培优03 解直角三角形及其综合应用（高效培优期中专项训练）九年级数学上学期新教材沪科版

专题03 解直角三角形及其综合应用 考点01 特殊角三角函数值计算 考点02 网格与坐标系求值 考点03 仰角俯角测量问题 考点04 方向角航程问题 考点05 坡度坡角问题 考点06 三角函数与二次函数综合 考点07 三角函数与反比例函数综合 考点08 三角函数与几何综合 考点01 特殊角三角函数值计算 1．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）计算： 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）计算：． 3．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）计算：． 4．（25-26九年级上·安徽池州·期末）计算：． 5．（25-26九年级上·安徽宣城·期末）计算： 考点02 网格与坐标系求值 6．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形网格图中，与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点都在网格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，点A、B、C均在正方形网格的格点上，则（   ） A． B． C．1 D． 9．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，那么的值是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为__________． 11．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，在带有网格的平面直角坐标系中的位置． (1)_______；_______ ； (2)以点为位似中心，在轴右侧作出的位似图形，使得放大后的与的位似比为：； (3)在网格中找到点，使得，并写出点的坐标_________． 12．（2025·安徽合肥·一模）如图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上． (1)如图①，连结交于点E，直接写出：的值为______； (2)如图②，在上找一点F，使；（只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法） (3)如图③，交于点P，直接写出的值______． 13．我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立平面直角坐标系（如图所示），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点和原点的距离为（总是正的），把角的三角函数规定为：，，．很显然，图中三个比值的大小仅与角的大小有关，而与点所在角的终边位置无关． 根据上述定义，解答问题： (1)若，则角的三角函数值，，，其中取正值的是______； (2)若角的终边与直线重合，求的值； (3)若角是钝角，其终边上一点，且，求的值． 考点03 仰角俯角测量问题 14．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）五育并举润桃李，立德树人育新苗，利辛中学五育融合，让每一位学子全面发展向阳而生，美术手工课小明的追光少年团队手工作品风筝A和小强的润心笃志团队的手工作品风筝B完美收官，他们一起到操场试飞风筝．风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处（如图）．现已知风筝A的引线（线段）长，风筝B的引线（线段）长，在C处测得风筝A的仰角为，风筝B的仰角为 (1)试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？ (2)求风筝A与风筝B的水平距离．（精确到；参考数据：，，，，） 15．（2026·安徽合肥·三模）如图，某高楼顶部有一发射塔，已知和处于同一水平面上有一高楼，其高度为130米，在楼底端点测得的仰角为，在高楼的顶端点测得的仰角为，，之间的距离为80米，、、在同一直线上，且，． (1)求高楼的高度； (2)求发射塔的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，，，，） 16．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）综合与实践 【阅读材料】 如图1，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】 万佛湖素有安徽千岛湖之称，景区内环境优美．某综合与实践小组要测量东西两岸两个旅游码头，之间的实际距离．由于中间有岛屿阻隔，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（无法测角度和任何距离）． 测量过程： 步骤1：如图2，无人机升到高空的点处（点，，在垂直于水平面的同一个平面上）； 步骤2：利用测角仪多次测量并取平均值，在码头处测得无人机的仰角约为，在码头处测得无人机的仰角约为； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值，测得码头到无人机之间的距离约为1000m． 【问题解决】 (1)请你利用【阅读材料】中的结论计算码头，之间的距离（精确到10m）； （参考数据：，） (2)请用你所学过的解直角三角形知识求码头，之间的距离．（结果保留根号） 17．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图所示的是李亮利用无人机进行测量的示意图，点在同一平面内，当无人机在离地面的高度为时，测得李亮所在位置的俯角为，楼顶的俯角为，点到大楼的水平距离为．（参考数据：，结果精确到） (1)若无人机到李亮的距离在内是遥控器的可控范围，此时飞机是否在可控范围内？请说明理由． (2)若让无人机在可控范围内，李亮最多可由点向点移动多少米？ (3)求大楼的高． 考点04 方向角航程问题 18.如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在处测得北偏东方向上距离为海里的处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在处成功拦截不明船只． (1)求及的大小； (2)问不明船只从被发现到被拦截行驶了多少海里？此时海监执法船行驶了多少海里？（最后结果保留整数）（参考数据：，，） 19.为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求B处到灯塔P的距离； (2)已知灯塔P的周围150海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由． 20．（24-25九年级下·安徽淮南·期中）某海域发生事故，故障船只位于处（位置如图），位于观测站的北偏西方向，甲、乙两艘救援船分别从两地同时出发，甲在地位于观测站的正北方向处，乙在地位于观测站的北偏西方向，两船均以直线航行前往事故点处救援，15分钟后两船同时到达处． (1)求甲船的航行速度； (2)计算乙船从处航行到处的距离． （参考数据：，结果保留一位小数） 21．【综合与实践】烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 考点05 坡度坡角问题 22．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）寒假期间，小浩一家到某旅游风景区登山．他们从山脚处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，，，，在同一平面内． (1)求小浩一家步行上升的垂直高度； (2)求缆车的行驶路线的长． （参考数据：，，；，，） 23．（25-26九年级上·安徽六安·期末）在一次数学实践活动中，小亮同学要测量旗杆的高度，他从旗杆底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得旗杆顶部的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点、、、、在同一平面内． (1)求最佳测量点到地面的距离； (2)求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：） 24．（25-26九年级上·安徽淮北·期末）暑假期间，小明一家到相山风景区登山．他们从大门处出发，先步行到达缆车入口处，再从处坐缆车到达电视塔底处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，假设，，，在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，，，，） 25．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）“限速红线不可碰，安全底线记心间”，为了解“金寨路高架”芜湖路出口下坡路段车辆行驶速度，在离下坡路终点3米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点B处，区间测速的起点为坡面点D处，此时电子眼的俯角为10°；区间测速的终点为下坡路终点C处，此时电子眼的俯角为（A，B，C，D四点在同一平面）． (1)______°，______°； (2)求电线杆的高度； (3)已知“金寨路高架”芜湖路出口下坡路段坡比，如果该路段限速米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：，，，，，，） 考点06 三角函数与二次函数综合 26．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，的面积为，点从点出发，以的速度沿路线匀速移动，同时，点从点出发，以的速度沿路线匀速移动，直到两个点都到达终点即停止运动，若点的运动时间为的面积为，则关于的函数的大致图像是（   ）． A．B．C．D． 27．（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图1，在中，，边上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度相等，当一个动点先运动到终点，整个运动过程结束，设，y关于x的函数图象如图2，图象过点．则y关于x的函数图象的最低点的横坐标是（   ）    A． B． C． D． 28．（25-26九年级上·安徽六安·期末）已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若该抛物线的顶点为，其与轴交于点和点（点在点左侧），与轴交于点． ①判断的形状，并说明理由； ②若点在该抛物线上，且，求点的横坐标． 29．（2026·安徽阜阳·二模）已知抛物线． （1）如图1，当时，点，的坐标分别为，，过点，分别作轴的垂线，交抛物线于，，，四点，连接，，则___________； （2）如图2，过点作轴的垂线，分别交抛物线于点，，，，与对称轴交于点，连接，，已知点的横坐标为，且，则该抛物线的表达式为___________． 30．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，已知抛物线经过点，原点和轴上另一点，它的对称轴与轴交于点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)连接，在抛物线的对称轴上找一点，使得． ①求点的坐标； ②当点在轴上方时，求的值． 31．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与点重合），连接． ①求的面积的最大值； ②若，求的取值范围． 32．（2025·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点P是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点A，C重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点P作于点Q，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； (3)过点P作x轴的平行线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点N恰好落在y轴上时，请求出此时点M的坐标． 33．（2025·安徽合肥·一模）如图1，已知抛物线与轴交于点，且图象经过点，抛物线与直线在第一象限交于点，； (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，若点为上方抛物线上的动点，求到直线距离的最大值； (3)若点在轴上方的抛物线上，满足，请在图3用尺规作图，作出满足条件点的位置（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出点的坐标． 34．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图1，抛物线与轴交于点和点，点位于原点左侧，点位于原点右侧，与轴交于点，连接，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)若是该抛物线的对称轴，点是抛物线的顶点，点是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点． ①如图2，连接，若的面积为3，求点的坐标； ②如图3，设与交于点，连接，求的最大值． 考点07 三角函数与反比例函数综合 35.在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 36．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且，则的值等于（　　） A．2 B． C． D． 37．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，，，反比例函数的图象经过点A，若，则k的值为______． 38.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 考点08 三角函数与几何综合 39．（2026·安徽六安·一模）如图，已知矩形中，，点是对角线上一个动点（不与，重合），于点，于点，连接，，点是的中点，连接，给出下列结论中，其中正确的是（   ） A．四边形的周长是定值 B．的最小值为 C．当时， D．当时， 40．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，，点是边的中点，以为底边在其右侧作等腰，使，连接，则的值为（    ） A． B． C． D．2 41．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在正方形中，为中点，沿直线翻折，使点的对应点恰好落在线段上． （1）___________； （2）分别在上取点，，沿直线继续翻折，使点与点重合，___________． 42．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，点D，E在，边上，连接并延长交延长线于点G．过点D作于F．已知，， (1)求的值； (2)若，点E为的中点，求的长． 43．（2025·安徽合肥·一模）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)如图1，在菱形中，E是的中点，连接，将沿翻折到，延长交于点P，请写出图中的所有“筝形”； (2)如图2，将（1）中的“菱形”改为“正方形”其他条件不变，求的值； (3)如图3，在矩形中，是边的中点，连接，将沿翻折到，点P是线段上一点，若四边形是“筝形”，请直接写出的长． 44．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图1，在矩形中，E是上一点，，把沿着折叠，点B的对应点F恰好落在线段上． (1)求的值； (2)如图2，延长交于点G，交于点H． ①求证：； ②求的值． 45．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和，，，． (1)如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求证：； (2)如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时， ①求的长； ②延长交于点，求的值． 46．（25-26九年级上·安徽池州·期末）在四边形中，，与相交于点E，． (1)如图1，求证：； (2)当平分时，作于G点交于F点． ①如图2，若点G为中点，求证：； ②如图3，若，求的值． 47．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）（1）【观察发现】如图1，在中，点在边上．若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在中，，点为边的中点，.点在上，连接，.若，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点，分别在边，上，，延长，相交于点.若，，直接写出的长． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03 解直角三角形及其综合应用 考点归纳 考点01特殊角三角函数值计算 考点02网格与坐标系求值 考点03仰角俯角测量问题 考点04方向角航程问题 考点05坡度坡角问题 考点06三角函数与二次函数综合 考点07三角函数与反比例函数综合 考点08三角函数与几何综合 考点专练 考点01特殊角三角函数值计算 1。《526元年级上安宿州期夫)计镇，-8+a5一() 【答案】3 【详解】解：原式=-1-22+4x2 4 =-1-2W2+2√2+4 =3 2.(2526九年级上安微合肥期)计算：（红-3八+日+ -5+2cos30°-V8sin45° 【答案】6+V3 【详解】解：原式=1+2+5+2×5-8×5 2 =1+2+5+V5-2 =6+V3 3.(2526九年级上安做宿州期未)计第：3c0s60-(红-314°-（号-5-2斗. 35 【答案】-2+5 【解】解：0as60-(a-314-(日-k5-2 1/73 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 =3×-1-16-2+V5 2 1-16-2+3 3 3 2 +V3 4.(25-26九年级上安徽池州期末)计算：2sin230°+cos245°-2sin60°.tan45°. 【答案】1-5 【详解】解：原式=2× 5. (2526九年级上安微宣城期未)计算：（2++2an45-1-同-2sin60 【答案】4-3 【详解1解：(2+8+2am45-1--2sin60 =1+2+v2x1-(2-)-2 3N =1+2+2-√2+1-V5 =4-V5 考点02网格与坐标系求值 6.(25-26九年级上安徽合肥期末)如图，在5×5正方形网格图中，AB与CD相交于点M,则 sin/AMD=() A 25 3w2 2 8.22 3 c. 0 【答案】C 【详解】解：如图，取格点J,连接A,BJ, 2/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ·AW=V2+4=25,B=V32+4=5,4B=VP+2=V5,且(N5+25=52, ..AJ+AB2=BJ2 ∴.△AB是直角三角形，且∠BAJ=90°， 由网格的特征得BJCD, .∠AMD=∠ABJ, sin∠AMD=sin∠4B=4W_25 B.I 5 故选：C 7.(24-25九年级上·安徽六安阶段检测)如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点 A,B,C都在网格点上，则cos∠ABC的值是() 836 C. 2 5 . 【答案】A 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D,AC=4,△ABC中AC边上的高为3， 根据网格AB,BC所在直角三角形可得AB=V32+1P=V10,BC=V32+32=3√2， 1 :S.ABC= 4x3-68e-Bx0-分i而(n 3/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD=610 5 BD=BC2-CD2 310 5 3V10 ∴.cos∠ABC= BD 5 5 BC 325 故选：A 8.(25-26九年级上安徽池州期末)如图，点A、B、C均在正方形网格的格点上，则tan∠ABC=() B 4.② C.1 D.5 【答案】C 【详解】解：如图：连接AC, B 设每个小正方形的边长为1， 则由勾股定理得：AB=VP+22=5,AC=VP+2=√5，BC=V32+12=√10， (5+5=(1o, AC2+AB2=BC2,且AB=AC, ∴.△ABC是等腰直角三角形， .tan∠ABC=tan45°=1 故选：C 9.(24-25九年级上安徽毫州阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,4)，那么sinα的 值是() 4/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A3,4 人a 3 A. B.4 c. 4 4-3 D. 【答案】C 【详解】解：如图，作AB⊥x轴于B,∠ABO=90°， A(3.4 a B :点A的坐标为(3,4) ..AB=4,OB=3 ∴.OA=VAB2+OB2=5, .'sina= AB 4 0A=5, 故选：C 10.(25-26九年级上安徽宿州期末)如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则snB的值为 B C 4V41 【答案】 41 【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC的延长线于点D, 5/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D C .在Rt△ABD中，BD=5,AD=4, ∴.AB=V52+42=V4 .'sin B=AD 44V41 ABV4141· 4V41 故答案为： 41 11.(25-26九年级上·安徽准南阶段检测)如图，△ABC在带有网格的平面直角坐标系中的位置， B (1)tanC= _tan/= (2)以点O为位似中心，在y轴右侧作出△ABC的位似图形△4BC,使得放大后的△4BC与△ABC的位似比 为2：1； (3)在网格中找到点M,使得MA=MB=MC,并写出点M的坐标 【详解】(1)解：如图所示： 6/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B、 由正方形网格的特征可知，∠AEC=∠ADC=90° 在RIAEC中，an∠ACE=4E_2_1 EC42, 在R1AADC中，CD=P+1P=2,AD=32+32=3V2, ∴tan∠DAC= CD 2 1 AD3V2-3' 1 故答案为：2：3 (2如图，△4BG即为所求. (3)如上图，分别作线段AB,BC的垂直平分线，相交于点M, 则点M即为所求， 由图可得，点M的坐标为(4,4) 12.(2025安徽合肥·一模)如图均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形 的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上. 7/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B E B D 图① 图② 图③ AE a)如图①，连结AD、BC交于点B,直接写出：D的值为— (2)如图②，在BC上找一点F,使BF=3；(只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图， 保留作图痕迹，不要求写画法) (3)如图③，AB、CD交于点P,直接写出sin∠APC的值 【详解】(1)解：·AB∥CD ∴.△ABE∽△DCE, AE AB I DEDC2· 故答案为：2： (2)解：(2)如图，取点格点G,H,连接GH交BC于点F,点F即为所求： B BG∥CH, ∴.△BFG∽aCFH, CF CH 2 BF=GB-3 BC=V32+42=5, .BF=3: (3)解：如图，取格点E连接AE交CD于点F, 8/73 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 由图可知AE=CD=V2,AE⊥CD, AF=DF=CD=V2 2’∠CAD=AFD=90°' AD∥BC, .△ADP∽△BCP, AP AD 1 PB BC3 AB=V32+12=V10, ·Ap=f0 4 sin∠APC=4F-2v5 AP-5 25 故答案为：5· 13.我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意 义：设有一个角“，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴Ox,建立平面直角坐标系 (如图所示)，在角α的终边上任取一点P,它的横坐标是x,纵坐标是y,点P和原点的距离为 ,=F+行〈，总足正的)，把用女的三角图数规定为：血a=之ca-三ma-士，很显然，图中 三个比值的大小仅与角的大小有关，而与点P所在角“的终边位置无关. 根据上述定义，解答问题： P(x.y) (1)若270°<a<360°，则角a的三角函数值sina,cosc,tanc,其中取正值的是一： 9/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若角a的终边与直线y=2x重合，求sina+cosa的值； B)若角。是纯角，其终边上一点Pk5),且6osa= 4x,求ana的值 【答案】(1)cosc 353V5 (2)）sina+cosa的值为)或 5 (3)-vi5 3 【详解】(1)解：如图1， P(xy) 图1 .270°<a<360° ∴点P(x,)在第四象限， ∴x>0,y<0 .r>0 ..sina=<0,cosa=>0,tana=<0. r .sina、cosu、tanc中的正值是cosc, 故答案为：cosa, (2)解：~直线y=2x经过原点和第一、第三象限，且角α的终边与直线y=2x重合， ∴点P(x,)在第一象限或第三象限，且可以表示为P(x,2x),作P四⊥x轴于点. 如图2，点P在第一象限，则x>0,y>0, /P(xy) a 图2 r=+y=x+(2x)=5x=5x 10/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .sina+cosa=+2xx35 一十 rr 5x5x 5 如图3，点P在第三象限，则x<0,y<0, P(x,y) 图3 :.r=x+y=x+(2x)=5x=-5x ..sina++ -5x'-5x 5: 3535 综上所述， sina+cosa的值为S或- 5 (3)解：如图4， Px,√5)} 角是钝角，且点 是角终边上一点， 图4 P(x.v5) a 点P在第二象限， 作P№1x轴于点Q, cosa= x, 且cosa=x 4, 解得：r=2√2 00=FP-y=22-（5=5, ∴g(-3,0,P(-3,5), ∴ama=y-5s x5=-3 11/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点03仰角俯角测量问题 14.(25-26九年级上·安徽毫州期末)五育并举润桃李，立德树人育新苗，利辛中学五育融合，让每一位 学子全面发展向阳而生，美术手工课小明的追光少年团队手工作品风筝A和小强的润心笃志团队的手工作 品风筝B完美收官，他们一起到操场试飞风筝.风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C 处（如图）·现已知风筝A的引线（线段AC)长I00m,风筝B的引线（线段BC)长120m,在C处测 得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45 609 452 D (1)试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？ (2)求风筝A与风筝B的水平距离.（精确到0.1m;参考数据：sin45°≈0.707，cos45°≈0.707，tan45°=1， sin60°≈0.866，cos60°=0.5，tan60°≈1.732) 【答案】(1)小明的A风筝更高 (2)34.8米 【详解】(1)解：在Rt△ADC中，AC=I00m,∠ACD=60° AD=AC.sin∠ACD=100×sin60°≈86.6（米）， 在RIACBE中，BC=120m,∠BCE=45° .BE=BC.sin.∠BCE=120×sin45°≈84.8（米）， 86.6>84.8. ∴小明的A风筝更高： (2)解：在Rt△ADC中，AC=100m,∠ACD=60° :.CD=AC.cos∠ACD=100×cos60°=50（米）， 在Rt△CBE中，BC=120m,∠BCE=45°， CE=BC.cos∠BCE=120×c0s45°≈84.8（米）， .DE=CE-CD=84.8-50=34.8(米)， 即风筝A与风筝B的水平距离为34.8米 15.(2026安徽合肥三模)如图，某高楼BC顶部有一发射塔AB,已知和BC处于同一水平面上有一高 楼DE,其高度为130米，在楼DE底端D点测得A的仰角为71.57°，在高楼DE的顶端E点测得B的仰角 12/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为37°，B，,E之间的距离为80米，A、B、C在同一直线上，且AC⊥CD,ED⊥CD, A E-137 k71.57° D C (1)求高楼BC的高度； (2)求发射塔AB的高度.（结果精确到1m,参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， sin71.57°≈0.95，cos71.57°≈0.32，tan71.57°≈3.00) 【答案】(1)高楼BC的高度约为178米 (2)发射塔AB的高度约为14米 【详解】(1)解：过点E作EF⊥AC,垂足为F, k71.57° D C.:∠EFC=∠FCD=∠EDC=90° ∴四边形EDCF是矩形， ∴.DE=CF=130米， BE=80米， 在RtABEF中，∠BEF=37° .BF=BE-sin37°≈80x0.60=48(米)， BC=BF+CF=130+48=178(米)， .高楼BC的高度约为178米. (2)解：过点E作EF⊥AC,垂足为F, 13/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E32.F 71.57° D C 在RtABEF中，∠BEF=37°，BE=80米， .EF=BE.cos.37°≈80×0.80=64（米）， 由(1)得：EF=CD=64米， 在RtAACD中，∠ADC=71.57°， .AC=CD.tan71.57°≈64×3=192（米）， :BC=178米， .AB=AC-BC=192-178=14(米)， ∴.发射塔AB的高度约为14米. 16.(25-26九年级上·安徽安庆阶段检测)综合与实践 【阅读材料】 b C 如图1，在锐角。ABC中，∠A'∠B:∠C的对边长分别为a'b,c,则有sinsinBsinC·这是解 三角形的重要结论，可用于解决实际问题. 【问题提出】 万佛湖素有安徽千岛湖之称，景区内环境优美.某综合与实践小组要测量东西两岸两个旅游码头A,B之 间的实际距离。由于中间有岛屿阻隔，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究. 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（无法测角度和任何距离）， 测角仪 测距仪 无人机 测量过程： 步骤1：如图2，无人机升到高空的点C处（点A,B,C在垂直于水平面的同一个平面上）： 步骤2：利用测角仪多次测量并取平均值，在码头A处测得无人机的仰角约为60°，在码头B处测得无人机 的仰角约为45°： 14/73 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值，测得码头A到无人机C之间的距离AC约为1000. c 图 实景图 图2 【问题解决】 (1)请你利用【阅读材料】中的结论计算码头A,B之间的距离（精确到10m); (参考数据：sin75°≈0.966，√2≈1.414) (2)请用你所学过的解直角三角形知识求码头A,B之间的距离，（结果保留根号） 【答案】(1)1370m 2(500+500v5)m 【详解】(1)由题意知∠A≈60°，∠B≈45°」 ∴.∠C=180°-∠A-∠B≈180°-60°-45°=75°， 由材料得， ABAC sin C sin B, 又AC≈1000m, :AB=4 CsinC≈100x0.966≈1370 sinB √2 (m), 2 答：码头A,B之间的距离约为1370m: (2)如图，过点C作CD⊥AB于点D,则∠CDA=∠CDB=90°， 在Rt4CD中，sinA=C AC' ÷CD=AC-sin60°=100x =5003(m), ·CosA=AD AC, 1D=1C-os60=100×50m). 在RtBCD中，tanB=CP BD 15/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..BD= CD 500W5 tan45 1 =5003(m), ÷AB=AD+BD=(500+5003)m. 答：码头A,B之间的距离为(500+500V3)m D 17.(25-26九年级上·安徽淮北阶段检测)如图所示的是李亮利用无人机进行测量的示意图，点A,B,C,P 在同一平面内，当无人机在离地面的高度为80V3m时，测得李亮所在位置A的俯角为60°，楼顶C的俯角 为30°，点A到大楼BC的水平距离为100m.(参考数据：V2≈1.41，V3≈1.73，V33≈5.74，结果精确到 0.1m) A (1)若无人机到李亮的距离在180m内是遥控器的可控范围，此时飞机是否在可控范围内？请说明理由. (2)若让无人机在可控范围内，李亮最多可由点A向点M移动多少米？ (3)求大楼BC的高. 【详解】(1)解：此时飞机在可控范围内，理由如下： 如图，过点P作PD⊥AB于点D, A M7n7n9477777777T ∠ADP=90° 在Rt△ADP中， :∠PAD=60°，PD=80V3m, 16/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD = PD 80W580W5 tan∠PAD tan60° 3 =80(m), PD 80√580W5 AP= sin∠PAD sin60°- =160(m) 3 2 .:AP=160m<180m ∴此时飞机在可控范围内： (2)解：设李亮由点A移动到点F时无人机刚好在可控范围内，则PF=180m, A MF7易 在RtADP中， AP=160m,PD=803m,AD=80m. 在RtAPDF中， ..PD=80v3m,PF=180m, FD=VPF2-PD2=1802-(803=2033(m), :.AF=FD-AD=20N33-80≈34.8(m): 答：若让无人机在可控范围内，李亮最多可由点A向点M的方向移动34.8m; (3)解：如图，过点C作CE⊥PD于点E. D RE 77777 CE⊥PD ∴.∠PEC=90°， 在Rt△PEC中， .ZPCE=30,BD=AB-AD=20m. .'.CE=BD 20m. 17/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PE-CE.tan ZPCE=20x20v3(m) 3 ÷DE=PD-PE=805-205_205、20X1.73、1269m. 33 .BC=DE≈126.9m 答：大楼BC的高约为126.9m 考点04方向角航程问题 18如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东23°方向上距 离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东60°的方向前往监视巡查， 经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只， 北 B A 东 (1)求∠BAC及∠C的大小： (2)问不明船只从被发现到被拦截行驶了多少海里？此时海监执法船行驶了多少海里？（最后结果保留整 数)（参考数据：cos37°≈0.8，sin37°≈0.6，tan37°≈0.75） 【答案】(1)∠BAC=37°，∠C=30° (2)不明船只从被发现到被拦截行驶了24海里，此时海监执法船行驶了37海里 【详解】(1)解：如下图所示， 北D A E东∠BAD=23°∠DAC=60° ∴∠BAC=60°-23°=37°，∠CAE=30° BC∥AE, ∴.∠C=∠CAE=30°： 18/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：如下图所示，过点B作BF⊥AC, 北D B A A E东 在R1△ABF中，∠BAF=37°，∠AFB=90°，AB=20海里， BF=ABsin37°≈0.6×20=12海里，AF=AB cos37°≈20×0.8=16海里， 在RIABCF中，∠C=30°，∠CBF=60°. tan∠CBF=CF BF’BC=2BF=24海里， :.CF=BF tan60°=l2V3海里， AC=AF+FC=16+12V3≈37海里， 答：不明船只从被发现到被拦截行驶了24海里，此时海监执法船行驶了37海里. 19.为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理.如图，正在执行巡航任务的海监 船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东45°方向上，海监船继续向东航行 1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上， 北 45 东 (1)求B处到灯塔P的距离： (2)已知灯塔P的周围150海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由。 【详解】(1)解：过点P作PD⊥AB于点D, 北 北 30 459 东 A B D 由题意得，AB=60海里，∠PAB=45°，∠PBD=60°， 设BD=x海里，则AD=(60+)海里， 19/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△PAD中，PD=AD·tan45° =(60+x)1 =60+x, 在RtePBD中，PD=BD.tan60°=V3x, .60+x=3x, 解得x=30+30V3. 在RtaPBD中，PB=PD =60+603 sin60° 答：B处到灯塔P的距离为(60+60√5)海里. (2)解：不安全，理由如下： 由(1)可知PD=BD.tan60° =3x =V3(30+303) =90+30V3, .90+30N3<150, ∴海监船继续向正东方向航行是不安全的 20.(24-25九年级下·安徽淮南期中)某海域发生事故，故障船只位于D处（位置如图），位于观测站A 的北偏西37°方向，甲、乙两艘救援船分别从B,C两地同时出发，甲在B地位于观测站A的正北方向 20km处，乙在C地位于观测站A的北偏西45°方向，两船均以直线航行前往事故点D处救援，15分钟后 两船同时到达D处 北 →东 30D 379 45X (1)求甲船的航行速度： (2)计算乙船从C处航行到D处的距离： (参考数据：sin37≈0.6，cos37≈0.8，tan37”≈0.75，N5≈1.73，V2≈1.41，结果保留一位小数) 20/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)6km/h (2)13.7km 【详解】(1)解：根据题意可知AB=20km,∠BAD=37°， .BD=4B.tan37≈20×0.75=15(km). 15÷15 0 60(km/h), 答：甲船的航行速度为6km/h (2)解：如图，过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E, ∠CAE=45,∠AEC=90°， :∴△AEC是等腰直角三角形， .AE=CE 设AE=CE=akm 过点D作DF⊥CE于点F,得矩形BEFD, 北 →东 C 30 E 379 45X A ∴EF=DB≈15km,DF=BE=AE-AB=(a-20)km ∴.CF=CE-EF≈(a-15)km 在t△CDr中，tan∠DCF=DS CF tan30°=a-20 a-15, 3(a-15)=a-20, ∴a=45+55 2 DF=a-20=5+5V3 2 ∴.CD=2DF=5+5V3≈13.7(km) 21/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答：乙船从C处航行到D处的距离约为13.7km 21.【综合与实践】烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务. 为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 码头A在灯塔B北偏西14°方向 位置信 14:30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 息 15:00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气预 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请 警 注意防范 北 码头 北 》东 与烟台山灯塔 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离： (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A(参考数据：s血37°≈0.60， cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sinl4°≈0.24，cos14°≈0.97，tanl4°≈0.25). 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A 【详解】(1)解：如图，过点B作BE⊥AC于点E, D 北 →东 B 设BE=x, 22/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 依题意·∠BBC=53,∠BBD=45,CD=10x5, 2 ∴∠C=90°-∠EBC=37°，ED=x, ..EC=ED+DC=x+5, 在RtaBCE中，EC=BE=,x ≈x4 tanC tan37°≈0.75-3x, 4 3=x+5, 解得：x=15, ∴，渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里； (2)解：在Rt△ABE中，∠ABE=14°，BE=15, ∴.AE=BE tan 14°≈15×0.25=3.75， AC=AE+DE+DC=15+3.75+5=23.75. 23.75÷10=2.375小时=142.5分钟， 从14：30，经过142.5分钟是16：5230，在17：30之前到达， ∴，不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A. 考点05坡度坡角问题 22.(25-26九年级上安徽合肥期末)寒假期间，小浩一家到某旅游风景区登山.他们从山脚A处出发， 先步行200m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处.已知山坡AB的坡角a=18°，缆车的行驶路线BC 与水平面的夹角B=37°，这座山的高度CD=482m,A,B,C,D在同一平面内. (1)求小浩一家步行上升的垂直高度： (2)求缆车的行驶路线BC的长， (参考数据：sinl8°≈0.31，cosl8°≈0.95，tanl8°≈0.32：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 【答案】(1)62米 (2)700米 【详解】(1)解：过点B作BE⊥AD于点E, 23/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据题意，BE=ABsina=200×0.31=62(m), BXB ----F D 故小浩一家步行上升的垂直高度为62米. (2)解：过点B作BF⊥CD于点F, 则四边形BEDF是矩形， 故DF=BE=62m, 故CF=CD-DF=482-62=420m, 又sin37°=CF ≈0.60 BC 故BC= 420 =700(m) 0.60 23.(25-26九年级上·安徽六安·期末)在一次数学实践活动中，小亮同学要测量旗杆AB的高度，他从旗 杆底部点B处前行8m到达斜坡CD的底部点C处，然后沿斜坡CD前行Sm到达最佳测量点D处，在点D 处测得旗杆顶部A的仰角为35°，己知斜坡CD的斜面坡度i=4:3,且点A、B、C、D、E在同一平面 内 B C H (1)求最佳测量点D到地面的距离DH: (2)求旗杆AB的高度.（结果精确到0.1m,参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002） 【答案】(1)DH=4m (2)旗杆AB的高度是11.7m 【详解】(1)解：如图，由题意得，△DCH是直角三角形， 24/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 35D B C H 一E ,斜坡CD的斜面坡度i=4:3, DH 4 CH3 DH=4km,CH =3km,(k>0). .CD=5,CH2+DH2 =CD2 (3k2+(4k)2=52, 解得：k=1, 则CH=3m,DH=4m (2)解：过点D作DF⊥AB,交AB于点F, 由(1)知CH=3m, .BC=8m. ∴.BH=BC+CH=llm 由题意可得，四边形BHDF是矩形，则DF=BH=1lm,FB=DH=4m, 在RtAFD中，an∠ADF=5 ED' :LADF=35°， .AF=11×tan35°≈11×0.7002≈7.7(m). .AB=AF+FB≈7.7+4=11.7(m) 答：旗杆AB的高度是11.7m。 24.(25-26九年级上安徽准北期末)暑假期间，小明一家到相山风景区登山.他们从大门A处出发，先 步行200m到达缆车入口B处，再从B处坐缆车到达电视塔底C处.已知山坡AB的坡角a=12°，缆车的 行驶路线BC与水平面的夹角B=44°，这座山的高度CD=462m,假设A,B,C,D在同一平面内. 25/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）： (2)求缆车的行驶路线BC的长（结果取整数），（参考数据：sinl2°≈0.21，cos12°≈0.98，tanl2°≈0.21， sin44?≈0.70，cos44°≈0.72，tan44?≈0.97) 【答案】(1)小明一家步行上升的垂直高度约42m (2)缆车的行驶路线BC的长约为600m 【详解】(1)解：如图，过点B作BE⊥AD于E, ---F E D 在Rt△ABE中，∠A=a=12°，AB=200米 .BE=AB-sina=200xsin12°≈200×0.21=42(m), ∴.小明一家步行上升的垂直高度约42m; (2)解：如图，过点B作BF⊥CD于F, ,BE⊥AD,∠D=90°， ∴.四边形BEDF为矩形， .'DF BE =42m, CD=462m, .CF=CD-DF=462-42=420(m), 在Rt△CBF中，∠CBF=B=44° .BC= CF 420420 sin∠CBF sin44°0.7 =600(m), ∴，缆车的行驶路线BC的长约为600m 25.(25-26九年级上·安徽合肥期末)“限速红线不可碰，安全底线记心间”，为了解“金寨路高架”芜 26/73 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 湖路出口下坡路段车辆行驶速度，在离下坡路终点3米处（即AC=3米）的电线杆上安装一个电子眼进行 区间测速，电子眼位于点B处，区间测速的起点为坡面点D处，此时电子眼的俯角为10°；区间测速的终 点为下坡路终点C处，此时电子眼的俯角为53°(A,B,C,D四点在同一平面). B -E D (1)∠EBD= 。,∠EBC=°： (2)求电线杆AB的高度： (3)已知“金寨路高架”芜湖路出口下坡路段CD坡比i=1:3,如果该路段限速83米/秒，某汽车用时1秒 匀定通过测流路及D该款有是否超速：市说明现由。（参考数新：血53：手，m5 3 5 tan53° 3’sin10017:cs10°309g,tm10P≈2 4 11,10≈3.16） 【详解】(1)解：由题意，得∠EBD=10°，∠EBC=53°， 故答案为：10,53： (2)解：由题意知BE∥AC, ∠ACB=∠EBC=53°， 在Rt△4BC中，AB=AC-ta∠ACB=3×tan53°≈3x4=4 答：电线杆AB的高度为4米； (3)解：不超速，理由如下 过D作DF⊥AC于F,DG⊥AB于G, B G D C F 则四边形AFDG是矩形， ∴AG=DF,DG=AF,DG∥AF∥BE, .∠BDG=∠EBD=10° 设DF=AG=x, ,CD坡比i=1:3, 27/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .FC=3x, BG=4-x,DG=3+3x, BG 2 在R△BDG中，tan/BDG=aml10°=DG*斤： 4-x.2 3+3x11 38 解得x=7, 即DF=38 17 :CF=14 17 ·DC=VCF2+DF=3810 17 8√10 、1 而 1> <8 3, 所以该汽车不超速。 考点06三角函数与二次函数综合 26.(25-26九年级上：安徽六安期末)如图，在△ABC中，AC=BC,AB=18cm,aABC的面积为108cm2, 点P从点A出发，以5cm/s的速度沿A-C-B路线匀速移动，同时，点Q从点A出发，以6cm/s的速度沿 A-B路线匀速移动，直到两个点都到达终点即停止运动，若点P的运动时间为(S),△4P吧的面积为 y(cm),则y关于x的函数的大致图像是（)· AY/cm2 Ay/cm2 108-- 108-- B 6 Ay/cm2 108 108 3 6 x/s 3 6 s 28/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【详解】解：如图：过C作CD⊥AB于D, 在△ABC中，AC=BC,AB=18cm,△ABC的面积为108cm, AD=BD=4B=9,4B-CD=10, 2×18CD=108,解得：CD=12: ∴.BC=AC=√CD2+AD2=V122+92=15: 如图：当点P在AC上时，即x<3时，此时AP=5x,A犯=6x,过P作PE⊥AB于B, sin∠A=PE=CD-2-4 AP4C155:即PE=号4P=4x 5 A0的面积为y=40,PE=x6=12r,即函数图像是关于第对称、开口向上，0<x<3上的 1 部分： EOD 当x=3时，AP=15,A0=18,即点P与点C重合，点O与点B重合，△AP9的面积与△ABC的面积相等， 即y=108 如图：当点P在BC上时，即3<x≤6时，此时，点Q与点B重合，QP=30-5x,A0=AB=18,过P作 PE⊥AB于E, D E B(O) sin∠ABC=PE_CD_124 5-品-卡-号即Ps-0p=(0-5刘)=24-， 29/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴AP0的面积为y40-PE=×18×(24-4树)=-36x+216,即函数图候是y脆x增大面减小的一次酒 2 数，在3<x≤6上的一部分. 综上，B选项符合题意. 故选B 27.(25-26九年级上·安徽池州期末)如图1，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，边AB上的点D从顶 点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D,E两点运动速度相等， 当一个动点先运动到终点，整个运动过程结束，设x=AD,y=AE+CD,y关于x的函数图象如图2，图象 过点(0,2).则y关于x的函数图象的最低点的横坐标是() 2 12 (1) (2) 2 A.N2-1 B.5-1 c.2 0.2 【答案】A 【详解】解：：图象过点(0,2)， 即当x=AD=BE=O时，点D与A重合，点E与B重合， 此时y=AE+CD=AB+AC=2, AB=AC,∠BAC=90°， .AB=AC=1,BC=2. 过点A作AF⊥BC于点F,过点B作NB⊥BC,并使得BN=AC,连接NE, 如图所示： 30/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N AD=BE∠NBE=∠CAD ·.ANBE≌ACAD(SAS), ∴.NE=CD, 又y=AE+CD ∴.y=AE+CD=AE+NE 当A、E、N三点共线时，y取得最小值，如图所示，此时： AD=BE=x.AC=BN=1. AF=AC-sin45°=2 , 又：∠BEN=∠FEA,∠NBE=∠AFE ,∴.△NBEr△AFE NB BE .AF FE' 1 即22、 2 2 解得：x=V2-1, ∴图象最低点的横坐标为V2-1. 故选：A 28.(25-26九年级上安徽六安期末)已知抛物线y=-x2+bx+c经过点(-2，-5)和(2,3). (1)求抛物线的函数表达式： (2)若该抛物线的顶点为D,其与x轴交于点A和点B(点B在点A左侧)，与Y轴交于点C. ①判断△ACD的形状，并说明理由； ②若点P在该抛物线上，且∠POA=∠CAD,求点P的横坐标. 【详解】(1)解：，抛物线y=-x2+bx+c经过点(-2，-5)和(2,3)， 31/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∫-5=-(-2}-2b+c 3=-2+2b+c b=2 解得：1c=3' 即：y=-x2+2x+3: (2)①△ACD是直角三角形，理由如下： 当x=0时，y=3,即：C(0,3), 当y=0时，-x2+2x+3=0,解得：=-山，x=3, 即：B(-1,0),A(3,0) y=-x2+2x+3=-（x-1)2+4, ∴顶点D(1,4), AC2=32+32=18,CD2=1P+(4-3}2-2,AD2=(3-12+42=20, ..AC2+CD2=AD2, .∠ACD=90°， 即：△ACD是直角三角形： ②设P(m,-m2+2m+3). :∠ACD=90°，AC2=18,CD=2, .CD=2,AC=32 :tan∠CAD=CD-V21 AC 32 3' .∠POA=∠CAD, tan∠PoA=ya1 。3 当点p在x轴上方时，+2m+3_ 3,角辉得：2，=2十2，=3一v133 6 (舍)： 当点p在轴下方时，”-2m-3 3:解得：%=7+157 7-157 6 ,m2 (舍)： 6 一点p的横坐标为： 5+V1337+157 6或6 32/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 29.(2026·安徽阜阳·二模)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)】 AE B 图1 图2 (1)如图1，当a=1,b=c=0时，点E,F的坐标分别为(0，D,(0,2),过点E,F分别作y轴的垂线， 交抛物线于A,B,C,D四点，连接BF,BD,则∠BDF= (2)如图2，过点(0,5，(0,6作y轴的垂线，分别交抛物线于点G,H,M,N，MN与对称轴交于点 P,连接NG,PG,已知点G的横坐标为3W3,GP=MP,且∠MNG=15°，则该抛物线的表达式为y= 【答案】 67.5 x2-4V5x+14 【详解】 (1)解：如图1，过点B作BG⊥CD交于G, B 图1 a=1,b=c=0 抛物线表达式为y=x2,当y=1时，x2=1, 解得x=1或x=-1, .BL,) 当y=2时，x2=2,解得x=V2或x=-V2, ∴.D(N2,2), F(0,2). ∴.FG=1, 33/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BG=1, △BFG是等腰直角三角形， ∠GFB=45°， FD=FB=2. ∠FDB=2×180°-45)=67.5° (2)解：如图2，过点G作G01MN交于点2， 图2 .GP=MP.PN=PM. ∴PN=PG, ∠MNG=15°. .∠GPM=30°， G0=1 PG=2,P0=V5, G3V3,5). ∴.P(2V3,6, ∴抛物线的对称轴为直线x=2√3， _b=25 :.20 .b=-4V3a, PM=PG. .M(23+2,6): :设抛物线的表达式为y=a(x-2V5}+k, 将点G,M代入y=a(x-2W3)2+k. 34/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3a+k=5 得14a+k=6 a=1 解得1k=2 y=(x-23'+2=x-4V3x+14. 30.(25-26九年级上安徽毫州期末)如图，已知抛物线经过点B(-2,3),原点0和x轴上另一点A,它 的对称轴与x轴交于点C(2,0). (1)求此抛物线的函数表达式： (2)连接CB，在抛物线的对称轴上找一点E,使得CB=CE, ①求点E的坐标： ②当点E在x轴上方时，求sin∠BEC的值. 【答案】ay=-x 4 5 2)①E(2,5)E,(2,-5):② 5 【详解】(1)解：由题意可得，抛物线的对称轴为直线x=2, :抛物线经过点B(-2,3),原点0和x轴上另一点A A(4,0), 设抛物线的表达式为y=ax(x-4)(a≠0). ,抛物线过点B(-2,3) 3=a×(-2)×(-2-4), 1 解得a=4 :抛物线的表达式为y=女-x 4 35/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：①如图，过点B作BM⊥x轴于点M. B MO :B点坐标为(-2,3)，C点坐标为(2,0)， .MC=4,BM=3, .BC=BM2+MC2=5, .CE=BC=5, ,点E在抛物线的对称轴x=2上， .E(2,5),E(2,-5) ②当点E在x轴上方时，由①知E点的坐标为(2,5)， 如图，过点B作BD垂直于对称轴于点D,则点D的坐标为(2,3)， MO .BD=4,DE=CE-CD=5-3=2, .BE=VBD2+DE2=V4+22=25, ·sin∠BEC= BD4 25 BE 25 5 31.(2025安徽蚌埠模拟预测)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点A(-l,0),点B(3,0),交y轴 3 于点C0,2, 连接BC (1)求该抛物线的表达式： 36/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方（不与点B,C重合），连接BP,CP. ①求△BCP的面积的最大值： ②若∠OCB=a,∠PBC=B,求tan(a-P)的取值范围. 3 【答案】(1)y=一 x2+x+ 2 2: 27 1 2@6:②2<tam(a-B)<2 【详解】(1)解：二次函数的图象经过点A(-1,0),点B(3,0), ∴.二次函数的表达式可写为y=a(x+)(x-3), 3 “点C02)在抛物线上， a0+0-到3解得：a=分， :三次通数的表达式为y=+x-3列=号x+号： (2)解：①设直线BC的表达式为y=ax+n(k≠0)， 3 把B3,0)和C02)代入，得： 3k+n=0 3 n=- 2 k=- 2 解得： 3 n= 13 直线BC的表达式为y=一2x+) 22 如图：过点P作PR⊥x轴于点R,交BC于点O, A C R 37/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设点P的坐标为m,一2 m2+m+ 2, 则点Q的坐标为m+引】 3 2Γ SAncr=SAme+SAcre -号P0-R+号P00R P0-0B 2 =2x32 1 2+3m 1 2 2 :动点P在直线BC的上方（不与B,C重合）， ∴0<m<3 3 27 ·当m=2时，ABCP面积取得最大值，最大值是6： ②：PR⊥x轴， .PR∥y轴， ..LBOR=ZOCB=a ∴.C-B=∠BQR-∠PBC=∠BPR 1 3 :BR=3-m,PR=20+m+2, 在Rt△BPR中， tan(a-B)=tan LBPR=BR=_3-m 2 PR 1 m2+m 3m+1, 2 2 0<m<3, 12 <2 2m+ 1 <tan(a-B)<2 ·2 32.(2025安徽模拟预测)在平面直角坐标系x0y中，己知抛物线y=am2+hx+c(a≠0)与x轴交于 38/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(-3,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,3),点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点（不与点A,C 重合). 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)如图，过点P作P№1AC于点Q,当P吧的值最大时，求点P的坐标及P吧的最大值； (3)过点P作x轴的平行线交直线AC于点M,连接CP,将△CPM沿直线CP翻折，当点M的对应点N恰 好落在y轴上时，请求出此时点M的坐标 【答案】(1)y=-x2-2x+3 口当p0的位员大时：点P伯e标为（名） ,9W2 P0的最大值为8 3)M(42-5,42-2 【详解】(1)解：：已知抛物线y=+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-3,0),B(l,0)两点，与y轴交于点 C(0,3). 9a-3b+c=0 .a+b+c=0, c=3 a=-1 解得： b=-2 c=3 ∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3: (2)解：设直线AC的解析式为y=a+6(k≠0)， [-3k+b=0 将A(-3,0):C(0,3)代入解析式可得16=3 39173 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k=1 解得：6=3 ·.直线AC的解析式为y=x+3 如图，作PE‖y轴交直线AC于D,交x轴于点E, D E A(-3,0),C(0,3), .0A=0C=3. :.∠OCA=∠0AC=45°， .PElly, .∠0CA=∠PDQ=45° P2⊥AC, pD &Pg=PD-sin∠PD0=2 ∴当PD取得最大值时，P№也取得最大值， 设P(m,-m2-2m+3(-3<m<0）,则D(m,m+3), 329 :PD=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m=m+2+4 -1<0, 9 9√29√2 ∴.当m=- 2时，此时pD有最大值为4：P0也取得最大值为4×2=8， 当m=多时，m-2m+3=(-2引3=即P)月 当p的值最大时，点P的坐标为（多》。 9√2 P四的最大值为8： (3)解：如图，设PM交y轴于点G, 40/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B PM∥x轴， 、∠PMC=∠CA0=45°， 由折叠的性质可得：∠PNC=∠PMC=45°， :.△NGP和△CGM都是等腰直角三角形， 设M(m,m+3), .CG=GM=m,CN=CM=2m, ..GP=NG=CG+CN=m+2m, :P(m-V2m,m+3, :点P-m-V2m,m+3列在抛物线y=-x-2x+3上， .-（-m-2m-2-m-2m+3=m+3, 解得：m=4V2-5或m=0(不符合题意，舍去)， .m+3=4W2-2, .M(4W2-5,42-2 33.(2025安徽合肥一模)如图1，已知抛物线y=a2-4与x轴交于点M,且图象经过点B(l,3),抛 物线与直线y=x在第一象限交于点A,∠AOM=45°： y B A B A M M 图1 图2 图3 41/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式： (2)如图2，若点C为OA上方抛物线上的动点，求C到直线OA距离的最大值； (3)若点P在x轴上方的抛物线上，满足∠POM=∠AOB,请在图3用尺规作图，作出满足条件点P的位置 (不写作法，保留作图痕迹)，并直接写出点P的坐标 【答案】(1)y=-x2+4x 2 2c到直线OA距离的最大值为8 (3) 如图所示： y本 B A M 图3 r别 【详解】(1)解：将B(l,3)代入y=a2-4c,得：3=a-4a, 得：a=-1, ∴抛物线的解析式为y=-x2+4x (2)解：过点C作x轴垂线，交OA于点N,交x轴于点D,再过点C作OA垂线，交于点G,如图所示： B A G M D 由(1)可设点C坐标为(n,-n2+4n) 42/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :OA的解析式为y=x,CN∥y轴， .点N坐标为(n,n), .CN=-n2+4n-n=-n2+3n ∠AOM=45°，∠CD0=∠CG0=90°， ∴∠DW0=∠CN0=45°. ∴cG=0Nsm45°=(r+3njx2-22+ 3√ 2 2 2 -n, ..CG=- 2,3292 2m-2) 8, 3 W2 ∴当n=)时，CG取最大值 8 9W2 ∴c到直线o4距离的最大值为 (3)解：过点B作x轴垂线，交OA于点H,交x轴于点F,再过点B作OA垂线，交于点K,在x轴上 方的抛物线上取点P,令其满足∠POM=∠AOB,过点P作x轴垂线，交x轴于点T,连接OP,如图所示： y本 A :B(,3),OA的解析式为y=x,BF∥y轴 “点H坐标为(，)，点F坐标为(1,0)， BH=3-1=2,HF=1-0=1, :∠AOM=45°，∠CD0=∠CG0=90°， .∠DW0=∠CN0=45°， BK=BH sin45°=2x2 --HK OH--HF c0s45012 ∴.OK=OH+HK=V√2+V2=2N2, 43/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .tan∠BOA= BK√21 0K2N22,即∠POM=∠A0B=30 设点P坐标为(p,-p2+4p)(p≠0)， .∵∠PT0=90° :an∠PoM=-D+42=-p+4, .∠POM=∠AOB=30° 1 tan∠PTM=tan∠BOA即2-p+4 解得：卫=2 77 .-p2+4p +4×2= 24 77 “点p坐标为24 先作∠40B的角平分线aJ,可得∠0A=)x30°=15° .∠J0M=∠J0A+∠A0M=45°+15°=60°， 再作∠I0M的角平分我OP,可得∠0M-×60=30,即∠POM=∠AOB30: 34.(25-26九年级上安徽合肥阶段检测)如图1，抛物线y=a2+bx+3(a,b是常数且a≠0)与x轴交于 点A和点B,点A位于原点左侧，点B位于原点右侧，与y轴交于点C,连接AC,BC,已知 tan∠BAC=3,tan∠ABC=l. D B E B 图1 图2 图3 (1)求抛物线的表达式： (2)若DE是该抛物线的对称轴，点D是抛物线的顶点，点P是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点. ①如图2，连接BP,CP,若△BCP的面积为3，求点P的坐标； 44/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②如图3，设BC与DE交于点G,连接CP,GP,DP,求2 S&PCG+S△PG的最大值. 【答案】()y=-x2+2x+3: 2)①点P的坐标为(2,3)，②2Ss+Se的最大值为3. 【详解】(1)解：(1)将x=0代入y=2+bx+3得y=3, ∴.C(0,3) .0C=3, tan∠BAC=3,tan∠ABC=l. %0 OC .OA=1,OB=3, ∴.A(-1,0),B(3,0)2. 由抛物线经过点A,B,得y=a(x+)x-3), 把点C0,3)代入，得3=a(0+)×(0-3), 解得a=-1, ∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3: (2)①设直线BC的解析式为y=mr+n, 将B3,0),C(0,3)代入得， [3m+n=0 m=-1 n=3 ,解得n=3: 得直线BC的解析式为y=-x+3 如图2，过点P作PF∥y轴交BC于点F, B 图2 设点P(m,-m2+2m+3),则点F(m,-m+3), .PF=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m, 45/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题意，得5wgPF-0B-m+3mx3=3, 整理，得m2-3m+2=0, 解得m=1(舍去)或m=2, 则-m2+2m+3=3, 点P的坐标为(2,3)： ②由抛物线y=-x2+2x+3知，顶点D的坐标为（山，4）， 由①知直线BC的解析式为y=-x+3,则点G(1,2) 如图3，设直线CP交DE于点F,设点P(m,-m2+2m+3), 图3 由直线PC经过点C(0,3), 设直线PC的解析式为y=x+3, 把点P(m,-m2+2m+3)代入， 得-m2+2m+3=m+3, 解得m=0(舍去)或m=-k+2, 即k=-m+2, ∴直线PC的解析式为y=（-m+2)x+3」 当x=1时，y=(-m+2)x+3=5-m,即FG=5-m-2=3-m, ∴.2SycG+SAPDG =2×5FG×(xp-xc)+DG×(xp-x) 2 =(3-m)m+。×2×(m-1) =-(m-2)2+3≤3. 即2Sao+Sc的最大值为3. 考点07三角函数与反比例函数综合 35.在平面直角坐标系中，直角三角板AOB按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数 46/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y-（x>0)的图像上，∠B=30°·若点B坐标为化-3)则k的值是（） A.-2 日，3 C.1 D.2 【答案】C 【详解】解：如图，过点A作AC1y轴，垂足为C,过点B作BD1y轴，垂足为D, 直角三角板 中 DEL-B AOB∠B=30° OA ∴.O =tan∠B=tan30= 3, AC1y轴， ∴.∠0AC+∠COA=90°， :直角三角板AOB中∠AOB=90°， ∴.∠BOD+∠COA=90°， ∴.∠BOD=∠OAC, 又∠BD0=∠OCA=90°， ∴.△BODn△OAC, OC AC 0A3 .BD OD BO 3 :点B坐标为(1，-3)， .BD=1,OD=3, 0C=5BD=5 x3=5, 31 3 3 47/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点A坐标为 点4在反比例函数生(x>0)的图像上， k=V3x 2=1, 3 故选：C 36(25石九年级上安被宿州阶灵检测》女刻，点/在反比例还数y-(:<0的刻象上，点B在反 比例函数y-(x>0)的图象上，且∠AOB=90,则m∠OB1的值等于(） B A.2 B. 4 C.3 D. 15 3 【答案】D 【详解】解：过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D, B D ∴.∠ACO=∠ODB=90° ∴.∠CAO+∠AOC=90°， :∠AOB=90°， .∠AOC+∠DOB=90°， ∴.∠CAO=∠DOB」 .△AOC∽△OBD, 48/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S40c= A0)2 S.omD OB· ~点A在反比例函数y= <0的图象上，点B在反比例函数y-兰x>0)的图象上。 10 .S40c=5,S,08n=3, A025 OB 1二3 A0-5 .OB 3 (负值舍去)， tanB= 4015 OB 3 故选：D 37.(25-26九年级上·安徽淮北阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴 上，∠4OB=30:AB=0:反比例函数-兰6<0)的图象经过点4，若Sm=2,则上的值为一 VA 【答案】6 【详解】解：过点A作AD上x轴于点D,如图所示 A O.:∠A0B=30°，4D10D AD … OD =tan∠AoB= 3, ∠AOB=30°，AB=BO ∴.∠AOB=∠BAO=30°， .∠ABD=60° 49/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD =tan∠ABD=V5 BD OB=OD-BD, V3_V3 AD OB OD-BD 3 2, OD OD √3AD S,AD03’ S40=2, Sm=2k3 ,反比例函数图象在第二象限， ∴k=6, 故答案为：-6. 38如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，O1=2,点B在反比例函数 y-k>0)的图象上，AOB4为等边三角形，延长0与反比例函效y的图象在第三象限交于点C,连 接CM并延长与反比例函数y=,的图象在第一象限交于点D, (1)求反比例函数的表达式： (2)求点D的坐标及△OAD的面积： (3)在x轴上是否存在点Q,使得以A,D,Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出D点坐标： 若不存在，请说明理由. 【答案】y= x 50/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)点D的坐标为 3 点Q的坐标为B0或0） 【详解】(1)解：作BF⊥x轴于点F, :△OBA为等边三角形，OA=2, ..OB=2,OF=AF=1, ∴.BF=VOB2-OF2=V5, ÷点B的坐标为1,5). :点B在反比例函数y=(k>0)的图象上， k=1x3=5, 心反比例函数的表达式为y=固 (2)解：延长B0与反比例函数y=x的图象在第三象限交于点C, ∴点C与点B关于原点对称 “点C的坐标为（山，-5）： 0A=2, ∴点4的坐标为(2,0)， 设直线AC的解析式为y=k+b, 51/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k'- 3 ·」-K+b=-√3，解得 2W51 2k'+b=0 b=- 3 直线4C的解析式为y= 5.25 3 3 55.25 联立得 3 x 3 解得x=3或x=-1(舍去)，经检验，x=3是原方程的解， 3 ,点D的坐标为 3, 3 ∴.SoMD= x01xb=5 3 (3)解：，△OBA为等边三角形，点C与点B关于原点对称， :.OA=OB=OC,∠B0A=∠BA0=60°， k01C=0C1-<B01=30. ∴.LBAC=90°， 当DQ上x轴时， B D ∠DAQ=∠OAC=30°=∠BCA∠DQA=∠BAC=90° .ADOA△BAC ,点D的坐标为 3, 3 .点0的坐标为(3,0)： 当D0LAD时， 52/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ∠DAQ=∠OAC=30°=∠BCA∠QDA=∠BAC=90° .△QDA∽ABAC 3 ,点D的坐标为 3 点A的坐标为(2,0)' AD=25 3 .Ao=AD 4 c0s30°3， 00=2+4=10 3=3 10 点0的坐标为3,0 10 综上，点e的坐标为(3,0)或30 考点08三角函数与几何综合 39.(2026安徽六安一模)如图，己知矩形ABCD中，AD=2AB=8,点P是对角线BD上一个动点（不 与B,D重合)，PE⊥AB于点E,PF⊥AD于点F,连接CP,EF,点M是PD的中点，连接CM, 给出下列结论中，其中正确的是（) A D M A.四边形PEAF的周长是定值 B.EF的最小值为5 C当E= 时，△BEPn△EPF 0.当Er1CM时，BP-号5 【答案】C 53/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：已知矩形ABCD中，AD=2AB=8,则AB=4,AD=8,对角线 BD=VAB2+AD2=V42+82=4V5,∠A=90°， 选项A:设BP=x,则DP=4V5-x, ,PE⊥AB,PF⊥AD,∠A=90°， ∴四边形PEAF是矩形，周长=2(AE+AF), PEI‖AD,PFI AB .△BEPABAD, BE BP ·ABBD' BE=4B BPx BD5· 'AE=AB-BE=4-* :PFI‖AB .△DFPADAB, DF_DP .AD BD' DF=4D DP 2(45-x BD 5 .AF =AD-DF=2x , 四边形 的周长=24-x+2x） 店+5月 8+25x 5，随变化而变化，不是定值， .A错误： 选项B::四边形PEAF是矩形， .EF AP, 根据垂线段最短，当AP⊥BD时，AP最小，如图， F D P B 54/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S.w-74B-4D=BP 2 x4x8-x4154P. 2 2 解得AP=8 5 v5 心F的最小值为 5*V5 .B错误； 进项C当BE= BE BP 5时，由BEP6BAD得ABBD, 4 即5BP 44v5 ,解得BP_45, .PE=4D BP-845 8 BD 45x5=5, ,四边形PEAF是矩形， ·PF=AE=AB-BE=4-416 55· 8 BE51 PE 51 ,且PE82:PF162' ∠BEP=∠EPF=90° 5 5 BE PE PE PF' ∴.△BEPAEPF, .C正确； 选项D:若EF⊥CM,设垂足为N,如图，CM的延长线交AD于点G, N D M C 在Rt△PEB和RUABAD中， an∠ABD=4D=PE-=2, AB BE 55/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.PE=2BE, 设BE=a,则：PE=2a,AF=PE=2a,AE=AB-BE=4-a,BP=VBE2+PE2=V5a, M是PD中点， :DM=Pw-P-45-5a. ADlBC. ∴△DGM∽aBCM. DM DG BM BC' w5-5 DG 即5o*345-5网8 .DG=8x 4-a 4+a ,EF⊥CM, ·.∠FNG=90°=∠CDG,∠FGN=∠CGD, ∴.△NGACDG. .∠NFG=∠DCG. 在RtAEF中，an∠MFG=tan∠AEF-4E4-a AF 2a' 在 中，tanLDCG=DG8xq 8×4+a_2(4-a. RtACDG CD 4 4+a :∠NFG=∠DCG, :.tan∠NFG=tan∠DCG 4+a ,a≠4（若a=4,则P与D重合）， 两边同时除以(4-a),得： 12 2a4+a 56/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 解得= 3, ·BP=V5a=V5x4-454V5 33 5, ∴选项D错误； 综上，正确答案为C 40,(252石九年级上安徽安庆期末)如图，在R△1BC中，B1C=90:co8 4,点D是边BC的中 CE 点，以AD为底边在其右侧作等腰AADE:使∠ADE=∠B连接CE,则D的值为（) D A.5 2 B.Z C.5 D.2 【答案】D 【详解】解：Rt△ABC中，∠BAC=9O°，点D是边BC的中点， AD=BD-DC=7BC. 1 ∴.∠BAD=∠B, :∠ADE=∠B, ∴∠BAD=∠ADE, ∴.AD∥DE, ∠CDE=∠B=∠ADE, 在△CDE和△ADE中， CD=AD ∠CDE=∠ADE DE=DE .△CDE≌△ADE(SAS), .CE=AE 57/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△ADE是等腰三角形， ∴.∠ADE=∠DAE, 又·∠ADE=∠B,∠BAD=∠B, .∠DAE=∠BAD, ∴.△DAEABAD, AE AD .ADAB· COsB=4B 1 . BC 4'BC=2BD=2AD AB 1 .AD2, AE AD ..AD AB =2, ..CE=AE, CE=2, :.AD 故选：D 41.(25-26九年级上安徽六安期末)如图，在正方形ABCD中，AB=2,E为BC中点，沿直线DF翻折 △ADF,使点A的对应点恰好落在线段AE上. E (1)DF= (2)分别在AD,AD上取点M，N,沿直线M继续翻折，使点A'与点D重合，MN= 4 【答案】 5 3 【详解】解：(1)：四边形ABCD是正方形， .∠DAF=∠ABE=90°，AD=AB=2, 由翻折可得，AA⊥DF .∠DFA=∠AEB=90°-∠BAE. 58/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△DAF2△ABE(AAS), ∴AF=BE, ,E为BC中点，BC=2, FC .DF=2+=5: (2)如图，MN为折痕，即点N为AD的中点， 过点A作AH⊥A'D于点H,设DF与AE交于点O, D E 沿直线 翻折 ,使点的对应点 恰好落在线段 上， B DE AADF A A AE ∴.DF为AA的垂直平分线 ∴DA=DA=2,FA=FA ∠DAA'+∠EAB=90°，∠EAB+∠AEB=90°， .∠DAA'=∠AEB, tan∠DAA=:tan/AEB= BE· AB=BC=2,BE=1, ∴tan∠DAA'=2, rtan∠DAA= DO AO' D0=2, AO 设AO=k,则DO=2k」 .AO2+D02=AD2, k2+(2k}=2 解得：k=2V5 5 (负数不合题意舍去)· 59173 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,D045 40=04=25 5 :So=)×AM-D0=xAD-4H, 1 2 2 .AH=8 5 .DH=VAD2-AH=6 AH 4 DH3· MN⊥AD,AH⊥A'D. ∴.MN∥AH ·.DMNDAH, MN AH 4 DN DH 3' :点N为AD的中点，DA'=2, ∴DN=1. w 4 故答案为：√5,3 42.(25-26九年级上安徽准南期未)如图，在△ABC中，点D,E在AC,BC边上，连接DE并延长交 AB延长线于点G.过点D作DF⊥AG于F.已知∠G=2∠ADF,AD=2NI0,AF=2 G B D (1)求tan∠ADG的值： (2)若CE:BE=2:1,点E为DG的中点，求BG的长. 【答案】(13 212 60/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：设∠ADF=a,则∠G=2a, :DF⊥AG, ∴∠AFD=90°， .∠A=90°-a, ∴.∠ADG=180°-2a-(90°-a)=90°-&， ∠ADG=∠A, 在Rt△4DF中，由勾股定理得DF=(21O-2=6, .'tan A= DF_6=3 ∴.tan∠ADG=tanA=3； (2)解：由(1)得∠ADG=∠A, ∴.GA=GD. 设GD=GA=x, ∴.GF=x-2, 在Rt△DFG中，GD2=GF2+DF2, .x2=(x-2)2+62, 解得x=10, ..GD=GA=10 点E为DG的中点， :.GE=ED=5; 如图，过点B作BO∥GD交AC于点O, G B O D C.∴.△EDC∽△BOC CE DE BC BO' .CE:BE=2:1 61/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE 2 BC3 DE2 BO 3, 0-Ds- Γ2· .BQ∥GD ∴∠BQA=∠GDA :∠A=∠GDA, .∠A=LBQA, AB=B0= 2, BG=GA-AB=10-15_5 221 43.(2025安徽合肥。一模)定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”. P 图1 图2 图3 (1)如图1，在菱形ABCD中，E是DC的中点，连接AE,将△AED沿AE翻折到△AEF,延长AF交BC于 点P,请写出图中的所有“筝形”； PC 2)如图2，将(1)中的“菱形ABCD”改为“正方形ABCD”其他条件不变，求PB的值： (3)如图3，在矩形ABCD中，AB=6,AD=5,E是边DC的中点，连接AE,将△AED沿AE翻折到△AEF, 点P是线段BC上一点，若四边形PCEF是“筝形”，请直接写出CP的长 【答案】(L)ABCD,AFED,PCEF 243 9 B)3 【详解】(1)解：四边形ABCD是菱形， 62/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD=AB=CD=BC,即四边形ABCD是“筝形”： 由折叠的性质得：AD=AF,DE=EF, 即四边形AFED是“筝形”； 由折叠的性质得：∠D=∠AFE, ,四边形ABCD是菱形， .∠BCD+∠D=180°， ·∠BCD+∠AFE=l80°. ,∠EFP+∠AFE=180° ∴.∠BCD=LEFP, 连接CF, 夕 E是DC的中点， .DE=EF=CE, ∴.∠EFC=∠ECF, .∠PCF+∠ECF=∠PFC+∠EFC,即∠PCF=∠PFC, :.PF=PC,即四边形PCEF是“筝形”： 综上，图中的“筝形”有ABCD,AFED,PCEF; (2)解：同理(1)得：四边形PCEF是“筝形”， 设DE=EF=CE=x,则CD=2x, ,四边形ABCD是正方形， ·∠D=∠C=90°，AB=BC=CD=AD=2x, .AE=√AD2+DE2=V5x, 连接PE, 63/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B D ,四边形PCEF是“筝形”， 、EF=CE,PC=PF .PF=PF. :.△EFP≌aECP(SSS). ∴∠PEF=∠PEC, 由折叠的性质得：∠AED=∠AEF,∠DAE=∠PAE, :∠AED+∠AEF+∠PEF+∠PEC=180°，即∠AEF+∠PEF=90°， ∴.△APE是直角三角形， .∠PAE+∠AEF=∠AEF+∠PEF=90°， .∠PAE=∠PEF, .∠PAE=∠PEF=∠DAE, DE x 1 tan ZDAE-AD-2x2=tan 2P4F== AE5x PE=5 2 :.PC=PE-CE= 2, 3 .'PB=BC-PC 2, 1 P-21 = 3: (3)解：延长AF交BC于点Q,连接PF,QE, 64/73 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B P 同理(1)可证四边形CEF是“筝形”， 当P,Q重合时，四边形PCEF是“筝形”， 同理(2)得△AOE是直角三角形，∠QAE=∠DAE, :tam∠DAB-=D6=am∠0AB= AD AE :在矩形ABCD中，AB=6,AD=5,E是边DC的中点， :0=cE-c0=8-=3 2 .AE=AD2+DE2=34. 3_E ∴5=34 0E=3v34 5, ∴0C=v@E2-cE2-9 , 此时CP=9 5 44.(25-26九年级上·安徽安庆期末)如图1，在矩形ABCD中，E是BC上一点，CE=CD,把△ABE沿 着AE折叠，点B的对应点F恰好落在线段DE上， A B-- E 图1 图2 (1)求tan∠DAF的值； (2)如图2，延长CF交AE于点G,交AB于点H. ①求证：△GEFADCF: 65/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GH ②求GA的值. 【详解】(1)解：“四边形ABCD是矩形， .∠B=∠BAD=∠ADC=∠DCE=90°， 又，CE=CD “△CDE是等腰直角三角形， .∠CDE=45°， ∴.∠ADF=45° 由折叠可知∠AFE=∠B=90°， .∠DAF=90°-∠ADF=45°， ∴.tan∠DAF=tan45°=l, (2)①证明：：四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD 由折叠可知AB=AF, ..CE =CD ∴AF=CE. 由(1)可知∠AFD=∠B=∠ECD=90°，∠ADF=∠EDC=45°， :.△AFD≌aECD(AAS)」 .AD=DE,DF DC. &∠DcF=∠DrC=X030-45)=675, :∠BEF=180°-∠DEC=135°. A∠AEF=∠AEB=)∠BEF=67.5°， ∠AEF=∠DCF, 又：∠GFE=∠DFC, .△GEF∽aDCF ②解：由折叠可知∠BME=∠FME=B4F=(B4D-∠DAF)=2S° :∠ECF=∠DCE-∠DCF=90°-67.5°=22.5°， ∴.∠BAE=∠ECF 66/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由①知aGEF∽aDCF, ·∠EGF=∠CDF=45°， .∠AGH=45°， 又：∠CEF=45°， .∠AGH=∠CEF, .△HAG∽△FCE, GHEF ·.GACE' 在Rt△CED中，∠CDE=45°. ∴DE=V2CD .DF=DC=CE, .EF=DE-DF=(-1)CD=(2-1)CE, EF CE =2-1, GH=2-1 :G 45.(25-26九年级上·安徽安庆期末)综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固 定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.己知三角形纸片ABC和 DEC,CB=CE=3,AB=DE=4,∠ABC=∠DEC=90°」 ⊙ B B E G E D D 图1 图2 备用图 (1)如图1，连接AD、BE,在纸片CDE绕点C旋转过程中，求证：△CBE△CAD: (2)如图2，在纸片CDE绕点C旋转过程中，当点E恰好落在△ABC的中线BG的延长线上时， ①求AD的长： ②延长DE交AC于点F,求tan∠ACE的值. 67173 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：CB=CE=3,AB=DE=4,∠ABC=∠DEC=90°， :.AC=DC=VAB2+BC2=5,△ABC≌△DEC, ∴.∠BCA=∠ECD ∴∠BCE=∠ACD, BC CE 3 又 AC DC 5' ∴.△CBEP△CAD (2)解：①∠ABC=90°，BG是△ABC的中线， AG=BG=CG=IAC=5 1 2 29 ∴.∠GBC=∠BCA, .CB=CE, ∴.LCEB=∠GBC,则∠BCA=∠CEB, 又∠GBC=LCBE, .△BCG∽△BEC, BG BC BC BE' .BE= BC218 BG 5 又由(1)知△CBE∽△CAD 18 BE BC 即53 AD AC AD5 .AD=6, B G D ②如图，由①知∠CEB=∠GBC-∠BCA,又∠BCA=∠ECD 68/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠CEB=∠ECD, 则BE ICD AFGEAFCD. EF_GE FD CD' 18 由O知BE= 5 BG= 2, ∴.GE=BE-BG= 11 10 11 EF=10, EF+45 .FB=44 39 44 tan∠ACE= FE_39 44 CE3117 B D 46.(25-26九年级上·安徽池州期末)在四边形ABCD中，∠ADB=90°，AC与BD相交于点E, BE·DE=AE·CE D D G 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：BC⊥AC: (2)当AC平分∠DAB时，作DG⊥AB于G点交AC于F点. 69173 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①如图2，若点G为AB中点，求证：AE=V2AF: DE ②如图3，若BC=4E,求AD的值. 【详解】(1)证明：，BE·DE=AECE, DE AE ·CEBE' ∠AED=∠BEC, ∴.△AEDOABEC. ∴.∠ADB=∠ACB=90°， BC⊥AC: (2)①证明：：点G为AB中点，∠ADB=90°， .DG=AG. ,DG⊥AB ∴.△AGD是等腰直角三角形， ∴.AD=V2AG,∠DAG=45°， :AC平分∠DAB ·∠DAC=LBAC, ,∠ADB=∠AGD=90°. .△DAEn△GAF, AE-D=2,即AE=2AF ·AFAG ②由△AED∽aBEC得∠DAE=∠CBE, ∠DAE=∠CAB, .∠CBE=∠CAB ∠BCE=∠ACB, :△BCEn△ACB, .BC2 CE.AC, .BC=AE, .AE2=CE.AC, CgcE-52,即ianZC6s5-月 由黄金分割知AEBC 2 70173 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由△DAE∽△GAF得∠AFG=∠AED, ∠AFG=∠DFE, ∴.∠DFE=∠AED, .DF DE, DF DE :.ADAD =tan∠DAE=tan∠CBE=V5-l 2 47.(2425九年级上·安徽合肥期末)(1)【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在边BC上.若 ∠CAD=∠B,则AC2=CDCB,请证明： B D 图1 图2 图3 (2)【灵活运用】如图2，在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，CA=CD=4.点E在AB上， 连接AD,DE若∠AED=∠CAD,求BE的长： (3)【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB=5,点E,F分别在边AD,CD上，∠ABC=2∠EBF, 延长AD,BF相交于点G.若BE=4,DG=6,直接写出FG的长. 【详解】(1)证明：：∠CAD=∠B,∠C=∠C, ∴△CADn△CBA, AC CD BCAC' ..AC2 CD.CB. (2)解：过点C作CF⊥AB于点F,过点D作DG⊥AB于点G,如图所示： D G B E 则∠AFC=∠AGD=90° .CF∥DG, ,∠BAC=60°， 71/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :D为BC的中点， .BD=CD=BC=4 2 CF∥DG, .△BDGr△BCF, DG_BG_BD 1 ·CF BF BC2' .DG-CF-3 BG=VBD2-DG=42-(V5=3, ..BF =2BG=213 .AB=AF+BF=2+2v13, .AC=CD .∠CAD=∠CDA, ,∠AED=∠CAD, ∴.∠AED=∠CDA. ∴：∠AED+∠BED=∠ADC+∠ADB=18O°， ∠BED=∠ADB, ,∠DBE=∠ABD, ∴，△BEDP△BDA, BE BDBE= 4 六BD=AB,即42+215， 解得：BE=2v3-2 39 (3)解：连接BD,如图所示： E D G B ,四边形ABCD为菱形， 72/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ABD=∠CBD=)∠ABC，AD=AB=BC=5'ADIBC, 1 ,∠ABC=2LEBF ∴∠ABD=∠CBD=∠EBF, ·.∠EBF-∠DBF=∠CBD-∠DBF,即LDBE=∠CBF, AD‖BC, ∴∠CBF=∠G, .∠DBE=∠G. ,∠DEB=∠BEG. ∴△BEDAGEB, DE BE ·BEEG' :DG=6, ..EG=DE+6. DE 4 :.4=DE+6' 解得：DE=2,负值舍去， EG=2+6=8. .AE AD-DE=3. :AE2+BE2=32+42=52=AB2, ∴.△ABE为直角三角形，∠AEB=90°， .∠BEG=180°-90°=90°， ∴，.在Rt△BEG中根据勾股定理得：BG=VBE2+EG=√42+82=4V5, ∴.BF=BG-FG=4V5-FG, ..AD BC. .△DFGACFB, FG DG FG .6 ·BF=BC,即4V5-FG5, 解得：FG= 24V5 11 73/73