专题11 解三角形大题归纳（考点清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题11 解三角形大题归纳 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01 三角形面积公式。 考点02 解三角形中的中线、角分线、高线模型 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01 求三角形周长、边长或面积的最值 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01 解三角形求面积 题型02 解三角形求周长或边长 题型03 解三角形求角 ▶考点聚焦・解法深研 题型01 解三角形中求边长或周长 题型02 解三角形中求面积 题型03 解三角形中求角 题型04 解三角形中求中线 题型05解三角形中求角分线 题型06 解三角形中求高线 题型07 解三角形中几何图形计算 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 三角形的面积公式 （r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．） (三角形的底乘高) 【新题对点练】（2026·海南海口·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求角A； (2)是的角平分线，且．当取最小值时，求此时的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）替换得到，即可求出； （2）由利用三角形面积公式可得，根据基本不等式解出的最小值，应用取等条件求出三角形面积. 【详解】（1） 得到 得到，，， 又，. （2）由得， 得， 化简得，即，         所以， 当且仅当时等号成立，取得最小值，     此时，面积为． 考点02 解三角形中的中线、角分线、高线模型 1、解三角形中的中线模型 （1）在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和： 换成三角形的中线，则有 （2）可以通过向量法,两边平方后可得) 2、解三角形中的角分线模型 （1）面积法：如图三角形中， 化简有 （2）角分线张角定理：若为角分线，则，则化简上式有 （3）斯库顿定理：若为角分线，有 3、解三角形中的高模型 （1）如图为边上的高线，则有 （2）利用面积公式有： 【新题对点练】（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)若，，求的值； (2)若的面积为，为的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理及已知得，求出角的大小并求出，再由余弦定理求； （2）根据（1）和已知得、，再由，利用向量数量积的运算律求边长. 【详解】（1）已知， 结合余弦定理得，则， 因为为三角形边长，，所以， 因为，所以， 又因，，代入整理得， 解得，因为，所以， 根据余弦定理，； （2）由（1）知，由的面积，得， 又，代入，得， 因为的中点，则， 两边取平方，， 即， 所以的长为1. 难点解读01 求三角形周长、边长或面积的最值 1、面积的最值问题 （1）利用基本不等式可以求面积的最大值。 （2）若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 2、周长的最值 （1）若已知面积，则可利用基本不等式可以把周长的最小值与面积挂钩。运用基本不等式时，看是否满足取等条件。 （2）若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 把周长的最大值与余弦值挂钩。 （3）若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制（锐角或钝角），这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 3、求角的正余弦的和、差、比值等的取值范围问题 （1）角度统一，根据三角形内角和先将题中的角统一成某个角。 （2）根据三角恒等变换来化简、合并求最值或者通过换元，用函数思想求最值。 （3）根据题意得出角的取值范围从而求三角函数的取值范围。 4、边长和差的取值范围 （1）利用正弦定理进行边化角，将边换成三角函数的代数式。 （2）统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化成一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 （3）注意角的取值范围，根据题目的限制条件，如锐角三角形等求出角的范围，从而求三角函数的范围。 5、边长比的取值范围 若遇到边长齐次式求比值的范围问题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求最值问题。对三角函数比值求最值的问题可采用的方法： （1）统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 （2）统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最值。 难点破解（26-27高三·全国·一轮复习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知，求的面积； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由同角三角函数关系求得，分类讨论，利用正弦定理及三角恒等变换得周长的表达式，然后利用三角函数性质求解即可． 【详解】（1）由题意得， 则， 即，由余弦定理得，整理得，则， 又，则，， 则； （2）由正弦定理得：， 则， 因为，所以， ①当时， 周长 . 当且仅当，时， 取最大值， 即的周长取最大值：． ②当时， 周长 . 当且仅当，时， 取最大值， 即的周长最大值为：． 综上可得：的周长取最大值：． 素养进阶·答题技法突破 题型01 解三角形中求面积 【典例1】（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理角化边结合勾股定理求解即可； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可； 【详解】（1）由正弦定理可得即， 又，所以，即，解得， 所以. （2）因为，且，， 所以，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 【典例2】（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 【答案】(1)6 (2)选①，不存在；选②，高为；选③，高为. 【分析】（1）由平方关系、正弦定理即可求解； （2）若选①，可得都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理求得，由余弦定理求得，利用等面积法求得高；若选③，首先根据三角形面积公式求得，再根据余弦定理可求得，由此可说明三角形存在，且可由等面积法求解. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理有，解得； （2）如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时不存在，故边上的高也不存在； 若选②，，由有，由正弦定理得,所以， 所以由余弦定理得, 此时三角形是存在的，且唯一确定， 所以,即， 所以边上的高； 若选③，的面积是，则， 解得，由余弦定理可得可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定， 这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即. 【典例3】（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可； 【详解】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 【典例4】（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理即可解出； （2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出． 【详解】（1）因为，所以，解得：． （2）由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 题型02 解三角形中求周长或边长 【典例1】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 【典例2】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答. 【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 【典例3】（2026·全国一卷·高考真题）已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边，再用余弦定理求； （2）建立坐标系，设出点坐标，由平行关系得点的坐标，利用垂直条件求参数，由长度解出，再计算. 【详解】（1）在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. （2）以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故. 【典例4】（2026·全国二卷·高考真题）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：由，则， 又，得，则， 由两角和的余弦公式，， 结合可知， 则异号，必然一个为负，一个为正. 又，即中必有一个是钝角； (2) 【分析】（1），结合题设得出，然后由两角和的余弦展开得到，进而得解； （2）先推出三角形面积公式的变形式，解得，由正弦定理进而得出，然后列余弦定理和面积公式的关于的方程组求解. 【详解】（1）略 （2）方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， ， （是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则， 由余弦定理，即， 又，则， 于是，即， ，解得， 故周长为. 方法二：由，则， 即， 由正弦定理可得，， 由三角形面积公式，， 得到，则，其余同上. 题型03 解三角形中求角 【典例1】（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 【典例2】（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. 【详解】（1）设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. （2）法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 （3）法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 题型01 解三角形中求边长或周长 1、求周长问题同求三角形的边长问题。利用面积公式与余弦定理的结合，辅助正弦定理求三角形的边长。其问题的本质为这三者之间的关系，知二求一。 2、若周长的最值或两边和的最值问题，通常有以下两种方法 （1）若已知面积，则可利用基本不等式可以把周长的最小值与面积挂钩。运用基本不等式时，看是否满足取等条件。 （2）若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 把周长的最大值与余弦值挂钩。 3、若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制（锐角或钝角），这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 4、若遇到边长齐次式求比值的范围问题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求最值问题。 5、对三角函数比值求最值的问题可采用的方法： 统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最值。 【典例1】（26-27高三上·安徽马鞍山·阶段检测）在中，已知角的对边分别为，且，． (1)求的值； (2)若的平分线（点在上）的长为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），由正弦定理得； 由余弦定理，， 解得，故； （2），即， 得， 化简得， 又，代入得 故的周长为 【典例2】（26-27高三上·安徽淮南·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方关系、二倍角公式、正弦定理和余弦定理化简求解即可； （2）利用正弦定理对已知式子转化可得，再利用余弦定理及基本不等式即可求的最大值，即可得周长的最大值. 【详解】（1）由条件可知，， 整理得. 由正弦定理得． 由余弦定理得． （2）因为，所以. 由正弦定理得，所以，. 所以， 又，所以， 由，得， 所以，当且仅当时取得等号. 故的周长的最大值为． 【变式1】（26-27高三上·湖南·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)证明：； (2)若，是的平分线，交于点，为的中点，求的值； (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1)方法一：由去分母得. 由余弦定理得. 所以，再由正弦定理得. 因， 代入整理得，即. 又，，所以. 因此仅有，即； 方法二：由去分母得 由正弦定理得（*） 因 ， 代入（*），得，因，则得， 又，，所以. 因此仅有，即； 方法三：因为即， 所以由余弦定理得， 因， 则， ∴ ，∵ ， ，∴， ∵，∴. (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理边角互化，借助于和角公式与倍角公式化简即可得证； （2）结合图形和角平分线性质，借助于正弦定理和余弦定理求出线段，或者通过建系，求出相关点的坐标，利用两点间距离公式计算，或者利用中线向量和数量积运算计算； （3）利用正弦定理化边为角，结合和角公式与余弦函数的性质计算即得. 【详解】（1）略 （2）如图，作出符合题意的图形， 方法一：由，，得. 因为是的平分线，所以， 所以，，，. 在中，由正弦定理得，所以. 由为的中点，得.     在中，由余弦定理得， 即. 在中，由直角三角形斜边中线的性质，得. 所以，所以. 方法二：由，，为的平分线， 得，，. 建立如图所示的平面直角坐标系， 设，则，，， 所以. 方法三：设，在中， ∴，， 得到， ∴，故. （3）由正弦定理得，因，， 则，. 得到. 因为 ， 所以 ， 因，所以，则，所以. 故周长的取值范围为. 【变式2】（2026·河南·模拟预测）的内角，，的对边分别为，，，且． (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理将换掉，代入数值即可求解； （2）根据正弦定理及两角和的正弦公式对进行化简得到，根据锐角三角形求出的范围，利用正弦定理及二倍角公式对进行转化得到，令，根据的范围求出的范围，进而求出答案. 【详解】（1）由余弦定理可化为， 将，代入得，解得（负值舍去）. （2）由正弦定理，可化为， 因为，所以， 所以， 即， 即， 因为，所以，即， 由题意得，解得， 由正弦定理得 ， 令，， ， 函数在上单调递增，则， 则， 所以的取值范围为. 题型02 解三角形中求面积 通常根据面积公式来求值。 1、利用正余弦定理求边长，然后求得面积 2、结合余弦定理与面积公式也可求得面积。 关于面积的最值问题，通常有以下两种方法 1、利用基本不等式可以求面积的最大值。 2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 【典例1】（26-27高二上·辽宁朝阳·阶段检测）中，设角，，的对边分别为，，．已知：． (1)求的值； (2)若为锐角三角形，且边上的高为，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边再结合余弦定理求解； （2）由锐角条件确定角的范围，再利用高和三角恒等变换求面积范围． 【详解】（1）已知， 由正弦定理，得， 又由余弦定理，则， 因为，，所以， 又，故，从而. （2）由（1）知，故， 因为为锐角三角形，所以， 由边上的高为2，有， 于是三角形面积， 又， 所以， 当时，，故， 当时取到等号1，而不能取到. 因此. 所以面积的取值范围为. 【典例2】（2026·广东深圳·模拟预测）在中，为边上一点，，，，为钝角． (1)求的值； (2)若内切圆的半径为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 先用正弦定理求，结合钝角条件确定，再用三角形内角和以及两角差的正弦公式求； (2) 利用三角形内切圆面积公式，联立余弦定理求出CD，最后代入面积公式算的面积. 【详解】（1），，，在中，由正弦定理，得， 因为为钝角，所以， 于是. （2）因为，所以， 在中，由正弦定理得， 设， 在中，，， 由余弦定理得， 故， 的面积， 又因为， 所以， 整理可得， 因为，所以，即， 于是， 所以． 【变式1】（2026·重庆·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足：． (1)证明：； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变形化简得，进而可得； （2）利用二倍角公式化简得，进而得到，，，再求，求出面积即可． 【详解】（1）证明：， 由正弦定理可得 ， 即 ， ，， 即； （2） 解得，又，所以， ，， 又，所以， ． 【变式2】（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）的内角的对边分别是，已知． (1)求； (2)若点在边上，为的平分线且长度为1，求； (3)若是边上的一点，且，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理对已知条件进行转换得到，从而得到； （2）利用为及三角形的面积公式即可得到的关系式，变形得； （3）根据已知条件得到，再利用数量积的运算律得到的关系式，最后运用基本不等式得到的最大值，从而得到的面积的最大值． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 整理可得，由余弦定理可得 ，所以， 因为，故． （2）因为为的平分线，所以， 因为，即， 又因为，所以，故． （3）因为，所以，即， 所以， 即， 即，当且仅当即当时等号成立， 所以， 即面积的最大值为． 题型03 解三角形中求角 1、利用正余弦定理，以及面积公式求三角形的边跟角。 2、对三角函数比值求最值的问题可采用的方法： （1）统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 （2）统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最值。 【典例1】（2026·浙江·模拟预测）已知在梯形中，，，，， (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在三角形中利用余弦定理直接求解； （2）利用余弦定理及正弦定理求解即可. 【详解】（1）如图， 因为梯形中，， 所以， 由余弦定理可得， 所以. （2）在中，， 又， 在中，， 所以， 又， 由正弦定理可得：，即， 解得. 【典例2】（26-27高三上·陕西西安·开学考试）在锐角 中，内角 的对边分别为 ，满足 ． (1)求证：； (2)求 的取值范围． 【答案】(1)证明：由题可知， 因为，故 ． 根据正弦定理得：， ， 因为，所以， 在 中，，故 ，即 ． 由正弦定理 （大边对大角）． 因此在 且 的条件下，只能是 ，故 ． (2) 【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理进行证明； （2）根据二倍角公式先化简，再令 结合二次函数的性质求解. 【详解】（1）略 （2） 令 ， 在锐角三角形中 为锐角，且 为锐角， 所以， 又 为锐角，所以，所以 在 处 取最小值 ， 当 （）：（开区间），所以. 【变式1】（2026·河北保定·模拟预测）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且 . (1)证明: ； (2)若是锐角三角形，求 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）选①，由余弦定理、正弦定理化简可得，再利用三角恒等变换可得，进而可证；选②化简条件可得，结合余弦定理及二倍角公式可得，进而可证；选③，由余弦定理可得，化简证明同①； （2）由题意可得，根据三角恒等变换化简可得，令，则，根据函数的单调性求解即可. 【详解】（1）选①，由可得，即， 因为，所以， 化简可得，即， 由正弦定理可得， 因为， 所以， 所以或（舍去）， 所以； 选②，由可得， 即， 因为，所以， 即， 因为在上单调递减，所以； 选③，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，所以， 化简可得，即， 由正弦定理可得， 因为， 所以， 所以或（舍去）， 所以； （2）是锐角三角形， 则，所以， ， 令，则， 因为在区间单调递增，在区间单调递增， 所以在区间上单调递增， 所以，即. 【变式2】（2026·安徽·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)证明：； (2)求的取值范围． 【答案】(1) 因为， 则代入得， 所以，即， 由余弦定理可得， 所以，所以， 因为正弦定理 （ 为外接圆半径）， 则，，，代入上式： 所以． (2) 【分析】（1）先利用三角形内角和，将 转化为 ，整理得 ，再代入余弦定理，化简得到边的关系式 ，最后结合正弦定理，将边的关系转化为角的正弦关系，完成证明. （2）先用（1）的边的关系，把用表示出来，再用基本不等式求出它的最小值，并验证等号能取到，然后根据三角形内角的性质，确定它小于1，最后综合得到的取值范围即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，所以， 由余弦定理得， 由基本不等式 （当且仅当 ，即 时取等号）， 得：， 又因为当时，代入，得，解得， 则满足三角形三边关系，故等号成立， 由，可知为最大边，且，故为钝角， 因此，即，故， 又由基本不等式得， 所以的取值范围为． 题型04 解三角形中求中线 解三角形中求中线可以应用以下两个性质： 1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和：换成三角形的中线，则有 2、可以通过向量法,两边平方后可得) 在三角形问题中，求中线的范围问题，先用三角形的边长表示出中线长，然后根据正弦定理把边表示成角的三角函数形式，在通过化简或者换元等方法求得最值跟范围，在求解的过程中注意角的取值范围。 【典例1】（26-27高三上·云南·开学考试）在中，角所对的边分别为且． (1)求角； (2)若，求中线的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等式，结合正弦定理化简得到，再根据的范围得到； （2）先利用余弦定理，求出，再利用勾股定理逆定理得出，再在直角三角形中求出. 【详解】（1）， ． ，， 整理得． ． 又． 由正弦定理，得． ． ． （2）在中，， 由余弦定理，得，化简得． 解得或（舍）． ． 是的中点，， ． 【典例2】（2026·浙江·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)设为的中点，当的面积为时，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角进行求解； （2）根据的面积为求出，再利用中线定理得，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由正弦定理，得， 因为，， 所以，即， 因为，解得. （2）因为的面积为，即， 即，解得； 又因为，即， 两边平方得，即， 即， 即，即，时等号成立， 所以的最小值为． 【变式1】（2026·四川绵阳·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)求的值； (2)若是边的中点，求的值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，利用余弦定理列方程求得. （2）利用向量法列方程，化简后求得. 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由，得，所以， 因为，由余弦定理， 则， 解得(舍去). 所以； （2）因为是边的中点， 所以， 所以， ，所以. 【变式2】（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）在中，设角所对的边分别为，已知且. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线的长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解； （2）先利用余弦定理求出，再利用等面积法，即可求解； （3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 又由余弦定理得，， 故. （2） 由余弦定理可知，，代入， 可得，解得. 设， ，即， 解得，因此. （3）由余弦定理得，， 即. ，两边平方得. 由正弦定理可知，，故， 因此 ， 又因为是锐角三角形，故，解得， 故，，， 即，则. 题型05 解三角形中求角分线 1、利用角平分线定理将对边分成与邻边成比例的两段，再结合余弦定理或向量法建立方程求解。利用角平分线性质，将大三角形面积拆分为两个小三角形面积之和，通过面积公式建立方程，直接解出角平分线长度。 2、求角分线的范围：将角平分线长度表示为某个变量（如边或角）的函数，再结合三角形约束条件求该函数的值域。 【典例1】（25-26高二下·浙江舟山·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足：. (1)求角的大小； (2)若，，角的角平分线交于点，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求进而可求； （2）根据，利用三角形的面积公式结合角平分线可求解. 【详解】（1） 由正弦定理可得：， 则. 由余弦定理，得, 所以， 故， 又， ∴. （2）由 可得， 则. 【典例2】（2026·湖北武汉·三模）在中，内角，，的对边分别为，，， 若． (1)求角的大小； (2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系，将原式转化为正弦形式，进而结合正弦定理将正弦值转化为对应边的关系，再利用余弦定理即可求出，进而得到角的大小. （2）利用三角形面积关系，建立与、的等式，再结合余弦定理得到、关系，进而利用基本不等式求出的范围，再构造函数，利用函数单调性求解的最大值. 【详解】（1）由， 整理得：. 由，得， 所以. 由正弦定理，得：. 结合余弦定理，可得：， 因为，故. （2）由, 可得， 由（1）知，又，所以， 则，得，当且仅当时等号成立， 又因为 ，所以. ， 因为在上递增， 所以，即线段长度的最大值为 1. 【变式1】（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）在中，内角的对边分别为，若. (1)求角的大小； (2)若，的平分线交于点，求线段长度的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理进行求解； （2）由三角形的面积公式及余弦定理得，再由基本不等式求解． 【详解】（1）因为， 所以：， 即， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又，所以. （2）因为， 所以，解得， 由余弦定理得，即， 设 ，则 ， 由基本不等式：，故， 解得，故， 又 ，所以， 因此. 【变式2】（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知分别为三个内角的对边，且； (1)求C； (2)若为上一点，为的平分线，且，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）；利用正弦定理及两角差的正弦公式化简得到，再根据辅助角公式得，解方程即可求解； （2）根据结合三角形的面积公式得到，利用余弦定理求出，结合基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）， 由正弦定理得， 即， 又， 则， 所以， 因为，所以，故， 即， ，，. （2）由题可知：， 即，即； 由余弦定理知：， 即，当且仅当时取等， ， 即，当且仅当时等号成立， 所以线段长度的最大值为. 题型06 解三角形中求高线 1、高线将三角形分成两个直角三角形，可以利用面积或直角三角形的边角关系建立方程。 2、求高线的范围：将高线表示为底边和对应角的正弦的乘积，转化为三角函数的值域问题，或结合底边的取值范围进行估算。 【典例1】（26-27高三上·青海西宁·阶段检测）在中，内角，，的对边分别是，，，且 (1)求角； (2)若的面积为，，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件及正弦定理可得，再结合角的范围可得； （2）结合（1）中及面积可得，再由余弦定理可得，再由面积可得所求边上的高. 【详解】（1）由正弦定理及， 得， 因为，所以，，所以. 又，所以． （2）由（1）知，又因为的面积为，， 所以，解得. 由余弦定理，所以. 设边上的高为，则，解得，即边上的高为． 【典例2】（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）在锐角中，，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，求边上的高长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和把角转换成角，，再由两角和差公式展开化简即可. （2）先根据余弦定理和基本不等式得到的最小值，再由三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）∵，， ，∴， 化简得， 即， 即，在锐角中，， 即，∴，又即， ∴，即,∴. （2）由余弦定理得， 又，∴， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为9，此时，是等边三角形，且， 又∵，∴ 即，又，∴. ∵函数在上单调递减， ∴当时. 【变式1】（2026·山东枣庄·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，.且. (1)求； (2)若，记边上的高为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化简得，再由余弦定理即可得解； （2）由三角形面积公式可得，结合正弦定理及三角恒等变换得，即可得解． 【详解】（1）根据正弦定理可得， 化简整理得， 由余弦定理得， 因为，故； （2）由，得， 又， 所以 ， 在三角形中，故， 当，即时，． 【变式2】（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数（满足恒成立，且相邻两对称轴之间的距离不小于，设为曲线的对称中心. (1)求； (2)若，求的取值范围； (3)记的角，，对应的边分别为，，，若，，求边上的高长的最大值. 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】（1）结合函数的最值情况及周期情况可得函数解析式，进而可得； （2）利用整体代入法，结合三角函数图像性质可得值域； （3）由余弦定理可得，结合基本不等式可得的最值，再根据三角形面积化简可得解. 【详解】（1）因为满足恒成立， 所以， 所以，，可得，， 又，即，，所以，故， 由，，可得，即，； （2）由，可得， 所以当，即时，取得最大值， 又，，所以的取值范围是； （3）由， 化简得， 又，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 因为，所以， 令，，即， 所以， 又函数在上单调递减， 所以当，即时，取得最大值， 故长的最大值为. 题型07 解三角形中几何图形计算 1、若题目中所有的角都可用某一个角度表示，假设这个角为，将别的未知的角用来表示，然后多次使用正弦定理。在求范围与最值的问题中使用较多。 2、若有互为补角的两个角，则可以两次使用余弦定理。 正余弦定理结合面积公式使用，解决四边形问题。 【典例1】（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）如图，在平面四边形中，. (1)若，求； (2)若，，求. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）在中，利用余弦定求出，结合勾股定理的逆定理得解.. （2）在中，利用余弦定理求出，　在中，利用余弦定理求出，通过联立方程组结合得到的值，从而得到. 【详解】（1）， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 则，则，故. （2）， 在中，由余弦定理得， 则， 则，　① 在中，由余弦定理得， 则，　② 联立①②可得. 因为，所以， 所以. 【典例2】（26-27高三上·辽宁·阶段检测）记的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)设点在边上，，边上的中线与相交于点． （i）若为定值，且的最大面积为，求； （ii）若，且，证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ）证明：由， 两边平方得，， 又由，所以， 即， 又由，有，整理得， 又由，所以， 因此为等边三角形，所以. 由（ⅰ）可知，，所以， 在中，，由余弦定理得，. 【分析】（1）由二倍角公式和正弦定理化简等式，即可求得角； （2）（ⅰ）作辅助线，利用三角形中位线，求得线段比例，从而得到面积表达式.由余弦定理和基本不等式求得面积最大值，从而求得的值； （ⅱ）以为基底表示出，由向量的模建立的等量关系，结合余弦定理解得的关系.结合（ⅰ）中的结论，表示出，然后通过余弦定理即可求得. 【详解】（1）由，得 由正弦定理得， 所以， 又，故. （2）（ⅰ）如图，由题意可知，为边的中点，过点作，交于点，则为的中位线，所以，， 又，所以，又，所以，则， 因此， 又，所以，则， 由与余弦定理得，，当且仅当时取等号.所以. 又的最大面积为，所以， 解得. （ⅱ）略 【变式1】（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知锐角 的内角 的对应边分别为 ， 如图， 分别在边 上，且 为等边三角形． (1)求 的值及 ； (2)证明: ； (3)求边 的最小值. 【答案】(1)， (2)证明：，∴． (3) 【分析】（1）应用二倍角余弦公式结合余弦定理计算求解； （2）应用角的关系计算证明； （3）应用正弦定理转化边角，再应用辅助角公式结合三角函数值域求解. 【详解】（1）因为， 所以， 解得或（舍去）， 为锐角 ，所以． （2）略 （3）记，， 设，，，，， ，． ， ， 取等． 即边 的最小值为. 【变式2】（2026·江苏淮安·一模）在圆的内接四边形中，，，，. (1)求； (2)若，分别为边，上的动点： （ⅰ）如图1，若过圆心，，记，求； （ⅱ）如图2，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，求线段的最小值. 【答案】(1)． (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）设 ，分别在三角形 与 中应用余弦定理，再利用圆内接四边形对角互补求出 ． （2）延长，交于点．先利用圆内接四边形的角关系证明，求出，，，以及．（ⅰ）利用为中点及的分点关系求出，，再在有关三角形中应用余弦定理求；（ⅱ）把面积条件转化为的定值，再由余弦定理和基本不等式求 的最小值． 【详解】（1）设． 因为四边形 为圆内接四边形，所以，从而. 在中，由余弦定理，. 在中，由余弦定理，. 所以，解得，故． 此时，所以为圆的直径，． （2）延长，交于点． 由共线，共线，且圆内接四边形的对角互补，可得， 所以，因此. 又，解得. 在中，由余弦定理，. （ⅰ）因为为的中点，所以. 又共线，且，所以. 设. 由于 与 不共线，比较系数得故. 于是. 在中，由余弦定理，. 代入数据，得. 所以. 在中，，由余弦定理，. （ⅱ）设. 由于依次共线，依次共线，所以，， 由 ，得. 这些三角形在点 处的夹角相同，因此. 在中，. 由基本不等式，，所以. 当且仅当 时等号成立．此时， 又，所以相应的点 均在线段 上，等号可以取得． 故线段 的最小值为. 优题精练·专题实战通关 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面凸四边形中，已知． (1)求； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先在中，利用余弦定理求，再在中，利用正弦定理求，根据，可得，最后在中，利用正弦定理，可求. （2）在中，利用三角形内角和定理和诱导公式，求出，再利用正弦定理求得，即可求直角的面积. 【详解】（1） 在中，由余弦定理得，解得， 在中，由正弦定理得， 且为锐角，所以， 则． 在中，由正弦定理得． （2）因为，所以为锐角，所以， 在中，． 由正弦定理得， 所以． 2．（2026·浙江·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的取值范围； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用正弦定理化角为边，再结合余弦定理+基本不等式，由 及题设确定角取值范围 （2）利用和差化积将转化为，再进行换元，结合已知条件进行三角恒等变换与二倍角公式求解 【详解】（1）由正弦定理可知         则 ，又因为为三角形内角，所以， 故 ，综上 ，所以； （2）由题可得 ， 则， 由 可得， 令，则， 所以，所以 因为，所以 ， 所以 3．（2026·湖南湘潭·一模）在中，内角，，所对边分别为，，，且． (1)求角； (2)若为锐角三角形，，，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角形内角和与两角和的正弦公式化简等式，根据得到，在三角形内角范围内求出角； （2）代入已求角运用余弦定理建立关于边长的一元二次方程，解出后通过符号取舍增根，最后代入三角形面积公式算出面积. 【详解】（1）由题意，，由正弦定理得， 由，得， 所以， 得，又，得， ，所以． （2）由（1）知，由余弦定理得，即， 整理得，解得或者． 时，，舍去； 时，，C为最大角，，符合题意； 所以，． 4．（2026·山东青岛·三模）记内角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，再结合角的取值范围可得出角的值； （2）由三角恒等变换化简得出，结合角的取值范围可得出角的值，进而可得出的值，再利用正弦定理求出、的值，结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由及正弦定理知 故，即， 即， 又因为，则，所以， 又因为，所以. （2）由题知 ， 因为，所以，则，故，， 由正弦定理知：，即，得， 所以. 5．（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）设的内角，，所对的边分别是，，，已知． (1)求证：； (2)若，，设是边的中点，求的长． 【答案】(1)证明：由， 得， 所以，     因为，所以，所以， 由正弦定理，得，即； (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换和正弦定理即可得证； （2）利用余弦定理结合（1）得，再由，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由余弦定理，得， 因为，，所以， 又由（1）知，所以，    因为点是边的中点，所以， 所以，     则，所以的长为． 6．（25-26高三上·辽宁锦州·期中）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且. (1)求角 (2)求边 (3)若边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据特殊角的正切值即可求解， （2）利用正余弦定理边角互化，即可求解， （3）利用余弦定理以及向量的模长可得，进而利用等面积法即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 又，故，,则； （2）因为，， 由余弦定理及正弦定理得：, 所以，解得； （3）由余弦定理得：， 即有①； 设为的中点，即，如下图： 又因为， 所以，即②， 由①，②得：，， 所以，所以， 因为为的平分线，所以， 则， 即. 7．（26-27高三上·重庆江津·阶段检测）在中，角的对边分别为，且，且． (1)求面积的最大值； (2)若，点为的重心，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对已知式子变形，利用余弦定理求出角，写出三角形面积表达式，再借助基本不等式求出的最大值，进而得到面积最大值； （2）结合与已求角，在直角三角形求出各边长，建立坐标系，用重心坐标公式算出重心，再由距离公式求得的长度． 【详解】（1）由，得，代入，可得， 所以， 因为，所以， 的面积， 由基本不等式，代入，得， 解得，当且仅当时，等号成立， 所以，即面积的最大值为． （2）已知，即为直角三角形， 由（1）知，所以， 在中，，，得， 由勾股定理得，    如图建立直角坐标系，设，，， 由重心坐标公式得， 所以． 8．（26-27高三上·江苏宿迁·阶段检测）在锐角中，角，，所对的边分别为，，．向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，为边的中点，求线段的长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直的数量积为0，结合正弦定理、两角和正弦公式化简即可求解； （2）先利用向量中线公式表示出，再利用余弦定理将关系式转化为仅含的表达式，最后通过正弦定理结合锐角三角形的条件求出的取值范围，进而得到的取值范围. 【详解】（1）因为向量，，且， 所以， 由正弦定理得：， 即，所以， 因为在中，，所以， 所以，又因为，所以， 又，所以. （2）因为为边的中点，所以， 所以， 即， 由余弦定理：，所以， 所以， 由正弦定理：，所以， 又，为锐角三角形，所以，解得：， 所以 ， 因为，则，则，所以， 所以，即. 9．（26-27高二上·陕西西安·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，且 (1)求； (2)若，点在外，，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得，进而求得答案； （2）由题意知为等边三角形，设，进而结合余弦定理，三角形面积公式得，再根据三角函数性质求解即可； 【详解】（1）因为， 所以， 因为， 所以， 因为，， 所以，所以或. （2）因为，所以，， 所以为等边三角形， 如图，设，， 在中，， 所以， ， ， 因为，， 所以，当时，取得最大值. 10．（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，在中，点在边上，且，． (1)若，求； (2)若为的角平分线，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在中求出，在中利用余弦定理求出. （2）利用平面向量基本定理和余弦定理求出和边，从而求出的面积. （3）先由互补角余弦定理得到两边的关系，再由锐角三角形得到两边的取值范围，最后用函数单调性求解的取值范围. 【详解】（1）因为，且，， 所以，则. 在中，由余弦定理得 ，所以. （2）因为，，为的角平分线， 所以，设，则. 而， 将上式两端平方可得， 所以，即. 又由余弦定理得，代入上式解得， 所以，，而，则. 所以. （3）设，，， 由，则得， 整理得，所以． 则. 因为为锐角三角形，所以有，解得， 令，则在上单调递增， 且，，所以． $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11解三角形大题归纳 ----◆》父)◆+---- 目录导航 @知识脑图•核心脉络搭建一一梳理专题框皋，搭建知识体集 @2考点深研知能分层突破一一深挖高频考点，分层突破重唯点 )基础梳理·自主夯基 高阶思维·探究拓展 考点01三角形面积公式。 难点解读01求三角形周长、边长或面积的最值 考点02解三角形中的中线、角分线、高线模型 @素养进阶•答题技法突破一一提炼解题范式，提升答题素养 )高考解密·母题探究 题型01解三角形中求边长或周长 题型02解三角形中求面积 题型01解三角形求面积 题型O3解三角形中求角 题型02解三角形求周长或边长 题型04解三角形中求中线 题型03解三角形求角 题型05解三角形中求角分线 题型06解三角形中求高线 。考点聚焦·解法深研 题型07解三角形中几何图形计算 @4优题精练•专题实战通关一一精选优质试题，强化实战应用 ----◆分父◆---- 1/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识脑图核心脉络搭建 面积公式应用：底高、两边夹角、外接圆、内切圆 一、核心 中线模型：向量法（两边向量和的一半）、平行四边形对角线平方和 公式与模 角分线模型：等面积法（拆分大小三角形）、角平分线定理、张角定 型 理 高线模型：等面积法、直角三角形边角关系 基本不等式法：已知定角或面积，求周长、面积的最值 三角函数法：边化角统一变量，化简为单一三角函数，利用有界性 解三角形 二、最值 求值域 与取值范 大题归纳 围问题 齐次式化切法：求边长比值范围时，转化为正切函数，利用换元法 求值域 限制条件：重点关注锐角、钝角三角形对角度的范围限制 常规求值：利用正余弦定理、面积公式直接列方程求解边长、周 三、几何 长、面积或特定线段 图形与综 合计算 几何图形计算：设未知角统一变量，多次使用正弦定理；利用互补 角两次使用余弦定理 考点深研知能分层突破 基础梳理·自主夯基 一一核心必记 《。考点01三角形的面积公式 SABC=-ab sinC=-besin A=acsin B S4ABC=obc=a+b+c小-r(是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径.) 4R2 SAABC=号ah(三角形的底乘高) 2 【新题对点练】(2026海南海口模拟预测)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.己知 sinB+sinC=sin(A-B) (1)求角A: 2/19 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)AD是∠BAC的角平分线，且AD=2.当b+C取最小值时，求此时△ABC的面积. 。考点02解三角形中的中线、角分线、高线模型 1、解三角形中的中线模型 (1)在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和： B 换成三角形的中线则有AD-引AB+BC,BC (2)可以通过向量法AD=号A丽+AC).两边平方后可得|AD=4AB+AC+2 ABACICos)A 2、解三角形中的角分线模型 (1) 面 积 法 如 图 三 角形中 ABACIsinA-ABADsing+ADAGIsinB A D 化商有a+月aD器+器 2!角分线张角定理若AD为角分线，测a=B则化筒上武有cosa-号引ADId (3)斯库顿定理：若AD为角分线，有AD'2=AB·AC-BD·DC 3、解三角形中的高模型 (1)如图AD为BC边上的高线，则有AD=AB·sin∠B=AC·sin∠C 3/19 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)利用面积公式有：AD·BC=AB·AC·sin∠BAC 【新题对点练】(26-27高三上江苏扬州阶段检测)记△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b, c,己知 2=(a+c)2-ac (1)若b=3,a=2,求cosA的值： ②)若△MBC的面积为v5,D为4C的中点，且4C=2W5 求BD的长. 高阶思维·探究拓展一一悬想解玛 《。难点解读01求三角形周长、边长或面积的最值 1、面积的最值问题 (1)利用基本不等式a+b≥2Vab或a2+b2≥2ab可以求面积的最大值。 (2)若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题 来解决 2、周长的最值 (1)若已知面积，则可利用基本不等式a+b≥2Vab可以把周长的最小值与面积挂钩。运用基本不等式时， 看是否满足取等条件。 (2)若能根据余弦定理，则可利用基本不等式a+b d+b 把周长的最大值与余弦值挂钩。 2 2 (3)若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制（锐角或钝角），这时可以考虑把边化角，通过三角 函数求范围问题来解决 3、求角的正余弦的和、差、比值等的取值范围问题 (1)角度统一，根据三角形内角和A+B+C=π，先将题中的角统一成某个角。 (2)根据三角恒等变换来化简、合并求最值或者通过换元，用函数思想求最值。 (3)根据题意得出角的取值范围从而求三角函数的取值范围。 4、边长和差的取值范围 (1)利用正弦定理进行边化角，将边换成三角函数的代数式。 (2)统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化成一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有 界性来判断最值。 4/19 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)注意角的取值范围，根据题目的限制条件，如锐角三角形等求出角的范围，从而求三角函数的范围。 5、边长比的取值范围 若遇到边长齐次式求比值的范围问题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求最值问 题。对三角函数比值求最值的问题可采用的方法： (1)统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有 界性来判断最值。 (2)统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求 最值。 《难点破解(2627高三全国一轮复习)记△1BC的内角1，B,C的对边分别为a,b,c, sin B=1 3 ⑩分别以口，b,C为边长的三个正三角形的面积依次为心，心，S已知一S+S3 2,求△ABC的面积： (2)若b=2,求△ABC周长的最大值. 素养进阶·答题技法突破 高考解密·母题探究一一考法潮源 。题型01解三角形中求面积 【典例1】(2025·上海高考真题)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且c=5. a=sinB.C= (1)若4 sin A' 2,求a (2)若ab=20,求△ABC的面积的最大值. 【奥例2】（2025北京高考真意)在。BC中，c0sA=号 sinC=4V2 (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC边上的高. 条件①：a=6;条件②： asin B=10v2 3;条件③：△ABC的面积为10W2」 5/19 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例3】(2024北京·高考真题)在△ABC中，内角4，B,C的对边分别为a,b,c,∠A为钝角，a=7, sin2B= > -bcos B (1)求∠A: (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积. 条件0：67：条件@：Q8-片：条件8：6m45, 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分. 2+c2-a=2 【典例4】(2023全国甲卷高考真题)记。MBC的内角4，B,C的对边分别为a,bc,已知c0sA (1)求bc; acosB-bcos4=1,求AABC面积 (2)若acosB+bcosA c 《。题型02解三角形中求周长或边长◇ 【典例1】(2024新课标Ⅱ卷高考真题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sin 4+3 cos A=2 (1)求A. ②活a=2,V2bsmC=csim2B.求△MBC 的周长 【典例2】(2023·新课标Ⅱ卷高考真题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,己知△ABC的面积 为5.D为 中点，且AD=1 ()若∠ADC= 3,求tanB: (2)若b2+c2=8,求b,c 6/19 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【奥例】（2026全国-卷商考气意)已知在。MBC中，1B=3,BC=25,sB-9 3· (1)求c0sA: ②没D,E丙点满是：D在BA的延长线上，DEBC,AELAC.若DE=6,求CB COS B=3 【典例4】(2026全国二卷高考真题)在△ABC中，已知cosB=4,cos2(4+C)+sinAsinC=1 (I)证明：△ABC为钝角三角形： 万 (2)若△ABC的面积为4，求△ABC的周长. 。题型03解三角形中求角 A,B,C 【典例1】(2025天津高考直题)在△1BC中，角 的对边分别为46c 已知asin B=V3 bcos c-2b=1a=V7 (1)求A的值； (2)求c的值： (3)求sin(A+2B)的值. 【典例2】(2024天津高考真题)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知 COsB=9 16 b=5,0=2 c3. (1)求a的值： (2)求sinA的值： ③求s(B-24)的值， 考点聚焦·解法深研 一一核心归纳 。题型01解三角形中求边长或周长◇ 7/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 悟 解题关健 1、求周长问题同求三角形的边长问题。利用面积公式与余弦定理的结合，辅助正弦定理求三角形的边 长。其问题的本质为a+b(周长相关)，ab(面积相关)，a+b2(余弦相关)这三者之间的关系， 知二求一。 2、若周长的最值或两边和的最值问题，通常有以下两种方法 (1)若已知面积，则可利用基本不等式a+b≥2Vab可以把周长的最小值与面积挂钩。运用基本不等式 时，看是否满足取等条件。 (2)若能根据余弦定理，则可利用基本不等式a+b一日a+b2把周长的最大值与余弦值挂钩。 2 2 3、若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制（锐角或钝角），这时可以考虑把边化角，通过三角 函数求范围问题来解决 4、若遇到边长齐次式求比值的范围问题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求 最值问题。 5、对三角函数比值求最值的问题可采用的方法： 统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性 来判断最值。 统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最 值。 【典例1】(26-27高三上·安徽马鞍山阶段检测)在△ABC中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 sin C=2sin 4' cos B=3 4· 6 (1)求c的值； 求BC (②若B的平分线BE(点E在4C上)的长为4， 的周长 【典例2】(26-27高三上·安徽淮南阶段检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为4，b,c,且 4 2(cos2 A-sin2 B)-cos 2C=1+sin Asin B 3 8/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求cosC的值： 2+2=2(sin4+2sin B) 求△MBC周长的最大值， 【变式1】(26-27高三上：湖南阶段检测)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C, (1)证明：C=2A: (2)若A= AE =6,CD是∠BCA的平分线，交AB于点D'E为CD的中点，求BE的值： (3)若c=2,求△ABC周长的取值范围 【变式2】(2026：河南模拟预测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a+c=2 bcos A (1)若a=5,c=4,求b: 6 (2)若。ABC为锐角三角形，求。的取值范围. 。题型02解三角形中求面积◇ 悟 解题关键 运常根据面职公式5，ABC-方abinC--be sinA-acnB来求值。 1、利用正余弦定理求边长，然后求得面积 2、结合余弦定理与面积公式也可求得面积。 关于面积的最值问题，通常有以下两种方法 1、利用基本不等式a+b≥2√ab或a+b2≥2ab可以求面积的最大值。 2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题 来解决 【典例1】(26-27高二上辽宁朝阳·阶段检测)△ABC中，设角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知： sin2A+sinBsinC=sin2B+sin'C (1)求tanA的值； (2)若△ABC为锐角三角形，且BC边上的高为2，求△ABC面积的取值范围. 9/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例2】(2026T广东深圳模拟预测)在AABC中，D为BC边上一点，∠ABC= 4,AD=2,AB=6, ∠ADB为钝角. (I)求sin∠BAD的值； 5 (2)若△ACD内切圆的半径为3，求△ABC的面积. 【变式1】(2026重庆模拟预测)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足： 2bcos A=c-b (1)证明：A=2B； (2)若 =（3-2cos2+cosB 且c=4,求△ABC的面积S. 【变式2】(25-26高三下·甘肃武威阶段检测)△ABC的内角4，B,C的对边分别是a,b,C,己知 (3c-2asinB)sinC=3(bsinB-asinA) (1)求B: a+c (②)若点E在边AC上，BE为∠ABC的平分线且长度为1，求aC: 3)若D是4C边上的一点，且 ,求△ABC CD=2DA,BD=2 的面积的最大值。 。题型3解三角形中求角◇ 悟 解题关健 1、利用正余弦定理，以及面积公式求三角形的边跟角。 2、对三角函数比值求最值的问题可采用的方法： (1)统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数 有界性来判断最值。 (2)统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式 求最值。 【典例1】(2026浙江模拟预测)已知在梯形ABCD中，AB/CD,AB=4,CD=1,AD=3, 10/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2DMB-音 (1)求AC的长： (2)求sin∠ACB的值. 【典例2】(26-27高三上陕西西安开学考试)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 满足 2S=(b2-a2)sin B (1)求证：B=2A: 3sin B 2)求cosB-2smA的取值范围. 【变式1】(2026河北保定·模拟预测)在① (b+a)-a)-ab)a-b+c)-iacs'1 :③ a+c=2 bcosA这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答已知在△ABC中，角A,B,C所对的 边分别为a,b,c,且 (1)证明：B=2A: 1 1 ()②若aABC是锐角三角形，求tan tanB的取值范围 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【变式2】(2026安徽三模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c-2bcos(B+C)=0」 (1)证明：sin2A=sin2B+2sin2C： (2)求cosC的取值范围， 。题型04解三角形中求中线⊙ 解题关键 解三角形中求中线可以应用以下两个性质： 1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和：换成三角形的中线，则有 IADP-AB+IBCI-IBCI 11/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2、 可以通过向量法AD=)(+A花，两边平方后可得AD=0AB+AC+2 ABAC]cosA) 在三角形问题中，求中线的范围问题，先用三角形的边长表示出中线长，然后根据正弦定理把边表示成 角的三角函数形式，在通过化简或者换元等方法求得最值跟范围，在求解的过程中注意角的取值范围。 【典例1】(26-27高三上云南开学考试)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=3且 3cos(A-C)+3.cosB-2csinAcosB=0 (1)求角B: (2)若c5 BD 求中线的长. 【典例2】(2026浙江模拟预测)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 asin C=3ccos A (1)求角A的大小： 3 (②)设D为BC的中点，当△MBC的面积为5时，求4D的最小值. 【变式1】(2026四川绵阳模拟预测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c已知 asin B=3bcos A c=6 a=7b (1)求b的值： (2)若D是BC边的中点，求AD的值. 【变式2】(25-26高二上·贵州遵义·阶段检测)在△ABC中，设角A,B,C所对的边分别为a,b,C,已知 a=3 sin2 B+sin2 C-sin2 A=sin Bsin C (1)求角A: (2)若b+C=2,求边BC上的角平分线AD的长： (3)若△ABC为锐角三角形，求边BC上的中线AD的取值范围 12/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 。题型05解三角形中求角分线◇ 悟解题关键 1、利用角平分线定理将对边分成与邻边成比例的两段，再结合余弦定理或向量法建立方程求解。利用 角平分线性质，将大三角形面积拆分为两个小三角形面积之和，通过面积公式建立方程，直接解出角平 分线长度。 2、求角分线的范围：将角平分线长度表示为某个变量（如边或角）的函数，再结合三角形约束条件求 该函数的值域。 【典例1】(25-26高二下浙江舟山期末)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C,且满足： sinA=sinB+sinC sin Asin Bsin C (1)求角A的大小： (2)若b=2,C=3,角A的角平分线交BC于点P,求AP的长度： 【典例2】(2026湖北武汉：三模)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C, sin2A+cos2B+cos2C=2+sinBsinC. (1)求角A的大小： 2若a=25.∠BA 的角平分线交BC于点D,求线段4D长度的最大值。 【变式1】(26-27高三上浙江杭州阶段检测)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若 cos2 4+cos2 B+sin2 C=sin Asin B+2 (1)求角C的大小： (2)若C=2,∠ACB的平分线交AB于点D,求线段CD长度的取值范围 【变式2】(26-27高三上重庆阶段检测)已知4，b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且 (a+b)cosC=c(3sin A-cosB) (1)求C 13/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若D为AB上一点，CD为∠ACB的平分线，且AB=4,求线段CD长度的最大值. 。题型06解三角形中求高线 解题关健 1、高线将三角形分成两个直角三角形，可以利用面积或直角三角形的边角关系建立方程。 2、求高线的范围：将高线表示为底边和对应角的正弦的乘积，转化为三角函数的值域问题，或结合底 边的取值范围进行估算。 【典例1】(26-27高三上·青海西宁阶段检测)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,C,且 2asinC-csin24=0. (1)求角A: (2)若△ABC的面积为4，b=2,求边BC上的高 【典例2】(25-26高三上·贵州贵阳高考复习)在锐角△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,已 sin C=2cos AsinB+ 知 3 (4求cos(B+C) (2)若b+C=6,求BC边上的高AD长的最大值. 【变式1】(2026山东枣庄三模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.且 (a-b+c)(sin A+sinB+sinC)=(2+)asinC (1)求B: (2)若b=2,记AC边上的高为h,求的最大值 2π 【变式2】(25-26高三上·福建龙岩·期中)已知函数 =snx+君w0满 f()八3)恒成 2π 立，且相邻两对称轴之间的距离不小于3，设(，0)为曲线y=f(x)的对称中心 14/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 求： ②若x(元网求f因)的取值范围； (3)记△ABC的角A,B,C对应的边分别为a,b,C,若cosA=cosx,b+C=2,求BC边上的高AD长 的最大值 。题型07解三角形中几何图形计算◇ 悟 解题关健 1、若题目中所有的角都可用某一个角度表示，假设这个角为0，将别的未知的角用来表示，然后多次 使用正弦定理。在求范围与最值的问题中使用较多。 2、若有互为补角的两个角，则可以两次使用余弦定理。 正余弦定理结合面积公式使用，解决四边形问题。 【典例1】(26-27高三上·安徽阜阳阶段检测)如图，在平面四边形ABCD中，AC=BD=2AB=2. (I)若∠ADB= 6,求∠ABD: (2)若∠ABD=∠ACD,CD=2,求AD 【典例2】(26-27高三上辽宁·阶段检测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 bsin 2A=asin B (1)求A; (2)设点D在边BC上，CD=2DB,边AB上的中线CE与AD相交于点F. (①)若“为定值，且△MCF 3 最大面积为 3,求a: 15/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (ii)若 D 3a,且c<2b,证明： Br= 5a. 【变式1】(26-27高三上重庆阶段检测)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对应边分别为 a,b,c,cos2A-/3sin A+2=0,b2=3c2=4+3 ,如图，D,E,F 分别在边 AB,BC,CM上，且ADEF 为等边三角形. D E (1)求∠A的值及d2; (2)证明：∠AFD=∠BDE: (3)求边DE的最小值， 【变式2】(2026江苏淮安一模)在圆O的内接四边形MBCD中，MB=3,BC=4,CD=25 DA=5 D 图1 图2 (1)求AC: (2)若M,N分别为边AB,CD上的动点： (i)如图1，若MN过圆心O,OM:ON=12:7,记∠AOM=0,求cos0; （i)如图2，记四边形4D的面积为，四边形MBCN的面积为8，若=S,求线段W的最小 值 16/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 优题精练•专题实战通关 1.(2026安徽合肥模拟预测)如图，在平面凸四边形ABCD中，己知 AB=3,BC=1CD=2,C=3,D=) D (1)求sinA; (2)求△ADC的面积. 2.(2026浙江模拟预测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin2B=2sin4sinC. (1)求角B的取值范围： (2)若B= =3,求cos4+cosC的值 3.(2026:湖南湘潭一模)在△ABC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且9 (1)求角B: (2②)若△MBC为锐角三角形， =V0,c=3W2,求△MBC的面积 4.(2026-山东青岛三模)记△MBC内角A、B、C的对边分别为a、b、C,a00sB+(b+2c)cosA=0 (1)求A: ②若a=25,且sinB+si血C=l,求MBC 的面积 5.(26-27高二上河南驻马店开学考试)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知 17/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 2a 1 b tan B'tan C sin C'sin B. (1)求证：b2+c2=2a2: (2)若a=5,cosA=g,设D是边BC的中点，求4D的长. 6.(25-26高三上辽宁锦州期中)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若 cosC cosA sinBsinC C1 a 3sinA,且tan 231 (1)求C角 (2)求c边 (3)若AB边上的中线长为2，点D在AB上，且CD为∠ACB的平分线，求CD的长 7.(26-27高三上·重庆江津阶段检测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且b=2,且 a2+c2=3ac+4 (I)求△ABC面积的最大值： 2)若C=2,点G为。ABC的重心，求线段AG的长度. 8.(26-27高三上江苏宿迁阶段检测)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C.向量 m=(b,cos B)=(cos A,a-2c)mLn ,日 (1)求角B的大小： 若b=5,D为边41C (2)若 的中点，求线段BD的长的取值范围」 9.(26-27高二上：陕西西安开学考试)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 3(bcosC+ccos B)=2asin A (1)求A; (2)若C=2 bcosA,点D在△ABC外，DA=DC=1,求四边形ABCD面积的最大值， 10.(26-27高二上河南阶段检测)如图，在△ABC中，点D在边AB上，且AD=CD=1,BD=3, 18/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B (1)若BC⊥CD,求AC: (2)若CD为∠ACB的角平分线，求△ABC的面积： (3)若△BCD为锐角三角形，求coS∠ACB的取值范围. 19/19