第14章 全等三角形 专题训练提升练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

人教版八年级数学上册第14章 全等三角形专题训练提升练（含答案） 一、解答题 1．如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． (1)若，求证：； (2)若，，求的度数． 2．如图，在和中，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 3．如图1，已知中，，；是过的一条直线，且在，的异侧，于 ，于 ． (1)试说明： ． (2)若直线绕点旋转到图位置时，其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出关系式； (3)在（2）的条件下， 当 ，时， 直接写出四边形的面积． 4．（1）【问题】如图1，平分，，，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是________________________； （2）【探究】如图2，平分，，，求证：； （3）【应用】如图3，四边形中，，，，，若，求的值． 5．如图，中，平分，且平分，于E，于F． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)如果，，求的长． 6．如图，在四边形中，，E为的中点，连接、，，延长交的延长线于点F． 求证：(1)； (2)平分； (3)． 7．如图，中，，，直线l过点，，，垂足分别是、． (1)求证：． (2)延长至，以为一边作△，使得，，连接交直线l于点． ①求证：； ②猜想并直接写出线段、、之间的数量关系． 8．如图，中，，，，点为边上的点，且．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示的长度：_____． (2)若点、的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点、的运动速度不相等，当点的运动速度是多少时，能够使与全等？ 9．在中，点D在的平分线所在的直线上．过点D作于E，作交的延长线于F，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上： (2)若，．求的长度是多少？ 10．如图，在中，，，过点C在外做直线，． (1)求证：； (2)如图1，求证； (3)如图2，若过点C在内作，，则，与之间有何关系？说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，、分别是正半轴和正半轴上的点，是第三象限内的点，已知，，点坐标为． (1)如图1，过点作轴于点，证明：． (2)如图2，若与轴交于点，证明：； (3)交轴于点，连接，如图3，证明：． 12．已知，中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当直线穿过的内部且时，请探索线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，求的面积． 13．如图①，在四边形中，，连接，且，点E在边上，连接，过点A作，垂足为F，． (1)求证：； (2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：． 14．如图，在中，，，，点为的中点，点在线段上以每秒3个单位的速度由点向点运动，同时点在线段上以每秒个单位的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示线段的长，则 ； (2)若，且时，求的值． (3)若，且与全等，求的值． 15．如图，在中，平分，E、F分别是上的点． (1)当时，求证：； (2)若，求的面积． 16．丞丞同学在物理课上知道了摆动现象是由杠杆原理，重力作用，动能与势能转换以及阻力的影响共同作用的结果．这一原理在很多领域都有应用，如摆钟，秋千等．为了对其作进一步的探究．丞丞同学自制了一个钟摆球，在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置；当丞丞推动小球时，小球从位置摆到位置，此时过点作于点，且测得点到的距离为；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点，，，在同一平面内），过点作于点，测得点到的距离为． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)求两次摆动中的点和点的高度差的长． 17．如图，在直角坐标系中，B点的坐标为，且a、b满足． (1)求B点的坐标； (2)点A为y轴上一动点，过B点作，交x轴正半轴于点C，求证：． 18．（1）【探究证明】在中，，直线经过点C，且于点D，于点E，当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：； （2）【发现探究】当直线绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）【解决问题】当直线绕点C旋转到图3的位置时，若，则的长为 ． 19．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标． 20．在中，． (1)如图①，当，为 平分线时，在上截取 ．连接，易证： ； （请直接写出结论，不用证明） (2)如图②，当，为 平分线时，模仿题（）的思路，求证：； (3)如图③，当为的外角平分线时，线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 21．如图，在 与 中， 连接，，与相交于点F，连接，与相交于点 G (1)求证： ； (2)求 的度数 22．如图，是平分线射线上一点，，是射线上一点，连接，过点作，交射线于点． (1)求证：； (2)过点作于点，交于点，若，求点到射线的距离． 23．如图，已知在中，，，为中点，点在线段上，以的速度由向运动，同时点在线段上由向运动，设运动时间为． (1)用含的式子表示的长． (2)若点与点的运动速度相等，当时，与是否全等，说明理由． (3)若点与点的运动速度不相等，要使与全等，点的速度是多少？说明理由． 24．如图，在中，，，，点为的中点，点在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动．同时点在线段上以每秒个单位的速度由点向点运动．设运动时间为（秒）． (1)线段=_____（用含的代数式表示）； (2)若点P，Q的运动速度相等，时，与是否全等，请说明理由； (3)若，求a的值． 25．如图，已知，，，，与相交于点，与相交于点O，与相交于点． (1)求证：； (2)求证： 26．如图，已知在中，，，平分，交的延长线于点． 求证：． 27．如图，在中，点为的中点，．若点在线段上以的速度从点向终点运动，同时点在线段上从点向终点运动． (1)若点的速度与点的速度相等，经后，请说明； (2)若点的速度与点的速度不相等，当点的速度为多少时，能够使； 28．如图，和中，，，，边与边交于点（不与点，重合），点，在异侧，为的两条角平分线的交点． (1)求证：． (2)当时，求的取值范围． 29．如图，是一个锐角三角形，分别以为边向外作等边三角形、，连接交于点F，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：平分． 30．[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，在中，若，，求BC边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连结BE，请根据小明的方法思考： （1）根据已知和作图，图2中与全等吗？为什么？ （2）根据已知条件，写出线段的取值范围； [解题感悟]解题时，条件中出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和结论转化到一个三角形中． [问题解决]（3）如图3，是的中线，交于点F，且，试说明：． 31．如图，点是线段中点，是过点的一条线段，连接、，过点作交于． (1)若，求的长； (2)若，，求证：． 32．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； 【问题提出】（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 33．小明同学在科学课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球A可以自由摆动，如图，点A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从点A摆到点的位置，此时过点作于点，测得，． (1)如图1，当小球摆到点位置时，与恰好垂直（图中的点在同一平面内），过点作于点，求证：； (2)如图2，当小球摆到点位置时，，求出点到的距离； (3)在（2）的条件下，的延长线上有一点，且，连接交于点，求证：为的中点． 34．秋千问题 素材1：如图，乐乐在公园荡秋千的示意图，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2：秋千的转轴到地面的距离．乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点时，过点作于点．此时点到的距离． 【问题解决】当乐乐从处摆到处时，则有，过点作于点． 任务一 （1）请你直接判断与是否相等？ （2）求证：； 任务二 （3）求的长． 35．【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据 证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 36．如图1是教材90页的“综合与实践”，小涵在解决该问题时想到这样的测量方法：在陆地上取一点，使得从点能够直接走到点和点，延长到，使，再延长到，使．量出的长．那么的长便是鱼塘的宽的长．请根据小涵的方法，在图2中画出图形，并说明理由（证明）． 37．如图，点，，在同一条直线上，与都是等腰直角三角形，和都是直角，连接． (1)求证：． (2)判断和之间有怎样的位置关系，并说明理由． 38．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ． (2)如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，求证：． 39．如图，点是的外角的角平分线上任意一点（点不与点重合），点是射线上一点，且． (1)求证：； (2)判断与的大小，并说明理由． 40．如图，在四边形中，平分．过点作，垂足为点． (1)求证：； (2)探究：线段和的数量关系并证明你的结论． 41．如图，在中，是边上的高，的平分线与的平分线交于点，交于点，且． (1)求的度数： (2)求证：． 42．如图，中，，，，，的角平分线交于点，作． (1)求证：； (2)如图2，连接交于．求证： 43．综合与实践 在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“一线三等角模型”进行研究． 直接猜想：（1）如图1，在中，，，点在直线上，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．直接写出，与之间的数量关系：______． 深入探究：（2）如图2，在中，，，，三点都在直线上，且有（为任意锐角或钝角），此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 问题解决：（3）如图3，，，，连接，且于点，与直线交于点，试判断与的数量关系，并给出证明过程． 44．如图，四边形中，平分于点F，的延长线于点． (1)求证：． (2)若，请你求出的长． 45．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)则 °； (2)求证：平分； (3)若，且，则的面积为 ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第14章 全等三角形专题训练（提升练）》参考答案 1．(1)证明：∵． ， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）由可得，再证明即可解答； （2）先证明，得出，即可求出的值，进而可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 2．(1) 证明：， ∴， 即， 在和中， ， ； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平角的定义，三角形外角的性质； （1）由，得出，再利用“”即可证明； （2）由，，得出，由外角的性质得出，由全等三角形的性质得出，由外角的性质得出，可得答案. 【详解】（1）略 （2），， ∴. 是的外角， ∴. ， ∴， ∵是的外角， ∴. 3．(1) 证明：如图所示， 于 ，于 ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ，， ； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、解决本题的关键是根据直角三角形的两个锐角互余找到角之间的相等关系从而证明三角形全等． （1）根据垂直定义可知，根据直角三角形的两个锐角互余可得，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证； （2）仿照（1）可证，根据全等三角形对应边相等可证； （3）由（2）可知，利用梯形的面积公式可求四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：， 理由如下： 如图所示， 于 ，于 ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ，， ； （3）解： 当 ，时，， 四边形的面积为． 4．（1）角平分线上的点到角两边的距离相等； （2）证明：过点D作，交于E，，交延长线于F， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ． ， （3） 【分析】（1）根据角平分线的性质即可求解； （2）过点D作，交于E，，交延长线于F，先证明，即可证明 ，根据全等三角形的性质即可得证 （3）过点D作，交延长线于F，连接，证明，进而证明 ，得出，进而根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）角平分线上的点到角两边的距离相等； （2）略 （3）解：过点D作，交延长线于F，连接， ，， ， ， ， 在和中， ． ，， 在和中， ， 5．(1) 解：，理由如下： 连接，， 平分，，， ，， 且平分， ， 在与中， ， ， ； (2)7 【分析】本题考查了角平分线的性质、中垂线的性质和全等三角形的判定与性质的运用，解题关键是作辅助线构造全等三角形． （1）连接，由线段垂直平分线和角平分线的性质得到和，再根据证明，从而得到结论； （2）根据证明，从而得到，设，则，根据和得到关于的方程，解方程，从而求得AE的长度． 【详解】（1）（1）略 （2）解：在和中， ， ， ， 设，则， ，，，， ，解得：， ，． 6．(1) 证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中 ∵， ∴， ∴． (2) 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ， ， 又， ， 平分． (3) 证明：由（2）可知， ， 由（1）可知， ， 即． 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）由（1）得，得，那么． （3）由（2）可知，得出，由（1）可知，根据即可证明． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）证明：略． 7．(1) 证明：， ， ， ， ， ， ，， ， ； (2) ①证明：过作直线于，如图： 同（1）可得， ， 由（1）知， ， ，， ， ； ② 【分析】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，线段的和差等，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）证明，可得； （2）①过作直线于，同（1）可证，得，可得，即可证，从而； ②由①知，，，故，而，可得． 【详解】（1）略 （2）略 解：，理由如下： 由①知，， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ． 8．(1) (2) 解：，理由如下： ∵点、的运动速度相等， ∴， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴． (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形常用的判定定理有：、、、、，熟练掌握并灵活运用全等三角形的判定定理是解题关键． （1）根据线段的和差关系，结合点速度即可得答案； （2）根据点、的运动速度相等及得出，利用等角对等边得出，根据得出，利用即可证明； （3）根据点、的运动速度不相等可得，根据可得，，，结合点速度可求出值，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵，点在线段上以的速度由点向点运动， ∴， 故答案为： （2）略 （3）解：∵点的运动速度不相等， ∴， ∵与全等，且， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴当时，能够使与全等． 9．(1) 证明：连接，， ∵点D在的平分线所在的直线上，过点D作于E，作交的延长线于F， ， 在和中， ， ， ， ∴点D在的垂直平分线上； (2)1 【分析】（1）连接，，先由角平分线的性质就可以得出，再证明就可以得出结论； （2）由条件可以得出就可以得出，进而就可以求出结论． 【详解】（1）略 （2）解：在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查角平分线的性质的运用，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质的运用，证明三角形全等是关键． 10．(1) 证明：∵，， ∴，，， ∴． 又∵， ∴； (2) 证明：∵， ∴，． ∵， ∴； (3) ． 理由：∵，， ∴，，， ∴． 又∵， ∴， ∴，． 由图可知， ∴． 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． （1）根据题意易证，，即可由“”证明； （2）由全等三角形的性质得出，，再根据，即可证明； （3）与（1）同理可证，即得出，，再根据，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 11．(1) 证明：由题意可知， ， ， 又， 在和中， ， ， ； (2) 证明：如图2，过点分别作轴于点，轴于点， ， 则， ，， 由（1）可知， ， ， ，即点是BC的中点， ； (3) 证明：如图3，在上截取，使得， ， 在和中， ， ， ，， ，则， 由（2）可知， ， ， ． 【分析】本题考查全等三角形性质和判定，平行线判定及性质等． （1）证明，继而利用全等三角形性质可得结论； （2）过点分别作轴于点，轴于点，利用平行线性质及判定得到，，继而判定，再利用全等三角形性质即可得到本题答案； （3）在上截取，使得，证明，继而得到，即可得到本题答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 12．(1) 证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； (2) ，理由如下： ，， ， 又， ， ，， ， 即； (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积．熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，求得，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）得，，， 又， ， ， ， ，， 的面积． 13．(1) 证明：∵在四边形中，，且，点E在边上，，垂足为F，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 解：由（1）得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，进而可得，即可得证； （2）连接，证明，得出，由，可得，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 14．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据点P运动的速度和时间进行解答即可； （2）根据，得出，证明，得出，列出方程，求出即可； （3）根据，得出，由与全等，，则，，得到，，解得a的值即可． 【详解】（1）解：∵点在线段上以每秒3个单位的速度由点向点运动， ∴； （2）解：，点为的中点， ， ， ， ，， ， 又， ， ， 即， 解得； （3）解：， ， 根据题意可得：，，，， 又与全等，， ，， ，， 解得：，． 【点睛】此题考查了动点问题，用到了一元一次方程、全等三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 15．(1) 证明：如图，过D作于M，于N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)22 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，作出恰当辅助线是解题的关键． （1）过D作于M，于N，根据角平分线性质求出，根据四边形的内角和定理和平角定义求出，证明即可得解； （2）依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到，进而得出，过D作于G，依据角平分线的性质以及三角形面积公式，即可得到的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过D作于G， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 16．(1) ．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ (2)高度差的长为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关结论即可． （1）证即可求解； （2）由题意得：，根据得出，即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴两次摆动中点B和C的高度差的长为． 17．(1) (2) 证明：如图，过点作轴于点，作轴于点， ， ， ∵在和中， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，非负数的性质，坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据非负数的性质建立关于的方程组，求出的值，进而得出点的坐标； （2）过点作轴于点，作轴于点，易证，即可证明，即可解题． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴点坐标为； （2）略． 18． （1）证明：如图1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）（1）中结论不成立，结论为：．理由如下：如图2， ∵， ∴． 又∵于点D， ∴， ∴． 在和中， ， ∴； ∴， ∴，即． 故答案为：； （3））6 【分析】本题考查了几何变换综合题，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键：；在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论． （1）由垂直得，由同角的余角相等得：，因此根据可以证明，结合全等三角形的对应边相等证得结论； （2）根据全等三角形的判定定理推知，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得； （3）先同（2）的方法得出，代值即可得出结论． 【详解】解：（1）略； （2）略； （3）如图3，同（2）的方法得，， ∴， ∴ ∵， ∴． 故答案为：6． 19． 【分析】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质，解本题的关键在正确作出辅助线，并充分利用数形结合思想解答．过和分别作轴于，轴于，根据角之间的数量关系，得出，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，然后根据坐标，得出，，，再根据线段之间的数量关系，得出，，再结合图形，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过和分别作轴于，轴于， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴点的坐标是． 20．(1)， (2) 解：猜想：． 证明：如图②，在上截取， ∵为的角平分线时， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3) 猜想：． 证明：如图③，在的延长线上截取，连接． ∵平分， ∴． ∵，，， ∴． ∴，． ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定定理．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． （1）证明，则可得，，又由，，所以，即，易证，则可求得 （2）首先在上截取，连接，易证，则可得，，又由，，所以，即，易证，则可求得； （3）首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求得． 【详解】（1）证明：如图①，在上截取， ∵为的角平分线时， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）略 21．(1) 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是： （1）由，推导出，而，，即可根据“”证明； （2）根据全等三角形的性质得出，根据三角形外角的性质可得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， 又， ∴， 即． 22．(1) 证明：如图所示，在上截取， ∵射线是的角平分线， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴； (2)点到射线的距离为 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，点到直线的距离，准确识图，正确添加辅助线，熟练并灵活运用相关知识是解题的关键； （1）在上截取，证明得出，，根据已知可得，，进而得出，由等角对等边可得，等量代换即可得出； （2）过点作于点，证明，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，过点作于点， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 在和中， ∴ ∴，即点到射线的距离为 23．(1) (2) 全等，理由： ，点的运动速度与点的运动速度相等， ， ，点为的中点， ． 又，， ， ， 又， ， 在和中， ， ； (3) 理由：点的运动速度与点的运动速度不相等， 与不是对应边，即， 若，且， 则，， 点，点运动的时间， 点的运动速度； 答：当点的运动速度为时，能够使与全等． 【分析】（1）根据题意可得出答案； （2）由“”可证； （3）根据全等三角形的性质得出，，则可得出答案． 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用等知识，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键． 【详解】（1）解：∵，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动， ∴， 故答案为：． （2）略 （3）略 24．(1) (2) 解： 理由：∵点为的中点，， ∴， ∵点、的运动速度相等，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴； (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段中点的定义等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． （1）用的长度减去的长度可求； （2）根据运动时间和速度可判断出，，然后根据证明即可； （3）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解： ∵点在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动， ∴， 又， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：∵，， ∴，， ∴，， 解得：，． 25．(1) 证明：∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． ∴． (2) 证明：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在中，． ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形，掌握三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定是解决本题的关键． （1）利用说明得结论； （2）先利用全等三角形的性质说明，再利用三角形内角和定理说明得结论． 【详解】（1）略 （2）略 26． 证明：分别延长交于点F，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，理解角平分线的基本定义，熟练运用角平分线的性质构造辅助线，并且准确判定全等三角形是解题关键． 分别延长交于点F，首先结合题意推出，即可证明，从而得到，再根据平分，可证明，得到，即可证明． 【详解】略 27．(1) 证明：点的速度与点的速度相等，都是， 经1s后，， ， ， ， 点为的中点，， ， ， 在和中，， ∴； (2)点的速度为 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握三角形全等的判定定理． （1）先求得，，则可判断； （2）由得，求出点的运动时间，进而可求出点运动的速度． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 点是的中点，， ， 点的运动时间为：， 点运动的时间为， 点运动的速度是：， 当点的速度为时，能够使； 28．(1) 证明：在和中 ， （）， ， 即， ． (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形中有关角平分线的角度计算等； （1）由可判定，由全等三角形的性质，即可得证； （2）设，由三角形的外角性质得，由角平分线得，，结合三角形内角和定理，即可求解； 掌握全等三角形的判定及性质，能熟练利用三角形中有关角平分线及三角形内角和定理进行求解是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：设， 则 ， ， ， ， ， ，分别平分，， ， ， ， ， ． 29．(1) 证明：、是等边三角形， ， ∴， ； (2)； (3) 证明：如图，作于点于点N， ， ，和的面积相等， ， ， 平分． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由、 是等边三角形，易证，继而可证； （2）由，得到，进一步得到，由三角形内角和得到答案； （3）作于点于点N，证明，由，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， ∴， ； （3）略 30．（1）全等， ∵在和中， ， ∴． （2）； （3）证明：如图，延长到M，使，连接， ∵是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【分析】（1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】解：（1） 略 （2）∵由（1）知：， ∴，， ∵在中，，由三角形三边关系定理得：， ∴； （3） 略 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，掌握中线倍长模型，添加辅助线是关键． 31．(1) (2) 证明： ， 又 ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质； （1）根据，可得，证明可得； （2）可证明，根据，， ，，可证明，可得，进而可得． 【详解】（1）解：， ， 又是的中点 在和中， ， ， （2）略 32． （1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下： ，， ， ， 又， ∴， ，， ， 即． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的判定得出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论． 【详解】略 33．(1) 证明：， ， ， ， ． ，， 又， ； (2) (3) 证明：，， ， 又，， ， ， 是的中点． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质可证明，再根据全等三角形的判定，即可证明结论； （2）作直线于点，根据直角三角形的性质可证明，再根据全等三角形的判定，即可证明结论； （3）根据，，可证明，然后根据全等三角形的判定，可证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作直线于点， ，， ，， ， 又，， ， ， 点到的距离为； （3）略 34．（1）； （2）证明：∵于点E，于点O，于点D， ∴， ∴，， ∴． （3）的长为． 【分析】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由与表示相同的秋千绳，可知； （2）由于点E，于点O，于点D，得，所以，，则； （3）由，，，根据证明，则，所以的长为． 【详解】（1）解：， 理由：∵与表示相同的秋千绳， ∴； （2）略 （3）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴的长为． 35．（1）； （2）； （3），证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义构造全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可得，，，据此根据全等三角形的性质与判定定理可得答案； （2）延长交于点，同理可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解； （3）延长、交于点，可证，得到，同理可证明得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）延长交于点，如图 同理可证明， ∴， ∵， ∴； （3）略 36．解：如图： 证明：在和中， ， ∴， ∴， 即的长便是鱼塘的宽的长． 【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．先根据小涵的方法画出图形，再利用两边及其夹角对应相等的两三角形全等求解即可． 【详解】略 37．(1) 证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 即， ∴在和中 ， ∴， ∴， (2) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，，继而得到，通过“”证明，由全等三角形的性质即可得证； （2）由，得到，从而，因此． 【详解】（1）略 （2）略 38．(1) (2) 证明：延长至，使，连接 是的中线， ，且， ， ，， ， ， ， ， ∵， 即，且，， . ， ， ． 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，三角形的外角性质． （1）由证明三角形全等可得出答案； （2）延长至M，使，先证明，进而得出，，即可得出，再证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：是的中线 ， 在和中， ， ， ∴判断全等的依据为“”， 故答案为：； （2）略 39．(1)证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； (2)． 理由如下，∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系． （1）利用即可证明； （2）根据三角形三边的关系即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 40．(1)证明：如图，过点A作交延长线于点F， ∵平分，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，掌握这两部分知识、构造全等三角形是解题的关键； （1）过点A作交延长线于点F，由角平分线的性质定理得，再证明即可得； （2）证明，得，则． 【详解】（1）略 （2）解：； 理由如下： 由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∴． 41．(1) (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】该题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是证明三角形全等． （1）根据是边上的高，得出，再根据的平分线与的平分线交于点，得出，再根据三角形内角和定理即可求解． （2）证明，得出，再证明，即可证出． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵的平分线与的平分线交于点， ∴， ∴， ∴． （2）略 42．(1) 证明：∵，的角平分线交于点G，， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、垂直的定义以及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由，的角平分线交于点G，，得，从而利用即可证明； （2）先证明，从而证明，得，进而证明，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 43．（1）； （2）解：结论成立；理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）．理由如下， 如图，过D作于点D，交直线于点F， ∵，， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）证，得，即可得出结论； （2）证，得，即可得出结论； （3）过D作于点D，交直线于点F，证明，推出，得出，再证明，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，本题综合性强，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 44．(1)证明：平分于点 ． 在和中， (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定以及性质是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出答案． （2）由（1）中全等三角形的性质得出，再证明，由全等三角形的性质得出，再根据代入计算即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解 ， 又 ∴ ， 45．(1)40 (2)证明：过E作于M，于N， ，， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴平分； (3)3 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过E作于M，于N，由角平分线的性质推出，，得到，即可证明平分； （3）由三角形面积公式得到，即可求出的出，即可求出△ABE的面积． 【详解】（1）解：，， ， ， ，， ， （2）略 （3）解：∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∵，∴， ∴，∴的面积． 故答案为：3． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $