专题09 解三角形中的面积、周长、边长问题（考点清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题09 解三角形中的面积、周长、边长问题 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01三角形的面积公式 考点02解三角形的最值问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01 解三角形求周长与面积 ▶考点聚焦・解法深研 题型01解三角形求周长 题型02解三角形求周长的最值（范围） 题型03解三角形求面积 题型04解三角形求面积的最值（范围） 题型05解三角形求边角 题型06解三角形求边角的和差的最值（范围） 题型07解三角形求边角比值的最值（范围） 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 三角形的面积公式 （r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．） (三角形的底乘高) 【新题对点练】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）在中，角，，的对边分别是，，，已知，. (1)证明：是锐角三角形； (2)若，试求的面积. 考点02 解三角形的最值问题 1、面积的最值问题 （1）利用基本不等式可以求面积的最大值。 （2）若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 2、周长的最值 （1）若已知面积，则可利用基本不等式可以把周长的最小值与面积挂钩。运用基本不等式时，看是否满足取等条件。 （2）若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 把周长的最大值与余弦值挂钩。 （3）若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制（锐角或钝角），这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 3、求角的正余弦的和、差、比值等的取值范围问题 （1）角度统一，根据三角形内角和先将题中的角统一成某个角。 （2）根据三角恒等变换来化简、合并求最值或者通过换元，用函数思想求最值。 （3）根据题意得出角的取值范围从而求三角函数的取值范围。 4、边长和差的取值范围 （1）利用正弦定理进行边化角，将边换成三角函数的代数式。 （2）统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化成一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 （3）注意角的取值范围，根据题目的限制条件，如锐角三角形等求出角的范围，从而求三角函数的范围。 5、边长比的取值范围 若遇到边长齐次式求比值的范围问题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求最值问题。对三角函数比值求最值的问题可采用的方法： （1）统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 （2）统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最值。 【新题对点练】（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 素养进阶·答题技法突破 题型01 解三角形求周长与面积 【典例1】（2026·全国二卷·高考真题）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 【典例2】（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【典例3】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【典例4】（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 题型01 解三角形求周长 综合运用正弦定理和余弦定理求出未知的边与角。结合周长定义或三角形面积公式进行计算。解题时常需先利用三角恒等变换化简已知条件，再通过代数方程求出相关基本元素。 【典例1】（2026·黑龙江大庆·一模）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若的面积为，，求的周长． 【典例2】（2026·广东江门·模拟预测）记的内角、、的对边分别为、、，已知的面积为，且. (1)求角； (2)若，，求的周长． 【变式1】（2026·海南海口·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若外接圆半径为，当取得最大值时，求的周长． 【变式2】（2026·江苏苏州·三模）已知锐角中，内角，，所对的边分别为，，，. (1)求的值； (2)若，，求的周长. 题型02解三角形求周长的最值（范围） 已知一角或定边，求周长最值优先考虑余弦定理结合基本不等式；若求特定范围内（如锐角三角形）的周长范围，则利用正弦定理将所有边转化为关于某个角的三角函数，化简后用正弦函数的有界性求出范围。 【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【典例2】（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，求周长的取值范围． 【变式1】（2026·陕西渭南·模拟预测）在锐角中，角的对边分别为，. (1)求角； (2)当时，周长为，求的取值范围. 【变式2】（25-26高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知向量，函数. (1)求函数的最小正周期及对称中心； (2)在锐角中，若且，求周长的取值范围 题型03解三角形求面积 核心是选择合适的面积公式（如两边夹一角）。通过题干条件求出夹角及对应两边，直接代入公式计算。若涉及高线、中线或角平分线，常利用“等面积法”将大三角形拆分，列方程求解面积。 【典例1】（26-27高三上·北京朝阳·阶段检测）在中，. (1)求的值： (2)若，求及的面积. 【典例2】（26-27高三上·天津河北·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)求角； (2)求的值； (3)若，求的面积． 【变式1】（26-27高三上·海南海口·阶段检测）已知在中，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若点在边上，且．若，求的面积． 【变式2】（26-27高三上·湖北·阶段检测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，，求的面积. 题型04解三角形求面积的最值（范围） 利用面积公式结合基本不等式可直接求最大值。若有限制条件（如锐角三角形），需通过正弦定理边化角，将面积表示为单一角的三角函数，结合角的取值范围求出面积的范围。 【典例1】（26-27高三上·浙江·开学考试）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．为边上的点． (1)求角； (2)若，，且，求线段的长； (3)若，，求面积的最大值． 【典例2】（26-27高三上·湖北黄石·开学考试）已知，，分别为的三个内角，，的对边，且，的面积． (1)求证：； (2)求的最大值． 【变式1】（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数，函数的最小正周期为． (1)求的值及此时的对称轴； (2)若为锐角的内角，且，，求面积的取值范围． 【变式2】（26-27高三上·河南·阶段检测）在中，，，，点D，E分别在线段，上，且均不与线段端点重合． (1)若，求外接圆的半径． (2)设，的面积分别为，，且． （ⅰ）当时，求线段的长度的最小值； （ⅱ）对任意给定的，当的长度取得最小值时，求的面积的最大值． 题型05解三角形求边角 根据已知条件灵活选择正弦定理（边角互化）或余弦定理（构建三边一角关系）。利用三角恒等变换（如辅助角公式、两角和差）将复杂条件化简。最后通过解方程或方程组，直接求出具体的边长或角度。 【典例1】（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）在中，已知． (1)求； (2)若边上的高等于，求，． 【典例2】（26-27高三上·河北承德·阶段检测）在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的值； (2)若，的面积为，求的值． 【变式1】（26-27高三上·天津和平·阶段检测）已知、、为的三个内角，、、是其三条边，，． (1)若，求的面积； (2)若，求、； (3)若，求． 【变式2】（26-27高三上·山东日照·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 题型06解三角形求边角的和差的最值（范围） 核心策略是“统一变量”。利用内角和关系将多变量转化为单变量，通过正弦定理边化角或直接用恒等变换化简为目标角的三角函数。最后严格根据三角形形状（如锐角）推导出该角的范围，结合三角函数图像求值域。 【典例1】（26-27高三上·四川成都·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B的大小; (2)求的取值范围. 【典例2】（2026·广东广州·模拟预测）已知的外接圆半径是2，角，，所对的边为，，，满足． (1)求角的值； (2)求的最大值． 【变式1】（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)若，的面积为，为边的中点，求的长度； (2)若为边上一点，且，，求的最小值． 【变式2】（26-27高三上·江苏南通·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求角B的大小； (2)若，，求边a的长； (3)求的取值范围． 题型07解三角形求边角比值的最值（范围） 遇到边长的齐次比，优先用正弦定理化为角的正弦或正切之比。若化为正切后，通常利用换元法转化为代数分式（如对勾函数型），再结合基本不等式或函数单调性求出最值。同时不可忽略角度范围对代数变量的限制。 【典例1】（2026·河北张家口·一模）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【典例2】（2026·贵州遵义·模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，且满足： (1)证明：； (2)求的取值范围. 【变式1】（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若角的平分线交于点，求的长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【变式2】（25-26高二下·河南新乡·期末）在锐角三角形中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，设，求的取值范围． 重难点01 【典例1】 【典例2】 【变式1】 【变式2】 优题精练·专题实战通关 1．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 2．（26-27高三上·山东临沂·阶段检测）在中，内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求； (3)若，点在的外接圆上（与点分别位于两侧），且，求四边形的面积的最大值． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，曲线在点处的切线l分别交x轴和y轴于A、B两点，O为坐标原点． (1)求时切线l的方程； (2)若P点为，求的面积． 4．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求角B的大小； (2)若，，求边a的长； (3)求的取值范围． 5．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知的内角，，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)设为的重心，若的面积为，且，求. 6．（26-27高三上·上海徐汇·阶段检测）在中，为钝角，． (1)求； (2)若，的面积为，求的值． 7．（2026·江苏南通·一模）已知内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若，求的最大值． 8．（26-27高三上·山东青岛·阶段检测）已知的内角，，所对的边分别为，，，且， (1)若，判断的形状； (2)求的最大值． 9．（26-27高三上·湖南·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知的面积为． (1)若，求的值； (2)若，，边上的中线，求边长b，c． 10．（2026·吉林长春·三模）在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. $专题09 解三角形中的面积、周长、边长问题 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01三角形的面积公式 考点02解三角形的最值问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01 解三角形求周长与面积 ▶考点聚焦・解法深研 题型01解三角形求周长 题型02解三角形求周长的最值（范围） 题型03解三角形求面积 题型04解三角形求面积的最值（范围） 题型05解三角形求边角 题型06解三角形求边角的和差的最值（范围） 题型07解三角形求边角比值的最值（范围） 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 三角形的面积公式 （r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．） (三角形的底乘高) 【新题对点练】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）在中，角，，的对边分别是，，，已知，. (1)证明：是锐角三角形； (2)若，试求的面积. 【答案】(1)因为角，，是的内角，所以，，，由题知： ，可能有两种情况：①；② 对于情况①：，两式相减得，故， 对于情况②：，两式相加得，故， 由余弦定理知，故，， 且③，故而情况②错误，只可能是情况①，所以， 结合正弦定理由③知，解得，故，则，所以是锐角三角形. (2) 【分析】(1)利用的两组解，结合三角形内角和与余弦定理判断的正负，排除钝角可能，求出A，B，C，得到三个角都小于；(2)得到三个内角后，借助正弦定理求出边长a，代入三角形面积公式计算面积. 【详解】（1）略 （2）由正弦定理知，解得，又因为， 所以. 考点02 解三角形的最值问题 1、面积的最值问题 （1）利用基本不等式可以求面积的最大值。 （2）若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 2、周长的最值 （1）若已知面积，则可利用基本不等式可以把周长的最小值与面积挂钩。运用基本不等式时，看是否满足取等条件。 （2）若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 把周长的最大值与余弦值挂钩。 （3）若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制（锐角或钝角），这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 3、求角的正余弦的和、差、比值等的取值范围问题 （1）角度统一，根据三角形内角和先将题中的角统一成某个角。 （2）根据三角恒等变换来化简、合并求最值或者通过换元，用函数思想求最值。 （3）根据题意得出角的取值范围从而求三角函数的取值范围。 4、边长和差的取值范围 （1）利用正弦定理进行边化角，将边换成三角函数的代数式。 （2）统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化成一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 （3）注意角的取值范围，根据题目的限制条件，如锐角三角形等求出角的范围，从而求三角函数的范围。 5、边长比的取值范围 若遇到边长齐次式求比值的范围问题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求最值问题。对三角函数比值求最值的问题可采用的方法： （1）统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 （2）统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最值。 【新题对点练】（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理角化边结合勾股定理求解即可； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可； 【详解】（1）由正弦定理可得即， 又，所以，即，解得， 所以. （2）因为，且，， 所以，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 素养进阶·答题技法突破 题型01 解三角形求周长与面积 【典例1】（2026·全国二卷·高考真题）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：由，则， 又，得，则， 由两角和的余弦公式，， 结合可知， 则异号，必然一个为负，一个为正. 又，即中必有一个是钝角； (2) 【分析】（1），结合题设得出，然后由两角和的余弦展开得到，进而得解； （2）先推出三角形面积公式的变形式，解得，由正弦定理进而得出，然后列余弦定理和面积公式的关于的方程组求解. 【详解】（1）略 （2）方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， ， （是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则， 由余弦定理，即， 又，则， 于是，即， ，解得， 故周长为. 方法二：由，则， 即， 由正弦定理可得，， 由三角形面积公式，， 得到，则，其余同上. 【典例2】（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可； 【详解】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 【典例3】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 【典例4】（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理即可解出； （2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出． 【详解】（1）因为，所以，解得：． （2）由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 题型01 解三角形求周长 综合运用正弦定理和余弦定理求出未知的边与角。结合周长定义或三角形面积公式进行计算。解题时常需先利用三角恒等变换化简已知条件，再通过代数方程求出相关基本元素。 【典例1】（2026·黑龙江大庆·一模）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若的面积为，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式角化边，结合余弦定理即可求出角. （2）先由三角形面积公式求出的值，再结合正弦定理及已知的值求出边长，最后由余弦定理求出，即可得到三角形周长. 【详解】（1）已知， 由正弦定理，得. 所以. 由余弦定理， 因为，故. （2）由，所以. 由正弦定理， 得， 所以（）. 由余弦定理， 得，即 所以（）. 所以的周长为. 【典例2】（2026·广东江门·模拟预测）记的内角、、的对边分别为、、，已知的面积为，且. (1)求角； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)周长为 【分析】（1）根据三角形面积公式与余弦定理，可得，根据的范围可求得； （2）利用正弦定理化简，结合的范围，可得.然后再利用正弦定理可求得、的长度，进而得到的周长. 【详解】（1）由三角形面积公式可得；由余弦定理，， 代入，可得， 因为，所以，因为，所以. （2）由结合正弦定理， 因为，所以， 又因为，所以，，所以. 因为，由正弦定理， 所以， . 所以周长为. 【变式1】（2026·海南海口·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若外接圆半径为，当取得最大值时，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得； （2）利用正弦定理求得，利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，进而求得即可. 【详解】（1）由，结合正弦定理得， 因为，所以， 所以． 而，则，所以，而，故． （2）由题意得，外接圆半径， 由正弦定理得，得． 由余弦定理得，则， 即，当且仅当时等号成立， 此时的周长为． 【变式2】（2026·江苏苏州·三模）已知锐角中，内角，，所对的边分别为，，，. (1)求的值； (2)若，，求的周长. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由已知条件及正弦边角关系，结合三角形内角和性质、和角正弦公式化简得，即可得； （2）根据已知得，结合、求得、，进而求出对应正弦值，应用正弦定理求边长，即可得. 【详解】（1）由正弦定理得， 又因为， 所以， 所以. 因为在锐角中，所以. （2）因为，， 所以， 因为， 所以，所以，所以，， 由正弦定理，得，， 所以的周长为. 题型02解三角形求周长的最值（范围） 已知一角或定边，求周长最值优先考虑余弦定理结合基本不等式；若求特定范围内（如锐角三角形）的周长范围，则利用正弦定理将所有边转化为关于某个角的三角函数，化简后用正弦函数的有界性求出范围。 【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）解法一：利用正弦定理化简题中等式，得到，求出答案；解法二：利用正弦定理解方程求得的值可得的值；解法三：由正弦定理可得，根据可得，所以； （2）解法一：根据正弦定理和得到的周长关于的函数，由于是锐角三角形，计算出的范围，最后求解的值域；解法二：由正弦定理得到，由斜率的定义可得的取值范围，进而得答案 【详解】（1）解法一：最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度， 由三角形的内角和定理得， 因为，所以． 所以． 在中，由正弦定理知， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 因为，所以，，故， 解得，所以． 解法二：因为，所以由正弦定理得， 因为，所以，故， 两边平方得，即． 因为，所以，所以， 所以，即， 解得或， 因为，所以，， 又，因此． 解法三：利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系， 因为，所以由正弦定理得， 因为，故，所以． 因为，，故或者， 而根据题意，故不成立，所以， 又因为，代入得，所以． （2）解法一（正弦定理 + 正切函数的单调性）： 因为是锐角三角形，又，所以， 由正弦定理，得：， ，， 展开：， 周长 ， ， 因为在内单调递减，． 所以， 所以， 即． 解法二（正弦定理 + 分式型正余弦函数几何意义：斜率）： 因为是锐角三角形，又，所以， 由正弦定理，得：， ，， 展开：， 周长， 可以看成单位圆上点与连线的斜率， 因为是锐角三角形，又，所以， 所以，所以， 所以， 即． 【典例2】（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】小问（1）根据商数关系、正弦定理和诱导公式将等式化简，再根据锐角三角形得出角的范围从而求出结果；小问（2）运用第（1）问结果和锐角三角形求出角B的范围，再根据正弦定理和角的关系求出b、c两边与角B的关系式，三角形的三边相加并进行化简，再根据角B的范围求出周长的范围. 【详解】（1）在中，由题意得：， 即， 得， 因为，解得．   又，故． （2）由于该三角形为锐角三角形，，有， 即， 解得．     由正弦定理得：， 解得，，     则的周长 ， 又因为，所以， 的周长的取值范围为． 【变式1】（2026·陕西渭南·模拟预测）在锐角中，角的对边分别为，. (1)求角； (2)当时，周长为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数关系、诱导公式及两角和正弦公式化简求解即可. （2）根据正弦定理及三角恒等变换得到，结合锐角三角形得到，利用正弦型三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）由，得， 即 因为，，所以，即， 因为，所以. （2）由正弦定理可得，所以，， 则 ， 因为，，所以， 则，所以， 所以，则，即. 【变式2】（25-26高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知向量，函数. (1)求函数的最小正周期及对称中心； (2)在锐角中，若且，求周长的取值范围 【答案】(1)最小正周期为，对称中心为 (2) 【分析】（1）根据向量数量积运算以及三角恒等变换化简得的表达式，再利用三角函数的对称性可求得结果； （2）由结合（1）可求得，又为锐角三角形，可得，由此利用正弦定理，三角恒等变换可求得的范围，从而得解. 【详解】（1）因为， 则， 所以最小正周期为， 由，解得， 所以的对称中心为. （2）由（1）及，即， 又，所以，解得， 又为锐角三角形，即，即，解， ， 又，， ， 所以周长的取值范围为. 题型03解三角形求面积 核心是选择合适的面积公式（如两边夹一角）。通过题干条件求出夹角及对应两边，直接代入公式计算。若涉及高线、中线或角平分线，常利用“等面积法”将大三角形拆分，列方程求解面积。 【典例1】（26-27高三上·北京朝阳·阶段检测）在中，. (1)求的值： (2)若，求及的面积. 【答案】(1)2 (2)； 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即得. （2）利用余弦定理结合三角形面积公式求解即得. 【详解】（1）由余弦定理得 ， 代入已知等式：得， 化简得：，则， 因为 ，所以 ，即 . （2）因为，由余弦定理 ， 可得：， 将 代入上式可得：，化简得解得. 所以三角形面积：. 【典例2】（26-27高三上·天津河北·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)求角； (2)求的值； (3)若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知条件结合余弦定理运算得解； （2）由结合正弦定理边化角，进而求得，再利用二倍角公式求得，最后根据两角和的余弦公式运算得解. （3）结合正弦定理求解出边长，再结合题意求出，最后利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由， 展开得，即， 由余弦定理可得，，所以. （2）由及正弦定理得， 因为，所以，即， 由（1）可知A为钝角，所以C为锐角，所以， ，， 所以. （3）由题意得，，， 则由正弦定理得，解得， 而， 由三角形面积公式得. 【变式1】（26-27高三上·海南海口·阶段检测）已知在中，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若点在边上，且．若，求的面积． 【答案】(1)三角形为直角三角形，理由如下： 由， 故，进而， 由于，故，又， 故， 化简可得，故，由于，故， 进而，故三角形为直角三角形， (2) 【详解】（1）略； （2）由于，，且为直角三角形， 设，则，，， 故在三角形中，由余弦定理可得， 即，解得， 故． 【变式2】（26-27高三上·湖北·阶段检测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可得，代入已知等式推出，再利用余弦定理化简得出，即可求解； （2）由余弦定理可求出，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理得. 代入已知等式， 得. 由于，所以. 因为，所以. 又因为，所以. （2）由余弦定理得. 将与代入上式得. 故的面积为. 题型04解三角形求面积的最值（范围） 利用面积公式结合基本不等式可直接求最大值。若有限制条件（如锐角三角形），需通过正弦定理边化角，将面积表示为单一角的三角函数，结合角的取值范围求出面积的范围。 【典例1】（26-27高三上·浙江·开学考试）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．为边上的点． (1)求角； (2)若，，且，求线段的长； (3)若，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角恒等变换公式即可得解； （2）利用角平分线表示三角形面积，再结合余弦定理即可求出结果； （3）依题意先表示，然后将两边平方，结合数量积的运算律及基本不等式求出的最大值，再由面积公式计算可得. 【详解】（1）由正弦定理可得，因为,,代入可得,中,所以,得 （2）因为， 所以， 即，所以. 由余弦定理可得，,, ,可得,因为，所以. （3）因为，所以, 两边平方. 因为,所以, 由均值不等式可得, 所以，即，等号成立. 条件：,将其代入原式验证真实存在三角形，. 【典例2】（26-27高三上·湖北黄石·开学考试）已知，，分别为的三个内角，，的对边，且，的面积． (1)求证：； (2)求的最大值． 【答案】(1)根据三角形面积公式可得：， 余弦定理可得：， 又因为，所以， 在中，两边同时除以整理可得： 即 . (2) 【分析】（1）先分别写出三角形面积公式和余弦定理表达式，再结合已知条件建立等式，最后通过化简等式求解. （2）通过已知条件求出的值，再利用基本不等式求出的最大值，进而得到三角形面积的最大值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知：，两边平方得： ，又因为， 所以，化简可得：， 因为是三角形内角，，解得， 所以，已知， 由基本不等式得 ，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，的最大值是． 【变式1】（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数，函数的最小正周期为． (1)求的值及此时的对称轴； (2)若为锐角的内角，且，，求面积的取值范围． 【答案】(1)，的对称轴为； (2)面积的取值范围为. 【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式将化简为正弦型函数，再利用周期公式求，最后令相位等于求对称轴； （2）先求出角，再利用正弦定理将边转化为角，结合锐角三角形的限制条件求出角的范围，最后将面积表示为关于的三角函数，利用正弦函数的图象与性质求出面积的取值范围. 【详解】（1）因为 . 因为函数的最小正周期为，所以，解得. 此时. 令，解得. 所以的对称轴方程为. （2）由（1）知，即. 因为为锐角，即，所以 ， 所以，解得. 在中，由正弦定理，得，. 因为，所以. 因为是锐角三角形，所以 ，解得. 所以的面积 . 因为，所以. 所以， 所以，即面积的取值范围为 【变式2】（26-27高三上·河南·阶段检测）在中，，，，点D，E分别在线段，上，且均不与线段端点重合． (1)若，求外接圆的半径． (2)设，的面积分别为，，且． （ⅰ）当时，求线段的长度的最小值； （ⅱ）对任意给定的，当的长度取得最小值时，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）2 （ⅱ） 【分析】（1）由勾股定理逆定理判定为直角三角形，求出，再利用正弦定理求外接圆半径. （2）（ⅰ）设，由面积关系求得，在中利用余弦定理及基本不等式求最值； （ⅱ）由（ⅰ）知最小时，将的面积表示为关于的二次函数，利用二次函数性质求最大值. 【详解】（1）在中，因为，，， 所以，故，. 设外接圆半径为，在中，由正弦定理得， 因为，所以，解得. 故外接圆的半径为. （2），. 设，(). . 由，得，即. （ⅰ）当时，. 在中，由余弦定理得， 由基本不等式，得， 当且仅当时等号成立（满足且）. 所以，即线段长度的最小值为. （ⅱ）由（ⅰ）知，当且仅当时，等号成立， 所以对任意给定的，当的长度取得最小值时，， 由，得，又. 设的面积为，因为当取得最小值时，此时， 所以， 所以的面积： ， 因为，所以当时，取得最大值. 即面积的最大值为. 题型05解三角形求边角 根据已知条件灵活选择正弦定理（边角互化）或余弦定理（构建三边一角关系）。利用三角恒等变换（如辅助角公式、两角和差）将复杂条件化简。最后通过解方程或方程组，直接求出具体的边长或角度。 【典例1】（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）在中，已知． (1)求； (2)若边上的高等于，求，． 【答案】(1). (2)， 【分析】（1）由正弦定理边化角化简求角B； （2）由已知化简可得，利用正弦定理和即可求出. 【详解】（1）由，根据正弦定理可得， 即，因为，所以， 所以，即 ，故 . （2）设 ，则 边上的高 ，，又 ，故 ，即 ， 由正弦定理得，即 又，， 即，，为锐角， 又，， . 【典例2】（26-27高三上·河北承德·阶段检测）在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的值； (2)若，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用正弦定理把边角混合的已知式化为只含角的等式，由约去，再用二倍角公式把与统一成的三角函数，转化为的方程，结合的范围确定角. （2）方法一：把（1）所求的角代入条件求出，用排除钝角情形确定角，再用"作高把分成两段"与"正弦定理求边"两条路径分别把三角形面积用表示，最后由面积条件解出.方法二：先求得，利用正弦定理、三角形的面积公式列方程求得. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理，得． 因为，所以，所以． 又因为，，所以，所以． 所以，所以，所以． （2）由（1）得，所以． 因为，所以． 因为，所以，所以 方法一：如图，在中，过点作于点． 在中，因为，所以，． 在中，因为，所以． 所以的面积． 由题意得，解得（负值舍）． 方法二：因为， 由正弦定理，得． 所以的面积． 由题意得，解得（负值舍） 【变式1】（26-27高三上·天津和平·阶段检测）已知、、为的三个内角，、、是其三条边，，． (1)若，求的面积； (2)若，求、； (3)若，求． 【答案】(1)； (2)，； (3) 【分析】（1）由已知条件可得，再利用求出面积即可； （2）分别由正弦定理实现角化边，先求出，再由余弦定理求出即可； （3）由已知条件先求出的值，再分类讨论求出，最后利用正弦定理求出即可. 【详解】（1）在中，由，，则，所以； （2）因为，由正弦定理可得，又，所以， 由余弦定理可得，又，所以； （3）由，则， 所以，两边同时平方得，即， 所以，又，，则，所以， 因此，则， 若，则， 而，则，不合题意，所以，所以， 由正弦定理，又，则，所以. 【变式2】（26-27高三上·山东日照·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理得到，再利用余弦定理可得，利用，可得，再利用余弦定理可得，利用同角三角函数的基本关系可求的值. （2）先利用二倍角公式求和，再利用两角和的三角公式求值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，可得， 所以. 由余弦定理，， 又，所以. 又，所以，所以. 所以. 又，所以. （2）因为， ， 所以 . 题型06解三角形求边角的和差的最值（范围） 核心策略是“统一变量”。利用内角和关系将多变量转化为单变量，通过正弦定理边化角或直接用恒等变换化简为目标角的三角函数。最后严格根据三角形形状（如锐角）推导出该角的范围，结合三角函数图像求值域。 【典例1】（26-27高三上·四川成都·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B的大小; (2)求的取值范围. 【答案】(1)或. (2)若，则 ; 若，则. 【分析】（1）利用正弦定理化简可得，因为，所以或; 分别讨论与时，化简并求函数值域即可. 【详解】（1） 因为，所以或. （2）①若，则 ， 因为，所以，.故 ②若，则 ， ， 因为，所以，.故 . 综上所述，若，则; 若，则. 【典例2】（2026·广东广州·模拟预测）已知的外接圆半径是2，角，，所对的边为，，，满足． (1)求角的值； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用正弦定理将题目式子边化角，再化简边化角后的式子求出角； （2）根据第（1）问可以求出边c的长度，运用余弦定理求出边，与边c的关系，再运用基本不等式求出最大值 【详解】（1）由题可得，即， ， 则，因为角，，， 故，则，故角为； （2）由题可得角为，的外接圆半径是2，故， 由余弦定理可得，即， 当且仅当时等号成立，故当时，有最大值，且角为， 故为等边三角形，所以，， 所以的最大值为. 【变式1】（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)若，的面积为，为边的中点，求的长度； (2)若为边上一点，且，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据三角形的面积公式得到，再根据余弦定理得到，进而结合向量的运算及模长公式即可求出的长度； （2）根据题意及得到，整理得到，再结合“1”的妙用及基本不等式即可求出的最小值． 【详解】（1）由，的面积为， 则，则， 又，则由余弦定理得， 即，得， 又为边的中点，则， 则， 即，所以的长度为． （2）由为边上一点，且，， 则，， 又，且， 即， 整理得，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 【变式2】（26-27高三上·江苏南通·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求角B的大小； (2)若，，求边a的长； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2)10 (3) 【分析】（1）利用正余弦定理求解； （2）由利用同角关系式的平方关系求出，利用三角形内角和将转化为，利用两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出. （3）利用降次公式将转化为，利用三角形内角和将转化为，利用两角差的余弦公式得到，利用余弦函数的图形和性质得到所求. 【详解】（1）在中，由正、余弦定理得， ， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以． （2）因为，所以， ， 在中，，所以. （3） 因为，所以， 故，因此， 所以． 题型07解三角形求边角比值的最值（范围） 遇到边长的齐次比，优先用正弦定理化为角的正弦或正切之比。若化为正切后，通常利用换元法转化为代数分式（如对勾函数型），再结合基本不等式或函数单调性求出最值。同时不可忽略角度范围对代数变量的限制。 【典例1】（2026·河北张家口·一模）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) 由，利用正弦定理得：， 又， 所以， 所以， 所以或， 所以或（舍去） 所以； (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换即可得证； （2）先计算，利用二倍角余弦公式得，再由结合二倍角正弦公式即可求解； （3）由（1）有，得，又由正弦定理得，利用锐角三角形求出的范围，进而求解. 【详解】（1）略 （2）由，所以， 又，所以， 又，所以， 又由为的平分线， 所以， 所以， 所以， 又由余弦定理得：， 所以，所以； （3）由（1）有，又，所以， 又由正弦定理得： ， 又为锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 【典例2】（2026·贵州遵义·模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，且满足： (1)证明：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明如下： 在中，因为，由正弦定理可得，. 由余弦定理知，，则， 所以，即，所以， 所以或. 若，因为，所以，与已知条件矛盾，不满足. 故. (2) 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理，结合为锐角三角形证明即可. （2）根据为锐角三角形及（1）求出的范围，结合正弦定理对进行化简，进而求范围即可. 【详解】（1）略 （2）当为锐角三角形时，， 即：，所以. . 令，，则. 令，由对勾函数性质可知在上单调增， 所以，则， 所以，即， 所以 【变式1】（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若角的平分线交于点，求的长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理进行边化角，再利用三角恒等变换化简求出角； （2）设，根据正弦定理化简求解即可； （3）根据余弦定理和正弦定理将目标式化简，再根据三角恒等变换及正弦函数性质计算求解即可.. 【详解】（1）由题可得且角， 故，而， 因此， 即，，解得角为. （2）由题可得设的长度为，则， 因为，所以， 又因，则. （3）根据余弦定理， 故， 再由正弦定理可得， 由第（1）问可得，故， 则， 因为为锐角三角形，故，则， 因此，故，则. 【变式2】（25-26高二下·河南新乡·期末）在锐角三角形中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，设，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对已知的边的等式展开整理，结合余弦定理的形式推导角A的余弦值，因为三角形是锐角三角形，所以可确定角A的大小； （2）由已知结合三角形面积公式建立与和边b、c的关系，得到关于b、c的表达式，再通过正弦定理将b、c的比值转化为角的三角函数表达式，进而求出取值范围. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以， 因为是锐角三角形，所以，所以； （2）因为，所以， 在中，，即； 在中，，即， 所以 ， 且，则， 因为是锐角三角形，所以，则， 所以， 因为，所以， 则，即， 所以． 重难点01 【典例1】 【典例2】 【变式1】 【变式2】 优题精练·专题实战通关 1．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理及正弦定理边化角，再利用和角的正弦求得得，进而求出及三角形面积. （2）结合（1）中信息，利用正弦定理边化角及二倍角的正弦求解. 【详解】（1）在中，及余弦定理， 得，，整理得， 由正弦定理得，即， 则，即，由， 得，，因此，即， 由，得，又，则， 所以的面积为. （2）由（1）及为锐角三角形，得，解得， 由正弦定理得，， 所以的取值范围为. 2．（26-27高三上·山东临沂·阶段检测）在中，内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求； (3)若，点在的外接圆上（与点分别位于两侧），且，求四边形的面积的最大值． 【答案】(1). (2). (3). 【分析】（1）利用三角形内角和定理与两角和的正弦公式将已知等式展开，化简求得 ，进而求出角 ； （2）利用正弦定理将边化为角，结合第（1）问结论求出角 和 ，代入计算三角函数值之和； （3）利用四点共圆的性质得出 ，设出边长并通过余弦定理建立等量关系，利用代数变形（判别式法）求出四边形面积表达式的最值. 【详解】（1）因为， 在中,，所以, 代入得, 整理得， 即, 因为，所以，所以，即， 因为，所以. （2）由（1）知，所以, 由正弦定理及，得, 因为，所以, 又，所以, 移项整理得，即, 因为，所以，从而, 所以 . （3）由（1）知，因为，即, 因为四点共圆，且点与点分别位于两侧， 所以, 设，，, 在中，由余弦定理得 ，即, ① 在中，由余弦定理得，即, ② ① - ②得，即, 因为，所以，即, 代入①得，整理得, 四边形的面积 . 将代入得, 令，则, 代入得， 整理得, 因为为实数，所以关于的一元二次方程有实根， 其判别式， 解得，即（因为，所以）, 所以,当且仅当时，等号成立. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，曲线在点处的切线l分别交x轴和y轴于A、B两点，O为坐标原点． (1)求时切线l的方程； (2)若P点为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求解； （2）利用计算. 【详解】（1）切点为，， 则过点的切线方程为，即， 所以当时，切线l的方程为． （2）当时，；当时，， 则， 因为，所以． 4．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求角B的大小； (2)若，，求边a的长； (3)求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用正弦定理和正弦的和角公式求解； （2）首先求出，再利用两角和的正弦公式求得，最后根据正弦定理即可得到答案； （3）利用二倍角公式和余弦的差角公式求解. 【详解】（1）由正弦定理得：，所以, 则：， 利用正弦的和角公式化简合并得， 又因为在中，，所以，则. （2）因为，所以， ， 则由正弦定理得：. （3）①，因为， 所以，利用余弦的差角公式展开合并后得： ，即：①式变为，其中， ，，所以， ，即：的取值范围是. 5．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知的内角，，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)设为的重心，若的面积为，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得到，根据余弦定理代入计算即可求出答案； （2）由重心的性质和三角形的面积公式及正弦定理代入计算即可得出答案. 【详解】（1）因为， 所以，即， 所以，因为，所以. （2）因为， 所以， 因为，而为三角形内角，所以， 所以， 于是，即， 解得. 6．（26-27高三上·上海徐汇·阶段检测）在中，为钝角，． (1)求； (2)若，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理， ， 又， 代入化简得. 因为， 所以，又， 故. （2）由面积公式， 代入，得， 由余弦定理， 代入得， 即， 将代入得，故， ，解得或， 因为 为钝角，故 ，因此. 7．（2026·江苏南通·一模）已知内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）通过正弦定理以及余弦定理化简即可. （2）利用余弦定理和基本不等式求出最大值. 【详解】（1）由，根据正弦定理，得 ． 根据余弦定理，得．所以． 因为，所以． （2）由，根据余弦定理，得， 所以，当且仅当时取等号． 所以，所以． 所以的最大值为． 8．（26-27高三上·山东青岛·阶段检测）已知的内角，，所对的边分别为，，，且， (1)若，判断的形状； (2)求的最大值． 【答案】(1)为直角三角形 (2) 【分析】（1）先根据题意，余弦定理，及正弦定理边化角得到，再根据两角和的正弦公式求出角，进而即可判断的形状； （2）先结合（1）得到，再根据两角和的正切公式及基本不等式即可求出的最大值． 【详解】（1）由，则， 则，即， 又在中，，且， 则， 所以，得， 所以， 又，则，因此为直角三角形． （2）结合（1）有，且角，均为锐角，则， 所以， 当且仅当，时取等号，所以最大值为． 9．（26-27高三上·湖南·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知的面积为． (1)若，求的值； (2)若，，边上的中线，求边长b，c． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据三角形面积公式代入计算即可； （2）利用三角形面积公式求出，进而求出，再利用余弦定理列出方程，代入求解即可. 【详解】（1）由，即， 所以． （2）设，则， 由的面积为，得， 代入，，得，故或． 因为，所以，，故． 在中，由余弦定理有，故， 同理可得． 10．（2026·吉林长春·三模）在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，进而分析求解； （2）利用余弦定理整理可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，再根据正弦函数有界性运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得 ， 则 ，即， 又因为， 则， 即， 且，则，即，可得， 又因为，则， 可得，所以. （2）由正弦定理得，则， 由余弦定理得，即， 可得， 又因为 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则，可得，即， 所以的取值范围为. $