专题34 数据的集中趋势和离散程度的六类计算题专项训练（6大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题34 数据的集中趋势和离散程度的六类计算题 题型01 求算数平均数 题型02 求加权平均数 题型03 求四分位数 题型04 求方差 题型05 求极差 题型06 求离差平方和 ▌题型01 求算数平均数 【典例1】现用8辆轿车上的里程表测量同一段公路的长度，测量结果（单位：）如下： 100    102    98    102    97    102    100    98 根据以上数据，请估计这段公路的长度． 【答案】估计这段公路的长度为． 【分析】计算8组测量数据的平均数，用样本平均数估计公路的实际长度． 【详解】解：8个测量数据的总和为 ， 测量数据的平均数为 ， 答：这段公路的长度约为． 【变式1-1】从校医务室的体检数据中，随机抽查了20名八年级学生，他们的身高（单位：）如下： 162  152  166  185  167  175  169  163  168  184 177  162  157  154  171  169  171  169  175  164 估计这所学校八年级学生的平均身高． 【答案】估计这所学校八年级学生的平均身高为． 【分析】根据“用样本的平均数来估计总体（该校八年级学生）的平均身高”即可求解． 【详解】解：样本的平均数， 估计这所学校八年级学生的平均身高为． 【变式1-2】为弘扬中华优秀传统文化，某校举办了古诗词知识竞赛．在300名参赛学生中随机抽取12名，他们的参赛成绩（单位：分）如下： 67   83   66   85   79   81   86   86   90   91   72   98 (1)求这12名学生参赛成绩的平均数； (2)求这12名学生参赛成绩在分与分之间的人数，据此估计300名学生参赛成绩在分与分之间的人数． 【答案】(1)分 (2)12名参赛学生中成绩在区间内的人数为8人，估计300名参赛学生中成绩在区间内的人数为200人 【分析】（1）利用平均数的计算公式即可得到答案； （2）先计算出12名参赛同学中参赛成绩在分与分之间的比例，再进行估算即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：参赛成绩在分与分之间， 即参赛成绩在与之间， 12名参赛学生中一共有8名同学的参赛成绩在与之间， 估计300名参赛学生中成绩在区间内的人数（人）， 答：估计300名参赛学生中成绩在区间内的人数为200人． 【变式1-3】为搭建爱心桥梁、助力山区教育，某中学面向全校发起捐书倡议，号召同学们将闲置书籍赠予山区学子，用书香传递关爱．现将捐书情况绘制成统计图，部分信息如下： 请根据以上信息，完成下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)这些学生捐书数量的极差为________，这些学生捐书数量的中位数为________； (3)若在统计时漏掉名学生捐书的数量，现将他捐书的本数和原统计的捐书数量合并成一组新数据后，发现平均数增大了，则漏掉的那个学生捐书数量最少是多少本？ 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由捐本书的人数及其所占百分比相除即可求出参加捐书的学生总人数，用总人数减去其余捐书的人数即可求出捐本书的人数，从而补全图形； （2）最大值减去最小值即可得极差；将这人捐书的本数，按从小到大的顺序排序，求第和第个数据的平均数即可得中位数； （3）先求出平均数，漏掉的那个学生捐书数量比平均数大即可． 【详解】（1）解：参加捐书的学生总人数为：（人）， 捐本书的人数：（人）， 补全条形统计图略； （2）解：这些学生捐书数量的极差为（本）； 这人捐书的本数，按照从小到大的顺序排列，位于第和第个数据都是， 这些学生捐书数量的中位数为（本）； （3）解：这名学生捐书数量的平均数为：（本）， 平均数增大了， 漏掉的那个学生捐书数量最少是本． ▌题型02 求加权平均数 【典例1】某电视节目主持人大赛要进行专业素养、综合素质、才艺展示和临场应变能力四项测试，各项测试均采用10分制．前两名选手的各项测试成绩如下表： 测试项目 专业素养 综合素质 才艺展示 临场应变能力 测试成绩/分 甲 乙 (1)如果按四项测试成绩的算术平均数排名次，那么名次是怎样的？ (2)如果规定按专业素养、综合素质、才艺展示和临场应变能力四项测试的成绩各占，，，计算总成绩，那么名次有什么变化？ 【答案】(1)乙第一名，甲第二名 (2)甲的加权总成绩为分，乙的加权总成绩为分，甲第一名，乙第二名，两人名次与（1）相比互换． 【分析】（1）计算甲、乙的算术平均数，比较大小，即可确定名次； （2）根据给定权重计算两人加权总成绩，比较后即可得出名次变化． 【详解】（1）解：甲的算术平均成绩：（分）， 乙的算术平均成绩：（分）， ∵， ∴按算术平均数排名，乙第一名，甲第二名． （2）解：甲的加权总成绩：（分）， 乙的加权总成绩：（分）， ∵， ∴按加权成绩排名，甲第一名，乙第二名，与（1）的名次相比，甲、乙名次互换． 【变式1-1】某企业参加“科技创新，企业百强”评选活动，已知该企业的创新能力、创新价值和创新影响三项得分（百分制）分别为80分，90分，70分，若将这三项得分依次按照，，的比例确定最终成绩，求该企业的最终成绩． 【答案】分 【分析】用对应项的得分乘以其权重，然后求和即可得到答案． 【详解】解：（分）， 答：该企业的最终成绩为80分． 【变式1-2】为了解某学校九年级男生的体重情况，从全体九年级男生中随机选出100人，分5组测量他们的体重（单位：），并计算各小组学生体重的平均数，结果如下表： 小组编号 1 2 3 4 5 人数 15 18 20 25 22 平均体重 48 53 56 60 63 求这100名男生的平均体重． 【答案】 【分析】用总体重除以总人数计算平均体重，总体重为各小组体重总和． 【详解】解：计算100名男生的总体重为 ， 平均体重为， 因此这100名男生的平均体重为． 【变式1-3】中国剪纸是人类非物质文化遗产，为传承中华优秀传统文化，某校开展了“非遗剪纸进校园”活动． 信息一：学校随机抽取部分学生，以投票的方式（每人一票），从“A．窗花”“B．人物”“C．生肖”“D．山水”四类剪纸主题中，选出学生最喜欢的类型作为活动主题．统计投票结果，整理并绘制了如下不完整的统计图． 信息二：在活动中，评委对甲、乙、丙三位同学的剪纸作品进行了打分，打分内容包括以下三项：构图规范、图案创意、文化寓意（每项满分100分）．三人的得分分别如下： 请解决下列问题： (1)请直接写出统计图中的______，______； (2)请补全上面的频数分布直方图； (3)若该校学生共有2000人，请估计最喜欢“C．生肖”主题的学生人数； (4)若将构图规范、图案创意、文化寓意这三项得分依次按的比例计算各人的成绩，哪位同学成绩最高？说明理由． 构图规范 图案创意 文化寓意 甲 90 95 87 乙 92 84 90 丙 90 86 92 【答案】(1)20；15 (2) (3)700人 (4)解：甲同学成绩最高，理由如下： 甲同学的成绩为：， 乙同学的成绩为： 丙同学的成绩为：， ∵， ∴甲同学成绩最高． 【分析】（1）用“C．生肖”的人数除以其人数占比可求出参与调查的学生人数，再根据“A．窗花”和 “D．山水”的人数占比可求出的值； （2）求出“B．人物”的学生人数，再补全统计图即可； （3）用2000乘以样本中最喜欢“C．生肖”主题的学生人数占比即可得到答案； （4）分别计算出三位同学的成绩，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：（人）， ∴本次一共抽取的学生人数为100人， ∴，， ∴； （2）解：由（1）得“B．人物”的学生人数为（人）， 补全统计图见答案； （3）解：（人）， 答：估计最喜欢“C．生肖”主题的学生人数为700人； （4）略 ▌题型03 求四分位数 【典例1】响应“阳光体育，强健体魄”的校园号召，甲、乙两名同学主动坚持每日体育锻炼，并连续12次参与校级体能综合测评，用坚持磨炼意志、提升身体素质．现将甲、乙两位同学12次体能测试成绩（单位：分）统计如下： 甲：72，75，70，73，75，71，76，73，74，72，75，74 乙：69，74，72，75，73，76，71，77，73，75，72，74 (1)整理数据，补充填写下表： 学生 最小值 最大值 甲 70 72 73.5 75 76 乙 75 77 (2)请在图中补全乙同学的箱线图； (3)结合四分位数与箱线图，对比分析甲、乙两同学成绩分散程度． 【答案】(1) 学生 最小值 最大值 甲 70 72 73.5 75 76 乙 69 72 73.5 75 77 (2) (3)从四分位数上看，两位同学的四分位数相同，箱线图上看甲的箱线图中的箱线的上下延伸段比乙的短，说明甲的成绩整体更集中稳定，乙的成绩比甲分散. 【分析】（1）将乙的数据从小到大排序，根据四分位数的计算方法进行计算即可； （2）根据表格数据，画出箱线图即可； （3）根据箱线图进行分析作答即可. 【详解】（1）解：将乙的数据从小到大排序为69，71，72，72，73，73，74，74，75，75，76，77； 故最小值为69， 求两种方法： 方法一：，故为第3个数据和第4个数据的平均数， 故； 方法二：前6个数据为69，71，72，72，73，73， 故为第3个数据和第4个数据的平均数， 故； 为第6个和第7个数据的平均数， 故； 填表略 （2）略 （3）略 【变式1-1】某学校将八年级2班学生的视力情况绘制成了箱线图（如图）．观察箱线图并完成下列问题． (1)在视力情况箱线图中，女生视力的中位数__________，上四分位数__________，下四分位数__________； (2)如果八年级2班男生小明的视力是4.6，那么他的视力在男生中处于什么位置； (3)小聪观察发现八年级2班女生与男生视力的下四分位数都是4.3，他判断女生与男生视力低于4.3的人数一样多．你认为小聪的判断是否合理，并说明理由． 【答案】(1)4.5；4.85；4.3 (2)方法一：中下水平位置； 方法二：处于中位数和下四分位数之间或． (3)不合理， 理由：虽然女生的视力低于，男生的视力低于4.3，但是女生人数与男生人数不一定相等，所以视力低于4.3的女生人数与男生人数不一定相等． 【分析】（1）根据中位数、上四分位数、下四分位数的定义求解即可； （2）根据中位数、上四分位数、下四分位数的意义分析即可； （3）根据女生人数与男生人数不一定相等解答即可． 【详解】（1）解：在视力情况箱线图中，女生视力的中位数，上四分位数，下四分位数； （2）解：方法一：小明的视力在男生中比的男生视力好，但比的男生视力差，处于中下水平位置．（方法一侧重于文字语言定性表达，核心词是“中下”） 方法二：八年级2班男生视力的中位数为4.85，下四分位数为4.3，而小明的视力处于中位数和下四分位数之间；（方法二侧重于数学语言定量表达） （3）略． 【变式1-2】在“金话筒”我的阅读故事演讲比赛中，要从小宝和小安中选一位同学代表班级参赛，已知小宝和小安在之前的备赛环节的测试成绩如下： 小宝同学：60，70，73，80，89，91，92，96，98，100． 小安同学：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96． (1)求小宝同学的测试成绩数据的四分位数，，；根据四分位数可绘制如图的箱线图，并判断谁的成绩比较集中． (2)你认为应选派谁代表班级参加“金话筒”我的阅读故事演讲比赛？请说明理由． 【答案】(1)，，，小安成绩比较集中 (2)选小宝，理由：最好成绩好，上四分位数更高； 选小安，理由：小宝同学成绩的平均数为， 小安同学成绩的平均数为， ∴小安的平均数高，下四分位数高，数据更稳定． 【分析】（1）根据四分位数的计算方法求解，然后结合箱线图判断即可； （2）根据箱线图中的数据和平均数判断即可． 【详解】（1）解：小宝同学成绩为60，70，73，80，89，91，92，96，98，100，共10个数据， 解法一：第一四分位数为前5个数据的中位数， ∴第一四分位数， 中位数， 第三四分位数为后5个数据的中位数， ∴第三四分位数； 解法二：， ∴第一四分位数， 中位数， ， ∴第三四分位数； 观察图中小宝同学和小安同学的箱线图，小安成绩比较集中； （2）略 【变式1-3】甲、乙两组的体育测试成绩（百分制）如下： 甲：60，65，70，80，88，92，93，96，98，100； 乙：70，92，80，85，96，93，，71，93，94． 某同学计算了两组成绩的四分位数，如下表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 乙 (1)根据甲组数据，求甲组成绩的四分位数：________，________，________． (2)在图中根据四分位数绘制出甲组测试成绩的箱线图，并观察图中乙组测试成绩的箱线图求的值． (3)根据对箱线图和四分位数的理解，你认为哪组成绩更好？请说明理由． 【答案】(1)70，90，96 (2)； (3)（甲、乙必须二选一，理由合理即可） 如：①甲组成绩更好，因为甲组最高分比乙组最高分高；②乙组成绩更好，因为甲乙两组成绩的中位数相同，甲组成绩的组内差距比乙组更大 【分析】（1）将甲组成绩排序后，通过位置确定最值、四分位数，中位数取中间两数的平均数； （2）根据甲组成绩的最值、四分位数，在图中对应位置绘制箱线图，排列顺序后根据中位数定义求解即可； （3）从箱线图的分布看，甲组数据跨度大更分散，乙组数据紧凑更集中． 【详解】（1）解：方法一：把甲组的成绩按从小到大的顺序排列为60，65，70，80，88，92，93，96，98，100； 分为两组，第一四分位数即为前一组的中位数，即 第二四分位数即为整组数据的中位数，即第5，6个数据的平均数，得； 第三四分位数即为后一组的中位数，即； 方法二：，3为大于2.5的最小整数， 所以，第一四分位数即为， ，5为整数， 所以，第二四分位数即为， ，8为大于7.5的最小整数， 所以，第三四分位数即为； （2）解：将已知数据从小到大排列：70，71，80，85，92，93，93，94，96， 由乙组箱线图可知中位数是90， ，解得； （3）略 ▌题型04 求方差 【典例1】节约用水已成为大家的共识．某兴趣小组收集了甲，乙两个家庭第二季度的月用水量（单位：吨），绘制成了如下统计表和不完整的折线图（如图），其中统计表被墨迹遮盖了一部分． 甲、乙两个家庭月用水量数据及分析统计表 四月 五月 六月 平均数 方差 甲 8 8 乙 5 甲、乙两个家庭月用水量折线图 (1)求乙家庭四月份的用水量，并补全折线图； (2)求乙家庭第二季度月用水量的方差，请你评价哪个家庭的月用水量波动小； (3)甲家庭七月份的用水量比六月份的用水量下降，恰好等于乙家庭第二季度月用水量的中位数，求的值． 【答案】(1)乙家庭四月份的用水量为6吨；补全折线图如下： (2)乙家庭第二季度月用水量的方差为；乙家庭的月用水量波动小 (3) 【分析】（1）根据平均数的定义求出乙家庭四月份的用水量，再补全折线图即可； （2）利用方差计算公式求出乙家庭第二季度月用水量的方差，再根据方差的意义评价即可求解； （3）根据中位数的定义求出乙家庭第二季度月用水量的中位数，再根据题意列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：设乙家庭四月份的用水量为x吨， 由题意得， 解得， ∴乙家庭四月份的用水量为6吨， 补全折线图见答案； （2）解： ， ∵甲家庭方差，， ∴． ∴乙家庭的月用水量波动小； （3）解：将乙家庭三个月用水量从小到大排列为：5，6，， ∴中位数为6， ∵甲家庭六月份用水量为8吨，七月份用水量比六月份下降， ∴七月份用水量为吨， ∴ 解得． 【变式1-1】A，B两只股票在某月前8个交易日的收盘价如下表： 交易日 1 2 3 4 5 6 7 8 A股票/元 46.2 44.9 45.5 46.5 46.0 45.6 45.8 47.1 B股票/元 40.5 40.8 40.2 42.6 41.5 41.9 43.9 44.4 分别计算两只股票收盘价的平均数和方差，并比较它们在这8个交易日的涨跌变化幅度． 【答案】A股票收盘价的平均数为元，方差为；B股票收盘价的平均数为元，方差为；B股票在这8个交易日的涨跌变化幅度更大． 【分析】先根据平均数公式计算两只股票收盘价的平均数，再根据方差公式计算两只股票收盘价的方差，根据方差的意义：方差越大，数据波动越大，对应股票涨跌变化幅度越大，比较得出结论． 【详解】解：由表格可得，两只股票各有8个交易日的收盘价格， A股票收盘价的平均数为 （元）， A股票的方差 为； B股票收盘价的平均数为 （元）， B股票的方差 为， ∵，方差越大，价格的波动越大，涨跌变化幅度越大 ∴ B股票的涨跌变化幅度大于A股票，即B股票在这8交易日的涨跌变化幅度更大． 【变式1-2】用某车床加工标准内径为的轴承，现测量了8个轴承的内径（单位：），数据如下： 50.1    50.0    49.9    49.8    50.1    50.3    50.0    49.8 (1)计算这组数据的方差． (2)将各数据分别减50后再计算方差，结果有变化吗？ (3)将各数据分别减50后再乘10，然后计算方差，结果有怎样的变化？ 【答案】(1)这组数据的方差为 (2)结果没有变化 (3)方差变为原方差的倍，新方差为 【分析】（1）利用方差公式求解即可； （2）各数据减50，利用方差公式求解即可； （3）各数据减50后再，利用方差公式求解即可． 【详解】（1）解：， ∴ ； （2）解：各数据减50，新数据：，0，，，，，0，， 新平均数， 结论：结果没有变化； （3）解：各数据减50后再，新数据：1，0，，，1，3，0，， ， ， ∴方差变为原方差的倍，新方差为． 【变式1-3】某厂生产A，B两种产品，其单价随市场变化而做相应调整．营销人员根据前三次单价的变化情况，绘制了如下统计表及不完整的折线统计图： A，B产品单价变化统计表 第一次 第二次 第三次 A产品单价/（元/件） 6 5.2 6.5 B产品单价/（元/件） 3.5 4 3 并求得了A产品三次单价的平均数和方差：；． (1)在折线统计图中画出B产品单价变化的情况； (2)求B产品三次单价的方差； (3)该厂决定第四次调价，A产品单价仍为元/件，B产品单价比元/件上调，但调价后不能超过元/件，使得A产品这四次单价的中位数比B产品四次单价的中位数的倍少，求的值． 【答案】(1)解：B产品单价变化的情况如图所示： (2) (3) 【分析】（1）先描点，再连线即可画出折线统计图； （2）根据方差公式计算即可得出结果； （3）根据中位数的定义并结合题意计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：， ； （3）解：第四次调价后，对于A产品，这四次单价的中位数为， 对于B产品，∵， ∴第四次单价大于元/件， ∵第四次单价不能超过元/件， ∴这四次单价的中位数为， ∴， ∴． ▌题型05 求极差 【典例1】7月21日，2026年国际射联全项世界杯开幕式在杭州富阳银湖体育中心举行，来自全球各地的600多名射击健儿齐聚富春江畔，角逐步手枪、飞碟等15个项目的最高荣誉．某射击运动员进行射击训练，射击成绩以10环为基准，记录相对环数，超过10环记为正，不足10环记为负．他的前9次射击成绩（单位：环）的相对环数记录如表，第10次射击成绩为9.6环． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 相对环数 0.3 0.1 0.1 0 0.2 0.1 0.2 ？ (1)第10次射击成绩的相对环数应记为_________环； (2)这10次射击中，与10环偏差最大的是第_________次射击；最好成绩与最差成绩相差_________环； (3)计算这10次射击的平均成绩． 【答案】(1) (2)3，0.8 (3)这10次射击的平均成绩为9.98环 【分析】（1）根据相对环数的定义计算即可； （2）比较绝对值的大小即可找到偏差最大的一次射击；用最好成绩减去最差成绩即可求最好成绩与最差成绩相差的环数； （3）根据平均数的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴第10次射击成绩的相对环数应记为环， 故答案为：； （2）解：∵，，，，， ∴这10次射击中，与10环偏差最大的是第3次射击， ∵， 所以最好成绩与最差成绩相差环， 故答案为：3，； （3）解：（环）， （环）， ∴这10次射击的平均成绩是环． 【变式1-1】甲、乙两地同一天的气温记录如表所示． 时刻 甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13 乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15 两地的气温有什么差异？ 【答案】 （1）甲地最高气温为，乙地最高气温为，甲地更高， （2）甲地最低气温为，乙地最低气温为，甲地更低， （3）甲地气温极差为，乙地气温极差为，甲地一天内气温波动幅度更大，乙地气温更稳定． 【分析】 通过计算两地气温的最值、极差和平均气温，对比得出气温差异． 【详解】 解：∵甲地最高气温为，最低气温为， ∴甲地气温极差为， ∵乙地最高气温为，最低气温为， ∴ 乙地气温极差为. 甲地日平均气温：， 乙地日平均气温： 对比可知：，甲地最高气温更高； ，甲地最低气温更低； ，甲地气温日波动更大； 两地日平均气温相等 综上所述，两地气温差异为：甲地最高气温更高、最低气温更低，一日内气温变化幅度更大，乙地气温更平稳． 【变式1-2】某公司需要经常寄送物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表： 物品完好度 服务态度 物流时长 平台A 92 m 90 平台B 95 90 88 (1)七位员工对平台A的服务态度评分的极差是 ； (2)七位员工对平台B的服务态度评分的众数是 ； (3)如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？ 【答案】(1)10 (2)86 (3)选择平台B 【分析】本题主要考查极差、众数，加权平均数，解题的关键是掌握极差、加权平均数和众数的定义． （1）根据极差的概念求解即可； （2）根据众数的概念求解即可； （3）根据加权平均数的定义列式计算，继而比较大小即可得出答案． 【详解】（1）解：七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是， 故答案为：10； （2）解：对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95， 因为86出现2次，次数最多， 故众数为86； （3）解：， ∵公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分， A平台：分， B平台：分， ， ∴该公司会选择平台B． 【变式1-3】如图是今年我市一周（5月11日至5月17日）中每天最高、最低气温的折线统计图（温度为整数）． (1)5月13日当天的气温的极差是 ，一周内最高气温的极差是 ； (2)每日平均气温近似按“（最高气温+最低气温）”计算，气象学规定：连续5日平均气温，即可判定入夏，请判断泰兴5月11日至5月15日是否达到入夏标准，并说明理由． 【答案】(1)16，4 (2)达到入夏标准，理由如下： 11日平均气温， ∵12日、13日、14日的最高温，最低温均高于11日， ∴这三天的平均气温均高于， 15日平均气温， 综上，泰兴5月11日至5月15日这五天的平均气温，达到入夏标准． 【分析】（1）直接根据折线图获取相关数据列式计算即可． （2）根据平均气温的公式计算这五天的平均气温，即可判断． 【详解】（1）解：由图可知，5月13日当天的最高气温是，最低气温是，一周内最高的最高气温是，最低的最高气温是， 则5月13日当天的气温的极差是，一周内最高气温的极差是； （2）略 ▌题型06 求离差平方和 【典例1】在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组． 【答案】将5个引体向上个数分为两组，一组为7，9；另一组为12，13，15． 【分析】若一组数据的平均数为，则离差平方和为，据此分别计算每种分组的总组内离差平方和，总离差平方和为两组内各数据与本组平均数差的平方和相加，总离差平方和最小的分组即为正确答案． 【详解】解：数据排序为7，9，12，13，15， 分组列表如下： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 两组总和 第1个间隔： 0 第2个间隔： 2 第3个间隔： 2 第4个间隔： 0 对比所有分组的总离差平方和发现，当按第2个间隔分组时，组内离差平方和最小， 因此将5个引体向上个数分为两组，一组为7，9；另一组为12，13，15． 【变式1-1】个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示． 城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 平均高温 根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这个城市分为两组． 【答案】按组内离差平方和最小的原则，个城市分为两组： 第一组：哈尔滨、呼和浩特、北京、石家庄；第二组：贵阳、上海、成都、昆明、广州、海口． 【分析】将个城市的平均高温从小到大排列，枚举所有分组方案并计算组内离差平方和，最后比较组内离差平方和即可求解． 【详解】解：将个城市的平均高温从小到大排列为（哈尔滨），（呼和浩特），（北京），（石家庄），（贵阳），（上海），（成都），（昆明），（广州），（海口）， 将它们分成两组共有种情况，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 观察表内最后一列组内离差平方和可知，当按照第个间隔分组时，组内离差平方和最小，因此，按组内离差平方和最小的分组为第一组：哈尔滨、呼和浩特、北京、石家庄；第二组：贵阳、上海、成都、昆明、广州、海口． 【变式1-2】某班名同学投篮，投中的个数分别是个，个，个，个，班长根据组内离差平方和最小原则将这组数据分成两组，得到与，求这两组数据的组内离差平方和． 【答案】4 【分析】分别求出两组的离差平方和，再求和即可． 【详解】解：这组数据的平均数为， 其离差平方和为 ． 这组数据的平均数为 ， 其离差平方和为 ． ， ∴这两组数据的组内离差平方和为． 【变式1-3】已知8个地区居民人均可支配收入x（单位：万元）如下表所示． 地区 1 2 3 4 5 6 7 8 居民人均可支配收入万元 根据居民人均可支配收入的组内离差平方和最小的原则，把这8个地区分为两组． 【答案】第一组为地区1、4、6、8，第二组为地区2、3、5、7 【分析】先将人均可支配收入从小到大排序，要使组内离差平方和最小，需将数值相近的数据分在同一组，则只需计算排序后相邻数据间切分的各分组的总离差平方和，比较得到最小值对应的分组． 【详解】解：将8个地区的居民人均可支配收入从小到大排序为，，，，，，，，对应地区依次为地区1、地区8、地区4、地区6、地区7、地区2、地区5、地区3， 设前k个为第一组，后个为第二组，S为离差平方和， 当时，第一组为：， ∴离差平方和为； 第二组为：，，，，，，， ∴和为：，平方和为：， ∴离差平方和为， ∴总离差平方和为：； 当时，第一组为：，， ∴和为：，平方和为：， ∴离差平方和为； 第二组为：，，，，，， ∴和为：21，平方和为：， ∴离差平方和为， ∴总离差平方和为：； 当时，第一组为：，，， ∴和为：，平方和为：， ∴离差平方和为； 第二组为：，，，，， ∴和为：，平方和为：， ∴离差平方和为， ∴总离差平方和为：； 当时，第一组为：，，，， ∴和为：，平方和为：， ∴离差平方和为； 第二组为：，，，， ∴和为：，平方和为：， ∴离差平方和为， ∴总离差平方和为：； 当时，第一组为：，，，，， ∴和为：，平方和为：， ∴离差平方和为； 第二组为：，，， ∴和为：，平方和为：， ∴离差平方和为， ∴总离差平方和为：； 当时，第一组为：，，，，，， ∴和为：，平方和为：， ∴离差平方和为； 第二组为：，， ∴和为：，平方和为：， ∴离差平方和为， ∴总离差平方和为：； 当时，第一组为：，，，，，，， ∴和为：，平方和为：， ∴离差平方和为； 第二组为：， ∴离差平方和为， ∴总离差平方和为：； 当时总离差平方和最小，对应第一组为地区1、4、6、8，第二组为地区2、3、5、7． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题34 数据的集中趋势和离散程度的六类计算题 题型01 求算数平均数 题型02 求加权平均数 题型03 求四分位数 题型04 求方差 题型05 求极差 题型06 求离差平方和 ▌题型01 求算数平均数 【典例1】现用8辆轿车上的里程表测量同一段公路的长度，测量结果（单位：）如下： 100    102    98    102    97    102    100    98 根据以上数据，请估计这段公路的长度． 【变式1-1】从校医务室的体检数据中，随机抽查了20名八年级学生，他们的身高（单位：）如下： 162  152  166  185  167  175  169  163  168  184 177  162  157  154  171  169  171  169  175  164 估计这所学校八年级学生的平均身高． 【变式1-2】为弘扬中华优秀传统文化，某校举办了古诗词知识竞赛．在300名参赛学生中随机抽取12名，他们的参赛成绩（单位：分）如下： 67   83   66   85   79   81   86   86   90   91   72   98 (1)求这12名学生参赛成绩的平均数； (2)求这12名学生参赛成绩在分与分之间的人数，据此估计300名学生参赛成绩在分与分之间的人数． 【变式1-3】为搭建爱心桥梁、助力山区教育，某中学面向全校发起捐书倡议，号召同学们将闲置书籍赠予山区学子，用书香传递关爱．现将捐书情况绘制成统计图，部分信息如下： 请根据以上信息，完成下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)这些学生捐书数量的极差为________，这些学生捐书数量的中位数为________； (3)若在统计时漏掉名学生捐书的数量，现将他捐书的本数和原统计的捐书数量合并成一组新数据后，发现平均数增大了，则漏掉的那个学生捐书数量最少是多少本？ ▌题型02 求加权平均数 【典例1】某电视节目主持人大赛要进行专业素养、综合素质、才艺展示和临场应变能力四项测试，各项测试均采用10分制．前两名选手的各项测试成绩如下表： 测试项目 专业素养 综合素质 才艺展示 临场应变能力 测试成绩/分 甲 乙 (1)如果按四项测试成绩的算术平均数排名次，那么名次是怎样的？ (2)如果规定按专业素养、综合素质、才艺展示和临场应变能力四项测试的成绩各占，，，计算总成绩，那么名次有什么变化？ 【变式1-1】某企业参加“科技创新，企业百强”评选活动，已知该企业的创新能力、创新价值和创新影响三项得分（百分制）分别为80分，90分，70分，若将这三项得分依次按照，，的比例确定最终成绩，求该企业的最终成绩． 【变式1-2】为了解某学校九年级男生的体重情况，从全体九年级男生中随机选出100人，分5组测量他们的体重（单位：），并计算各小组学生体重的平均数，结果如下表： 小组编号 1 2 3 4 5 人数 15 18 20 25 22 平均体重 48 53 56 60 63 求这100名男生的平均体重． 【变式1-3】中国剪纸是人类非物质文化遗产，为传承中华优秀传统文化，某校开展了“非遗剪纸进校园”活动． 信息一：学校随机抽取部分学生，以投票的方式（每人一票），从“A．窗花”“B．人物”“C．生肖”“D．山水”四类剪纸主题中，选出学生最喜欢的类型作为活动主题．统计投票结果，整理并绘制了如下不完整的统计图． 信息二：在活动中，评委对甲、乙、丙三位同学的剪纸作品进行了打分，打分内容包括以下三项：构图规范、图案创意、文化寓意（每项满分100分）．三人的得分分别如下： 请解决下列问题： (1)请直接写出统计图中的______，______； (2)请补全上面的频数分布直方图； (3)若该校学生共有2000人，请估计最喜欢“C．生肖”主题的学生人数； (4)若将构图规范、图案创意、文化寓意这三项得分依次按的比例计算各人的成绩，哪位同学成绩最高？说明理由． 构图规范 图案创意 文化寓意 甲 90 95 87 乙 92 84 90 丙 90 86 92 ▌题型03 求四分位数 【典例1】响应“阳光体育，强健体魄”的校园号召，甲、乙两名同学主动坚持每日体育锻炼，并连续12次参与校级体能综合测评，用坚持磨炼意志、提升身体素质．现将甲、乙两位同学12次体能测试成绩（单位：分）统计如下： 甲：72，75，70，73，75，71，76，73，74，72，75，74 乙：69，74，72，75，73，76，71，77，73，75，72，74 (1)整理数据，补充填写下表： 学生 最小值 最大值 甲 70 72 73.5 75 76 乙 75 77 (2)请在图中补全乙同学的箱线图； (3)结合四分位数与箱线图，对比分析甲、乙两同学成绩分散程度． 【变式1-1】某学校将八年级2班学生的视力情况绘制成了箱线图（如图）．观察箱线图并完成下列问题． (1)在视力情况箱线图中，女生视力的中位数__________，上四分位数__________，下四分位数__________； (2)如果八年级2班男生小明的视力是4.6，那么他的视力在男生中处于什么位置； (3)小聪观察发现八年级2班女生与男生视力的下四分位数都是4.3，他判断女生与男生视力低于4.3的人数一样多．你认为小聪的判断是否合理，并说明理由． 【变式1-2】在“金话筒”我的阅读故事演讲比赛中，要从小宝和小安中选一位同学代表班级参赛，已知小宝和小安在之前的备赛环节的测试成绩如下： 小宝同学：60，70，73，80，89，91，92，96，98，100． 小安同学：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96． (1)求小宝同学的测试成绩数据的四分位数，，；根据四分位数可绘制如图的箱线图，并判断谁的成绩比较集中． (2)你认为应选派谁代表班级参加“金话筒”我的阅读故事演讲比赛？请说明理由． 【变式1-3】甲、乙两组的体育测试成绩（百分制）如下： 甲：60，65，70，80，88，92，93，96，98，100； 乙：70，92，80，85，96，93，，71，93，94． 某同学计算了两组成绩的四分位数，如下表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 乙 (1)根据甲组数据，求甲组成绩的四分位数：________，________，________． (2)在图中根据四分位数绘制出甲组测试成绩的箱线图，并观察图中乙组测试成绩的箱线图求的值． (3)根据对箱线图和四分位数的理解，你认为哪组成绩更好？请说明理由． ▌题型04 求方差 【典例1】节约用水已成为大家的共识．某兴趣小组收集了甲，乙两个家庭第二季度的月用水量（单位：吨），绘制成了如下统计表和不完整的折线图（如图），其中统计表被墨迹遮盖了一部分． 甲、乙两个家庭月用水量数据及分析统计表 四月 五月 六月 平均数 方差 甲 8 8 乙 5 甲、乙两个家庭月用水量折线图 (1)求乙家庭四月份的用水量，并补全折线图； (2)求乙家庭第二季度月用水量的方差，请你评价哪个家庭的月用水量波动小； (3)甲家庭七月份的用水量比六月份的用水量下降，恰好等于乙家庭第二季度月用水量的中位数，求的值． 【变式1-1】A，B两只股票在某月前8个交易日的收盘价如下表： 交易日 1 2 3 4 5 6 7 8 A股票/元 46.2 44.9 45.5 46.5 46.0 45.6 45.8 47.1 B股票/元 40.5 40.8 40.2 42.6 41.5 41.9 43.9 44.4 分别计算两只股票收盘价的平均数和方差，并比较它们在这8个交易日的涨跌变化幅度． 【变式1-2】用某车床加工标准内径为的轴承，现测量了8个轴承的内径（单位：），数据如下： 50.1    50.0    49.9    49.8    50.1    50.3    50.0    49.8 (1)计算这组数据的方差． (2)将各数据分别减50后再计算方差，结果有变化吗？ (3)将各数据分别减50后再乘10，然后计算方差，结果有怎样的变化？ 【变式1-3】某厂生产A，B两种产品，其单价随市场变化而做相应调整．营销人员根据前三次单价的变化情况，绘制了如下统计表及不完整的折线统计图： A，B产品单价变化统计表 第一次 第二次 第三次 A产品单价/（元/件） 6 5.2 6.5 B产品单价/（元/件） 3.5 4 3 并求得了A产品三次单价的平均数和方差：；． (1)在折线统计图中画出B产品单价变化的情况； (2)求B产品三次单价的方差； (3)该厂决定第四次调价，A产品单价仍为元/件，B产品单价比元/件上调，但调价后不能超过元/件，使得A产品这四次单价的中位数比B产品四次单价的中位数的倍少，求的值． ▌题型05 求极差 【典例1】7月21日，2026年国际射联全项世界杯开幕式在杭州富阳银湖体育中心举行，来自全球各地的600多名射击健儿齐聚富春江畔，角逐步手枪、飞碟等15个项目的最高荣誉．某射击运动员进行射击训练，射击成绩以10环为基准，记录相对环数，超过10环记为正，不足10环记为负．他的前9次射击成绩（单位：环）的相对环数记录如表，第10次射击成绩为9.6环． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 相对环数 0.3 0.1 0.1 0 0.2 0.1 0.2 ？ (1)第10次射击成绩的相对环数应记为_________环； (2)这10次射击中，与10环偏差最大的是第_________次射击；最好成绩与最差成绩相差_________环； (3)计算这10次射击的平均成绩． 【变式1-1】甲、乙两地同一天的气温记录如表所示． 时刻 甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13 乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15 两地的气温有什么差异？ 【变式1-2】某公司需要经常寄送物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表： 物品完好度 服务态度 物流时长 平台A 92 m 90 平台B 95 90 88 (1)七位员工对平台A的服务态度评分的极差是 ； (2)七位员工对平台B的服务态度评分的众数是 ； (3)如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？ 【变式1-3】如图是今年我市一周（5月11日至5月17日）中每天最高、最低气温的折线统计图（温度为整数）． (1)5月13日当天的气温的极差是 ，一周内最高气温的极差是 ； (2)每日平均气温近似按“（最高气温+最低气温）”计算，气象学规定：连续5日平均气温，即可判定入夏，请判断泰兴5月11日至5月15日是否达到入夏标准，并说明理由． ▌题型06 求离差平方和 【典例1】在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组． 【变式1-1】个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示． 城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 平均高温 根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这个城市分为两组． 【变式1-2】某班名同学投篮，投中的个数分别是个，个，个，个，班长根据组内离差平方和最小原则将这组数据分成两组，得到与，求这两组数据的组内离差平方和． 【变式1-3】已知8个地区居民人均可支配收入x（单位：万元）如下表所示． 地区 1 2 3 4 5 6 7 8 居民人均可支配收入万元 根据居民人均可支配收入的组内离差平方和最小的原则，把这8个地区分为两组． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $