第3章圆 阶段测试卷(3.1～3.4) 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦圆的核心性质，通过输水管道截面测量（解答13）、动点外接圆半径（选择5）等问题，分层考查几何直观、推理能力与模型意识，适配周测学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/24|四点共圆（正方形）、垂径定理、动态几何|第5题结合等边三角形动态变化，考查外接圆半径最小值，培养空间观念| |填空题|6/24|圆心角、外心性质、翻折变换|第12题通过劣弧翻折求角度，强化几何直观与推理意识| |解答题|5/52|实际应用、分类讨论、探究推理|第17题分层探究圆内外点与角的关系，第13题解决管道半径测量问题，发展创新意识与模型观念|

第3章圆 阶段测试卷(3.1~3.4) 考试时间：60分钟 满分：100分 成绩：________ 一、选择题(每小题4分，共24分) 1.下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是（ ） A.菱形 B.正方形 C.平行四边形 D.梯形 2.如图，为的弦，连接.若，则的度数为（ ） A. B.45° C.50° D.55° 3.如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接.若，，则的长为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，在半径为3的中，是直径，是弦，是的中点，连接交于点，连接.若是的中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 5.如图，线段，为线段上的一个动点，分别以，为边作等边三角形和等边三角形，连接外接于，则半径的最小值为（ ） A.6 B. C. D.3 6.如图，的半径为5，四边形ABCD的四个顶点都在上，位于圆心的两侧)，，将分别沿翻折得到为上一点，过点作交于点，则的长的最小值为（ ） A.4 B. C. D. 二、填空题(每小题4分，共24分) 7.如图，是的直径，是的弦.若，，则________. 8.已知的直径是的弦，，垂足为，且，则的长为________cm. 9.如图，是的内接三角形.若，，则. 10.如图，的半径等于，是直径，，是上的两点，且，则四边形的面积等于________. 11.如图，是的外心，，分别是的中点，连接，交于，两点.若，则的面积为________. 12.如图，在中，为直径，为上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接.若点与圆心不重合，，则的度数为________. 三、解答题(共52分) 13.(10分)某圆柱形输水管道破裂，为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图所示为水平放置的破裂输水管道中有水部分的截面. (1) 用无刻度的直尺和圆规补全这根输水管道的圆形截面(不写作法，保留作图痕迹)； (2) 若这根输水管道有水部分的水面宽，水面到最深地方的高度为，求这个圆形截面的半径. 14.(10分)如图，四边形的顶点都在半圆上，是半圆的直径，连接，. (1) 求证：； (2) 若，求的长. 15.(10分)一个平面内有四个点.如果过其中任意三个点作圆，那么这四个点可以确定多少个圆? 16.(10分)小明在完成作业“如图①，，，是的三等分点，弦分别交，于，两点，连接，求证：”的基础上，做了如下尝试：“把改为，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图②，，，是的三等分点，弦分别交于两点，连接，求证：”.请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程. 17.(12分)“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： (1) 如图①，，，三点在上，点在外部，线段，与分别交于，两点，试猜想(填“>””《＜”或“=”)，并证明你的猜想； (2) 如图②，，，三点在上，点在内部，此时(1) 中的猜想还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的猜想并予以证明； (3) 如图③，在四边形中，对角线的长为，，则四边形面积的最大值是________. 答案 1.B 2.C 3.B 4.D 解析：如图，连接交于点，连接.因为为的中点，所以，即.又，所以垂直平分.所以为的中点，且.又为的直径，所以，即.因为为的中点，所以.又，所以(AAS).所以.因为为的中点，所以为的中位线，即.所以.又，所以.在Rt中，由勾股定理，得. 5.B 解析：分别作与的平分线，交点为.因为和都是等边三角形，所以与分别为的垂直平分线，，即.所以.由题意，得圆心在的垂直平分线上，所以交点与圆心重合.连接，若半径最短，则.因为，所以.在中，，由勾股定理，得，所以，即(负值已舍去).则半径的最小值为. 6.A 解析：如图，作等圆，易得与关于直线对称，与关于直线对称，连接，则.令为与的交点，为与的交点，则为弦的中点，为弦的中点.所以.连接，并延长交的延长线于点T.因为，所以.所以(AAS).所以.所以为的中点.又，所以.又，所以，即7.在中，为的中点，为的中点，所以.连接.又的半径为5，则.又，所以.则的长的最小值为4. 7. 8. 或 解析：连接.因为，所以，即两点不重合.在中，由勾股定理，得.当时，.在中，由勾股定理，得；当时，，在中，由勾股定理，得.综上，的长为或. 9. 40 解析：连接.因为，所以.又，所以.所以.又，所以.所以. 10. 解析：连接.因为，所以.又，所以.又的半径等于，所以，即和都是等边三角形.所以，即.所以，即.过点作于点，则.在中，由勾股定理，得.所以四边形的面积为. 11. 24 解析：连接.因为是的外心，所以.又是的中点，是的中点，所以，即是的垂直平分线，是的垂直平分线.所以.又，所以，即.所以，即.所以的面积为. 12. 40° 解析：如图，作点关于直线的对称点，则点在上.连接.因为是的直径，所以，即.因为，所以.由翻折的性质，得.因为四边形为的内接四边形，所以.又，所以.所以. 13.(1) 如图，即为所作圆形截面. (2) 如图，由作图，得于点，交于点，连接.因为，所以.由题意，得.设这个圆形截面的半径为，则.所以.在中，由勾股定理，得，所以，解得.所以这个圆形截面的半径为. 14.(1) 因为，且，所以，即. (2) 连接，交于点.因为是半圆的直径，所以.由(1) ，得，所以，即.所以，即是的中点.又是的中点，所以是的中位线，即.又2，所以.设，则.在中，由勾股定理，得.在Rt中，，由勾股定理，得，所以，解得(不符合题意，舍去).所以，即. 15.分四种情况讨论： ①当四个点在同一条直线上时，能确定0个圆，如图①； ②当四个点中有三个点在同一条直线上，另外一点不在这条直线上时，可以确定3个圆，如图②； ③当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，且它们共圆时，只能确定1个圆，如图③； ④当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，且四个点不共圆时，任意三个点都确定1个圆，一共可以确定4个圆，如图④.综上，这四个点可以确定0或1或3或4个圆. 16.尝试：如图，连接.因为在中，是的三等分点，所以，即.因为，所以.所以.因为，所以.同理，得.所以，即.同理，得.所以. 猜想：连接.因为在中，是的三等分点，所以，即.因为，所以，即.所以，即.同理，得.所以. 17.(1) ＜ 证明如下：连接.因为四边形为的内接四边形，所以.因为，所以，即. (2) 此时(1)中的猜想不成立，正确结论为.证明如下：延长交于点，连接，则四边形是的内接四边形.所以.因为，所以，即. (3) 36 解析：因为，，所以.所以四边形四点共圆.如图①，过点作于点，过点作于点，则四边形的面积为所以当四点共线且为的直径时，的值最大，如图②.又，为定值，所以此时四边形的面积最大.连接，OD.因为，所以.又，所以为等边三角形.所以.所以.则四边形面积的最大值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $