专题07 三角恒等变换求值求角技巧归纳（考点清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07三角恒等变换求值求角技巧归纳 目录导航 @知识脑图•核心脉络搭建一一梳理专题框皋，搭建知识体集 @2考点深研知能分层突破一一深挖高频考点，分层突破重唯点 )基础梳理·自主夯基 考点02给值求值 考点03给值求角 考点01给角求值 @素养进阶答题技法突破一一提炼解题范式，提升答题素养 高考解密·母题探究 题型O2给值求值（拆角、拼角） 题型03给值求值（利用正余弦乘积） 题型01给值求值 题型04给值求值（两角和差公式的逆用) 题型05给值求值（弦化切） ①考点聚焦·解法深研 题型06给值求值（利用平方关系） 题型7给值求角 题型01给角求值 @4优题精练•专题实战通关一一精选优质试题，强化实战应用 --------◆线》的◆----- 1/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识脑图核心脉络搭建 诱导公式：化任意角为锐角 和差化积/积化和差：产生特殊角或相消项 一、 给角求值 倍角/半角公式：处理角的倍数关系 辅助角公式：合并为单一三角函数 代数变形：通分、配方、因式分解 和差公式应用，合理拆角配奏 三角函数 公式逆用，识别结构逆推和差角公式 恒等变换 二、给值求值 (四大技巧) 弦化切，齐次式上下同除余弦，利用平方关系构造齐次式 的应用 利用平方，和差式与乘积式互化，构造对偶式平方相加 倍角与半角降幂与升角变换 优先求目标角的正弦或余弦值 三、给值求角 结合已知条件尽量缩小角的范围 根据函数值定号，防止产生增根 考点深研·知能分层突破 基础梳理·自主夯基 一一核心必记 。考点01给角求值 1、给角求值方法总结，主要是将非特殊角转化为特殊角，或构造出能相互抵消的项。 (1)诱导公式法：利用“奇变偶不变，符号看象限”将任意角化为锐角。 (2)和差化积与积化和差：当出现三角函数乘积时，优先考虑积化和差以产生特殊角或相消项。 (3)倍角与半角公式：遇到角度存在倍数关系时使用。 (4)辅助角公式：将复杂的同角正余弦和式化为单一三角函数，便于求值或求最值。 (5)代数变形技巧：结合通分、分解因式、配方等手段简化式子。 √5-4sin20°+8sin320° 【新题对点练】(25-26高三·全国一轮复习) 2sin20°sin480 (） 2/15 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 25 5 2 A.3 B.3 C.3 D.2 《。考点02给值求值 给值求值的关键在于“变角、变名、变结构”。 1、两角和与差的正余弦与正切 ①sin(ar±β)=sina cosβ±cos a sinβ： ②cos(a±β)=cos a cosβ干sinasinβ： @ma生Pe品 在运用两角和与差的三角函数公式时，若己知两角各自的正余弦或正切时，则可以直接套用公式计算。 (1)注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把要求的角拆成两个己知三角函数值的角。常见的一些拆角： 2a=(a+B)+(a-B;a=(a+B)-B=a+里+-E 2 (2)在已知正弦或者余弦求另外一个值的时候，要注意角的范围确定三角函数在的正负性。 注意角的范围，在计算值正负性的时候比较重要。 (3)对sin(c±β)=sina cosβ±cos a sin B而言，可以把sina cos阝，cosasinβ看着两个整体，通过直 接求这两个值来求sin(a±B)。通常条件中出现sin(a+B)、sina-B卧、ama三者关系时。 tanB (4)对cos(a±β)=coscos B干sinasinβ而言，可以把cosa cos B,sinsinβ看着两个整体，通过 直接求这两个值来求cos(a±B)。通常条件中出现cos(c+B)、cosa-β)、tanatanB:三者关系时。 2、两角和差公式的逆用 ①sin a cosβ±cos a sinβ=sin(a±β)； ②coscosβ干sinasinB=cos(a±β)： 通过公式逆用计算出两角和与差的正余弦值。 对于两角和差的正切公式的逆用： tanc+tang=-tana+βl 1-tangtanβ tanc+tanB+tana+βtanatanB=tan（a+B 3、弦化切 (1)齐次式处理：若给出的分式是正余弦的一次比一次，或二次比二次的齐次式，可上下同除以Cos或 3/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 构造 cos"a tana° (2)构造齐次式：若各项都是二次式，利用1=cosa+sina构造分母，转化为齐次分式。 3、利用平方关系 (1)对sina±cosa2=cos2a+sin2a+2 sinacos=1+2 sinacosa通过该关系式可以对sina±cosa与 sinacosa进行互化。 (2)遇到asina+bcosB与a cosa-bsinB式子时，可以考虑平方相加。 (3)遇到a sina+bcosa时，也可以考虑构造对偶式acosa-bsina,平方相加后求值。 4、倍角与半角公式 灵活运用二倍角公式及其变形（降幂公式）和半角公式进行求值，求值时注意结合角所在象限判断正负。 二倍角公式 ①sin2a=2 sina cosa; 2cos 2a=cos a-sina=2cosa-1=1-2sin a; ③tan2a=2tana 1-tan o 降幂公式 sin2a=1-cos2a 2 cos2a=1+cos2a 在求值的时候要注意角的范围，讨论正负。 半角公式 ①sina=2 sincos 2 ②cos&=cos2 -sin2=2cos2a-1=1-2sin2a 21 2 2 、C 2tan ③tana= 2 1-tan2 【新题对点练】(25-26高三上四川雅安“开学考试)（多选）已知62,2 3 c0s2a=-3 sin(a+B)= 3,则下列结论中正确的是() 4/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.sin 4a=- 24 25 B.5tana tan B-12(tana+tanB)=5 5 C.tanB=_ 2 D.29sin a cos B=-4cosasin B 。考点03给值求角 给值求角的过程可以归纳为：先求值，再定号，后缩范围。 1、先求出目标角的某一个三角函数值（优先选择正弦或余弦，因为其在不同象限的符号能帮助排除增 根)。 2、结合已知条件中的角的范围，以及三角函数值的符号，尽量缩小目标角的范围。 3、根据所求函数值及缩小后的范围，确定最终角的值，防止产生增根。 B∈0，π 【新题对点练】(26-27高三上·重庆江津·阶段检测)已知aα， (2 na--, tan a =3tan B = 则 () π A.12 B C.4 D.3 素养进阶•答题技法突破 高考解密·母题探究一一考法潮源 。题型01给值求值◇ 1+sina 【典例1】(2026全国二卷高考真题)已知a为第二象限角，3sin2 coa=8 sina cos2a,则2-cosa () 5 A.4 B.5 C.Z D.12 【典例2】(2025全国二卷高考真题)已知0<a<π， 25,则（ 5/15 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2 √2 32 7W2 A.10 B.5 C.10 D.10 cos-=√3 tan a 【典例3】(2024全国甲卷·高考真题)已知cosa-sina ，则 4() √5 A.25+1 B.2V3-1 C.2 D.1-3 【典例4】(2024新课标Ⅱ卷~高考真题)已知a为第一象限角，B为第三象限角，tana+tanB=4, tan c tansin(+- 【典例5】(2024新课标I卷高考真题)己知cos(a+)=m,tan a tan B=2,则cos(a-)=() m m A.-3m B. 3 C. 3 D.3m 考点聚焦·解法深研 一一核心归纳 题型01给角求值⊙ 悟解题关健 利用诱导公式将任意角转化为锐角。遇到乘积结构时，优先考虑和差化积与积化和差，以构造特殊角或 相消项。结合倍角、半角及辅助角公式进行化简。辅以通分、配方等代数变形技巧得出结果。 【典例1】(26-27高三全国二轮复习)(1)求sin6sin42sin66sin78° (2)求c0s6c0s42°c0s66°cos78° 【典例2】(26-27高三上山东淄博阶段检测)（多选）下列化简正确的是() sin 7cos3+sin871 2 cos15°-sin2150= B 2 1V5 =2 C.sinl0°cosl0° D.tan80°-tan35°-tan80°tan35°=1 【变式1】(25-26高三上·山东淄博期中)（多选）下列化简正确的是() 6/15 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2cos10°-sin20=N5 A.tan80°-tan35°-tan80°tan35°=1 B c0s20° 15 =-4 C.sinl0°cosl0° D.16sinl0°cos20°cos30°cos40°=√3 【变式2】(26-27高三上黑龙江哈尔滨·开学考试)（多选）下列式子正确的是() A.c0s249sin54°-sin24cos54°=- 2 B.cos215°-sin215°=V3 2 C.sin15-3cos15=- D.sin15sin30sin75=1 题型02给值求值（拆角、拼角） 悟解题关健 1、利用诱导公式、拆角配角等来转换角度 2常见的-些拆角：2a=(c+P)+(a-B);a=(a+B)-B=a+E+a: 2 2 3、化简过程利用两角和差公式、二倍角公式，公式正用、逆用等去求值。 4、注意角的范围，在计算值正负性的时候比较重要。 典例262江高三上吉林长春阶段检测)已知如行+无3，且3<元，四 【奥侧2】2627%=上山东6新阶假检测)已心号名P5为第象限，口 7/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(26-27高三上：河北石家庄·阶段检测)已知 加0ca分A<.B-争-2 5, sin(a+β)= 310 10,则 n2a+g=(） 6 24 24 3V2 32 A.25 B.25 C.10 D.10 【变式2】(26-27高三上辽宁阶段检测)已知n2a (+3.w=,则[2a+j]= 31 15 A. 32 B.-16 5 c.6 31 D.32 《。题型3给值求值（利用正余弦乘积） 悟 解题关健 运用整体代换的思想。将正余弦的乘积项视作一个整体，结合条件中给出的正切值关系，直接求出这些 乘积项的值。最后代入两角和与差的公式中求出目标值。 、 tana 【典例1】(26-27高三上山西阶段检测)已知 n(a+)=专.sn(a-)-4,则amp 2sin(a-B月)=cosacosB≠0 【典例2】(26-27高三上辽宁大连阶段检测)已知 2os(a-)=cosa+),则ma-用=() A.4 B.4 D号 8/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(2G7商三上重庆九龙这阶段检已知os(a-),msa+)子，则mamA () A. -3 C.3 D.3 【变式2】(26,27高二上r东梅州阶段检测)已c知0s(a-)-?c0 wacoxB-号 ,则cos(a+B)= () 1 1 1 A. 5 B.-5 C.-25 D. 25 《。题型04给值求值（两角和差公式的逆用）念 悟 解题关健 重点在于识别式子的结构特征。将符合两角和差公式形式的复杂式子，逆向合并为单一的三角函数求 值。对于正切型，常利用两切之和差与两切之积的恒等关系进行化简。 1 【典例1】(26-27高三上·广西柳州阶段检测)已知sinacosB= cosasinB= 33 2,则cos2a-cos2B= () B.18 C. 5 18 D. 【典例2】(2026重庆·模拟预测)已知锐角 ,B、 (1+3tan a)(1+3 tan B)=4 满足 4,则+B=) π A.4 B.4 π C.3 D.3 3 【变式1】（25：26商二上-江苏南京月考)若na-inB-cos(a-)cosB-号，a为第二象限角，则 ama+=(） 1 A.-7 B.7 C.-1 D.7 【变式2】(2026江苏二模)（多选）已知在MBC中 tanA+tanB+tanC=v3tan AtanB 中， 设函数 9/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f(x)=sinx-sin(x+C ,则() [πT B.f(x)在区间3'3)上单调递增 C,f（A+3B)+f(3A+B)=0 D.f(~在K间D,2可上有且仅有3个零点 。题型05给值求值（弦化切） 解题关健 巧妙运用平方进行消元或转化。利用同角正余弦的和差式与乘积式之间的平方关系实现互化。遇到结构 复杂的等式，可尝试将多个式子平方后相加，或构造对偶式平方相加来求出目标值。 2sina-cosa =3 【典例1】（湖北云学联盟2026-2027学年高三上学期10月阶段训练数学试题）已知sinu+3cosa ,则 cos2a的值为() 99 99 20 20 A.101 B.101 C.101 D.101 sin 2a-cos 2a 【典例2】(26-27高三上·陕西西安阶段检测)若ana=2,则an2a= sin 2a+cos 2a 【变式1】(2026高三全国专腿练习)已知am氵2。 (l)求tanr的值： cos2x-sin2x (2)求cosxsinx-sinx的值. 【变式2】(25-26高三上黑龙江月考)己知a,B满足4tana+1=0,sin(a+B)=3cos(a+),则 10/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 cos(a-B) cos(a+B)() 45 4V/5 26 9 A. 5 B.5 C.75 D.17 。题型06给值求值（利用平方关系） 悟 解题关健 遵循先求值、再定号、后缩范围的原则。通常优先求出目标角的正弦或余弦值。结合题目 已知条件，尽量缩小目标角的取值范围，以防产生增根，最后根据函数值确定唯一的角 度。 mcosa+ncos-=m 【典例1】(25-26高三上浙江阶段检测)已知 02 且 2 msin-sing=n(mn≠0），则cosa=（） 2 1 2 A.3 B.2 GX D.2 【典例2】(2026江苏苏州模拟预测)已知 2， 则tan20=() A日 3 3 B.3 C.2 D.3 【变式1】(26-27高三上山东·阶段检测)已知 ina+sinB= cosa-coB-2/ 5, ,a,P均为锐角， 11/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 V10 A.5 B.5 V10 V15 C. 5 D.5 【变式2】25-26高三全国轮复已知sima+cosB=}，cosa+simP-号，网血2的值函 () 11 13 15 17 A. 100 B. 100 C.-100 D 100 。题型7给值求角⊙ 悟 解题关健 ,B∈ tana= cosB 【典例1】(2026高三上·全国专题练习)若 且 1+sinB,则2a+B= 【典例2】(26-27高二上·贵州遵义开学考试)已 a. (1-cos2a)(1+sinB)=sin2acos/B 则2+B=() A月 c号 D. 11π B.2n ae0,2 os'a-sin-sinasin π1 【变式1】(2026江苏淮安·一模)若 且 7 74,则a=() A. 3π 4π 1lπ 28 B.21 42 D.28 cosa=tan2B, 【变式2】(2026辽宁鞍山~二模)己知1-sina +sinc=tan(40°-3p）, cosa 则下列结论不可能成立 的是() A.a=-58° B.a=86 C.B=50° D.B=80° 12/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 优题精练•专题实战通关 26-27高三上福建福州阶段检测)（1)已知0， cos4a=3 ,则sin2a+cos2a= 日 tan(a-BD=3,则a+Bs cosa =2, 2.(26-27高二上：湖南长沙阶段检测)已知cosa-sina 则 me+} 5 A.25 B.3 C.2 D.2 3.(2026广东广州模拟预)测已知血(a-月-3，sinace0sB- 2,则cos(2a+2p)=() 7 1 1 B.9 c.9 A.9 D.-9 26-27高三上江苏宿迁阶段检测)已知4ina=si(a+2).Fc2元 则tana的最小值为 () √15 1 A. 15 B.4 5 C.9 D.8 5.25-26高二下贵费州铜仁期末)已知1+m22+02a3,则ana=(） 1+sin2a-cos2a A.-3 B.-1 C.1 D.3 6.(26-27高三上河南驻马店开学考试)若 snla++sa+例=n(&am.则 13/15 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 sin(2a-2β) 2cos2(a-B)-3sin2(a-B)() 2N5 2W5 A.-V3 B.7 C.5 D. 7 7.(2026陕西榆林·模拟预测)（多选）下列计算结果正确的是() A.sin75°+cos750=y6 B.tan10°+tan50°+tanl0°tan50°tan60°=25 1+tanl5° 4V3 C.1-tanl5°tan45°+tanl5°tanl65°-3 1+tan415°V5 D.1-tan415°-2 8.(25-26高三全国·一轮复习)（多选)下列结论正确的是（) A.sin(a-B)sin(B-y)-cos(a-B)cos(y-B)=-cos(a-y) B.sim+5o5sin c.fx)=sin+cos5的最大值为2 2 D.tanl2°+tan33°+tanl2°tan33°=1 9(26.2”务三上云有阶假检别已知5os号-如oms号5-{s 2cos22-3,则o(6+F() 1 22 2 2 A.3 B.3 C.3 D.3 10.(2026山东威海一模已知i=(aosa,sina),6=-(cosR,sin),且la+=V2,则cosa-月=（) 14/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B.0 D.2 15/15专题07 三角恒等变换求值求角技巧归纳 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01 给角求值 考点02 给值求值 考点03 给值求角 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01 给值求值 ▶考点聚焦・解法深研 题型01 给角求值 题型02 给值求值（拆角、拼角） 题型03 给值求值（利用正余弦乘积） 题型04 给值求值（两角和差公式的逆用） 题型05 给值求值（弦化切） 题型06 给值求值（利用平方关系） 题型7 给值求角 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 给角求值 1、给角求值方法总结，主要是将非特殊角转化为特殊角，或构造出能相互抵消的项。 （1）诱导公式法：利用“奇变偶不变，符号看象限”将任意角化为锐角。 （2）和差化积与积化和差：当出现三角函数乘积时，优先考虑积化和差以产生特殊角或相消项。 （3）倍角与半角公式：遇到角度存在倍数关系时使用。 （4）辅助角公式：将复杂的同角正余弦和式化为单一三角函数，便于求值或求最值。 （5）代数变形技巧：结合通分、分解因式、配方等手段简化式子。 【新题对点练】（25-26高三·全国·一轮复习）（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先利用二倍角的余弦公式化简，再将化为，利用两角和与差的正弦公式可求三角函数式的值 【详解】 . 故选：A. 考点02 给值求值 给值求值的关键在于“变角、变名、变结构”。 1、两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 在运用两角和与差的三角函数公式时，若已知两角各自的正余弦或正切时，则可以直接套用公式计算。 （1）注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把要求的角拆成两个已知三角函数值的角。常见的一些拆角： （2）在已知正弦或者余弦求另外一个值的时候，要注意角的范围确定三角函数在的正负性。 注意角的范围，在计算值正负性的时候比较重要。 （3）对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 （4）对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 2、两角和差公式的逆用 ①； ②； 通过公式逆用计算出两角和与差的正余弦值。 对于两角和差的正切公式的逆用: 3、弦化切 （1）齐次式处理：若给出的分式是正余弦的一次比一次，或二次比二次的齐次式，可上下同除以 或 构造 。 （2）构造齐次式：若各项都是二次式，利用 构造分母，转化为齐次分式。 3、利用平方关系 （1）对通过该关系式可以对与进行互化。 （2）遇到式子时，可以考虑平方相加。 （3）遇到时，也可以考虑构造对偶式,平方相加后求值。 4、倍角与半角公式 灵活运用二倍角公式及其变形（降幂公式）和半角公式进行求值，求值时注意结合角所在象限判断正负。 二倍角公式 ①； ②； ③； 降幂公式 ； 在求值的时候要注意角的范围，讨论正负。 半角公式 ①； ②； ③； 【新题对点练】（25-26高三上·四川雅安·开学考试）（多选）已知，，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先根据角的范围求得，，再结合恒等变换公式依次讨论各选项即可. 【详解】已知，故，， 因为，所以； 又，故， 因为，所以， 所以. 选项A：，正确; 选项B：由，又因为， 所以，整理得，即，正确; 选项C：由，解得（为锐角，取正）， 代入，解得，错误; 选项D：将等式两边同除以，等价于， 代入，，左边，右边，等式成立，正确. 考点03 给值求角 给值求角的过程可以归纳为：先求值，再定号，后缩范围。 1、先求出目标角的某一个三角函数值（优先选择正弦或余弦，因为其在不同象限的符号能帮助排除增根）。 2、结合已知条件中的角的范围，以及三角函数值的符号，尽量缩小目标角的范围。 3、根据所求函数值及缩小后的范围，确定最终角的值，防止产生增根。 【新题对点练】（26-27高三上·重庆江津·阶段检测）已知，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由求出，再结合，利用两角和的正弦公式推导出，联立两式即可求出的值. 【详解】因为，所以，又，因此 ①. 由，根据正切的商数关系得，交叉相乘得 ②. 将②代入两角差的正弦公式，得， 即，代入②得. 由两角和的正弦公式得. 因为，所以 ③. 联立①③，两式相加得，解得. 素养进阶·答题技法突破 题型01 给值求值 【典例1】（2026·全国二卷·高考真题）已知为第二象限角，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式化简可得，结合角的范围分别求出，即可求解. 【详解】由，得： 因为是第二象限角，所以，， 化简得：，即 由于，解得：， 因为，所以， 所以 【典例2】（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 【典例3】（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 【典例4】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 【答案】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 【典例5】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 题型01 给角求值 利用诱导公式将任意角转化为锐角。遇到乘积结构时，优先考虑和差化积与积化和差，以构造特殊角或相消项。结合倍角、半角及辅助角公式进行化简。辅以通分、配方等代数变形技巧得出结果。 【典例1】（26-27高三·全国·二轮复习）（1）求 （2）求 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式不断降次并结合诱导公式化简即可. （2）利用积化和差公式将四项两两配对，展开后结合隐藏恒等式化简重组，最后同乘 构造正弦二倍角公式化简求值. 【详解】（1）根据诱导公式可得：，， ，所以原等式化简为：， ， ， . （2）， ， ， ， ， 由于， 即 所以原式 . 【典例2】（26-27高三上·山东淄博·阶段检测）（多选）下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】本题考查三角恒等变换的应用，需结合诱导公式、两角和差公式、二倍角公式逐一化简各选项判断正误. 【详解】选项A：由诱导公式得，，左边，等于右边，A正确； 选项B：由二倍角余弦公式，左边，等于右边，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：由两角差的正切公式，，移项得，整理得左边等于1，D正确. 【变式1】（25-26高三上·山东淄博·期中）（多选）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用两角差的正切公式可判断A，利用两角差的余弦公式可判断B，利用二倍角公式及两角差的正弦公式判断C，利用二倍角公式及诱导公式判断D. 【详解】对于A：因为， 则， 所以，故A正确； 对于B： ，故B正确； 对于C： ，故C错误； 对于D： ，故D正确； 故选：ABD 【变式2】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）（多选）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】结合差角公式、二倍角公式、辅助角公式、诱导公式对各选项逐一计算验证即可. 【详解】选项A：根据正弦差角公式得，故A错误. 选项B：根据余弦二倍角公式得，故B正确. 选项C：利用辅助角公式可得，故C正确. 选项D：利用诱导公式与正弦二倍角公式得 ，故D正确. 题型02 给值求值（拆角、拼角） 1、 利用诱导公式、拆角配角等来转换角度 2、 常见的一些拆角： 3、 化简过程利用两角和差公式、二倍角公式，公式正用、逆用等去求值。 4、注意角的范围，在计算值正负性的时候比较重要。 【典例1】（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知，且，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据诱导公式求出和，再根据同角三角函数平方关系求出和，进而即可求解． 【详解】由， 则， ， 又，则，， 则，， 所以． 【典例2】（26-27高三上·山东临沂·阶段检测）已知均为第一象限角，且，则___________． 【答案】 【分析】根据角的变换及三角恒等变换求解. 【详解】因为均为第一象限角，， 所以，， 所以 ， 所以. 【变式1】（26-27高三上·河北石家庄·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用两角差的余弦公式求解，再利用二倍角公式求出，最后利用诱导公式得到. 【详解】， ,，,， 又，， ， ， ， ， . 【变式2】（26-27高三上·辽宁·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，可得，所以， ， 两式联立解得，， 所以， 故. 题型03 给值求值（利用正余弦乘积） 运用整体代换的思想。将正余弦的乘积项视作一个整体，结合条件中给出的正切值关系，直接求出这些乘积项的值。最后代入两角和与差的公式中求出目标值。 【典例1】（26-27高三上·山西·阶段检测）已知，，则______． 【答案】7 【详解】由，得，， 所以． 【典例2】（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正余弦的和差角公式化简可得与的值，再由正切函数的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，即， 由， 可得，即， 所以. 【变式1】（26-27高三上·重庆九龙坡·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，即，可得， 所以. 【变式2】（26-27高二上·广东梅州·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角差与和的余弦公式求解即可. 【详解】由于，且，所以， 则 题型04 给值求值（两角和差公式的逆用） 重点在于识别式子的结构特征。将符合两角和差公式形式的复杂式子，逆向合并为单一的三角函数求值。对于正切型，常利用两切之和差与两切之积的恒等关系进行化简。 【典例1】（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意两式平方相减可得，再利用二倍角公式化简计算可得. 【详解】因为，， 则，， 所以， 所以， 【典例2】（2026·重庆·模拟预测）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式展开化简得， 则， 又是锐角，则，所以，选D. 【变式1】（25-26高二上·江苏南京·月考）若，为第二象限角，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用两角差的余弦公式化简已知条件，可得，从而可得，再结合正切两角和公式即可求解. 【详解】由， 则，又为第二象限角，所以，所以， 所以，故A正确． 故选：A． 【变式2】（2026·江苏·二模）（多选）已知在中，.设函数，则（    ） A． B．在区间上单调递增 C． D．在区间上有且仅有3个零点 【答案】AC 【分析】A根据求出；B、D利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质判断；C计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以， 则在中，，故A正确； ， 若，则， 因为正弦函数在上不单调，所以在区间上不单调，故B错误； 因为， 所以，故C正确； 若，则， 因为正弦函数在上存在个零点， 所以在区间上有且仅有2个零点，故D错误. 题型05 给值求值（弦化切） 巧妙运用平方进行消元或转化。利用同角正余弦的和差式与乘积式之间的平方关系实现互化。遇到结构复杂的等式，可尝试将多个式子平方后相加，或构造对偶式平方相加来求出目标值。 【典例1】（湖北云学联盟2026-2027学年高三上学期10月阶段训练数学试题）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正余弦齐次式求法可构造方程求得，代入中即可求得结果. 【详解】，，解得， . 【典例2】（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）若，则__________，__________． 【答案】 7 【详解】， . 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的正切公式求解； （2）利用齐次式求解. 【详解】（1）； （2）. 【变式2】（25-26高三上·黑龙江·月考）已知，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求，再由两角和与差的余弦公式结合弦化切即可求解. 【详解】由题意有：，又，即， 所以，解得， 所以， 故选：D. 题型06 给值求值（利用平方关系） 遵循先求值、再定号、后缩范围的原则。通常优先求出目标角的正弦或余弦值。结合题目已知条件，尽量缩小目标角的取值范围，以防产生增根，最后根据函数值确定唯一的角度。 【典例1】（25-26高三上·浙江·阶段检测）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两个等式分别平方，然后相加，进行化简即可求得结果. 【详解】由得， 同理可得， 两式相加得， 即，所以， 因为，所以，得，所以. 故选：B. 【典例2】（2026·江苏苏州·模拟预测）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知， 将等式两边同时平方得， 则，即， 解得． 已知，则， 所以， 因此． 则． 【变式1】（26-27高三上·山东·阶段检测）已知，，，均为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先将条件等式平方，再结合两角和的余弦公式和二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】， ， 则， 则，得 因为，均为锐角，所以，则， 则 【变式2】（25-26高三·全国·二轮复习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将和两边平方并分别相加和相减，利用三角函数公式化简可得结果. 【详解】由题意，，， 则， 化简可得，所以， 又， 则， ， 即， 所以， 所以， 由，可得. 故选：A. 题型7 给值求角 【典例1】（2026高三上·全国·专题练习）若，且，则________． 【答案】 【分析】由半角公式、同角三角函数关系式及两角差的正切公式可得，再由角的范围及正切函数的性质可得角的值. 【详解】因为， 因为，所以，， 所以，且， 因为正切函数在上单调递增，所以，得． 因此. 【典例2】（26-27高二上·贵州遵义·开学考试）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式，诱导公式，两角和的余弦公式分析即可. 【详解】因为， 所以由得：， 又因为，所以， 所以有：， 即，也即， 又，所以， 所以， 当时，则， 当时，则， 又，所以此时不存在， 故， 又，所以，所以， 当时，. 【变式1】（2026·江苏淮安·一模）若，且，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系化简原式，再结合换元法并求解一元二次方程得到，最后结合正弦函数性质求解结果即可. 【详解】因为， 所以由同角三角函数的基本关系得， 设，，则方程变为， 而，则，可得， 解，解得 ，即， 而，可得，故B正确. 【变式2】（2026·辽宁鞍山·二模）已知，则下列结论不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对两个含的分式进行三角恒等变形，将上述等式转化为角度之间的关系，建立关于的方程，分别代入选项中的或的值，验证是否满足推导得出的角度关系. 【详解】因， 由题意可得，则， 整理得：，即①. 由可得， 即， 即②. 对于A，将代入②，可得，对于①，当时，，满足此式，故A可能成立； 对于B，将代入②，可得，对于①，当时，，满足此式，故B可能成立； 对于C，若，由①可得，即，故C不能成立； 对于D，若由①可得，即，故D可能成立. 优题精练·专题实战通关 1．（26-27高三上·福建福州·阶段检测）（1）已知，且，则_________； （2）若，且，则_________． 【答案】 【分析】（1）根据及得到，根据半角公式求出，结合同角三角函数关系得到； （2）先求出，从而求出，利用凑角法求出的值，得到答案． 【详解】（1）因为，所以． 又，所以，故． 因为，所以， 则．故. （2）由已知条件，得．又，所以． 由，得．所以． 因为，，所以，所以． 2．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知 则 （    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【详解】由已知等式，显然， 将等式左边分子分母同除以，得，解得. 则. 3．（2026·广东广州·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦差角公式求出，再由正弦和角公式得到，最后由倍角公式即可求解. 【详解】因为，所以，解得：， 所以， 所以. 4．（26-27高三上·江苏宿迁·阶段检测）已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将拆成，拆成，利用两角和差正弦公式展开化简，得到与的关系式；再用正切和角公式，把表示成关于的函数，结合范围确定，换元后用基本不等式求函数最小值. 【详解】， ， 代入，得， 整理得， 验证，若，则或，但，， 若，则，代入上式左边为，右边为，矛盾，故， ，两边同时除以得， 设，，在第二象限，， 代入上式：，利用正切和角公式得， 整理得， ，令，则，，， . 5．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得. 6．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用辅助角公式把已知等式的左边化为同一角的正弦式，再用诱导公式把右端统一到同一个角上，整理后得出的角的关系，最后将所求式化为关于的二次齐次式求值，与所给四个选项对照确定答案. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 即，即， 所以，即，所以. 则. 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用辅助角公式即可判断A；根据两角和的正切公式即可判断B；根据两角和的正切公式及二倍角公式即可判断C；利用商数关系化切为弦，再结合平方关系及二倍角公式即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 8．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）下列结论正确的是（   ） A． B． C．的最大值为2 D． 【答案】AD 【分析】由两角差的余弦公式可判断A，由辅助角公式可判断BC，由两角和的正切公式可判断D; 【详解】对于A，左边，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，所以的最大值为，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：AD 9．（26-27高三上·云南·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角公式和辅助角公式化简等式左边，即可求得结果. 【详解】， 10．（2026·山东威海·一模）已知，且，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】计算出,再根据,两边平方化简即可求解. 【详解】由题可得， 因为，所以 即， 即， 即， 得到. 故选：B. $