重难点02 数轴动点 压轴题型专项突破 2026-2027学年人教版七年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点02 数轴动点压轴题型专项突破 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 3 知识点一、数轴动点基本知识 3 知识点二、数轴动点问题解题步骤 3 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 4 【题型1 线段上的动点问题】 4 【题型2 折线上的动点问题】 9 【题型3 角度中的动点问题】 14 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 18 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 45 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・数轴两点距离公式 ・动点平移规律：右加左减 ・用含 t 的代数式表示动点代表的数 ・中点公式及其应用 ・相遇、追及类动点问题 ・利用绝对值列距离方程 ・动点位置分类讨论 ・根据运动范围对解进行取舍验证 ・多以解答压轴题出现，是期中高频压轴题型 ・常融合绝对值方程、线段中点综合设问 ・核心考查数形结合、分类讨论两大数学思想 ・设问梯度明显：先写动点表达式，再求距离、求时间、探究存在性 考情解码： ・易错集中在距离不使用绝对值，直接大小相减造成漏解 ・动点代数式书写错误，移动方向判断出错 ・求解得到结果后不检验，保留超出运动区间的无效解 ・多动点、分段运动题型，容易阶段划分混乱 ・综合性强，对代数式、绝对值、一元一次方程综合能力要求较高 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、数轴动点基本知识 1．数轴 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． ✮（4）数轴上两点间的距离公式：AB=XB-XA (即：右端点减左端点） ✮（5）数轴上中点数公式： (即：中点等于两端点相加除以2） 知识点二、数轴动点问题解题步骤 1. 分析题目 找到不动的点，动点，将动点运动方向及速度标记图上； 点平移规律：向右移动加，向左移动减 2. 寻求表达式 利用动点速度及运动时间表示出线段长度（角度大小）等；动点表示：设时间为 t，写出动点对应的代数式（注意点的速度区别）。 3. 找等量关系，列方程 ・相遇问题：两点路程和 = 初始距离 ・追及问题：两点路程差 = 初始距离 判断是否需要分类讨论，如果存在多种情况，逐一绘制图形，寻求各自的等量关系，列出方程求解。未确定左右顺序时，距离要加绝对值。 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 线段上的动点问题】 【例1】（1）如图，己知点C在线段AB上，线段厘米，厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．求线段MN的长度； （2）己知点C在线段BA的延长线上，点M，N分别是AC，BC的中点，设，请根据题意画出图形并求MN的长度； （3）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点． 【答案】见解析． 【解析】解：（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC=5厘米，CN=BC=3厘米， ∴MN=CM+CN=8厘米； （2）作图如下， ∵点M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=CN-CM=（BC-AC）=a． （3）以C为数轴原点，向右为正方向建立数轴，则A点表示的数为：-10，B点表示的数为：+6， 设运动时间为t s，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点， 则P点表示的数为：-10+2t，Q点表示的数为：6-t， 分三种情况讨论： ①当C为P、Q中点时， -10+2t+6-t=0，解得：t=4， ②当P为C、Q中点时， 0+6-t=2（-10+2t）， 解得：t= ， ③当Q为C、P中点时， 0-10+2t=2（6-t） 解得：t=， 综上所述：t=4或或时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点． 【变式1-1】如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点． （1）若，求线段MN的长； （2）若C为线段AB上一动点，满足，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？ 【答案】见解析. 【解析】解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点，AC=8cm，BC=6cm， ∴CM=AC=4cm，CN=BC=3cm， ∵点C在线段AB上， ∴MN=CM+CN=4+3=7cm， （2）由（1）知CM=AC，CN=BC， ∵点C在线段AB上， ∴MN=CM+CN =AC +BC =（AC+BC） =a cm， ∴无论点C在线段上移动到哪里，线段MN的长度等于线段AB长度的一半． 【变式1-2】已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） （1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝　 　，DM＝　 　；（直接填空） （2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值． （3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝　 　（填空） （4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 【答案】（1）2，4；（2）6 cm；（3）4；（4）或1． 【解析】解：（1）根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm， ∵AB＝12cm，AM＝4cm， ∴BM＝8cm， ∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm， 故答案为：2cm，4cm； （2）当点C、D运动了2 s时，CM＝2 cm，BD＝4 cm ∵AB＝12 cm，CM＝2 cm，BD＝4 cm ∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6 cm； （3）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC， ∵MD＝2AC， ∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM， ∵AM+BM＝AB， ∴AM+2AM＝AB， ∴AM＝AB＝4， 故答案为：4； （4）分两种情况讨论： ①当点N在线段AB上时， ∵AN﹣BN＝MN， ∵AN﹣AM＝MN ∴BN＝AM＝4 ∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4 ∴； ②当点N在线段AB的延长线上时， ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣BN＝AB ∴MN＝AB＝12 ∴； 故答案为或1． 【变式1-3】如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”） （问题解决） （2）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数. （应用拓展） （3）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值． 【答案】（1）是；（2）10或0或20；(3)见解析． 【解析】 解：（1）线段的中点是这条线段的巧点，故答案为：是； （2）设C点表示的数为x，则AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60， 根据“巧点”的定义可知： ①当AB=2AC时，有60=2（x+20）， 解得，x=10； ②当BC=2AC时，有40-x=2（x+20）， 解得，x=0； ③当AC=2BC时，有x+20=2（40-x）， 解得，x=20． 综上所述，C点表示的数为10或0或20； （3）由题意得，AP=2t，P点表示数为2t-20，AQ=60-4t，Q点表示的数为40-4t， ∴PQ=|40-4t-2t+20|=|60-6t|, ①当A为P、Q两点的“巧点”时， AQ=2AP，60-4t=2×2t，解得：t=7.5 或AP=2AQ，2t=2（60-4t），解得：t=12 ②当P为A、Q两点的“巧点”时， PA=2PQ，2t=2|60-6t|，解得：t=或t=12 或PQ=2PA，|60-6t|=2×2t，解得：t=6或t=30（舍） ③当Q为A、P两点的“巧点”时， QA=2PQ，60-4t=2|60-6t|，解得：t=7.5或t= 或QP=2AQ，|60-6t|=2（60-4t），解得：t=或t=30（舍） 综上所述，运动时间的可能值为7.5、12、、6、、. 【题型2 折线上的动点问题】 【例2】如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位．动点、同时出发，点从点出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点从点出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．问： （1）动点从点运动至点需要多少时间？ （2）、两点相遇时，求出相遇点所对应的数是多少； （3）求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】见解析． 【解析】解：（1）动点P从点A运动至C分成三段，分别为AO、OB、BC， AO段时间为5s，OB段时间为10s，BC段时间为4s， ∴动点P从点A运动至C点需要时间为5+10+4=19（秒）； （2）点Q经过8秒后从点C运动到OB段，再经进x秒与点P在OB段相遇，此时P所处点为3， 依题意得：3+x+2x=10， 解得：x=， 此时相遇点M对应的数是为； （3）分四种情况讨论 ①当点P在AO，点Q在BC上运动时，依题意得： 10-2t=8-t， 解得：t=2， ②当点P、Q两点都在OB上运动时， t-5=2（t-8） 解得：t=11， ③当P在OB上，Q在BC上运动时， 8-t=t-5， 解得：t=； ④当P在BC上，Q在OA上运动时， t-8-5+10=2（t-5-10）+10， 解得：t=17； 即PO=QB时，运动的时间为2秒或秒或11秒或17秒． 【变式2-1】如图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到条“折线数轴”，我们称点A和点D在数上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问： （1）动点P从点A运动至D点需要时间为________秒； （2）P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数； （3）当Q点到达终点A后，立即调头加速去追P，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q追上点P时，直接写出它们在数轴上对应的数． 【答案】（1）15；（2）（3）见解析． 【解析】解： （1）由题意知：点A表示的数为-7，点B表示的数为-1，点C表示的数为9，点D表示的数为13， ∴AB=6，BC=10，CD=4 故动点P从点A运动到点D所需时间为=15（秒）， 故答案为：15； （2）由题意，PO=QO， 分以下六种情况： ①当点P在AB，点Q在CD时， 点P表示的数为-7+2t，点Q表示的数为13-2t， ∴-7+2t+13-2t=0，无解. ②当点P在AB，点Q在CO时， 点P表示的数为-7+2t，点Q表示的数为17-4t， ∴-7+2t+17-4t=0， 解得t=5， 此时点P表示的数为3，不在AB上，舍去； ③当点P在BO，点Q在CO时， 点P表示的数为t-4，点Q表示的数为17-4t t-4+17-4t=0 解得t=， 此时点P表示的数为，不在BO上，舍去； ④当点P、Q相遇时，点P、Q均在BC上， t-4=17-4t 解得t=， 此时点P表示的数为，点Q表示的数为； ⑤当点P在OC，点Q在OB时， 点P表示的数为t-4，点Q表示的数为17-4t， ∴t-4+17-4t=0 解得t=， 此时点P表示的数为，点Q表示的数为，符合题意； ⑥当点P在OC，点Q在BA时， 点P表示的数为t-4，点Q表示的数为8-2t， t-4+8-2t=0 解得t=4， 此时点Q表示的数为0，不在BA上，不符题设，舍去； 综上所述，点P表示的数为或； （3）点Q到达点A所需时间为=7.5（秒），此时点P到达的点是3.5， 点P到达点C所需时间为=13（秒），此时点Q到达的点是6， 故点Q在CD上追上点P，此时点P表示的数为2t-17，点Q表示的数为3t-34.5， 2t-17=3t-34.5， 解得t=17.5， 此时点P表示的数为18，点Q表示的数为18． 【变式2-2】如图1，在数轴上有一条线段AB，，表示的数分别是-2和-7． （1）若将线段AB的一端平移到原点处，则平移的距离为　　　　； （2）如图2，C为线段AB上一点，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点落在点的左边且，求C点对应的数； （3）移动线段AB，使A对应的数为15，则B对应的数为　　　　（直接填空），此时数轴上的动点M，N分别从A，B出发向左作匀速运动，速度分别为4单位长度/秒和2单位长度/秒，请问数轴上是否存在定点P，当动点M在线段OA上移动过程中始终满足OM=2PN，若存在求点P对应的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 2或7;(2)见解析；（3）B对应的数为10，见解析． 【解析】解： （1）∵数轴上有一条线段AB，表示的数分别是-2和-7， ∴平移的距离为2或7； 故答案为：2或7； （2）设点C对应的数为x，则对折后B表示的数是2x+7 ∴BC=2x+7， ∵AB=BC， ∴2x+7-（-2）= (x+7)， 解得：x=， 即C点对应的数是； （3）移动线段AB，使A对应的数为15，则AB向右移动17个单位长度，B对应的数为10， 故答案为：10； 设点P对应的数是y，t秒时满足OM=2PN，点M表示的数是：15-4t，点N表示的数是：10-2t， ∵OM=2PN， ∴15-4t=2|y-10+2t|， ①15-4t=2（y-10+2t）， 2y=35-8t， y随t的变化而变化，不符合题意， ②15-4t=2（-y+10-2t）， 化简为15-4t=-2y+20-4t，即y=， 故存在，点P对应的数是． 【题型3 角度中的动点问题】 【例3】七年级学生小聪和小明完成了数学实验《钟面上的数学》后，制作了一个模拟钟面，如图所示，点O为模拟钟面的圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA顺时针转动，OB逆时针转动，OA运动速度为每秒转动15°，OB运动速度为每秒转动5°，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为t秒（t＞0），请你试着解决他们提出的下列问题： 　　　　 （1）OA顺时针转动，OB逆时针转动，当t＝ 秒时，OA与OB第一次重合； （2）OA顺时针转动，OB逆时针转动，当t＝3秒时，∠AOB＝　　 °； （3）若他们同时顺时针转动，t为何值时，OA与OB的夹角为20°？ （4）若他们同时顺时针转动，t为何值时，ON平分OA与OB的夹角？OA平分OB与ON的夹角? 【答案】（1）9；（2）120；（3）16或20；（4）9，14.4． 【解析】解：（1）设t秒后，OA与OB第一次重合， 根据题意可得：15t+5t=180， 解得t=9， 故答案为：9； （2）当t=3秒时，∠AOM=45°，∠BON=15°， ∴∠AOB=120° 故答案为：120； （3）设t秒后，OA与OB的夹角为20°， ①当OA与OB重合之前， 由题意：180+5t-15t=20， 解得t=16； ②当OA与OB重合之后， 由题意：15-5t-180=20， 解得t=20， ∴当运动16或20秒时，OA与OB的夹角为20°； （4）由题意知：0≤t≤24， ∴∠BON=5t，∠AON=|180－15t|， 当ON平分OA与OB的夹角时，即∠AON=∠BON， 即5t=180-15t，解得t=9； 当OA平分OB与ON的夹角时，即∠AON=∠AOB, 即5t=2（15t-180），解得t=14.4． 【变式3-1】已知数轴有A、B两点，分别表示的数为a、b，且|a+12|+|b﹣18|＝0． （1）a＝ ，b＝ ，点A和点B之间的距离为 ； （2）如图1，动点P沿线段AB自点A向点B以2个单位长度/秒的速度运动，同时动点Q沿线段BA自点B向点A以4个单位/秒的速度运动，经过 秒，动点P，Q两点能相遇； （3）如图1，点P沿线段AB自点A向点B以2个单位/秒的速度运动，点P出发3秒后，点Q沿线段BA自点B向A以4个单位/秒的速度运动，问再经过几秒P，Q两点相距6个单位长度； （4）如图2，AO＝4厘米，PO＝2厘米，∠POB＝60°，点P绕着点O以60度/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自点B向点A运动，假若点P，Q两点能相遇，直接写出点Q运动的速度． 【答案】（1）﹣12，18，30；（2）5；（3）（4）见解析． 【解析】解：（1）∵|a+12|+|b﹣18|＝0， ∴a+12＝0，b﹣18＝0， 解得，a＝﹣12，b＝18， ∴AB＝|﹣12﹣18|＝30， 故答案为：﹣12，18，30； （2）30÷（2+4）＝5（秒）， 故答案为：5； （3）设再经过x秒后点P、点Q相距6个单位长度， 当P点在Q点左边时，2（x+3）+4x+6＝30， 解得，x＝3； 当点P在点Q右边时，2（x+3）+4x﹣6＝30， 解得，x＝5； 即再经过3或5秒后，点P、Q两点相距6个单位长度； （4）设点Q的运动速度为x cm， 当P、Q两点在点O左边相遇时，120÷60x＝30﹣6， 解得，x＝14； 当P、Q两点在点O右边相遇时，240÷60x＝30﹣2， 解得，x＝6； 即点P，Q两点能相遇，则点Q的运动速度为每秒14cm或6cm． 【变式3-2】已知：如图1，点A、O、B依次在度线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿进时针方向以每秒6°的速度前转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤60秒）． （1）用含的代数式表示下列各角的度数：______，______． （2）在运动过程中，当0秒秒时，=45°，求t的值． （3）在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线．射线、射线中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）3t，6t或 360-6t；（2）（3）见解析． 【解析】解：（1）∠MOA=3t，∠NOB=6t或360-6t， 故答案为：3t，6t或 360-6t； （2）若OA，OB相遇前，∠AOB=45°， ∴3t+6t+45°=180°， ∴t=15s 若OA，OB相遇后，∠AOB=45°， ∴3t+6t-45°=180°， ∴t=25s ∴t为15秒或25秒时，∠AOB=45°； （3）分三种情况： ①OB平分∠AOM时， 由∠AOM=∠BOM 得t=180-6t， 解得t=24 ②OB平分∠MON时， 由∠BOM=∠MON，即∠BOM=90°， 得6t=90，或6t-180=90， 解得：t=15，或t=45； ③OB平分∠AON时， 由∠BON=∠AON， 得6t=（180-3t）， 解得：t=12； 综上所述，当t的值分别为12、15、24、45秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1.如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”“8cm”的刻度分别对应数轴上的是﹣3和x所表示的点，那么x等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 解：根据数轴可知： ﹣3+8＝5， 故选：A． 2.等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2021次后，点B（　　） A．对应的数是2019 B．对应的数是2020 C．对应的数是2021 D．不对应任何数 解：结合数轴，根据连续翻转可得出从原点开始，向右依次是A、B、C循环排列，2021次后共得出2022个顶点， ∵2022÷3＝674， ∴最后一个点为C， ∵最后一个点C是翻转了2021次后得到的， ∴点C表示的数为2021， ∴点B表示的数为2020， 故选：B． 3.在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点的距离，|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（　　） ①若|x﹣2022|＝1，则x＝2021或2023； ②若|x﹣1|＝|x+3|，则x＝﹣1； ③若x＞y，则|x﹣2|＞|y﹣2|； ④关于x的方程|x+1|+|x﹣2|＝3有无数个解． A．1 B．2 C．3 D．4 解：①若|x﹣2022|＝1，可得x﹣2022＝±1，则则x＝2021或2023；所以①说法正确； ②若|x﹣1|＝|x+3|，几何意义是数轴到表示数1的点和表示数3的点的距离相等的点，即可得出x＝﹣1；所以②说法正确； ③当y＜x＜0时，则|x﹣2|＜|y﹣2|，所以③说法不正确； ④因为|x+1|+|x﹣2|＝3的几何意义是到数轴上表示﹣1的点与表示2的点的距离和等于3的点，即﹣1≤x≤2时满足题意，所以有无数个解，故④说法正确． 故选：C． 4.数轴上点A表示的数是﹣3，把点A向右移动5个单位，再向左移动7个单位到A′，则A′表示的数是 　﹣5　． 解：依题意得：﹣3+5﹣7＝﹣5，即则A′表示的数是﹣5． 故答案为：﹣5． 5.数轴上点A表示﹣8，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B，C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动．其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，t　＝4.4　时，M、N两点相遇（结果化为小数）． 解：当点M、N都运动到折线段O﹣B﹣C上，即t≥2时，M表示的数是×（t﹣2）＝2t﹣4，N表示的数是12﹣3（t﹣2）＝18﹣3t， ∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同， ∴2t﹣4＝18﹣3t， 解得：t＝＝4.4， 故答案为：4.4． 6.如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab＜0． （1）原点在第 　②　部分（填序号）； （2）化简式子：|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|； （3）若|c﹣5|+（a+1）2＝0，且BC＝2AB，求点B表示的数． 解：（1）∵点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab＜0， ∴a＜0，b＞0， ∴原点在点A和点B之间， 又∵从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分， ∴原点在第②部分； 故答案为：② （2）∵a＜0，b＞0， ∴a﹣b＜0，c＞0， ∴c﹣a＞0， ∴|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|＝b﹣a﹣（c﹣a）﹣（﹣a）＝b﹣a﹣c+a+a＝a+b﹣c； （3）∵|c﹣5|+（a+1）2＝0， 又∵|c﹣5|≥0，（a+1）2≥0， ∴c﹣5＝0，a+1＝0， ∴c＝5，a＝﹣1， ∵B对应的数是b，5＞b＞﹣1， ∴BC＝5﹣b，AB＝b﹣（﹣1）＝b+1， 又∵BC＝2AB， ∴5﹣b＝2×（b+1），即3b＝3， 解得：b＝1， ∴点B表示的数为1． 7.已知b是最小的正整数，且（c﹣5）2与|a+b|互为相反数． （1）填空：a＝　﹣1　，b＝　1　，c＝　5　； （2）若P为一动点，其对应的数为x，点P在0和2表示的点之间运动，即0≤x≤2时，化简：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）； （3）如图，a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，在（1）的条件下，若点A以1个单位长度/s的速度向左运动，同时，点B和点C分别以2个单位长度/s和5个单位长度/s的速度向右运动．ts后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 解：（1）依题意得，b＝1，c﹣5＝0，a+b＝0， 解得a＝﹣1，c＝5． 故答案为：﹣1，1，5； （2）点P在0和2表示的点之间运动，即0≤x≤2时， 当0≤x≤1时，x+1＞0，x﹣1≤0，x+5＞0， 原式＝x+1+x﹣1+2x+10 ＝4x+10； 当1＜x≤2时，x+1＞0，x﹣1＞0，x+5＞0， 原式＝x+1﹣x+1+2x+10 ＝2x+12． 综上可知，|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|＝4x+10或2x+12； （3）不变， 理由：t秒后A点表示的数是﹣1﹣t，B点表示的数是1+2t，C的表示的数是5+5t， ∵AB＝1+2t﹣（﹣1﹣t） ＝3t+2， BC＝5+5t﹣（1+2t） ＝3t+4， ∴BC﹣AB＝2， ∴BC﹣AB的值不变，是2． 8.数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2． （1）若m＝﹣8，n＝2，点D是AC的中点． ①则点D表示的数为 　﹣2　． ②如图2，线段EF＝a（E在F的左侧，a＞0），线段EF从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动（点F不与B点重合），点M是EC的中点，N是BF的中点，在EF运动过程中，MN的长度始终为1，求a的值； （2）若n﹣m＞2，点D是AC的中点，若AD+3BD＝4，试求线段AB的长． 解：（1）①∵m＝﹣8，n＝2， ∴AB＝2﹣（﹣8）＝10． ∵AC﹣AB＝2， ∴AC＝12， ∴点C对应的数字为4， ∵点D是AC的中点， ∴CD＝AC＝6， 设点D表示的数为x， ∴4﹣x＝6， ∴x＝﹣2． ∴点D表示的数为﹣2． 故答案为：﹣2； ②设EF运动的时间为t秒， 则点E对应的数字为t﹣8，点F对应的数字为t﹣8+a， ∵点M是EC的中点，N是BF的中点， ∴点M对应的数字为＝，点N对应的数字为＝， ∵MN＝1， ∴||＝1． 解得：a＝0或a＝4， ∵a＞0， ∴a＝4； （2）设点C对应的数字为c，点D对应的是为d， ∵点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2， ∴c＝n+2，AB＝n﹣m． ∵点D是AC的中点， ∴d＝， ∴AD＝m＝，BD＝n﹣＝， ∵AD+3BD＝4， ∴＝4， 解得：n﹣m＝3． ∴AB＝3． 9.如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，其中a＜0，b＞0． （1）若a＝﹣7，b＝3，求线段AB的长度及线段AB的中点C表示的数c； （2）该数轴上有另一点D表示数d． ①若d＝2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD．求整式2a+8b+2023的值； ②若d＝﹣2，且AB＝5BD，能否求整式2a+8b+2023的值？若能，求出该值；若不能，说明理由． 解：（1）∵a＝﹣7，b＝3， ∴线段AB的中点C表示的数c＝3﹣×（|﹣7|+3）＝3﹣×10＝3﹣5＝﹣2； （2）①∵d＝2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD， ∴AB＝b﹣a，BD＝b﹣2， ∴b﹣a＝5（b﹣2）， ∴a+4b＝10， ∴2a+8b+2023 ＝2（a+4b）+2023 ＝2×10+2023 ＝2043； ②能求出代数式的值， ∵d＝﹣2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD， ∴AB＝b﹣a，BD＝b+2， ∴b﹣a＝5（b+2）， ∴a+4b＝﹣10， ∴2a+8b+2023 ＝2（a+4b）+2023 ＝2×（﹣10）+2023 ＝﹣20+2023 ＝2003； 10.先阅读，后探究相关的问题 【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）如图，先在数轴上画出表示点4.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 　﹣4.5　和 　3.5　，B，C两点间的距离是 　8　； （2）若点A表示的整数为x，则当x为 　﹣2　时，|x+6|与|x﹣2|的值相等； （3）要使代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 　﹣1≤x≤2　． 解：（1）4.5的相反数是﹣4.5，即点B表示的数为﹣4.5；点C表示的数为5﹣1.5＝3.5；B，C两点间的距离是3.5﹣（﹣4.5）＝3.5+4.5＝8； 故答案为：﹣4.5，3.5，8； （2）∵|x+6|与|x﹣2|的值相等， ∴x+6＝x﹣2此种情况等式不成立， 或x+6＝﹣（x﹣2），x＝﹣2， ∴x＝﹣2时，|x+6|与|x﹣2|的值相等； 故答案为：﹣2； （3）∵|x+1|+|x﹣2|值最小， ∴在数轴上可以看作表示x的到﹣1的距离与到2的距离和最小， ∴数x只能在﹣1与2之间，包括﹣1与2两个端点， ∴﹣1≤x≤2． 故答案为：﹣1≤x≤2． 11.如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、B两点对应的数分别为﹣1、3． （1）填空：线段AB的长度AB＝　4　； （2）若点A是BC的中点，点D在点A的右侧，且OD＝AC，点P在线段CD上运动．问：该数轴上是否存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化？ （3）若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点F从点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是PE、OF的中点．点P、E、F的运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由． 解：（1）∵A、B两点对应的数分别为﹣1、3， ∴OA＝1，OB＝3， ∴AB＝OA+OB＝4． 故答案为：4； （2）数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化．理由： A、B两点对应的数分别为﹣1、3， ∴OA＝1，OB＝3， ∵点A是BC的中点， ∴AC＝AB＝4． ∴OC＝AC+OA＝5， ∴C点对应的数为﹣5． 又∵OD＝AC，点D在点A的右侧， ∴D点对应的数为4． 设P点对应的数为x， ①P点在射线CA上时，PA＝﹣1﹣x，PB＝3﹣x， ∴PA+PB＝﹣1﹣x+（3﹣x）＝2﹣2x， ∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化； ②P点在线段AB上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝3﹣x， ∴PA+PB＝x+1+（3﹣x）＝4， ∴PA+PB的值随着点P的运动没有发生变化； ③P点在射线BD上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝x﹣3， ∴PA+PB＝x+1+（x﹣3）＝2x﹣2， ∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化． 综上，P点在线段AB上时，PA+PB的值没有发生变化， ∴数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化； （3）在运动过程中，的值不发生变化．理由： 设运动时间为t分钟，则OP＝t，OE＝5t+1，OF＝20t+3， ∴EF＝OE+OF＝25t+4， ∵M、N分别是PE、OF的中点， ∴EM＝PM＝PE＝（OP+OE）＝3t+，ON＝OF＝10t+， ∴OM＝OE﹣EM＝5t+1﹣（3t+）＝2t+， ∴MN＝OM+ON＝12t+2， ∴． ∴在运动过程中，的值不发生变化． 12.如图，在数轴上，点O表示原点，点A表示的数为﹣1，对于数轴上任意一点P（不与点A点O重合），线段PO与线段PA的长度之比记作k（p），即，我们称k（p）为点P的特征值，例如：点P表示的数为1，因为PO＝1，PA＝2，所以． （1）当点P为AO的中点时，则k（p）＝　1　； （2）若k（p）＝2，求点P表示的数； （3）若点P表示的数为p，且满足p＝2n﹣1，（其中n为正整数，且1≤n≤7），求所有满足条件的k（p）的和． 解：（1）由题意可知， 当点P为AO的中点时点P表示的数为，， ∴， 故答案为：1； （2）设点P表示的数为x， 则PO＝|x|，PA＝|x﹣（﹣1）|＝|x+1|， ∵k（p）＝2， ∴， 即PO＝2PA， ∴|x|＝2|x+1|， ∴x＝2（x+1）或x＝﹣2（x+1）， 解得：x＝﹣2或； 故：点P表示的数﹣2或； （3）点P表示的数为p，且满足p＝2n﹣1，（其中n为正整数，且1≤n≤7），p＝2n﹣1＞0， 此时：PO＝p，PA＝p﹣（﹣1）＝p+1， 当p＝2n﹣1时∵1≤n≤7，且n为正整数， 则所有满足条件的k（p）的值分别为：， 故所有满足条件的k（p）的和为：＝， 令， 则， ②﹣①得：， ∴ ＝ ＝． 13.把一根小木排放在数轴上，木棒左端点与点A重合，右端点与点B重合，数轴的单位长度为1cm，如图所示． （1）若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点B处时、它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点A处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为 　5cm　；我们把这个模型记为“木捧摸型”； （2）在（1）的条件下，已知点C表示的数为﹣2．若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点C相距3cm时，求木棒的右端点与点A的距离； （3）请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题． 某一天，小字问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要41年才出生；你若是我现在这么大，我就有124岁了，世界级老寿星了，哈哈！”请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄． 解：（1）由图观察可知，三根木棒长是20﹣5＝15（cm）， 则此木棒长为：15÷3＝5（cm）； 故答案为：5cm； （2）由题可知，点A所表示的数是5+5＝10， ∵木棒的左端点与点C相距3cm，点C表示的数为﹣2， 当左端点在点C右侧3cm时，此时木棒左端点表示的数为：﹣2+3＝1，右端点表示的数为；1+5＝6，木棒的右端点与A的距离为：10﹣6＝4， 当左端点在点C左侧3cm时，此时木棒左端点表示的数为：﹣2﹣3＝﹣5，木棒的右端点表示的数为：﹣5+5＝0，木棒的右端点与点A的距离＝10﹣0＝10， ∴木棒的右端点与点A的距离为4或10；（3）由图可知，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，类似爷爷是小红现在年龄时看作当B点移动到A点时，此时A点所对应的数位﹣41， 因为当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为124， 所以爷爷比小红大[124﹣（﹣41）]÷3＝55（岁）， 所以爷爷的年龄为124﹣55＝69（岁）， 答：爷爷现在的年龄是69岁． 14.对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． （1）若点A表示数﹣1，点B表示的数2，下列各数：，0，1，4，5所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，C5，其中是点A，B的“联盟点”的是 　C2，C3，C5　； （2）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点： ①若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点P表示的数． 解：（1）∵AC1═﹣﹣（﹣1）═，BC1═2﹣（﹣）═， ∴2AC1≠BC1， ∴C1不是A，B的“联盟点”． ∵AC2═0﹣（﹣1）═1，BC2＝2﹣0＝2， ∴2AC2═BC2， ∴C2是A，B的“联盟点”． ∵AC3═1﹣（﹣1）＝2，BC3═2﹣1＝1， ∴AC3═2BC3， ∴C3是A，B的“联盟点”． ∵AC4═4﹣（﹣1）＝5，BC4═4﹣2＝2， ∴AC4≠BC4， ∴C4不是A，B的“联盟点”． ∵AC5═5﹣（﹣1）＝6，BC5═5﹣2＝3， ∴AC5═2BC5， ∴C5是A，B的“联盟点”． 综合上述，是点A，B的“联盟点”的是C2，C3，C5． （2）解；设点P表示的数为x， ①∵P在线段AB上， ∴AP＝x+1，BP＝3﹣x， 当AP＝2BP时，有x+1＝2（3﹣x），解得x＝， 当BP＝2AP时，有3﹣x＝2（x+1），解得x＝， 综上所述，点P 表示的数为，． ②由题意得，AB＝4， ∵P在A的左侧， ∴AP＝﹣1﹣x，BP＝3﹣x， 当点A为B，P的“联盟点”时， 若AB＝2AP，则有4＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣3， 若AP＝2AB，则有﹣1﹣x＝2×4，解得x＝﹣9， 当点B为A，P的“联盟点”时， 2AB＝BP，则有2×4＝3﹣x，解得x＝﹣5， 当点P为A，B的“联盟点”时， BP＝2PA，则有3﹣x＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣5， 综上所述，P表示的数为﹣9，﹣3，﹣5． 15.如图，点A，O，B，D在同一条直线l上，点B在点A的右侧，AB＝6，OB＝2，点C是AB的中点，如图画数轴． （1）若点O是数轴的原点，则点B表示的数是 　2　，点C表示的数是 　﹣1　； （2）若点O是数轴的原点时，D点表示的数为x，且AD＝5，求x； （3）若点D是数轴的原点，点D在点A的左侧，点A表示的数为m，且A，B，C，O所表示的数之和等于21，求m； （4）当O是数轴的原点，动点E，F分别从A，B出发，相向而行，点E的运动速度是每秒2个单位长度，点F的运动速度是每秒1个单位长度，当EF＝3时，求点A，B，E，F表示的数之和． 解；（1）点B在点A的右侧，OB＝2， ∴点B表示的数是﹣2， 故答案为：2； AB＝6，点C是AB的中点， ∴BC＝3， ∴点C表示的数是2﹣3＝﹣1， 故答案为：﹣1； （2）AB＝6，点B在点A的右侧， 点A表示的数是﹣4， AD＝|﹣4﹣x|＝5， x＝1或x＝﹣9； （3）若点D是数轴的原点，点D在点A的左侧，点A表示的数为m， ∵AB＝6，C是AB的中点，OB＝2， ∴AC＝3，AO＝4， ∴点O表示的数是m+4，点C表示的数是m+3，点B表示的数是m+6， m+（m+6）+（m+3）+（m+4）＝21， 解得m＝2； （4）设运动时间为t，据题意得： 6﹣2t﹣t＝3， 解得t＝1， AE＝2，BF＝1， 点E表示的数是﹣2，点F表示的数是1， 点A，B，E，F表示的数之和为： ﹣4+2+（﹣2）+1＝﹣3， 16. 如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a，c满足 |a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的负整数． （1）a＝　﹣4　，b＝　﹣1　，c＝　2　． （2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数 　﹣1　表示的点重合； （3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A和点B分别以每秒0.4个单位长度和0.3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒0.2个单位长度的速度向左运动，点C到达原点后立即以原速度向右运动，运动时间为t秒，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，请问：5AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出5AB﹣BC的值． 解：（1）∵|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的负整数， a＝﹣4，b＝﹣1，c＝2， 故答案为：﹣4，﹣1，2； （2）AB＝﹣1﹣（﹣4）＝3，AC＝2﹣（﹣4）＝6， 点B为AC的中点，故将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与自身重合， 故答案为：﹣1； （3）AB＝3+0.4t＝0.3t＝3+0.1t， 当C运动到原点时，t＝2÷0.2＝10（秒），点B运动到点A的位置， 当t≤10秒时，BC＝3+0.3t﹣0.2t＝3+0.1t， 5AB﹣B ＝5（3+0.1t）﹣（3+0.1t） ＝15+0.5t﹣3﹣0.1t ＝12+0.4t， 5AB﹣BC的值随时间的变化而变化； 当t＞10时，BC＝4+0.3t+0.2t＝4+0.5t， 5AB﹣BC ＝5（3+0.1t）﹣（4+0.5t） ＝15+0.5t﹣4﹣0.5t ＝11． 这时5AB﹣BC的值不变． 17.定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系．如下图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一个“关联点”． （1）写出点A，C的其他三个“关联点”所表示的数：　﹣2　、　2　、　7　． （2）若点M表示数﹣2，点N表示数4，数﹣8，﹣6，0，2，10所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，C5，其中不是点M，N的“关联点”是点 　C2　． （3）若点M表示的数是﹣3，点N表示的数是10，点P为数轴上的一个动点． ①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“关联点”，求此时点P表示的数． ②若点P在点N右侧，且点P，M，N中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此时点P表示的数． 解：（1）2﹣1＝1，4﹣2＝2， 2是A，C的一个“关联点”， 设x是A，C的一个“关联点”，x﹣1＝2（x﹣4） 解得x＝7， 设y是A，C的一个“关联点”，2（1﹣y）＝4﹣y 解得y＝﹣2， A，C的其他三个“关联点”所表示的数为：﹣2、2、7， 故答案为：﹣2、2、7， （2）∵﹣2﹣（﹣8）＝6，4﹣（﹣8）＝12， ∴C1是关联点， ∵﹣2﹣（﹣6）＝4，4﹣（﹣6）＝10， ∴C2不是关联点， ∵0﹣（﹣2）＝2，4﹣0＝4， ∴C3是关联点， ∵2﹣（﹣2）＝4，4﹣2＝2， ∴C4是关联点， ∵10﹣（﹣2）＝12，10﹣4＝6， ∴C5是关联点， 故答案为：C2． （3）①若点P在点N左侧且在M的右侧，设点P表示的数为x， 当2（x+3）＝10﹣x 解得， 当x+3＝2（10﹣x） 解得， 若点P在M点左侧，设点P表示的数为x， ∴2（﹣3﹣x）＝10﹣x 解得x＝﹣16， 综上所述：P表示的数为：； ②若点P在点N右侧，设点P表示的数为x， 当PN＝2MN时， 则2×13＝x﹣10 解得x＝36， 当MN＝2PN时， 则13＝2×（x﹣10） 解得， 当MP＝2MN时， 则x+3＝2×13 解得x＝23， 当MP＝2PN时， 则x+3＝2×（x﹣10） 解得x＝23， 综上所述：P表示的数为：，23.36． 18.[知识背景]：数轴上，点A，点B表示的数为a，b，则A，B两点的距离表示为AB＝|a﹣b|．线段AB的中点P表示的数为． [知识运用]：已知数轴上A，B两点对应的数分别为a和b，且（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，P为数轴上一动点，对应的数为x． （1）a＝　4　，b＝　2　； （2）若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x为 　3　，若点B为线段AP的中点，则P点对应的数x为 　0　； （3）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒3个单位长度，则经过 　122　秒点B追上点A； （4）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，它们的速度都为每秒1个单位长度，与此同时点P从表示﹣16的点处以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动．经过多长时间后，点A、点B、点P三点中，其中一点是另外两点组成的线段的中点？ 解：（1）∵（a﹣4）2+|b﹣2|＝0， ∴a﹣4＝0，b﹣2＝0， ∴a＝4，b＝2． 故答案为4、2． （2）点A，B表示的数分别为4，2，P对应数为x， 若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x＝＝3， 若B为线段AP的中点时，则＝2，解得x＝0． 故答案为1，0； （3）解：设经过x秒点B追上点A， （3﹣1）x＝4﹣2， 2x＝2， x＝1， 答：经过1秒点B追上点A． （4）经过t秒后，点A，点B，点P三点中其中一点是另外两点的中点， t秒后，点A的位置为：4﹣t，点B的位置为：2﹣t，点P的位置为：﹣16+2t， 当点A为PB的中点时，则有， 2×（4﹣t）＝2﹣t﹣16+2t，解得：t＝， 当点B为PA的中点时，则有， 2×（2﹣t）＝4﹣t﹣16+2t，解得：t＝， 当点P为BA的中点时，则有， 2×（﹣16+2t）＝4﹣t+2﹣t，解得：t＝， 答：经过秒，秒，秒后，点A，点B，点P三点中其中一点是另外两点的中点． 故答案为：秒，秒，秒． 19.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）探究： ①数轴上表示5和3的两点之间的距离是 　2　． ②数轴上表示﹣1和﹣4的两点之间的距离是 　3　． ③数轴上表示﹣3和5的两点之间的距离是 　8　． （2）归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于 　|a﹣b|　． （3）应用： ①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，则|a+4|+|a﹣3|的值＝　7　． ②若a表示数轴上的一个有理数，且|a﹣1|＝|a+3|，则a＝　﹣1　． ③若a表示数轴上的一个有理数，|a﹣1|+|a+2|的最小值是 　3　． ④若a表示数轴上的一个有理数，且|a+3|+|a﹣5|＞8，则有理数a的取值范围是 　a＞5或a＜﹣3　． （4）拓展： 已知，如图2，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．若当电子蚂蚁P从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以3单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，并写出此时点P所表示的数． 解：（1）①5﹣3＝2， 故答案为：2； ②（﹣1）﹣（﹣4）＝3， 故答案为：3； ③5﹣（﹣3）＝8， 故答案为：8； （2）根据数轴上两点间的距离得|a﹣b|， 故答案为：|a﹣b|； （3）①∵表示数a的点位于﹣4与3之间， ∴|a+4|+|a﹣3| ＝a+4+3﹣a ＝7， 故答案为：7； ②∵|a﹣1|＝|a+3| ∴表示数a的点在1和﹣3之间， ∴|a﹣1|＝|a+3|， 1﹣a＝a+3， a＝﹣1， 故答案为：﹣1； ③∵|a﹣1|+|a+2|有最小值， ∴表示a的点在﹣2与1之间， ∴|a﹣1|+|a+2| ＝1﹣a+a+2 ＝3， 故答案为：3； ④|a+3|+|a﹣5|＞8， 当﹣3＜a＜5时， |a+3|+|a﹣5|＝a+3+5﹣a＝8，不合题意舍去； 当a＜﹣3时， |a+3|+|a﹣5|＝﹣（a+3）+5﹣a＞8， a＜﹣3； 当a＞5时， |a+3|+|a﹣5|＞8， a+3+a﹣5＞8， a＞5， 故答案为：a＜﹣3或a＞5； （4）设电子蚂蚁运动x秒时，P、Q相距20个单位长度， ①4x+3x+20＝20+100， x＝， 点P表示的是4×﹣20＝ ②4x+3x﹣20＝20+100， x＝20， 点P表示的是4×20﹣20＝60， 20.将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好函数”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒． （1）动点P从点A运动至点C需要 　19　秒，动点Q从点C运动至点A需要 　23　秒； （2）P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数； （3）是否存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18， ∴OA＝10，BO＝10，BC＝8， ∴动点P从点A运动至点C需要的时间是：10÷2+10÷1+8÷2＝19（s）， 动点Q从点C运动至点A需要的时间是：10÷1+10÷2+8÷1＝23（s）， 故答案为：19，23； （2）根据题意可知，P、Q两点在OB上相遇， P点运动到OB上时表示的数是t﹣5，Q点运动到OB上时表示的数是10﹣2（t﹣8）， ∴t﹣5＝10﹣2（t﹣8）， 解得t＝， ∴M点表示的数是﹣5＝； （3）存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”，理由如下： ∵点A表示﹣10，点B表示10， ∴点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”是20， ①当0≤t≤5时，P点在OA上，Q点在BC上， 此时P点表示的数是﹣10+2t，Q点表示的数是18﹣t， ∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t+10﹣2t＝28﹣3t， 由题意可得，28﹣3t＝20， 解得t＝； ②当5＜t≤8时，P点在OB上，Q点在OC上， 此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是18﹣t， ∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t﹣t+5＝23﹣2t， 由题意可得，23﹣2t＝20， 解得t＝（舍）； ③8＜t≤13时，点P、Q都在BO上，此时PQ＜10， ∴此情况不符合题意； ④13＜t≤15时，P点在OB上，Q点在OA上， 此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是t﹣13， ∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣5+t﹣13＝2t﹣18， 由题意可得，2t﹣18＝20， 解得t＝19（舍）； ⑤15＜t≤19时，P点在BC上，Q点在OA上， 此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是t﹣13， ∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣13+2t﹣20＝3t﹣33， 由题意可得，3t﹣33＝20， 解得t＝； ⑥19＜t≤23时，P点在C的右侧，Q点在OA上， 此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是t﹣13， ∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣13+2t﹣20＝3t﹣33， 由题意可得，3t﹣33＝20， 解得t＝（舍）； ⑦t＞23时，P点在C点右侧，Q点在A点左侧，PQ＞20，不符合题意； 综上所述：t的值为或． 21.在数轴上，点M，N对应的数分别是m，n（m≠n，mn≠0），P为线段MN的中点，同时给出如下定义：如果＝10，那么称M是N的“努力点”． 例如：m＝1，n＝，M是N的“努力点”． （1）若|m﹣10|+（n+90）2＝0则m＝　10　，n＝　﹣90　； （2）在（1）的条件下，下列说法正确的是 　③　（填序号）； ①M是P的“努力点”；②M是N的“努力点” ③N是M的“努力点”；④N是P的“努力点” （3）若mn＜0，且P是M，N其中一点的“努力点”，求值？ 解：（1）∵|m﹣10|+（n+90）2＝0， ∴m＝10，n＝﹣90， 故答案为：10，﹣90； （2）∵m＝10，n＝﹣90， ∴P点对应的数是﹣40， ∵||＝， ∴M不是P的“努力点”， 故①不符合题意； ∵m＝10，n＝﹣90， ∴||＝， ∴M不是N的“努力点”， 故②不符合题意； ∵||＝10， ∴N是M的“努力点”， 故③符合题意； ∵||＝， ∴N是P的“努力点”， 故④不符合题意； 故答案为：③； （3）∵P为线段MN的中点， ∴P点对应的数为， 当P是M点的“努力点”时，||＝10， ∴＝21或＝﹣19， ∵mn＜0， ∴＝﹣； 当P是N点的“努力点”时，||＝10， ∴＝21或＝﹣19， ∵mn＜0， ∴＝﹣19； 综上所述：的值为﹣19或﹣． 22.在数轴上，O为原点，点A，B对应的数分别是a，b（a≠b，ab≠0），M为线段AB的中点．给出如下定义：若OA÷OB＝4，则称A是B的“正比点”；若OA×OB＝4，则称A是B的“反比点”．例如a＝2，时，A是B的“正比点”；a＝2，b＝﹣2时，A是B的“反比点”． （1）若|a+2|+（b﹣4）2＝0，则M对应的数为 　1　，下列说法正确的是 　③④　（填序号）． ①A是M的“正比点”；②A是M的“反比点”；③B是M的“正比点”；④B是M的“反比点”； （2）若ab＞0，且M是A的“正比点”，求的值； （3）若ab＜0，且M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接写出的值． 解：（1）∵|a+2|+（b﹣4）2＝0， ∴a＝﹣2，b＝4， ∵M为线段AB的中点． ∴M对应的数为：＝1， ①OA÷OM＝2÷1≠4， ∴A不是M的“正比点”； ②OA×OM＝2×1≠4， ∴A不是M的“反比点”； ③OB÷OM＝4÷1＝4， ∴B是M的“正比点”； ④OB×OM＝4×2＝16， ∴B是M的“反比点”； 故答案为：1；③④； （2）∵M为线段AB的中点， ∴M点对应的数为：， ∵ab＞0， ∴a，b，都同号， ∵M是A的“正比点”， ∴OM÷OA＝4， ∴＝4a， 7a＝b， ∴＝7； （3）∵ab＜0， ∴a，b异号， ∵M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”， ∴OM＝4OA，OM×OB＝4或OM＝4OB，OM×OA＝4， 化简都得出：OA•OB＝1， ∴ab＝﹣1， 分两种情况：①OM＝4|a|， ∴||＝4|a|， ∴＝4a或＝﹣4a， 解得：7a＝b（舍去）或b＝﹣9a， ∴＝﹣9； ②OM＝4|b|， ∴||＝4|b|， ∴＝4b或＝﹣4b， 解得：7b＝a（舍去）或a＝﹣9b， ∴＝﹣， ∴的值为﹣或﹣9． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 ( 第 1 页 共 52 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点02 数轴动点压轴题型专项突破 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 3 知识点一、数轴动点基本知识 3 知识点二、数轴动点问题解题步骤 3 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 4 【题型1 线段上的动点问题】 4 【题型2 折线上的动点问题】 6 【题型3 角度中的动点问题】 8 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 10 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 20 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・数轴两点距离公式 ・动点平移规律：右加左减 ・用含 t 的代数式表示动点代表的数 ・中点公式及其应用 ・相遇、追及类动点问题 ・利用绝对值列距离方程 ・动点位置分类讨论 ・根据运动范围对解进行取舍验证 ・多以解答压轴题出现，是期中高频压轴题型 ・常融合绝对值方程、线段中点综合设问 ・核心考查数形结合、分类讨论两大数学思想 ・设问梯度明显：先写动点表达式，再求距离、求时间、探究存在性 考情解码： ・易错集中在距离不使用绝对值，直接大小相减造成漏解 ・动点代数式书写错误，移动方向判断出错 ・求解得到结果后不检验，保留超出运动区间的无效解 ・多动点、分段运动题型，容易阶段划分混乱 ・综合性强，对代数式、绝对值、一元一次方程综合能力要求较高 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、数轴动点基本知识 1．数轴 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． ✮（4）数轴上两点间的距离公式：AB=XB-XA (即：右端点减左端点） ✮（5）数轴上中点数公式： (即：中点等于两端点相加除以2） 知识点二、数轴动点问题解题步骤 1. 分析题目 找到不动的点，动点，将动点运动方向及速度标记图上； 点平移规律：向右移动加，向左移动减 2. 寻求表达式 利用动点速度及运动时间表示出线段长度（角度大小）等；动点表示：设时间为 t，写出动点对应的代数式（注意点的速度区别）。 3. 找等量关系，列方程 ・相遇问题：两点路程和 = 初始距离 ・追及问题：两点路程差 = 初始距离 判断是否需要分类讨论，如果存在多种情况，逐一绘制图形，寻求各自的等量关系，列出方程求解。未确定左右顺序时，距离要加绝对值。 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 线段上的动点问题】 【例1】（1）如图，己知点C在线段AB上，线段厘米，厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．求线段MN的长度； （2）己知点C在线段BA的延长线上，点M，N分别是AC，BC的中点，设，请根据题意画出图形并求MN的长度； （3）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点． 【变式1-1】如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点． （1）若，求线段MN的长； （2）若C为线段AB上一动点，满足，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？ 【变式1-2】已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） （1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝　 　，DM＝　 　；（直接填空） （2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值． （3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝　 　（填空） （4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 【变式1-3】如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”） （问题解决） （2）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数. （应用拓展） （3）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值． 【题型2 折线上的动点问题】 【例2】如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位．动点、同时出发，点从点出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点从点出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．问： （1）动点从点运动至点需要多少时间？ （2）、两点相遇时，求出相遇点所对应的数是多少； （3）求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等． 【变式2-1】如图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到条“折线数轴”，我们称点A和点D在数上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问： （1）动点P从点A运动至D点需要时间为________秒； （2）P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数； （3）当Q点到达终点A后，立即调头加速去追P，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q追上点P时，直接写出它们在数轴上对应的数． 【变式2-2】如图1，在数轴上有一条线段AB，，表示的数分别是-2和-7． （1）若将线段AB的一端平移到原点处，则平移的距离为　　　　； （2）如图2，C为线段AB上一点，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点落在点的左边且，求C点对应的数； （3）移动线段AB，使A对应的数为15，则B对应的数为　　　　（直接填空），此时数轴上的动点M，N分别从A，B出发向左作匀速运动，速度分别为4单位长度/秒和2单位长度/秒，请问数轴上是否存在定点P，当动点M在线段OA上移动过程中始终满足OM=2PN，若存在求点P对应的数；若不存在，请说明理由． 【题型3 角度中的动点问题】 【例3】七年级学生小聪和小明完成了数学实验《钟面上的数学》后，制作了一个模拟钟面，如图所示，点O为模拟钟面的圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA顺时针转动，OB逆时针转动，OA运动速度为每秒转动15°，OB运动速度为每秒转动5°，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为t秒（t＞0），请你试着解决他们提出的下列问题： 　　　　 （1）OA顺时针转动，OB逆时针转动，当t＝ 秒时，OA与OB第一次重合； （2）OA顺时针转动，OB逆时针转动，当t＝3秒时，∠AOB＝　　 °； （3）若他们同时顺时针转动，t为何值时，OA与OB的夹角为20°？ （4）若他们同时顺时针转动，t为何值时，ON平分OA与OB的夹角？OA平分OB与ON的夹角? 【变式3-1】已知数轴有A、B两点，分别表示的数为a、b，且|a+12|+|b﹣18|＝0． （1）a＝ ，b＝ ，点A和点B之间的距离为 ； （2）如图1，动点P沿线段AB自点A向点B以2个单位长度/秒的速度运动，同时动点Q沿线段BA自点B向点A以4个单位/秒的速度运动，经过 秒，动点P，Q两点能相遇； （3）如图1，点P沿线段AB自点A向点B以2个单位/秒的速度运动，点P出发3秒后，点Q沿线段BA自点B向A以4个单位/秒的速度运动，问再经过几秒P，Q两点相距6个单位长度； （4）如图2，AO＝4厘米，PO＝2厘米，∠POB＝60°，点P绕着点O以60度/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自点B向点A运动，假若点P，Q两点能相遇，直接写出点Q运动的速度． 【变式3-2】已知：如图1，点A、O、B依次在度线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿进时针方向以每秒6°的速度前转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤60秒）． （1）用含的代数式表示下列各角的度数：______，______． （2）在运动过程中，当0秒秒时，=45°，求t的值． （3）在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线．射线、射线中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1.如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”“8cm”的刻度分别对应数轴上的是﹣3和x所表示的点，那么x等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2.等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2021次后，点B（　　） A．对应的数是2019 B．对应的数是2020 C．对应的数是2021 D．不对应任何数 3.在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点的距离，|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（　　） ①若|x﹣2022|＝1，则x＝2021或2023； ②若|x﹣1|＝|x+3|，则x＝﹣1； ③若x＞y，则|x﹣2|＞|y﹣2|； ④关于x的方程|x+1|+|x﹣2|＝3有无数个解． A．1 B．2 C．3 D．4 4.数轴上点A表示的数是﹣3，把点A向右移动5个单位，再向左移动7个单位到A′，则A′表示的数是 　　． 5.数轴上点A表示﹣8，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B，C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动．其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，t　＝ 　时，M、N两点相遇（结果化为小数）． 6.如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab＜0． （1）原点在第 　 　部分（填序号）； （2）化简式子：|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|； （3）若|c﹣5|+（a+1）2＝0，且BC＝2AB，求点B表示的数． 7.已知b是最小的正整数，且（c﹣5）2与|a+b|互为相反数． （1）填空：a＝　　，b＝　　，c＝　　； （2）若P为一动点，其对应的数为x，点P在0和2表示的点之间运动，即0≤x≤2时，化简：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）； （3）如图，a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，在（1）的条件下，若点A以1个单位长度/s的速度向左运动，同时，点B和点C分别以2个单位长度/s和5个单位长度/s的速度向右运动．ts后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 8.数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2． （1）若m＝﹣8，n＝2，点D是AC的中点． ①则点D表示的数为 　　． ②如图2，线段EF＝a（E在F的左侧，a＞0），线段EF从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动（点F不与B点重合），点M是EC的中点，N是BF的中点，在EF运动过程中，MN的长度始终为1，求a的值； （2）若n﹣m＞2，点D是AC的中点，若AD+3BD＝4，试求线段AB的长． 9.如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，其中a＜0，b＞0． （1）若a＝﹣7，b＝3，求线段AB的长度及线段AB的中点C表示的数c； （2）该数轴上有另一点D表示数d． ①若d＝2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD．求整式2a+8b+2023的值； ②若d＝﹣2，且AB＝5BD，能否求整式2a+8b+2023的值？若能，求出该值；若不能，说明理由． 10.先阅读，后探究相关的问题 【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）如图，先在数轴上画出表示点4.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 　　和 　　，B，C两点间的距离是 　　； （2）若点A表示的整数为x，则当x为 　　时，|x+6|与|x﹣2|的值相等； （3）要使代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 　 　． 11.如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、B两点对应的数分别为﹣1、3． （1）填空：线段AB的长度AB＝　　； （2）若点A是BC的中点，点D在点A的右侧，且OD＝AC，点P在线段CD上运动．问：该数轴上是否存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化？ （3）若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点F从点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是PE、OF的中点．点P、E、F的运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由． 12.如图，在数轴上，点O表示原点，点A表示的数为﹣1，对于数轴上任意一点P（不与点A点O重合），线段PO与线段PA的长度之比记作k（p），即，我们称k（p）为点P的特征值，例如：点P表示的数为1，因为PO＝1，PA＝2，所以． （1）当点P为AO的中点时，则k（p）＝　　； （2）若k（p）＝2，求点P表示的数； （3）若点P表示的数为p，且满足p＝2n﹣1，（其中n为正整数，且1≤n≤7），求所有满足条件的k（p）的和． 13.把一根小木排放在数轴上，木棒左端点与点A重合，右端点与点B重合，数轴的单位长度为1cm，如图所示． （1）若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点B处时、它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点A处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为 　 　；我们把这个模型记为“木捧摸型”； （2）在（1）的条件下，已知点C表示的数为﹣2．若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点C相距3cm时，求木棒的右端点与点A的距离； （3）请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题． 某一天，小字问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要41年才出生；你若是我现在这么大，我就有124岁了，世界级老寿星了，哈哈！”请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄． 14.对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． （1）若点A表示数﹣1，点B表示的数2，下列各数：，0，1，4，5所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，C5，其中是点A，B的“联盟点”的是 　 　； （2）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点： ①若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点P表示的数． 15.如图，点A，O，B，D在同一条直线l上，点B在点A的右侧，AB＝6，OB＝2，点C是AB的中点，如图画数轴． （1）若点O是数轴的原点，则点B表示的数是 　　，点C表示的数是 　　； （2）若点O是数轴的原点时，D点表示的数为x，且AD＝5，求x； （3）若点D是数轴的原点，点D在点A的左侧，点A表示的数为m，且A，B，C，O所表示的数之和等于21，求m； （4）当O是数轴的原点，动点E，F分别从A，B出发，相向而行，点E的运动速度是每秒2个单位长度，点F的运动速度是每秒1个单位长度，当EF＝3时，求点A，B，E，F表示的数之和． 16.如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a，c满足|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的负整数． （1）a＝　　，b＝　　，c＝　　． （2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数 　　表示的点重合； （3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A和点B分别以每秒0.4个单位长度和0.3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒0.2个单位长度的速度向左运动，点C到达原点后立即以原速度向右运动，运动时间为t秒，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，请问：5AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出5AB﹣BC的值． 17.定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系．如下图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一个“关联点”． （1）写出点A，C的其他三个“关联点”所表示的数：　　、　　、　 ． （2）若点M表示数﹣2，点N表示数4，数﹣8，﹣6，0，2，10所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，C5，其中不是点M，N的“关联点”是点 　 　． （3）若点M表示的数是﹣3，点N表示的数是10，点P为数轴上的一个动点． ①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“关联点”，求此时点P表示的数． ②若点P在点N右侧，且点P，M，N中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此时点P表示的数． 18．[知识背景]：数轴上，点A，点B表示的数为a，b，则A，B两点的距离表示为AB＝|a﹣b|．线段AB的中点P表示的数为． [知识运用]：已知数轴上A，B两点对应的数分别为a和b，且（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，P为数轴上一动点，对应的数为x． （1）a＝　　，b＝　　； （2）若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x为 　　，若点B为线段AP的中点，则P点对应的数x为 　　； （3）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒3个单位长度，则经过 　　秒点B追上点A； （4）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，它们的速度都为每秒1个单位长度，与此同时点P从表示﹣16的点处以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动．经过多长时间后，点A、点B、点P三点中，其中一点是另外两点组成的线段的中点？ 19.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）探究： ①数轴上表示5和3的两点之间的距离是 　　． ②数轴上表示﹣1和﹣4的两点之间的距离是 　　． ③数轴上表示﹣3和5的两点之间的距离是 　　． （2）归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于 　　． （3）应用：①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，则|a+4|+|a﹣3|的值＝　　． ②若a表示数轴上的一个有理数，且|a﹣1|＝|a+3|，则a＝　　． ③若a表示数轴上的一个有理数，|a﹣1|+|a+2|的最小值是 　　． ④若a表示数轴上的一个有理数，且|a+3|+|a﹣5|＞8，则有理数a的取值范围是 　 　． （4）拓展：已知，如图2，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．若当电子蚂蚁P从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以3单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，并写出此时点P所表示的数． 20.将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好函数”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒． （1）动点P从点A运动至点C需要 　　秒，动点Q从点C运动至点A需要 　　秒； （2）P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数； （3）是否存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 21.在数轴上，点M，N对应的数分别是m，n（m≠n，mn≠0），P为线段MN的中点，同时给出如下定义：如果＝10，那么称M是N的“努力点”． 例如：m＝1，n＝，M是N的“努力点”． （1）若|m﹣10|+（n+90）2＝0则m＝　　，n＝　　； （2）在（1）的条件下，下列说法正确的是 　　（填序号）； ①M是P的“努力点”；②M是N的“努力点” ③N是M的“努力点”；④N是P的“努力点” （3）若mn＜0，且P是M，N其中一点的“努力点”，求值？ 22. 在数轴上，O为原点，点A，B对应的数分别是a，b（a≠b，ab≠0），M为线段AB的中点．给出如下定义：若OA÷OB＝4，则称A是B的“正比点”；若OA×OB＝4，则称A是B的“反比点”．例如a＝2，时，A是B的“正比点”；a＝2，b＝﹣2时，A是B的“反比点”． （1）若|a+2|+（b﹣4）2＝0，则M对应的数为 　　，下列说法正确的是 　　（填序号）． ①A是M的“正比点”；②A是M的“反比点”；③B是M的“正比点”；④B是M的“反比点”； （2）若ab＞0，且M是A的“正比点”，求的值； （3）若ab＜0，且M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接写出的值。 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 ( 第 1 页 共 52 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $