专题28 圆中常见的辅助线专项训练（6大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题28 圆中常见的辅助线 目录 题型01见弦作垂直 题型02连半径 题型03见直径构造直角 题型04连接圆心与切点 题型05连半径，证垂直 题型06作垂直，证半径 1题型01见弦作垂直 典例精析 【典例1】如图，在⊙O中，弦AB‖CD,AB=12,CD=16,且AB与CD位于圆心O的同侧.若AB与CD之间 的距离为2，则⊙O的半径为() 0 A.8 B.9 C.10 D.12 三 举一反三 【变式1-1】甘肃定西通渭县的传统水磨，以水流推动水轮带动磨盘磨面.水轮整体为圆盘形，垂直于水面安装， 运行时部分浸入水中.其几何示意图如图所示，已知水轮圆心O位于水面上方，水面截水轮所得弦AB的长为1米， 水轮半径为3米，C为水轮最低点.求点C到弦AB所在直线的距离. 1/11 水面 【变式1】如图，在OO中，AB=2BC且BD⊥0C,垂足为D.若AB=8CD=2:求O0的半径， 【变式13】如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E,∠AEC=60°，且AE=5cm,EB=1cm,求CD的 长 E B 2/11 题型02连半径 典例精析 【典例1】如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=120°，点C是弧AB的中点，则∠ACB的度数为() B A.30 B.60° C.120° D.150° 举一反三 【变式11】如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=150°，点B是AC的中点，则∠D的度数是() B A.75° B.37.5° C.30° D.60° 【变式12】如图，在半径为5的⊙O中，AB=BC=CD=DE=EF=A,求弦AB,CD的长. 【变式1-3】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，AB是半圆O的直径，点C,D,E将半圆四等分，AD, BC相交于点P,AB=6. 3/11 E B (1)求∠APB的度数. (2)求AC2+AD+AE的值. 题型03见直径构造直角 典例精析 【典例1】如图，AD是⊙O的直径，B,C,E是⊙O上的三点，∠B=112°，则∠E的度数为() D A.20° B.22° C.30° D.32° 三 举一反三 【变式11】如图，BC是⊙O的直径，A,D是⊙O上的两点，连接AB,AD,BD,若∠ADB=70°，则 ∠ABC的度数是() 4/11 B A.20° B.30 C.40° D.50° 【变式12】如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BC=4,点D是AC边上一动点，连接BD, 以AD为直径的圆交BD于点E,则线段CE长度的最小值为() E B A.22-2 B.V10-V2 c.V5-92 D.V10-V5 【变式13】已知：如图，BC为⊙O的直径，BF为弦，A为BF的中点，AD⊥BC,垂足为D,AD和BF相交 于点E.求证：AE=BE, A D 0 题型04连接圆心与切点 三 典例精析 【典例1】如图，过⊙O外一点P,作⊙O的切线PA,切点为A,连接PO并延长交⊙O于B,C两点，D为⊙O 上任意一点，连接AC,AD,DB,∠ADB=26°，则∠P的度数为() A.26° B.30° C.32o D.38° 5/11 举一反三 【变式11】如图，在平面直角坐标系中，P是直线x=-2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q, 则线段OQ的最小值为· x=-2 外 【变式12】已知AB是⊙O的直径，C是圆外一点，直线CA交⊙O于点D,B,D不重合，AE平分∠CAB 交⊙O于点E,过E作EF⊥CA,垂足为F. (1)判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若EF=2AF,⊙O的直径为20，求AD. 【变式13】如图，⊙O的直径AB=12,AM和BN是⊙O的两条切线.在以点A,B为端点的⊙O的右半圆弧上， 有一个动点E,过点E作⊙O的切线1与AM,BN分别交于点D,C.设AD=x,BC=y,求y关于x的函数解析 式，并画出它的图象. 4 M B 6/11 题型05连半径，证垂直 三 典例精析 【典例1】如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，AC平分∠HAB,AH⊥CH,垂足为H,AH交⊙O于 点D (1)求证：直线HC是⊙O的切线. (2)若HC=4,DH=2,求⊙O的直径. 举一反三 【变式11】如图，△ABC内接于⊙O,AB是直径，∠ABC=40°.点D是⊙O上一点且与点C位于AB两侧， 7/11 AD=CD,过点D作DE⊥CB交CB的延长线于E,连接CD D ◇E B (1)求∠DCB的度数： (2)求证：DE是⊙O的切线. 【变式1-2】如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F,AC平分∠DAB,点C在⊙O上，且CD⊥DA, AC交BF于点P. D ○ B (1)若∠CAB=33°，求∠CBF的度数； (2)证明：CD是⊙O的切线： B号AE,是否存在m使得BC2=mFP-CD成立？若存在，求出m的值并证明；若不存在，请边 【变式13】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC,BC,P为AB延长线上一点，连接CP,且 ∠BCP=∠A. 8/11 (1)求证：CP是⊙O的切线 包过点B作PC的看线，交PC于点D,交OOF点E,连接AC、若an∠PC8号PB-2G,求DE和直径 AB的长. 题型06作垂直，证半径 典例精析 【典例1】如图1，△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D D B B 图1 图2 (1)求证：AC是⊙O的切线： 9/11 (2)如图2，⊙O与边BC交于点E、点F,连接DE、DF,作∠EDF的平分线交⊙O于点G,连接EG、FG ①求证△EGF的形状，并说明理由： ②若DE=6,DF=8,求弦GF与劣弧GF围成的阴影的面积. 三 举一反三 【变式1-1】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，延长AB至点D,连接CD,OC,且OC平分∠ACD B (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)若AC=AD,求tan∠AOC. 【变式1-2】如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD+BC=CD,以AB为直径作⊙O, 求证：CD与⊙O相切. A D B 【变式13】如图，AB是⊙O的直径，AM,BN分别切⊙O于点A,B,CD交AM,BN于点D,C,DO平分 ∠ADC. 10/11 A D M (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)若AD=4,BC=9,求OD的长. 11/11专题28 圆中常见的辅助线 目录 题型01见弦作垂直 题型02连半径 题型03见直径构造直角 题型04连接圆心与切点 题型05连半径，证垂直 题型06作垂直，证半径 1题型01见弦作垂直 典例精析 【典例1】如图，在⊙O中，弦AB‖CD,AB=12,CD=16,且AB与CD位于圆心O的同侧.若AB与CD之间 的距离为2，则⊙O的半径为（) A.8 B.9 C.10 D.12 【答案】C 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可. 【详解】解：过点O作OE⊥CD于点E,交AB于点F,连接OC,OA, 1/32 E B AB‖CD,OE⊥CD, ∴.OE⊥AB :.CE-CD-8.AF-jAB-6. 设OE=x,则OF=x+2, 在Rt△OCE中，OC2=x2+82, 在Rt△0AF中，0A2=x+2P+62 .OA=OC, .x2+82=x+22+62 解得：X=6, ∴.0C=V62+82=10' 即⊙0的半径为10. E 举一反三 【变式11】甘肃定西通渭县的传统水磨，以水流推动水轮带动磨盘磨面.水轮整体为圆盘形，垂直于水面安装， 运行时部分浸入水中.其几何示意图如图所示，已知水轮圆心O位于水面上方，水面截水轮所得弦AB的长为1米， 水轮半径为3米，C为水轮最低点.求点C到弦AB所在直线的距离. 水面 【答案】 3- /35米 2 2/32 【分析】连接OC交AB于点D,由盟意得出AC=BC,推出OD⊥AB由垂径定理得AD=号AB,最后用勾股 定理解△ADO即可. 【详解】解：连接OC交AB于点D, D 水面 点为水轮的最低点， ∴.AC=BC, ∴.OD⊥AB 由题知AB=1,OA=3, .'AD=1AB=1 -21 2 .'DC=OC-OD=3- 35米. 2 【变式12】如图，在⊙0中，AB=2BC且BD10C垂足为D.若AB=8,CD=-2:求⊙0的半径， 【答案】5 【分析】过点O作AB的垂线交AB于点E,交⊙O于点F,连接OB,得出OB是∠COF的平分线，进而得到 BD=BE=4,假设⊙O的半径为r,将OD用r来表示，根据勾股定理进行解题即可. 【详解】解：如图，过点O作AB的垂线交AB于点B,交⊙O于点F,连接OB 3/32 B .OF⊥ABAB=8 :AF=Bn-专AB,AE=E=号An=克x8=4 2 AB=2BC' BC=号AB=BF ∴.∠BOC=∠BOF, ∴.OB是∠COF的平分线， BD⊥OC, ∴.BD=BE=4, 设⊙O的半径为r,则OB=OC=r, .CD=2, ∴.OD=OC-CD=r-2, 在Rt△BOD中利用勾股定理得BD+OD2=OB, 即4+r-2=r2 解得r=5. 【变式13】如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E,∠AEC=60°，且AE=5cm,EB=1cm,求CD的 长 E B 【答案】2V6cm 【分析】先求解OE=2Cm,过O作OF⊥CD于F,连接OC,进一步结合含30°的直角三角形的性质与勾股定理 求解即可。 【详解】解：，AE=5cm,EB=1cm, 4/32 A8=5+1=6m.0A=0B=AB=31cm ∴.OE=3-1=2cm, 过O作OF⊥CD于F,连接OC,如图所示： E ..CF=DF, ,∠AEC=60°， ∴.∠E0F=30°， F-0E=1cm,0F=2-T=5m .OC=3cm, ∴.C=32-3=6cm' ∴.CD=CF+DF=2V6cm: 题型02连半径 典例精析 【典例1】如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=120°，点C是弧AB的中点，则∠ACB的度数为() B A.30° B.60° c.120° D.150° 【答案】C 【分析】连接OC,由弧与圆心角之间的关系可得∠AOC=∠BOC=60°，证明△AOC,△BOC都是等边三角 形，可得∠OCA=60°，∠OCB=60°，据此可得答案. 【详解】解：如图所示，连接OC, 5/32 B 点C是弧AB的中点， ..AC=BC. ∴，∠AOC=∠BOC, .∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°， .∠AOC=∠B0C=60°， .OA=OB=OC, ,△AOC,△BOC都是等边三角形， .∠OCA=60°，∠OCB=60°， .∠ACB=∠OCA+∠OCB=120° 三 举一反三 【变式1-1】如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=150°，点B是AC的中点，则∠D的度数是() B D C A.75° B.37.5° C.30° D.60° 【答案】B 【分析】连接OB,根据弧，弦，圆心角的关系，易得∠AOB=号∠AOC,再根据圆周角定理，即可求解 【详解】解：如图，连接OB, B Ac 点B是 的中点， 6/32 .AB=BC, ∠A0B=∠BOC= 2 ∠AOC, .∠A0C=150°， ∴.∠A0B=75°， 1 ∴.∠D= ∠A0B=37.5° 【变式12】如图，在半径为5的⊙O中，AB=BC=CD=DE=EF=A,求弦AB,CD的长. B 【答案】CD=AB=5 【分析】连接OA,OB,证明△OAB是等边三角形即可. 【详解】解：如图，连接OA,OB, B AB=BC=CD=DE=EF=FA. ÷∠A0B=×360°=60，AB=CD, 6 .OA=OB=5, ∴△OAB是等边三角形， ..CD=AB=5. 【变式13】(26-27九年级上全国课后作业)如图，AB是半圆O的直径，点C,D,E将半圆四等分，AD, BC相交于点P,AB=6. D E B O 7/32 (1)求∠APB的度数 (2)求AC2+AD+AE的值. 【答案】(1)112.5 (2)54 【分析】(1)如图，连接OC,OD,OE,可得∠AOC=∠COD=∠DOE=∠BOE=45°，再进一步求解即可： (2)如图，连接BD,BE,证明AC=BE,AD=BD,AE=BC,再进一步求解即可. 【详解】(1)解：如图，连接OC,OD,OE, D B :AB是半圆O的直径，点C,D,E将半圆四等分， ∴AC=CD=DE=BE, ∴.∠AOC=∠COD=∠DOE=∠BOE=45°， ∠ABP=∠A0C=25,∠DMB=3∠D0B=45, .∴.∠APB=180°-45°-22.5°=112.5° (2)解：如图，连接BD,BE, ,AB是半圆o的直径，AB=6. ∴.∠ACB=∠ADB=∠AEB=90°， .AC=CD=DE=BE. ∴AD=BD,ACE=BEC, ..AC=BE,AD=BD,AE=BC. ..AD2+BD2=2AD=AB2=36,AC+AE=AC2+BC=AB=36, AD=18, ∴.AC2+AD2+AE2=18+36=54 8/32 题型03见直径构造直角 典例精析 【典例1】如图，AD是⊙O的直径，B,C,E是⊙O上的三点，∠B=112°，则∠E的度数为() A.20° B.22° c.30 D.32° 【答案】B 【分析】连接BD,根据直径所对圆周角是直角得出∠ABD=90°，进而求出∠CBD,最后利用同弧所对圆周角 相等求解。 【详解】解：连接BD, D ,AD是⊙O的直径， ∴.∠ABD=90, ,∠ABC=112°， ,∠CBD=112°-90°=22°， ,∠E与∠CBD都是弧CD所对的圆周角， ∴∠E=∠CBD=22° 举一反 【变式11】如图，BC是⊙O的直径，A,D是⊙O上的两点，连接AB,AD,BD,若∠ADB=70°，则 ∠ABC的度数是() 9/32 B A.20° B.30° c.40° D.50° 【答案】A 【分析】连接AC,利用圆周角定理得出∠ACB=∠ADB,根据直径所对圆周角为直角得出∠BAC=90°，利 用直角三角形两锐角互余即可求解. 【详解】解：如图，连接AC, A B :∠ADB与∠ACB都是AB所对的圆周角， ∴.∠ACB=∠ADB=70°， BC是⊙O的直径， ∴.∠BAC=90°， .∠ABC=90°-∠ACB=90°-70°=20° 【变式12】如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BC=4,点D是AC边上一动点，连接BD, 以AD为直径的圆交BD于点E,则线段CE长度的最小值为() A D B A.2V2-2 B.V10-V2 c.5-2 D.V10-V/5 【答案】B 【分析】连接AE,取AB的中点M,连接EM,EC,CM,根据圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质， 等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，线段最短原理解答即可. 【详解】解：连接AE, 10/32 ,AD为直径的圆交BD于点E, ,∠AED=∠AEB=90°， 取AB的中点M,连接EM,EC,CM, ∠BAC=90°，AB=AC,BC=4, .∠ABC=∠ACB=45°， ∴.AB=AC=BC sin45°=2V2, .AM-BM-EM-]AB-V2. CM=VAC+AM-2P+22=10 ,EM+CE≥CM, ∴当E,M,C三点共线时，CE取得最小值， ∴CE最小值为：V10-2, 故选：B. M B C 【变式13】已知：如图，BC为⊙O的直径，BF为弦，A为BF的中点，AD⊥BC,垂足为D,AD和BF相交 于点E.求证：AE=BE A E Dδ 【答案】证明：连接AC,AB, A E D O BC为⊙O的直径， 11/32 .∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°， ,AD⊥BC, .∠ADC=90° ∴.∠ACB+∠CAD=90°， ∴∠ACB=∠BAD, A为BF的中点， ..AB=AF, ∴，∠ABF=∠ACB, .∠ABF=∠BAD, ..AE=BE 【分析】连接AC,AB,证明∠ABF=∠BAD,即可得到结论 【详解】略 题型04连接圆心与切点 典例精析 【典例1】如图，过⊙O外一点P,作⊙O的切线PA,切点为A,连接PO并延长交⊙O于B,C两点，D为⊙O 上任意一点，连接AC,AD,DB,∠ADB=26°，则∠P的度数为() A.26° B.30° C.32° D.38 【答案】D 【分析】连接OA,根据切线的性质得出∠OAP=90°，根据圆周角定理得出∠AOP=52°，根据直角三角形两 锐角互余即可得出答案。 【详解】解：如图，连接OA, 12/32 ,PA是⊙O的切线，切点为A, .OA⊥PA,∠OAP=90°， ,∠AOB和∠ADB是AB所对的圆心角和圆周角，∠ADB=26°， ∴，∠AOB=2∠ADB=52°，即∠AOP=52°， .∠P=90°-∠A0P=90°-52°=38°. 举一反三 【变式11】如图，在平面直角坐标系中，P是直线x=-2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q, 则线段OQ的最小值为 x=-2 外 【答案】3 【分析】连接OP,PQ根据切线的性质和勾股定理得到0Q=OP2-PQ: 进而得到当oP最小时，OQ最小， 根据垂线段最短，得到OP=2最小，进行求解即可. 【详解】解：连接OP,PQ, x=-2O外 ,直线OQ切⊙P于点Q, .PQ⊥OQ,PQ=1, 13/32 六oQ=0p2-PQ=0p-1 ∴当OP最小时，OQ最小， ,P是直线X=一2上的一个动点， ∴.当OP⊥直线x=-2时，OP最小，此时OP=2, “00的最小值为2-1=3 【变式12】已知AB是⊙O的直径，C是圆外一点，直线CA交⊙O于点D,B,D不重合，AE平分∠CAB 交⊙O于点E,过E作EF⊥CA,垂足为F. B 0 (1)判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由： (2)若EF=2AF,⊙O的直径为20，求AD】 【答案】(1)解：EF与⊙O相切，理由如下： B ◇ 如图所示，连接OE, 'EF⊥CD, ∴.∠EFA=90°， .'AE平分∠CAB交⊙O于点E, ∴.∠CAE=∠EAB, .OA=OE, ∴.∠OEA=∠OAE, .∴.∠CAE=∠OEA, ∴OECD, ∴.∠OEF=90°， 14/32 ·OE为半径， ∴.EF与⊙O相切： (2)12 【分析】(1)连接OE,由角平分线的定义及等腰三角形的性质得到OECD,再由平行线的性质得到∠OEF 为90°，从而得到EF与⊙O相切： (2)过点O作OH⊥CD于点H,结合上一问可得四边形EFHO为矩形，设AF=X,OH=EF=2x,由勾股定理 列方程可求出AH的长，再由垂径定理即可求出AD的长. 【详解】(1)略 (2)解：过点O作OH⊥CD于点H, B.∠OHF=∠HFE=∠FE0=90 ∴.四边形EFHO为矩形， .EF=OH,OE=FH, .‘0E=10, ∴.FH=10, AF=x,OH=EF=2x,AH=10-x, .AH2+OH2=0A2, ∴.10-x2+2x2=102 解得X1=4,X2=0(舍去)， ∴.AH=6, .OH⊥AD, ∴.AD=2AH=12, 【变式13】如图，⊙O的直径AB=12,AM和BN是⊙O的两条切线.在以点A,B为端点的⊙O的右半圆弧上， 有一个动点E,过点E作⊙O的切线1与AM,BN分别交于点D,C.设AD=x,BC=y,求y关于x的函数解析 式，并画出它的图象. 15/32 B C N 【答案】y关于x的函数解析式是y=36x>0l:图象如下： 12 11 10 9 B 5 36 1q1234567891012衣 【分析】先求出四边形ABFD为矩形，再根据切线的性质求出DE=DA=X,CE=CB=y,CF=y-x,DC=X+y, 再根据勾股定理得：DC=DF+CF2,即可得到关系式，最后作图即可. 【详解】解：如下图，过点D作DF⊥BC于点F: A M E .AD,BC ⊙0 B FC N 分别是 的切线， ∴.∠OAD=∠OBF=90°， 又，DF⊥BC, ∴.四边形ABFD为矩形， .DF=AB=12,BF=AD=x. ,‘AD,BC,DC分别为⊙O的切线， .'DE=DA=x,CE=CB=y,CF=y-x,DC=x+y, 由勾股定理得：DC=DF+CF2, 16/32 x+y2=122+y-x2 整理得：y=36, y=36 X y关于x的函数解析式是y=36(x>0: X 当x=3时，y=12;x=4时，y=9；x=6时，y=6:x=9时，y=4, 过点A3,12,B4,9,C6,6,D9,4,在坐标系内描点连线得函数的图象如下. 2 11 10 36 D yx 123456789101112元 1题型05连半径，证垂直 E 典例精析 【典例1】如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，AC平分∠HAB,AH⊥CH,垂足为H,AH交⊙O于 点D (1)求证：直线HC是⊙O的切线， (2)若HC=4,DH=2,求⊙O的直径 【答案】(1)证明：如图， 17/32 B 连接OC,则：OA=OC, ∴.∠OCA=∠OAC, ,AC平分∠HAB, .∠HAC=∠OAC, .∠OCA=∠HAC, ,AH⊥CH, ,∠AHC=90°， .∠HAC+∠ACH=90°， .∠OCA+∠ACH=90°， ∴.∠OCH=90°， ∴.OC⊥CH, ,点C为⊙O上一点， ∴.直线HC是⊙O的切线. (2)。0的直径为10 【分析】(1)连接OC,则OA=OC,即可得∠OCA=∠OAC,根据角平分线性质得∠HAC=∠OAC,等量 代换即可得∠OCA=∠HAC,再根据垂线定义得∠AHC=90°，进而得∠HAC+∠ACH=90°，等量代换即 可得OC⊥CH,进而可证明直线HC是⊙O的切线， (2)连接DC,BC,根据勾股定理结合己知求出CD=2V5,再根据圆内接四边形性质、平角定义即可得 ∠HDC=∠B,再根据等角的余角相等即可得∠HCD=∠BAC,根据角平分线性质得∠HAC=∠BAC,进 而得∠HAC=∠HCD,即可证明△DHC一△CHA,△HDC一△CBA,根据相似性质列式计算得AC=4V5, 进而可计算出⊙O的直径. 【详解】(1)略 (2)解：如图， 18/32 B 连接DC,BC,则：∠ADC+∠B=180°， :∠ADC+∠HDC=180°， .∠HDC=∠B, AH⊥CH, .∠AHC=90°， ∴.∠HDC+∠HCD=90°， .AB为⊙O直径， .∠ACB=90°， ∴.∠BAC+∠B=90°， ∴.∠HCD=∠BAC, ,AC平分∠HAB, ∴.∠HAC=∠BAC, ∠HAC=∠HCD. 在Rt△HDC中，HC=4,DH=2, CD=HC2+H D2=25' ∠CHA=∠DHC,∠HAC=∠HCD, ∴.△DHC一△CHA, DC DH AC HC ÷262 AC 4' AC=45, :∠HDC=∠B,∠HCD=∠BAC, ,△HDC~△CBA, ..HC=DC ·ACAB1 42V5 45AB' 19/32 .AB=10 ∴.⊙0的直径为10 举一反三 【变式1I】如图，△ABC内接于⊙O,AB是直径，∠ABC=40°.点D是⊙O上一点且与点C位于AB两侧， AD=CD,过点D作DE⊥CB交CB的延长线于E,连接CD D B C (1)求∠DCB的度数： (2)求证：DE是⊙O的切线. 【答案】(1)∠DCB=20° (2)证明：如图所示，连接OD, 0 E 0 .DE⊥CB .∴.∠E=90°， ∴.∠CDE=90°-∠DCE=90°-20°=70° .BD=BD, ∴.∠DAB=∠DCE=20° .OA=OD ∴.∠ODA=∠OAD=20°， .∴∠ODC=∠ADC-∠AD0=40°-20°=20， ∴.∠ODE=∠ODC+∠CDE=20°+70°=90°，即OD⊥DE, 又.OD是⊙O的半径， ∴.DE是⊙O的切线. 【分析】(1)连接AD,根据同弧所对的圆周角相等得到∠ADC的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到 ∠DAC=∠DCA,据此可求出∠DCA的度数，再根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB的度数，据此可得 答案： 20/32 (2)连接OD,根据(1)所求可得∠CDE,∠DAB的度数，则可求出∠ODA的度数，再求出∠ODC的度数， 进而求出∠ODE的度数，再由切线的判定定理可证明结论， 【详解】(1)解：如图所示，连接AD, .AC=AC,∠ABC=40°， D ◇E B .∠ADC=∠ABC=40°： AD=CD, ∠DCA=∠DAC=180°-ADC=18040°=70 2 2 .‘AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90, ∴.∠DCB=∠ACB-∠DCA=90°-70°=20°： (2)略 【变式12】如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F,AC平分∠DAB,点C在⊙O上，且CD⊥DA, AC交BF于点P. D (1)若∠CAB=33°，求∠CBF的度数： (2)证明：CD是⊙O的切线： B)已知AB=5AF,是否存在m使得BC2=mFP-CD成立？若存在，求出m的值并证明；若不存在，请说明理由 2 【答案】(1)∠CBF的度数33°： (2)证明见解析： (3)存在，m的值是2.5，证明见解析. 【分析】(1)利用角平分线的定义和圆周角定理解答即可： 21/32 (2)连接OC,OC与BF交于点E,利用角平分线的定义，圆周角定理，垂径定理和矩形的判定与性质得到 ∠OCD=90°，再利用圆的切线的判定定理解答即可： (3)过点P作PH⊥AB于点H,利用圆周角定理，相似三角形的判定与性质得到BC2=CDBP,利用全等三角 形的判定与性质和等高的三角形的面积比等于底的比的性质求得PB=三F印，则结论可求。 【详解】(1)解：.'AC平分∠DAB, ∴.∠DAC=∠BAC=33°， .∠CBF=∠DAC, ∴.∠CBF=33 (2)解：连接OC,OC与交BF交于点E,如图， D B.'AC ∠DAB 平分 ∴.∠DAC=∠BAC, ∴.BC=FC, .OC⊥BF,BE=EF=BF, 2 .AB为⊙O的直径， ∴.∠AFB=90° .CD⊥DA, ∴.四边形EFDC为矩形， ∴.∠OCD=90°， ∴.OC⊥CD .OC为⊙O的半径， ∴.CD是⊙O的切线： (3)解：存在m使得BC2=mFP.CD成立，m的值为2.5， 过点P作PH⊥AB于点H,如图， 22/32 D P HO 由(2)知：∠AFB=90°， .∴.PF⊥AD .AC平分∠DAB,PH⊥AB, ∴.PF=PH. AB=ξAF ..AB5 ·AF2' .∴.设AB=5k, ∴.AF=2k, ∴.AH=AF=2k, ,‘AB为⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， .'CD⊥DA, .∠D=∠ACB=90°， .'∠DAC=∠FBC, ∴.△DAC△CBP, ..CD-CP AC BP' ∴.ACCP=CDBP, .‘AC平分∠DAB, .∴∠DAC=∠BAC, .'BC=FC, ∴.∠CBP=∠CAB, .·∠BCP=∠ACB, ∴.△BCP一△ACB, “0瓷 23/32 ∴.BC2=CPAC, ∴.BC2=CDBP, 在Rt△AFP和Rt△AHP中，PF=PH,AP=AP, ∴.Rt△AFP≌Rt△AHP(HL), .S△AP=S△AHP,AH=AF=2k, ·FP=S△AP- S△AHP= LAH-PH AH 2k 2 BPSA△APB S△APB 1ABPH AB 5k5' ..PB=5FP, 2 :.BC2=5 FP-CD. ∴.m=2.5 【变式13】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC,BC,P为AB延长线上一点，连接CP,且 ∠BCP=∠A. B (1)求证：CP是⊙O的切线. a过点B作PC的差线，交PC于点D,交OOT点E,连接AE.若an∠PCB号PB=2G,求DE和直径 AB的长. 【答案】(1) 证明：如图，连接OC, ,AB为⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， ∴.∠ACO+∠OCB=90°， .OC=0A, ∴.∠ACO=∠OAC, ∴.∠OAC+∠OCB=90°， .BCP=∠A, 24/32 .∠BCP+∠OCB=90°， .∠OCP=90°，即OC⊥CP, OC为半径， ∴.CP是⊙O的切线： 2)DE=245 5 AB=6V5 【分析】(1)连接OC,根据圆周角定理得∠ACB=90°，利用直角三角形的性质得到∠ACO+∠OCB=90°， 根据等腰三角形等边对等角得到∠ACO=∠OAC,结合∠BCP=∠A等量代换得到∠BCP+∠OCB=90°， 即∠OCP=90°，即可证明结论： Q)根析∠BCP=∠A证期△PCB-△C,陈合m∠PCD-号准出器咒是-号求出 PC=4V5,AP=8V5,即可得到AB=65,半径为3V5,由BD是PC的垂线，证明△PDB一△PC0,求出 ,连接AL,根据圆周角定理得∠E=90,证明△ABR一△PBD,求出BE=185 DB=65 5即可解答. 【详解】(1)略 (2)解：：∠BCP=∠PAC,∠P=∠P, ∴.△PCB一△PAC, 器照 un PCB- tan∠PCB=tan∠OAC=BC=1, AC 2 PC=PB=BC-1 AP PC AC 2' PB=25, .PC=2PB=45, .AP=2PC=85. ∴.AB=AP-PB=6V5, 25/32 0C=0A=0B-号AB=35, ∴P0=OB+PB=5RV5, ,BD是PC的垂线，即BD⊥PC, .∠BDP=90°， ∠OCP=∠BDP, ,∠P=∠P, ∴△PDB△PCO, DB PB DB 25 …oC PO 即3555' ÷DB=65 5 如图，连接AE, AB为⊙O的直径， ∴∠E=90° ∴∠E=∠BDP, ∠ABE=∠PBD ∴△ABE一△PBD, BE_AB BE_65 .p8,即6V527 5 :BE=185 5 ·DE=DB+BE= 6V5,185_24/5 5 5 5 :DE=24/5 5 直径AB=6V5! 题型06作垂直，证半径 典例精析 【典例1】如图1，△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D 26/32 D G 图1 图2 (1)求证：AC是⊙O的切线： (2)如图2，⊙O与边BC交于点E、点F,连接DE、DF,作∠EDF的平分线交⊙O于点G,连接EG、FG. ①求证△EGF的形状，并说明理由： ②若DE=6,DF=8,求弦GF与劣弧GF围成的阴影的面积. 【答案】(1)过点O作OH⊥AC于点H,连接OD、OA. :△ABC是等腰三角形，O是底边BC中点， .AO⊥BC,且AO平分∠BAC ,AB与⊙O相切于D, .OD⊥AB ,OH⊥AC, ..OH=OD. OD是⊙O的半径， ∴OH也等于⊙O的半径， .AC是⊙O的切线。 2)①△EGP是等腰直角三角形，证明如下： ,EF是⊙O的直径 ∴.∠EDF=90°. :DG平分∠EDF, ,∠EDG=∠FDG=45 ∴.EG=FG, 27/32 ∴.EG=FG ,△EGF是等腰直角三角形. ②S%-25n25 42 【分析】(1)过点O作AC的垂线，记垂足为点H,因为AB与⊙O相切，所以O到AB的距离等于半径，结合等 腰三角形三线合一、角平分线的性质，证明O到AC的距离等于半径即可. (2)①因为EF是⊙O的直径，所以先由直径所对圆周角是直角确定∠EGF为直角，再结合角平分线的条件得到 弧EG和弧FG相等，所以对应弦EG=FG,据此判断三角形形状.②先在Rt△EDF中用勾股定理求EF长度，得 到⊙O的半径，再结合角平分线定义求出∠FDG度数，根据圆周角定理求出∠FOG的度数，最后用扇形OGF 的面积减去△OGF的面积得到阴影部分面积. 【详解】(1)略. (2)①略. ②连接OG, G ,在Rt△EDF中，∠EDF=90°，DE=6,DF=8, 六EF=DE2+DF2-62+82=10 ∴.⊙O的半径r=OE=OF=OG=5. ,DG平分∠EDF, :∠FDG=号∠EDF=45, ∴.∠GOF=2∠FDG=90°. 90° 扇形0GF的面积：S刚摆0G360。×元r2=片Xπ*5257 4 4 :△OGF的面积：SAOGF -1xOGXOF=1x5x5- 5 2 2 25π25 .S阴影 42 28/32 举一反三 【变式11】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，延长AB至点D,连接CD,OC,且OC平分∠ACD (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)若AC=AD,求tan∠AOC. 【答案】(1) 证明：过点O作OL⊥CD于点L, B ,AC是⊙O的切线， ,∠OAC=90, ,OC平分∠ACD, ..OL=OA, .OL为半径，而OL⊥CD, ∴.CD是⊙O的切线： (2)RV2+1 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质，解直角三角形，角平分线的性质定理等知识点，正确添加辅助线是 解题的关键。 (1)过点O作OL⊥CD于点L,根据切线的性质得到∠OAC=90°，再根据角平分线的性质定理得到OL=OA, 即可求证： (2)可得△ACD为等腰直角三角形，则∠D=∠ACD=450,那么OD=0L=2OL,设0A=OL=X,则 sin D OD=2x,则AC=R2+1x,再由an∠A0C=AC即可求解. AO 【详解】(1)略 29/32 (2)解：如图： B D ,AC=AD,∠OAC=90° .∠D=∠ACD=45°， OL⊥CD, :0D=0L-20L sin D 设OA=OL=X, ∴OD=2x, AC=AD=AO+OD=2+1x .tam 2 AOG-AC-+1=+1. AO x 【变式12】如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD+BC=CD,以AB为直径作⊙O, 求证：CD与⊙O相切. A D 【答案】 证明：延长CO,DA交于点H,过点O作OE⊥CD H.. E B '∠BAD=∠ABC=90 ∴.∠HAO=∠ABC=90° 又∠AOH=∠BOC,AO=BO ·△AOH≌△BOC .∴.AH=BC,HO=CO 30/32 AD+BC=CD,AH AD=HD .CD=DH,∠H=∠DCH :∠OAH=∠OEC=90°，HO=CO ∴·△AHO≌△ECO ..AO=OE 即圆心O到CD的距离等于圆的半径 ∴.CD与⊙O相切. 【分析】延长CO,DA交于点H,过点O作OE⊥CD,证△AOH≌△BOC、△AHO≌△ECO即可求证. 【详解】略 【变式13】如图，AB是⊙O的直径，AM,BN分别切⊙O于点A,B,CD交AM,BN于点D,C,DO平分 ∠ADC. A D M (1)求证：CD是OO的切线： (2)若AD=4,BC=9,求OD的长. 【答案】(1) 证明：如图，过O点作OE⊥CD于点E, D M E .∵AM⊙O y B 切 于点， .∴.OA⊥AD, DO平分∠ADC, ∴.OE=OA, ,‘OA为⊙O的半径， ∴.OE是⊙O的半径， ∴.CD是⊙O的切线： 31/32 (2)2V13 【分析】(1)过O点作OE⊥CD于点E,根据切线的性质由AM切⊙O于点A可得OA⊥AD,再根据角平分线 定理得到OE=OA,然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线： (2)过D作DF⊥BC于F,根据切线的性质得到AB⊥AD,AB⊥BC,则得到四边形ABFD为矩形，得到 BF=AD=4,所以CF=BC-BF=5,再利用切线长定理得DA=DE=4,CE=CB=9,所以 DC=AD+BC=13,在Rt△DCF中，利用勾股定理计算出DF=12,则AB=12,所以OA=6,然后Rt△OAD 中，利用勾股定理可计算出OD」 【详解】(1)略 (2)解：如图，过D作DF⊥BC于F, D M .∵AB⊙O AM BN ⊙OAB 是 的直径，， 分别切于点，， ∴.AB⊥AD,AB⊥BC, ∴.四边形ABFD为矩形， ∴.BF=AD=4, ∴.CF=BC-BF=5, .DC,AM,BC为⊙O的切线， ∴.DE=DA=4,CE=CB=9, ∴.DG=DE+CE=13, 在Rt△DCF中，DF=VDC2-CF=12 ∴.AB=12, ∴.0A=6, 在Rt△0AD中，OD=OA'+AD=R62+4=213 32/32