专题37 概率的应用专项训练（6大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题37 概率的应用 题型01 用频率估计概率 题型02 概率在比赛中的应用 题型03 概率在游戏中的应用 题型04 抽签方法是否合理 题型05 通过概率进行估计 题型06 数据与概率 ▌题型01 用频率估计概率 【典例1】某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有______________棵． 【变式1-1】下表记录了某纺织厂对一批衬衣进行抽检统计的结果 抽取件数n 50 100 150 200 500 800 1000 合格数m 48 93 143 189 478 759 952 合格率 a (1)______； (2)估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率为______；（精确到） (3)若从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有多少件？ 【变式1-2】林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据： 移植的棵数 1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000 成活的棵数 865 1356 2220 3500 7056 13170 17580 26430 成活的频率 （精确到） (1)________，________； (2)估计该种幼树在此条件下移植成活的概率的估计值是多少？（精确到） (3)若要成活26400棵树苗，需要移植多少棵树苗？ 【变式1-3】某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数 48 95 471 946 1426 1898 优等品的频率 0.960 0.950 0.940 0.942 0.946 0.951 (1)请求出，的值； (2)从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是（精确到0.01）； (3)若这批乒乓球共有4500个，请估计其中是优等品的个数． ▌题型02 概率在比赛中的应用 【典例1】小明与小颖做游戏，他们连续掷一枚质地均匀的硬币，每掷一次硬币，若正面朝上，则小明得1分，否则，小颖得1分，谁先得3分谁获胜．进行一段时间后，小明得了2分，小颖得了1分，这时，小明有事要离开，游戏即将中断．如果游戏继续，你认为小明和小颖获胜的概率分别是多少？ 【变式1-1】两人用一枚质地均匀的骰子做游戏，游戏规则如下：每人从中任意选择一个数，然后两人各掷一次骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负．做若干次游戏，你有哪些经验？ 【变式1-2】《测圆海镜》《四元玉鉴》《几何原本》均为世界数学宝库中不可多得的瑰宝．将上述三本数学典籍依次记为、、，将2个写有字母，6个写有字母，4个写有字母的形状大小完全相同的小球放入一个不透明的布袋中，将袋中的小球摇匀后，从中随机摸出一个小球，记下小球上的字母后放回，记为随机摸球1次． (1)随机摸球20次，其中摸出写有字母的小球4次，则这20次摸球中，摸出写有字母的小球的频率是________； (2)已知《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国著作，《几何原本》是外国著作，小美和小乐玩摸球游戏，随机摸球1次，若摸出的小球上字母所对应的典籍是我国著作，则小美赢；若摸出的小球上字母所对应的典籍是外国著作，则小乐赢．请分别计算出小美赢的概率和小乐赢的概率，并说明谁赢的概率大． 【变式1-3】为迎接党的二十大胜利召开，我市组织了形式多样的主题教育，某校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将该校九年级学生成绩统计如图所示． (1)该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ； (2)m的值为 ，请将条形统计图补充完整； (3)学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． ▌题型03 概率在游戏中的应用 【典例1】小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字． (1)小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为__________________； (2)小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张，请用列表法或画树状图进行分析，若两人抽取卡片上的数字之积为无理数，则小明胜；否则小亮胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 【变式1-1】某不透明袋子中装有若干个除颜色外完全相同的小球，其中有4个黄球，其余为白球．现将球搅匀后，随机摸出一个球记下颜色后放回，重复试验200次，其中摸到黄球的次数为80次． (1)估计摸到黄球的概率； (2)求袋子中白球的数量； (3)若在原有球的基础上放入2个红球，判断摸出红球和黄球的可能性是否相同，若摸到红球甲胜，摸到黄球乙胜，并说明游戏是否公平． 【变式1-2】月日是世界读书日，为了营造多读书、读好书的氛围，某校举办了校园读书节，要在小明和小华中选取一人作为读书节主持人．在一个不透明的袋子中放入标有，，，，，，，的八个小球（小球除标的数字不同外，其他均相同），从中任意抽取一个，若抽到小球上的数字是的倍数，则小明去；若抽到小球上的数字大于，则小华去． (1)任意抽取一个小球，抽到小球上的数字是的倍数的概率是________； (2)通过计算说明这个游戏规则对双方是否公平？ 【变式1-3】小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字，，2，3． (1)小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为________； (2)小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张．若两人抽取卡片上的数字之积为正数，则小明胜；否则小亮胜．请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． ▌题型04 抽签方法是否合理 【典例1】全国热门体育赛事共有十个，某班体育爱好者小川和小云对于足球和篮球赛事比较热心，但小川更喜欢足球，小云更喜欢篮球，某日约定一起在家中观看球赛，家中只有一部电视，如果此刻有两个台同时播放篮球赛，一个台播放足球赛，二人商定利用抽签的方式确定观看比赛． (1)如果将三个台做成三个签，小川先抽，他从三个签抽一个，抽到的刚好是播放足球赛电视台的概率为_____； (2)如果将三个台做成三个签，小云先抽，小川再从剩下的签中抽取一个，求小川抽到播放足球赛电视台的概率． 【变式1-1】从分别标有A、B、C的3根纸签中随机抽取一根，然后放回，再随机抽取一根，两次抽签的所有可能结果的树形图如下： 那么抽出的两根签中，一根标有A，一根标有C的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】2024年河北省初中学业水平体育与健康科目考试的抽考项目包含①②③④共四项，由各市教育行政部门抽签决定．某市教育行政部门从四个项目中随机抽取一项，抽到项目①的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】为了加强学生国防教育，某校举办了主题为“爱我中华，强我国防”的演讲比赛，甲、乙、丙、丁四名学生分在同一个小组，赛前需要以抽签的方式确定出场顺序，主持人将表示出场顺序的卡片(除正面分别写有1，2，3，4外，其余完全相同)背面朝上放在桌面上，洗匀后先由甲随机抽取一张，然后由乙随机抽取一张，甲、乙抽到的出场顺序相邻的概率为___________． ▌题型05 通过概率进行估计 【典例1】养鱼池养了同一品种的鱼，要大概了解养鱼池中的鱼的数量，池塘的主人想出了如下的办法：“他打捞出80尾鱼，做了标记后又放回了池塘，过了三天，他又捞了一网，发现捞起的90尾鱼中，带标记的有6尾．”你认为池塘主的做法（    ） A．有道理，池中大概有1200尾鱼 B．无道理 C．有道理，池中大概有7200尾鱼 D．有道理，池中大概有1280尾鱼 【变式1-1】承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了80条鱼，并对它们进行标记，然后将这80条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．估计池塘里有鱼（     ） A．1000条 B．1600条 C．2000条 D．2500条 【变式1-2】某鱼塘里混养了180条鲤鱼、若干条草鱼和120条鲫鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验，发现捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲫鱼的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】王老汉为了与客户签订购销合同，对自己的鱼塘中的鱼的总条数进行估计．第一次捞出条，并将每条鱼作出记号放入水中；当它们完全混合鱼群后，又捞出条，其中带有记号的鱼有条，王老汉的鱼塘中鱼的条数估计约为________条． ▌题型06 数据与概率 【典例1】为了更好地传承雷锋精神，在雷锋纪念日来临之际，某校组织七、八年级学生开展了一次“学雷锋”知识竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分分别记为10分，9分，8分，7分，竞赛结束后两个年级各抽取50名学生的竞赛成绩进行整理分析．部分信息如下： 信息一：七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 a 9 1.06 八年级 8.76 8 b 1.38 信息二：七、八年级学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)求出学生竞赛成绩统计表中a、b的值，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； (2)七、八年级中成绩更稳定的是哪个年级？并说明理由； (3)若该校七年级有500人，八年级有600人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ (4)现从七、八年级学生中选择了2男3女共5名学生作县级比赛候选人，若随机抽取2人参加县级比赛，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【变式1-1】目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)此次共调查了_____人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为_____； (2)该学校根据调查结果计划开展一门社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为_____类（填A、B、C或D）； (3)将四个类型的图标依次制成A、B、C、D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，用树状图或列表求抽取到的两张卡片内容相同的概率． 【变式1-2】为提高学生身体素养，某校在10月举行最美课间操比赛，最终甲、乙、丙三个班级进入决赛．决赛需进行五个单项比赛，计分规则如下：①单项比赛计分规则：五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分．②团体决赛计分规则：各单项得分之和为团体最终成绩，名次按成绩由高到低排序；若成绩相同，则方差较小的班级排名靠前．现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理并绘制统计图表，部分信息如下：丙班在第二个单项比赛中，五名裁判的打分为：85，88，90，92，95．根据以上信息，回答下列问题： 项目 一 二 三 四 五 得分 95 m 88 92 90 丙班五个单项得分表 (1)上述m的值为___； (2)已知甲班团体总分为450分，乙班和丙班总分均为455分，请通过计算判断哪个班级获得冠军； (3)获得前两名的班级可分别从A、B、C三种图书中选择一套作为奖励，求两个班级选择同一套图书的概率． 【变式1-3】在实验教育集团“学习总理精神，担当时代责任”主题演讲比赛中，A、B两所学校各有10名学生进入决赛，现对他们的成绩（满分100分）进行整理分析，得到如图表信息： 平均数 众数 中位数 A学校 85.5 80 n B学校 85.5 m 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：________，________； (2)A、B两所学校决赛成绩的方差分别记为、，请判断_______（填“”“”或“”）； (3)本次比赛的前4名分别来自A、B两所学校，该区决定从这4位学生（A校3位，B校1位）中随机选取2位学生参加市级竞赛，求选中的两位学生恰好在同一学校的概率． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题37 概率的应用 题型01 用频率估计概率 题型02 概率在比赛中的应用 题型03 概率在游戏中的应用 题型04 抽签方法是否合理 题型05 通过概率进行估计 题型06 数据与概率 ▌题型01 用频率估计概率 【典例1】某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有______________棵． 【答案】1600 【分析】本题考查折线统计图，频率估计概率，利用样本的概率估计总体数量，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据图形可以发现，频率在0.8附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再根据成活概率估算总体数量即可． 【详解】解：由图可得这种树苗成活的频率约为0.8， ∴这种树苗成活的概率为0.8， ∴这种树苗移植2000棵，成活的大约有：（棵）， 故答案为：1600． 【变式1-1】下表记录了某纺织厂对一批衬衣进行抽检统计的结果 抽取件数n 50 100 150 200 500 800 1000 合格数m 48 93 143 189 478 759 952 合格率 a (1)______； (2)估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率为______；（精确到） (3)若从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有多少件？ 【答案】(1) (2) (3)60件 【分析】本题考查用频率估计算概率，频率计算公式，求出合格品的频率是解题的关键． （1）根据合格率，计算即可； （2）求出合格品的频率 ，由此估计出合格品的概率； （3）根据次品数，计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：抽查总体件数：， 合格品数：， ∴抽合格品的频率为：， ∴估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率约为， 故答案为：． （3）解：（件）， 答：从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有60件． 【变式1-2】林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据： 移植的棵数 1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000 成活的棵数 865 1356 2220 3500 7056 13170 17580 26430 成活的频率 （精确到） (1)________，________； (2)估计该种幼树在此条件下移植成活的概率的估计值是多少？（精确到） (3)若要成活26400棵树苗，需要移植多少棵树苗？ 【答案】(1) (2) (3)30000 【分析】（1）根据成活的频率成活的棵树移植的棵树进行求解即可； （2）根据概率是大量反复试验下频率的稳定值进行求解即可； （3）用成活的树苗数除以成活的概率即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， 这种幼树移植成活率的概率约为； （3）解：（棵） 答：若要成活26400棵树苗，需要移植30000棵树苗． 【点睛】本题主要考查了频率的计算，用频率估计概率，已知概率求数量等等，熟知概率是大量反复试验下频率的稳定值是解题的关键． 【变式1-3】某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数 48 95 471 946 1426 1898 优等品的频率 0.960 0.950 0.940 0.942 0.946 0.951 (1)请求出，的值； (2)从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是（精确到0.01）； (3)若这批乒乓球共有4500个，请估计其中是优等品的个数． 【答案】(1)， (2)0.95 (3)4275个 【分析】（1）根据优等品的频率计算即可； （2）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据表中优等品的频率判定即可； （3）用4500乘以优等品的概率即可得解． 【详解】（1）解：，； （2）从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是0.95； （3）（个）， ∴优等品的个数是4275个． 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，理解利用频率估计概率的相关知识，并准确计算是解题的关键． ▌题型02 概率在比赛中的应用 【典例1】小明与小颖做游戏，他们连续掷一枚质地均匀的硬币，每掷一次硬币，若正面朝上，则小明得1分，否则，小颖得1分，谁先得3分谁获胜．进行一段时间后，小明得了2分，小颖得了1分，这时，小明有事要离开，游戏即将中断．如果游戏继续，你认为小明和小颖获胜的概率分别是多少？ 【答案】小明获胜的概率为，小颖获胜的概率为． 【分析】根据当前比分确定最多再掷2次硬币即可分出胜负，列举所有等可能的结果，结合概率公式计算两人获胜的概率． 【详解】解：由题意得，小明已得2分，小颖已得1分，先得3分者获胜，因此最多再掷2次硬币即可分出胜负． 掷两次硬币，所有等可能的结果为（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种． 若第一次掷出正面，小明累计得3分直接获胜，对应（正，正）、（正，反）2种结果； 若第一次掷出反面，第二次掷出正面，小明累计得3分获胜，对应（反，正）1种结果； 若两次均掷出反面，小颖累计得3分获胜，对应（反，反）1种结果． ∴小明获胜的结果共3种，小颖获胜的结果共1种． ∴（小明获胜），（小颖获胜）． 答：小明获胜的概率为，小颖获胜的概率为． 【变式1-1】两人用一枚质地均匀的骰子做游戏，游戏规则如下：每人从中任意选择一个数，然后两人各掷一次骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负．做若干次游戏，你有哪些经验？ 【答案】优先选择数字7，获胜概率最高，数字越接近7，获胜概率越高，越远离7，获胜概率越低． 【分析】列举两人掷骰子点数之和的所有等可能结果，统计每个和的出现次数，比较各数对应的获胜概率，总结选择规律． 【详解】解：∵单次掷一枚骰子，点数有共6种等可能结果， ∴两人各掷一次骰子，共有种等可能的结果． 统计不同点数和对应的结果数： 和为2：1种； 和为3：2种； 和为4：3种； 和为5：4种； 和为6：5种； 和为7：6种； 和为8：5种； 和为9：4种； 和为10：3种； 和为11：2种； 和为12：1种； ∴选择数字7的获胜概率为，是所有数字中最高的，且数字越靠近7，对应获胜概率越高，越远离7，获胜概率越低． 【变式1-2】《测圆海镜》《四元玉鉴》《几何原本》均为世界数学宝库中不可多得的瑰宝．将上述三本数学典籍依次记为、、，将2个写有字母，6个写有字母，4个写有字母的形状大小完全相同的小球放入一个不透明的布袋中，将袋中的小球摇匀后，从中随机摸出一个小球，记下小球上的字母后放回，记为随机摸球1次． (1)随机摸球20次，其中摸出写有字母的小球4次，则这20次摸球中，摸出写有字母的小球的频率是________； (2)已知《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国著作，《几何原本》是外国著作，小美和小乐玩摸球游戏，随机摸球1次，若摸出的小球上字母所对应的典籍是我国著作，则小美赢；若摸出的小球上字母所对应的典籍是外国著作，则小乐赢．请分别计算出小美赢的概率和小乐赢的概率，并说明谁赢的概率大． 【答案】(1)； (2)解：， 因为小球上字母为、所对应的典籍是我国著作，小球上字母为所对应的典籍是外国著作，写有字母、、的小球个数分别为2、6、4， 所以小美赢的概率为， 小乐赢的概率为， 因为， 所以小美赢的概率大． 【分析】（1）直接根据频率的公式计算即可； （2）由概率公式分别求出小美赢的概率和小乐赢的概率，再比较即可． 【详解】（1）解：随机摸球20次，其中摸出写有字母的小球4次，则这20次摸球中，摸出写有字母的小球的频率是； （2）略. 【变式1-3】为迎接党的二十大胜利召开，我市组织了形式多样的主题教育，某校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将该校九年级学生成绩统计如图所示． (1)该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ； (2)m的值为 ，请将条形统计图补充完整； (3)学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 【答案】(1)500， (2)40； (3)解：此规则不合理，理由如下： 画树状图如图所示： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中选甲乙的有8种结果，选丙丁的有4种结果， ∴P（选甲乙），P（选丙丁）． 又∵， 此规则不合理． 【分析】（1）利用“总数量部分数量对应百分比”，即可解答；利用“圆心角的度数 ”，即可得出答案； （2）根据题意先求出“B”等级的人数，据此即可补全条形统计图；进一步得出“B”等级所占百分比，即可得出m的值； （3）根据题意画出树状图，得出所有可能出现的结果，再由概率公式求出选甲乙的概率和选丙丁的概率，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，总人数为：（人）， “D”等级所占圆心角的度数为． （2）解：由题意得，“B”等级的人数为：（人）， ∴“B”等级所占百分比为：，   ∴； 图略． （3）略 ▌题型03 概率在游戏中的应用 【典例1】小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字． (1)小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为__________________； (2)小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张，请用列表法或画树状图进行分析，若两人抽取卡片上的数字之积为无理数，则小明胜；否则小亮胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：这个游戏规则不公平． 根据题意列表如下： 小明/小亮 2 3 4 2 2 1 2 4 6 3 −6   6 9 观察图表可知共有16种等可能的结果，其中两人抽取卡片上的数字之积为无理数的结果有0种，乘积是有理数的结果是16种， ，， ， 该游戏规则不公平． 【分析】（1）根据卡片是负数情况的可能性除以总情况即可求出卡片上的数字是负数的概率． （2）根据列表法，求出乘积是无理数的情况，即可求出小明和小亮分别胜出的概率，从而判断游戏是否公平． 【详解】（1）解：负数的卡片的个数是2个，总的卡片是4个， 负数抽取的概率是． （2）略 【变式1-1】某不透明袋子中装有若干个除颜色外完全相同的小球，其中有4个黄球，其余为白球．现将球搅匀后，随机摸出一个球记下颜色后放回，重复试验200次，其中摸到黄球的次数为80次． (1)估计摸到黄球的概率； (2)求袋子中白球的数量； (3)若在原有球的基础上放入2个红球，判断摸出红球和黄球的可能性是否相同，若摸到红球甲胜，摸到黄球乙胜，并说明游戏是否公平． 【答案】(1) (2) 6 (3) 摸出红球和黄球的可能性不相同，游戏不公平．　 理由如下： 放入2个红球后，总球数为（个）， 摸出红球的概率为， 摸出黄球的概率为， ∵ ， ∴ 摸出两种球的可能性不同，游戏不公平． 【分析】（1）利用大量重复试验的频率稳定值估计概率，计算摸到黄球的频率即可； （2）根据黄球的概率公式列分式方程求解白球数量； （3）分别计算摸出红球和黄球的概率，比较概率大小判断可能性与游戏公平性． 【详解】（1）解：∵ 重复摸球试验200次，摸到黄球80次， ∴摸到黄球的频率为， ∴估计摸到黄球的概率为； （2）解：由（1）可知，摸到黄球的概率为， ∴袋子中总球数为（个）， ∴袋子中白球的数量为（个）． （3）略． 【变式1-2】月日是世界读书日，为了营造多读书、读好书的氛围，某校举办了校园读书节，要在小明和小华中选取一人作为读书节主持人．在一个不透明的袋子中放入标有，，，，，，，的八个小球（小球除标的数字不同外，其他均相同），从中任意抽取一个，若抽到小球上的数字是的倍数，则小明去；若抽到小球上的数字大于，则小华去． (1)任意抽取一个小球，抽到小球上的数字是的倍数的概率是________； (2)通过计算说明这个游戏规则对双方是否公平？ 【答案】(1) (2)不公平 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别根据概率公式求解两人去的概率，然后比较两个概率的大小即可判断游戏的公平性． 【详解】（1）解：一共有8个球，其中数字是的倍数的为3，6，有2个， 所以任意抽取一个小球，抽到小球上的数字是的倍数的概率是； （2）解：一共有8个球，其中数字是2的倍数的为2，4，6，8，有4个；数字大于的为11，13，17，有3个， 所以抽到小球上的数字是的倍数的概率为；抽到小球上的数字大于的概率为， ∵， ∴这个游戏规则对双方不公平． 【变式1-3】小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字，，2，3． (1)小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为________； (2)小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张．若两人抽取卡片上的数字之积为正数，则小明胜；否则小亮胜．请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏规则公平 理由如下：画树状图如下 共有16种等可能的结果，其中两人抽取卡片上的数字之积为正数的结果有8个，两人抽取卡片上的数字之积为负数的结果有8个， （小明胜），P（小亮胜）， ∴小明胜的概率=小亮胜的概率， ∴这个游戏规则公平． 【分析】（1）根据卡片上标有数字为负数的个数和概率公式进行解答即可； （2）画出树状图并利用概率公式分别求出小明胜和小亮胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵卡片上分别标有数字，，2，3．负数共2个， ∴小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为． （2）略 ▌题型04 抽签方法是否合理 【典例1】全国热门体育赛事共有十个，某班体育爱好者小川和小云对于足球和篮球赛事比较热心，但小川更喜欢足球，小云更喜欢篮球，某日约定一起在家中观看球赛，家中只有一部电视，如果此刻有两个台同时播放篮球赛，一个台播放足球赛，二人商定利用抽签的方式确定观看比赛． (1)如果将三个台做成三个签，小川先抽，他从三个签抽一个，抽到的刚好是播放足球赛电视台的概率为_____； (2)如果将三个台做成三个签，小云先抽，小川再从剩下的签中抽取一个，求小川抽到播放足球赛电视台的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率公式、列表法或树状图法求概率等知识点，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键． （1）共有3种等可能出现的结果，其中抽到的刚好是播放足球赛的有1种，再根据概率的定义求解即可； （2）用树状图列举出所有等可能出现的结果以及抽到播放足球赛电视台的情况数，再根据概率的公式计算即可． 【详解】（1）解：将三个台做成三个签，小川先抽，他从三个签抽一个，抽到的刚好是播放足球赛电视台的概率为． 故答案为：． （2）解：设播放篮球赛为A，B台，播放足球赛C台， 所有等可能结果用树状图表示如下： 即所有等可能结果共有6种，其中小川抽到足球赛的有2种， 所以小川抽到足球赛电视台得概率为． 【变式1-1】从分别标有A、B、C的3根纸签中随机抽取一根，然后放回，再随机抽取一根，两次抽签的所有可能结果的树形图如下： 那么抽出的两根签中，一根标有A，一根标有C的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据树状图分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【详解】解：由树状图得：两次抽签的所有可能结果一共有9种情况， 一根标有A，一根标有C的有A，C与C，A两种情况， 一根标有A，一根标有C的概率是． 【变式1-2】2024年河北省初中学业水平体育与健康科目考试的抽考项目包含①②③④共四项，由各市教育行政部门抽签决定．某市教育行政部门从四个项目中随机抽取一项，抽到项目①的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率．熟练掌握概率的定义，简单概率的计算，是解决问题的关键． 根据共4种等可能结果，抽到①的可能只有1种，用1除以4，即得． 【详解】∵抽考项目包含①②③④共四项， ∴从四个项目中随机抽取一项，抽到项目①的概率为，． 故选：C． 【变式1-3】为了加强学生国防教育，某校举办了主题为“爱我中华，强我国防”的演讲比赛，甲、乙、丙、丁四名学生分在同一个小组，赛前需要以抽签的方式确定出场顺序，主持人将表示出场顺序的卡片(除正面分别写有1，2，3，4外，其余完全相同)背面朝上放在桌面上，洗匀后先由甲随机抽取一张，然后由乙随机抽取一张，甲、乙抽到的出场顺序相邻的概率为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查画树状图或列表法求概率，掌握画树状图或列表法求概率方法是解题关键． 列表表示出所有等可能的情况和甲、乙抽到的出场顺序相邻的情况，然后根据概率公式求解即可． 【详解】列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 ∴共有12种等可能的情况，其中甲、乙抽到的出场顺序相邻的情况有6种， ∴甲、乙抽到的出场顺序相邻的概率为． 故答案为：． ▌题型05 通过概率进行估计 【典例1】养鱼池养了同一品种的鱼，要大概了解养鱼池中的鱼的数量，池塘的主人想出了如下的办法：“他打捞出80尾鱼，做了标记后又放回了池塘，过了三天，他又捞了一网，发现捞起的90尾鱼中，带标记的有6尾．”你认为池塘主的做法（    ） A．有道理，池中大概有1200尾鱼 B．无道理 C．有道理，池中大概有7200尾鱼 D．有道理，池中大概有1280尾鱼 【答案】A 【分析】设池中大概有鱼x尾，然后根据题意可列方程，进而问题可求解． 【详解】解：设池中大概有鱼x尾，由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解； ∴池塘主的做法有道理，池中大概有1200尾鱼； 故选A． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用及概率，熟练掌握分式方程的应用及概率是解题的关键． 【变式1-1】承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了80条鱼，并对它们进行标记，然后将这80条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．估计池塘里有鱼（     ） A．1000条 B．1600条 C．2000条 D．2500条 【答案】B 【分析】明确标记均匀分布后，标记鱼在总体中的占比等于重捕样本中标记鱼的占比，据此列方程求解即可． 【详解】设池塘里总共有条鱼． ∵标记鱼均匀分布后，总体中标记鱼的占比等于重捕样本中标记鱼的占比， ∴ 解得 ， 经检验，是原方程的解，符合题意， 因此估计池塘里有鱼1600条． 【变式1-2】某鱼塘里混养了180条鲤鱼、若干条草鱼和120条鲫鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验，发现捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲫鱼的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了频率、用频率估计概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据捕捞到草鱼的频率稳定在，可设草鱼数量为条，利用概率公式列出方程求解，再计算总鱼数，最后求捞到鲫鱼的概率． 【详解】解：设草鱼数量为条， 则总鱼数为：条， ∵ 捕捞到草鱼的频率为， ∴ ， 解得， ∴总鱼数为条， 则捞到鲫鱼的概率为． 故选：C． 【变式1-3】王老汉为了与客户签订购销合同，对自己的鱼塘中的鱼的总条数进行估计．第一次捞出条，并将每条鱼作出记号放入水中；当它们完全混合鱼群后，又捞出条，其中带有记号的鱼有条，王老汉的鱼塘中鱼的条数估计约为________条． 【答案】 【分析】先计算出有记号鱼的频率，再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数． 【详解】设鱼的总数为x条 鱼的概率近似等于 解得x=5000． 经检验满足方程， 故王老汉的鱼塘中鱼的条数估计约为5000条． 【点睛】用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．关键是根据有记号的鱼的频率得到相应的等量关系． ▌题型06 数据与概率 【典例1】为了更好地传承雷锋精神，在雷锋纪念日来临之际，某校组织七、八年级学生开展了一次“学雷锋”知识竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分分别记为10分，9分，8分，7分，竞赛结束后两个年级各抽取50名学生的竞赛成绩进行整理分析．部分信息如下： 信息一：七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 a 9 1.06 八年级 8.76 8 b 1.38 信息二：七、八年级学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)求出学生竞赛成绩统计表中a、b的值，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； (2)七、八年级中成绩更稳定的是哪个年级？并说明理由； (3)若该校七年级有500人，八年级有600人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ (4)现从七、八年级学生中选择了2男3女共5名学生作县级比赛候选人，若随机抽取2人参加县级比赛，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)学生竞赛成绩统计表中a、b的值分别为9，10，补全条形统计图如下： (2)七年级成绩更稳定，理由如下：在平均数相同的情况下，七年级的方差小于八年级的方差，所以七年级成绩较稳定 (3)估计该校七、八年级学生中成绩为优秀的学生共有648人 (4)恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 【分析】（1）根据中位数、众数的定义确定a、b的值；先求出七年级成绩C等级人数为4，再补全条形统计图即可； （2）利用方差进行决策即可； （3）用样本估计整体即可解答； （4）先根据题意列表确定所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：七年级有50名学生， ∴七年级成绩由高到低排在第25和26位的是B等级， 中位数， 八年级A等级人数最多， 众数． 七年级成绩C等级人数为：（人）， 七年级竞赛成绩统计图补充完整如图：略 （2）解：七年级成绩更稳定，理由略． （3）解：（人）． 答：估计该校七、八年级学生中成绩为优秀的学生共有648人． （4）解：根据题意列表如下： 男1 男2 女1 女2 女3 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） （男1，女3） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） （男2，女3） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） （女1，女3） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） （女2，女3） 女3 （女3，男1） （女3，男2） （女3，女1） （女3，女2） 由列表可知，总共有20种等可能结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况数为12，故恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 【变式1-1】目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)此次共调查了_____人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为_____； (2)该学校根据调查结果计划开展一门社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为_____类（填A、B、C或D）； (3)将四个类型的图标依次制成A、B、C、D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，用树状图或列表求抽取到的两张卡片内容相同的概率． 【答案】(1)400， (2)D (3) 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、用列表法或树状图法求概率、求扇形统计图圆心角度数，求众数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用B类的人数除以所占的百分比即可得出总人数，用乘以C类所占的比例即可得出圆心角度数； （2）求出D类的人数，再根据众数的定义求解即可； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：此次共调查了人， ∴扇形统计图中C类对应的圆心角度数为； 故答案为：400，； （2）解：D类的人数为（人）， ∵， ∴D类的人数最多，即众数为D类，故选：D； （3）解：画出树状图如下： ； 由树状图可得，共有16种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有4种， 抽取到的两张卡片内容一致的概率为； 故答案为：． 【变式1-2】为提高学生身体素养，某校在10月举行最美课间操比赛，最终甲、乙、丙三个班级进入决赛．决赛需进行五个单项比赛，计分规则如下：①单项比赛计分规则：五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分．②团体决赛计分规则：各单项得分之和为团体最终成绩，名次按成绩由高到低排序；若成绩相同，则方差较小的班级排名靠前．现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理并绘制统计图表，部分信息如下：丙班在第二个单项比赛中，五名裁判的打分为：85，88，90，92，95．根据以上信息，回答下列问题： 项目 一 二 三 四 五 得分 95 m 88 92 90 丙班五个单项得分表 (1)上述m的值为___； (2)已知甲班团体总分为450分，乙班和丙班总分均为455分，请通过计算判断哪个班级获得冠军； (3)获得前两名的班级可分别从A、B、C三种图书中选择一套作为奖励，求两个班级选择同一套图书的概率． 【答案】(1)90 (2)乙班方差较小，乙班获得冠军 (3) 【分析】本题考查了方差、平均数、概率的计算： （1）根据①单项比赛计分规则进行计算即可； （2）求出乙班和丙班的方差，方差小的获得冠军； （3）采用列举法即可解答． 【详解】（1）解：裁判打分：， 去掉最高分95和最低分85，剩余分数为， 平均分， 故丙班第二个单项得分， 故答案为：90； （2）解：乙班方差计算： 单项得分：， 平均分， 方差 ； 丙班方差计算： 单项得分：， 平均分， 方差 结论：乙班方差更小，因此乙班获得冠军； （3）解：两班独立选择三种图书，共有9种等可能结果： ， 其中选择相同的有三种，概率． 【变式1-3】在实验教育集团“学习总理精神，担当时代责任”主题演讲比赛中，A、B两所学校各有10名学生进入决赛，现对他们的成绩（满分100分）进行整理分析，得到如图表信息： 平均数 众数 中位数 A学校 85.5 80 n B学校 85.5 m 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：________，________； (2)A、B两所学校决赛成绩的方差分别记为、，请判断_______（填“”“”或“”）； (3)本次比赛的前4名分别来自A、B两所学校，该区决定从这4位学生（A校3位，B校1位）中随机选取2位学生参加市级竞赛，求选中的两位学生恰好在同一学校的概率． 【答案】(1)85；87 (2) (3) 【分析】本题考查列表法与树状图法、中位数、众数、方差，熟练掌握列表法与树状图法、中位数、众数、方差的定义是解答本题的关键． （1）根据众数和中位数的定义可得答案． （2）根据方差的定义可得答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及选中的两位学生恰好在同一学校的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：（1）由折线统计图可得，， 将学校的10名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第5名和第6名的成绩为86分，88分，． 故答案为：85；87． （2）由折线统计图可知，校学生成绩的波动幅度明显大于校学生成绩的波动幅度， 故答案为：． （3）将A校3位学生分别记为甲，乙，丙，将B校1位学生记为丁， 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中选中的两位学生恰好在同一学校的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），共6种， 选中的两位学生恰好在同一学校的概率为． 故答案为：． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $