第三章 圆能力提升自测卷-2026-2027学年苏科版 九年级数学上册《知识解读·题型专练》

第三章 圆能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各图中的角，其中为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角的定义，可以判断哪个选项是正确的． 【详解】解：∵顶点在圆上，角的两条边都与圆相交的角叫做圆周角， ∴选项A、C、D中的角不是圆周角，选项B中的角是圆周角． 2．如图，是的直径，于，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用垂径定理即可得到答案． 【详解】解： 是的直径，于， ， ， ． 3．如图，，是的两条弦，如果，那么与的数量关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】连接，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴． 4．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 5．如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理求出的度数，最后在中利用直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ． 6．团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为，扇柄所在直线经过圆心，她过扇柄端点作，分别与相切于点，，得到．若的半径为，，则小红想要装饰的的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，确定，得出，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，分别与相切于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴的长为：． 7．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 8．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，作于点，取上的球心，连接，设，在中利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图，取的中点，作于点， ∵是的中点，于点， ∴经过球心， ∴取上的球心，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴在直角三角形中，，即， 解得：， ∴球的半径为． 9．如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（  ） A．1 B． C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】连接圆心与三角形三个顶点，将大三角形分割为三个小三角形，利用三角形面积公式（其中为周长，为内切圆半径）建立等量关系求解． 【详解】解：设的半径为， 连接， ∵是的内切圆， ∴点到的距离都等于， ∴ ， ∵的周长为8，面积为4， ∴， 解得． 10．如图，正方形的边长为，分别以，为圆心，半径为作弧和，两处阴影部分面积分别记为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减及扇形面积的计算．过点作，交、于点、，连接，可知、，从而可得，根据扇形的面积公式和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如下图所示，过点作，交、于点、，连接， 四边形为正方形， ，，， ，， 设，则， ，， ． 故选：A ． 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，为的直径，，则的度数为____________． 【答案】/62度 【分析】先利用等弧所对的弦的性质得出垂直平分，再结合圆周角定理和直角三角形的角度关系求解的度数． 【详解】解：∵，为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_____________． 【答案】 【分析】根据点、的坐标特征确定线段的垂直平分线，设出圆心坐标，利用圆心到点、的距离相等建立方程求出圆心纵坐标，最后利用两点间距离公式计算半径即可． 【详解】解：点，的纵坐标相同， 线段平行于轴，且中点横坐标为， 线段的垂直平分线为直线， 的外接圆圆心在线段的垂直平分线上， 设外接圆圆心坐标为， 点到点、的距离相等，且， ， ， ， ， ， ， ， 外接圆圆心坐标为， 外接圆半径． 13．用半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____________． 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，设未知数列方程求解． 【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径为，已知扇形半径为，圆心角为， 根据扇形弧长公式计算弧长得， ∵ 圆锥侧面展开后，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴ 可得方程 ， 解得 ． 14．在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】连接，得出，点D在以为直径的圆上运动，当点D在与的交点处时，最短，求出，进而求出结论． 【详解】解：连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∴点D在以为直径的上运动，当点D在与的交点处时，最短，如图所示， ， ， ， ， ， ∴的最小值为2． 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知：如图，、是的两条直径，、分别是、的中点，连接、．求证：． 【答案】证明：∵、是的两条直径， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】由圆的性质得到，再证明，进一步证明，则可证明． 【详解】略 16．如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明：∵点、、在上，于点， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴． (2) 【分析】（1）由垂径定理，结合三角形中位线的性质，即可证得结论； （2）由直径所对的圆周角为直角，可得，由垂径定理可得，根据勾股定理可得，从而可得，，根据勾股定理可得，从而可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵点在圆上，是的直径， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．已知是的直径， C是圆外一点，直线交于点， ， 不重合， 平分交于点E，过E作，垂足为F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，的直径为，求． 【答案】(1)解：与相切，理由如下： 如图所示，连接， ， ， 平分交于点E， ， ， ， ， ， ， 为半径， 与相切； (2) 【分析】（1）连接，由角平分线的定义及等腰三角形的性质得到，再由平行线的性质得到为，从而得到与相切； （2）过点作于点，结合上一问可得四边形为矩形，设，，由勾股定理列方程可求出的长，再由垂径定理即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点， ， 四边形为矩形， ，， ， ， 设，，， ， ， 解得（舍去）， ， ， ． 18．光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，． (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别求劣的长与劣的长，进而即可求解； （2）分别求出小扇形和小扇形的面积，进而即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，劣的长， 劣的长， ∴花边的长度为； （2）解：由题意得，， ， ∴ ． 19．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 20．图1是某段木材放在水平地面上的横截面示意图，它由弦与围成，弦与的中点分别为点，点为水平地面，测得． (1)在图1中用尺规作图确定所在圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图上求圆的半径； (3)如图2，转动木材使其横截面与地面相切于点，当点为中点时，求点到地面的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交的延长线于点O，即可； （2）连接，设圆的半径为，则，，根据垂径定理可得，，然后根据勾股定理解答即可； （3）连接，，设与交于点，根据垂径定理可得，再由勾股定理可得，根据点E为的中点，可得，，进而得到，再根据切线的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求点； （2）解：连接，如图， 设圆的半径为，则，， 为的中点，， ，， ， ， 解得， 圆的半径为； （3）解：如图，连接，，设与交于点， 为的中点， ， 为的中点， ，， 圆与相切于点， ， 又， ， 点到地面的距离为． 21．将边长为2的正方形与边长为的正方形按图1位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上． (1)探究与的数量与位置关系，并证明你的结论； (2)如图2，将正方形绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段上时，求此时四边形的面积． (3)如图3，若将正方形绕点A继续逆时针旋转，线段与线段将相交，交点为H，直接写出与面积之和的最大值． 【答案】(1)，，理由如下： 如图1，延长交于点H， 四边形与四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； (2)6 (3)6 【分析】（1）根据旋转的性质说明，再由全等三角形的边角关系即可求解； （2）先证明，故可得，根据三角形面积之间的关系用割补法表示出四边形的面积即可； （3）由（2）可知，，故在旋转过程中，，则点H是以为直径的圆和以为直径的圆的交点，要使两个三角形的面积最大，即高最大即可，故可得当点H与点A重合时，面积之和最大． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，与交于点M， 四边形与四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 正方形的边长为2， ， ， ， ， 正方形的边长为， ， ． 即四边形的面积为6． （3）解：由（2）可知，在旋转过程中， ， ， ， 点H是以为直径的圆和以为直径的圆的交点， 如图3所示： 当点H与点A重合时，与的高最大，即面积最大， 如图4所示： 此时，，， 与面积之和的最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各图中的角，其中为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，于，，则为（     ） A． B． C． D． 3．如图，，是的两条弦，如果，那么与的数量关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 4．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 5．如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为，扇柄所在直线经过圆心，她过扇柄端点作，分别与相切于点，，得到．若的半径为，，则小红想要装饰的的长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（     ）． A． B． C． D． 9．如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（  ） A．1 B． C．1.5 D．2 10．如图，正方形的边长为，分别以，为圆心，半径为作弧和，两处阴影部分面积分别记为，，则（   ） A． B． C． D． 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，为的直径，，则的度数为____________． 12．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_____________． 13．用半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____________． 14．在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为_____________． 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知：如图，、是的两条直径，、分别是、的中点，连接、．求证：． 16．如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 17．已知是的直径， C是圆外一点，直线交于点， ， 不重合， 平分交于点E，过E作，垂足为F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，的直径为，求． 18．光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，． (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留） 19．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 20．图1是某段木材放在水平地面上的横截面示意图，它由弦与围成，弦与的中点分别为点，点为水平地面，测得． (1)在图1中用尺规作图确定所在圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图上求圆的半径； (3)如图2，转动木材使其横截面与地面相切于点，当点为中点时，求点到地面的距离． 21．将边长为2的正方形与边长为的正方形按图1位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上． (1)探究与的数量与位置关系，并证明你的结论； (2)如图2，将正方形绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段上时，求此时四边形的面积． (3)如图3，若将正方形绕点A继续逆时针旋转，线段与线段将相交，交点为H，直接写出与面积之和的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $