第14章 全等三角形 专题训练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 全等三角形单元专题训练卷，聚焦倍长中线构造、常见模型（平移/翻折/旋转/一线三等角）及角平分线证明方法，通过典例引导与分层练习，强化几何直观与推理能力，适配初中数学全等三角形单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |典例精讲|1道（2问）|倍长中线构造全等|引导学生补全推理过程，培养逻辑推理能力| |应用练习|选择/填空/证明（约19题）|全等判定与性质、平移/翻折/旋转模型、一线三垂直/斜角、角平分线辅助线（作垂直/延长/对称）|基础题（如选择第1题）巩固性质，中档证明题（如专题二第2题）强化模型应用，综合题（如专题三第8题）提升创新思维，体现模型意识与空间观念|

第14章全等三角形专题训练 专题训练一倍长中线法构造全等三角形 倍长中线： AD是△ABC的中线，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE 结论：①△ACD≌△EBD:②AC=BE,∠CAD=∠BED;③AC//BE 倍长类中线： 在△ABC中，D是BC的中点，延长ED至点F,使DF=DE,连接CF. 结论：①△BED≌△CFD;②CF=BE,∠CFD=∠BED:③CF/BE 1122 一、典例精讲 如图，在△ABC中，若AB=8,AC=6,D是BC的中，点，试探究BC边上的 中线AD的取值范围 (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E, 使DE=AD,连接BE,请补充完整证明“△ADC≌△ED”的推理过程. 证明：如图，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE.,'AD是△ABC的中线， ∴.CD=BD 在△ADC和△EDB中， AD=ED已作)， ∠ADC=∠EDB CD=BD已知， ∴.△ADC≌△EDB( (②)试探究AD的取值范围. 2122 二、应用练习 1.在△ABC中，AC=6,中线AD=7,则AB的长度不可能是（) A.7B.9C.17D.19 2.如图，点D在BC上，CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线. 求证：∠C=∠BAE 3.如图，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,M为BC的中，点. 求证：DE=2AM M 3122 专题训练二全等三角形常见模型 模型一、平移模型 模型图示： FCa 模型解读： 有一组边共线，另两组边分别平行，要在移动方向上加（减）公共线段，构 造线段相等，或利用平行线的性质得对应角相等 1.如图，C是线段AB的中点，∠A=∠ECB,CDI/BE (1)求证：△DAC≌△ECB: (2)连接DE,若AB=16,求DE的长 4/22 模型二、翻折模型 模型图示： B 公共边AB=AB 公共边AE=EA 对顶角∠AOC=∠BOD公共角∠F=∠F 模型解读： 所给图形可沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶，点 就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件：公共边或公共角相等 5122 2.如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC 求证：(I)△ABC≌△AED: (2)∠BCD=∠EDC, 模型三、旋转模型 3.如图，BA=BE,∠1=∠2，BC=BD.求证：△ABC≌△EBD 6/22 模型四、一线三等角模型 1.一线三垂直 模型图示： 模型解读： 有三个直角，常利用等角的余角相等证明角相等」 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB,将△ABC放在平面直角坐 标系中，C(-1,0),B2,1,点A在第二象限，则，点A的坐标为 5.如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD,AB⊥AD,AC⊥DC.过，点B 7122 作BE⊥AC,垂足为E.若CD=2,CE=6,则四边形ABCD的面积是 6.如图①所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C在△ABC外作 直线MN,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N. (I)求证：MN=AM+BN; (2)如图②，若过点C作直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点 M,BW1MN于点N,1中的结论是否仍然成立？请说明理由. 2.一线三斜角 (1)典型图形： 8/22 图形特征： 点B,C,E在一条直线上，∠B=∠AEF=∠C. 典型结论： 点B,C,E在一条直线上，∠B=∠AEF=∠C. (2)典型图形： 图形特征： 点E,C,F在一条直线上，∠AEC=∠ACB=∠BFC 典型结论： 只要题目再出现一组等边(AE=CF或EC=FB或AC=CB),则 △AEC≌△CFB 7.如图，在△ABC中，D为AB上一点，DE=FD=6,∠A=∠EDF=∠B, 9122 四边形CEDF的周长为20，△ABC的周长为36，求AB的长， 8.如图，在△ABC中，AB=CA,D,A,E三点都在直线m上，并且有 ∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,其中a为任意锐角或钝角. 求证：DE=BD+CE 专题训练三与角平分线有关的全等证明的三种方法 一、作垂直 如图，P是∠MON的平分线上一点，过，点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON 于点B 结论：PB=PA 10/22 M P B N 1.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E为BC的中点，且AE平分 ∠BAD 求证：DE是∠ADC的平分线. 2.如图，P为∠ABC的平分线上的一点，点D和，点E分别在AB和BC上，且 BD<BE,PD=PE,试猜想∠BDP与∠BEP的数量关系，并给予证明. 3.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,CE⊥AB于，点 11/22 E,∠B+∠D=180 (I)若CE=5,求点C到AD的距离； (②)求证：AE=AD+BE 二、作延长 如图所示，P是∠MON的平分线上的一点，AP⊥OP于点P,延长AP交 ON于点B 结论：OA=OB 4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,BE⊥AD于，点E.探 究∠ABE,∠DBE,∠C之间的数量关系 12/22 5.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,AD⊥BD于点D,△BCD的面积 为45，△ADC的面积为20，求△ABD的面积. 6.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于点 D,CE⊥BD,交BD的延长线于点E 求证：BD=2CE 三、作对称（截长补短） 如图，P是∠MON的平分线上一点，A是射线OM上任意一点，在ON上截 13/22 取OB=OA,连接PB M N 结论：△OPB≌△OPA 7.如图所示，AD是△ABC的角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试 比较PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由. 8.如图，AB/ICD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上 求证：(I)AE=DE: (2)BC=AB+CD. 14/22 答案 专题训练一 典例精讲 (1)对顶角相等 SAS 21<AD<7 应用练习 1.A 2.证明：延长AE到，点F,使FE=AE,连接DF :AE是△ABD的中线，BE=DE BE=DE, 在△ABE与△FDE中，∠AEB=∠FED, AE=FE, ∴.△ABE≈△FDE(SAS) ∴.AB=FD,∠BAE=∠DFE. :∠BDA是△ADC的外角， ∴.∠BDA=∠DAC+∠C 又，'∠BAD=∠BAE+∠EAD,∠BDA=∠BAD, ∴.∠BAE+∠EAD=∠DAC+∠C 又，'∠DFE=∠BAE, 15/22 .∴.∠DFE+∠EAD=∠DAC+∠C ∴.∠ADF=∠ADC AB=CD,AB=FD,.FD=CD. AD=AD, 在△ADF与△ADC中，∠ADF=∠ADC, FD=CD, .△ADF≈△ADC(SAS). ∴.∠C=∠AFD=∠BAE 3.证明：延长AM至，点N,使NM=AM,连接BN :M为BC的中点，CM=BM AM=NM, 在△AMC和△NMB中， ∠AMC=∠NMB, CM=BM, .∴.△AMC=△NMB(SAS). ∴.AC=BN,∠C=∠NBM: .AB⊥AE,AD⊥AC, ∴.∠EAB=∠DAC=90° .∴.∠EAD+∠BAC=180° .∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD. :AD=AC,AC=BN,AD=BN在△EAD和△ABN中， AE=BA, ∠EAD=∠ABN,∴.△EAD=△ABN(SAS) AD=BN, .∴DE=NA=2AM 16/22 专题训练二 1.(1)略 (2)DE=8 2.证明：1.∠BAD=∠EAC, .∴.∠BAD-∠CAD=∠EAC-∠CAD, 即∠BAC=∠EAD AB=AE, 在△ABC与△AED中， ∠BAC=∠EAD,.△ABC=△AED(SAS). AC=AD, (2).AC=AD,∴.∠ACD=∠ADC .△ABC=△AED,.∴.∠ACB=∠ADE. .∴.∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC, 即∠BCD=∠EDC 3.证明：∠1=∠2， .∴.∠1+∠EBC=∠2+∠EBC, 即∠ABC=∠EBD AB=EB, 在△ABC和△EBD中， ∠ABC=∠EBD,∴.△ABC=△EBD(SAS), BC=BD, 4.-2,3 5.40 6.解：(1)证明：：∠ACB=90, 17/22 .∴.∠ACM+∠BCN=90° .'AM⊥MN,BN⊥MN, .∠AMC=∠CWB=90°. ∴.∠BCN+∠CBN=90°.∴.∠ACM=∠CBN. ∠AMC=∠CNB, 在△ACM和△CBN中， ∠ACM=∠CBN, AC=CB, .∴△ACM≈△CBN(AAS). .∴.CM=BN,AM=CN ∴.MN=CN+CM=AM+BN (2)(1)中的结论不成立 理由如下：同(1)可证△ACM兰△CBN, ∴.CM=BN,AM=CN, .∴.MN=CN-CM=AM-BN. 7.AB=14 8.证明：，∠BDA=∠BAC=a, .∴.∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠EAC=180°-a..∴.∠DBA=∠EAC. ∠BDA=∠AEC, 在△ADB和△CEA中， ∠DBA=∠EAC, AB=CA, ∴.△ADB=△CEA(AAS). ∴.BD=AE,AD=CE .'DE=AE+AD=BD+CE 18/22 专题训练三 1.证明：过点E作EF⊥AD于，点F」 又.∠B=90°，AE平分∠BAD, ∴BE=EF E是BC的中点， ∴.BE=CE∴.CE=EF 又.∠C=90,EF⊥AD, .DE是∠ADC的平分线. 2.解：∠BDP+∠BEP=180°. 证明：过点P分别作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,则 ∠PMD=∠PNE=90° :BP平分∠ABC,.PM=PN 在Rt△DPM和Rt△EPN中， PD=PE,Rt△DPM=Rt△EPN (HL PM=PN, ∴.∠ADP=∠BEP .∠BDP+∠ADP=180°， ∴.∠BDP+∠BEP=180°. 3解：(I)过点C作CH⊥AD,交AD的延长线于，点H 又.'AC平分∠BAD,CE⊥AB, 19/22 .CH=CE=5.,点C到AD的距离为5. (2)证明：：CH⊥AD,CE⊥AB, .∴.∠H=∠CEB=∠CEA=90°. .∠B+∠ADC=180°，∠CDH+∠ADC=180°，∴.∠CDH=∠B ∠CDH=∠B, 在△CDH和△CBE中， ∠H=∠CEB,∴.△CDH=△CBE(AAS), CH=CE, ∴.DH=BE.在Rt△CEA和Rt△CHA中， AC=AC, CE=CH, .∴.Rt△CEA=Rt△CHA HL'.∴.AE=AH·.∴.AE=AH=AD+DH=AD+BE 4.解：延长BE交AC于点F」 AD平分∠BAC,.∠BAE=∠AE :BE⊥AD,:∠AEB=∠AEF=90在△ABE和△AFE中， ∠BAE=∠FAE, AE=AE,·.△ABE≈△AFE(ASA).∴.∠ABE=∠AFE ∠AEB=∠AEF, ,∠AFE=∠DBE+∠C,∴.∠ABE=∠DBE+∠C 5.SAABD=25 6.证明：延长CE,BA交于点F :BD平分∠ABC,.∠FBE=∠CBE :CE⊥BE,.∠BEF=∠BEC=90在△BEF和△BEC中， 20/22 ∠FBE=∠CBE, BE=BE, .△BEF=△BEC(ASA). ∠BEF=∠BEC, ∴.FE=CE.∴.CF=2CE .∠BAD=90°，∴.∠ABD+∠ADB=90° .∠BEC=90,∴.∠EDC+∠DCE=90 又∠ADB=∠EDC,.∠ABD=∠DCE 在△ABD和△ACF中， ∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°， ∴.△ABD=△ACF(ASA) ∴.BD=CF.∴.BD=2CE. 7.解：PC-PB<AC-AB 理由如下：在AC上取一点F,使AF=AB,连接PF :AD是△ABC的角平分线， .∴.∠BAP=∠FAP. AB=AF, 在△ABP和△AFP中， ∠BAP=∠FAP,·.△ABP≈△AFP(SAS). AP=AP, .PB=PF..AB=AF=AC-CF,..CF=AC-AB. .PC-PF<CF,.PC-PB<AC-AB. 8.证明：(1)在BC上取，点F,使BF=BA,连接EF,如图所示. 21/22 :BE平分∠ABC,CE平分∠BCD ∴.∠1=∠2，∠3=∠4. AB=FB, 在△ABE和△FBE中， ∠1=∠2， BE=BE, '.△ABE=△FBE(SAS) ∴.∠A=∠5，AE=PFE. .AB/CD,∴.∠A+∠D=180°. ∴.∠5+∠D=180. 又.∠5+∠6=180°，∴.∠6=∠D ∠D=∠6， 在△CDE和△CFE中， ∠4=∠3， CE=CE, ∴.△CDE=△CFE(AAS) .'DE=FE..'.AE=DE (2),△CDE≈△CFE,.CF=CD BC=BF+CF,.'.BC=AB+CD. 22/22