重难点01 有理数重要概念串讲 讲义（8大知识点8大题型、单元复习、期中复习） 2026-2027学年人教版七年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点01 有理数重要概念串讲 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、正数和负数的概念 2 知识点二、相反意义的量 3 知识点三、正负数的实际应用 4 知识点四、有理数的概念及分类 5 知识点五、数轴 5 知识点六、相反数&倒数 6 知识点七、绝对值 6 知识点八、有理数的大小比较 7 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 7 【题型1 正负数与相反意义的量】 7 【题型2 有理数的分类与 0、“非” 类辨析】 8 【题型3 数轴基础、点的表示与大小比较】 8 【题型4 数轴两点距离、点平移动点问题】 9 【题型5 相反数、多重符号化简】 10 【题型6 绝对值的意义、求绝对值】 10 【题型7 绝对值非负性综合】 10 【题型8 有理数大小比较实际应用】 11 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 12 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 16 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・正负数定义、相反意义的量 ・有理数分类，0 的含义，“非正数、非负数” 辨析 ・数轴三要素、读数、比较大小 ・数轴距离、点平移基础动点 ・相反数概念、多重符号化简 ・绝对值代数与几何意义 ・绝对值的非负性 ・有理数大小比较 ・基础题以选择、填空为主，侧重概念辨析，易错陷阱多 ・数轴是高频载体，结合距离、平移考察数形结合 ・绝对值非负性是本单元小难点，常以求值形式考查 ・会结合生活情境考察正负数、大小比较 考情解码： ・易错集中在：“非” 字概念理解混淆 ・多重符号化简符号出错 ・绝对值忽略分类讨论、数轴动点漏解 ・期中卷里属于基础必拿分板块，概念细碎，需要区分定义，避免凭感觉做题 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一：正数和负数的概念 1. 正数的定义 大于0的数叫做正数。正数前面的“+”号通常省略不写，有时为了强调也可以加上。 例如：3、​、1.8%、+7.5 都是正数。 2. 负数的定义 在正数前面加上“−”号的数叫做负数。负数的“−”号不能省略。 例如：−3、​、−1.8%、−7.5 都是负数。 3. 0的特殊地位 0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界点。 · 核心理解：正数 > 0 > 负数，0是正负“分水岭”。 4. 易错警示 · 符号“+”可以省略，但“−”绝对不能省略； · 并非所有带“+”的数都是正数（如“+0”仍是0），所有带“−”的数（除0外）都是负数； · 判断一个数是正数还是负数，关键是看它与0的大小关系，而不是看它是否带有符号。 知识点二：相反意义的量 1. 定义 在生活中，有许多意义相反的量，如“上升”与“下降”、“收入”与“支出”、“零上”与“零下”等。人们常用正数和负数来表示这样一对具有相反意义的量。 2. 表示方法 对于一对具有相反意义的量，我们可以规定其中一种意义的量为正，用正数表示；则与它意义相反的量就为负，用负数表示。 注意：正、负的规定是人为的，可以互换，但一旦规定好，整个问题中必须保持一致。 3. 常见相反意义的量配对 正方向（记为+） 负方向（记为−） 上升 下降 收入 支出 盈利 亏损 运进 运出 高于海平面 低于海平面 零上温度 零下温度 向东 向西 增加 减少 上涨 下跌 超过标准 不足标准 4. 基准（参照点） 用正负数表示相反意义的量时，通常先确定一个基准，基准用0表示。高于基准的量为正，低于基准的量为负。 例如：海平面的海拔高度记为0米，高于海平面记为正，低于海平面记为负。 关键理解：相反意义的量包含两个要素——①意义相反；②是同类量（如长度、金额、温度等）。“黑”与“白”虽然意义相反，但不是同类量，不能作为一对相反意义的量。 知识点三：正负数的实际应用 正负数在实际生活中应用广泛，理解其含义是解决应用题的关键。 1. 表示允许偏差（误差范围） 产品包装上常见“标准值±偏差值标准值±偏差值”的标识，表示产品合格的范围。 例如：某食品包装标注“净含量：500±5克”，表示：标准净含量为500克；最多比标准多5克（500+5=505克），最少比标准少5克（500−5=495克）；合格范围：495克 ~ 505克。 通用公式：若标注为“A±B”，则合格范围为 [A−B, A+B]。 2. 表示变化量 正负数可以表示某个量相对于基准量的变化情况： “+a”表示比基准增加或上升了a个单位； “−a”表示比基准减少或下降了a个单位。 例如：某日气温变化记录为“+3∘C”表示比前一天上升了3℃，“−2∘C”表示比前一天下降了2℃。 3. 表示相对位置或等级 海拔：以海平面为0，高于为正，低于为负； 成绩评定：以标准线为0，超过为正，不足为负； 楼层：有些国家以地面层为0，地上为正，地下为负。 4. 应用中的核心方法 在实际情境中，用正负数解决问题的一般思路： (1) 明确基准（什么量记为0）； (2) 确定正方向（什么情况记为正）； (3) 按要求表示或计算。 知识点四、有理数的概念及分类 1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类： （1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类 （3）小数的分类 【注】注意以下几个概念的区分： 非负数：正数和零；非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零； 非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零． 知识点五、数轴 1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素； ①原点：表示数0的点； ②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向； ③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度. 2．数轴的画法 （1）画一条水平直线； （2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方． 【例】一个标准的数轴： 【注】画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 3．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示； 但数轴上的点不一定代表有理数，比如． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 4．数轴与数学思想 ①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系； ②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零． 知识点六、相反数&倒数 1．相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0． 【例】与互为相反数；是的相反数； 【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“是相反数”是错误的. 2．相反数的性质： （1）代数性质：若a与b互为相反数，则；反之，若，则a与b互为相反数． （2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的． 3．倒数：乘积为的两个有理数互为倒数． 【例】2与，与，与． 4．负倒数：乘积为的两个有理数互为负倒数． 【例】2与，与，与． 【注】①0没有倒数，也没有负倒数； ②倒数是它的本身的数1或． 知识点七、绝对值 1．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 2．绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 3．绝对值的性质： （1）非负性：； （2）双解性：若，则或． 【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0． 例如，若，则，，． 4.绝对值的重要结论： （1）若，则；若，则． （2）． （3）． 知识点八、有理数的大小比较 1.定义：比较两个或多个有理数数值大小的过程。 2.运算法则（核心口诀）： · 正数 > 0 > 负数（正数永远大于负数，0大于所有负数小于所有正数）。 · 两个正数：绝对值大的数大（如 5 > 3）。 · 两个负数：绝对值大的反而小（如 -5 < -3，因为 |-5| > |-3|）。 3.常用比较方法（三种武器）： · 数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。（最直观，适用于多个数排序） · 绝对值法：同号两数比较时，正数看绝对值（大即大），负数看绝对值（大即小）。 · 求差法（作差法）：计算 a - b。 若 a - b > 0，则 a > b； 若 a - b = 0，则 a = b； 若 a - b < 0，则 a < b。（适用于含字母或复杂式子比较） 4.易错提醒（避坑指南）： · 比较时先定符号（正负），再比数值（绝对值）。 · 遇到分数或小数，先统一形式（通分或化小数）再比较。 · 多个数比较时，建议先标在数轴上，再从左到右写顺序，不易漏不重。 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 正负数与相反意义的量】 【例1】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果收入3元记作元，那么支出5元，记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式1-1】微信钱包收入200元时在微信账单中显示为，那么支出50元将显示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】一个水库某天8：00的水位为（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正）．在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：m）：0.5，，0，；，●（最后一个时刻的水位升降情况被墨水污染），经过6次水位升降后，水库的水位恰好位于警戒线，则被墨水污染的数值是（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1.0 【变式1-3】在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．向东走3千米与向北走3千米 B．收入100元与支出200元 C．气温上升与上升 D．5个老人与5个小孩 【题型2 有理数的分类与 0、“非” 类辨析】 【例2】下列各数（以此规律类推），下列说法正确的是（     ） A．只有5个分数 B．只有2个整数 C．只有2个负数 D．只有3个非负数 【变式2-1】给出下列说法：①1.5不是分数；②正数和负数统称为有理数；③整数、分数都是有理数；④整数分为正整数、负整数；⑤非负数包括正数和0，正确说法的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 【题型3 数轴基础、点的表示与大小比较】 【例3】下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】下列四个数轴上的点A表示的数都是a，其中满足a一定为正数的是（     ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【变式3-3】实数a，b在数轴上所表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型4 数轴两点距离、点平移动点问题】 【例4】某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度．点对齐刻度．点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D．3 【变式4-1】如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母A，B，C，D，先让正方形上的顶点A与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2026将与正方形上的哪个字母重合（     ） A．字母A B．字母B C．字母C D．字母D 【变式4-2】数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【变式4-3】如图，若，则该数轴的原点可能为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【题型5 相反数、多重符号化简】 【例5】下列说法：①的相反数是；②符号相反的数互为相反数；③的相反数是；④一个数和它的相反数可能相等；⑤正数与负数互为相反数．其中，正确的有（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式5-1】在下列各数中：，，，，，．其中是负数的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式5-2】下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则；④若，则a、b互为相反数．其中正确的结论是（     ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【变式5-3】下列说法错误的是（    ） A．一个数与1相乘仍得这个数 B．两数商为0，则被除数一定为0 C．一个数与相乘得这个数的相反数 D．互为倒数的两个数相除商为1 【题型6 绝对值的意义、求绝对值】 【例6】下列说法中正确的个数为（     ） ①若，则；        ②如果，则； ③若，则；    ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-1】对于任何有理数，下列各式中一定为负数的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】给出下列结论：①若，则；②一个数的绝对值越大，表示它对应的点在数轴上离原点越远；③若，则；④任意有理数绝对值都是正数．其中正确的结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-3】已知有理数，（均不等于），若，，，则，在数轴上对应的位置可能是（     ） A． B． C． D． 【题型7 绝对值非负性综合】 【例7】定义数轴上分别表示,的两点间的距离．关于这个距离，下列结论： ①；②；③若，则； ④．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式7-1】下列说法正确的有（    ） ①不仅是有理数，而且是分数； ②互为相反数，则； ③如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数一定是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【变式7-2】下列说法正确的个数有（） ①如果，则有；②0既不是正数，也不是负数；③一个数的绝对值一定比0大；④一个数的相反数一定比它本身小；⑤绝对值等于它本身的数一定是正数；⑥若，则、互为相反数． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式7-3】若，则多项式的值为（    ） A． B．5 C． D． 【题型8 有理数大小比较实际应用】 【例8】如图，点表示的有理数是，则，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础．已知，，且，你可以通过数轴大致描述它们在数轴上的位置，从而比较大小．试比较，，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】下列语句：①一个数的绝对值一定是正数；②一定是一个负数；③没有绝对值是的数；④若，则a是一个正数；⑤在原点左边离原点越近的数就越大；⑥任何有理数都有相反数．正确的有（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式8-3】已知，则，，之间的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） ★★★ 型号 3星级 质量 黄色 质量 直径 包装规格 10只/盒 A． B． C． D． 2．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2021次，蚂蚁最后在数轴上对应的数是（ ） A．1011 B． C．505 D． 3．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（     ） A． B． C．或 D．或 4．在数轴上表示、两数的点如下图所示，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，单位长度为的数轴上有三个点，，，若点，表示的数互为相反数，则图中点对应的数是（     ） A． B． C． D． 6．下列说法中，①一定是负数；②一个有理数不是整数，就是分数；③任何一个有理数都能用数轴上的一个点来表示；④有理数分为正有理数和负有理数；⑤0是绝对值最小的有理数；⑥如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是或0或1；正确的有（     ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 7．下列说法错误的是（     ） A．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数 B．在数轴上与原点距离相等但不重合的两个点，所表示的数一定互为相反数 C．符号不同的两个数互为相反数 D．两个数互为相反数，这两个数有可能相等 8．给出下列语句：①一个数的绝对值一定是正数；②一定是负数；③没有绝对值为的数；④在数轴负半轴上，离原点越远的数就越小；⑤若，则，其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．0个 9．下列大小比较正确的是（　　） A． B． C． D． 10．对于图上点表示的数，下列说法不正确的是（     ） A．点表示的数小于0 B．点表示的数在和之间 C．点表示的数和2.1之间有5个整数 D．点表示的数的绝对值大于3 11．如图，已知四个有理数在一条缺失了原点和刻度的数轴上对应的点分别为． （1）如果m互为相反数，在四个有理数中，绝对值最小的一个是___． （2）如果M与Q之间的距离等于2，沿某点将数轴向左折叠，使点N落在点Q处，点N，Q之间的距离为6，且点N表示的数是2，则点M表示的数是___． 12．下列说法：①若，则x为负数；②若是负数，则a为正数；③没有绝对值为的数；④在数轴的负半轴上，离原点越远的点表示的数就越小．其中正确的有________．（填序号） 13．如图如果点C表示的数是，那么点A表示的数是__________． 14．正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为0，1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转．翻转1次，点所对应的数为2，若翻转2026次，数轴上数2026所对应的点是_______． 15．如图，数轴上有M，N两点和一条线段，规定：若线段的中点R在线段上（点R能与点P或点Q重合），则称点M与点N关于线段“中线对称”． （注：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作线段的中点） 已知点O为数轴的原点，点A表示的数为，点B表示的数为4，点C表示的数为x，若点A与点C关于线段“中线对称”，则x的最大值为________． 16．如图，在单位长度为1的数轴上，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数； (2)补全数轴，并用数轴上的点表示下列各数，然后用“”将它们连接起来． 3.67，，，． 17．琪琪用刻度尺按如图所示的方式画一数轴（刻度尺上为数轴上的个单位长度），数轴上的点，，恰好分别与刻度尺上的刻度值“”“”和“”对应． (1)若点表示的数为，则点表示的数应为_____，点表示的数应为_____； (2)若点与表示的数互为相反数，求点表示的数； (3)若点，表示的数互为相反数，试求数轴的原点对应刻度尺上的刻度值． 18．【阅读】在数轴上，若点表示数，点表示数，则点与点之间的距离为． 例如：两点表示的数分别为，，那么． (1)若，则的值为_________． (2)当_________时，． (3)在数轴上，点表示数，点表示数．我们定义： 当时，点叫点的1倍伴随点， 当时，点叫点的2倍伴随点， … 当时，点叫点的倍伴随点． 试探究下列问题： 若点是点的1倍伴随点，点是点的2倍伴随点，是否存在这样的点和点，使得点恰与点重合，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 31 页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点01 有理数重要概念串讲 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、正数和负数的概念 2 知识点二、相反意义的量 3 知识点三、正负数的实际应用 4 知识点四、有理数的概念及分类 5 知识点五、数轴 5 知识点六、相反数&倒数 6 知识点七、绝对值 6 知识点八、有理数的大小比较 7 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 7 【题型1 正负数与相反意义的量】 7 【题型2 有理数的分类与 0、“非” 类辨析】 9 【题型3 数轴基础、点的表示与大小比较】 11 【题型4 数轴两点距离、点平移动点问题】 12 【题型5 相反数、多重符号化简】 14 【题型6 绝对值的意义、求绝对值】 16 【题型7 绝对值非负性综合】 17 【题型8 有理数大小比较实际应用】 19 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 21 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 30 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・正负数定义、相反意义的量 ・有理数分类，0 的含义，“非正数、非负数” 辨析 ・数轴三要素、读数、比较大小 ・数轴距离、点平移基础动点 ・相反数概念、多重符号化简 ・绝对值代数与几何意义 ・绝对值的非负性 ・有理数大小比较 ・基础题以选择、填空为主，侧重概念辨析，易错陷阱多 ・数轴是高频载体，结合距离、平移考察数形结合 ・绝对值非负性是本单元小难点，常以求值形式考查 ・会结合生活情境考察正负数、大小比较 考情解码： ・易错集中在：“非” 字概念理解混淆 ・多重符号化简符号出错 ・绝对值忽略分类讨论、数轴动点漏解 ・期中卷里属于基础必拿分板块，概念细碎，需要区分定义，避免凭感觉做题 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一：正数和负数的概念 1. 正数的定义 大于0的数叫做正数。正数前面的“+”号通常省略不写，有时为了强调也可以加上。 例如：3、​、1.8%、+7.5 都是正数。 2. 负数的定义 在正数前面加上“−”号的数叫做负数。负数的“−”号不能省略。 例如：−3、​、−1.8%、−7.5 都是负数。 3. 0的特殊地位 0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界点。 · 核心理解：正数 > 0 > 负数，0是正负“分水岭”。 4. 易错警示 · 符号“+”可以省略，但“−”绝对不能省略； · 并非所有带“+”的数都是正数（如“+0”仍是0），所有带“−”的数（除0外）都是负数； · 判断一个数是正数还是负数，关键是看它与0的大小关系，而不是看它是否带有符号。 知识点二：相反意义的量 1. 定义 在生活中，有许多意义相反的量，如“上升”与“下降”、“收入”与“支出”、“零上”与“零下”等。人们常用正数和负数来表示这样一对具有相反意义的量。 2. 表示方法 对于一对具有相反意义的量，我们可以规定其中一种意义的量为正，用正数表示；则与它意义相反的量就为负，用负数表示。 注意：正、负的规定是人为的，可以互换，但一旦规定好，整个问题中必须保持一致。 3. 常见相反意义的量配对 正方向（记为+） 负方向（记为−） 上升 下降 收入 支出 盈利 亏损 运进 运出 高于海平面 低于海平面 零上温度 零下温度 向东 向西 增加 减少 上涨 下跌 超过标准 不足标准 4. 基准（参照点） 用正负数表示相反意义的量时，通常先确定一个基准，基准用0表示。高于基准的量为正，低于基准的量为负。 例如：海平面的海拔高度记为0米，高于海平面记为正，低于海平面记为负。 关键理解：相反意义的量包含两个要素——①意义相反；②是同类量（如长度、金额、温度等）。“黑”与“白”虽然意义相反，但不是同类量，不能作为一对相反意义的量。 知识点三：正负数的实际应用 正负数在实际生活中应用广泛，理解其含义是解决应用题的关键。 1. 表示允许偏差（误差范围） 产品包装上常见“标准值±偏差值标准值±偏差值”的标识，表示产品合格的范围。 例如：某食品包装标注“净含量：500±5克”，表示：标准净含量为500克；最多比标准多5克（500+5=505克），最少比标准少5克（500−5=495克）；合格范围：495克 ~ 505克。 通用公式：若标注为“A±B”，则合格范围为 [A−B, A+B]。 2. 表示变化量 正负数可以表示某个量相对于基准量的变化情况： “+a”表示比基准增加或上升了a个单位； “−a”表示比基准减少或下降了a个单位。 例如：某日气温变化记录为“+3∘C”表示比前一天上升了3℃，“−2∘C”表示比前一天下降了2℃。 3. 表示相对位置或等级 海拔：以海平面为0，高于为正，低于为负； 成绩评定：以标准线为0，超过为正，不足为负； 楼层：有些国家以地面层为0，地上为正，地下为负。 4. 应用中的核心方法 在实际情境中，用正负数解决问题的一般思路： (1) 明确基准（什么量记为0）； (2) 确定正方向（什么情况记为正）； (3) 按要求表示或计算。 知识点四、有理数的概念及分类 1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类： （1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类 （3）小数的分类 【注】注意以下几个概念的区分： 非负数：正数和零；非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零； 非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零． 知识点五、数轴 1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素； ①原点：表示数0的点； ②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向； ③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度. 2．数轴的画法 （1）画一条水平直线； （2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方． 【例】一个标准的数轴： 【注】画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 3．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示； 但数轴上的点不一定代表有理数，比如． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 4．数轴与数学思想 ①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系； ②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零． 知识点六、相反数&倒数 1．相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0． 【例】与互为相反数；是的相反数； 【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“是相反数”是错误的. 2．相反数的性质： （1）代数性质：若a与b互为相反数，则；反之，若，则a与b互为相反数． （2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的． 3．倒数：乘积为的两个有理数互为倒数． 【例】2与，与，与． 4．负倒数：乘积为的两个有理数互为负倒数． 【例】2与，与，与． 【注】①0没有倒数，也没有负倒数； ②倒数是它的本身的数1或． 知识点七、绝对值 1．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 2．绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 3．绝对值的性质： （1）非负性：； （2）双解性：若，则或． 【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0． 例如，若，则，，． 4.绝对值的重要结论： （1）若，则；若，则． （2）． （3）． 知识点八、有理数的大小比较 1.定义：比较两个或多个有理数数值大小的过程。 2.运算法则（核心口诀）： · 正数 > 0 > 负数（正数永远大于负数，0大于所有负数小于所有正数）。 · 两个正数：绝对值大的数大（如 5 > 3）。 · 两个负数：绝对值大的反而小（如 -5 < -3，因为 |-5| > |-3|）。 3.常用比较方法（三种武器）： · 数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。（最直观，适用于多个数排序） · 绝对值法：同号两数比较时，正数看绝对值（大即大），负数看绝对值（大即小）。 · 求差法（作差法）：计算 a - b。 若 a - b > 0，则 a > b； 若 a - b = 0，则 a = b； 若 a - b < 0，则 a < b。（适用于含字母或复杂式子比较） 4.易错提醒（避坑指南）： · 比较时先定符号（正负），再比数值（绝对值）。 · 遇到分数或小数，先统一形式（通分或化小数）再比较。 · 多个数比较时，建议先标在数轴上，再从左到右写顺序，不易漏不重。 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 正负数与相反意义的量】 【例1】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果收入3元记作元，那么支出5元，记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】此题主要考查了正数和负数的意义，根据正负数的意义即可得出答案，理解正数和负数是具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵收入3元记作元， ∴支出5元，记作元， 故选：A． 【变式1-1】微信钱包收入200元时在微信账单中显示为，那么支出50元将显示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，根据在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，即可解题． 【详解】解：收入200元显示为， 支出50元将显示为， 故选：B． 【变式1-2】一个水库某天8：00的水位为（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正）．在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：m）：0.5，，0，；，●（最后一个时刻的水位升降情况被墨水污染），经过6次水位升降后，水库的水位恰好位于警戒线，则被墨水污染的数值是（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1.0 【答案】C 【分析】用减去前5次各数与8：00的水位和，然后即可做出判断． 【详解】解：0-（0.5-0.8+0-0.2-0.3-0.1）=0.9． 故选：C． 【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，根据题意列出算式是解题的关键． 【变式1-3】在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．向东走3千米与向北走3千米 B．收入100元与支出200元 C．气温上升与上升 D．5个老人与5个小孩 【答案】B 【分析】本题主要考查相反意义的量，根据相反意义的量的概念，逐一判断选项，即可得到答案，熟练掌握相反意义的量的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、向东走3千米与向北走3千米，不是具有相反意义的量，故A不符合题意； B、收入100元与支出200元，具有相反意义的量，故B符合题意； C、气温上升与上升，不是具有相反意义的量，故C不符合题意； D、5个老人与5个小孩，不是具有相反意义的量，故D不符合题意， 故选：． 【题型2 有理数的分类与 0、“非” 类辨析】 【例2】下列各数（以此规律类推），下列说法正确的是（     ） A．只有5个分数 B．只有2个整数 C．只有2个负数 D．只有3个非负数 【答案】A 【分析】利用有理数的分类方法判断即可． 【详解】解：A、分数：，，，，，共5个，故此选项正确； B、整数：0，只有1个，故此选项错误； C、负数：，，，共3个，故此选项错误； D、非负数：，，，0，（以此规律类推），共5个，故此选项错误． 【变式2-1】给出下列说法：①1.5不是分数；②正数和负数统称为有理数；③整数、分数都是有理数；④整数分为正整数、负整数；⑤非负数包括正数和0，正确说法的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵，是分数， ∴①错误； ∵整数和分数统称为有理数，按符号可分为正有理数、、负有理数， ∴②“正数和负数统称为有理数”的说法错误； ∵“整数、分数都是有理数” ∴③正确； ∵整数分为正整数、、负整数， ∴④错误； ∵非负数包括正数和， ∴⑤正确； 综上，正确的说法有个. 【变式2-2】下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据有理数的概念和有理数的分类，正、负数依次进行判断即可． 【详解】解：整数分为正整数，0和负整数， ∴一个整数不是正数就是负数错误， 故（1）不符合题意； 没有最小的整数， 故（2）不符合题意； 负数中没有最大的数， 故（3）符合题意； 自然数包括0， ∴自然数一定是正整数错误， 故（4）不符合题意； 有理数包括正有理数，零和负有理数， 故（5）符合题意， 整数包括正整数，0和负整数， 故（6）不符合题意； 零食整数但不是正数， 故（7）符合题意； 整数和分数统称为有理数， 故（8）不符合题意； 非负有理数是指正有理数和0， 故（9）符合题意， 综上所述，正确的有（3）（5）（7）（9），共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的概念和分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 【变式2-3】有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整数“整数包括正整数、0和负整数”、有理数的分类“有理数可分为正有理数、0和负有理数”、正数与负数，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据整数、有理数的分类、正数与负数逐个判断即可得． 【详解】解：①0不是最小的整数，如负整数，则原说法错误； ②有理数0既不是正数也不是负数，则原说法错误； ③若是正数，则是负数，则原说法正确； ④自然数0不是正数，则原说法错误； ⑤整数0既不是正整数也不是负整数，则原说法错误； ⑥非负数就是指不是负数，即正数和0，则原说法错误； 综上，正确的个数是1个, 故选：B． 【题型3 数轴基础、点的表示与大小比较】 【例3】下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），解题的关键是依据三要素逐一验证选项是否符合数轴的定义． 明确数轴的三要素，依次检查各选项是否包含原点、正方向且单位长度均匀，从而选出符合数轴定义的选项． 【详解】解：选项A：缺少正方向（无箭头），不是数轴； 选项B：单位长度不均匀（“”到“0”的距离与“0”到“1”的距离不一致），不是数轴； 选项C：缺少原点（没有标注“0”），不是数轴； 选项D：包含原点（0）、正方向（右箭头）、单位长度均匀，符合数轴的定义． 故选D 【变式3-1】如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算数轴上两点间距离，根据圆周长确定循环周期，利用余数判断重合数字． 【详解】解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为， ∵圆的周长为， ∴每滚动个单位长度为一个循环周期， ∵， ∴圆滚动了周后，又向右滚动了个单位长度， ∵初始时数字与重合，向右滚动个单位对应，滚动个单位对应，滚动个单位对应， ∴数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是． 【变式3-2】下列四个数轴上的点A表示的数都是a，其中满足a一定为正数的是（     ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】D 【分析】根据数轴上的点对应的数，右边的数总比左边的数大逐项判断即可． 【详解】解：A、由数轴知，则a一定是负数，本选项不符合题意； B、由数轴知，则a可能为正数，也可能为负数或0，本选项不符合题意； C、由数轴知，则a可能为正数，也可能为负数或0，本选项不符合题意； D、由数轴知，则a一定为正数，本选项符合题意． 【变式3-3】实数a，b在数轴上所表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，且， ∴． 【题型4 数轴两点距离、点平移动点问题】 【例4】某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度．点对齐刻度．点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】先算出数轴上、两点的距离与刻度尺上、对应的长度，得到数轴上个单位对应刻度尺的长度，再根据刻度尺上的长度，求出数轴上的单位长度，最后结合点对应的数求出点对应的数． 【详解】解：∵点对应数，点对应数， ∴数轴上 ∵刻度尺上对齐，对齐， ∴刻度尺上 ∴数轴上个单位长度对应刻度尺 ∵刻度尺上， ∴数轴上 ∴ 【变式4-1】如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母A，B，C，D，先让正方形上的顶点A与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2026将与正方形上的哪个字母重合（     ） A．字母A B．字母B C．字母C D．字母D 【答案】B 【分析】计算起点到终点的距离，利用正方形周长为4的周期性，通过余数判断对应顶点即可． 【详解】解：∵正方形边长为1， ∴正方形周长为4， ∵起点对应数，终点对应数2026， ∴滚动的总距离为， ∵， ∴数轴上的数2026对应的点与正方形滚动1个单位长度后落在数轴上的顶点重合， ∵正方形顺时针滚动，起始点为，则滚动1个单位长度后落在数轴上的点为， ∴数轴上的数2026将与正方形上的字母重合． 【变式4-2】数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数即可． 【详解】解：由条件可知：点B表示的数是：和1， ∵点A向左移动5个单位后到达点B， ∴点A表示的数是4或6， 故选：D． 【变式4-3】如图，若，则该数轴的原点可能为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的点的特征，熟悉相关性质是解题的关键．根据数轴上点的位置和有理数加法的性质，即可判断原点可能的位置． 【详解】解：若A点为原点，则，，，故符合题意； 若B点为原点，则，，无法判断，故不符合题意； 若C点为原点，则，，，故不符合题意； 若D点为原点，则，，，故不符合题意； 故选：A． 【题型5 相反数、多重符号化简】 【例5】下列说法：①的相反数是；②符号相反的数互为相反数；③的相反数是；④一个数和它的相反数可能相等；⑤正数与负数互为相反数．其中，正确的有（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数，根据相反数的定义可对5个说法进行一一分析进而得出答案即可． 【详解】解：①的相反数是，正确； ②如与符号相反，但不互为相反数，错误； ③，其相反数为，错误； ④的相反数是，故一个数和它的相反数可能相等，正确； ⑤如与是正数与负数，但不互为相反数，错误， ∴正确的个数为个． 【变式5-1】在下列各数中：，，，，，．其中是负数的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查负数的识别，根据乘方，有理数的减法，多重符号的化简方法先将各个数化简，再进行判断即可．解题的关键是掌握正负数的判断方法：①具体的数：需将符号化为最简，即数字前最多只有一个符号时，看是否有负号“” ，如果有“”就是负数，否则是正数；②含字母的数：如要看本身的符号，如果是负数，则是正数，如果是正数则是负数，如为则是． 【详解】解：∵，，，， ∴负数有：，，，共个． 故选：B． 【变式5-2】下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则；④若，则a、b互为相反数．其中正确的结论是（     ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据0的相反数是0；互为相反数的两个数的和为0，对各说法进行判断作答即可． 【详解】解：若a、b互为相反数，则，正确，故①符合要求； 若，则a、b互为相反数，正确，故②符合要求； 若a、b互为相反数，当时，无意义，故③说法错误，不符合要求； 若，则，即，a、b互为相反数，正确，故④符合要求； 综上，正确的结论是①②④． 【变式5-3】下列说法错误的是（    ） A．一个数与1相乘仍得这个数 B．两数商为0，则被除数一定为0 C．一个数与相乘得这个数的相反数 D．互为倒数的两个数相除商为1 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法，除法，以及相反数、倒数的定义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】A. 一个数与1相乘仍得这个数，故该选项正确，不符合题意； B. 两数商为0，则被除数一定为0，故该选项正确，不符合题意； C. 一个数与相乘得这个数的相反数，故该选项正确，不符合题意； D. 互为倒数的两个数相乘积为1，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，除法，以及相反数、倒数的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【题型6 绝对值的意义、求绝对值】 【例6】下列说法中正确的个数为（     ） ①若，则；        ②如果，则； ③若，则；    ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】结合绝对值的性质判断各说法，错误命题可通过举反例快速验证． 【详解】解：①，，该说法正确，符合题意； ②举反例：取，，满足，但，该说法错误，不符合题意； ③，或，该说法错误，不符合题意； ④，，该说法正确，符合题意； 综上，正确的说法共2个． 【变式6-1】对于任何有理数，下列各式中一定为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过举反例排除存在非负情况的选项，结合绝对值的非负性验证剩余选项． 【详解】解：当时，，故A不符合题意； 当时，，故B不符合题意； 当时，，故C不符合题意； ∵， ∴， ∴，一定为负数，故D符合题意． 【变式6-2】给出下列结论：①若，则；②一个数的绝对值越大，表示它对应的点在数轴上离原点越远；③若，则；④任意有理数绝对值都是正数．其中正确的结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据绝对值的意义判断对错即可． 【详解】解：①若，则，故原说法错误； ②一个数的绝对值越大，表示它对应的点在数轴上离原点越远，故原说法正确； ③若，则绝对值无法确定大小，故原说法错误； ④任意有理数绝对值都是非负数，故原说法错误； 则其中正确的结论的个数为1个． 【变式6-3】已知有理数，（均不等于），若，，，则，在数轴上对应的位置可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，且有理数，均不等于， ∴m是正数，n是负数， ∵， ∴m到原点的距离大于n到原点的距离， 四个选项中只有B选项符合． 【题型7 绝对值非负性综合】 【例7】定义数轴上分别表示,的两点间的距离．关于这个距离，下列结论： ①；②；③若，则； ④．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】将新定义的数轴两点距离转化为两数差的绝对值，结合绝对值性质与几何意义逐一判断各结论． 【详解】解：根据定义逐一分析如下： ①，，故，①正确； ②，即，②正确； ③若，则，故，即，③正确； ④由数轴上三点的位置关系及两点之间线段最短，得，即，④正确． 综上，正确结论共个． 【变式7-1】下列说法正确的有（    ） ①不仅是有理数，而且是分数； ②互为相反数，则； ③如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数一定是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【详解】解：①∵π不是有理数， ∴不是有理数，也不是分数． ∴①说法错误． ②∵，互为相反数，且， ∴，且， ∴． ∴②说法正确． ③∵0的绝对值是0，即0的绝对值也是它本身， ∴绝对值是它本身的数是正数和0，并非只有正数． ∴③说法错误． 综上，正确的说法共1个． 【变式7-2】下列说法正确的个数有（） ①如果，则有；②0既不是正数，也不是负数；③一个数的绝对值一定比0大；④一个数的相反数一定比它本身小；⑤绝对值等于它本身的数一定是正数；⑥若，则、互为相反数． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：①如果，则有或，故不正确； ②0既不是正数，也不是负数，正确； ③因为0的绝对值等于0，所以一个数的绝对值一定比0大错误； ④因为0的相反数等于0，所以一个数的相反数一定比它本身小错误； ⑤绝对值等于它本身的数是正数和0，故错误； ⑥若，则、互为相反数，正确． 综上可知，正确的有②⑥，共2个． 【变式7-3】若，则多项式的值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性，求代数式的值，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．根据得，求得，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【题型8 有理数大小比较实际应用】 【例8】如图，点表示的有理数是，则，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在数轴上的位置，结合数轴上的数左边比右边的大，进行比较即可． 【详解】解：由图可知：， 所以， ∴． 故选A． 【变式8-1】数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础．已知，，且，你可以通过数轴大致描述它们在数轴上的位置，从而比较大小．试比较，，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助数轴，根据题意在数轴上分别表示出，，， ，根据在数轴上的数，右边的数总比左边的大，通过数轴可以直观的比较它们的大小． 【详解】∵，，且， ∴在数轴上分别表示出，，，，如图： 通过观察数轴可得：． 【变式8-2】下列语句：①一个数的绝对值一定是正数；②一定是一个负数；③没有绝对值是的数；④若，则a是一个正数；⑤在原点左边离原点越近的数就越大；⑥任何有理数都有相反数．正确的有（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：一个数的绝对值一定是非负数，①错误； 不一定是一个负数，②错误； 没有绝对值是的数，③正确； 若，则a是一个正数或0，④错误； 在原点左边离原点越近的数就越大，⑤正确； 任何有理数都有相反数，⑥正确． 正确的有3个． 【变式8-3】已知，则，，之间的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取满足的特殊值代入，计算后比较大小． 【详解】解：取，满足．则 ，． ∵ ， ∴ ． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） ★★★ 型号 3星级 质量 黄色 质量 直径 包装规格 10只/盒 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加法在实际生活中的应用，根据题意算出直径上限和下限，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： 该品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径上限是：， 直径下限是：， ∴只要乒乓球直径在和之间都是合格的， ∴选项中，直径为的乒乓球不合格， 故选：A． 2．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2021次，蚂蚁最后在数轴上对应的数是（ ） A．1011 B． C．505 D． 【答案】A 【详解】先得到前四次蚂蚁到达的位置，依此类推得到一般性规律，即可得到结果． 【分析】解：蚂蚁第一次到达的位置为1， 蚂蚁第二次到达的位置为， 蚂蚁第三次到达的位置为2， 蚂蚁第四次到达的位置为， …… 依此类推，第次到达n，第次到达，（其中n为正整数）， ∵ 故第2021次到达1011． 3．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】线段的端点位置不确定，需分在整点、不在整点两类情况讨论． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当线段的起点在整点时，覆盖的整点个数为； ②当线段的起点不在整点，即在两个整点之间时，覆盖的整点个数为． 4．在数轴上表示、两数的点如下图所示，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用相反数的几何意义在数轴上找到表示和的点，再根据数轴上的点从左往右的顺序就是所表示的数从小到大的顺序比较大小即可． 【详解】解：表示和的点在数轴上的位置如图所示： ∴． 5．如图，单位长度为的数轴上有三个点，，，若点，表示的数互为相反数，则图中点对应的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于点，表示的数互为相反数，因此的中点即为原点，将每个间隔视为一个单位长度，即可得出点表示的数． 【详解】解：∵点，表示的数互为相反数， ∴的中点即为原点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴点表示的数为4． 6．下列说法中，①一定是负数；②一个有理数不是整数，就是分数；③任何一个有理数都能用数轴上的一个点来表示；④有理数分为正有理数和负有理数；⑤0是绝对值最小的有理数；⑥如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是或0或1；正确的有（     ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：①当时，不是负数，原说法错误； ②一个有理数不是整数，就是分数，原说法正确； ③任何一个有理数都能用数轴上的一个点来表示，原说法正确； ④有理数分为正有理数、负有理数和0，原说法错误； ⑤0是绝对值最小的有理数，原说法正确； ⑥如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是0或1，原说法错误； ∴说法正确的有②③⑤，共3个． 7．下列说法错误的是（     ） A．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数 B．在数轴上与原点距离相等但不重合的两个点，所表示的数一定互为相反数 C．符号不同的两个数互为相反数 D．两个数互为相反数，这两个数有可能相等 【答案】C 【详解】解： A选项：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，符合定义，说法正确； B选项：∵ 数轴上与原点距离相等且不重合的两个点，所表示的数绝对值相等、符号不同， ∴ 这两个数互为相反数，说法正确； C选项：∵ 符号不同的两个数的绝对值不一定相等，例如与符号不同但不是相反数， ∴ 该说法错误； D选项：∵ 0的相反数是0， ∴ 互为相反数的两个数有可能相等，说法正确； 8．给出下列语句：①一个数的绝对值一定是正数；②一定是负数；③没有绝对值为的数；④在数轴负半轴上，离原点越远的数就越小；⑤若，则，其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．0个 【答案】C 【详解】解：①0的绝对值是0，不是正数，故①错误； ②当时，，故②错误； ③任意数的绝对值非负，没有绝对值为的数，故③正确； ④数轴负半轴上的数为负数，离原点越远，绝对值越大，数越小，故④正确； ⑤若，则或，故⑤错误， 综上，正确的语句共2个． 9．下列大小比较正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，，且，则，故本选项正确，符合题意； B、，，则，故本选项错误，不符合题意； C、，，则，故本选项错误，不符合题意； D、，，，，则，故本选项错误，不符合题意． 10．对于图上点表示的数，下列说法不正确的是（     ） A．点表示的数小于0 B．点表示的数在和之间 C．点表示的数和2.1之间有5个整数 D．点表示的数的绝对值大于3 【答案】D 【详解】解：A、点在原点左边，点表示的数小于0，说法正确，该选项不符合题意； B、点M表示的数在与之间，说法正确，该选项不符合题意； C、2.1和点M表示的数之间有5个整数，说法正确，该选项不符合题意； D、点表示的数的绝对值小于3，原说法错误，该选项符合题意． 11．如图，已知四个有理数在一条缺失了原点和刻度的数轴上对应的点分别为． （1）如果m互为相反数，在四个有理数中，绝对值最小的一个是___． （2）如果M与Q之间的距离等于2，沿某点将数轴向左折叠，使点N落在点Q处，点N，Q之间的距离为6，且点N表示的数是2，则点M表示的数是___． 【答案】 【分析】（1）根据题意m与p互为相反数，且中点为坐标原点，即可找出绝对值最小的数； （2）根据题意可得点Q表示的数，则可得点M表示的数． 【详解】解：依题意得 （1）与p互为相反数， ，且． ∴绝对值最小的是点Q表示的数q． （2）点N，Q之间的距离为6，且点N表示的数是2， 点Q表示的数是． 点M与Q之间的距离等于2， 点M表示的数是． 12．下列说法：①若，则x为负数；②若是负数，则a为正数；③没有绝对值为的数；④在数轴的负半轴上，离原点越远的点表示的数就越小．其中正确的有________．（填序号） 【答案】②③④ 【详解】解：因为，所以为正数或0，所以①的说法错误； 若是负数，则为正数，所以②的说法正确； 因为任何数的绝对值都是非负数，所以没有绝对值为的数，所以③的说法正确； 在数轴的负半轴上，离原点越远的点表示的数就越小，所以④的说法正确； 综上，正确的有②③④． 13．如图如果点C表示的数是，那么点A表示的数是__________． 【答案】 【分析】观察数轴可知点在原点右侧3个单位长度处，点在原点左侧2个单位长度处，根据点表示的数求出单位长度代表的数值，即可求出点表示的数． 【详解】解：观察数轴可知，点在原点右侧3个单位长度处，点在原点左侧2个单位长度处， 点表示的数是， 数轴上每个单位长度表示的数为， 点在原点左侧2个单位长度处， 点表示的数是． 14．正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为0，1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转．翻转1次，点所对应的数为2，若翻转2026次，数轴上数2026所对应的点是_______． 【答案】 【分析】正方形在数轴上翻转，每4次为一个循环周期，数轴上的整数与正方形顶点的对应关系随之循环，计算2026除以4的余数即可确定对应顶点. 【详解】解：由题意可知，正方形的边长为1，初始位置点对应0，点对应1. 翻转1次，点对应2； 翻转2次，点对应3； 翻转3次，点对应4； 翻转4次，点对应5， 每4次翻转为一个循环周期，数轴上的数对应的顶点由除以4的余数决定， ， 数2026对应的点与数2对应的点相同， 数2对应的点是， 数2026对应的点是. 15．如图，数轴上有M，N两点和一条线段，规定：若线段的中点R在线段上（点R能与点P或点Q重合），则称点M与点N关于线段“中线对称”． （注：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作线段的中点） 已知点O为数轴的原点，点A表示的数为，点B表示的数为4，点C表示的数为x，若点A与点C关于线段“中线对称”，则x的最大值为________． 【答案】12 【分析】根据“中线对称”的定义，求解即可． 【详解】解：如图，根据题意可知，当点A与点C关于线段“中线对称”，点B为的中点时，x的值最大， ∵点A表示的数为，点B表示的数为4， ∴， ∴， ∴点C表示的数为， ∴x的最大值为12． 16．如图，在单位长度为1的数轴上，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数； (2)补全数轴，并用数轴上的点表示下列各数，然后用“”将它们连接起来． 3.67，，，． 【答案】(1)标出原点，如图1所示．点B表示的数是4． (2)如图2． ． 【详解】（1）略用数轴上的点表示下列各数 （2）解：，， 补全数轴，并用数轴上的点表示下列各数略， 根据数轴可知：． 17．琪琪用刻度尺按如图所示的方式画一数轴（刻度尺上为数轴上的个单位长度），数轴上的点，，恰好分别与刻度尺上的刻度值“”“”和“”对应． (1)若点表示的数为，则点表示的数应为_____，点表示的数应为_____； (2)若点与表示的数互为相反数，求点表示的数； (3)若点，表示的数互为相反数，试求数轴的原点对应刻度尺上的刻度值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】根据两点间的距离公式求出答案即可； 根据题意得到点表示的数为，然后通过点在点左侧个单位，列算式即可得到答案； 点，表示的数互为相反数，且点之间的距离为，从而求出数轴的原点对应刻度尺上的刻度值． 【详解】（1）解：若点表示的数为，则点表示的数应为，点表示的数应为， 故答案为：，； （2）解：因为点与表示的数互为相反数，且点之间的距离为， 所以点表示的数为， ∴点表示的数为； （3）解：因为点，表示的数互为相反数，且点之间的距离为， 所以数轴的原点对应刻度尺上的刻度值为． 18．【阅读】在数轴上，若点表示数，点表示数，则点与点之间的距离为． 例如：两点表示的数分别为，，那么． (1)若，则的值为_________． (2)当_________时，． (3)在数轴上，点表示数，点表示数．我们定义： 当时，点叫点的1倍伴随点， 当时，点叫点的2倍伴随点， … 当时，点叫点的倍伴随点． 试探究下列问题： 若点是点的1倍伴随点，点是点的2倍伴随点，是否存在这样的点和点，使得点恰与点重合，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）由题中定义直接求解即可； （2）由题中定义列式计算即可； （3）令点表示的数是、点表示的数是、点表示的数是、点表示的数是，由倍伴随点的定义及两点之间距离定义得出的值，按照表示的值，即可求出线段的长． 【详解】（1）解：由可知，数轴上表示的点与表示的点的距离为， ； （2）解：是指数轴上表示的点与表示的点的距离为， 数轴上与距离个单位长度的数是或； （3）解：令点表示的数是、点表示的数是、点表示的数是、点表示的数是， 点是点的1倍伴随点， ，则由两点之间距离定义可知或； 点是点的2倍伴随点， ，则由两点之间距离定义可知或； 若点恰与点重合，即，则由上述的值可分四种情况： 当、时，则， ，即线段的长为； 当、时，则， ，即线段的长为； 当、时，则， ，即线段的长为； 当、时，则， ，即线段的长为； 综上所述，存在这样的点和点，线段的长为或． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 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