第二十一章 一元二次方程（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪教版五四制八年级上册

第二十一章一元二次方程（高效培优单元自测·提升卷) 参考答案 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B D D D 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分) 7.3x2-2x+7=0 9.4 10.21 11. tso 4 12.-1 13. 3(x+1)(x-2) 14. 3y2-6y-1=0 15.40% 16.20% 17.6 18.=1+5或- 三、解答题（本大题共7小题，1921每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分) 19.(1)解：x2+4x-2=0 x2+4x=2 x2+4x+22=2+22 (x+22=6 答案第1页（共2页） x+2=±v6 x=-2+V6为=-2-V6 3分 (2)解：(x-3=2(x-3) (x-3)}-2(x-3)=0 (x-3)(x-3-2)=0 (x-3)(x-5)=0 x-3=0或x-5=0 x=3x2=5 …6分 20.(1)解：(x-x°-5(x2-x+6=0. 设少2x 2-5y+6=0 则原方程为 :0-20y-3)=0 解得y=2或3， 当y=2时，x2-x=2,即x2-x-2=0, :(x-2x+)=0 解得=25-1 当y=3时，x2-x=3, - 解程与店 2, 名1店 2 答案第2页（共2页） 综上方程的根为=2，专=】，与=+飞1上丽 x4= 2， 2;…3分 x+12x2 1 (2)解：x2x+1, 设少s+1 x2, 2 则原方程为y- 2=1 整理，得-少-2=0 :0-20y+1)=0 解得y=2或-1， 当y=2时，y≠0，分式有意义， x+1 此时=2， 整理，得2x2-x-1=0, :(2x+10x-1）=0 解得x=1,戈=-}」 2 当x=1或一2时，原分式均有意义， 1 ∴x=1,=2是原方程的解： 当y=1时，y≠0，分式有意义， a时华1 整理，得x2+x+1=0, 答案第3页（共2页） .△=12-4=-3<0， 该方程无实数根， 1 综上，方程的根为x=1,=一2,6分 21.(1) 证明：一元=次方程为-(2+)x+-2=0,其中a1,6=-(2k+》.e=-2。 .△=b2-4ac =-[2k+-4x1x2-2 =4k2+4k+1-2k2+8 =2k2+4k+9 =2(k+1)2+7 ·2k+2≥0 2(k+1)2+7≥7>0 △>0 ，即 。无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根；…3分 2)解：由根与系数的关系得x+:=2k+,5)2 .+3=2x52+5 2张1=2-2小+5 整理得k2-2k=0, 解得4=0飞=2 :无论k取何值方程均有两个实数根， .k的值为0或2.…6分 22.(1)解：设商场对A商品平均每次降价的百分率为x, 答案第4页（共2页） 由题意得： 200(1-x2=162 解得：方=0.1=10%=1.9 (舍去). 答：商场对A商品平均每次降价的百分率为10%.4分 (2)解：设这天商场在每件150元的基础上降价y元， 由题意得： (150-120-y)10+2y)=50 0,解得：片=20，h=5 为了尽快销售完这批商品， ∴y=20 150-20=130(元) 答：这天商场对A商品售价为130元.…8分 23.(1)解：x2-8x+15=0 (x-3)(x-5)=0 x-3=0或x-5=0 x=3x2=5 所以： ∴x2=2x-1 所以x2-8x+15=0是和谐方程： (x-32=25 x-3=+5 x-3=-5或x-3=5, 所以：=2书=8 .x2≠2x-1 所以：(x-3=25不是和谐方程： x2+2x+1=0 答案第5页（共2页） (x+1)}2=0 .x=x2=-1 ∴.x2≠2x-1 所以：x2+2x+1=0不是和谐方程；…2分 (2) mx2-(2m+3)x+6=0 (x-2)(mx-3)=0 x-2=0或mx-3=0, 3 =4-1, 若x=2,为=m,根据和谐方程的定义，可得：m 解得：m=1; 3 若5=m,,=2,根据和谐方程的定义，可得：2=61， m 解得：m=2; 综上所述，的值为1或2；…4分 (3)设方程+r+c=0两根为≤5， 。x2=2x-1 ,且 根根与系数的关系，可以得：名+与=83兴-1,5日=2-)。 a 4 a=b+2,a+c= 3 4 b=a-2,c=3a, 将b=a-2代入a b=3x1得： 将0=号0代后2-得：2c-小名- 4 号4小名名小品 2 4 解得：4=3,4= 3 答案第6页（共2页） 当a=,6=c-号， 2 3 方程为-+号 -x+二=0 3 解得x=为，=1，满足x=2x-1、=,符合题意 当a=3时，b=-3 4 3’c=0￥ 方程为-号 x=0 1 解得x=0,名=2，不满足x2=2x-1,不符合题意，舍去： 综上所述，a=子.6=-4 2 3， 3,c 3:…8分 24.(1)解：设a2+b2=1,原方程转化为-41-12=0， 解得1=65=-2 当1=6时，a2+b2=6: 当t=-2时，a2+b2=-2不成立，舍去， 综上所述，a2+b2的值为6；…4分 1 (2)解：设x=t,原方程转化为1-V+1=0, ..t=Vt+1 两边平方得=1+1， 粥霜15与-1上5 2， 2, 当5.1152.5 2时，x2, 1+52: 所上50m20 ,而Vx ,原方程不成立，舍去， 答案第7页（共2页） 综上所述，原方程的解是三51 2,…8分 D 25.(1)解：的中点表示的数是p, :p=5m5 222, 5 故答案为：2；…2分 (2)解：p=+3 2 .x+x2=2p +5=m m=-2p: 由题意得片-=2 :x-x=V(x+x)2-4x2=V-m)2-4n=V(2p)2-4n=V4p2-4n=2. ,4p2-4n=4 .n=p2-1 ;…5分 (3)解：当 3=2时，n=p-1=C(为正整数)， 当9=8际4=r-得- (d为正整数，且d<c), .两式相减得c2-d2-15, 即(c+d)(c-d)=15 答案第8页（共2页） [c+d=15 c+d=5 .c-d=1或c-d=3 G=892=4 解得d=7或d=1, :p=72+4=65p2=1+4=17 或” A=65,h=6.A=7P,=-7 即PB的中点表示的数是65或V65或N下或 …10分 答案第9页（共2页） 第二十一章 一元二次方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A、未知数的最高次数为1，是一元一次方程，故不符合题意； B、是整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，是一元二次方程，故符合题意； C、不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故不符合题意； D、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，故不符合题意． 2．用直接开平方法解方程，下列结果正确的是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：由， 得或， 所以或． 3．为了解决老百姓看病难的问题，卫生部门决定下调药品的价格．某种药品经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元，这种药品平均每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两次连续降价后的价格等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 则这种药品平均每次降价的百分率为． 4．若是方程 的一个根，则的值为（     ） A．18 B．20 C．21 D．22 【答案】D 【分析】利用方程根的定义，将所求代数式通过方程变形降次，逐步化简计算． 【详解】解：是方程的根， ，且， ，， 将等式两边同时除以m得，， 则， 原式． 5．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长为（     ） A．9 B．10 C．9或12 D．12 【答案】D 【分析】先解方程求得两根，再讨论等腰三角形的腰与底，结合三角形三边关系计算周长即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，； 当腰长为，底边长为时，由，满足三角形三边关系，故周长为； 当腰长为，底边长为时，由，不满足三角形三边关系，舍去． 6．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】先根据题目分别找出，，，再计算并判断正负并求出的取值范围，进而计算并求出最大值． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，t最大，． 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．将一元二次方程化成一般形式为__________． 【答案】 【分析】一元二次方程的一般形式为（，，为常数且），将原方程移项整理即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为 ， ∴将所有项移到等号左侧，整理得 ， 即该一元二次方程的一般形式为 ． 8．若关于的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为________ 【答案】 【分析】设方程的另一个根为m，根据根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵是方程的根， ∴， 解得， ∴该方程的另一个根为． 9．若m、n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】4 【详解】解：由根与系数的关系，得，， 所以． 10．设、是方程的两个实数根，则________． 【答案】21 【分析】首先根据根与系数的关系得到，，然后将原式利用完全平方公式变形后代入求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 11．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有实数根的条件，得到根的判别式，列出不等式求解即可得到的取值范围 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，整理得，解得 12．在解关于的一元二次方程时，佳佳将二次项系数“”看成了“1”，得到方程有两个相等的实数根，则原方程的两根之积为___． 【答案】 【分析】先根据看错二次项系数后的方程有两个相等实数根求出的值，再代入原方程，利用根与系数的关系计算原方程的两根之积． 【详解】解：∵佳佳将原方程二次项系数错看成，得到看错后的方程，且该方程有两个相等的实数根， ∴判别式， 整理得， 解得， 将代入原方程，得原方程为， ∴两根之积为． 13．若一元二次方程的两个实数根为和，则二次三项式可以因式分解为________． 【答案】 【分析】已知一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求出和，再对二次三项式因式分解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为和， ∴，， 解得，， ∴． 14．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是_________． 【答案】 【分析】用表示出原方程的所有项，再去分母整理即可得到关于的整式方程． 【详解】解：设， 则， 原方程可化为， 方程两边同乘去分母，得， 整理得． ∴原方程可化为关于y的整式方程是． 15．某公司5月份的营业额为万，7月份的营业额为万，已知月到月每月的增长率相同，则增长率为______． 【答案】 【分析】设增长率为，根据月份和月份的营业额列出关于的一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根后即可得到结果． 【详解】解：设增长率为， 根据题意得， 解得，（不合题意，舍去）， 即增长率为． 16．随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零部件4月份生产5000个，6月份生产7200个．求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为___________． 【答案】 【分析】设该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为，根据4月和6月的产量列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 即该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为． 17．若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足等式，则所有满足条件的整数的值之和是___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式、二次根式有意义的条件得出的取值范围，据此解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴这个方程根的判别式，且， 解得且， ∵， ∴， 解得， ∴且， ∴所有满足条件的整数的值是，，，，，， ∴所有满足条件的整数的值之和是． 18．对于两个不相等的实数a、b，我们规定：符号表示a、b中的较大数，如：．按照这个规定，方程 的解为____________． 【答案】或 【分析】根据新定义表示两数中较大的数，分、两种情况讨论，去掉符号转化为分式方程求解，检验并舍去不符合范围的根． 【详解】解：①当时，， ， ， ， ∴， ， ； ②当时，， ， ， ， ， ∴； 综上，方程的解为或． 三、解答题（本大题共7小题，19题-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ，； （2）解： 或 ，． 20．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1), , , (2), 【分析】（1）利用换元法将看作，用因式分解求出的值，再求解关于的方程即可； （2）利用换元法将看作，则原方程为，可转化为一元二次方程，求解出的值，再求解关于的方程即可． 【详解】（1）解：， 设， 则原方程为， ∴， 解得或， 当时，，即， ∴， 解得， ； 当时，， ∴， 解得， ； 综上，方程的根为， ， ， ； （2）解：， 设， 则原方程为， 整理，得， ∴， 解得或， 当时，，分式有意义， 此时， 整理，得， ∴， 解得， ， 当或时，原分式均有意义， ∴， 是原方程的解； 当时，，分式有意义， 此时， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数根， 综上，方程的根为， ． 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)如果方程的两个实数根为，满足，求的值． 【答案】(1) 证明：∵一元二次方程为，其中，，， ∴ ∵ ， ∴ ，即， ∴ 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的判别式，配方后证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系表示出两根和与两根积，代入已知等式求解. 【详解】（1）略 （2）解：由根与系数的关系得，， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∵ 无论取何值方程均有两个实数根， ∴的值为或. 22．某商场在今年国庆期间进行促销活动，商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元． (1)国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对商品平均每次降价的百分率是多少？ (2)国庆节过后，该商场商品再次降价销售，已知售价降为每件150元时，每天可售出10件，经市场调研发现，商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件．商场某天销售商品想要获利500元，同时为了尽快将库存全部清仓，则这天该商场商品每件售价应定为多少元？ 【答案】(1)商场对商品平均每次降价的百分率为． (2)130元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意、找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设商场对商品平均每次降价的百分率为x，再根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设这天商场在每件150元的基础上降价y元，根据“商场某天销售商品共获利500元”列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设商场对商品平均每次降价的百分率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去）． 答：商场对商品平均每次降价的百分率为． （2）解：设这天商场在每件150元的基础上降价y元， 由题意得：，解得：， ∵为了尽快销售完这批商品， ∴． （元） 答：这天商场对A商品售价为130元． 23．定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，那么称这样的方程为“和谐方程”．例如，方程的两个根是4和7，则这个方程就是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 （填序号） ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，若，，求a、b、c的值． 【答案】(1) ① (2) 的值为或 (3) ，， 【分析】（1）解一元二次方程，得出两个实数根的值，检查是否成立即可； （2）用因式分解法解方程，得出两根分别为2、，进行分类讨论，按照和谐方程的定义解出m的值； （3）将代入到根与系数的关系得到：，，用含a的代数式表示出，将、代入得到，求出a的值，利用已知条件求出b、c的值． 【详解】（1）解： 或 所以：， ， 所以是和谐方程； 或， 所以：， ， 所以：不是和谐方程； 所以：不是和谐方程； （2） 或， 若，，根据和谐方程的定义，可得：， 解得：； 若，，根据和谐方程的定义，可得：， 解得：； 综上所述，m的值为1或2； （3）设方程两根为，且， 根据根与系数的关系，可以得：，， ，， ，， 将代入得：， 将代入得：， 将代入得：， 解得：， 当时，，， 方程为， 解得，满足、，符合题意； 当时，，， 方程为， 解得，，不满足，不符合题意，舍去； 综上所述，，，． 【点睛】本题属于新定义型问题，主要考查一元二次方程的解法和根与系数的关系的综合应用． 24．阅读下面的例题，解决问题． 例：解方程． 解：， ∴原方程可化为． 设，原方程转化为， 解得，． 当时，，，； 当时，不成立，舍去． 综上所述，原方程的解是，． 以上解方程的过程中，将看成一个整体，设为一个新未知数t，从而将原方程化为关于t的一元二次方程，这种方法叫作“换元法”（“元”即未知数）． (1)已知方程，用换元法求的值． (2)仿照上述方法，解方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据换元法，设，将原方程转化为关于t的一元二次方程，求解检验即可； （2）根据换元法解方程即可． 【详解】（1）解：设，原方程转化为， 解得，． 当时，； 当时，不成立，舍去， 综上所述，的值为； （2）解：设，原方程转化为， ，两边平方得， 解得，， 当时，，； 当时，，而，原方程不成立，舍去， 综上所述，原方程的解是． 25．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． (1)当时，_____________； (2)根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） (3)如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式变形求值，因式分解的应用，求一个数的平方根等知识点． （1）根据数轴上中点坐标公式求解； （2）根据，即可表示；由题意得，再由代入化简即可； （3）当时，（为正整数），则当时，（为正整数，且），则 ，即，再分类讨论求解． 【详解】（1）解：∵的中点表示的数是p， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； 由题意得， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，（为正整数）， 当时，（为正整数，且）， ∴ 两式相减得， 即． ∴ 或 解得或， ∴或 ∴ ，，，， 即的中点表示的数是或或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 一元二次方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．用直接开平方法解方程，下列结果正确的是（     ） A． B． C．或 D．或 3．为了解决老百姓看病难的问题，卫生部门决定下调药品的价格．某种药品经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元，这种药品平均每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 4．若是方程 的一个根，则的值为（     ） A．18 B．20 C．21 D．22 5．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长为（     ） A．9 B．10 C．9或12 D．12 6．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．将一元二次方程化成一般形式为__________． 8．若关于的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为________ 9．若m、n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 10．设、是方程的两个实数根，则________． 11．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_______． 12．在解关于的一元二次方程时，佳佳将二次项系数“”看成了“1”，得到方程有两个相等的实数根，则原方程的两根之积为___． 13．若一元二次方程的两个实数根为和，则二次三项式可以因式分解为________． 14．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是_________． 15．某公司5月份的营业额为万，7月份的营业额为万，已知月到月每月的增长率相同，则增长率为______． 16．随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零部件4月份生产5000个，6月份生产7200个．求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为___________． 17．若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足等式，则所有满足条件的整数的值之和是___________． 18．对于两个不相等的实数a、b，我们规定：符号表示a、b中的较大数，如：．按照这个规定，方程 的解为____________． 三、解答题（本大题共7小题，19题-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．解方程： (1)； (2)． 20．解方程： (1)； (2)． 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)如果方程的两个实数根为，满足，求的值． 22．某商场在今年国庆期间进行促销活动，商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元． (1)国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对商品平均每次降价的百分率是多少？ (2)国庆节过后，该商场商品再次降价销售，已知售价降为每件150元时，每天可售出10件，经市场调研发现，商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件．商场某天销售商品想要获利500元，同时为了尽快将库存全部清仓，则这天该商场商品每件售价应定为多少元？ 23．定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，那么称这样的方程为“和谐方程”．例如，方程的两个根是4和7，则这个方程就是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 （填序号） ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，若，，求a、b、c的值． 24．阅读下面的例题，解决问题． 例：解方程． 解：， ∴原方程可化为． 设，原方程转化为， 解得，． 当时，，，； 当时，不成立，舍去． 综上所述，原方程的解是，． 以上解方程的过程中，将看成一个整体，设为一个新未知数t，从而将原方程化为关于t的一元二次方程，这种方法叫作“换元法”（“元”即未知数）． (1)已知方程，用换元法求的值． (2)仿照上述方法，解方程． 25．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． (1)当时，_____________； (2)根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） (3)如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $