇形，并用该扇形围成一个圆锥的侧面．针对此做法， （1） _________； （2）该圆锥的侧面积为________． 拔高·压轴破难 题型17 与圆有关的多结论问题（共3小题） 49．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，是的直径，与相交于点D，，连接，，点C为上一点，且，连接，交于点E，交于点F，连接．现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 50．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，是直径，是弦，D是弧的中点，于点G，交于点E，交于点F，下列结论一定正确的有（    ）个 ①  ②  ③  ④若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 51．（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，正方形的边长为2，以为直径作半圆，点P是中点，与半圆交于点Q，连结，给出如下结论：①；②；③；④，下列结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型18 圆与三角形综合（共3小题） 52．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点，使得是“圆等三角形”，则这样的点能找到_________个； (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且，． ①当时，求度数； ②如图③，当，时，求阴影部分的面积． 53．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，三角形内接于，连接并延长交于点D，连结． (1)求证：； (2)若，求的度数． 54．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多… 【问题提出】（1）如图①，是的角平分线，求证． 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”． 请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明． 【作图应用】（2）如图②，是的弦，在优弧上作出点P，使得． 要求：①用直尺和圆规作图； ②保留作图的痕迹． 【结论应用】（3）在中，最大角是最小角的2倍，且，求． 题型19 圆与四边形综合（共3小题） 55．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，四边形内接于，是四边形的一个外角，且平分． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 56．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，四边形是的内接四边形，连接，E为延长线上一点，且平分． (1)如图①，若，求证：为等边三角形； (2)如图②，若，求的半径． 57．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． (1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． (2)在（1）的条件下，若的半径为8． ①求的长． ②如图2，在四边形中，若平分，试求四边形面积的最大值． (3)在（1）的条件下，如图3，若是的直径，请用等式表示线段、之间的数量关系______．（直接写答案） 题型20 圆与函数综合（共3小题） 58．（2026·河北沧州·三模）如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图象如图所示，当时，则的长为（     ） A． B． C． D． 59．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）已知四边形为⊙的内接四边形，如图1，边与的延长线交点，与相交于点，所对的圆心角的度数为，所对的圆心角的度数为，且． (1)求证：； (2)求的度数（用含、的式子表示）： (3)如图2，当时． ①若，，求⊙的半径： ②记的面积为，的面积为，，，当时，求关于的函数表达式． 60．（2026·河北石家庄·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点，点为轴正半轴上的一个动点，以为直径作圆交轴于点，圆与直线交于点，连接，过点作交圆于点，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)设矩形的面积为，试求关于的函数解析式，写出的取值范围．并判断是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值，若不存在，请说明理由； (3)当时，求点移动路线的长． 题型21 圆中最值（隐圆）问题（共3小题） 61．（2025·四川广安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，为边上的一个动点，连接，过点作，垂足为，在上截取，在四边形内存在一点，使得的面积最小，则的最小面积为______． 62．（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 63．（2025·广东茂名·一模）阅读理解： （1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点定长”： 如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：由题意，若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点、必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到________． ②类型二，“定角定弦”： 如图2，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 请将以下解题过程补充完整． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴_______，（定角） ∴点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小． 请完成后面的解题过程． （2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________（直接写结果）． （3）【能力拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点的运动路径长． 题型22 圆中最值（动点）问题（共3小题） 64．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线交轴于点A，交轴于点B，点C在轴上，且． (1)求直线的解析式． (2)动点从点B出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向C运动，点从点C出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动．若同时出发，运动的时间为秒，过点作交于点，连接，求的面积与之间的函数关系． (3)在（2）的条件下如图所示，连接，过点作于点，作于点，连接，，求此时的值？ 65．（26-27九年级上·四川·期中）以的边为边向外作等边，以边为底向外作等腰．其中，．取的中点，连接，． (1)如图1，若，此时与的位置关系是_____；线段与线段的数量关系是_____． (2)如图2，若为任意的锐角三角形．请猜想线段与线段的数量关系．并证明你的猜想． 【拓展延伸】 (3)如图3．若中，，，，取的中点．动点在线段上运动，点为平面上任意一点，满足 ．请探究的最小值是多少．并说明你的理由． 66．（26-27九年级上·四川达州·期中）在等腰中，，点D在边上． (1)如图1，D是靠近C点的三等分点，N是的中点，连接，，求腰长； (2)如图2，点E在的延长线上，连接交于H，点F在边上，其中，若点G是的中点且，探究与的数量关系并证明； (3)如图3，若，平面内有一动点，满足，平面内有一动点P，满足且，当最大时，直接写出的面积． 题型23 圆的新定义与材料理解型问题（共3小题） 67．（2026·河南平顶山·三模）请认真阅读以下材料，并完成相应任务． 探索正交四边形的性质【定义】如果一个凸四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个凸四边形为正交四边形． 【性质探索】根据定义，探索正交四边形的性质，得到如下结论： 性质1：正交四边形的面积等于两条对角线长度乘积的一半． 性质2：正交四边形对边的平方和相等． 性质2的证明过程（不完整）如下： 已知：如图1，四边形 是正交四边形．   求证：． 证明：如图2，设交于点， ……    任务： (1)①下列图形中一定是正交四边形的是__________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 ②补全材料中性质2的证明过程． (2)尺规作图：如图3，以 为边作正交四边形 ，使得．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图4，在中，弦分别是优弧 和劣弧 上的动点，且四边形是正交四边形．若四边形面积的最大值为，则当四边形的面积最大时，直接写出的长． 68．（2026·湖北黄冈·模拟预测）定义：四边形 中，，，则称四边形 为半角四边形，边 称为半对边． (1)如图①，若四边形 为半角四边形，且 为半对边，设，用含有α的代数式表示； (2)如图②，等腰 ，，点D为其内部一点，，连接，作的外接圆 ， 的延长线交 于点E，连接，求证：四边形为半角四边形； (3)如图③，在（2）的条件下，延长 交 于点F，连接． ①求证：； ②若，求四边形的面积． 69．（2026·江苏盐城·一模）【定义】在同一平面内，若两个面积相等的三角形有一个公共顶点，且它们在该公共顶点处的内角大小相等，则称这两个三角形为“共生等积三角形”，该公共顶点为这两个三角形的“共生点”．例如：如图1，在和中，若，，则和是以点为“共生点”的“共生等积三角形”． 【探究】运用上述定义探究下列问题： (1)如图2，和是以点A为“共生点”的“共生等积三角形”，且，，，，垂足为D．则： ①_________，_________； ②连接，试判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图3，若和是以点A为“共生点”的“共生等积三角形”，那么与是否相似？请说明理由． 【应用】借助以上结论或方法解决下列问题； (3)如图4，在中，，若和是以点B为“共生点”的“共生等积三角形”，点M在上，且．请用无刻度的直尺和圆规在图4中作出点N．（保留作图痕迹，不要写作法） (4)如图5，，，B为射线上一点，在的右侧作面积为的平行四边形，且，连接，则的最大值为_________． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆（30大题型90题） 基础·固本强基 题型1 圆的概念辨析 题型2 与圆有关的弦、弧、角的简单计算 题型3 确定圆的条件 题型4 垂径定理及其推论与应用（重点） 题型5 圆周角定理（重点） 题型6 圆的内接四边形（重点） 题型7 弧长、扇形面积计算（重点） 提升·进阶突破 题型8 三角形外接圆的计算（重点） 题型9 利用垂径定理求值（重点） 题型10 垂径定理的实际应用问题（重点） 题型11 圆周角定理问题（重点） 题型12 直径所对的圆周角是直角问题（重点） 题型13 圆的内接四边形有关计算问题（重点） 题型14 求某点的弧形运动路径长度 题型15 求不规则扇形面积（重点） 题型16 圆锥的侧面积 拔高·压轴破难 题型17 与圆有关的多结论问题（难点） 题型18 圆与三角形综合（难点） 题型19 圆与四边形综合（难点） 题型20 圆与函数综合（难点） 题型21 圆中最值（隐圆）问题（难点） 题型22 圆中最值（动点）问题（难点） 题型23 圆的新定义与材料理解型问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 圆的概念辨析（共3小题） 【模型】圆上点到圆心距离相等；等弧必同圆，直径是圆内最长弦。 【步骤】紧扣定义辨析，抓半径、弦、弧等关键词，举反例判断命题真假。 【易错】忽略前提条件，混淆等弧与长度相等的弧，误把直径当作最长弦以外结论。 1．（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是熟练应用定义判断；根据弦、弧、弓形及扇形的定义判断即可． 【详解】解：A：弦是连接圆上两点的线段，是弦； B：弧是圆上两点及其之间的部分，是弧； C：弓形是由弦和弧围成的图形，与其所对的弧围成的图形即是弓形； D：扇形是由两条半径和一段弧围成的图形，图中没有半径，也没有扇形； 故选：D ． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）在半径为6的中有一条弦，则的长度不可能是（） A．3 B．6 C．12 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小． 根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可． 【详解】解：∵圆的半径， ∴直径， ∵弦长满足， ∴， 选项D中，故不可能， 故选：D 3．（25-26六年级上·黑龙江大庆·期中）下列说法错误的是（   ） A．圆内最长的线段是直径 B．圆的周长是直径的倍 C．半径2厘米的圆的圆周率比直径3厘米的圆的圆周率大 D．用同一根绳子围成长方形、正方形和圆形，圆的面积最大 【答案】C 【分析】本题考查圆的相关概念（直径、周长、圆周率）以及周长相等的长方形、正方形、圆的面积比较，解题的关键是明确圆周率的定义以及不同图形面积与周长的关系． 依次分析每个选项，根据圆的相关知识和不同图形面积规律判断对错． 【详解】解：A、在圆中，直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，圆内的线段中，直径是最长的，该说法正确，不符合题意； B、根据圆的周长公式（表示周长，表示直径），可知圆的周长是直径的倍，该说法正确，不符合题意； C、圆周率是一个固定的值，用表示，它与圆的半径．直径大小无关，所以不管圆的半径或直径是多少，圆周率都是一样的，该说法错误，符合题意； D、用同一根绳子围成长方形．正方形和圆形，即它们的周长相等．在周长相等的情况下，圆的面积最大，该说法正确，不符合题意． 故选：C． 题型2 与圆有关的弦、弧、角的简单计算（共3小题） 【模型】等弧对等弦对等角；垂径垂直平分弦，半径半弦弦心距构成直角三角形。 【步骤】找准对应弧，用圆周角圆心角关系，垂径定理构造直角三角形计算线段角度。 【易错】一条弦对应两段弧两个圆周角，易漏一解；跨弧角不能直接套用定理。 4．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交、于C、D两点，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，理解题意是解决本题的关键． 先由三角形内角和定理得到，再由等边对等角即可得到的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：A． 5．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，是弦，C是上一点，连结并延长交于点D，连接，，．若，，则的度数为______度． 【答案】40 【分析】本题考查了圆的概念，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等边对等角；根据圆的半径相等再结合等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：40． 6．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在中，是直径，于，若，，则的值是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本性质，线段垂直平分线的性质； 连接，求出半径，可得，，则垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质可得答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴, ∴，， ∴, 又∵， ∴， 故选：C． 题型3 确定圆的条件（共3小题） 7．（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 8．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心． 依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，观察图象，可直接得出外心的坐标． 【详解】解：∵三角形的外心是各边的垂直平分线的交点， 图中已明确出各边垂直平分线以及其交点， 观察图象，可直接得出外心坐标为， 故选A． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心； (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． 【答案】(1) 如图，点即为所求； (2) 【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的外接圆等知识，解题的关键是理解三角形外接圆的圆心的三边垂直平分线的交点． （1）线段，的垂直平分线的交点即为所求； （2）连接，利用勾股定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 题型4 垂径定理及其推论与应用（共3小题） 【模型】垂直于弦的直径平分弦和弧；半径、半弦、弦心距组成直角三角形。 【步骤】过圆心作弦垂线，平分弦与对应弧，构造直角三角形，勾股定理求解。 【易错】平分弦（非直径）才垂直，易忽略前提；漏考虑弦在圆心两侧双解。 10．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在中，弦的长为，圆心到的距离为，则的半径为_________ ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理以及勾股定理，准确添加辅助线是解题的关键． 过点作交于点，连接，由垂径定理得，结合勾股定理可求出的长度． 【详解】解：过点作交于点，连接，如下图所示： ∵， ∴， ∵， 由勾股定理得， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·河北·单元复习）已知A、B、C、D是上的点，为直径，过点D作的垂线交延长线于点E．    (1)求证：； (2)若，当时，求半径的长． 【答案】(1) 证明：连接，    ∵为直径 ∴，                       ∴，                      ∵， ∴，                           ∴，                        ∴，                                   ∵，                        ∴； (2) 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同角的余角相等，垂径定理，勾股定理， 对于（1），连接，根据直径所对的圆周角是直角得，                      再根据同角的余角相等得，然后根据同弧所对的圆周角相等得，即可得出答案；                        对于（2），连接，先说明，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理求出，最后根据勾股定理得出方程，求出解即可. 【详解】（1）略 （2）解：连接，    ∵， ∴，                  ∴，                                      ∵为直径，， ∴，                                       在中，，              ∴，                                       设的半径为x，， ∵， ∴ ， 解得， ∴的半径为. 12．（2025九年级上·河北·专题练习）如图所示，是的半径，弦于点P，已知 ，，____________________． 【答案】13 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，设，则，再由垂径定理可得，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设， ， ， ∵是的半径，弦于点P，， ， 在中，， ∴， 解得，即， 故答案为：13． 题型5 圆周角定理（共3小题） 【模型】同弧所对圆周角相等；圆心角为圆周角两倍，直径所对圆周角是直角。 【步骤】锁定同弧或等弧，转化圆心角圆周角，倒角，结合直角、相似求解角度线段。 【易错】不同弧不可套用二倍关系；一条弦对应两段弧，易遗漏钝角圆周角情况。 13．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图，点A，B，C均在上，若，则的度数是（    ） A．35° B．120° C．25° D．140° 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，由，根据圆周角定理即可求得的度数． 【详解】解：， ． 故选：D． 14．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，顶点A、B、C均在上，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理及等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先利用圆周角定理可得：，再结合已知可得，然后再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理，进行计算即可解答． 【详解】解：由圆周角定理可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 15．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，，，．若，则的度数为（    ）     A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理、直角三角形两锐角互余，熟知圆周角定理是解题的关键． 根据的度数，结合圆周角定理求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可解决问题． 【详解】解：， ． ， ． 故选：A． 题型6 圆的内接四边形（共3小题） 【模型】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角，用于角度等量代换。 【步骤】识别四点共圆，用对角互补或外角等于内对角，转移角度，证角相等。 【易错】无共圆不可套用性质；区分内对角，不要把普通四边形当成圆内接四边形。 16．（2026·重庆·二模）如图，四边形为的内接四边形，，的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的内接四边形对角互补求解即可． 【详解】∵四边形为的内接四边形， ∴ ∵ ∴． 17．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，四边形内接于，，在的延长线上，点在上，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质； 根据同弧所对的圆周角相等可得，再利用平行线的性质求出，然后根据圆内接四边形的一个外角等于它的内对角得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 18．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，四边形内接于是的直径，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由圆周角定理得出，再根据圆内接四边形的性质求出，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， 在中， ． 题型7 弧长、扇形面积计算（共3小题） 【模型】；= 【步骤】找准圆心角与半径，代入弧长、扇形面积公式，割补法求阴影面积。 【易错】圆心角单位用度，勿直接代弧度；区分扇形面积两公式，看错半径。 19．（25-26九年级上·河北唐山·期末）每年的十月中下旬都是银杏落黄的时候，银杏林中就像金黄的蝴蝶满天飞，如图1所示，非常漂亮，佳佳发现银杏叶片的形状近似于扇形，如图2是他画的银杏叶片的几何示意图，通过测量得到，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．根据弧长的公式进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为，， 所以的长为：． 故选：． 20．（25-26九年级上·北京海淀·期中）如图是一块扇面宣传展板示意图，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，根据列式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 21．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则母线的长为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，进而得出圆锥的侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：∵为底面直径，， ∴圆锥的底面周长， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为， 由题意得：， 解得：， 故选：C． 提升·进阶突破 题型8 三角形外接圆的计算（共3小题） 【模型】外心到三顶点距离相等；直角三角形外接圆直径等于斜边长。 【步骤】找外心即三边垂直平分线交点，直角三角形外心在斜边中点，求外接圆半径。 【易错】混淆外心、内心；非直角三角形误用斜边为直径，计算半径出错。 22．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，是的平分线，是的中点，过点作交于点，交于点．若，则外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆心是解题关键． 先根据等腰三角形的三线合一可得是的垂直平分线，从而可得点O即为外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得． 【详解】解：，是的平分线 ，且是边上的中线（等腰三角形的三线合一） 是的垂直平分线 ∵是的中点，过点作交于点， ∴是的垂直平分线， 点O为外接圆的圆心，为外接圆的半径 ， 外接圆的面积为 故选：D． 23．（2024九年级·全国·竞赛）已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则________． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 故答案为：16 24．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，得出外接圆圆心位置是解题关键． 根据题意得出的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理求出半径即可． 【详解】解：如图所示：点O为外接圆圆心，则为外接圆半径， 故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：． 故选：D． 题型9 利用垂径定理求值（共3小题） 25．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在中，，经过点A，B，C，为的直径，且，过点O作于点E，则的长是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形的相关计算，中位线性质，垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质．根据圆周角定理得出，，解直角三角形得出，根据垂径定理得出，根据中位线性质得出． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 26．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，的直径垂直于弦，垂足为，则的长为（    ）    A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，含角的直角三角形的性质，掌握垂径定理和勾股定理的综合运用是解题的关键． 根据题意可得，，如图所示，连接，得到，在中，，由此勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】解：∵的直径垂直于弦，，， ∴，， 如图所示，连接，    ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：B ． 27．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，为的直径，，点为圆上一点，为的中点，连接，过点作交于点，过点作，垂足为，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据垂径定理得，根据勾股定理求解即可； （2）根据题意得，，可证明，得到，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点是弦的中点， ∴，， ∵直径， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴ ∴， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ． 题型10 垂径定理的实际应用问题（共3小题） 【模型】实际拱形类问题转化为圆中弦问题，半径半弦弦心距构成 Rt△。 【步骤】构建圆模型，过圆心作弦垂线，利用垂径定理造直角三角形，勾股求解。 【易错】忽略实际图形存在双解；误把弦心距当成半径，看错线段对应关系。 28．（2026·河北廊坊·一模）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”．图2是月洞门的示意图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．已知，，则月洞门所在圆的半径为______． 【答案】 【分析】设月洞门所在圆的半径为，则，，由垂径定理得到，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 设月洞门所在圆的半径为，则， ∴， 由题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴月洞门所在圆的半径为． 29．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接．   中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：C． 30．（25-26九年级上·江苏南通·期末）根据素材解决问题： 设计货船通过拱桥的方案 素材1 左图中有一座圆拱石桥，右图是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离． 素材2 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降． 问题解决 任务1 确定桥拱半径 （1）求圆形桥拱的半径； 任务2 拟定设计方案 （2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 【答案】(1) (2) 10吨 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，任务1，设 圆心为点，则点在延长线上，延长，则经过点，连结，设桥拱的半径为，则，由勾股定理，垂径定理，列出关于半径的方程，即可解决问题； 任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数． 【详解】解：任务1，设圆心为点，则点在延长线上，延长，则经过点，连结，如图， 设桥拱的半径为，则， ， ， ， ， ， 圆形拱桥的半径为． 任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加吨的货物才能通过．理由： 当是的弦时，与的交点为，连接，，如图， 四边形为矩形， ， ， ∵，， ． ， ， ， ， 根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱， 船在水面部分可以下降的高度为． 货船的载重量每增加吨，则船身下降， 吨， 至少要增加10吨的货物才能通过． 题型11 圆周角定理问题（共3小题） 31．（2026·安徽安庆·二模）如图，是的外接圆，为直径，点D在上，且，延长交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的直径，为上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，则，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，进而得到，再利用圆周角定理可得结论； （2）连接，利用（1）的结论和圆周角定理得到，，可得，然后利用勾股定理计算的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由（1）可知， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 32．（25-26九年级下·河北衡水·期中）下图是一款机械零件的工程图纸，是的弦，直径于点E，点F是上一点，连接，，．已知，，则______________． 【答案】65 【分析】连接，由圆周角定理可得，由平角的定义可得，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 33．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． (1)完成上述性质的证明过程： 如图①，已知点，，，在上，求证：； (2)如图②，已知点，，，在上，若，的半径为4．求的长． 【答案】(1) 证明：连接，，如图① ∵，， ∴． (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，可得，，即可得证； （2）连接，，过点作于点，由角度关系可得出，利用勾股定理可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：连接，，过点作于点，如图②， 由（1）可知， ∵， ∴． ∵，， ∴， 则， ∴． 题型12 直径所对的圆周角是直角问题（共3小题） 【模型】直径所对圆周角为 90°；90° 圆周角所对弦为直径，常构造直角。 【步骤】看到直径，连接弦构造直角，利用直角三角形性质倒角、勾股或相似计算。 【易错】必须是直径所对圆周角；顶点不在圆上，不能直接判定为直角。 34．（25-26九年级下·河北衡水·期中）已知点A、B、C、D在上，是直径，，，的半径为2． (1)求证：是的平分线； (2)求圆内接四边形的周长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是圆内接四边形，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线； (2)10 【分析】（1）由圆内接四边形性质求出，由直径得到，求出，然后得到，求出即可证明； （2）连接，如图，证明出为等边三角形，得到，，然后证明出四边形为菱形，得到，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴四边形的周长． 35．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图，是半圆的直径，点在半圆上，点在上．若，半径，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】先利用圆内接四边形对角互补求出的度数，再根据直径所对的圆周角为直角得到是直角三角形，结合直角三角形的性质求出的长度，最后用勾股定理计算的长度． 【详解】解：四边形是圆内接四边形，， ， 是半圆的直径，， ，， 在中，， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理的推论、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆内接四边形对角互补、直径所对的圆周角为直角，以及角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 36．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）点为半圆的圆心，是半圆的直径，．为半圆上的两点，点是弧的中点，连接．，的延长线与的延长线相交于点． (1)若，求_____ (2)求证：； 【答案】(1) (2) 证明：∵ 点是弧的中点， ∴ ， ∵ 是半圆的直径， ∴ ， ∴ ， 在和中， ∵ ，，， ∴（）， ∴ ． 【分析】本题主要考查了圆周角定理（直径所对圆周角为直角、弧中点对应圆周角相等）、全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理并结合全等三角形证明是解题的关键． （1）先根据直径所对圆周角为直角得，结合求出；再利用弧中点的性质得，进而求出． （2）利用弧中点的性质得，结合，证明，从而得出． 【详解】（1）解：∵ 是半圆的直径， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∵ 点是弧的中点， ∴ ， ∴ ， 故答案为：； （2）略 题型13 圆的内接四边形有关计算问题（共3小题） 37．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接和，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由圆内接四边形的性质得，进而由得到，再根据圆周角定理得，最后根据邻补角的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 38．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知：中，以为直径的交边，于点，，且点为边的中点． (1)求证：； (2)若，，求半径长． 【答案】(1) 证明：连接，如图， 为直径， ， ， ∵点为边的中点， 垂直平分， ； (2)半径为5 【分析】本题考查了圆的性质、垂直平分线的性质、三角形相似． （1）连接，利用圆周角定理的推论可得，点为边的中点，根据线段垂直平分线的性质可得结论； （2）连接，利用三角形相似得到关系式，从而求出，根据，即可求出． 【详解】（1） 略 （2） 解：连接，如图， ， ， ,， ， ，， ， ，即， ， ， ， 半径为5． 39．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 【答案】(1)90，120 (2) 证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； (3)或 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证； （3）连接，分四种情况：当时，则；当时；当时；当时；分别结合“等对角四边形”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； （2）略 （3）解：如图1，连接，当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”，是直径， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，当时，此时，， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”， 作，交于E， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则，，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 当时，则， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、“等对角四边形”的定义， 掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 题型14 求某点的弧形运动路径长度（共3小题） 40．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）直径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右无滑动地滚动到如图的位置，则点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了半圆无滑动滚动的弧长计算与数轴对应关系，解题的关键是明确半圆仅沿弧长滚动时，水平移动距离等于半圆弧长． 半圆无滑动滚动半周时，其与数轴接触的弧长即为水平移动距离，无需额外增加直径长度；计算半圆弧长即可得到点对应的数． 【详解】解：已知半圆直径为，则半径， 半圆弧长为， 半圆无滑动滚动半周，水平移动距离等于半圆弧长， 因此点对应的数为， 故选：B． 41．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是某款可折叠台灯的平面示意图，台灯罩为一个半圆，直径．，交半圆于点，底座放在水平面上，是支架，，灯泡初始位置时．将灯罩绕点顺时针旋转，使得半圆与相切，点的对应点分别为． (1)求灯罩顺时针旋转的角度； (2)求点到的距离； (3)求点经过的路径的长． 【答案】(1)灯罩顺时针旋转的角度为 (2)点到的距离是 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，扇形的弧长，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，即可求解； （2）作于点，根据直角三角形的性质可得，即可求解； （3）连接，，由旋转的性质可得，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得，即， ， ， ， 灯罩顺时针旋转的角度为， （2）解：如图，作于点． ， ， 点到的距离是． （3）解：如图，连接，． 由旋转的性质可得． ， ． ， ． 点经过的路径的长为． 42．（25-26九年级下·山东·自主招生）如图，扇形中，点C在弧上，连接，P为中点，若，点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了动点的运动轨迹问题，根据定弦定角确定圆所在的位置，以及等腰三角形的性质，中位线的性质，弧长公式等，熟练掌握这些公式和性质是解题的关键． 连接，易得，点P是在以点的中点D为圆心，为半径的圆上运动，再由弧长公式求出的半径，即可得出的长度． 【详解】解：连接， ， 为等腰三角形， 为中点， ， 即， 点P是在以点的中点D为圆心，为半径的圆上运动，如图所示： 当点C运动到点A的时候，点P到达点的位置， 点P所经过的路径为， 连接， 为 中点，为中点， ， ，， ， ， 即， 故选：A ． 题型15 求不规则扇形面积（共3小题） 43．（2026·河北廊坊·一模）如图，的半径为2，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，交于点，证明四边形为菱形，则，可得为等边三角形和，则，进而根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点，则：， 四边形为平行四边形，， 四边形为菱形， ， ∴，为等边三角形， ， 阴影部分的面积． 44．（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，，分别以点、为圆心、的长为半径画弧，交、的延长线于点、．则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】过点作于点，根据所对的直角边是斜边的一半，求出的长，根据勾股定理求出的长，根据等腰三角形三线合一，求出长，即可求出的面积，根据阴影部分的面积为即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ，． ． ． ． ． ， ． 45．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，为正方形的外接圆，，，分别为和的中点，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查圆与内接正方形，扇形的面积公式，三角形的等积变形，熟练掌握相关知识并运用转化思想是解题关键． 连接、、，根据正方形的性质和勾股定理，可计算出，结合，分别为和的中点，则．由等积变形可得，，则阴影，面积可看作扇形和扇形的面积之和，利用扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图，连接、、， ∵四边形是正方形， ∴与交于点，，，， ∴， 在直角中，， ∴， 又∵， ∴，即， ∵，分别为和的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 同理，， ∴． 故答案为． 题型16 圆锥的侧面积（共3小题） 【模型】圆锥侧面展开为扇形，S侧=πrl，底面周长等于扇形弧长。 【步骤】分清母线、底面半径，套用圆锥侧面积公式，转化扇形进行计算求值。 【易错】混淆底面半径与母线；误把全面积当成侧面积，忘记扇形圆心角转换。 46．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，陀螺的底部是一个圆锥的造型．如图，圆锥底面圆的半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆锥和扇形的计算等知识点，掌握扇形的面积公式、弧长公式是解题的关键． 根据圆的周长公式可得圆锥的底面周长为：，即圆锥侧面扇形的弧长为，再根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2求解即可． 【详解】解：∵圆锥底面圆的半径为， ∴圆锥的底面周长为：，即圆锥侧面扇形的弧长为， ∴此圆锥的侧面积为：． 故选：D． 47．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥，圆锥的母线长为． (1)求圆锥的侧面积和底面圆的半径； (2)求从A点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径的长．（保留一位小数，，） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了垂径定理、圆锥、解直角三角形的应用和扇形弧长和面积的计算，理解题意是解决本题的关键． （1）根据圆锥的母线长为，可得扇形的半径为，则可算出扇形的面积和弧长，进而即可算出底面圆的半径； （2）连接，过点O作，垂足为C，先求出的值再利用垂径定理求解即可． 【详解】（1）解：∵圆锥的母线长为， ∴扇形的半径为， ∴扇形的面积为：， ∴圆锥的侧面积为，扇形的弧长为， ∴圆锥底面圆的周长， ∴圆锥底面圆的半径； （2）解：如图，连接，过点O作，垂足为C， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴最短路径长为． 48．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，格点纸中每个小正方形的边长均为，以小正方形的顶点为圆心，为半径做了一个扇形，并用该扇形围成一个圆锥的侧面．针对此做法， （1） _________； （2）该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查扇形圆心角的确定、等边三角形的判定及性质以及圆锥侧面积与扇形面积的转化，熟练掌握扇形圆心角的推导方法和扇形面积公式是解题关键． （1）先判定是等边三角形，得∠，进而确定的度数． （2）圆锥侧面积等于围成它的扇形面积，根据扇形面积公式（ 为圆心角， 为扇形半径 ）计算． 【详解】解：（1）连接 ， ∵垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴ 故答案为：． （2）∵半径，圆心角， ∴根据扇形面积公式可得： 故答案为： ． 拔高·压轴破难 题型17 与圆有关的多结论问题（共3小题） 49．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，是的直径，与相交于点D，，连接，，点C为上一点，且，连接，交于点E，交于点F，连接．现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握同弧或者等弧所对的圆周角相等，同弧或者等弧所对的圆心角是圆周角的一半，垂径定理，直径所对的圆周角为，等腰三角形的性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． 由垂径定理，得到，，故①③正确，证明，故②正确，推导出，得到，继而证明，得到，则，故④正确，即可解答． 【详解】解：∵是的直径，与相交于点D，， ∴， ∴，故①③正确， ∴， ∵， ∴，故②正确， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，①②③④全部正确． 故选D． 50．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，是直径，是弦，D是弧的中点，于点G，交于点E，交于点F，下列结论一定正确的有（    ）个 ①  ②  ③  ④若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】假设，则，再根据点是的中点得，则，即点将半圆三等分，但是根据已知条件无法证明点将半圆三等分，由此可对①进行判断；连接，根据圆周角定理结合三角形内角和定理可对②进行判断；延长交于，连接，由得，则，再根据垂径定理得，据此可对③进行判断；根据垂径定理得，则，即，推出，在中由，设，则，则，则，进而得，证明得，据此可对④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：假设， 则， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴点将半圆三等分， 根据已知条件无法证明点将半圆三等分， ∴假设是错误的，故①不正确； 连接， ∵为直径，， ， 又 ∵， ， ， 又 ∵， ， ∴，故②正确； 延长交于，连接，如图2所示： ， ， ， ∵为直径，， ， ∴，故③正确； ∵为直径，， ， 又 ∵， ， ， 即， ， 在中，， ∴可设， 由勾股定理得：， ， ， 在 中，由勾股定理得：， ， ， 是直径， ， ， ， ∴，故④正确．故②③④正确，共3个． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理，熟练相关知识点，灵活运用锐角三角函数的定义和勾股定理进行计算是解决问题的关键． 51．（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，正方形的边长为2，以为直径作半圆，点P是中点，与半圆交于点Q，连结，给出如下结论：①；②；③；④，下列结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①连接，，如图1．易证四边形是平行四边形，从而可得．结合，证到，从而证到，则有 ； ②连接 ，如图2，根据勾股定理可求出．易证，运用相似三角形的性质可求出，从而求出的值，就可得到 的值； ③过点作于，如图3．易证，运用相似三角形的性质可求出，从而可求出的值； ④过点作于，如图4．易得，根据平行线分线段成比例可得，把代入，即可求出，然后在中运用三角函数的定义，就可求出的值． 【详解】①连接，，如图1． 易证四边形是平行四边形，从而可得． 结合，可证到，从而证到≌， 则有． 故①正确； ②连接，如图2． 则有，． 易证， 运用相似三角形的性质可求得， 则， , 故②正确； ③过点Q作于H，如图3． 易证∽， ， ， ． 故③正确； ④过点Q作于N，如图4． 易得， 根据平行线分线段成比例可得， 则有， 解得：． 由，得． 故④正确． 综上所述：正确结论是①②③④． 故答案为：D． 【点睛】本题考查圆周角定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质、平行线的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理，解题关键在于利用相似三角形的性质、勾股定理、三角函数的定义来建立等量关系． 题型18 圆与三角形综合（共3小题） 52．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点，使得是“圆等三角形”，则这样的点能找到_________个； (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且，． ①当时，求度数； ②如图③，当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)4 (2)①；② 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，扇形的面积和三角形的面积，等边三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． （1）过作直线的垂线交于，，分别以和为圆心，为半径作弧与圆的交点就是所求的点； （2）①根据圆内接四边形的性质得到，当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论；②)根据圆内接四边形的性质得到推出是等边三角形，得到．连接．根据圆周角定理得到， ，求得，，根据等边三角形的性质得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：过作直线的垂线交于，，分别以和为圆心，为半径作弧与圆的交点就是所求的点；如图所示： 满足条件的点C共有4个， 故答案为：4； （2）解∶①， ， 为圆等三角形，且， ， ②， ， 为“圆等三角形”， 是等边三角形， ， 连接，，交于， ，， ， ，， ， 四点共线， ， 与是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积扇形的面积的面积 ． 53．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，三角形内接于，连接并延长交于点D，连结． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，圆周角定理； （1）根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，证明； （2）根据直径所对的圆周角是直角可得，进而可得，根据同弧所对的圆周角相等，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． 54．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多… 【问题提出】（1）如图①，是的角平分线，求证． 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”． 请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明． 【作图应用】（2）如图②，是的弦，在优弧上作出点P，使得． 要求：①用直尺和圆规作图； ②保留作图的痕迹． 【结论应用】（3）在中，最大角是最小角的2倍，且，求． 【答案】 （1）证明：小明思路：过点B作交的延长线于点D， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； 小红思路：分别过点P，C作，垂足为D，E，F， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴． ∴； （2）点P即为所求； （3） 【分析】（1）小明思路，作，利用平行线分线段成比例定理得到，再利用等角对等边求得，即可证明结论； 小红思路，作，利用面积法即可证明结论； （2）作弦的垂直平分线，再作线段的垂直平分线，利用垂径定理即可求解； （3）利用相似三角形，利用相似三角形的性质，即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：①作弦的垂直平分线，交弦于点D，交点E， 由垂径定理得， ②再作线段的垂直平分线，交弦于点C， ③连接并延长交点P， ∵， ∴平分， ∵， ∴， 由（1）的结论得， 同理，点也为所求； （3）如图所示，作的平分线交于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 即 ∴， ∴（负值舍去）． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的作法确定的圆的条件，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定等知识，解决问题的关键是掌握题意，正确的作出图形． 题型19 圆与四边形综合（共3小题） 55．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，四边形内接于，是四边形的一个外角，且平分． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1) 证明：平分， ， ∵四边形内接于， ∴，， ∴， ∵， ； (2) 【分析】本题考查了弧长的计算：弧长公式：弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为，也考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质． （1）先根据角平分线的定义得到，再利用圆内接四边形的性质得到，所以，从而得到结论； （2）连结交圆于，连接、，则，利用的结论得到，则为等边三角形，所以，再在中求出直径，然后根据圆周角定理得到，最后根据弧长公式求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交圆于，连接、，则， ， 为等边三角形， ， ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得（负值舍去）， ∴圆半径为， ∴的长度． 56．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，四边形是的内接四边形，连接，E为延长线上一点，且平分． (1)如图①，若，求证：为等边三角形； (2)如图②，若，求的半径． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． (2)的半径为 【分析】本题考查了角平分线的定义、圆内接四边形的性质、同弧所对圆周角相等、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的性质，解本题的关键在正确作出辅助线和熟练掌握相关的性质定理． （1）利用圆的内接四边形的性质，圆的性质，角的平分线的意义，证明即可． （2）过点作于点，连接，根据（1）中，得出，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，再根据勾股定理和垂直平分线的性质，得出的长和垂直平分，进而得出圆心在的垂直平分线上，再设的半径为r，再根据勾股定理，列出方程，解出即可得出的半径． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点，连接， 由（1）知： ∴， ∵， ∴， ∴，垂直平分， ∵， ∴圆心在的垂直平分线上， ∴， 设的半径为r， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为． 57．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． (1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． (2)在（1）的条件下，若的半径为8． ①求的长． ②如图2，在四边形中，若平分，试求四边形面积的最大值． (3)在（1）的条件下，如图3，若是的直径，请用等式表示线段、之间的数量关系______．（直接写答案） 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）利用圆美四边形和美角的定义解答即可； （2）①作出的直径，利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理解答即可； ②延长至点，使，连接，利用圆周角定理，圆的内接四边形的性质和全等三角形的判定与性质得到，则为等边三角形；利用，求出△的面积的最大值即可得出结论； （3）延长交的延长线于点，利用圆周角定理，含角的直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解： 四边形是圆美四边形， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ， ． （2）①作直径．连接，如图， 为圆的直径， ， 由（1）知：， ， 的半径为8， ． ． ②延长至点，使，连接，如图， 由（1）知：， ， 平分， ． ， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ， ． 在△和△中， ， ， ， ， 为等边三角形． ，， ． 的面积最大时，四边形面积最大． 当取得最大值时，的面积最大， 当为圆的直径时，四边形面积最大． 即时，四边形面积取得最大值的面积的最大值， 四边形面积的最大值． （3）．理由： 延长交的延长线于点，如图， 是的直径， ， ． 由（1）知：， ， ， ． ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，本题是新定义型，正确理解新定义并熟练应用，连接直径所对的圆周角是解题的关键 题型20 圆与函数综合（共3小题） 58．（2026·河北沧州·三模）如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图象如图所示，当时，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于，于，则，，，，由，得，进而得到，即可证，得到，即得到，再根据函数图象可知的直径为，即得，设，则，利用勾股定理求出的值即可求解． 【详解】解：作于，于，则，， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由函数图象可知，当时，，此时为直径， ∴的直径为， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理得，, ∴， ∴． 59．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）已知四边形为⊙的内接四边形，如图1，边与的延长线交点，与相交于点，所对的圆心角的度数为，所对的圆心角的度数为，且． (1)求证：； (2)求的度数（用含、的式子表示）： (3)如图2，当时． ①若，，求⊙的半径： ②记的面积为，的面积为，，，当时，求关于的函数表达式． 【答案】(1) 证明： ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； (2) (3)①的半径为； ②． 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补证明，由两角对应相等得出三角形相似； （2）由三角形外角性质和圆周角性质即可证明结论； ①过点O作于点N，交于点M，先由得出， ，可得，设的半径为r，解即可求出r； ②先证，推出，再证，根据相似三角形的性质可得，结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： ∵所对的圆心角的度数为，所对的圆心角的度数为， ∴，， 又∵，即， ∴ （3）解：如图2，过点O作于点N，交于点M，连接，，    ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设的半径为r， 在中，， ， 解得， 的半径为； ②，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形内接于， ， 又， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，难度较大，属于压轴题，解题的关键是理解相似三角形的定义，综合运用上述知识点． 60．（2026·河北石家庄·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点，点为轴正半轴上的一个动点，以为直径作圆交轴于点，圆与直线交于点，连接，过点作交圆于点，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)设矩形的面积为，试求关于的函数解析式，写出的取值范围．并判断是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值，若不存在，请说明理由； (3)当时，求点移动路线的长． 【答案】(1) 证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； (2)有最小值，无最大值； (3)． 【分析】（）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （）先判断出，得出，再求出点求出的平方，再求出的平方，即可得出结论； （）先判断出点的运动轨迹是一段线段，进而判断出点的移动路线是线段，再判断出即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵是的直径， ∴， 即：， ∴， 在中，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， 当时，有最小值，无最大值；    （3）解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在垂直于的直线上运动， 当时，点的运动轨迹是从点到点的一段线段， 当时，点与点重合， 当时，点到达点， ∴点的移动路程长为的长度， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题是考查了圆的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，勾股定理，判断出和判断出点的运动轨迹是解题的关键． 题型21 圆中最值（隐圆）问题（共3小题） 61．（2025·四川广安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，为边上的一个动点，连接，过点作，垂足为，在上截取，在四边形内存在一点，使得的面积最小，则的最小面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，垂线段最短，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 连接，证明是等腰直角三角形，则有，，求出，然后证明点是外接圆的上的一个动点，故有当点共线时，的长最小，则的面积最小，过点作于点，则四边形是矩形，则有，再由面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴在中，， 连接，由题意可知是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴点是外接圆的上的一个动点， 作的外接圆，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点作于点， 当点共线时，的长最小，则的面积最小， 当点共线时，， ∴， ∴是等边三角形，， 过点作于点，则四边形是矩形， ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小面积为， 故答案为：． 62．（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 【答案】（1）相等，垂直 （2）过点作于，过点作分别交、于、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形，四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3） （4） 【分析】（1）根据图形进行猜想即可； （2）过点作于，过点作分别交、于、， 证明四边形为矩形，四边形为正方形，结合正方形性质证明，则可得，证明，得出，，再利用，得出，即可证明； （3）证明，得出，，再证明，在中，利用勾股定理求出，由等面积法得求出，在中，利用勾股定理求出，再证明为等腰直角三角形，得出，利用线段和差即可求解； （4）构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于，证明是等腰直角三角形，得出，求得，则当最小时，的面积最小，则最小时，的面积最小，由，可知当最小时，的面积最小，由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小，此时，点与重合，再进行计算即可． 【详解】解：（1）相等，垂直； （2）略 （3）在正方形中，由，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 得， 由等面积法得， 即， ∴， 在中，， 由（2）可知，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （4）如图，构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵正方形中，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴当最小时，的面积最小， ∴最小时，的面积最小， ∵， ∴当最小时，的面积最小， 由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小， 此时如图，点与重合， 则， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，外接圆，二次根式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 63．（2025·广东茂名·一模）阅读理解： （1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点定长”： 如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：由题意，若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点、必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到________． ②类型二，“定角定弦”： 如图2，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 请将以下解题过程补充完整． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴_______，（定角） ∴点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小． 请完成后面的解题过程． （2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________（直接写结果）． （3）【能力拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点的运动路径长． 【答案】（1）①28； ②， ∵的直径， ∴， 在中，， ∴线段长的最小值为． （2）4； （3） 【分析】（1）①根据圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得； ②先求出，从而可得点在以（定弦）为直径的上，然后连接交于点，此时最小，根据圆的性质可得，利用勾股定理求出的长，根据线段长的最小值等于即可得； （2）连接，先利用矩形的性质、勾股定理可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得点在以点为圆心，为半径的圆上运动，则当点在线段上时，的值最小，最小值为，由此即可得； （3）先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，则点的运动路径是在以为直径的圆的上，再利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得，，最后利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：（1）①∵，， ∴如图1，以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点、必在上， ∵是所对的圆心角，而是所对的圆周角，且， ∴， 故答案为：28． ②略 （2）如图3，连接， ∵在矩形中，，， ∴， ∵点与点关于直线的对称， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，的值最小，最小值为， 故答案为：4． （3）如图4，连接，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在点的运动过程中，始终有， 又∵点从点开始运动到点时，点也随之运动， ∴点的运动路径是在以为直径的圆的上， 如图4，取的中点，连接， ∴，， ∴点的运动路径长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，较难的是题（3），正确找出点的运动路径是解题关键． 题型22 圆中最值（动点）问题（共3小题） 64．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线交轴于点A，交轴于点B，点C在轴上，且． (1)求直线的解析式． (2)动点从点B出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向C运动，点从点C出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动．若同时出发，运动的时间为秒，过点作交于点，连接，求的面积与之间的函数关系． (3)在（2）的条件下如图所示，连接，过点作于点，作于点，连接，，求此时的值？ 【答案】(1)． (2)，即当 时 ；当 时 ． (3)． 【分析】（1）先由 求 、 的坐标，由 确定点 的坐标，再用待定系数法求直线 的解析式； （2）用 表示 、，由 用相似求 、，得 ，再用面积法求点 到 的距离，从而表示 的面积； （3）由 、 得 、、、 四点共圆，得 ；把 转化为 的平分线 与 的夹角，延长 、 交于点 ，用同位角相等得 ；再用角平分线的性质与面积法求出 的坐标、写出 的解析式，由 及点 、 的坐标列方程求 ． 【详解】（1）解：∵ 直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ， ∴ ，，∴ ，． ∵ 点 在 轴上，且 ，设 ， ∴ 且 ， ∴ ，∴ ． 设直线 的解析式为 ， 把 、 代入，得 ， 解得 ，， ∴ 直线 的解析式为 ． （2）解：∵ 点 从点 沿 以每秒 个单位向 运动，点 从点 沿 以每秒 个单位向 运动， ∴ ，． ∵ ，， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ，∴ ． ∴ ． 设点 到 的距离为 ， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 即当 时，； 当 时，． （3）解：∵ 于点 ， 于点 ， ∴ ， ∴ 点 、、、 在以 为直径的圆上， ∴ ． 设 平分 ，交 轴于点 ， 则 ． ∵ ， ∴ ． 延长 、 交于点 ，则点 在线段 上． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∵ 平分 ，且点 、 在 轴上， ∴ 点 到 的距离等于它到 的距离，即等于 ． 设 ，则 ， 即 ， 又 ， 即 ， ∴ ，解得 ， ∴ ． 设直线 的解析式为 ， 把 代入，得 ， ∴ 直线 的解析式为 ． ∵ ， ∴ 可设直线 的解析式为 ． ∵ 在直线 上， ∴ ， ∴ ． ∵ 点 在 上，且 ，，点 、， ∴ ． ∵ 点 在直线 上， ∴ ， 解得 ． ∵ ， ∴ ． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、面积法求点到直线的距离，以及四点共圆与角的转化；解题关键是三个小问都用 表示线段长，把点的坐标都写成含 的式子；第三问先把 转化为 的平分线与 的夹角，由四点共圆把 转化为 ，再延长 、 交于点 ，用同位角相等得到 与这条角平分线平行，再用角平分线的性质与面积法求出该角平分线与 轴的交点，最后由 列方程求 ． 65．（26-27九年级上·四川·期中）以的边为边向外作等边，以边为底向外作等腰．其中，．取的中点，连接，． (1)如图1，若，此时与的位置关系是_____；线段与线段的数量关系是_____． (2)如图2，若为任意的锐角三角形．请猜想线段与线段的数量关系．并证明你的猜想． 【拓展延伸】 (3)如图3．若中，，，，取的中点．动点在线段上运动，点为平面上任意一点，满足 ．请探究的最小值是多少．并说明你的理由． 【答案】(1)垂直； (2)， 证明：如图2， 分别取、的中点、，连接、、、， ， ，，且、均为的中位线， ，，， ，，，， ， ，， ， ， ， ； (3)的最小值为； 理由如下： 在中，，，， ， 由勾股定理得：， 是的中点， ， 如图3，作于， 在中，∵，， ∴， ，， 作于，点在边上， 在中，， ，， ， ，设； 延长交于， 由（即）， 得、、、四点共圆， 由圆周角定理得：，又， ∴， 由， 得：， 、、、四点共圆， ， 由得， ∴、、、四点共圆， 设， ， 是直角三角形， ，， 是的中点， 由直角三角形斜边中线的性质得， ， 当、、三点共线且在、之间时，等号成立， 故的最小值为． 【分析】（1）连接，证明点、、三点共线，由点是的中点，得，进而得垂直平分，平分， 垂直平分，平分，即可得结论； （2）分别取、的中点、，连接、、、，证明、均为的中位线，进而可得，证明，可证明，得，即可得； （3）在中，求得， ，作于，求得，，作于，求出，，由，得，；，延长交于，由（即），得、、、四点共圆，同理可得、、、四点共圆， 、、、四点共圆，进而证明是直角三角形，证明是的中点，得，，当、、三点共线且在、之间时，等号成立，即可求得的最小值． 【详解】（1）解：与的位置关系是垂直；线段与线段的数量关系是：； 如图1，等边，，，连接， ，， ， ， 点、、三点共线， 点是的中点，是直角的中线， ， ， 垂直平分，平分， ， ，， 垂直平分，平分， ， ， ，， ； （2）略 （3）略 66．（26-27九年级上·四川达州·期中）在等腰中，，点D在边上． (1)如图1，D是靠近C点的三等分点，N是的中点，连接，，求腰长； (2)如图2，点E在的延长线上，连接交于H，点F在边上，其中，若点G是的中点且，探究与的数量关系并证明； (3)如图3，若，平面内有一动点，满足，平面内有一动点P，满足且，当最大时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，理由如下： 过D作，交于W，连接，，如图1所示： 则，，， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 点G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）可证得，设，，则，根据列出关于a的方程，求得a，进而得出结果； （2）作，交于W，连接，，可证得，从而，进而得出，从而得出，证明，得出； （3）以为斜边作等腰直角三角形，以O为圆心，为半径作，则过点C和点，作直径，连接，作点P关于的对称点，连接，，，可得出，，，，进而得出，从而求得，根据得出的最大值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：∵， ， 是的中点， ，， ， ， ∵， ， ， 设， ∵点D是三等分点， ∴，， 根据勾股定理得：， ∴， ，（舍去）， ∴； （2）略 （3）解：以为斜边作等腰直角三角形，如图2所示： ， ， ， ∵，， 以O为圆心，为半径作，则过点C和点， ∴， 作直径，连接，作点P关于的对称点，连接，，， ，，，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 当、O、共线时，， 如图3，作于V， ， ， ， ． 题型23 圆的新定义与材料理解型问题（共3小题） 67．（2026·河南平顶山·三模）请认真阅读以下材料，并完成相应任务． 探索正交四边形的性质【定义】如果一个凸四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个凸四边形为正交四边形． 【性质探索】根据定义，探索正交四边形的性质，得到如下结论： 性质1：正交四边形的面积等于两条对角线长度乘积的一半． 性质2：正交四边形对边的平方和相等． 性质2的证明过程（不完整）如下： 已知：如图1，四边形 是正交四边形．   求证：． 证明：如图2，设交于点， ……    任务： (1)①下列图形中一定是正交四边形的是__________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 ②补全材料中性质2的证明过程． (2)尺规作图：如图3，以 为边作正交四边形 ，使得．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图4，在中，弦分别是优弧 和劣弧 上的动点，且四边形是正交四边形．若四边形面积的最大值为，则当四边形的面积最大时，直接写出的长． 【答案】(1)①CD ②四边形 是正交四边形， ， ， ，， ， ， ． (2)如图，正交四边形即为所求； (3)． 【分析】（1）①根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质判断即可； ②根据勾股定理即可证明； （2）由作图可得，，若连接，则根据线段垂直平分线的判定可得，； （3）先确定故当四边形的面积最大时，为的直径，然后求出，解直角三角形可得，则，最后根据弧长公式求解． 【详解】（1）解：①∵菱形和正方形的对角线互相垂直， ∴菱形和正方形是正交四边形； ②略 （2）解：先截取，过点作直线的垂线，在直线的垂线上截取，然后分别以为圆心，为半径作弧，两弧在的内侧交于点，连接即可； （3）解：连接． 四边形是正交四边形， ． 四边形面积的最大值为， 的最大值为． 故当四边形的面积最大时，为的直径，如图2， 的半径为． 设交于点，连接． ， ， 长为． 68．（2026·湖北黄冈·模拟预测）定义：四边形 中，，，则称四边形 为半角四边形，边 称为半对边． (1)如图①，若四边形 为半角四边形，且 为半对边，设，用含有α的代数式表示； (2)如图②，等腰 ，，点D为其内部一点，，连接，作的外接圆 ， 的延长线交 于点E，连接，求证：四边形为半角四边形； (3)如图③，在（2）的条件下，延长 交 于点F，连接． ①求证：； ②若，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为半角四边形； (3)①证明：如下图，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ② 【分析】（1）首先根据“半角四边形”的定义可知，，进而可得，易知，结合，即可获得答案； （2）证明，由全等三角形的性质可得，再证明，，易得，即可证明结论； （3）①连接，首先证明，，进而证明，再证明，进而证明，结合，可得，进一步证明，即可证明结论； ②延长 交的延长线于点 ，延长交 于点 ，过点作于点，由（2）可知，，可证明四边形为矩形，易得；证明，结合相似三角形的性质可得，结合题意解得，结合三角函数可得；在取一点，使得，进一步解得，，可得，即可求得，，的值，证明，，结合相似三角形的性质解得，的值，然后由求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为半角四边形，且为半对边， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ； （2）略 （3）①略； ②延长 交的延长线于点 ，延长交 于点 ，过点作于点，如下图， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴，解得（负值舍去）， ∴， ∴， 在取一点，使得，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即，解得， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴ ． 69．（2026·江苏盐城·一模）【定义】在同一平面内，若两个面积相等的三角形有一个公共顶点，且它们在该公共顶点处的内角大小相等，则称这两个三角形为“共生等积三角形”，该公共顶点为这两个三角形的“共生点”．例如：如图1，在和中，若，，则和是以点为“共生点”的“共生等积三角形”． 【探究】运用上述定义探究下列问题： (1)如图2，和是以点A为“共生点”的“共生等积三角形”，且，，，，垂足为D．则： ①_________，_________； ②连接，试判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图3，若和是以点A为“共生点”的“共生等积三角形”，那么与是否相似？请说明理由． 【应用】借助以上结论或方法解决下列问题； (3)如图4，在中，，若和是以点B为“共生点”的“共生等积三角形”，点M在上，且．请用无刻度的直尺和圆规在图4中作出点N．（保留作图痕迹，不要写作法） (4)如图5，，，B为射线上一点，在的右侧作面积为的平行四边形，且，连接，则的最大值为_________． 【答案】(1)①；5；②，理由见解析 (2)相似，理由见解析 (3)见解析 (4)的最大值为 【分析】（1）①利用勾股定理求得，利用等积法即可求解； ②由“共生等积三角形”的定义得到，结合，可证得，得到； （2）由“共生等积三角形”的定义得到，推出，可证得； （3）构造等边三角形，作于点N，点N即为所作； （4）构造平行四边形，使，，同理得到，求得，结合，由定弦定角知，点在以点为圆心，且的圆上，当点在射线上时，取得最大值，据此求解即可． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵和是以点A为“共生点”的“共生等积三角形”， ∴， ∴； ②，理由如下： ∵和是以点A为“共生点”的“共生等积三角形”， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：相似，理由如下： 作于，作于， 由题意得，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴； （3）解：点N即为所作： 由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∴，； （4）解：作于， ∵， ∴， ∵， ∴， 构造平行四边形，使，， 则，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 由定弦定角知，点在以点为圆心，且的圆上， ∴作于，交于， ∴，， ∴，， 作于， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 当点在射线上时，取得最大值， ∴的最大值为． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $