专题02 数轴动点问题专题训练1（定值最值数量关系变速4类32道）2026-2027学年七年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦数轴动点问题，通过定值、最值、数量关系、变速四类32道题构建递进式训练体系，渗透分类讨论与数形结合思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定值问题|8道|结合相反数、中点公式探究不变量|从静态点关系到动态距离和定值，培养抽象能力| |最值问题|8道|利用绝对值几何意义求距离和最小值|通过数轴直观分析，发展几何直观与推理意识| |数量关系|8道|运动中线段关系及关联点定义应用|建立代数表达与几何位置的联系，强化模型意识| |变速问题|8道|含速度变化的相遇及中点问题|综合运动过程分段计算，提升运算能力与应用意识|

专题02 数轴动点问题专题训练1 （定值最值数量关系变速4类32道） 专题目录 【类型1 数轴动点定值问题】 1 【类型2 数轴动点最值问题】 4 【类型3 探究数量关系】 8 【类型4 数轴动点变速问题】 12 【类型1 数轴动点定值问题】 1．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），如图，以两车之间的某点O为原点，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是，与互为相反数．（忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．） (1)求此时刻快车头A与慢车头C之间相距 单位长度． (2)从此时刻开始，若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶 秒两列火车的车头A、C相距8个单位长度． (3)在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即为定值）．则这段时间t是 秒，定值是 单位长度． 2．如图，在数轴上，点表示，点表示8，点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，同时，点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为． (1)求的长； (2)若，，且，求的长； (3)直接写出点、表示的数（用含、、的式子表示）； (4)点为、之间的动点，在、运动过程中，设，，且，始终为定值，直接写出、满足的数量关系． 3．我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点左侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“整关联点”． 如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，．    (1)原点________（填“是”或“不是”）“整关联点”； (2)若点是“整关联点”，则点所表示的数_______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，直接写出，满足的数量关系________． 4．如图，记数轴上A、B两点之间线段长为，（单位长度），（单位长度），在数轴上，点A在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是15． (1)点B在数轴上表示的数是_____，点C在数轴上表示的数是_____，线段BC的长＝_____． (2)若线段以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？ (3)若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为中点． ①若数轴上两个数为a、b，则它们的中点可表示为．则点M表示的数为_____，点N表示的数为______．（用代数式表示） ②线段MN的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由． 5．如图，O为原点，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+2|＋(3a＋b)2＝0． （1）a＝________，b＝_________； （2）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）． ①当点P运动到线段OB上，且PO＝2PB时，求t的值； ②先取OB的中点E，当点P在线段OE上时，再取AP的中点F，试探究的值是否为定值？若是，求出该值；若不是，请用含t的代数式表示． ③若点P从点A出发，同时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点O后立即原速返回向右匀速运动，当PQ＝1时，求t的值． 6．阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是． (1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______； (2)如果，求出点P表示的数以及b的值； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 7．若点在数轴上对应的数分别为，其中是最小的正整数，满足，请回答问题： (1)请直接写出的值； (2)在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)若点同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动．经过秒后，是否存在常数，使得为定值？若存在，请求出的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 8．【知识准备】 若数轴上点对应的数为x，点对应的数为y，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． (1)在一条数轴上，O为原点，点对应的数为5，点对应的数为，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 (2)在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 (3)若数轴上点对应的数为x，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，是否存在使为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【类型2 数轴动点最值问题】 9．【问题提出】的最小值是多少? 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)请求出方程中的x：； (2)的几何意义是_________，请你结合数轴探究：的最小值是_____； (3)请你结合数轴探究：的最小值是_____，并在图④的数轴上描出得到最小值时所在的位置，由此可以得出的值为_____． 10．【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 11．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是 ，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则 ①若，那么a的值是 ； ②当 时，有最小值，最小值是 ； ③有最小值，最小值是 ； ④求的最小值． 12．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）【探究问题】 如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是3． 填空： 若， 则x的值为 ； （2）【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为 ； ②若代数式的最小值是2，则a的值为 ； （3）【实际应用】如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 13．【用数学的眼光观察现实世界】若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，则．即表示5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【用数学的思维思考现实世界】 (1)点A、B表示的数分别为，2，则________，在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数________的点的距离． (2)①求的最小值，并写出此时x的值． ②当x满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少？ (3)当x取何值时，取得最小值，最小值是多少？ 14．【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 (1)①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 (2)求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 15．阅读： 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难人微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）发现问题：代数式的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点分别表示数． 因为的几何意义是线段与的长度之和， 所以当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，，所以的最小值是3． (1)借助数轴，说明的最小值是多少？ (2)当代数式的最小值是1时，直接写出此时的a值． 16．数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【类型3 探究数量关系】 17．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 18．我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点” 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为4，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“整2关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ． (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 19．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 20．阅读材料：对数轴上的点进行如下操作：将点沿数轴水平方向，以每秒个单位长度的速度，向右平移秒，得到点，称这样的操作为点的“速移”， 点称为点的“速移”点． 阅读材料：若点表示的数分别为，则线段的长度可以这样计算：或，那么当点表示的数分别为时，线段的长度可以表示为或． (1)当，时， ①如果点表示的数为，那么点的“速移”点表示的数为 ； ②点的“速移”点表示的数为，那么点表示的数为 ； (2)数轴上的点表示的数为，表示的数为，点向右平移秒，得到点的“速移”点，那么的长度可以表示为 ； (3)数轴上两点间的距离为，且点在点的左侧，点通过“速移”分别向右平移，秒得到点，，如果，请直接用等式表示，的数量关系． 21．阅读材料： 如图①，若点B把线段AC分成两条长度相等的线段AB和BC，则点B叫做线段AC的中点． 回答问题： (1)如图②，在数轴上，点A所表示的数是，点B所表示的数是0，点C所表示的数是3． ①若A是线段DB的中点，则点D表示的数是______； ②若E是线段AC的中点，求点E表示的数． (2)在数轴上，若点M表示的数是m，点N表示的数是n，点P是线段的中点． ①若点P表示的数是1，则m、n可能的值是______（填写符合要求的序号）； （i），； （ii），； （iii），； （iv），． ②若点P表示的数是1，m、n之间满足的数量关系是______． 22．对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再加上，得到其对应点．将称为点的“倍移点”． （1）当，时， ①若点表示的数为，则其“倍移点”表示的数为______； ②若点的“倍移点”表示的数是3，则点表示的数为______； ③若点与其“倍移点”在数轴上重合，求点所表示的数； （2）已知点M表示的有理数为3，其“倍移点”为点M′；原点的“倍移点”为点． ①当且时，若线段OM与O′M′的重叠部分长度为2，求的值： ②若线段OM与O′M′的重叠部分长度为2，且，直接写出，之间的数量关系． 23．阅读材料：定义：使等式的成立的一对有理数a，b叫做“亲密数对”，记为．如：因为，，所以数对，都是“亲密数对”． (1)若是“亲密数对”，则也是亲密数对吗？请判断并说明理由． (2)小明同学在做题的过程中发现“亲密数对”的两个数a，b之间有一定的数量关系，请写出这个关系式，并运用这个关系解决问题：已知数轴上两个动点A，B分别表示数a，b，且点A，B的运动速度相同，在运动过程中点A，B能否相遇？若能，请求出相遇点表示的数；若不能，请说明理由． 24．点O为数轴的原点，点A，B在数轴上分别表示数a，b，且a，b满足． (1)填空： ___________，___________，___________． (2)如图1，在数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，求点M在数轴上表示的数； (3)如图2，在数轴上有两个动点P，Q，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系． 【类型4 数轴动点变速问题】 25．已知A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足.动点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为：从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.当点M到达点C时，两点都停止运动.设运动的时间为t秒.    (1) ， ， ； (2)M，N两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数. (3)点D为线段中点，当t为多少秒时，？ 26．已知三点在数轴上所对应的数分别为且满足．动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为: 从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． (1) ______，______，______； (2)①动点从点运动至点时，求的值； ②两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； (3)若点为线段中点，当________秒时，． 27．已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒． （1）求a、b的值； （2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：　 　，点F在数轴上对应的数为：　 　． （3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）． 28．如图1，点，，从左到右依次在数轴上：点表示的数为，且．嘉淇将数轴放入画图软件中，如图所示．若以为个单位长度，测得． (1)点表示的数为；点表示的数为_________； (2)求点，，所表示的数的和； (3)若点在数轴上，且，求点所表示的数； (4)如图3，手机视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后点始终在视窗中心．若将数轴的单位长度变为，即变为原来的时，其可视范围就扩大为原来的倍．已知手机屏幕（横向）显示的距离为，当数轴的单位长度变为原来的时，点能出现在屏幕中，直接写出的最小整数值． 29．如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①x的值为______；点A与点C的距离为______个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和；． (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求x的值； ②若点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的2倍，求点D所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来后，用刻度尺能测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值． 30．如图，点、、在数轴上对应的数分别是、、，且、满足，动点从点出发以单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为秒． （1）____，____，、两点间的距离为____个单位； （2）①若动点从出发运动至点时，求的值； ②当、两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； （3）当___时，、两点到点的距离相等． 31．已知点、、在数轴上对应的数为、、． (1)如图①，动点从点以每秒个单位的速度向数轴的正方向运动，到达点时方向不变，速度变为每秒个单位；动点从点开始以每秒个单位的速度向数轴的负方向运动，到达点时方向不变，速度变为每秒个单位，点、点两点同时开始运动． ①当运动秒时，点与点相遇； ②当点与点的距离是时，请求出运动的时间． (2)如图②，线段的长度为（点在点左侧），线段的长度为（点在点右侧）．若从点出发（运动后为），以每秒个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，同时从点出发（运动后为），以每秒个单位的速度沿着数轴的负方向运动；当点运动到点时，线段立即以原来速度的倍继续沿数轴正方向运动，当点运动到点时，线段变为原速继续向正方向运动，当点与点重合时运动停止；当点运动到点时，线段的速度变为原来的，当点运动到点时，线段变为原速返回至初始位置停止运动．设出发的时间为秒，在整个运动过程中，是否存在时间使两条线段重叠部分的长度为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 32．如图，数轴上有，两个点对应的数分别为，，动点从点开始以个单位长度/秒的速度向右移动秒后，速度变为原来的一半继续向右再移动秒后以个单位长度/秒的速度向左移动，点从点开始以个单位长度/秒的速度向左移动秒后，速度变为个单位长度/秒继续向左移动（其中，均为正整数）． (1)当时，求的长； (2)若，，则当为何值时，？ (3)若，两点在运动过程中有两次相遇，且第二次相遇时，求的值． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数轴动点问题专题训练1 （定值最值数量关系变速4类32道） 专题目录 【类型1 数轴动点定值问题】 1 【类型2 数轴动点最值问题】 14 【类型3 探究数量关系】 27 【类型4 数轴动点变速问题】 40 【类型1 数轴动点定值问题】 1．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），如图，以两车之间的某点O为原点，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是，与互为相反数．（忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．） (1)求此时刻快车头A与慢车头C之间相距 单位长度． (2)从此时刻开始，若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶 秒两列火车的车头A、C相距8个单位长度． (3)在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即为定值）．则这段时间t是 秒，定值是 单位长度． 【答案】(1) (2)4或8 (3)，6 【分析】（1）根据非负数的性质求出，，再根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据时间路程和速度和，列式计算即可求解； （3）由于，只需要是定值，从快车上乘客P与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解； 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得，， ∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距单位长度， 故答案为：； （2）解：①当相遇前相距8个单位长度有， （秒）， ②当相遇后相距8个单位长度有， （秒） 答：再行驶秒或秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度； 故答案为：4或8； （3）解：∵， 当P在之间时，是定值4， （秒）， 此时（单位长度）， 故这个时间是秒，定值是单位长度． 故答案为：，6； 2．如图，在数轴上，点表示，点表示8，点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，同时，点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为． (1)求的长； (2)若，，且，求的长； (3)直接写出点、表示的数（用含、、的式子表示）； (4)点为、之间的动点，在、运动过程中，设，，且，始终为定值，直接写出、满足的数量关系． 【答案】(1)10 (2)7 (3)点表示的数为：，点表示的数为：； (4)． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． （1）直接根据两点间的距离公式计算即可； （2）先求出点P、点Q表示的数，再求的长即可； （3）直接根据两点间的距离公式计算即可； （4）由（3）可知，，则，，即，由，，可知，根据求出，根据始终为定值得到，即可求出、满足的数量关系． 【详解】（1）解：； （2）解：若，，且， 则点P表示的数为：，点Q表示的数为：， ∴； （3）解：∵点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为， ∴点表示的数为； ∵点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为， ∴点表示的数为； （4）解：∵点表示的数为：， ∴， ∵点表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵始终为定值， ∴， ∴． 3．我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点左侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“整关联点”． 如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，．    (1)原点________（填“是”或“不是”）“整关联点”； (2)若点是“整关联点”，则点所表示的数_______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，直接写出，满足的数量关系________． 【答案】(1)不是 (2)或者 (3) 【分析】（1）根据关联点的定义，即可； （2）根据关联点的定义得到等式，再讨论点的位置，求出满足的值； （3）设点表示的数为，根据关联点的定义，得出用，，表示的代数式，再由点运动时，式子为定值，得关于的代数式中的系数为，即可求出，的数量关系． 【详解】（1）∵在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为， ∴，， ∴， ∵不是整数， ∴原点不是“整关联点”． 故答案为：不是． （2）∵在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，， ∴，， ∴， 若点是“整关联点”， ∴， 当点在线段之间，， ∴点表示的数为：； 当点在线段的延长线上，， ∴， ∴点表示的数为：； 综上所述，点表示的数为：或者． 故答案为：或者． （3）设点表示的数为， ∵点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上， ∴，；，， ∴，， ∴， 当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值， ∴， 解得：， ∴整数，满足的数量关系为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义、数轴的知识，解题的关键的掌握数轴上两点的距离，动点问题，线段的数量关系，理解新定义的概念． 4．如图，记数轴上A、B两点之间线段长为，（单位长度），（单位长度），在数轴上，点A在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是15． (1)点B在数轴上表示的数是_____，点C在数轴上表示的数是_____，线段BC的长＝_____． (2)若线段以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？ (3)若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为中点． ①若数轴上两个数为a、b，则它们的中点可表示为．则点M表示的数为_____，点N表示的数为______．（用代数式表示） ②线段MN的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，14，24 (2)当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是﹣2 (3)①；；②MN的长是定值， 【分析】（1）数轴上点A右边的点B表示的数是点A表示的数加上这两个点的距离，数轴上点D左边的点C表示的数是点D表示的数减去这两个点的距离，依此方法可求出点B和点C表示的数，因为点C在点B的右边，所以用点C表示的数减去点B表示的数即得到线段的长； （2）设运动的时间为t秒，先确定点B表示的数为，点B与点C相距24个单位长度，两个点相向运动，则点B与点C重合时，点B与点C运动的距离和为24，列方程求出t的值再求出点B表示的数即可； （3）①先用t的代数式表示出A、B、C、D四点对应的数，再根据中点公式即可求解； ②用两点间距离公式即可求解． 【详解】（1）解：因为点A表示的数是，点B在点A右侧，且， 所以， 所以点B表示的数是； 因为点D表示的数是15，点C在点D的左侧，且， 所以， 所以点C表示的数是14， 点B与点C的距离是（单位长度）， 所以线段BC的长为24个单位长度， 故答案为：，14，24． （2）设运动的时间为t秒，则点B表示的数是， 根据题意得， 解得， 所以， 答：当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是． （3）①根据题意得，t秒后点A对应的数为：，点C对应的数为：， ∵M为中点， ∴点M对应的数为：， t秒后点B对应的数为：，点D对应的数为：， ∵N为中点， ∴点N对应的数为：， 故答案为：；； ②线段的长为定值， ∵点M对应的数为，点N对应的数为； ∴， ∴线段的长为定值． 【点睛】此题考查数轴上两点的距离的求法、解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是正确理解行程问题中相遇问题和追及问题的数量关系并且用代数式和等式表示这些关系． 5．如图，O为原点，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+2|＋(3a＋b)2＝0． （1）a＝________，b＝_________； （2）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）． ①当点P运动到线段OB上，且PO＝2PB时，求t的值； ②先取OB的中点E，当点P在线段OE上时，再取AP的中点F，试探究的值是否为定值？若是，求出该值；若不是，请用含t的代数式表示． ③若点P从点A出发，同时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点O后立即原速返回向右匀速运动，当PQ＝1时，求t的值． 【答案】（1）-2，6；（2）①6，②2，③5. 【详解】试题分析：（1）根据非负数的性质即可求出的值； （2）①先表示出运动t秒后P点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出 ，，利用建立方程，求解即可； ②根据中点坐标公式分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算 即可； ③分类讨论. 试题解析： 解得： 故答案为 ① 解得： ②AP的中点F表示的数是 OB的中点E表示的数是 所以 所以 ③ 解得： ,解得： 解得： 6．阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是． (1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______； (2)如果，求出点P表示的数以及b的值； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P表示的数是2026，的值是2023 (3)，定值为 【分析】（1）根据“对称数组”的定义，点P表示数2，与P相距4个单位的两点m、可通过“，”计算； （2）设点P表示的数为x，根据对称数组的定义，，，因此，，代入，即可求解； （3）先根据点P、Q的运动速度和时间t，表示出t秒后P、Q的位置，再结合“对称数组”的定义求出n和q，最后分析为定值的条件． 【详解】（1）∵点P表示数2， ∴，， 对称数组是； （2）∵， ∴点P表示的数， ∴； （3）秒后，点P表示的数为， 由，得， 点Q表示的数为，由， 得， 假设存在常数k，使得为定值： ， 要使为定值，则t的系数为0，即， 解得， 此时定值为． 【点睛】本题考查了数轴上的新定义“对称数组”，理解定义并结合数轴运动、代数运算求解，熟练掌握“对称数组”的定义是解题关键． 7．若点在数轴上对应的数分别为，其中是最小的正整数，满足，请回答问题： (1)请直接写出的值； (2)在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)若点同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动．经过秒后，是否存在常数，使得为定值？若存在，请求出的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)存在；当时，为定值；当时，为定值． 【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性可求出的值； （2）设点表示的数为，分在之间、在点左边、在之间、在点右边四种情况考虑，由利用两点间的距离公式，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）表示出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，分①当，即时，②当时，进行讨论，分别表示出，再根据是定值，确定出的值即可． 【详解】（1）解：， ，， ，, 是最小的正整数, ． （2）解：设点表示的数为， ， ①在之间， ， ， ； ②在左边， ， ， ； ③在之间， ， ， （舍去）； ④在的右边， ， ， （舍去）； 综上所述，或 点对应的数为：或； （3）解：存在， 运动时间为， 由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ①当，即时， ， ， ， 为定值， ， ， ； ②当时， ， ， ， 为定值， ， ， ； 综上所述，存在常数，使得为定值；当时，为定值；当时，为定值． 【点睛】本题考查了绝对值与偶次方的非负性，数轴上两点间的距离的表示，熟练掌握两点间的距离的表示方法是解答本题的关键．注意分类讨论思想的运用． 8．【知识准备】 若数轴上点对应的数为x，点对应的数为y，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． (1)在一条数轴上，O为原点，点对应的数为5，点对应的数为，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 (2)在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 (3)若数轴上点对应的数为x，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，是否存在使为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)17 (3)当时， 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）根据中点公式进行求解即可； （2）首先依题意求出点P和点Q所表示的数，然后根据的中点公式得，由此解出t即可； （3）根据题意得出点表示的数为，点表示的数为，然后表示出，再根据绝对值的意义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点对应的数为5，点对应的数为， ∴的中点所对应的数为， 故答案为：． （2）解：由题意得，点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， 解得， ∴为17时，的中点所对应的数为10． （3）解：存在，当时，，理由如下： 根据题意，五等分点公式为：，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴， ∴表示数到数10和之间的距离之和， ∴当时，． 【类型2 数轴动点最值问题】 9．【问题提出】的最小值是多少? 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)请求出方程中的x：； (2)的几何意义是_________，请你结合数轴探究：的最小值是_____； (3)请你结合数轴探究：的最小值是_____，并在图④的数轴上描出得到最小值时所在的位置，由此可以得出的值为_____． 【答案】(1)或 (2)a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3 (3)2；2 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义： （1）根据绝对值的几何意义直接求解即可； （2）仿照题干【阅读理解】作答即可； （3）仿照题干根据的几何意义，结合数轴讨论即可得到答案． 【详解】（1）解： 或； （2）解：的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和； 由【阅读理解】可知，当a在2和5之间时（包括2，5上），a到2和5的距离之和等于3，此时取得最小值是3； 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； （3）解：由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和， ①如图，a在1的左边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； ②如图，a在1上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ③如图，a在1的右边2的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ④如图，a在2上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于2； ⑤如图，a在2的右边3的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ⑥如图，a在3上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ⑦如图，a在3的右边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； 可知的最小值是2，取得最小值时a的值为2，图如下： 故答案为：2；2． 10．【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 【答案】(1)a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； (2)a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；2； 最小值时a的位置如下，a的值为2． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义． （1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干表示出的几何意义，仿照题干结合数轴作答即可． 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和， 当a在2和5之间时（包括2，5上），a到2和5的距离之和等于3，此时取得最小值是3； 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； （2）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和， ①如图，a在1的左边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； ②如图，a在1上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ③如图，a在1的右边2的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ④如图，a在2上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于2； ⑤如图，a在2的右边3的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ⑥如图，a在3上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ⑦如图，a在3的右边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； 可知的最小值是2，最小值时a的值为2，图如下： 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；2；2． 11．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是 ，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则 ①若，那么a的值是 ； ②当 时，有最小值，最小值是 ； ③有最小值，最小值是 ； ④求的最小值． 【答案】(1)5；2 (2)①8或；②3，0；③9；④1025156 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离计算，绝对值的几何意义，熟知绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离计算公式求解即可； （2）①根据绝对值的几何意义求解即可；②根据绝对值的几何意义即可得到答案；③表示的是数轴上表示数a的点到表示数的点和到表示的点的距离之和，则当时，有最小值，据此求解即可；④根据绝对值的几何意义可得当时有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是； （2）解：①由题意得，表示的是数轴表示数a的点与表示数3的点的距离为5， ∴或； ②∵表示的是数轴上表示数a的点到表示数的点的距离， ∴当时，有最小值，最小值是0； ③∵表示的是数轴上表示数a的点到表示数的点和到表示的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为； ④由（2）③可知当时，有最小值，最小值为， 同理当时，有最小值，最小值为， 当时，有最小值，最小值为， ……， 当时，有最小值，最小值为， 又∵， ∴当时，有最小值，最小值为0， ∴当时，，，…，，能同时取得最小值， ∴当时 有最小值， ∴的最小值为． 12．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）【探究问题】 如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是3． 填空： 若， 则x的值为 ； （2）【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为 ； ②若代数式的最小值是2，则a的值为 ； （3）【实际应用】如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】（1）1或3；（2）①6；②或；（3）当M在点F上时，四个点到M的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法． （1）根据绝对值的几何意义求解即可； （2）①根据当x在4和之间时，有最小值，化简绝对值即可求解； ②根据题意得，即可求解； （3）E、F、G、H分别在数轴上表示，，0，200，设M表示的数为x，距离之和为s，根据题意可知，当M在点F上时，E、F、G、H到M的距离之和最小，则E、F、G、H到M的最小距离之和为：，即可求解． 【详解】解：（1）表示x所对应的点与2所对应的点之间的距离为1， ∴或， 故答案为：1或3； （2）①表示x所对应的点到4和所对应的点的距离之和，当x在4和之间时，有最小值， ∴的最小值为， 故答案为：6； ②表示x所对应的点到和所对应的点的距离之和，当x在和之间时，有最小值，最小值为， ∵代数式的最小值是2， ∴， 解得：或， 故答案为：或； （3）如图所示，设M表示的数为x，距离之和为s， 则所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和为： 表示x所对应的点到、、、、、、七个点的距离之和， ∴奇数个点时取正中间的数时有最小值，即时，， ∴当M在点F上时，四个点到M的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为． 13．【用数学的眼光观察现实世界】若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，则．即表示5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【用数学的思维思考现实世界】 (1)点A、B表示的数分别为，2，则________，在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数________的点的距离． (2)①求的最小值，并写出此时x的值． ②当x满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少？ (3)当x取何值时，取得最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)， (2)①当时，取得最小值7；②当时，取得最小值9； (3)14 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，化简绝对值，掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离解答即可； （2）根据数轴上两点间的距离解答即可； （3）根据数轴上两点间的距离解答即可． 【详解】（1）解：，在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数的点的距离； 故答案为：，； （2）解：①表示到的距离与到2的距离以及到3的距离之和， 所以当时，的值最小为； ②∵表示到的距离与到3的距离之和， ∴当时，的值最小为； （3）解：∵表示到的距离3倍的与到5的距离的2倍之和， ∴x越接近，的值越小， ∴当时，的值最小为． 14．【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 (1)①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 (2)求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【答案】(1)①5；②2或8； (2)5 【分析】（1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值的几何意义解答即可； （2）根据绝对值的几何意义分类讨论即可； 【详解】（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 15．阅读： 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难人微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）发现问题：代数式的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点分别表示数． 因为的几何意义是线段与的长度之和， 所以当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，，所以的最小值是3． (1)借助数轴，说明的最小值是多少？ (2)当代数式的最小值是1时，直接写出此时的a值． 【答案】(1)5 (2)或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，绝对值的几何意义． （1）把原式转化为看作是数轴上表示的点与表示和的点之间的距离最小值，即可求解； （2）根据原式的最小值为1，得到表示3的点的左边和右边，且到3距离为1的点即可． 【详解】（1）解：因为． 如图，表示点到点的距离与点到点的距离之和， 当点在线段上时，， 当点在点的左侧或点的右侧时，， 所以的最小值是； （2）解：当为或时，代数式为或， 数轴上表示数2的点到表示数3的点的距离为1，数轴上表示数4的点到表示数3的点的距离也为1， 当为或时，原式的最小值是1． 16．数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 或，在数轴上标记x所在的位置如图所示： (3)当时，的值最大，最大值为 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两点间的距离公式计算即可得出结果； （2）先根据绝对值的意义求出或，再在数轴上标记x所在的位置即可； （3）分区间讨论的化简结果，比较得出最大值即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是， ∴A，B两点之间的距离是； （2）解：∵， ∴或， ∴或， （3）解：当时，， 当时，，此时， 当时，， ∴当时，的值最大，最大值为． 【类型3 探究数量关系】 17．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 18．我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点” 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为4，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“整2关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ． (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 【答案】(1)是 (2)0或 (3)2；1 (4) 【分析】本题是数轴上新定义应用题，主要运用“数轴上表示数、的两点之间的距离为”来解题． （1）根据已知条件及新定义即可判定； （2）根据已知条件及新定义得出等式，再分类讨论点的位置，得出满足条件的值； （3）设运动秒，根据数轴是两点距离的计算方法用含的代数式表示、，再根据新定义得出关于等量关系，由“是正整数”求出、即可； （4）设点表示的数为，根据新定义、已知条件，得出用、、表示的代数式，再由“点运动时，式子为定值”知：关于的代数式中的系数为0，从而得出整数、满足的数量关系． 【详解】（1）解：点A，点B表示的数分别为4，， ，， ， 原点是“，2关联点”， 故答案为：是； （2）点A，点B表示的数分别为4，， ， 若点是“，整2关联点”，则， 当点在线段上时，， 此时，点所表示的数为； 当点在线段的延长线上时，， 此时，点所表示的数为， 综上所述，点所表示的数0或， 故答案为：0或； （3）若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，设运动秒， 则，， 原点O恰好是“[A，B]n关联点”， 是正整数），即有， ， 是正整数， 而，为3的约数， ，即， 即运动时间为2秒时，原点恰好是“，整关联点”，此时的值为1， 故答案为：2；1； （4）点在、之间运动，且不与、两点重合，作“，整2关联点”，记为，作“，整3关联点”，记为，且满足、分别在线段和上， 设点表示的数为，则 ，， ，， ，， ， 当点运动时，若存在整数、，使得式子为定值，则， ． 即整数、满足的数量关系是． 19．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)10，1 (2)当或或时，P，Q两点间距离为3 (3) ，理由如下： ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， 当点到达点之前，即当时， 点M表示的数是， 点N表示的数是， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离和中点坐标，数轴上动点问题以及分类讨论思想， 结合点和点表示的数，利用两点之间距离即可求得，利用中点坐标即可求得线段的中点表示的数； 当点P与点B重合时，求得；同理求得点Q与点A重合时的t；当点Q返回到点B时的t，当时，点P表示的数，点Q表示的数，结合题意即可列出方程求的t；当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，同理求的t即可； 根据题意得，，当点到达点之前，即当时，点M表示的数是，点N表示的数是，即可得即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为6， ∴， 线段的中点表示的数为∶， 故答案为：10，1 （2）当点P与点B重合时，； 当点Q与点A重合时，； 当点Q返回到点B时，， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得或 (不符合题意，舍去)， 综上所述，当或或时，P，Q两点间距离为3． （3）略 20．阅读材料：对数轴上的点进行如下操作：将点沿数轴水平方向，以每秒个单位长度的速度，向右平移秒，得到点，称这样的操作为点的“速移”， 点称为点的“速移”点． 阅读材料：若点表示的数分别为，则线段的长度可以这样计算：或，那么当点表示的数分别为时，线段的长度可以表示为或． (1)当，时， ①如果点表示的数为，那么点的“速移”点表示的数为 ； ②点的“速移”点表示的数为，那么点表示的数为 ； (2)数轴上的点表示的数为，表示的数为，点向右平移秒，得到点的“速移”点，那么的长度可以表示为 ； (3)数轴上两点间的距离为，且点在点的左侧，点通过“速移”分别向右平移，秒得到点，，如果，请直接用等式表示，的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（）根据“速移”点定义及数轴上两点间距离公式解答即可； （）根据“速移”点定义及数轴上两点间距离公式解答即可； （）设点在数轴上表示的数为，则点在数轴上表示的数为，再根据“速移”点定义及数轴上两点间距离公式解答即可； 本题数轴与有理数，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①由题意可得，点表示的数为， 故答案为：； ②由题意可得，点表示的数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得，点表示的数为， ∴的长度可以表示为， 故答案为：； （3）解：设点在数轴上表示的数为，则点在数轴上表示的数为， ∴点，在数轴上表示的数分别为，， ∵， ∴， 即， ∴或， ∴或． 21．阅读材料： 如图①，若点B把线段AC分成两条长度相等的线段AB和BC，则点B叫做线段AC的中点． 回答问题： (1)如图②，在数轴上，点A所表示的数是，点B所表示的数是0，点C所表示的数是3． ①若A是线段DB的中点，则点D表示的数是______； ②若E是线段AC的中点，求点E表示的数． (2)在数轴上，若点M表示的数是m，点N表示的数是n，点P是线段的中点． ①若点P表示的数是1，则m、n可能的值是______（填写符合要求的序号）； （i），； （ii），； （iii），； （iv），． ②若点P表示的数是1，m、n之间满足的数量关系是______． 【答案】(1)； (2)（i），（ii），（iii）； 【分析】（1）①点A所表示的数是，点B所表示的数是0，根据中点公式即可求得点D表示的数；②根据中点公式进行计算即可得到答案； （2）①依据点M表示的数是m，点N所表示的数是n，点P是线段的中点，依次计算出的中点表示的数，再与点P表示的数是1进行对比，即可得到答案；②依据中点公式即可得到结果． 【详解】（1）解：①∵点A所表示的数是，点B所表示的数是0，设点D表示的数为x， ∴， ∴， ∴点D表示的数为； ②∵E是线段AC的中点， ∴点E表示的数为； （2）解：∵点P是线段的中点， ∴， 当，时，中点表示的数为，符合题意； 当，时，中点表示的数为，符合题意； 当，时，中点表示的数为，符合题意； 当，时，中点表示的数为，不符合题意． 故答案为：（i），（ii），（iii）； ②∵点P是线段MN的中点，点P表示的数是1， ∴， ∴． 【点睛】考查的是数轴，利用数形结合和中点公式求解是解答此题的关键． 22．对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再加上，得到其对应点．将称为点的“倍移点”． （1）当，时， ①若点表示的数为，则其“倍移点”表示的数为______； ②若点的“倍移点”表示的数是3，则点表示的数为______； ③若点与其“倍移点”在数轴上重合，求点所表示的数； （2）已知点M表示的有理数为3，其“倍移点”为点M′；原点的“倍移点”为点． ①当且时，若线段OM与O′M′的重叠部分长度为2，求的值： ②若线段OM与O′M′的重叠部分长度为2，且，直接写出，之间的数量关系． 【答案】（1）①9；②-1；③；（2）①n=1；②3m+n=2． 【分析】（1）①由-4×(-2)+1=9，即可得出对应点A'表示的数为9； ②设点B表示的数为x，-2x+1=3，解得x=-1； ③设点C表示的数为a，则C′表示的数为-2a+1，由a=-2a +1，求解即可； （2）①线段OM与O′M′的重叠部分长度为O′M=2，据此列式计算即可； ②画出图形，分类讨论，即可求解． 【详解】解：（1）①∵点A表示的数为-4， ∴-4×(-2)+1=9， ∴它的对应点A'表示的数为9； 故答案为：9； ②设点B表示的数为x， ∵点B'表示的数是3， ∴-2x+1=3， 解得：x=-1， 故答案为：-1； ③设点C表示的数为a，则C′表示的数为-2a +1， ∴a=-2a +1， 解得：a=， 故答案为：； （2）①∵m=3，点M表示的有理数为3， ∴M′表示的数为9+n，O′表示的数为n， 当n>0时，且O′在M的右边，由图形得：线段OM与O′M′不存在重叠部分， 当n>0时，且O′在M的左边，由图形得：线段OM与O′M′的重叠部分长度为O′M， ∴3-n=2， 解得：n=1； ②∵n<0，点M表示的有理数为3， ∴M′表示的数为3m+n，O′表示的数为n， 当M′在M的右边，由图形得：线段OM与O′M′的重叠部分为OM=3，不符合题意，舍去； 当M′在M的左边且在O的右边，由图形得：线段OM与O′M′的重叠部分为OM′， ∴3m+n=2； 当M′在O的左边，由图形得：线段OM与O′M′不存在重叠部分； 综上，m，n之间的数量关系为：3m+n=2． 【点睛】本题考查了新概念“倍移”、数轴、两点间的距离、绝对值等知识；熟练掌握数轴上两点间的距离、分类讨论是解题的关键． 23．阅读材料：定义：使等式的成立的一对有理数a，b叫做“亲密数对”，记为．如：因为，，所以数对，都是“亲密数对”． (1)若是“亲密数对”，则也是亲密数对吗？请判断并说明理由． (2)小明同学在做题的过程中发现“亲密数对”的两个数a，b之间有一定的数量关系，请写出这个关系式，并运用这个关系解决问题：已知数轴上两个动点A，B分别表示数a，b，且点A，B的运动速度相同，在运动过程中点A，B能否相遇？若能，请求出相遇点表示的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) 解：若是“亲密数对”，则， 解得：， ∴， ∴若是“亲密数对”，则也是亲密数对； (2) 能相遇，相遇点表示的数为1 【分析】本题考查了新定义、数轴上动点问题： （1）根据新定义得到两个数之间的关系，再将两个数调换位置，所得到的关系不变，故可得到结果； （2）根据新定义下的运算以及数轴上动点问题，可得到两个关系式，即可解得结果； 正确理解，准确求解是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得：数量关系是， 能相遇，相遇点表示的数为1， 理由如下： ∵是亲密数对， ∴， ∴， 当相遇时， 此时． 24．点O为数轴的原点，点A，B在数轴上分别表示数a，b，且a，b满足． (1)填空： ___________，___________，___________． (2)如图1，在数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，求点M在数轴上表示的数； (3)如图2，在数轴上有两个动点P，Q，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系． 【答案】(1)，3，8 (2)或 (3) 【分析】（1）根据，利用非负数的性质得，可得，； （2）设点M对应的数为x，点A对应的数为，点B对应的数为3，分三种情况分别讨论：①当点M在点A的左侧时，，，根据题意得，可得；②当点M在线段之间时，，，根据题意得，可得；③当点M在点B右侧时，不满足题意； （3）设运动时间为t秒，根据题意得，，，，，根据线段的长度总为一个固定的值，可得． 【详解】（1）解： 得 （2）解：设点M对应的数为x，点A对应的数为，点B对应的数为3， ①当点M在点A的左侧时 则， 点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍 解得 ②当点M在线段之间时 则， 点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍． 解得 ③当点M在点B右侧时，不满足题意． 综上所述：点M对应的数为或． （3）解：，理由如下： 设运动时间为t秒，根据题意得： ，， ， 点C为线段的中点， 线段的长度总为一个固定的值． 【类型4 数轴动点变速问题】 25．已知A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足.动点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为：从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.当点M到达点C时，两点都停止运动.设运动的时间为t秒.    (1) ， ， ； (2)M，N两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数. (3)点D为线段中点，当t为多少秒时，？ 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据绝对值的非负性，数轴上两点间的距离公式计算即可． （2）设M，N相遇于点P，且点P表示的数为m，则点M用时为，，点N用时为，根据题意，得，计算即可． （3）根据线段中点的性质求出点D的坐标，设时间为t，分五种情况进行讨论，分别求出每种情况下点M和点N的坐标，再根据两点间的距离公式求出和，令，解方程即可得出答案． 【详解】（1）∵A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足， ∴， 故A表示的数是，C表示的数是， ∴， 故答案为：． （2）设M，N相遇于点P，且点P表示的数为m， ①当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时无法相遇； ②当点M在上，点N在上时，无法相遇； ③当点M在上，点N在上时， 则，， ∴点M用时为，点N用时为， 根据题意，得， 解得， 故相遇点在数轴上所对应的数． （3）∵A表示的数是，点B表示的数是10，C表示的数是，点D为线段中点， ∴点D表示的数是5； 设运动t秒时， ， ①当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； ②当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 无解； ③当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； ④当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； ⑤当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； 综上所述，当或或或时，． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，点表示的有理数，分类思想，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键. 26．已知三点在数轴上所对应的数分别为且满足．动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为: 从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． (1) ______，______，______； (2)①动点从点运动至点时，求的值； ②两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； (3)若点为线段中点，当________秒时，． 【答案】（1）；（2）①19s；②；（3）当秒时，． 【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性计算即可求出a和b的值，再根据两点间的距离公式即可求出AC的长度； （2）①分别求出AO，BO和BC的距离，再根据“时间=路程÷速度”计算即可得出答案；②设P点在数轴上所对应的数为y，根据题意列出方程，解方程即可得出答案； （3）根据线段中点的性质求出点D的坐标，设时间为t，分五种情况进行讨论，分别求出每种情况下点M和点N的坐标，再根据两点间的距离公式求出MD和ND，令MD=ND，解方程即可得出答案. 【详解】解：（1）； （2）①∵ ∴ ∴动点从点运动至点时，； ②设两点在点相遇，点在数轴上所对应的数为． 易知点落在线段段，依题意有: 解得: ∴两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数为． （3）若点为线段中点，则D在数轴上表示的数为5 设时间为t时，MD=ND ①当点N在CB上，点M在AO上运动时，M=-10+2t，N=18-t 则MD=15-2t，ND=13-t 即15-2t=13-t，解得t=2； ②当点N在CB上，点M在OD上运动时，M=t-5，N=18-t 则MD=10-t，ND=13-t 即10-t=13-t,无解； ③当点N在OB上，点M在OD上运动时，M=t-5,N=10-2(t-8) 则MD=10-t，ND=5-2(t-8) 即10-t=5-2(t-8)，解得t=11； ④当点N在OB上，点M在DB上运动时，M=t-5，N=26-2t 则MD=t-10，ND=21-2t 即t-10=21-2t，解得t=； ⑤当点N在OA上，点M在BC上运动时，M=2t-20，N=13-t 则MD=2t-25，ND=t-8 即2t-25=t-8，解得t=17； 综上所述，当秒时，． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，难度偏高，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键. 27．已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒． （1）求a、b的值； （2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：　 　，点F在数轴上对应的数为：　 　． （3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）． 【答案】（1）a＝12，b＝﹣20；（2）12﹣6t，﹣20+2t；（3）秒或秒秒或秒 【分析】（1）由题意根据关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，即可求出a、b； （2）由题意根据点E、F的运动方向和速度可得解； （3）根据题意分相遇前和相遇后两种情况，然后正确列出方程进行分析计算即可． 【详解】解：（1）∵关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关， ∴（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3） ＝﹣20x2+ax﹣y+12﹣bx2﹣12x﹣6y+3） ＝（﹣20﹣b）x2+（a﹣12）x﹣7y+15， ∴﹣20﹣b＝0或a﹣12＝0， 解得b＝﹣20，a＝12； （2）设运动时间为t秒． 由题意得：点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣20+2t， 故答案为：12﹣6t，﹣20+2t； （3）设当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为t秒， 相遇前：12﹣6t＝﹣20+2t+2，解得：t＝； 相遇后：E、F相遇的时间为：（20+12）÷（2+6）＝4（秒）， 相遇点为﹣20+2×4＝﹣12， 点F在原地停留4秒时，6（t﹣4）＝2，解得：t＝； 由题意得：当E、F相遇后，点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣12﹣2×5（t﹣4﹣4）＝68﹣10t． 当E在F左侧时，68﹣10t﹣（12﹣6t）＝2，解得：t＝； 当E在F右侧时，12﹣6t﹣（68﹣10t）＝2，解得：t＝． 答：当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为秒或秒秒或秒 【点睛】本题考查数轴和一元一次方程的应用，能根据题意列出代数式和方程是解答此题的关键． 28．如图1，点，，从左到右依次在数轴上：点表示的数为，且．嘉淇将数轴放入画图软件中，如图所示．若以为个单位长度，测得． (1)点表示的数为；点表示的数为_________； (2)求点，，所表示的数的和； (3)若点在数轴上，且，求点所表示的数； (4)如图3，手机视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后点始终在视窗中心．若将数轴的单位长度变为，即变为原来的时，其可视范围就扩大为原来的倍．已知手机屏幕（横向）显示的距离为，当数轴的单位长度变为原来的时，点能出现在屏幕中，直接写出的最小整数值． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的加减运算； （1）根据已知可得，结合数轴求得点表示的数，即可求解； （2）根据（1）的结论进行计算即可求解； （3）根据题意得出，进而分点在点的左侧与右侧两种情况讨论，即可求解； （4）根据已知得出，又个单位，进而根据题意得出比值为,即可求解． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，以为个单位长度，测得．点在点的左侧， ∴， ∴点表示的数为， ∵，点在点的右侧． ∴点表示的数为 故答案为：，． （2）解：∵点，，所表示的数分别为， ∴点，，所表示的数的和为： （3）解：∵， ∴， ∴点所表示的数为或 （4）解：依题意，，又个单位， ， 依题意，， ∴的最小整数解为： 29．如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①x的值为______；点A与点C的距离为______个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和；． (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求x的值； ②若点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的2倍，求点D所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来后，用刻度尺能测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值． 【答案】(1)①，；② (2)①；②或；③ 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离． （1）①根据两点之间的距离直接列式计算； ②将所得三个数相加即可； （2）①首先根据已知判断出数轴的1个单位长度为，再推出A在B的左边且相距10个单位长度，即可得解； ②求出A、C相距220个单位长度，进一步可得A、D的距离110个单位长度，即可得解； ③求出B、C的距离，再结合最大刻度为，求出，即可得到k的最小整数值． 【详解】（1）解：①∵点A与点B的距离为， ∴； 点A与点C的距离为单位长度； ②， 即点A，B，C所表示的数的和为170； （2）解：①∵刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，， ∴数轴的1个单位长度为， ∴当刻度尺上时，代表数轴上2个单位长度， ∴B表示，A在B的左边且相距， 则A在B的左边且相距10个单位长度， 则； ②∵A表示的数为，C表示的数为200， 则A、C相距230个单位长度，即，②或； ∴A、D的距离为，即115个单位长度， ∴D所表示的数为或； ③B表示的数为，C表示的数为200， 则B、C的距离为， ∴， ∵要用刻度尺能测量出数轴上点B与点C的距离， ∴，即k的最小整数值为3． 30．如图，点、、在数轴上对应的数分别是、、，且、满足，动点从点出发以单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为秒． （1）____，____，、两点间的距离为____个单位； （2）①若动点从出发运动至点时，求的值； ②当、两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； （3）当___时，、两点到点的距离相等． 【答案】（1）9，20，32；（2）①；②相遇点对应的数为6；（3）当t=12或25时，点P、Q到点B的距离相等． 【分析】（1）根据可先求出b、c的值，然后再由数轴两点距离可求解； （2）①点P从点A运动到点C可得当点P在AO上时，点P在OB上时及点P在BC上时，然后分别求出时间，进而问题可求解； ②由题意易得当点C到达变速点B时，点P所运动到的位置可求，然后再根据相遇问题进行求解，最后在利用数轴求解即可； （3）由（1）（2）及题意可分：①当时，②当时，③当点Q的速度变为3单位/秒时，即，④当点Q和点P都过了“变速区”，即，然后根据数轴两点距离及线段的和差关系进行列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴A、C两点距离为：； 故答案为9，20，32； （2）①由题意可分：当点P从A运动到O和从B运动到C时，所需时间为：， 点P从点O到点B属于变速区，所以速度为2÷2=1单位/秒，此时所需时间为9÷1=9s， ∴点P从点A到点C的时间为：； ②当点C到达变速点B时，所需时间为11÷1=11s，此时点P运动的路程为：，即在数轴上所表示的数为5，此时点Q的速度为1×3=3单位/秒， ∴， ∴5+1×1=6， ∴相遇点所表示的数为6； （3）由（1）（2）及题意可分： ①当时，如图所示： 则有AB=21，AP=2t，PB=21-2t，BC=11，BQ=11-t， ∵BP=BQ， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； ②当时，如图所示： ∵点P的速度为1单位/秒，Q速度不变， ∴，BQ=11-t， ∵PB=BQ， ∴，方程无解； ③当点Q的速度变为3单位/秒时，即，如图所示： ∴PB=15-t，， ∵PB=BQ， ∴， 解得t=12， ④当点Q和点P都过了“变速区”，即，如图所示： ∴，， ∵PB=BQ， ∴， 解得：； 综上所述：当t=12或25时，点P、Q到点B的距离相等； 故答案为12或25． 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法，熟练掌握数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法是解题的关键． 31．已知点、、在数轴上对应的数为、、． (1)如图①，动点从点以每秒个单位的速度向数轴的正方向运动，到达点时方向不变，速度变为每秒个单位；动点从点开始以每秒个单位的速度向数轴的负方向运动，到达点时方向不变，速度变为每秒个单位，点、点两点同时开始运动． ①当运动秒时，点与点相遇； ②当点与点的距离是时，请求出运动的时间． (2)如图②，线段的长度为（点在点左侧），线段的长度为（点在点右侧）．若从点出发（运动后为），以每秒个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，同时从点出发（运动后为），以每秒个单位的速度沿着数轴的负方向运动；当点运动到点时，线段立即以原来速度的倍继续沿数轴正方向运动，当点运动到点时，线段变为原速继续向正方向运动，当点与点重合时运动停止；当点运动到点时，线段的速度变为原来的，当点运动到点时，线段变为原速返回至初始位置停止运动．设出发的时间为秒，在整个运动过程中，是否存在时间使两条线段重叠部分的长度为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)或或或或 【分析】（1）①先求得秒后，点表示的数是，点表示的数是，进而设秒后相遇，则点表示的数为，点表示的数为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； ②根据点与点的距离是时，分相遇前与相遇后列出方程，即可求解； （2）根据题意分析得出线段在运动过程中，、点表示的数，线段在运动过程中，、点表示的数，列出代数式，进而分三种情况讨论，当线段，在相向运动时，当返回时，追及过程中，当停止时，结合数轴，根据两条线段重叠部分的长度为，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①根据图①可得，点表示的是，点、、在数轴上对应的数为、、 ∴， 当到达点时，所用时间为秒， 当到达点时，所用时间为秒，当继续运动秒，此时点表示的数为， ∴秒后，点表示的数是，点表示的数是， ∵ ∴相遇在之间， 设秒后相遇，则点表示的数为，点表示的数为 ∴ 解得：； ②设点与点的距离是时，运动的时间为， ∴或 解得：或； （2）解：∵线段的长度为（点在点左侧），线段的长度为（点在点右侧）．点、、在数轴上对应的数为、、． ∴表示的数是，点表示的数是 当到达点时，所用时间为秒， 当点运动到点时，所用时间为秒 当点与点重合时，所用时间为秒， 线段在运动过程中，依题意， ①当时，点表示的数为，点表示的数为 ②当时，点表示的数为，点表示的数为 ③当时，点表示的数为，点表示的数为 当点运动到点时，所用时间为秒， 当点运动到点时，所用时间为秒， 当变为原速返回至初始位置，所用时间为：秒， 线段在运动过程中，依题意， ①当时，点表示的数为，点表示的数为 ②当时，点表示的数为，点表示的数为 ③当时，点表示的数为，点表示的数为 当线段，在相向运动时，当时两条线段重叠部分的长度为，即或 则或 解得：或； 当返回时，追及过程中，则或 即时，则或 解得：或 当停止时，即时，线段继续运动， 则， 解得：， 综上所述，或或或或． 【点睛】本题考查了数轴上动点问题，一元一次方程的应用，分类讨论求得动点表示的数是解题的关键． 32．如图，数轴上有，两个点对应的数分别为，，动点从点开始以个单位长度/秒的速度向右移动秒后，速度变为原来的一半继续向右再移动秒后以个单位长度/秒的速度向左移动，点从点开始以个单位长度/秒的速度向左移动秒后，速度变为个单位长度/秒继续向左移动（其中，均为正整数）． (1)当时，求的长； (2)若，，则当为何值时，？ (3)若，两点在运动过程中有两次相遇，且第二次相遇时，求的值． 【答案】(1) (2)当或时， (3)的值为或或或． 【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离及一元一次方程的应用，正确表示各时间段，点、表示的数，是解题关键． （1）根据，得出点、的数，即可求出的长； （2）根据，，分、、三个时间段，分别表示出点、表示的数，根据，列方程求出值，即可得答案； （3）根据两次相遇得出第一次相遇时，点向右运动，点向左运动，第二次相遇时，点向左运动，点向左运动，根据，得出第二次相遇时，点表示的数是，点表示的数是，得出，根据，均为正整数即可得出的值． 【详解】（1）解：∵点以个单位长度/秒的速度向右移动秒，点以个单位长度/秒的速度向左移动秒， ∴时，点表示的数为，点表示的数为， ∴． （2）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， ∵ ∴当时，不符合题意； ∵， ∴点以个单位长度/秒的速度向右移动秒，点以个单位长度/秒的速度向左移动秒， ∴当时，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴点以个单位长度/秒的速度从开始，向左移动， ∴当时，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得：或（舍去）． 综上所述：当或时，． （3）解：∵，两点在运动过程中有两次相遇， ∴第一次相遇时，点向右运动，点向左运动，第二次相遇时，点向左运动，点向左运动， ∵第二次相遇时， ∴，即，此时，点向左运动，点向左运动， ∴点表示的数为， 当时，点表示的数为， ∴，即， ∵、为正整数， ∴时，；时，；时，；时，． 综上所述：的值为或或或． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $