专题01 数据分析与统计估计22大题型66题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材冀教版

专题01 数据分析与统计估计（22大题型66题） 基础·固本强基 题型1 平均数的计算 题型2 加权平均数的计算（重点） 题型3 求中位数与众数 题型4 求四分位数（重点） 题型5 画箱线图（重点） 题型6 求方差（重点） 题型7求离差平方和 题型8 由样本所占百分比估计总体的数量 题型9 用样本的频数估计总体的频数 提升·进阶突破 题型10 已知平均数求未知数据的值 题型11 利用加权平均数求未知数据的值 题型12 利用加权平均数做决策（重点） 题型13 利用中位数、众数求未知数据的值 题型14 运用中位数、众数做决策（重点） 题型15 求四分位数的综合计算（重点） 题型16 画箱线图综合 题型17 利用方差做决策（重点） 题型18 离差平方和的应用 题型19 用样本估计总体 拔高·压轴破难 题型20 数据的分析与统计估计解答题（难点） 题型21 四分位数、箱线图解答题（难点） 题型22 用样本推断总体压轴题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 平均数的计算（共3小题） 【步骤】全部数据求和，再除以数据总个数，算出算术平均数。 【易错】不要漏数、重复统计数据；求和计算细心，勿算错总和。 1．（2026·河北沧州·模拟预测）每年6月6日是河北爱眼日，在迎接第31个河北“爱眼日”来临之际，某校开展“用眼有度，‘睛’彩一生”手抄报评比，其中七年级8个班得分为：9，8，8，9，7，9，10，8，那么这组数据的平均数为（     ） A．8 B．8.5 C．9.5 D．10 2．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）现有一组数据6，3，9，8，10，12，5，11，则这组数据的平均数是________________． 3．（24-25八年级下·河北·期末）李明同学进行射击练习，一发子弹打中5环，四发子弹各打中8环，四发子弹各打中9环，一发子弹打中10环，则他射击的平均成绩是______环． 题型2 加权平均数的计算（共3小题） 【步骤】各数据乘对应权重，相加求和，权重总和作分母算出结果。 【易错】权重不是数据个数；权重之和必须为 1，不要直接取普通平均 4．（25-26八年级下·河北保定·期末）某校规定学生的学期数学成绩由平时、期中、期末三部分组成，权重分别为．小明平时、期中、期末成绩依次为90分、85分、92分，则他的学期数学成绩为（     ） A．89分 B．89.5分 C．90分 D．90.5分 5．（26-27九年级上·河北沧州·期中）为传承中华优秀传统文化，某校开展国学文化宣讲使者选拔活动．评委从宣讲的内容、表达、效果三个方面为选手打分（各项满分均为100分）．现从进入决赛的甲、乙两名选手中确定一人胜出，胜出者定为本校的国学文化宣讲使者，两人最终的单项成绩如下： 选手 内容 表达 效果 甲 98 84 88 乙 88 85 97 (1)若以两名选手的三项的平均成绩作为最终成绩，能否以此确定两人的名次？说明理由； (2)若评委将“内容”“表达”“效果”按计算两名选手的平均成绩，通过计算说明哪一名选手会胜出． 6．（24-25八年级下·山东滨州·期末）一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占、演讲能力占、演讲效果占，计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表： 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 甲 85 95 95 乙 95 85 95 根据以上信息，下面对两人最后得分（或名次）结论正确的是（   ） A．甲得91分 B．乙得91分 C．甲获得第一名 D．乙比甲高2分 题型3 求中位数与众数（共3小题） 【步骤】数据先排序，中位数看中间；众数找出现次数最多的数据。 【易错】求中位数一定要排序；众数可以多个，不是最大的数。 7．（26-27九年级上·河北沧州·期中）五个数据0，，5，2，m的唯一众数为，则m的值为（     ） A．5 B． C．0 D．2 8．（25-26八年级下·河北唐山·期末）有一组学生的体重数据（单位：）分别是：，，，，，，．则这组数据的众数是______． 9．（25-26八年级下·河北沧州·期末）在某校八年级跳绳选拔赛上，参加的15名运动员的成绩如下表所示： 成绩/次 150 160 165 170 175 180 人数 2 3 2 3 4 1 则这些运动员成绩的众数为___________次，中位数是___________次． 题型4 求四分位数（共3小题） 【步骤】数据从小到大排序，确定位置，依次求出下、中、上四分位数。 【易错】四分位数位置算法易混淆；注意奇数、偶数个数据的区别。 10．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（    ） A． B．168 C．124 D．150 11．（25-26八年级上·河北保定·期末）将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的下四分位数为________． 12．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）已知八年级1班和2班的人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．1班成绩比2班成绩集中 B．1班成绩的下四分位数是90分 C．2班同学的成绩有120分的 D．1班和2班成绩的中位数相同 题型5 画箱线图（共3小题） 【步骤】求出最小值、Q1、中位数、Q3、最大值，在数轴画出五数 【易错】箱线图只体现五数，看不出数据分布密度；刻度要均匀。 13．（25-26八年级上·河北·期中）小明抽样调查了两个不同年龄段的人群晚上休息的时间，制作了如下统计图： (1)这两个年龄段的人群晚上休息的时间有什么特点？ (2)如果一组是青年组，另一组是老年组，那么你认为哪组有可能是青年组？ 14．（2025八年级上·河北·专题练习）已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示． (1)甲班成绩的中位数为___________，乙班成绩的上四分位数为___________． (2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ (3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ 15．（25-26八年级下·河北保定·期末）某班抽取了甲、乙两组学生，统计其本学期课外书阅读数量（单位：册）如下： 甲组：5，6，6，3，8，10，9，3，10； 乙组：5，4，m，7，6，6，8，n，8．（，且m，n均为正整数） 两组课外阅读数量的四分位数如下图表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a b c 乙 5 6 8 (1)根据甲组数据，求a，b，c的值； (2)在图中根据四分位数绘制出甲组课外书阅读数量的箱线图，观察图中乙组的箱线图，直接写出m，n的值． (3)根据箱线图比较甲、乙两组课外书阅读数量的特点（写出一条即可）． 题型6 求方差（共3小题） 【步骤】先求平均数，各数据减平均数平方求和，再除以数据个数 【易错】方差是平方平均，勿忘平方；方差单位和原数据单位不一致 16．（2026·河南信阳·模拟预测）有一组数据如下：、、、、，它们的平均数是，那么这组数据的方差是______． 17．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：h），分别为：4，5，5，6，10．这组数据的方差是_______． 18．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）小聪、小明准备代表学校参加市里的“党史知识”竞赛，老师对这两名同学进行了5次测试，两人5次测试的成绩（满分10分）如下：小聪：8，8，7，8，9；小明：10，9，7，5，9 (1)填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 小聪 8 8 0.4 小明 8 9 3.2 (2)根据上面的计算，老师选择小聪代表班级参赛，理由是什么？ (3)如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的方差_____．（填“变大”、“变小”或“不变”） 题型7 求离差平方和（共3小题） 【步骤】算出平均数，每个数据减去平均数，平方后全部相加 【易错】离差是数据减均值，先减再平方；不要先平方再相减 19．（26-27九年级上·河北衡水·期中）把数据2，4，6，9，10分成与两组，则组内离差平方和是_____． 20．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，，．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（     ） 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 A．和{ B．和 C．和 D．和 21．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）有四名学生某次航天知识竞赛的成绩（单位：分）分别是，，，，现将这组数据分成和两组，则这种分法的组内离差平方和是________． 题型8 由样本所占百分比估计总体的数量（共3小题） 22．（25-26七年级下·河北廊坊·期末）某市发布了一份空气质量抽样调查报告，在该市－月随机调查的天中，各空气质量级别的天数如下图：    (1)通过分析上图，请你评价一下－月份该市的空气质量情况． (2)如果这天的数据是从一年中随机抽取的，请你预测该市一年（天）空气质量级别为优和良的天数共约有多少天？（结果保留整数） (3)请你根据调查报告，对有关部门提几条建设“绿色环境城市”的建议． 23．（25-26七年级下·河北唐山·期末）某校对部分学生做了一次主题为“我最喜爱的图书”的调查活动，将图书分为甲、乙、丙、丁四类，学生可根据自己的爱好任选其中一类．学校根据调查情况进行了统计，并绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图． (1)本次共调查了__________名学生； (2)被调查的学生中，最喜爱丁类图书的有_________人； (3)最喜爱甲类图书的人数占本次被调查人数的________； (4)由以上数据可以看出哪类图书最受学生欢迎？如果这所学校共有学生1250人，请估计该校喜爱这类图书的有多少人？ 24．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）某校七年级数学老师为了更好地改进作业设计，随机抽取了一部分七年级学生他们每天做数学作业的时间进行了调查统计，并分成四组（：分钟；：分钟：：分钟；：分钟，每组的时间包括最小值不包括最大值），然后绘制成了如下不完整的统计图，请根据统计图所提供的信息解答下列问题． (1)本次调查抽取的总人数为______人，并补全条形统计图； (2)求组所在扇形的圆心角的度数； (3)如果全校七年级一共有人，请估计有多少人能在半小时内完成数学作业． 题型9 用样本的频数估计总体的频数（共3小题） 25．（25-26七年级下·河北唐山·期末）夏天是溺水事故的高发期，为增强学生防溺水安全意识，某中学组织七年级学生开展了防溺水安全知识竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，数学兴趣小组调查了名学生的成绩（单位：分）进行研究． 防溺水安全知识竞赛成绩调查报告单 数据收集 调查对象 七年级名学生参赛成绩 调查方法 （     ）调查 数据的整理与描述 组别 成绩 频数 A B C D E    请根据所给信息解答下列问题： (1)此调查方法属于________调查（填“抽样”或“全面”），________，并补全频数分布直方图； (2)求扇形统计图中E组所对应的圆心角的度数； (3)若成绩不低于80分为优秀，该校七年级共有3500名学生参与知识竞赛，请你估计成绩为优秀的人数是多少． 26．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期末）年月日，神舟二十三号载人飞船成功发射，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试，现从七、八年级各随机抽取了名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 【数据收集】 七年级：，，，，，，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，，，，，，； 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)________，________； (2)请推断哪个年级的测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)测试成绩在分的学生可以获得奖励，若该校八年级有名学生，估计八年级可以获得奖励的学生人数为多少？ 27．（25-26八年级下·河北保定·期末）七、八两个年级举办中华文化知识大赛．从两个年级随机抽取部分学生进行调查（满分为100分，学生成绩（单位：分）均为不小于60的整数，分为四个等级：（D．，C．，B．，A．）． 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调查抽取的七年级学生成绩为________等级的学生人数最多（填“A”“B”“C”或“D”）； (2)该校七年级共有320名学生，七年级学生都参加本次大赛，请估计七年级成绩为A等级的学生人数； (3)把抽取的七年级学生成绩由高到低排列，记排名第五的学生成绩为，把抽取的八年级学生成绩由高到低排列，记排名第五的学生成绩为，比较，的大小，并说明理由． 提升·进阶突破 题型10 已知平均数求未知数据的值（共3小题） 28．（26-27九年级上·河北沧州·期中）若一组数据4，5，6，a，b的平均数为5，则______． 29．（2025·江苏盐城·二模）某校有两个兴趣小组，在一次测验中甲组人平均成绩是76分，乙组人平均成绩是90分．甲、乙两组合在一起时平均成绩为85分，则_____． 30．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了，经重新计算，全班平均分是91.7分，五一班有学生_______人． 题型11 利用加权平均数求未知数据的值（共3小题） 31．（2026·辽宁盘锦·一模）校园歌手大赛中，小明的演唱技巧得分86分，舞台表现得分90分，两项按一定权重计算后的总分为分．则评委更看重______．（填“演唱技巧”或“舞台表现”） 32．（25-26八年级下·北京西城·期末）一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 33．（2026·河北张家口·二模）某文具店对A，B，C，D，E五种笔记本的售价进行调整，并将调整前后的笔记本售价（均为整数）绘制成如图所示的不完整折线图，已知调整前后的五种笔记本的平均售价相同，且这五种笔记本的平均售价为7元． 品种 A B C D E 购买数量/本 2 3 3 1 1 （1）补全折线图； （2）价格调整后，小亮某次购买笔记本的情况如表所示，直接写出这些笔记本价格的中位数；请判断这些笔记本的平均售价是否与五种笔记本的平均售价相同，并说明理由； （3）调价后，文具店将五种笔记本各一本摆在柜台上，小丽随机从中拿出一本． ①选中调价后的售价不低于调价前售价的笔记本的概率为______． ②若小丽拿出的是一本C种笔记本，她还要从余下的四本中随机拿出两本，用树状图法或列表法求她选中B种笔记本的概率． 题型12 利用加权平均数做决策（共3小题） 34．（26-27八年级上·河北·期中）学校评选“校园之星”，学生选票每1票计1分，教师选票每1票计5分，所有选票相加后得分最高的3人当选．请你根据下表判断哪三名学生将当选为“校园之星”． 选票 候选人 候选人1 候选人2 候选人3 候选人4 候选人5 候选人6 学生选票 399 365 392 374 401 406 教师选票 15 16 19 20 15 15 35．（26-27八年级上·河北·期中）某校进行广播体操比赛，评分包括以下几项（每项满分10分）：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐．其中三个班的成绩见下表： 班级 评分项 服装统一 进退场有序 动作规范 动作整齐 一班 9 8 9 8 二班 10 9 7 8 三班 8 9 8 9 如果将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按的比例计算各班的广播体操比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？ 36．（26-27九年级上·河北·期中）为推选一名同学参加学校演讲比赛，班里组织了一次选拔赛，由教师组成评委，对甲、乙、丙三名候选人分别就演讲内容、语言表达能力和感染力三方面打分．评委打分（满分10分）的结果如下表： 测试项目 演讲内容 语言表达能力 感染力 甲的成绩/分 9.0 8.6 8.0 乙的成绩/分 8.0 9.2 8.2 丙的成绩/分 9.4 8.8 7.5 (1)如果按三项得分的算术平均数大小确定优胜者，那么谁是优胜者？ (2)如果将三项得分按演讲内容、语言表达能力、感染力分别占的比例计算平均分，依平均分的高低确定优胜者，那么谁是优胜者？（可借助计算器计算） (3)如果认为语言表达能力最重要，那么请你给三项得分分配适当的权重，并确定优胜者． 题型13 利用中位数、众数求未知数据的值（共3小题） 37．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）某人打靶五次的环数如下：1，4，6，8，x，其中整数x是这组数据的中位数，那么这组数据的平均数是 __________________ 38．（25-26八年级下·河南周口·期末）一组数据： 1，3，5，7，9，添加一个数后，中位数变为5.5，则添加的数是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 39．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）七名学生投篮球，每人投了10个球后，统计他们每人投中球的个数，得到七个数据，并对数据进行整理和分析，得出如下信息： 最小值 中位数 众数 平均数 2 6 7 m 其中小陈同学投中了4个，下列判断：①可能有学生投中了9个；②投中6个的学生只有1人；③这七个数据之和不可能为42；④m的值可能为5．所有正确推断的序号是________． 题型14 运用中位数、众数做决策（共3小题） 40．（26-27九年级上·河北·期中）某工艺品车间有30名工人，调查他们一周内加工某工艺品的数量，数据如下表： 一周内加工的工艺品数/件 50 60 70 80 频数 8 14 6 2 (1)求这30个数据的平均数、中位数和众数． (2)如果将每周加工工艺品的定额定为64件，是否合理？如果不合理，请确定一个比较合理的加工定额，并说明理由. 41．（26-27九年级上·河北·期中）某企业50名职工的月基本工资分为5个档次，分布情况如下表： 月基本工资额/元 人数 6 4 (1)求月基本工资的平均数、中位数和众数． (2)相对来说，企业经理更关心哪个数？普通职工更关心哪个数？ 42．（26-27九年级上·陕西延安·开学考试）运算能力是数学学科的核心素养之一，它既是解决生活实际问题的必备技能，也是学生理解数学概念、解决数学问题的重要基础．为了进一步了解学生的计算情况，数学老师对某次计算专项训练考试中第20题计算题的得分情况进行了调查．现分别从A、B两班各随机抽取10名学生的成绩，绘制成如下图表．其中，如图是A班10名学生的成绩统计图，如表是A，B两班10名学生的成绩统计表，B班10名学生的成绩（单位：分）分别为：7，7，7，8，8，9，9，9，9，9． A、B两班10名学生的成绩统计表 A班 B班 平均数 a 中位数 b 众数 8 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________； (2)求A班所抽取学生成绩的平均数； (3)根据以上数据，你认为A、B两个班哪个班计算题掌握得更好？请说明理由．（写出一条即可） 题型15 求四分位数的综合计算（共3小题） 43．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）已知A，B两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分分），则下列说法错误的是（     ） A．这次考试A、B两个班都没有人考满分 B．A班的最低分比B班的最低分低 C．A班成绩的第三分位数与B班成绩的中位数相同 D．A班的成绩比B班的成绩更集中 44．（26-27九年级上·河北沧州·期中）【概念理解】 箱线图由长方形箱体和从箱体延伸出的两条线段构成，如图1，箱体中部的“×”的交点表示平均数；整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距． 【情境应用】 为了备考体育中考，某校九年级、B两个班各随机抽选10位同学进行“四分钟跳绳”模拟测试．满分标准为405个，所有结果均为整数（单位：个）． 体育老师已对A班同学的跳绳个数进行统计和录入，形成了箱线图如图2所示； B班同学的跳绳个数如下：425，427，430，404，399，415，442，405，390，335． (1)根据A班同学的箱线图，A班同学跳绳个数的平均数是______，四分位距是______． (2)根据B班同学的跳绳个数，请在图2中补全B班同学跳绳个数的箱线图，并标出B班同学跳绳个数的平均数，第一四分位数，中位数，第三四分位数及两端极值点． (3)已知A班同学的跳绳个数从大到小为：435，418，415，405，404， a ， b ， c ，397，396，缺失了其中的三个数据，根据箱线图，通过计算将缺失的数据补全． (4)请结合A、B两班同学跳绳测试的箱线图及数据特征，写出你能从中获得的结论．（建议贴合数据特征，结合实际情境说明，答一点即可） 45．（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（     ） A．甲组跳绳次数的波动比乙组大 B．甲组跳绳次数的下四分位数小于 C．乙组跳绳次数的中位数比甲组小 D．乙组跳绳次数的最大值小于 题型16 画箱线图综合（共3小题） 46．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）【数据收集】某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，________环，可以看出，________（填或）的平均成绩略高；通过计算方差，，，可以看出，________（填或）的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 6 ① 9 9.5 10 8 8 9 ② 10 （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填________环，②处应填________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手的整体成绩较高，选手________（填或）的射击成绩波动大； 【作出决策】 （3）请你根据八轮射击成绩，从、两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 47．（25-26八年级上·河南郑州·期末）某市射击队为了从，两名运动员中选拔一人参加青少年射击比赛．现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名运动员每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图，将，两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】（1）小明计算平均数，（环），___________（环）；通过散点图比较：___________（填“>”“<”或“=”）； （2）小颖计算四分位数并绘制了、两名运动员的箱线图．①处应填___________环，②处应填___________环；③处应填___________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数___________选手射击成绩的中位数（填或）； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 6 ① ② 9.5 10 8 8.5 9 ③ 10 【作出决策】（3）请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 48．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）为了提高学生对“非遗文化”的了解，某地区甲、乙两个学校举行了“非遗文化”知识竞赛，决赛阶段，甲、乙两个学校各选出了名同学参加，他们的测试成绩如下： 甲校：，，，，，，，，，． 乙校：，，，，，，，，，． (1)求甲校测试成绩的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙校的箱线图，请在该图中绘制出甲校的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个学校测试成绩的看法． 题型17 利用方差做决策（共3小题） 49．（2026·吉林长春·模拟预测）从甲、乙两名同学中选拔一人参加“中华好诗词”大赛，在相同的测试条件下，对两人进行了五次模拟，并对成绩（单位：分）进行了整理，计算出，．绘制成如下尚不完整的统计图表． 甲、乙两人模拟成绩统计表 ① ② ③ ④ ⑤ 甲成绩/分 79 86 82 a 83 乙成绩/分 88 79 90 81 72 根据以上信息，解答下列问题： (1)________； (2)请完成图中表示甲成绩变化情况的折线； (3)已知．计算甲的成绩的方差，综合分析，你认为选拔谁参加比赛更合适，说明理由． 50．（25-26八年级下·浙江·期中）某校为调查学生生态环保科普知识掌握情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息： 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98． 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差 甲      70 a      乙      b 90      【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图如图所示（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： (1) ， ； (2)甲组学生竞赛成绩的第一四分位数 ，第三四分位数 ，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； (3)根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 51．（25-26九年级上·重庆·期中）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：83，85，86，87，88，89． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 a 90 10.3 九年级 88 94 b 9.6 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校八年级有800名，九年级有900名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 题型18 离差平方和的应用（共3小题） 52．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）【活动背景】 李伟学习完了“数据的分组”这一节内容后有个疑问，明明一眼就能看明白如何划分两组，为什么要费这么大的力气算如此多的数据，于是他请教了信息技术老师．老师告诉他，工业、商业等领域有很多庞大的数据需要分组，但数据庞大到人几乎无法计算，于是就将分组的方法和规则通过编程做成分组模型嵌入到系统中，由系统来处理这些数据后直接给出结论，准确而迅速．而组内离差平方和最小原则就是系统中分组功能的核心模型（算法）． 【教材背景】 10个城市12月份的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示． 城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 平均高温 3 3 10 21 22 12 9 17 (1)【任务1：求基本数据】 ①求出该组数据的众数； ②求出该组数据的中位数． (2)【任务2：根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，将10个城市分为两组】 将10个城市12月份的每日最高温度的平均数从小到大排列，得 ，，3，3，9，10，12，17，21，22， 信息技术老师利用系统中的分组功能，分别计算了9种情况的组内离差平方和（结果保留小数点后一位），得到了一张表，如下表所示． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 a 584.2 d 第2个间隔 32 380.9 412.9 第3个间隔 98.7 285.7 384.4 第4个间隔 132 158.8 b 第5个间隔 228.8 113.2 c 第6个间隔 308.8 62 370.8 第7个间隔 397.4 14 411.4 第8个间隔 562 0.5 562.5 第9个间隔 789.6 0 789.6 ①_________，_________； ②请直接写出最终城市的分组结果； (3)【任务3：跨学科拓展】 结合地理课所学知识，请你指出系统将城市划分为哪两类城市？ 53．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）大连某饮品企业为优化生产管理、提升产品品质；针对旗下灌装生产线与合作代工厂开展数据统计分析，请结合所学知识解答下列问题： (1)甲、乙两条自动灌装线均灌装标准含量为的瓶装饮料，现从两条生产线上各随机抽取瓶产品，测量实际含量，结果（单位：）记录如下： 甲生产线： 乙生产线： 根据行业标准： 若单瓶饮料的含量误差（实际含量-标准含量）的绝对值超过，则判定该条灌装线的灌装质量不合格. 甲组误差/mL 乙组误差/mL ①请判断甲、乙两条灌装线的灌装质量是否合格，并说明理由； ②计算甲、乙灌装线被抽取的饮料实际含量的平均数和方差，分析哪条灌装线的灌装质量更好； (2)该企业有家合作代工厂，去年的年产值统计如表： 企业 产值/亿元 企业计划将这家代工厂按年产值的组内离差平方和最小的原则，把这家代工厂分为两组．请写出符合要求的分组方案． 小明的思路如下：将表中的数据按从小到大排序，可得，，，，，，将它们分成两组共有种分法，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和，结果如下表所示： 分组间隔 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内 离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 观察表中最后一列的组内离差平方和可以发现，当第 个间隔分组时，组内离差平方和达到最小值．因此，按组内离差平方和最小的原则，分组方案为 ． 请补全小明同学的解题过程． 54．（2025·广东深圳·二模）艺术测评主要是为掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学．某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干位同学进行艺术测评与分析，下面是对九（1）班抽测到的10位同学的测评分值的数据分析过程： 【收集与整理】10位同学的测评分值分组统计如下： 分组方式 组别 测评分值 方式一 （按平均分相同分组） Ⅰ组 80，85，85，90，100 Ⅱ组 80，85，90，90，95 方式二 （按分数段分组） 甲组 80，80，85，85，85 乙组 90，90，90，95，100 【描述与分析】 10位同学测评分值的分布情况分组数据统计量分析表 分组方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差平方和 方式一 Ⅰ组 m 85 46 360 Ⅱ组 90 90 26 方式二 甲组 85 85 6 110 乙组 90 n 16 说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度．它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近． 根据以上信息，解答下面问题： （1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为______°； （2）_______，_______． 【判断与决策】 （3）为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由． 题型19 用样本估计总体（共3小题） 55．（26-27九年级上·重庆·期中）为落实“双减”政策，了解学生课后体育锻炼的情况，大一中从七、八年级各随机抽取20名学生，调查了他们某周平均每天的课后锻炼时间（单位：分钟，时间均为整数）．随后进行数据整理、描述和分析（时间用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的锻炼时间在C组中的数据是：42，43，44，45，45，46，48． 八年级20名学生的锻炼时间数据是：30，32，35，35，38，40，40，45，45，45，47，48，52，55，55，58，60，62，65，70． 七、八年级所抽取学生锻炼时间统计表 年级 七年级 八年级 平均数 47 48.5 中位数 a 46.5 众数 45 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中__________，__________，__________； (2)根据以上数据，你认为七、八年级中，哪个年级学生课后锻炼时间的整体情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)大一中七年级有1280人，八年级有1200人，请估计这两个年级课后锻炼时间不低于50分钟的学生总人数． 56．（26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）某校为了解九年级学生每天体育锻炼的时间，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． (1)本次调查共抽取了_________名学生； (2)请补全条形统计图； (3)若该校九年级共有800名学生，请估计每天锻炼时间不少于1小时的学生人数． 57．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A，B，C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩（单位：分）进行统计整理．下面给出了部分信息： 七年级：，，，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，，，． ．抽取的七、八年级学生成绩（单位：分） 不完整的统计表如下： 年级 平均数 众数 方差 最小值 四分位数 最大值 七年级 ① ② ③ 八年级 ．抽取的七、八年级学生成绩绘制成的不完整箱线图如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)统计表中，①处应填________，③处应填________． (2)求②． (3)基于上述材料分析，可以发现________年级学生成绩更稳定． (4)若该校八年级有名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过94分的人数． 拔高·压轴破难 题型20 数据的分析与统计估计解答题（共3小题） 58．（24-25八年级下·甘肃天水·期末）为了加强安全教育，某校组织七、八年级开展了以“急救安全注意事项”为主题的知识竞赛，为了解竞赛情况，王老师从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩．收集整理数据如表： 分数 70 75 80 85 90 95 100 七年级 2人 3人 2人 4人 5人 3人 1人 八年级 0人 2人 5人 8人 2人 人 1人 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 90 八年级 85 85 40 根据以上信息回答下列问题： (1)__________，__________，__________，__________． (2)通过对两个年级学生成绩的平均数和方差的比较，两个年级中哪个年级的学生成绩更稳定？并说明理由． 59．（25-26九年级下·北京·期中）学校举办“节科技创意”比赛，比赛分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由8名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： ．教师评委打分 85，86，88，90，90，91，92，94 ．学生评委打分的频数分布直方图如图： （数据分4组：第1组；第2组；第3组；第4组） c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 89.5 90 学生评委 90.2 93 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为_____，的值位于学生评委打分数据分组的第_____组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为，则_____89.5（填“”“”“”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制），对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 91 92 92 92 93 乙 90 94 90 94 91 丙 93 90 92 93 若三名选手中，丙排序居中，则这三位选手排序最靠前的是_____，表中（为整数）的值为_____． 60．（25-26九年级下·福建福州·期中）综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： (4)小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 题型21 四分位数、箱线图解答题（共3小题） 61．（25-26八年级下·福建福州·期末）福州本土生鲜超市日渐增多，配送服务遍布全城．各大生鲜超市为提升同城配货效率，设立分拣、扫码、称重、打包四道连续工序作为全套流程，完成四道工序用时越少说明员工的业务水平越好．现对甲、乙、丙三家超市每超市名员工进行调研． 【数据统计】 数据随机抽取乙组名员工单人完成全套流程的用时（单位：分钟） 、、、、、、、、、 数据甲、乙、丙三家超市员工全套流程用时绘制了箱线图如下： (1)根据数据，箱线图中的值为________；比较三家超市完成全套工序耗时的集中趋势或离散程度，不难发现：________超市员工完成全套工序业务水平整体最好，________超市员工完成全套工序耗时离散程度最小．（填“甲”、“乙”或“丙”） (2)【深度分析】 为了让顾客更快收到货品，缩短出货耗时，各大超市都在努力提升超市配货效率．丙超市安排名员工采用流水接力作业模式，即每个员工负责一道工序并交接给下一个员工．默契的工序衔接，能省去每道工序单独启动准备的时间，因此四人流水接力总耗时，少于四道工序单独由一人完成所耗时之和．在员工训练过程中，店长发现平均每次交接工序节约时间（单位：分钟）与交接工序训练时长（单位：小时）满足一次函数关系（其中），已知当时，；当时，，并且道工序流水作业总用时满足此公式：名员工完成全套工序流水接力作业用时总和一名员工单独完成四项工序用时三次交接总节约时间． ①求关于的函数表达式； ②已知丙超市的A仓库一名员工单独完成四道工序用时为分钟，则该仓库名员工完成全套工序流水作业用时总和（单位：分钟）与交接工序训练时长（单位：小时）之间的函数表达式为______________；（化简为的形式） ③丙超市B仓库一名员工单独完成四项工序用时比丙超市C仓库快7分钟，但由于员工培训时间太少，导致B仓库四名员工流水接力完成全套用时却比C仓库的流水接力用时慢分钟，且两个仓库的交接工序训练时长之和为小时．求B仓库交接工序训练时长． 62．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）为提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，学校组织八年级甲班、乙班、丙班、丁班四班同学参加“跳绳”比赛．并将调查结果进行整理，绘制了箱线图（如图）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这四个班学生中，哪个班的成绩最稳定？ (2)这四个班学生中，哪个班成绩的中位数最大？跳的次数最多的同学在哪个班？ (3)你觉得哪个班的同学表现得最出色？请说明理由． 63．（25-26九年级下·上海·期中）【背景介绍】箱线图由矩形箱体和从箱体延伸出的两条线段构成，如图1所示，箱线图中最下端和最上端的竖直线段分别表示数据的最小和最大值；箱体的下端横线表示下四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，即前半部分数据的中位数）；箱体中部的横线表示中位数；箱体的上端横线表示上四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，后半部分数据的中位数）；箱体中部的“×”的交点表示平均数；整个箱体的长度为上四分位数减去下四分位数的差，称为四分位距． 【情境应用】为了备考体育中考，某校九年级A、B两个班各随机抽选10位同学进行“四分钟跳绳”模拟测试．满分标准为405个，所有结果均为整数（单位：个）．其中体育老师已对A班小组同学的跳绳个数进行统计和录入，形成了箱线图（如图2）．B班小组同学的跳绳个数如下：425，427，430，404，399，415，442，405，390，335． (1)根据A班小组同学的箱线图，问A班小组同学跳绳个数的平均数是_______，四分位距是_______． (2)根据B班小组同学的跳绳个数，请在图中补全B班小组同学跳绳个数的箱线图，并标出B班小组同学跳绳个数的平均数，及两端极值点． (3)已知A班小组同学的跳绳个数从大到小为：435，418，415，405，404，______，_____，______，397，396，缺失了其中的三个数据，请根据箱线图将缺失的数据补全． (4)请结合A、B两班小组同学跳绳测试的箱线图及数据特征，写出你能从中获得的结论．（建议贴合数据特征，结合实际情境说明） 题型22 用样本推断总体压轴题（共3小题） 64．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）立定跳远是一项集弹跳、爆发力、身体协调性和技术等于一体的体育运动，其等级评价表如下： 立定跳远等级 男生成绩 女生成绩 优秀 良好 及格 不及格 【收集数据】某校为调查八年级男生的立定跳远水平，在该年级中随机抽取了20名男生立定跳远的成绩（单位：），数据收集如下： 235 210 210 228 205 241 203 210 232 162 223 225 208 165 238 212 236 167 220 210 【整理数据】将以上数据进行整理： 成绩 立定跳远等级 人数 百分比 优秀 6 良好 及格 不及格 3 【描述数据】根据整理的数据绘制如下统计图： 【分析数据】根据上述图表，计算平均数、中位数、众数、方差、四分位数如下： 平均数 中位数 众数 方差 四分位数 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 212 211 210 206.5 211 请根据以上图表中的信息，完成下列问题： (1)______，______，______，______； (2)补全条形图和扇形图； (3)______，______； (4)若八年级男生共有180人，估计八年级男生立定跳远等级为优秀的有多少人？ (5)对于样本中的20个立定跳远成绩数据，有人认为根据组内离差平方和最小原则，分组数越多越好，也有人认为分组数不宜过多．请结合统计学知识，谈谈你的看法，并说明在本题中分为几组更合适，理由是什么． 65．（2025·山东聊城·一模）为落实河北教育大会上提出的“要树立健康第一”的教育理念，某市启动中考体育改革，将体育成绩纳入中考总分，包括．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分共分（其中运动参与满分分，主要有平时体育课、课间体育活动等；运动技能满分分，主要是自主选择一项田径、球类等项目进行测试掌握基本技能即为满分；体质健康测试满分分，包括体重指数、肺活量、跑步、立定跳远等项目；统一体能测试满分分，包括跑步，引体向上（男）仰卧起坐（女）等项目）． 某中学数学兴趣小组对本校八年级学生的体育测试情况进行统计调查，从该校所有八年级学生中随机抽出部分学生的体育测试成绩，将所得的数据进行收集、整理、描述． 下面给出了部分信息： 信息一：每名学生的四项得分之和作为总分，总分用表示，将总分数据分成如下四组：第组：，第组：，第组：，第组：，以下是总分的频数直方图和扇形统计图的部分信息． 结合信息一解决下列问题： （1）将频数分布直方图补全，________，第4组所对应的圆心角的度数是________； （2）所抽取的这些学生的中位数位于第________组； （3）该校八年级共有名学生，请估计体育总分不低于分的学生有多少名？ 信息二： 抽取的学生在．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分的平均数和方差如下表： 运动参与 运动技能测试 体质健康测试 统一体能测试 平均分 方差 （4）请结合以上信息分析，影响一个学生体育总分的主要是哪些部分的成绩？并就如何提升学生体育成绩，提出至少两条合理化建议． 66．（2026·辽宁·模拟预测）为充分展示中学生阳光自信的精神风貌、扎实的科技和数字素养功底，某市开展了“学生机器人”比赛，比赛分为初中组和高中组．各参赛队伍进行编程、调试、搭建和讲解四项比赛，各项比赛成绩均为整数，且满分均为10分． 信息一： 为了解学生搭建项目比赛情况，现从初中组和高中组各随机抽取20支队伍搭建项目的成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表（不完整），信息如下： 初中组和高中组各20支队伍搭建项目的成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 初中组 8．15 a 10 高中组 8．4 9 b 信息二： 初中组A队伍的各项成绩如下表所示： 编程 调试 搭建 讲解 A队伍成绩/分 8 8 7 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_____，____，搭建项目成绩更稳定的是_____（填“初中组”或“高中组”），并直接将条形统计图补充完整； (2)比赛组委会规定：将编程、调试、搭建和讲解四项比赛成绩按照的比，确定各支队伍比赛的平均成绩，求A队的平均成绩； (3)本次比赛高中组共60支队伍参赛，若认定搭建项目的成绩不低于9分为优秀，根据样本数据，估计本次比赛高中组共有多少支队伍在搭建项目中获得优秀． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数据分析与统计估计（22大题型66题） 基础·固本强基 题型1 平均数的计算 题型2 加权平均数的计算（重点） 题型3 求中位数与众数 题型4 求四分位数（重点） 题型5 画箱线图（重点） 题型6 求方差（重点） 题型7求离差平方和 题型8 由样本所占百分比估计总体的数量 题型9 用样本的频数估计总体的频数 提升·进阶突破 题型10 已知平均数求未知数据的值 题型11 利用加权平均数求未知数据的值 题型12 利用加权平均数做决策（重点） 题型13 利用中位数、众数求未知数据的值 题型14 运用中位数、众数做决策（重点） 题型15 求四分位数的综合计算（重点） 题型16 画箱线图综合 题型17 利用方差做决策（重点） 题型18 离差平方和的应用 题型19 用样本估计总体 拔高·压轴破难 题型20 数据的分析与统计估计解答题（难点） 题型21 四分位数、箱线图解答题（难点） 题型22 用样本推断总体压轴题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 平均数的计算（共3小题） 【步骤】全部数据求和，再除以数据总个数，算出算术平均数。 【易错】不要漏数、重复统计数据；求和计算细心，勿算错总和。 1．（2026·河北沧州·模拟预测）每年6月6日是河北爱眼日，在迎接第31个河北“爱眼日”来临之际，某校开展“用眼有度，‘睛’彩一生”手抄报评比，其中七年级8个班得分为：9，8，8，9，7，9，10，8，那么这组数据的平均数为（     ） A．8 B．8.5 C．9.5 D．10 【答案】B 【详解】解：． 2．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）现有一组数据6，3，9，8，10，12，5，11，则这组数据的平均数是________________． 【答案】 【详解】解： ． 3．（24-25八年级下·河北·期末）李明同学进行射击练习，一发子弹打中5环，四发子弹各打中8环，四发子弹各打中9环，一发子弹打中10环，则他射击的平均成绩是______环． 【答案】 【分析】本题主要考查平均数；根据题意再结合平均数的计算方法列式计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 题型2 加权平均数的计算（共3小题） 【步骤】各数据乘对应权重，相加求和，权重总和作分母算出结果。 【易错】权重不是数据个数；权重之和必须为 1，不要直接取普通平均 4．（25-26八年级下·河北保定·期末）某校规定学生的学期数学成绩由平时、期中、期末三部分组成，权重分别为．小明平时、期中、期末成绩依次为90分、85分、92分，则他的学期数学成绩为（     ） A．89分 B．89.5分 C．90分 D．90.5分 【答案】B 【详解】解：， 小明的学期数学成绩为（分）． 5．（26-27九年级上·河北沧州·期中）为传承中华优秀传统文化，某校开展国学文化宣讲使者选拔活动．评委从宣讲的内容、表达、效果三个方面为选手打分（各项满分均为100分）．现从进入决赛的甲、乙两名选手中确定一人胜出，胜出者定为本校的国学文化宣讲使者，两人最终的单项成绩如下： 选手 内容 表达 效果 甲 98 84 88 乙 88 85 97 (1)若以两名选手的三项的平均成绩作为最终成绩，能否以此确定两人的名次？说明理由； (2)若评委将“内容”“表达”“效果”按计算两名选手的平均成绩，通过计算说明哪一名选手会胜出． 【答案】(1)解：不能以此确定两人的名次，理由如下： 甲选手的三项的平均成绩为（分）， 乙选手的三项的平均成绩为（分）， ∴两名选手的三项的平均成绩一样， ∴不能以此确定两人的名次； (2)甲选手会胜出 【分析】（1）分别计算两名选手的三项的平均成绩，然后比较判断即可； （2）分别按计算两名选手的平均成绩，然后比较判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：甲选手的加权平均成绩为（分）， 乙选手的加权平均成绩为（分）， ∵， ∴甲选手会胜出． 6．（24-25八年级下·山东滨州·期末）一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占、演讲能力占、演讲效果占，计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表： 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 甲 85 95 95 乙 95 85 95 根据以上信息，下面对两人最后得分（或名次）结论正确的是（   ） A．甲得91分 B．乙得91分 C．甲获得第一名 D．乙比甲高2分 【答案】B 【分析】本题主要考查了加权平均数，解题的关键是认真审题从题目中抽取出有效信息． 根据加权平均数计算即可． 【详解】解：选手甲的最后得分是， 选手乙的最后得分是， 由上可知选手乙获得第一名，选手甲获得第二名． 故选：B． 题型3 求中位数与众数（共3小题） 【步骤】数据先排序，中位数看中间；众数找出现次数最多的数据。 【易错】求中位数一定要排序；众数可以多个，不是最大的数。 7．（26-27九年级上·河北沧州·期中）五个数据0，，5，2，m的唯一众数为，则m的值为（     ） A．5 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：∵五个数据0，，5，2，m的唯一众数为， ∴出现的次数最多， ∵已知数据为0，，5，2，每个数据均出现次， ∴． 8．（25-26八年级下·河北唐山·期末）有一组学生的体重数据（单位：）分别是：，，，，，，．则这组数据的众数是______． 【答案】 【分析】根据众数的定义，找出这组数据中出现次数最多的数即可得到结果． 【详解】解：统计这组数据中每个数的出现次数：，，，，都只出现次，出现了次，是这组数据中出现次数最多的数， 因此这组数据的众数是． 9．（25-26八年级下·河北沧州·期末）在某校八年级跳绳选拔赛上，参加的15名运动员的成绩如下表所示： 成绩/次 150 160 165 170 175 180 人数 2 3 2 3 4 1 则这些运动员成绩的众数为___________次，中位数是___________次． 【答案】 【分析】根据众数的定义找出出现次数最多的成绩即为众数，再将所有成绩按从小到大排序，根据数据个数确定中位数的位置，计算即可得到中位数． 【详解】解：由表格可知，成绩为次的运动员人数最多，为人，因此众数为次； 总共有个数据，将数据从小到大排列后，是奇数，因此中位数是排序后的第个数据，计算累计人数，成绩小于等于的累计人数为，因此第个数据为，即中位数为次． 题型4 求四分位数（共3小题） 【步骤】数据从小到大排序，确定位置，依次求出下、中、上四分位数。 【易错】四分位数位置算法易混淆；注意奇数、偶数个数据的区别。 10．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（    ） A． B．168 C．124 D．150 【答案】C 【分析】本题考查第一四分位数的计算，解题思路为先对数据从小到大排序，第一四分位数为前一半数据的中位数，计算即可得到结果． 【详解】解：将原数据从小到大排序得：， ∵总共有8个数据，第一四分位数是前4个数据的中位数，前4个数据为， ∴第一四分位数是． 11．（25-26八年级上·河北保定·期末）将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的下四分位数为________． 【答案】 【分析】本题考查箱线图的结构与统计意义，准确读取统计量是解题关键． 根据箱线图的结构提取下四分位数即可． 【详解】解：据图可知，该组数据的下四分位数为． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）已知八年级1班和2班的人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．1班成绩比2班成绩集中 B．1班成绩的下四分位数是90分 C．2班同学的成绩有120分的 D．1班和2班成绩的中位数相同 【答案】D 【分析】本题主要考查了箱线图，掌握此知识点是做题的关键．根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：A．观察箱线图知：1班成绩的箱线图箱体更高，2班成绩比1班成绩集中，故原说法错误，故不符合题意； B．观察箱线图知：1班成绩的上四分位数是90分，故原说法错误，故不符合题意； C．观察箱线图知：2班没有同学的成绩超过120分， 故原说法错误，故不符合题意； D．观察箱线图知：1班和2班成绩的中位数相同， 故原说法正确，故符合题意． 故选：D． 题型5 画箱线图（共3小题） 【步骤】求出最小值、Q1、中位数、Q3、最大值，在数轴画出五数 【易错】箱线图只体现五数，看不出数据分布密度；刻度要均匀。 13．（25-26八年级上·河北·期中）小明抽样调查了两个不同年龄段的人群晚上休息的时间，制作了如下统计图： (1)这两个年龄段的人群晚上休息的时间有什么特点？ (2)如果一组是青年组，另一组是老年组，那么你认为哪组有可能是青年组？ 【答案】(1)A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群(答案合理即可) (2)A组有可能是青年组 【分析】本题考查了箱线图，能从箱线图获取信息是解题的关键． （1）观察箱线图，A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群； （2）根据箱线图并结合实际情况即可得出结论． 【详解】（1）解：由图可知，A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群(答案合理即可)； （2）解：由图可知，A年龄段的人群晚上休息时间比于B年龄段人群晚，而表青年人晚上休息时间普遍晚于老年人， 所以A组有可能是青年组． 14．（2025八年级上·河北·专题练习）已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示． (1)甲班成绩的中位数为___________，乙班成绩的上四分位数为___________． (2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ (3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ 【答案】(1)128；128 (2)甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学 (3)甲班平均分较高 【分析】本题考查箱线图的相关知识，涉及平均数，中位数，上四分位数，能够从箱线图中获取有用信息是解题的关键．四分位数应用于统计学的箱线图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱线图中“箱体”的下底边对应数据为下四分位数，上底边对应数据为上四分位数，中间的线对应中位数． （1）根据箱线图得到学生分数的大致分布情况，即可得出答案； （2）根据箱线图的定义解答即可； （3）根据箱线图得到学生分数在128分以上的大致情况，即可作出判断． 【详解】（1）解：由图可知，甲班成绩的中位数为128，乙班成绩的上四分位数为128， 故答案为：128；128； （2）解：甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学； （3）解：由两班成绩箱线图可以看出，甲班成绩的中位数为128，而乙班的上四分位数是128，同时，甲班的下四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高． 15．（25-26八年级下·河北保定·期末）某班抽取了甲、乙两组学生，统计其本学期课外书阅读数量（单位：册）如下： 甲组：5，6，6，3，8，10，9，3，10； 乙组：5，4，m，7，6，6，8，n，8．（，且m，n均为正整数） 两组课外阅读数量的四分位数如下图表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a b c 乙 5 6 8 (1)根据甲组数据，求a，b，c的值； (2)在图中根据四分位数绘制出甲组课外书阅读数量的箱线图，观察图中乙组的箱线图，直接写出m，n的值． (3)根据箱线图比较甲、乙两组课外书阅读数量的特点（写出一条即可）． 【答案】(1)，，或，， (2)解：画图如下： 或，或， (3)甲、乙两组课外书阅读数量的中位数相等（答案不唯一） 【分析】（1）根据四分位数与中位数的含义求解即可； （2）根据四分位数与最大值，最小值的信息分别确定即可； （3）根据箱线图可得答案． 【详解】（1）解：将甲组课外书阅读数量从小到大排列为： 3，3，5，6，6，8，9，10，10， 方法一：第一四分位数：，向下取整为第3个数据，则， 第二四分位数即中位数：，向下取整为第5个数据，则； 第三四分位数：，向下取整为第7个数据，则； 方法二：这组数据的中位数为：， 第一四分位数：，即， 第二四分位数即中位数：； 第三四分位数：，即； （2）解：画图略 ∵乙组：5，4，m，7，6，6，8，n，8．（，且m，n均为正整数） 结合箱线图可得：， ∴排序后4， m，5，6，6，7，8， 8，9． ∵第一四分位数为， 方法一：， ∴第个数一定是， ∴或， 方法二：， ∴； （3）解：根据箱线图可得：甲、乙两组课外书阅读数量的中位数相等． 题型6 求方差（共3小题） 【步骤】先求平均数，各数据减平均数平方求和，再除以数据个数 【易错】方差是平方平均，勿忘平方；方差单位和原数据单位不一致 16．（2026·河南信阳·模拟预测）有一组数据如下：、、、、，它们的平均数是，那么这组数据的方差是______． 【答案】 【详解】解：根据题意得，． 17．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：h），分别为：4，5，5，6，10．这组数据的方差是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求平均数和方差，熟练掌握求平均数和方差的方法是解题的关键．先求平均数，再进一步求解方差即可． 【详解】解：平均数为； 方差为． 故答案为： 18．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）小聪、小明准备代表学校参加市里的“党史知识”竞赛，老师对这两名同学进行了5次测试，两人5次测试的成绩（满分10分）如下：小聪：8，8，7，8，9；小明：10，9，7，5，9 (1)填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 小聪 8 8 0.4 小明 8 9 3.2 (2)根据上面的计算，老师选择小聪代表班级参赛，理由是什么？ (3)如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的方差_____．（填“变大”、“变小”或“不变”） 【答案】(1) 填表如下： 平均数 众数 中位数 方差 小聪 8 8 8 0.4 小明 8 9 9 3.2 (2) 理由：小聪和小明的平均成绩相同，但小聪的方差比小明的小，成绩更稳定，故选则小聪参赛； (3)变小 【分析】本题考查求一组数据的众数、方差、中位数，利用平均数、方差作决策： （1）根据众数、中位数的定义求解； （2）利用平均数、方差作决策； （3）根据方差公式计算出新方差，与原方差比较大小即可． 【详解】（1）解：小聪5次成绩为，，，，， 故众数为：8， 小明5次成绩从小到大排列为：5，7，9，9，10， 故中位数为：9 （2）略 （3）解：如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的平均数仍为8分， 方差变为：， 故答案为：变小． 题型7 求离差平方和（共3小题） 【步骤】算出平均数，每个数据减去平均数，平方后全部相加 【易错】离差是数据减均值，先减再平方；不要先平方再相减 19．（26-27九年级上·河北衡水·期中）把数据2，4，6，9，10分成与两组，则组内离差平方和是_____． 【答案】8.5 【分析】组内离差平方和为每组内各数据与该组均值的差的平方的总和，分别计算两组的离差平方和后再求和． 【详解】解：第一组的平均数为，组内离差平方和为； 第二组的平均数为，组内离差平方和为； ∴总组内离差平方和为． 20．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，，．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（     ） 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 A．和{ B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】先比较组内离差平方和，再分组即可． 【详解】解：将名同学的引体向上个数从小到大排列为. 比较组内离差平方和：， 最小值对应第一组个、第二组个的分法， 要使组内个数相差较小，需将连续的数分为一组，即分组为和． 21．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）有四名学生某次航天知识竞赛的成绩（单位：分）分别是，，，，现将这组数据分成和两组，则这种分法的组内离差平方和是________． 【答案】 【分析】分组为第一组，，第二组，，组内离差平方和为两组各自离差平方和的和，先计算每组平均数，再计算每组内数据与平均数差的平方和，相加得到结果． 【详解】解：计算第一组的平均数：， 第一组的离差平方和为：， 计算第二组的平均数：， 第二组的离差平方和为：， 因此总组内离差平方和为． 题型8 由样本所占百分比估计总体的数量（共3小题） 22．（25-26七年级下·河北廊坊·期末）某市发布了一份空气质量抽样调查报告，在该市－月随机调查的天中，各空气质量级别的天数如下图：    (1)通过分析上图，请你评价一下－月份该市的空气质量情况． (2)如果这天的数据是从一年中随机抽取的，请你预测该市一年（天）空气质量级别为优和良的天数共约有多少天？（结果保留整数） (3)请你根据调查报告，对有关部门提几条建设“绿色环境城市”的建议． 【答案】(1)空气质量级别主要是良及以上 (2) (3)建议：加大空气污染治理力度，提高空气质量等级为“优”的天数，努力减少轻度污染、中度污染的天数． 【分析】（1）根据统计图，分析可得空气质量级别主要是良及以上； （2）根据乘以优和良的天数的占比即可求解； （3）只要提出改善该市空气质量状况的合理建议即可 【详解】（1）空气质量级别主要是良及以上 （2），该市年空气质量为优和良级别的天数共约为 （3）略 【点睛】本题考查了条形统计图，样本估计总体，从统计图获取信息是解题的关键． 23．（25-26七年级下·河北唐山·期末）某校对部分学生做了一次主题为“我最喜爱的图书”的调查活动，将图书分为甲、乙、丙、丁四类，学生可根据自己的爱好任选其中一类．学校根据调查情况进行了统计，并绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图． (1)本次共调查了__________名学生； (2)被调查的学生中，最喜爱丁类图书的有_________人； (3)最喜爱甲类图书的人数占本次被调查人数的________； (4)由以上数据可以看出哪类图书最受学生欢迎？如果这所学校共有学生1250人，请估计该校喜爱这类图书的有多少人？ 【答案】(1)200 (2)15 (3)40 (4)甲类图书最受学生欢迎，估计该校喜爱这类图书的有500人． 【分析】（1）从两个统计图可知，喜爱“丙类”图书的有40人，占调查人数的20%，根据频率=频数÷总数可求出调查人数； （2）根据频数之和等于样本容量即可求出答案； （3）根据频率=频数÷总数可求出最喜爱甲类图书的人数占本次被调查人数的百分比； （4）根据扇形统计图中各个部分的百分比的大小得出答案，再求出样本中喜爱甲类图书的学生所占的百分比，估计总体中的百分比，进而求出相应的学生人数． 【详解】（1）解： 40÷20%=200（名）， 故答案为：200； （2）解：200-80-65-40=15（人）， 故答案为：15； （3）解：80÷200=40%， 故答案为：40； （4）解：甲类图书最受学生欢迎， 1250×40%=500（人）， 答：甲类图书最受学生欢迎，估计该校喜爱这类图书的有500人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系，掌握频率=频数÷总数是正确解答的前提． 24．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）某校七年级数学老师为了更好地改进作业设计，随机抽取了一部分七年级学生他们每天做数学作业的时间进行了调查统计，并分成四组（：分钟；：分钟：：分钟；：分钟，每组的时间包括最小值不包括最大值），然后绘制成了如下不完整的统计图，请根据统计图所提供的信息解答下列问题． (1)本次调查抽取的总人数为______人，并补全条形统计图； (2)求组所在扇形的圆心角的度数； (3)如果全校七年级一共有人，请估计有多少人能在半小时内完成数学作业． 【答案】(1)50；补全条形统计图见解析 (2)统计图中组扇形的圆心角的大小是216° (3)估计有人能在半小时内完成数学作业 【分析】（1）根据C组人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数； （2）根据B组的频率可计算出扇形统计图中B组所在扇形的圆心角的大小； （3）根据能在半小时内完成数学作业的人数所占比例可以计算出答案． 【详解】（1）解：本次调查的同学共有：10÷20%＝50（人）， D组的人数为：50−3−30−10＝7（人），补全条形统计图如图所示： 故答案是：50； （2）解：统计图中B组扇形的圆心角的大小是：360°×＝216°． （3）解：600×＝396， 答：估计有396人能在半小时内完成数学作业． 【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型9 用样本的频数估计总体的频数（共3小题） 25．（25-26七年级下·河北唐山·期末）夏天是溺水事故的高发期，为增强学生防溺水安全意识，某中学组织七年级学生开展了防溺水安全知识竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，数学兴趣小组调查了名学生的成绩（单位：分）进行研究． 防溺水安全知识竞赛成绩调查报告单 数据收集 调查对象 七年级名学生参赛成绩 调查方法 （     ）调查 数据的整理与描述 组别 成绩 频数 A B C D E    请根据所给信息解答下列问题： (1)此调查方法属于________调查（填“抽样”或“全面”），________，并补全频数分布直方图； (2)求扇形统计图中E组所对应的圆心角的度数； (3)若成绩不低于80分为优秀，该校七年级共有3500名学生参与知识竞赛，请你估计成绩为优秀的人数是多少． 【答案】(1)抽样；； (2) (3)人 【分析】（1）根据题意得到调查方法；利用B组频数除以B组占比可得；再求出C组人数，补全频数分布直方图； （2）E组占比乘以即可解答； （3）利用样本估计总体即可解答． 【详解】（1）解：此调查方法属于抽样调查， ； C组频数为，补全频数分布直方图略 （2）解：； （3）解：（人）， 答：成绩为优秀的人数是人． 26．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期末）年月日，神舟二十三号载人飞船成功发射，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试，现从七、八年级各随机抽取了名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 【数据收集】 七年级：，，，，，，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，，，，，，； 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)________，________； (2)请推断哪个年级的测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)测试成绩在分的学生可以获得奖励，若该校八年级有名学生，估计八年级可以获得奖励的学生人数为多少？ 【答案】(1)84，88 (2)八年级的成绩较好．理由：两个年级的平均数相同，八年级的中位数和众数比七年级高，所以八年级的成绩较好． (3)八年级获得奖励的学生总人数为220人 【分析】（1）利用中位数和众数的定义求解； （2）利用中位数和众数做决策； （3）利用样本频数估计总体频数． 【详解】（1）解：七年级的测试成绩从小到大排列后位于正中间的为第8位数， ∴； ∵八年级数据中出现的次数最多， ∴众数； （2）解：略； （3）解：（人）， 答：八年级获得奖励的学生总人数为220人． 27．（25-26八年级下·河北保定·期末）七、八两个年级举办中华文化知识大赛．从两个年级随机抽取部分学生进行调查（满分为100分，学生成绩（单位：分）均为不小于60的整数，分为四个等级：（D．，C．，B．，A．）． 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调查抽取的七年级学生成绩为________等级的学生人数最多（填“A”“B”“C”或“D”）； (2)该校七年级共有320名学生，七年级学生都参加本次大赛，请估计七年级成绩为A等级的学生人数； (3)把抽取的七年级学生成绩由高到低排列，记排名第五的学生成绩为，把抽取的八年级学生成绩由高到低排列，记排名第五的学生成绩为，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)B (2)估计七年级成绩为A等级的学生有64人． (3)，理由如下： 抽取七年级样本中，A等级共4人，成绩从高到低排，前4名都是90分以上，第5名进入B等级， 故； 抽取八年级样本中，A等级共6人，成绩从高到低排，前6名都是90分以上，第5名仍在A等级， 故； 因此． 【分析】（1）由频数分布直方图直接求解即可； （2）先求出七年级学生样本中A等级的占比，即可估计人数； （3）七年级A等级4人，第5名进入B等级，故；八年级A等级6人，第5名仍在A等级，故，所以． 【详解】（1）解：由频数分布直方图可得，B等级人数最多为人； （2）解：抽取七年级总人数为， 样本中A等级4人，占比为， 七年级共有320名学生， 估计成绩为A等级的学生人数为， 答：估计七年级成绩为A等级的学生有64人． （3）略 提升·进阶突破 题型10 已知平均数求未知数据的值（共3小题） 28．（26-27九年级上·河北沧州·期中）若一组数据4，5，6，a，b的平均数为5，则______． 【答案】 【分析】根据平均数的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵一组数据4，5，6，a，b的平均数为5， ∴， ∴， ∴． 29．（2025·江苏盐城·二模）某校有两个兴趣小组，在一次测验中甲组人平均成绩是76分，乙组人平均成绩是90分．甲、乙两组合在一起时平均成绩为85分，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了已知平均数求未知数据的值．根据平均数×数量=总数可列关于x、y的等式，化简得出结果，即可作答． 【详解】解：依题意， ∴， ∴， 故答案为：． 30．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了，经重新计算，全班平均分是91.7分，五一班有学生_______人． 【答案】 【分析】本题考查平均数，用“”求出少算的分数，因为前后平均分相差分，根据“少算的分数前后平均分相差的分数这个班的人数”解答即可． 【详解】解： (人)， 故答案为：． 题型11 利用加权平均数求未知数据的值（共3小题） 31．（2026·辽宁盘锦·一模）校园歌手大赛中，小明的演唱技巧得分86分，舞台表现得分90分，两项按一定权重计算后的总分为分．则评委更看重______．（填“演唱技巧”或“舞台表现”） 【答案】演唱技巧 【分析】通过设未知数，根据总分列出方程，求出两项的权重，比较权重大小即可得到结论． 【详解】解：设演唱技巧的权重为，则舞台表现的权重为， 根据题意得： 解得， 则， ∵，演唱技巧的权重更大， ∴评委更看重演唱技巧． 32．（25-26八年级下·北京西城·期末）一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 【答案】7 【分析】先根据加权平均数计算公式求出甲组的加权平均成绩，再根据两组平均成绩相等建立关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：权重总和：． 甲组的加权平均成绩：， 乙组的加权平均成绩：， 由题意得， 即， 解得． 33．（2026·河北张家口·二模）某文具店对A，B，C，D，E五种笔记本的售价进行调整，并将调整前后的笔记本售价（均为整数）绘制成如图所示的不完整折线图，已知调整前后的五种笔记本的平均售价相同，且这五种笔记本的平均售价为7元． 品种 A B C D E 购买数量/本 2 3 3 1 1 （1）补全折线图； （2）价格调整后，小亮某次购买笔记本的情况如表所示，直接写出这些笔记本价格的中位数；请判断这些笔记本的平均售价是否与五种笔记本的平均售价相同，并说明理由； （3）调价后，文具店将五种笔记本各一本摆在柜台上，小丽随机从中拿出一本． ①选中调价后的售价不低于调价前售价的笔记本的概率为______． ②若小丽拿出的是一本C种笔记本，她还要从余下的四本中随机拿出两本，用树状图法或列表法求她选中B种笔记本的概率． 【答案】（1）作图见解析；（2）6；不相同；答案见解析；（3）①；②． 【分析】（1）根据调整前后的五种笔记本的平均售价相同，且这五种笔记本的平均售价为7元，求出E笔记本调整后的价格，在折线图上标记出格点，连线即可； （2）根据折线图，求出每种笔记本的价格，再根据中位数的定义即可求出中位数，再根据平均数的定义求出这些笔记本的平均数，和五种笔记本的平均售价作比较即可； （3）①先调价后的售价不低于调价前售价的笔记本的种类，即可求得概率； ②用列表法表示出“从余下的四本中随机拿出两本”总的结果数和“选中B种笔记本”包含的结果数，即可求得概率． 【详解】解：（1）设种笔记本调价后为元，由调价后的数据3，7，5，12，的平均数为，解得． 补全折线图如图所示： （2）根据这五种笔记本的单价分别为3，7，5，12，8，可以得到这些笔记本的价格，如下图： 品种 A B C D E 购买数量/本 2 3 3 1 1 价格/元 3 7 5 12 8 价格分别为3，3，7，7，7，5，5，5，12，8 根据从小到大的顺序排列为：3，3，5，5，5，7，7，7，8，12 所以这些笔记本价格的中位数为； 不相同．理由：小亮购买这些笔记本的价格的平均数（元）． ∵， ∴小亮购买的这些笔记本的平均售价与五种笔记本的平均售价不相同． （3）①通过比较每种笔记本调整前后的价格，得到调整后价格不低于调整前的有B，C，D三种 从五本中选取一本，总的结果数为5种，调整后价格不低于调整前的结果数有3种， 因此概率为； ②小丽拿出的是一本C种笔记本，还余下A，B，D，E四种，则随机选取两本的等可能结果如下表： A B D E A - AB AD QE B BA - BD BE D DA DB - DE E EA EB ED - 随机选取两种不同笔记本共有12种等可能结果，选中B种笔记本共有6种等可能结果． ∴． 【点睛】此题考查了统计概率的综合应用，涉及到折线图的画法、平均数和中位数的计算、概率的求法等知识，熟练掌握并应用相关知识是解题的关键． 题型12 利用加权平均数做决策（共3小题） 34．（26-27八年级上·河北·期中）学校评选“校园之星”，学生选票每1票计1分，教师选票每1票计5分，所有选票相加后得分最高的3人当选．请你根据下表判断哪三名学生将当选为“校园之星”． 选票 候选人 候选人1 候选人2 候选人3 候选人4 候选人5 候选人6 学生选票 399 365 392 374 401 406 教师选票 15 16 19 20 15 15 【答案】候选人3、候选人6、候选人5将当选为“校园之星”． 【详解】解：总得分=学生选票教师选票 候选人1： 候选人2： 候选人3： 候选人4： 候选人5： 候选人6： 分数从高到低排序： 1.候选人3：487 2.候选人6：481 3.候选人5：476 4.候选人1：474 5.候选人4：474 6.候选人2：445 答：候选人3、候选人6、候选人5将当选为“校园之星”． 35．（26-27八年级上·河北·期中）某校进行广播体操比赛，评分包括以下几项（每项满分10分）：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐．其中三个班的成绩见下表： 班级 评分项 服装统一 进退场有序 动作规范 动作整齐 一班 9 8 9 8 二班 10 9 7 8 三班 8 9 8 9 如果将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按的比例计算各班的广播体操比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？ 【答案】 一班成绩为分，二班成绩为分，三班成绩为分，三班的广播体操比赛成绩最高 【分析】根据四项评分的权重比例，分别计算三个班的加权平均成绩，比较大小后确定成绩最高的班级． 【详解】解： 一班比赛成绩：（分） ， 二班比赛成绩：（分） ， 三班比赛成绩：（分） ， ∵， ∴三班的广播体操比赛成绩最高． 答：三班的广播体操比赛成绩最高． 36．（26-27九年级上·河北·期中）为推选一名同学参加学校演讲比赛，班里组织了一次选拔赛，由教师组成评委，对甲、乙、丙三名候选人分别就演讲内容、语言表达能力和感染力三方面打分．评委打分（满分10分）的结果如下表： 测试项目 演讲内容 语言表达能力 感染力 甲的成绩/分 9.0 8.6 8.0 乙的成绩/分 8.0 9.2 8.2 丙的成绩/分 9.4 8.8 7.5 (1)如果按三项得分的算术平均数大小确定优胜者，那么谁是优胜者？ (2)如果将三项得分按演讲内容、语言表达能力、感染力分别占的比例计算平均分，依平均分的高低确定优胜者，那么谁是优胜者？（可借助计算器计算） (3)如果认为语言表达能力最重要，那么请你给三项得分分配适当的权重，并确定优胜者． 【答案】(1)丙是优胜者； (2)乙是优胜者； (3)示例：分配演讲内容、语言表达能力、感染力的权重为，此时乙是优胜者． 【分析】（1）分别计算出三名候选人三项打分的算术平均数，比较后即可得到答案； （2）分别计算出三名候选人三项打分的加权平均数，比较后即可得到答案； （3）根据题意给三项得分分配适当的权重，计算出三名候选人三项打分的加权平均数，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：甲的成绩的算术平均数（分）， 乙的成绩的算术平均数（分）， 丙的成绩的算术平均数（分）， ∵， ∴如果按三项得分的算术平均数大小确定优胜者，那么丙是优胜者； （2）解：甲的成绩的平均分为：（分）； 乙的成绩的平均分为：（分）； 丙的成绩的平均分为：（分）； ∵， ∴乙是优胜者； （3）解：示例：分配演讲内容、语言表达能力、感染力的权重为， 甲的成绩的平均分为：（分）； 乙的成绩的平均分为：（分）； 丙的成绩的平均分为：（分）； ∵， ∴乙是优胜者． 题型13 利用中位数、众数求未知数据的值（共3小题） 37．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）某人打靶五次的环数如下：1，4，6，8，x，其中整数x是这组数据的中位数，那么这组数据的平均数是 __________________ 【答案】或或 【分析】根据中位数定义确定整数的所有可能取值，再分别计算平均数即可． 【详解】解:∵这组数据共个，是整数且为这组数据的中位数，将已知数据从小到大排列为，插入后，第个数为中位数， ∴可得，即或或； 当时，平均数为； 当时，平均数为； 当时，平均数为； 综上，这组数据的平均数为或或． 38．（25-26八年级下·河南周口·期末）一组数据： 1，3，5，7，9，添加一个数后，中位数变为5.5，则添加的数是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】添加数据后数据个数变为偶数，偶数个数据的中位数是排序后中间两个数的平均数，利用该性质计算即可． 【详解】解：∵ 原数据从小到大排列为 ，共个数据，添加 个数后总共有个数据， ∴ 新数据的中位数为排序后第个和第个数据的平均数， 由中位数为 可得 ，即 第3个数据第4个数据， ∵ 结合原数据排序可知，若中位数为，则第个数据为， ∴ 第个数据为 ，因此添加的数是． 39．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）七名学生投篮球，每人投了10个球后，统计他们每人投中球的个数，得到七个数据，并对数据进行整理和分析，得出如下信息： 最小值 中位数 众数 平均数 2 6 7 m 其中小陈同学投中了4个，下列判断：①可能有学生投中了9个；②投中6个的学生只有1人；③这七个数据之和不可能为42；④m的值可能为5．所有正确推断的序号是________． 【答案】 ①③④ 【分析】将七个数据从小到大排列，根据中位数、众数的定义确定数据的基本规律，再逐个举例验证每个结论即可. 【详解】解：设七个数据从小到大排列为 ， ∵中位数为6，数据个数为奇数， ∴ ， ∵众数为7， ∴7的出现次数最多，且7只能出现在中，最多出现3次；已知最小值为2，且存在数据4，每人最多投中10个. ① 举例：数据为，满足所有条件，因此可能有学生投中9个，①正确. ② 举例：数据为，满足所有条件，此时投中6个的学生有2人，因此②错误. ③ 假设七个数据之和为42，分情况讨论：若7出现3次，可得，即； ∵，且数据含2和4，因此最大为，不可能；若7出现2次，要保证7是唯一众数，其他数据出现次数不能超过1次；最大和为，不符合题意；因此七个数据之和不可能为42，③正确. ④ 举例：数据为，总和为，平均数，满足所有条件，因此的值可能为5，④正确. 综上，正确推断的序号是①③④. 题型14 运用中位数、众数做决策（共3小题） 40．（26-27九年级上·河北·期中）某工艺品车间有30名工人，调查他们一周内加工某工艺品的数量，数据如下表： 一周内加工的工艺品数/件 50 60 70 80 频数 8 14 6 2 (1)求这30个数据的平均数、中位数和众数． (2)如果将每周加工工艺品的定额定为64件，是否合理？如果不合理，请确定一个比较合理的加工定额，并说明理由. 【答案】(1)平均数为件，中位数为60件，众数为60件 (2)不合理，较合理的加工定额为60件. 理由为：每周加工工艺品的定额定为64件时只有8人，达标占少数不合理，定为60件时有22人达标占多数且众数和中位数均为60件， 多数工人的周加工量能达到或超过该定额，可调动大多数工人的工作积极性，故定额为60件合理. 【分析】（1）根据平均数的计算公式，代入数据计算即可得这30个数据的平均数，把30个数据按从小到大的顺序排序，排在中间位置的是：60，60，求这两个数的平均数即可得这30个数据的中位数. （2）根据平均数，中位数的意义，结合（1）的计算结果，即可得将每周加工工艺品的定额定为64件不合理，进而可得比较合理的加工定额为60件. 【详解】（1）解：根据题意得这30个数据的平均数为： （件）， ∵这组数据有8个50，14个60， ∴这30个数据按从小到大的顺序排序，排在中间位置的是：60，60， ∴这30个数据的中位数为60， ∵这30个数据中，出现次数最多的是60件， ∴这30个数据的众数为60件. （2）略 41．（26-27九年级上·河北·期中）某企业50名职工的月基本工资分为5个档次，分布情况如下表： 月基本工资额/元 人数 6 4 (1)求月基本工资的平均数、中位数和众数． (2)相对来说，企业经理更关心哪个数？普通职工更关心哪个数？ 【答案】(1)平均数为元，中位数为元，众数为元． (2)企业经理更关心平均数，普通职工更关心众数． 【分析】（1）根据平均数的计算公式，代入数据计算即可得月基本工资的平均数，把企业50名职工的月基本工资数据按从小到大顺序排序，排在中间位置的是，，即可得中位数，根据企业50名职工的月基本工资为元的人数最多，即可得众数． （2）根据平均数反映全体职工工资的平均水平，关系到企业工资总成本支出，所以企业经理关心平均数，而普通职工人数最多，所以更关心多数人的工资是多少，即可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得月基本工资的平均数为： （元）， 把企业50名职工的月基本工资数据按从小到大顺序排序，排在中间位置的是，， ∴企业50名职工的月基本工资的中位数为元， ∵企业50名职工的月基本工资为元的人数最多， ∴企业50名职工的月基本工资的众数为元． （2）答：企业经理更关心平均数，普通职工更关心众数，因为平均数反映全体职工工资的平均水平，关系到企业工资总成本支出，所以企业经理更关心平均数，而普通职工人数最多，所以更关心多数人的工资是多少，所以普通职工更关心众数． 42．（26-27九年级上·陕西延安·开学考试）运算能力是数学学科的核心素养之一，它既是解决生活实际问题的必备技能，也是学生理解数学概念、解决数学问题的重要基础．为了进一步了解学生的计算情况，数学老师对某次计算专项训练考试中第20题计算题的得分情况进行了调查．现分别从A、B两班各随机抽取10名学生的成绩，绘制成如下图表．其中，如图是A班10名学生的成绩统计图，如表是A，B两班10名学生的成绩统计表，B班10名学生的成绩（单位：分）分别为：7，7，7，8，8，9，9，9，9，9． A、B两班10名学生的成绩统计表 A班 B班 平均数 a 中位数 b 众数 8 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________； (2)求A班所抽取学生成绩的平均数； (3)根据以上数据，你认为A、B两个班哪个班计算题掌握得更好？请说明理由．（写出一条即可） 【答案】(1)；9 (2)分 (3)解：B班计算题掌握得更好，理由如下： 两班平均分相同，但B班的中位数（分）高于A班的中位数（8分），说明B班半数以上学生的成绩不低于分，整体中等水平更优，成绩分布更集中稳定，且B班的众数也高于A班的众数， ∴B班计算题掌握得更好． 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）两班平均分相同，对比中位数和众数，B班中位数和众数都更高，据此可得结论． 【详解】（1）解：把A班10名学生的成绩按照从低到高的顺序排列为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10， ∴A班10名学生的成绩的中位数为（分），即； ∵B班10名学生的成绩中，得分为9分的人数最多， ∴B班10名学生的成绩的众数为9分，即； （2）解：由题意得（分）， ∴A班所抽取学生成绩的平均数为分； （3）略 题型15 求四分位数的综合计算（共3小题） 43．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）已知A，B两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分分），则下列说法错误的是（     ） A．这次考试A、B两个班都没有人考满分 B．A班的最低分比B班的最低分低 C．A班成绩的第三分位数与B班成绩的中位数相同 D．A班的成绩比B班的成绩更集中 【答案】D 【详解】解：满分分，班班最大值（最上端横线）均小于分，两个班没人考满分，选项不符合题意； 班最小值（最下端横线）对应的位置低于班的最小值对应位置，班的最低分比班低，选项不符合题意； 班成绩的第三分位数（箱体上端横线）是，班成绩的中位数（箱体中间横线）也是，班成绩的第三分位数与班成绩的中位数相同，选项不符合题意； 箱体越窄，数据越集中，班的箱体比班的宽，因此班的成绩比班的成绩更集中，选项符合题意． 44．（26-27九年级上·河北沧州·期中）【概念理解】 箱线图由长方形箱体和从箱体延伸出的两条线段构成，如图1，箱体中部的“×”的交点表示平均数；整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距． 【情境应用】 为了备考体育中考，某校九年级、B两个班各随机抽选10位同学进行“四分钟跳绳”模拟测试．满分标准为405个，所有结果均为整数（单位：个）． 体育老师已对A班同学的跳绳个数进行统计和录入，形成了箱线图如图2所示； B班同学的跳绳个数如下：425，427，430，404，399，415，442，405，390，335． (1)根据A班同学的箱线图，A班同学跳绳个数的平均数是______，四分位距是______． (2)根据B班同学的跳绳个数，请在图2中补全B班同学跳绳个数的箱线图，并标出B班同学跳绳个数的平均数，第一四分位数，中位数，第三四分位数及两端极值点． (3)已知A班同学的跳绳个数从大到小为：435，418，415，405，404， a ， b ， c ，397，396，缺失了其中的三个数据，根据箱线图，通过计算将缺失的数据补全． (4)请结合A、B两班同学跳绳测试的箱线图及数据特征，写出你能从中获得的结论．（建议贴合数据特征，结合实际情境说明，答一点即可） 【答案】(1)； (2) (3)403；401；398 (4)解：A班的四分位距远小于B班，说明A班抽取的10位同学跳绳成绩更集中，B班的成绩两极分化更明显；两个班跳绳成绩的平均数相同，但B班的满分人数占比更高，B班整体高分段表现更好． 【分析】（1）根据箱线图的信息可得答案； （2）求出B班的中位数，第一四分位数，第三四分位数和平均数，再画出对应的箱线图即可； （3）根据A班的中位数可得的值，根据第一四分位数可得的值，根据平均数可得的值； （4）结合箱线图言之合理即可． 【详解】（1）解：由题意得，A班同学跳绳个数的平均数是个， 四分位距是； （2）解：把B班同学跳绳个数按照从低到高的顺序排列：335，390，399，404，405，415，425，427，430，442， ∴； 方法1：前5个数的中位数为399，后5个数的中位数为427， ∴； 方法2：， ∴第一四分位数为排序后的第3个数，第三四分位数为排序后的第8个数， ∴； 综上所述，； 平均数为； 箱线图见答案； （3）解：∵A班同学的跳绳个数的中位数为， ∴， ∴； ∵A班同学的跳绳个数的第一四分位数为398， ∴同（2）可得A班同学的跳绳个数的第一四分位数为从大到小排序后的第8个数， ∴， ∵A班同学的跳绳个数的平均数为， ∴， ∴； （4）略 45．（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（     ） A．甲组跳绳次数的波动比乙组大 B．甲组跳绳次数的下四分位数小于 C．乙组跳绳次数的中位数比甲组小 D．乙组跳绳次数的最大值小于 【答案】D 【分析】根据箱线图的特征逐一判断即可． 【详解】解：选项：甲组的极差比乙组大，且甲组箱体长度大于乙组，故甲组跳绳次数的波动比乙组大，正确； 选项：甲组跳绳次数的下四分位数约，小于，正确； 选项：甲组跳绳次数的中位数约，乙组跳绳次数的中位数约，乙组跳绳次数的中位数比甲组小，正确； 选项：乙组跳绳次数的最大值约，大于，错误． 题型16 画箱线图综合（共3小题） 46．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）【数据收集】某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，________环，可以看出，________（填或）的平均成绩略高；通过计算方差，，，可以看出，________（填或）的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 6 ① 9 9.5 10 8 8 9 ② 10 （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填________环，②处应填________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手的整体成绩较高，选手________（填或）的射击成绩波动大； 【作出决策】 （3）请你根据八轮射击成绩，从、两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】（1）9；B；B； （2）7.5；10；A； （3）选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： 因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强．（言之有理即可）． 【分析】（1）根据平均数计算公式求解，再根据方差的意义判断稳定性； （2）先把选手的数据从小到大排列，再根据上四分位数、下四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴B的成绩略高； ∵，， ∴， ∴B的射击水平发挥更稳定； （2）选手的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10， 则下四分位数为，即； 选手的数据从小到大排列为8，8，8，9，9，10，10，10， 则上四分位数为， 由图2知：选手A的射击成绩波动大； （3）略 47．（25-26八年级上·河南郑州·期末）某市射击队为了从，两名运动员中选拔一人参加青少年射击比赛．现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名运动员每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图，将，两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】（1）小明计算平均数，（环），___________（环）；通过散点图比较：___________（填“>”“<”或“=”）； （2）小颖计算四分位数并绘制了、两名运动员的箱线图．①处应填___________环，②处应填___________环；③处应填___________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数___________选手射击成绩的中位数（填或）； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 6 ① ② 9.5 10 8 8.5 9 ③ 10 【作出决策】（3）请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】（1）9，；（2），9，，=； （3）解：选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： 根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛， 因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 【分析】本题考查了求一组数据的平均数，求众数，求中位数，根据方差判断稳定性，求四分位数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）根据平均数和方差的意义解答即可； （2）先把选手A，B的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】（1）解：运动员B的平均数为： （环）， 根据散点图得：运动员A的成绩的波动比运动员B大， ∴． 故答案为：9，； （2）解：选手A的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10， ∴下四分位数为，即； 中位数为，即； 选手B的数据从小到大排列为8，8，9，9，9，9，10，10， ∴上四分位数为，即， 基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数等于选手B射击成绩的中位数，． 故答案为：，9，，=； （3）略 48．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）为了提高学生对“非遗文化”的了解，某地区甲、乙两个学校举行了“非遗文化”知识竞赛，决赛阶段，甲、乙两个学校各选出了名同学参加，他们的测试成绩如下： 甲校：，，，，，，，，，． 乙校：，，，，，，，，，． (1)求甲校测试成绩的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙校的箱线图，请在该图中绘制出甲校的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个学校测试成绩的看法． 【答案】(1)，， (2)如图所示即为所作， (3)根据箱线图和四分位数可知，甲组成绩和乙组成绩的中位数相等，说明两组的中间水平相当，都有一半成员成绩不低于分；甲组箱体明显比乙组的长，说明甲组成绩比较分散，波动大，乙组的成绩比较集中，波动小． 【分析】（1）先对甲校测试成绩数据从小到大排序，再根据四分位数的计算规则进行求解； （2）先求得甲校测试成绩中最大值和最小值，再结合（1）中四分位数画图即可； （3）根据箱线图的特点和四分位数的意义解答即可． 【详解】（1）解法一： 甲校成绩从小到大排列为，，，，，，，，，， 第一四分位数为前个数据的中位数， 第一四分位数为． 第二四分位数为个数据的中位数， 第二四分位数为． 第三四分位数为后个数据的中位数， 第三四分位数为． 解法二： 甲校成绩从小到大排列为，，，，，，，，，， ， 第一四分位数为第个数，即． ， 第二四分位数为第个数与第个数的平均数，即． ， 第三四分位数为第个数，即． （2）解：由甲校数据知，最小值为60，最在值为100，结合（1）的数据即可画图； （3）略． 题型17 利用方差做决策（共3小题） 49．（2026·吉林长春·模拟预测）从甲、乙两名同学中选拔一人参加“中华好诗词”大赛，在相同的测试条件下，对两人进行了五次模拟，并对成绩（单位：分）进行了整理，计算出，．绘制成如下尚不完整的统计图表． 甲、乙两人模拟成绩统计表 ① ② ③ ④ ⑤ 甲成绩/分 79 86 82 a 83 乙成绩/分 88 79 90 81 72 根据以上信息，解答下列问题： (1)________； (2)请完成图中表示甲成绩变化情况的折线； (3)已知．计算甲的成绩的方差，综合分析，你认为选拔谁参加比赛更合适，说明理由． 【答案】(1)80 (2)表示甲成绩变化情况的折线如图所示： (3)，选拔甲参加比赛更合适， 理由：∵，，，．， ∴，， ∴甲的成绩比较稳定，故选拔甲参加比赛更合适． 【分析】（1）用总分减去已知分数可得a； （2）根据表格数据画折线统计图即可； （3）根据方差公式求解甲的方差，再从平均数和方差进行分析即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）略 （3）解：． 50．（25-26八年级下·浙江·期中）某校为调查学生生态环保科普知识掌握情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息： 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98． 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差 甲      70 a      乙      b 90      【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图如图所示（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： (1) ， ； (2)甲组学生竞赛成绩的第一四分位数 ，第三四分位数 ，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； (3)根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】(1)90；92 (2)70；96；箱线图如图 (3)乙组竞赛成绩较好． 理由：∵乙组的平均数大于甲组平均数，乙组的方差小于甲组的方差， ∴乙组平均分更高，成绩更稳定， ∴乙组竞赛成绩较好．（答案不唯一） 【分析】（1）根据众数，中位数的定义即可求解． （2）根据四分位数的定义求出第一四分位数和第三四分位数，再画图即可． （3）根据表格给出的数值，根据平均数，方差进行比较即可． 【详解】（1）解：甲组数据从小到大排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 甲组10个数，排序后第五和第六位分别是89和91， ∴中位数， 众数是出现次数最多的，乙组92最多， ∴众数． （2）解：甲组数据从小到大排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 方法一：10个数据的第一四分位数的位置为，故第一四分位数为第3个数是，因此； 第三四分位数的位置为，故第三四分位数为第8个数是，因此； 方法二：第一四分位数为前5个数据的中位数，故； 第三四分位数为后5个数据的中位数，故； 箱线图见答案 （3）略 51．（25-26九年级上·重庆·期中）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：83，85，86，87，88，89． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 a 90 10.3 九年级 88 94 b 9.6 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校八年级有800名，九年级有900名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】(1)93；88.5；30 (2) 九年级学生的知识竞赛成绩更好， 理由：因为均值相同，九年级的方差小于八年级的方差，方差越小成绩越稳定． (3)845 【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布表、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据中位数、方差的意义求解即可; （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【详解】（1）解：根据数据，八年级20名学生的竞赛成绩中，93出现次数最多， 所以众数， 由题知，九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个， 所以占，则， 根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占，共5名学生， 又20名学生竞赛成绩得中位数为从小到大排列第10、11位的平均值， 所以中位数， 故答案为：93；88.5；30． （2）略 （3）解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又八年级有800名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； 九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又九年级有900名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； （人）． 答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有845人． 题型18 离差平方和的应用（共3小题） 52．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）【活动背景】 李伟学习完了“数据的分组”这一节内容后有个疑问，明明一眼就能看明白如何划分两组，为什么要费这么大的力气算如此多的数据，于是他请教了信息技术老师．老师告诉他，工业、商业等领域有很多庞大的数据需要分组，但数据庞大到人几乎无法计算，于是就将分组的方法和规则通过编程做成分组模型嵌入到系统中，由系统来处理这些数据后直接给出结论，准确而迅速．而组内离差平方和最小原则就是系统中分组功能的核心模型（算法）． 【教材背景】 10个城市12月份的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示． 城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 平均高温 3 3 10 21 22 12 9 17 (1)【任务1：求基本数据】 ①求出该组数据的众数； ②求出该组数据的中位数． (2)【任务2：根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，将10个城市分为两组】 将10个城市12月份的每日最高温度的平均数从小到大排列，得 ，，3，3，9，10，12，17，21，22， 信息技术老师利用系统中的分组功能，分别计算了9种情况的组内离差平方和（结果保留小数点后一位），得到了一张表，如下表所示． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 a 584.2 d 第2个间隔 32 380.9 412.9 第3个间隔 98.7 285.7 384.4 第4个间隔 132 158.8 b 第5个间隔 228.8 113.2 c 第6个间隔 308.8 62 370.8 第7个间隔 397.4 14 411.4 第8个间隔 562 0.5 562.5 第9个间隔 789.6 0 789.6 ①_________，_________； ②请直接写出最终城市的分组结果； (3)【任务3：跨学科拓展】 结合地理课所学知识，请你指出系统将城市划分为哪两类城市？ 【答案】(1)①3；② (2)①，342；②哈尔滨、呼和浩特、北京、石家庄一组，贵阳、上海、广州、海口、成都、昆明一组 (3)系统将城市大体上划分为北方城市和南方城市两类 【分析】（1）根据众数，中位数的定义求解即可； （2）①当组内只有1个数据时，离差平方和为0，即可得到a的值；组内离差平方和等于各组的离差平方和之和，即可得到c的值； ②观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第4个间隔分组时，组内离差平方和最小，因此按第4个间隔分组； （3）根据地理知识解答即可． 【详解】（1）解：①这组数据中，3出现的次数最多，故众数是3； ②将这组数据从小到大排序为：，，3，3，9，10，12，17，21，22， 共有10个数据，处于中间的第5个和第6个数据分别为9，10，故中位数为． （2）解：①； ． ②∵， ， ， ∴当按第4个间隔分组时，组内离差平方和最小， ∴哈尔滨、呼和浩特、北京、石家庄一组，贵阳、上海、广州、海口、成都、昆明一组． （3）略 53．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）大连某饮品企业为优化生产管理、提升产品品质；针对旗下灌装生产线与合作代工厂开展数据统计分析，请结合所学知识解答下列问题： (1)甲、乙两条自动灌装线均灌装标准含量为的瓶装饮料，现从两条生产线上各随机抽取瓶产品，测量实际含量，结果（单位：）记录如下： 甲生产线： 乙生产线： 根据行业标准： 若单瓶饮料的含量误差（实际含量-标准含量）的绝对值超过，则判定该条灌装线的灌装质量不合格. 甲组误差/mL 乙组误差/mL ①请判断甲、乙两条灌装线的灌装质量是否合格，并说明理由； ②计算甲、乙灌装线被抽取的饮料实际含量的平均数和方差，分析哪条灌装线的灌装质量更好； (2)该企业有家合作代工厂，去年的年产值统计如表： 企业 产值/亿元 企业计划将这家代工厂按年产值的组内离差平方和最小的原则，把这家代工厂分为两组．请写出符合要求的分组方案． 小明的思路如下：将表中的数据按从小到大排序，可得，，，，，，将它们分成两组共有种分法，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和，结果如下表所示： 分组间隔 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内 离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 观察表中最后一列的组内离差平方和可以发现，当第 个间隔分组时，组内离差平方和达到最小值．因此，按组内离差平方和最小的原则，分组方案为 ． 请补全小明同学的解题过程． 【答案】(1)①甲、乙两条灌装线的灌装质量都合格，理由如下： 从误差表可知，甲、乙两条灌装线的灌装质量误差的绝对值最大分别是、，两者都小于，因此甲、乙两条灌装线的灌装质量都合格；②，，，，甲灌装线的灌装质量更好； (2)，第一组：，；第二组：，，，． 【分析】（1）①从误差表可知，甲、乙两条灌装线的灌装质量误差的绝对值最大分别是、，两者都小于，即可判断；②根据平均数和方差的定义分别求出甲、乙两条灌装线的平均数和方差，再根据平均数和方差即可判断哪条灌装线的灌装质量更好； （2）对五种分组的组内离差平方和进行比较，选取数值最小的那一组，对应写出企业分组． 【详解】（1）①略 ②解：， ， ， 甲、乙灌装线的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，所以甲灌装线的灌装质量更好； （2）解：， 当第个间隔分组时，组内离差平方和达到最小值． 根据产值的组内离差平方和最小的分法为第一组：，；第二组：，，，， 即第一组：，；第二组：，，，． 54．（2025·广东深圳·二模）艺术测评主要是为掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学．某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干位同学进行艺术测评与分析，下面是对九（1）班抽测到的10位同学的测评分值的数据分析过程： 【收集与整理】10位同学的测评分值分组统计如下： 分组方式 组别 测评分值 方式一 （按平均分相同分组） Ⅰ组 80，85，85，90，100 Ⅱ组 80，85，90，90，95 方式二 （按分数段分组） 甲组 80，80，85，85，85 乙组 90，90，90，95，100 【描述与分析】 10位同学测评分值的分布情况分组数据统计量分析表 分组方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差平方和 方式一 Ⅰ组 m 85 46 360 Ⅱ组 90 90 26 方式二 甲组 85 85 6 110 乙组 90 n 16 说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度．它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近． 根据以上信息，解答下面问题： （1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为______°； （2）_______，_______． 【判断与决策】 （3）为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由． 【答案】（1）36；（2）85；90；（3）我会选择方式二进行分组．因为两种分组方式的中位数与众数都相同，但方式二的组内离差平方和更小，说明分组方式二下的同组成员之间的水平更接近，有利于开展同级别水平训练的理解和合作，促进同学间的互帮互助，共同进步． 【分析】本题主要考查扇形统计图、中位数、众数，解题的关键是掌握中位数、众数的定义及组内离差平方和的意义． （1）用360°乘以对应比例即可； （2）根据众数、中位数定义求解即可； （3）可根据组内离差平方和的意义求解即可． 【详解】解：（1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为， 故答案为：36； （2）方式一中Ⅰ组数据从小到大排列，中间数为85，则中位数， 方式二种乙组数据中出现次数最多的是90，则众数， 故答案为：85、90； （3）方式二利于开展小组学习， 由表知，方式二的组内离差平方和小于方式一，更利于开展小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步． 题型19 用样本估计总体（共3小题） 55．（26-27九年级上·重庆·期中）为落实“双减”政策，了解学生课后体育锻炼的情况，大一中从七、八年级各随机抽取20名学生，调查了他们某周平均每天的课后锻炼时间（单位：分钟，时间均为整数）．随后进行数据整理、描述和分析（时间用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的锻炼时间在C组中的数据是：42，43，44，45，45，46，48． 八年级20名学生的锻炼时间数据是：30，32，35，35，38，40，40，45，45，45，47，48，52，55，55，58，60，62，65，70． 七、八年级所抽取学生锻炼时间统计表 年级 七年级 八年级 平均数 47 48.5 中位数 a 46.5 众数 45 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中__________，__________，__________； (2)根据以上数据，你认为七、八年级中，哪个年级学生课后锻炼时间的整体情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)大一中七年级有1280人，八年级有1200人，请估计这两个年级课后锻炼时间不低于50分钟的学生总人数． 【答案】(1)47，45，15 (2)七年级学生课后锻炼时间的整体情况更好．理由如下：七年级学生课后锻炼时间的中位数47大于八年级学生课后锻炼时间的中位数46.5； 八年级学生课后锻炼时间的整体情况更好．理由如下：八年级学生课后锻炼时间的平均数48.5大于七年级学生课后锻炼时间的平均数47．（写一条即可） (3)1056 【分析】（1）先通过C组数据的数量算出其在样本中的占比，再结合扇形图给出的百分比算出B组占比，从而确定A，B两组的总人数，进而定位到中位数所在的C组，计算出七年级的中位数a；同时通过统计八年级数据中出现次数最多的数，得到众数b； （2）分别从中位数和平均数两个统计量的角度进：行对比七年级的中位数更高，说明七年级有一半学生的锻炼时间更长；而八年级的平均数更高，说明八年级整体的锻炼时长更久，从而可以得出两个不同的结论； （3）先分别计算出两个年级样本中锻炼时间不低于50分钟的人数占比，再用该占比去估算两个年级各自的总人数，最后将两个年级的估算人数相加，得到两个年级课后锻炼时间不低于50分钟的总人数． 【详解】（1）解：七年级20名学生的中位数是第10，11个数据的平均数 已知C组数据为：42，43，44，45，45，46，48 (共7个)， ， B所占百分比为：， 即． ∵A，B组共有个数据， ∴第10，11个数据都在C组，第10个是46，第11个是48， ∴中位数， ∵八年级20名学生的锻炼时间数据中，45出现的次数最多， ∴众数． （2）解：略； （3）解：（人） 答：这两个年级课后锻炼时间不低于50分钟的学生总人数为1056人． 56．（26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）某校为了解九年级学生每天体育锻炼的时间，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． (1)本次调查共抽取了_________名学生； (2)请补全条形统计图； (3)若该校九年级共有800名学生，请估计每天锻炼时间不少于1小时的学生人数． 【答案】(1)40 (2) (3)估计每天锻炼时间不少于1小时的学生有600人 【分析】（1）根据条形图及扇形图中0.5小时的数据计算即可； （2）求出1小时人数，进而补全条形图即可； （3）用800乘以每天锻炼时间不少于1小时的比例即可． 【详解】（1）解：由条形图及扇形图数据可知，0.5小时有10人占， 则总数； （2）解：1小时人数（人）； 条形图略； （3）解：（人）， 答：估计每天锻炼时间不少于1小时的学生有600人． 57．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A，B，C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩（单位：分）进行统计整理．下面给出了部分信息： 七年级：，，，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，，，． ．抽取的七、八年级学生成绩（单位：分） 不完整的统计表如下： 年级 平均数 众数 方差 最小值 四分位数 最大值 七年级 ① ② ③ 八年级 ．抽取的七、八年级学生成绩绘制成的不完整箱线图如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)统计表中，①处应填________，③处应填________． (2)求②． (3)基于上述材料分析，可以发现________年级学生成绩更稳定． (4)若该校八年级有名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过94分的人数． 【答案】(1)；96 (2) (3)八 (4)100名 【分析】（1）根据众数和第三四分位数的定义求解即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据方差越小成绩越稳定可得答案； （4）用该校八年级参与此活动的人数乘以样本中八年级学生成绩超过94分的人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：把七年级12名学生的成绩按照从低打到高的顺序排列为：，，，，，，，，，，，， ∵得分为70的人数最多， ∴七年级12名学生的成绩的众数为70； 方法1：排序后的后面6个数的中位数为，则； 方法2：，则七年级学生的成绩的第三四分位数为排序后的第9个数据和第10个数据的平均数，则七年级学生的成绩的； 综上所述，七年级学生的成绩的； （2）解：把七年级12名学生的成绩按照从低打到高的顺序，中位数为第6个数据和第7个数据的平均数，即为； （3）解：∵七年级学生的成绩的方差为，八年级学生的成绩的方差为，且， ∴八年级学生成绩更稳定； （4）解：（名）， 答：估计该校此次活动中八年级学生成绩超过94分的人数为100名． 拔高·压轴破难 题型20 数据的分析与统计估计解答题（共3小题） 58．（24-25八年级下·甘肃天水·期末）为了加强安全教育，某校组织七、八年级开展了以“急救安全注意事项”为主题的知识竞赛，为了解竞赛情况，王老师从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩．收集整理数据如表： 分数 70 75 80 85 90 95 100 七年级 2人 3人 2人 4人 5人 3人 1人 八年级 0人 2人 5人 8人 2人 人 1人 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 90 八年级 85 85 40 根据以上信息回答下列问题： (1)__________，__________，__________，__________． (2)通过对两个年级学生成绩的平均数和方差的比较，两个年级中哪个年级的学生成绩更稳定？并说明理由． 【答案】(1)2；85；85；85 (2)解：八年级的学生成绩更稳定，理由如下： ∵七年级的平均数为85，八年级的平均数为85，七年级方差为，八年级方差为， ∴两个年级的学生成绩平均数相同，而八年级的学生成绩的方差更小，根据方差越小，数据波动程度越小，成绩越稳定，因此八年级学生成绩更稳定． 【分析】先依据总人数求出的值，再利用加权平均数公式计算七年级平均分，排序取中间两数平均值得到中位数，统计出现频次最高分数得到八年级众数；对比两组方差数值大小判断成绩稳定性． 【详解】（1）解：∵抽取八年级一共20人， ∴， ∴． 七年级平均数， 将七年级20名成绩从小到大排列，中位数为第10、11个数的平均数， ∵，， ∴第10、11个数均为85， ∴中位数， 八年级得分85分的有人，人数最多，故众数． （2）略 59．（25-26九年级下·北京·期中）学校举办“节科技创意”比赛，比赛分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由8名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： ．教师评委打分 85，86，88，90，90，91，92，94 ．学生评委打分的频数分布直方图如图： （数据分4组：第1组；第2组；第3组；第4组） c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 89.5 90 学生评委 90.2 93 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为_____，的值位于学生评委打分数据分组的第_____组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为，则_____89.5（填“”“”“”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制），对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 91 92 92 92 93 乙 90 94 90 94 91 丙 93 90 92 93 若三名选手中，丙排序居中，则这三位选手排序最靠前的是_____，表中（为整数）的值为_____． 【答案】(1)①90，3；② (2)甲，或 【分析】（1）①根据众数和中位数的计算方法进行求解即可；②根据平均数的计算公式进行计算即可； （2）先求出甲和乙的平均数以及方差，进而确定顺序，推出丙的平均数的范围，求出整数的值，进而求出丙的方差，进一步确定值即可． 【详解】（1）解：①教师评委数据中出现次数最多的是90，故， ∵， 故学生评委的数据中第25和第26个数据均落在第3组； 故的值位于学生评委打分数据分组的第3组； ②； （2）解：甲选手的平均数为， 方差为； 乙选手的平均数为， 方差为， ∵甲选手的平均数高于乙选手， ∴甲排在乙前， 又∵丙排序居中， ∴三位选手排序最靠前的是甲，丙的平均数：， ∴， 当时，则丙选手的方差为， 即丙和乙的平均数相同，丙的方差小于乙的方差，符合题意； 当时，则丙选手的方差为， 即丙和甲的平均数相同，丙的方差大于甲的方差，符合题意； 故或． 60．（25-26九年级下·福建福州·期中）综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： (4)小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 【答案】(1) (2) (3) (4) 解：准确性较高． 因为随着h降低，液体对容器底部压强变小，会使得水流速度变慢，满足题中出现的方程， 因此数据准确性较高． 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数表达式； （2）利用题干所给偏差计算公式求出对应的值； （3）通过比较偏差确定最优函数表达式； （4）结合实际情况作答即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式是， ，，时，， 则， 解得：， 一次函数的解析式是； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ； （3）解：由题意可知： 对于，， 的值为， 的值为， 其中对应的值最小为， 即的偏差最小， 为最优函数表达式； （4）略 题型21 四分位数、箱线图解答题（共3小题） 61．（25-26八年级下·福建福州·期末）福州本土生鲜超市日渐增多，配送服务遍布全城．各大生鲜超市为提升同城配货效率，设立分拣、扫码、称重、打包四道连续工序作为全套流程，完成四道工序用时越少说明员工的业务水平越好．现对甲、乙、丙三家超市每超市名员工进行调研． 【数据统计】 数据随机抽取乙组名员工单人完成全套流程的用时（单位：分钟） 、、、、、、、、、 数据甲、乙、丙三家超市员工全套流程用时绘制了箱线图如下： (1)根据数据，箱线图中的值为________；比较三家超市完成全套工序耗时的集中趋势或离散程度，不难发现：________超市员工完成全套工序业务水平整体最好，________超市员工完成全套工序耗时离散程度最小．（填“甲”、“乙”或“丙”） (2)【深度分析】 为了让顾客更快收到货品，缩短出货耗时，各大超市都在努力提升超市配货效率．丙超市安排名员工采用流水接力作业模式，即每个员工负责一道工序并交接给下一个员工．默契的工序衔接，能省去每道工序单独启动准备的时间，因此四人流水接力总耗时，少于四道工序单独由一人完成所耗时之和．在员工训练过程中，店长发现平均每次交接工序节约时间（单位：分钟）与交接工序训练时长（单位：小时）满足一次函数关系（其中），已知当时，；当时，，并且道工序流水作业总用时满足此公式：名员工完成全套工序流水接力作业用时总和一名员工单独完成四项工序用时三次交接总节约时间． ①求关于的函数表达式； ②已知丙超市的A仓库一名员工单独完成四道工序用时为分钟，则该仓库名员工完成全套工序流水作业用时总和（单位：分钟）与交接工序训练时长（单位：小时）之间的函数表达式为______________；（化简为的形式） ③丙超市B仓库一名员工单独完成四项工序用时比丙超市C仓库快7分钟，但由于员工培训时间太少，导致B仓库四名员工流水接力完成全套用时却比C仓库的流水接力用时慢分钟，且两个仓库的交接工序训练时长之和为小时．求B仓库交接工序训练时长． 【答案】(1)；丙；乙 (2)①； ②； ③B仓库交接工序训练时长为5小时 【分析】（1）箱线图：箱线图矩形框下方横线代表下四分位数，箱体总长判断数据波动；用时越少代表业务水平越好； （2）①一次函数：已知两组点直接代入列方程组求解析式； ②将①中解析式代入即可求得； ③先拆分“单人独立用时、流水节约用时、总流水用时”三层关系，再设未知数联立方程消元求解． 【详解】（1）解：数据1为乙组10名员工用时先从小到大排序：24.4，24.7，24.9，25.5，25.7，26，26.3，26.4，26.5，26.6， 共10个数据，箱线图矩形框下方横线代表下四分位数， 解法一：为前5个数的中位数，即为24.4，24.7，24.9，25.5，25.7的中位数，因此， 解法二：，所以为排序后的第3个数，因此； 业务水平越好，完成工序用时越少：丙箱线整体位置最低，用时最少，丙超市整体业务水平最好； 离散程度看箱线图箱体的总长度，长度越短数据越集中、离散程度越小：乙的箱线最短，乙超市耗时离散程度最小． （2）解：①设一次函数解析式： 已知两组对应值：；，代入得方程组： ， 解得，， 函数表达式：． ②公式：流水总用时单人独立总用时三次交接总节约时间， 单人独立用时26.4分钟，每次节约，三次共节约， 即， 将代入： ， 解析式：． ③设B仓库训练时长为，C仓库训练时长为， 训练时长和：， B单人独立用时比C快0.7分钟：， B流水总用时比C流水慢1.1分钟：， 对C：， 对B：， 代入列等式： ， 整理得， ， 解得，， 检验范围、均满足，符合题意． B仓库交接工序训练时长为5小时． 62．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）为提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，学校组织八年级甲班、乙班、丙班、丁班四班同学参加“跳绳”比赛．并将调查结果进行整理，绘制了箱线图（如图）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这四个班学生中，哪个班的成绩最稳定？ (2)这四个班学生中，哪个班成绩的中位数最大？跳的次数最多的同学在哪个班？ (3)你觉得哪个班的同学表现得最出色？请说明理由． 【答案】(1)乙班 (2)丙班中位数最大，跳的次数最多的同学在甲班 (3) 解：乙班同学表现最出色，理由如下： 因为乙班成绩最稳定，且中位数不低，学生成绩整体均衡，无明显两极分化等． 【分析】由箱线图根据中位数，最大值，最小值，以及上、下四分位数进行分析即可． 【详解】（1）解：这四个班学生中，乙班的成绩最稳定， 因为乙班的数据最集中，且最大值与最小值的差值最小，说明数据波动小，故成绩最稳定； （2）解：由箱线图可得，丙班的中位数最大，由箱线图可得甲班的最大值最大，因此跳的次数最多的同学在甲班； （3）略 63．（25-26九年级下·上海·期中）【背景介绍】箱线图由矩形箱体和从箱体延伸出的两条线段构成，如图1所示，箱线图中最下端和最上端的竖直线段分别表示数据的最小和最大值；箱体的下端横线表示下四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，即前半部分数据的中位数）；箱体中部的横线表示中位数；箱体的上端横线表示上四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，后半部分数据的中位数）；箱体中部的“×”的交点表示平均数；整个箱体的长度为上四分位数减去下四分位数的差，称为四分位距． 【情境应用】为了备考体育中考，某校九年级A、B两个班各随机抽选10位同学进行“四分钟跳绳”模拟测试．满分标准为405个，所有结果均为整数（单位：个）．其中体育老师已对A班小组同学的跳绳个数进行统计和录入，形成了箱线图（如图2）．B班小组同学的跳绳个数如下：425，427，430，404，399，415，442，405，390，335． (1)根据A班小组同学的箱线图，问A班小组同学跳绳个数的平均数是_______，四分位距是_______． (2)根据B班小组同学的跳绳个数，请在图中补全B班小组同学跳绳个数的箱线图，并标出B班小组同学跳绳个数的平均数，及两端极值点． (3)已知A班小组同学的跳绳个数从大到小为：435，418，415，405，404，______，_____，______，397，396，缺失了其中的三个数据，请根据箱线图将缺失的数据补全． (4)请结合A、B两班小组同学跳绳测试的箱线图及数据特征，写出你能从中获得的结论．（建议贴合数据特征，结合实际情境说明） 【答案】(1)407.2；17 (2) 补全B班小组同学跳绳个数的箱线图如下， (3)403，401，398 (4)1、A、B两班跳绳个数的平均数相同；2、A班跳绳个数的四分位距更小，说明A班同学跳绳整体水平更整齐，更稳定，差距更小；3、B班跳绳个数极差更大，说明B班跳绳水平两极分化明显，满分人数多于A班，也存在成绩较低的同学． 【分析】（1）由图即可得A班小组同学跳绳个数的平均值和四分位距； （2）将B班小组同学的跳绳个数从小到大排列分别计算出平均数，及两端极值，画出图即可； （3）将A班小组同学的跳绳个数从小到大排列根据中位数，下四分位数，平均数即可求解； （4）根据箱线图及数据特征写出结论即可． 【详解】（1）解：由图可得，A班小组同学跳绳个数的平均数是407.2，四分位距是． （2）解：∵B班小组同学的跳绳个数从小到大排列为：335，390，399，404，405，415，425，427，430，442， ∴最大值为442，最小值为335，，，，平均数； （3）解：∵A班小组同学的跳绳个数从小到大排列为： 396，397，______，_____，______， 404，405，415，418，435， 由图可得，中位数，则第5个数为403， 下四分位数，则第3个数为398， ∵A班小组同学跳绳个数的平均数是407.2， ∴第4个数为， ∴缺失的数据从大到小为403，401，398． （4）解：1、A、B两班跳绳个数的平均数相同； 2、A班跳绳个数的四分位距更小，说明A班同学跳绳整体水平更整齐，更稳定，差距更小； 3、B班跳绳个数极差更大，说明B班跳绳水平两极分化明显，满分人数多于A班，也存在成绩较低的同学． 题型22 用样本推断总体压轴题（共3小题） 64．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）立定跳远是一项集弹跳、爆发力、身体协调性和技术等于一体的体育运动，其等级评价表如下： 立定跳远等级 男生成绩 女生成绩 优秀 良好 及格 不及格 【收集数据】某校为调查八年级男生的立定跳远水平，在该年级中随机抽取了20名男生立定跳远的成绩（单位：），数据收集如下： 235 210 210 228 205 241 203 210 232 162 223 225 208 165 238 212 236 167 220 210 【整理数据】将以上数据进行整理： 成绩 立定跳远等级 人数 百分比 优秀 6 良好 及格 不及格 3 【描述数据】根据整理的数据绘制如下统计图： 【分析数据】根据上述图表，计算平均数、中位数、众数、方差、四分位数如下： 平均数 中位数 众数 方差 四分位数 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 212 211 210 206.5 211 请根据以上图表中的信息，完成下列问题： (1)______，______，______，______； (2)补全条形图和扇形图； (3)______，______； (4)若八年级男生共有180人，估计八年级男生立定跳远等级为优秀的有多少人？ (5)对于样本中的20个立定跳远成绩数据，有人认为根据组内离差平方和最小原则，分组数越多越好，也有人认为分组数不宜过多．请结合统计学知识，谈谈你的看法，并说明在本题中分为几组更合适，理由是什么． 【答案】(1)8；3；； (2)补全条形图和扇形图如下： (3)；230 (4)54人 (5)看法：分组数增加时，每个组内的数据量会变少，组内数据的相似度会提升，组内离差平方和会持续降低，但组数过多会让各组数据过于零散，无法体现立定跳远成绩的分布规律，掩盖不同水平群体的特征，还会大幅增加数据处理的冗余度，失去分组统计的实际意义； 根据这组立定跳远数据的特征，分为组‌最为合适，理由如下： 这组数据的分布存在明显的低分段（）、中低分段（）、中高分段（）、高分段（），4组可以清晰对应不同运动水平的群体，既保证每组内成绩接近、组内离差平方和足够小，也能直观呈现整体的成绩分布特征． 【分析】（1）根据表格数据计算即可； （2）结合（1）中的计算结果补全条形图和扇形图； （3）根据方差的定义和第三四分位数的定义计算； （4）利用样本估计总体的思想求解即可； （5）根据分组统计的意义解答． 【详解】（1）解：由表格数据可知，的有8人，的有3人， ∴，， ∵，， ∴，； （2）解：略 （3）解：方差； 20个数据从小到大排列：162 165 167 203 205 208 210 210 210 210 212 220 223 225 228 232 235 236 238 241， 后十位为212 220 223 225 228 232 235 236 238 241，则第三四分位数为（取中位数计算）：， ，则第三四分位数为（取百分数计算）：， ∴； （4）解：（人）， 答：估计八年级男生立定跳远等级为优秀的有54人； （5）解：略 65．（2025·山东聊城·一模）为落实河北教育大会上提出的“要树立健康第一”的教育理念，某市启动中考体育改革，将体育成绩纳入中考总分，包括．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分共分（其中运动参与满分分，主要有平时体育课、课间体育活动等；运动技能满分分，主要是自主选择一项田径、球类等项目进行测试掌握基本技能即为满分；体质健康测试满分分，包括体重指数、肺活量、跑步、立定跳远等项目；统一体能测试满分分，包括跑步，引体向上（男）仰卧起坐（女）等项目）． 某中学数学兴趣小组对本校八年级学生的体育测试情况进行统计调查，从该校所有八年级学生中随机抽出部分学生的体育测试成绩，将所得的数据进行收集、整理、描述． 下面给出了部分信息： 信息一：每名学生的四项得分之和作为总分，总分用表示，将总分数据分成如下四组：第组：，第组：，第组：，第组：，以下是总分的频数直方图和扇形统计图的部分信息． 结合信息一解决下列问题： （1）将频数分布直方图补全，________，第4组所对应的圆心角的度数是________； （2）所抽取的这些学生的中位数位于第________组； （3）该校八年级共有名学生，请估计体育总分不低于分的学生有多少名？ 信息二： 抽取的学生在．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分的平均数和方差如下表： 运动参与 运动技能测试 体质健康测试 统一体能测试 平均分 方差 （4）请结合以上信息分析，影响一个学生体育总分的主要是哪些部分的成绩？并就如何提升学生体育成绩，提出至少两条合理化建议． 【答案】（1）；； 补全条形统计图如下： （2）； （3）人； （4）解：、两项权重较大，是影响体育总分的主要因素． 建议：保持合理饮食习惯，保证体重指表在健康范围内； 加强锻炼增强肺活量； 加强跑步上定跳远、引体向上、仰卧起坐等项目的训练．（合理即可） 【分析】从条形统计图可知：第组、组、组人数之和为，从扇形统计图中可知：第组、组、组人数之和占总人数的百分比为，利用人数除以对应的分率可以求出抽查的总人数，用总人数乘以扇形统计图中第组人数所占的百分比求出第组的人数，根据第组的人数补全统计图即可；是第组人数占总人数的百分比，根据第组的人数和总人数计算即可；根据第的人数和总人数求出第组的人数占总人数的百分比，利用百分比求出扇形统计图中第组的圆心角即可； 共抽查了学生，根据中位数的定义可知：中位数是第、名成绩的平均数，从条形统计图中可知：第、名位于第组，所以抽取的这些学生的中位数位于第组； 利用样本估计总体，根据抽查的名学生中体育成绩不低于分的人数所占的百分比代表全校所有学生成绩不低于分人数的百分比，计算即可； 从表格中可知、两项所占的权重较大，所以为了提高学生的体育成绩，应重点从、两项中提高成绩． 【详解】解：从条形统计图可知：第组、组、组人数之和为， 从扇形统计图中可知：第组、组、组人数之和占总人数的， 抽取的总人数为：（人） 第组的人数为：（人）， 图略； 第组有人，占比为：， ∴， 第组有人， 第组占抽查总人数的， 扇形统计图中第组对应的圆心角的度数为：， 故答案为，； 总共抽查了人， 中位数是第、名成绩的平均数， 第1组和第2组总人数是24人， 从条形统计图中可知：第、名位于第组， 抽取的这些学生的中位数位于第组； 从条形统计图中可知：抽查的学生中体育总分不低于分的学生， 利用样本估计总体可得：全校体育成绩不低于分的学生总人数为人； 略 【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图的综合运用、用样本代替总体、求扇形统计图的圆心角度数、中位数，解决本题的关键是综合运用扇形统计图与条形统计图，根据已知的信息求出未知的信息． 66．（2026·辽宁·模拟预测）为充分展示中学生阳光自信的精神风貌、扎实的科技和数字素养功底，某市开展了“学生机器人”比赛，比赛分为初中组和高中组．各参赛队伍进行编程、调试、搭建和讲解四项比赛，各项比赛成绩均为整数，且满分均为10分． 信息一： 为了解学生搭建项目比赛情况，现从初中组和高中组各随机抽取20支队伍搭建项目的成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表（不完整），信息如下： 初中组和高中组各20支队伍搭建项目的成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 初中组 8．15 a 10 高中组 8．4 9 b 信息二： 初中组A队伍的各项成绩如下表所示： 编程 调试 搭建 讲解 A队伍成绩/分 8 8 7 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_____，____，搭建项目成绩更稳定的是_____（填“初中组”或“高中组”），并直接将条形统计图补充完整； (2)比赛组委会规定：将编程、调试、搭建和讲解四项比赛成绩按照的比，确定各支队伍比赛的平均成绩，求A队的平均成绩； (3)本次比赛高中组共60支队伍参赛，若认定搭建项目的成绩不低于9分为优秀，根据样本数据，估计本次比赛高中组共有多少支队伍在搭建项目中获得优秀． 【答案】(1)8； 10；初中组 补全条形统计图如答图． (2)7分 (3)33支 【分析】（1）根据平均数，中位数，方差的定义求解，再求解初中组得分的人数，进一步补图即可； （2）根据加权平均数的运算法则计算解答即可； （3）先从扇形统计图获取高中组样本中搭建项目成绩9分和10分的占比，相加得到不低于9分的占比；再用此占比乘以高中组参赛队伍总数，从而估计出搭建项目中获优秀的队伍数量． 【详解】（1）解：初中组共20个数据，将初中组搭建项目成绩从小到大排列，第10、11个数据都在成绩为分的组中， ∴中位数， 由高中组搭建项目成绩扇形统计图可知，10分所占比例为，是占比最高的， ∴众数， ∵初中组方差小于高中组方差， ∴搭建项目成绩更稳定的是初中组， ∵初中组得分的人数为：， 补全图形略． （2）解：． 答：A队的平均成绩为7分． （3）解：（支）． 答：估计本次比赛高中组有33支队伍在搭建项目中获得优秀． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $