2026-2027学年浙教版九年级数学上学期期中自测试题

2026-2027学年九年级数学上学期 期中自测试题 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材浙教版九年级上册第1~3章。 评卷人 得分 一、单选题（每小题3分，满分30分） 1．下列函数是关于x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．一个不透明的袋子中装有30个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同．若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于0.4，则小明估计袋子中白球的个数为（     ） A．50 B．45 C．20 D．12 3．如图，是的直径，弦于点E，连接．若，则的长为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 4．已知抛物线，下列关于它的图像说法正确的是（     ）． A．当时，y随x的增大而增大 B．顶点坐标为 C．当时，y有最大值 D．与x轴有两个交点 5．现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是（     ） A． B． C． D． 6．如图，是一个的正方形网格，其中有5格已经涂上了阴影，若在剩余的20格中随机涂上一格阴影，使得图中形成的阴影部分恰好是一个中心对称图形的概率是（     ） A． B． C． D． 7．已知二次函数的图像如图所示，有下列4个结论：①；②；③④，其中正确的结论是（     ） A．②④ B．③④ C．①③④ D．②③④ 8．如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，半圆O的直径，弦，平分，则的长为（     ） A．18 B． C． D． 10．下列命题中原命题和逆命题都正确的个数是（   ） ①相等的弦所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等； ④在同一个圆中，弧是弧的2倍，则弦是弦的2倍； ⑤直角三角形的斜边就是它外接圆的直径． A．5 B．4 C．3 D．2 评卷人 得分 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．从地前往地有三辆车可以选择，则小明和小华同坐一辆车的概率_______． 12．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是________． 13．有七张正面分别标有数字、、0、1、2、3、4的卡片，除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为m，则使方程有实数根的概率是_________ ． 14．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是_____寸． 15．二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（填序号）______． ①；②；③；④当时，；⑤． 16．如图，是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点，若C为劣弧的中点，，则的最小值是__________． 评卷人 得分 三、解答题（本题共8小题，满分72分） 17．如图，体育科组想用长为的警戒线，再借助器材保管房的一面墙（墙的最大可用长度为），围成一个长方形空地，并在边上留一个宽的小口．设空地的宽为，面积为． (1)求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当这块空地的边的长为多少时，能围成一个面积为的长方形空地？ 18．为了贯彻落实教育部“学生体质健康检测”新政策，切实提升青少年身体素质，我校体育组对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： (1)该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为 ，并补全条形统计图； (2)若我校八年级共1000名学生，请估计八年级每周锻炼时间不足4小时的学生人数； (3)若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名作为“运动小先锋”参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率． 19．如图，是的半径，且，D、E分别是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．吉祥社区开展秋季趣味运动会，设有四个比赛项目：A跳绳、B踢毽子、C沙包投掷、D趣味套圈．甲、乙两名同学作为志愿者，随机被安排到这四个项目中负责协助工作． (1)为了解参加“沙包投掷”项目的情况，工作人员随机调查部分参赛居民，统计结果如下： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“沙包投掷”人数 24 47 96 203 405 参加“沙包投掷”频率 0.48 0.47 0.406 0.405 ①请填出表中所缺的数据． ②请估算本次运动会参加“沙包投掷”项目的概率______（精确到0.1）． (2)利用画树状图或列表格的方法，求甲、乙两人恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目的概率． 21．如图，二次函数的图象与直线交于点和点，过点B作平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． (1)抛物线的对称轴为直线______，______； (2)当点M在直线上方时，若，求m的值； (3)设N是直线上的点，是否存在点M，N，使得是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 22．2026年，我国“双碳”目标推进取得阶段性成果，新能源汽车渗透率持续提升．某校为普及新能源汽车与低碳出行知识，举办了“新能源汽车与绿色未来”知识竞赛．现从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均高于60分，用x表示，共分四组：A、 ，B、 ，C、 ，D、），下面给出了部分信息： 七年级10名学生竞赛成绩是：62、72、74、80、81、82、82、90、91、96． 八年级10名学生竞赛成绩是：67、68、70、74、75、85、90、90、95、96． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81 81 中位数 80 众数 82 90 方差 90 117 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________． (2)结合上述信息和所学的数学知识，你认为哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由． (3)现要将八年级的甲、乙、丙、丁四位同学分成两组，每组两人一起合作进行比赛，并随机抽签决定分组．请用树状图或列表法来说明甲、乙两位同学分到同一组的概率． 23．如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 24．如图，内接于，，为的直径，交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点在弧上，连接、，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C B B B C D D 1．B 【详解】解：A选项：的右边含分式，不是二次函数； B选项：化简得，符合二次函数定义； C选项：化简得，是一次函数，不是二次函数； D选项：当时，函数解析式为，是一次函数，故该函数不一定是二次函数． 2．C 【分析】利用多次试验中频率的稳定值估计摸到白球的概率，设白球个数为未知数列方程求解． 【详解】设袋子中白球有个． ∵ 摸到白球的频率逐渐稳定于， ∴ 估计摸到白球的概率为， ∴ ， 解得， 经检验：得是方程的解． 3．C 【分析】根据垂径定理可以得到的长，在中，根据勾股定理求出，根据线段的和差即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，弦于点E， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 4．C 【分析】由抛物线顶点式得开口方向、对称轴、顶点坐标，再判断各选项． 【详解】解：抛物线中，，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，随的增大而减小，故时随增大而减小，A错误， 顶点坐标为，B错误， ∵抛物线开口向下，顶点为最高点， ∴当时，有最大值，C正确， ∵顶点纵坐标为，抛物线开口向下， ∴抛物线与轴无交点，D错误． 5．B 【分析】明确颜色都变化即两种溶液均能使酚酞变红，通过作树状图得到所有等可能结果，结合概率公式求解即可． 【详解】解：将蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱分别记为，其中能使酚酞溶液变色的是，根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中颜色恰好都发生变化的结果有2种， ∴所求概率为． 6．B 【详解】由题可知符合题意的涂法有2种， 则概率为． 7．B 【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴位置以及抛物线与y轴的交点位置可判断①；根据时，所对应的函数值即可判断②；根据与所对应的函数值相等，可判断③；根据抛物线与x轴的交点个数可判断④ 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵时，， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴与所对应的函数值相等，即，故③正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故④正确 8．C 【分析】连接，求出的度数，再由弧与圆心角之间的关系和圆周角定理求出的度数，最后由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴． 9．D 【分析】过点O作于点F，过点D作于点E，由垂径定理可得，由圆周角定理和角平分线的定义推出，则可证明，得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点O作于点F，过点D作于点E， ∴，， ∵半圆O的直径， ∴， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．D 【详解】解：①原命题：相等的弦所对的弧相等．错误，未限定同圆或等圆，且一条弦对应两条弧，相等的弦所对的弧不一定相等． 故①不符合要求． ②原命题：平分弦的直径垂直于弦．错误，若被平分的弦为直径，结论不成立． 故②不符合要求． ③原命题：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．正确． 逆命题：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心．正确． 故③符合要求． ④原命题：在同一个圆中，弧是弧的倍，则弦是弦的倍．错误，弦长与弧的长度不成正比，例如弧对应的弦长小于弧弦长的倍． 故④不符合要求． ⑤原命题：直角三角形的斜边就是它外接圆的直径．正确． 逆命题：若三角形的一边是它外接圆的直径，则这个三角形是直角三角形．正确． 故⑤符合要求． 综上，符合条件的命题共个． 11． 【分析】先计算小明和小华选车的所有等可能结果数，再计算两人同坐一辆车的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：记三辆车分别为1， 2， 3， 根据题意画树状图得： 共有9种等可能的结果，其中两人同坐一辆车的结果数为3， ∴所求概率为 ． 12． 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再比较各点到对称轴的距离，即可判断函数值大小． 【详解】解：，， 函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为． ∵， ∴． 13． 【分析】根据方程有实数根，二次项系数为，即可得，据此列出不等式，解出即可得的取值范围，再根据的所有可能取值为、、0、1、2、3、4，共7种等可能情况，其中满足的情况有、0、1、2、3、4，共6种，代入概率公式计算即可得答案． 【详解】解：∵方程有实数根，二次项系数为， ∴，整理得：，解得：， ∵的所有可能取值为、、0、1、2、3、4，共7种等可能情况，其中满足的情况有、0、1、2、3、4，共6种， ∴记卡片上的数字为m，则使方程有实数根的概率是． 14． 【分析】设圆的半径为寸，在中，利用勾股定理列方程求出半径，进而求出直径 ． 【详解】解：尺寸，则寸， 设圆的半径为寸， ， （寸）， 在中，， 由勾股定理得 ， ， 解得， 直径为（寸） ． 15．①②③⑤ 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与轴的交点即可判断；②根据抛物线的对称轴得出，即可判断；③根据时函数有最大值即可判断；⑤根据抛物线经过点，且对称轴为直线，可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可判断；④根据抛物线与轴的交点，结合图象即可得出判断． 【详解】解：①观察图象可知：，由图象可知抛物线对称轴为直线，即，得，由图象与轴的交点可得， ，故①正确； ②由图象可知抛物线对称轴为直线，即，解得，即，故②正确； ③由图象可知时函数有最大值，因为时，时，所以，故③正确； ⑤由图象可知抛物线经过点，且对称轴为直线， 设抛物线与轴的另一个交点为，则，解得， 抛物线与轴的另一个交点为， 即当时，，即，故⑤正确； ④由⑤知抛物线与轴的两个交点为、， 所以当时，；当或时，，故④错误； 综上，①②③⑤正确． 16．18 【分析】由垂径定理和弧的中点性质推出，利用轴对称的性质将的最小值转化为两点间的距离，计算即可得出结果． 【详解】解：∵是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点， ∴，， ∵C为劣弧的中点， ∴， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点作于，延长交于点，连接， ∴，， ∴点与点关于对称， ∴， ∴， ∴点、、三点共线， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴、、三点共线时，有最小值，的最小值为点与点重合时，即最小值为， 即为的中点，时，的最小值为． 17．(1)（） (2)的长为 【分析】（1）根据警戒线长，小口宽，得，，再根据长方形面积公式计算即得，根据警戒线长和外墙长列不等式组求x的取值范围即可； （2）当时，解方程即可，在x的取值范围内取值； 【详解】（1）解：∵长方形空地中，， ∴， ∴， ∵， 解得， ∴． （2）解：当时，， 解得， ∵， ∴ 故边的长为时，能围成一个面积为的长方形． 18．(1)，， 补全条形统计图如图所示： (2)名 (3) 【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得此次调查共抽取的学生人数；用乘以组的学生人数所占的百分比即可得出答案；求出组中八年级的学生人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用乘以样本中八年级每周锻炼时间不足小时的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中七年级和八年级各名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：该校此次调查共抽取学生人数：（名）． 扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为． 组中八年级的学生人数为（名）． 补全条形统计图略； （2）解：根据题意，八年级每周锻炼时间不足小时的学生人数为：（名）． （3）解：将七年级的名同学分别记为甲、乙，八年级的名同学分别记为丙、丁， 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有种等可能的结果，其中恰好选中七、八年级各名同学的情况有种， ∴（恰好选中七、八年级各名同学）． 19．(1)证明：∵， ∴ ， ∵D、E分别是的中点，是的半径， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）通过圆心角定理的推论得出，再证明，进而即可得到结论； （2）连接，证明是等边三角形，进而即可得到答案 【详解】（1）略； （2）解：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ，即 20．(1)①0.48；②0.4； (2)． 【分析】（1）① 因为频率=参加项目人数÷调查总人数，所以对应调查总人数为200时，用该组参加人数除以200即可得到所缺频率．② 因为大量重复试验时频率会逐渐稳定在概率附近，所以选取调查总人数最大的组对应的频率，按要求精确到0.1得到估算概率． （2）首先确定甲、乙各自分配项目的所有等可能结果，通过列表或画树状图枚举所有情况；再找出恰好有一人被分配到C项目的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到对应概率． 【详解】（1）解：① 频率的计算公式为：， 代入对应数据得：． ② 当试验总人数越大，频率会逐渐稳定在某个常数附近， 观察表格里的频率随样本量增大逐步趋近于0.405， 精确到0.1后结果为0.4． ∴本次运动会参加“沙包投掷”项目的概率为0.4． （2）解： 甲            乙 A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中甲、乙恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目的结果有6种， ∴P（甲、乙恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目）． 21．(1)1，2 (2)或 (3)存在，，，，． 【分析】（1）利用对称轴公式即可求出抛物线对称轴，然后将代入即可求出n的值； （2）在A点上方的y轴取点D，连接，求出使得的点D的坐标，求出过点D且平行于的直线的解析式，然后和抛物线表达式联立求解m即可； （3）作于点E，于点F，根据题意可知当，时，是以为斜边的等腰直角三角形，从而根据列出m的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数 ∴对称轴为直线 将代入得，； （2）解：∵ ∴ ∵抛物线对称轴为直线 ∴点C坐标为 由题意， 在A点上方的y轴取点D，连接，如图， 设，则，即， 解得， 过点D作的平行线交抛物线于点M， ∵直线的表达式为， ∴设直线的表达式为 将代入得， ∴直线的表达式为 联立和得， 解得， 或； （3）解：如图，作于点E，于点F ， 当，时， ∴，此时是以为斜边的等腰直角三角形 ∵ 解得，，，． 22．(1)，； (2)七年级更好；理由：七年级和八年级平均数都是81分，但七年级的竞赛成绩的中位数比八年级高，且七年级的方差小于八年级的方差，则七年级的竞赛成绩稳定性高于八年级竞赛成绩的稳定性． (3) 【分析】（1）根据中位数的定义求出a的值，得出位于七年级A组的人数，用A组的人数除以总人数即可求出m的值． （2）利用中位数和方差作决策即可． （3）列出表格求解即可． 【详解】（1）解：七年级10名学生竞赛成绩从小到大排列为：62、72、74、80、81、82、82、90、91、96． ∴中位数为， 在A组之间的人数有3人， ∴， ∴； （2）略 （3）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ∴共有12种等可能的结果，其中甲、乙两位同学分到同一组有2种结果，丙、丁两位同学分到一组时甲、乙也在一组的情况有2种结果， ∴甲、乙两位同学分到同一组的概率为：． 23．(1)证明：∵交于点， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据垂径定理：垂直于弦的半径平分弦所对的弧．在同圆中，等弧对等弦即可求证； （2）根据直径所对圆周角是直角得，为的中位线得，由勾股定理得出， ． 【详解】（1）略 （2）解：∵点在圆上，是的直径， ∴． ∵交于点， ∴，， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴在中，， ∴， ∴ ， 即． 24．(1)证明：连接、， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2)证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）根据等边对等角得到，圆内直径所对的圆周角是直角得到，利用角之间的和差关系得到，再利用同圆中相等的圆周角所对的弧相等及同圆中相等的弧所对的圆周角相等得到结论； （2）根据同圆中同弧所对的圆周角相等得到和，再结合条件，利用（1）的结论得到，利用角之间的和差关系得到，最后利用同圆中相等的圆周角与弧、弦的关系得出结论； （3）根据全等三角形的判定和性质得到和，根据勾股定理、垂径定理和等量代换得到，设，在中，根据勾股定理列方程得，最后在中，根据勾股定理得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接、， 由（1）知，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在中，根据勾股定理得，， 由（2）知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴， 又∵为的直径，， ∴，， ∴， 整理得，， 即 又∵， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $