第14章 全等三角形 单元测试 2026-2027学年人教版八年级数学上册

人教版（新教材）2026年八年级上册第14章《全等三角形》单元测试卷 满分120分 时间120分钟 一、选择题(共10题；共30分) 1．下列各组图形中，是全等形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，△ABC≌△DEF，点A，B分别对应点D，E.若∠A=70°，∠B=50°，则∠1等于（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 3．如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出的依据是（　　） A． B． C． D． 4． 如图， 在△ABC中， ∠C=90°， AC=8， AD=3DC， BD平分∠ABC， 则点D到AB的距离等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 5． 如图，已知AC⊥BD，垂足为点O，AO＝CO，要根据“HL”证明Rt△ABO≌Rt△CDO，还需要添加的一个条件是（　　） A．AB∥CD B．OB＝OD C．∠A＝∠C D．AB＝CD 6．如图，在和中，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 7．如图，在3×3的方格纸中，∠1+∠2的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．90° 8． 如图，O是△ABC内一点，且点O到三边AB，BC，CA的距离OF＝DO＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（　　） A．95° B．105° C．115° D．125° 9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，E，F为AB上的两个动点，且AE＝BF，求CE+CF的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 10．在平面直角坐标系中，，，，于点，交轴于点，连接．下列结论中正确的有（　　） ①，②，③，④平分． A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 二、填空题(共6题；共18分) 11．如图，一块三角形玻璃破裂成，号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上　 　号碎片． 12．若△ABC≌△EFG，且∠B＝60°，∠FGE－∠E＝56°，则∠A＝　 　度． 13．如图，、是锐角的高，相交于点D，若，，，则的长为　　． 14．如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为 　 　． 15．如图，∠BAC=30°，P是∠BAC平分线上一点，PM∥AC，PD⊥AC，PD=30，则AM=　 　． 16．如图，在中，，，于点，，交于，交于，四边形的面积是，则的面积为　 　． 三、解答题(共8题；共72分) 17．（8分）如图，已知点B， E， C， F在一条直线上，AC∥DE、∠A=∠D， AB=DF. （1）证明：△ABC≌△DFE； （2）若BF=13， EC=7，求BC的长. 18．（8分）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 【甲】如图1，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 【乙】如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． （1）以上两位同学所设计的方案，你认为两位同学的设计方案是否可行； （2）请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 19．（8分）如图是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，闸机识别行人身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，行人即可通过.已知点 G、A、D、H在同一水平线上，点G，H分别在BC，EF 上，GH与BC、EF垂直，BG=EH，∠ABC=∠DEF，AD=10 cm.若GH=80 cm，且AB=2AG，求设计出的闸机一侧边缘(即AB 或DE)的长度. 20．（8分）如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长． 21．（8分）如图，AD，BE是△ABC的高线，AD，BE交于点 F，且AD=BD. （1）求证：BF=AC； （2）（5分）若AF=1，CD=3，求△ABC的面积. 22．（8分）【新情境】 图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是的平分线吗？请判断并说明理由； （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，求的面积． 23．（12分）如图1，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过B、C两点作过点A的直线l的垂线，垂足为D、E． （1）如图1，当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系？并说明理由． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，∠BAC＝90°，AB＝35，AC＝40．点P从B点出发沿B→A→C路径向终点C运动；点Q从C点出发沿C→A→B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．问：当△PFA与△QAG全等，点P运动时间是　　秒．（直接写出结果即可） 24．（12分）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． （1）如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是： ；（直接填结果，不用写出求解过程） （2）由第（1）问的方法得到启发，如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，试说明：； （3）如图3，．点D为的中点，判断线段与的关系，并说明理由． 参考答案 1．【答案】B 【解析】【解答】解：观察发现：A，C，D选项中两个图形不能完全重合，不是全等形； B选项中两个图形能完全重合，是全等形， 故选：B． 【分析】利用全等图形的定义及特征（能够完全重合的两个图形叫做全等图形）逐项分析判断即可. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°， 则∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-50°=60°， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠1=∠C=60°， 故答案为：B. 【分析】利用三角形的内角和定理求出∠C的度数，利用全等三角形的对应角相等，可求出∠1的度数. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：由作图可知，，， ∴， ∴， 故选：． 【分析】根据作图过程可以得到对应边的关系：，，三边对应相等，因此可以依据判定两个三角形全等，再由全等三角形对应角相等得到所作角和已知角相等. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，过点D作于E， ，， ， ，BD平分， ， 即点D到AB的距离为2， 故答案为：C. 【分析】过点D作于E，先求出CD的长，再根据角平分线的性质解答即可. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：∵AC⊥BD， ∴∠AOB=∠COD=90°，即△ABO和△CDO均为直角三角形。 已知AO=CO，即两个直角三角形的一组直角边对应相等。 根据HL定理，判定两个直角三角形全等需要斜边和一条直角边对应相等，因此还需补充斜边相等的条件。 AB和CD分别是Rt△ABO和Rt△CDO的斜边，因此添加AB=CD即可满足HL的判定要求。 故答案为：D 【分析】本题考查直角三角形全等的HL判定定理，解题的关键是明确HL定理的适用条件。首先由垂直关系确定两个三角形为直角三角形，再明确已知的AO=CO是一组直角边，HL定理要求斜边与一条直角边分别对应相等，因此需要补充斜边相等的条件，逐一判断选项即可得出结果。 6．【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴ 即， 无法证明，故D错误． 故答案为：D. 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的角度特征，需逐一验证每个选项的结论是否成立。首先由，两个角同时加上公共角，可推出，结合、的条件，依据SAS定理可证明，因此选项A结论正确；由全等三角形对应边相等，可直接得到，因此选项B结论正确；由全等三角形对应角相等可得，结合等腰直角三角形中，通过角度代换可推出，即，因此，选项C结论正确；对进行角度拆分推导，无法得出其和为的结论，因此选项D结论错误。 7．【答案】D 【解析】【解答】解：设方格中小正方形的边长为1，在△ABC和△ECD中， BC=CD=1，∠ACB=∠EDC=90°，AC=ED=2， ∴△ABC≌△ECD（SAS）， ∴∠BAC=∠2。 在Rt△ABC中，根据直角三角形两锐角互余，∠1 + ∠BAC = 90°， 将∠BAC替换为∠2，可得∠1 + ∠2 = 90°。 故答案为：D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及直角三角形两锐角互余的性质。首先根据方格的边长特征，找到两组对应边相等且夹角均为直角，利用SAS证明两个三角形全等，将∠2转化为与∠1互余的∠BAC，再结合直角三角形两锐角互余的性质，即可求出两个角的和。 8．【答案】D 【解析】【解答】解： 点 到 三边 、、 的距离相等，即 ， 平分 ， 平分 （到角两边距离相等的点在角的平分线上）。 ，。 。 在 中，， 代入得 。 在 中，， 。 ， 。 故答案为：D 【分析】本题考查角平分线的判定定理与三角形内角和定理。由 ，即点 到 三边距离相等，根据角平分线的判定可得 平分 、 平分 ，于是 ，；在 中由三角形内角和定理得 ，从而 ；再在 中用三角形内角和定理推得 ，代入 得 。 9．【答案】C 【解析】【解答】解：过点 作 ，使 ，连接 、， 、 ∵， ∴。 又 ∵，， ∴（SAS）。 ∴， ∴。当 、、 三点共线时， 取得最小值，最小值为线段 的长度。 在 和 中， ∴（SAS）。 ∴，即 的最小值为 10。 故答案为：C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合应用。解题的关键是通过构造全等三角形，根据题意证明（SAS），进而将 转化为长度相等的 ，把 的长度和转化为 ，将两条动线段转化为两点之间的折线段；再根据两点之间线段最短，得到最小值为线段 的长度；最后通过证明 与 全等，推出 与 长度相等，从而求出最小值。 10．【答案】C 【解析】【解答】解：∵点A，B的坐标分别为(0，5)，(5，0)， ∴OA=OB=5，故①正确； ∵x轴丄y轴， ∴∠AOC= ∠BOE= 90°， ∴∠ACO+ ∠CAO = 90°， ∵BD⊥AC， ∴∠BCD+ ∠CBE= 90°， ∴∠CAO=∠CBE， 在△AOC和△BOE中， ∵∠CAO=∠CBE，OA=OB，∠AOC=∠BOE ∴ △AOC△BOE(ASA)，故③错误； ∴OE=OC， ∵点C的坐标为(-2，0)， ∴OC =OE= 2， ∴点E的坐标为(0，2)，故②正确； 如图，过点O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N， ∵ △AOC△BOE， ∴S△AOC = S△BOE，AC = BE， ∴AC·ON= BE · OM， ∴OM=ON， ∴点O一定在∠CDB的角平分线上， ∵OM⊥BD，ON⊥AC， ∴DO平分∠CDB，故④正确， ∴正确的有①②④. 故答案为：C. 【分析】根据A，B的坐标，可直接得出①正确；根据ASA可证得△AOC△BOE，进而得出③错误；再根据全等三角形的性质得出OC =OE= 2，进而得出点E的坐标为(0，2)，即②正确；过点O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N，根据全等三角形的性质可得出S△AOC = S△BOE，AC = BE，进一步可得出OM=ON，即可得出DO平分∠CDB，即④正确，综上即可得出正确的有①②④. 11．【答案】Ⅱ 【解析】【解答】解：由题意得ASA可以判断三角形全等，可以只需要带上Ⅱ号碎片， 故答案为：Ⅱ 【分析】本题考查三角形全等的判定在实际问题中的应用。要划出与原三角形完全相同的玻璃，需要碎片包含能够唯一确定三角形形状和大小的元素。Ⅱ号碎片保留了原三角形的两个内角，以及这两个角的公共夹边，根据ASA全等判定定理，两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，因此仅带Ⅱ号就能确定完整的三角形；Ⅰ号碎片仅保留了一个角和部分边，无法确定三角形的完整尺寸。 12．【答案】32 【解析】【解答】因为△ABC≌△EFG，且∠B＝60°，∠FGE－∠E＝56°，所以∠F=∠B＝60°，∠FGE=∠C，∠E=∠A，所以根据三角形的内角和可得∠A＝32度； 【分析】首先根据全等三角形性质可得对应角对应相等，再根据三角形的内角和列方程解出∠A的度数． 13．【答案】2 【解析】【解答】解：、是锐角的高， ， ，， ， ， ， ，， ，， ，， ． 故答案为：2． 【分析】由高得到直角，利用同角的余角相等推出∠ADC=∠F；用AAS证明△ADC≅△BFC，得到对应边相等，算出BC长度，再用线段相减求出BD. 14．【答案】70 【解析】【解答】解：∵把绕点A逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：70． 【分析】根据旋转的性质可得，，由全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质即可求解． 15．【答案】60 【解析】【解答】如图，过点P作PE⊥AB于点E， ∵P是∠BAC平分线上一点，PD⊥AC， ∴PE=PD=30， ∵∠BAC=30°，PM∥AC， ∴∠PME=∠BAC=30°，∠APM=∠PAD， ∴PM=2PE=60， ∵∠BAP=∠PAD， ∴∠BAP=∠APM， ∴AM=PM=60． 故答案为60． 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质以及等腰三角形的判定。过点P作PE⊥AB于点E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PE=PD=30。由PM∥AC，利用平行线的同位角相等，得到∠PME=∠BAC=30°，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，由此可求出PM的长度。再由平行线的内错角相等，以及角平分线的定义，推出∠BAP=∠APM，根据等角对等边，可得AM=PM，代入数值即可。 16．【答案】18 【解析】【解答】解：∵，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴与都是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：18 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与面积转化思想。等腰直角三角形斜边上的高将原三角形分成两个全等的等腰直角三角形，因此，且对应锐角都为45°。由与，通过同角的余角相等，可得到一组相等的角，结合边与角的条件用ASA证明，两个三角形面积相等。由此可将四边形DECF的面积转化为的面积，而的面积是面积的一半，据此可求出的总面积。 17．【答案】（1）证明：∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）， （2）解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF，即BE+EC=EC+CF， ∴BF=CF， ∵BF=13，EC=7， ∴BE+CF=BF﹣EC=6， ∴BE=CF=3， ∴BC=BE+EC=3+7=10． 【解析】【分析】（1）本题考查全等三角形的AAS判定定理，先根据平行线的性质，由推出内错角。结合已知条件，，可得两个三角形中有两组角分别相等，且其中一组角的对边相等，满足角角边（AAS）的全等判定条件，即可证明。 （2）本题考查全等三角形的性质与线段长度计算，根据全等三角形对应边相等，可得，等式两边同时减去公共线段EC，可推出。用BF的长度减去EC的长度，得到BE与CF的长度和，再除以2得到BE的长度，最后用BE的长度加上EC的长度，即可求出BC的长为10。 18．【答案】（1）甲乙同学的设计方案都可行 （2）甲可行的理由如下： 证明：在和中， ， ∴． ∴． 【解析】【分析】（1）甲同学的设计方案，结合图中信息和条件得出，从而根据全等三角形的性质得出AB=ED，将测量AB转变为测量ED方法可行； 乙同学的设计方案，结合图中信息和条件得出，从而根据全等三角形的性质得出，将测量AB转变为测量BC方法也可行； （2）根据全等三角形的判定及性质，任意选择一位同学的步骤进行证明即可． （1）解：甲：可行； 乙：可行； （2）甲可行的理由如下： 在和中 所以． 所以． 乙可行的理由如下： 在和中 所以． 所以． 19．【答案】解：由题意得AG⊥BC，DH⊥EF， ∴∠AGB=∠DHE=90°. 在△ABG和△DEH中， ∴△ABG≌△DEH(ASA)， ∴AG=DH，AB=DE， ∵GH=80cm，AD=10cm， ∵AB=2AG， ∴AB=DE=2×35=70(cm)， ∴设计出的双翼边缘(即AB和DE)的长度为70 cm. 【解析】【分析】由题意得AG⊥BC，DH⊥EF，则∠AGB=∠DHE=90°，根据三角形全等的判定与性质证明△ABG≌△DEH(ASA)得到AG=DH，AB=DE，进而得到，再根据AB=2AG即可求解。 20．【答案】解：∵，∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 【解析】【分析】 先根据题目条件可以得到，再利用角角边，也就是的判定方法，证出，再根据全等三角形对应边相等的性质，得到，最后只需要计算出的长度就可以得到答案. 21．【答案】（1）证明：∵AD，BE是△ABC的高线， ∴AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADB=∠ADC=∠AEF=90°， ∵∠AFE=∠BFD， ∴∠FBD=∠CAD， 在△FDB和△CDA中， ∴△FDB≌△CDA(ASA)， ∴BF=AC； （2）解：由(1)得△FDB≌△CDA， ∴ FD=CD， ∵CD=3，AF=1， ∴DF=3， ∴BD=AD=AF+DF=4， ∴BC=BD+CD=4+3=7， 【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得∠FBD=∠CAD，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案. （2）根据全等三角形性质可得FD=CD，根据边之间的关系可得BD，BC，再根据三角形面积即可求出答案. 22．【答案】（1）解：是的平分线， 理由如下： 在和中， ， ， 平分； （2）解：过点作于点， 平分， ， ， ． 【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角平分线判定定理即可求出答案. （2）过点作于点，根据角平分线性质可得PH=PQ，再根据三角形面积即可求出答案. （1）解：是的平分线， 理由如下： 在和中， ， ， 平分； （2）解：过点作于点， 平分， ， ， ． 23．【答案】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）成立， 证明：∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE． 解：（3）①当0≤t＜时，点P在AB上，点Q在AC上，此时有BP＝2t，CQ＝3t，AB＝35，AC＝40． 当PA＝QA即35﹣2t＝40﹣3t，也即t＝5时， ∵PF⊥l，QG⊥l，∠BAC＝90°， ∴∠PFA＝∠QGA＝∠BAC＝90°． ∴∠PAF＝90°﹣∠GAQ＝∠AQG． 在△PFA和△QAG中， ， ∴△PFA与≌△QAG（AAS）． ②当≤t＜时，点P在AB上，点Q也在AB上， 此时相当于两点相遇，则有2t+3t＝35+40，解得t＝15； ③当25＜t＜时，点Q在AB上，点P在AC上， 当PA＝QA即2t﹣35＝3t﹣40，解得t＝5（舍去）． 综上所述：当t等于5秒或15秒时，△PFA与△QAG全等． 故答案为：5或15． 24．【答案】（1）； （2）证明：如图，延长至点F，使得，连接，则． ∵E是中点， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵ ∴， 在和中， ∴． ∴， ∴； （3）解：． 理由：如图3，延长交于点P，延长到M，使得，连接． 由（1）可知， ∴ ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， 在和中， ∴， ∴ ， ， ， ， ， ． 【解析】【解答】 （1）解：如图：延长到点E．使，连接，∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得． 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $