3.1 二次根式的概念及性质题型专练2026-2027学年湘教版八年级数学上册

湘教版（2024）八年级上册 3.1 二次根式的概念及性质 题型专练 【题型1】二次根式的概念 【典例】下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】下列根式是二次根式的是（   ）． A. B. C. D. 【举一反三2】下列式子中，是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】下列各式：① ② ③ ④，其中一定是二次根式的是　　．（只填序号） 【举一反三4】下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式? ，，,(x>0)，，-，，(x≥0，y≥0). 【题型2】二次根式有意义的条件 【典例】已知、为实数，且，则的值是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A.x≥5 B.x＞5 C.x＜5 D.x≤5 【举一反三2】如果是一个正整数，那么x可取的最小正整数的值是（　　） A.2 B.3 C.4 D.8 【举一反三3】已知下面代数式有意义，求该代数式的值：x2﹣2＝　　． 【举一反三4】若二次根式有意义，则的取值范围是             ． 【举一反三5】x为何值时，有意义？ 【举一反三6】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）； （2）； 【题型3】二次根式与分式和零次幂有意义综合 【典例】已知代数式＋在实数范围内有意义，则x的取值范围是(       ) A.x≥1 B.0＜x≤1 C.x＞0 D.0≤x≤1 【举一反三1】使代数式有意义，则a的取值范围为（　　） A.a≥﹣2且a≠1 B.a≠1 C.a≥﹣2 D.a＞﹣2 【举一反三2】式子 成立的条件是      ． 【举一反三3】使代数式 有意义的x的取值范围是      ． 【举一反三4】要使下列式子有意义，x的取值必须满足什么条件？ (1)． (2)． (3)． 【题型4】二次根式的性质与化简 【典例】下列选项中，正确的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】化简的结果是（   ） A. B.3 C. D.9 【举一反三2】若，化简的结果是            ． 【举一反三3】化简：  ． 【举一反三4】计算： （1）        （2） （3）        （4） 【题型5】利用二次根式性质把根号外（内）数移入根号内（外） 【典例】将中根号外的数移到根号内，所得的结果为（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图是嘉淇同学的解题过程的截图，最开始出现错误的步骤是（　　） A.第一步 B.第二步 C.第三步 D.第四步 【举一反三2】把根号外的因式移到根号内，所得的结果为（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】化简：的结果是             ． 【举一反三4】（1）把中的根号外的数适当改变后，移到根号里面： （2）、你能将中根号外的因式适当改变后，移到根号里面吗？ 【题型6】求二次根式的值 【典例】已知．则的值等于（    ） A.8 B. C.4 D. 【举一反三1】已知．则代数式的值为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】已知，则的值是（ ）． A. B.3 C.5 D. 【举一反三3】当x＝2时，二次根式的值是          ． 【举一反三4】已知满足，求的值． 【举一反三5】已知是实数，且满足． (1)求和的值； (2)求的值． 【题型7】确定被开方数中字母的取值 【典例】若，则x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】已知是整数，则实数m的最大值为（　　） A.3 B.8 C.11 D.12 【举一反三2】若，则x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】已知是整数，写出符合条件的一个自然数的值是        ． 【举一反三4】若a为正数，则为正整数，求 的最大值及此时a的值． 【题型8】识别最简二次根式 【典例】下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】若是最简二次根式，则x可取的最小整数值是         ． 【举一反三3】下列二次根式中，哪些是最简二次根式，哪些不是？ ，，，，（a≥0），，，，，（a＞b＞0），（x＞0，y＞0），． 【题型9】化成最简二次根式 【典例】下列四个二次根式： 化为最简二次根式后，被开方数相同的是（　　） A.①和② B.①和③ C.②和③ D.②和④ 【举一反三1】化成最简二次根式为（　　） A.0.5 B. C. D. 【举一反三2】若，则二次根式 化为最简二次根式为          ． 【举一反三3】将二次根式化简为          ． 【举一反三4】把下列各式化成最简二次根式： （1）； （2）． 【举一反三5】把下列各式化为最简二次根式．(字母均为正数) （1）；    （2）4；    （3）2；    （4）. 湘教版（2024）八年级上册 3.1 二次根式的概念及性质 题型专练（参考答案） 【题型1】二次根式的概念 【典例】下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.的被开方数﹣2＜0，不是二次根式，故此选项不符合题意； B.是三次根式，故此选项不符合题意； C.的被开方数a2+1＞0，是二次根式，故此选项符合题意； D.的被开方数a﹣1有可能小于0，即当a＜1时不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三1】下列根式是二次根式的是（   ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由题意知，，，不是二次根式，是二次根式， ∴A、B、D不符合要求；C符合要求； 故选：C． 【举一反三2】下列式子中，是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A．不是二次根式，不符合题意； B．不是二次根式，不符合题意； C．是二次根式，符合题意； D．不是二次根式，不符合题意． 故选：C． 【举一反三3】下列各式：① ② ③ ④，其中一定是二次根式的是　　．（只填序号） 【答案】②④ 【解析】①（﹣2）3＝﹣8＜0，故不是二次根式； ②（﹣2）4＝16＞0，故是二次根式； ③的根指数是3，故不是二次根式， ④a2+1＞0，故是二次根式； 所以一定是二次根式的是②④． 故答案为：②④． 【举一反三4】下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式? ，，,(x>0)，，-，，(x≥0，y≥0). 【答案】,(x>0),,-,(x≥0,y≥0)是二次根式；,,不是二次根式 【解析】解:根据二次根式的概念可判定,是二次根式的有,(x>0),,-,(x≥0,y≥0), ,,. 【题型2】二次根式有意义的条件 【典例】已知、为实数，且，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由题意得：且，解得：且，， ， ， 故选：． 【举一反三1】若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A.x≥5 B.x＞5 C.x＜5 D.x≤5 【答案】A 【解析】∵二次根式在实数范围内有意义， ∴x﹣5≥0， 解得x≥5． 故选：A． 【举一反三2】如果是一个正整数，那么x可取的最小正整数的值是（　　） A.2 B.3 C.4 D.8 【答案】A 【解析】解：，x可取的最小正整数的值为2， 故选A． 【举一反三3】已知下面代数式有意义，求该代数式的值：x2﹣2＝　　． 【答案】﹣1 【解析】∵，都有意义， ∴1﹣x≥0，x﹣1≥0， 解得：x＝1， 故原式＝0+0+1﹣2＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【举一反三4】若二次根式有意义，则的取值范围是             ． 【答案】/ 【解析】解：根据题意，，解得，， 故答案为： 【举一反三5】x为何值时，有意义？ 【答案】解：（1）由题意得：3﹣5x≥0， 解得：x. 【举一反三6】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）； （2）； 【答案】解：（1）由题意得：x﹣π≥0， 解得：x≥π； （2）由题意得：x+5≥0且3﹣2x≥0， 解得：﹣5≤x≤. 【题型3】二次根式与分式和零次幂有意义综合 【典例】已知代数式＋在实数范围内有意义，则x的取值范围是(       ) A.x≥1 B.0＜x≤1 C.x＞0 D.0≤x≤1 【答案】B 【解析】解：∵代数式＋在实数范围内有意义， ∴1-x≥0，x＞0，∴0＜x≤1， 故选B． 【举一反三1】使代数式有意义，则a的取值范围为（　　） A.a≥﹣2且a≠1 B.a≠1 C.a≥﹣2 D.a＞﹣2 【答案】A 【解析】由题意得a+2≥0且a﹣1≠0， 解得a≥﹣2且a≠1， 故选：A． 【举一反三2】式子 成立的条件是      ． 【答案】且 【解析】解：式子成立， ，， 且， 故答案为：且． 【举一反三3】使代数式 有意义的x的取值范围是      ． 【答案】且 【解析】解：由题意得，，， 解得，，， 故答案为：且 【举一反三4】要使下列式子有意义，x的取值必须满足什么条件？ (1)． (2)． (3)． 【答案】（1）且；(2)且；(3)； 【解析】解：（1）∵有意义， ∴，解得且； （2）∵有意义， ∴，解得且； （4）∵有意义， ∴，解得； 【题型4】二次根式的性质与化简 【典例】下列选项中，正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 【举一反三1】化简的结果是（   ） A. B.3 C. D.9 【答案】B 【解析】解：， 故选：B 【举一反三2】若，化简的结果是            ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， 故答案为：． 【举一反三3】化简：  ． 【答案】5 【解析】解： 故答案为：5 【举一反三4】计算： （1）        （2） （3）        （4） 【答案】（1）5；（2）-5；（3）；（4） 【解析】解：（1） （2） （3） （4） 【题型5】利用二次根式性质把根号外（内）数移入根号内（外） 【典例】将中根号外的数移到根号内，所得的结果为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：， 故选：． 【举一反三1】如图是嘉淇同学的解题过程的截图，最开始出现错误的步骤是（　　） A.第一步 B.第二步 C.第三步 D.第四步 【答案】A 【解析】﹣2 ， ∴第一步出错， 故选：A． 【举一反三2】把根号外的因式移到根号内，所得的结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：． 故选：D． 【举一反三3】化简：的结果是             ． 【答案】 【解析】解：， 故答案为：． 【举一反三4】（1）把中的根号外的数适当改变后，移到根号里面： （2）、你能将中根号外的因式适当改变后，移到根号里面吗？ 【答案】（1）,（2） 【解析】解：（1）3     ; （2）由可得－a≥0，所以a≤0，所以a 故答案为: （1）,（2） . 【题型6】求二次根式的值 【典例】已知．则的值等于（    ） A.8 B. C.4 D. 【答案】B 【解析】解：∵， ∴（x-1）2+=0，∴x-1=0，x=1；y-8=0，y=8； ∴=2． 故选：B． 【举一反三1】已知．则代数式的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：， ，，， ， ， 故选A． 【举一反三2】已知，则的值是（ ）． A. B.3 C.5 D. 【答案】C 【解析】解：∵a-170，17-a0， ∴a=17，∴b+8=0，解得b=-8， ∴=， 故选：C． 【举一反三3】当x＝2时，二次根式的值是          ． 【答案】 【解析】当x＝2时，＝＝． 故答案为：． 【举一反三4】已知满足，求的值． 【答案】 【解析】解：根据题意得：，解得：，， 【举一反三5】已知是实数，且满足． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】解：（1）是实数，且满足， ；解得；∴； （2）当，时， ； 【题型7】确定被开方数中字母的取值 【典例】若，则x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：，， 故选：D． 【举一反三1】已知是整数，则实数m的最大值为（　　） A.3 B.8 C.11 D.12 【答案】D 【解析】由是整数，得12﹣m≥0， m≤12， ∴m的最大值为12 故选：D． 【举一反三2】若，则x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：，则x的取值范围是， 故选：A． 【举一反三3】已知是整数，写出符合条件的一个自然数的值是        ． 【答案】或或或或（答案不唯一） 【解析】解：是整数， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故答案为：或或或或（答案不唯一） 【举一反三4】若a为正数，则为正整数，求 的最大值及此时a的值． 【答案】解 ∵a为正数， ∴a＞0， ∴23﹣a＜23， ∵为正整数， ∴， ∵， ∴的最大值为4，此时23﹣a＝16，即a＝7． 【题型8】识别最简二次根式 【典例】下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.，被开方数含分母，不是最简二次根式，故错误，不符合题意； B.，被开方数含开得尽的数，不是最简二次根式，故错误，不符合题意； C.是最简二次根式，故正确，符合题意； D.，被开方数含开得尽的数，不是最简二次根式，故错误，不符合题意． 故选：C． 【举一反三1】下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A.3，故A不正确； B.是最简二次根式，故B正确； C.|b|，故C不正确； D.，故D不正确； 故选：B． 【举一反三2】若是最简二次根式，则x可取的最小整数值是         ． 【答案】 【解析】解：∵二次根式有意义， ∴，解得， 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，是最简二次根式，符合题意； ∴若是最简二次根式，则x可取的最小整数值是， 故答案为：． 【举一反三3】下列二次根式中，哪些是最简二次根式，哪些不是？ ，，，，（a≥0），，，，，（a＞b＞0），（x＞0，y＞0），． 【答案】解：是最简二次根式； 3，被开方数含能开得尽方的因数9，不是最简二次根式； ，被开方数含有小数，不是最简二次根式； 是最简二次根式； 3a（a≥0），被开方数含能开得尽方的因数9a2，不是最简二次根式； ，被开方数含有分母，不是最简二次根式； 是最简二次根式； 是最简二次根式； 是最简二次根式； （a+b）（a＞b＞0），被开方数含能开得尽方的因数（a+b）2，不是最简二次根式； （x+y）（x＞0，y＞0），被开方数含能开得尽方的因数（x+y）2，不是最简二次根式； 是最简二次根式． 【题型9】化成最简二次根式 【典例】下列四个二次根式： 化为最简二次根式后，被开方数相同的是（　　） A.①和② B.①和③ C.②和③ D.②和④ 【答案】C 【解析】解：∵①，②，③，④， ∴②与③是被开方数相同的二次根式． 故选C． 【举一反三1】化成最简二次根式为（　　） A.0.5 B. C. D. 【答案】C 【解析】解： 故选： 【举一反三2】若，则二次根式 化为最简二次根式为          ． 【答案】 【解析】解：二次根式中，， ， ， 故答案为：． 【举一反三3】将二次根式化简为          ． 【答案】 【解析】解：． 故答案为：． 【举一反三4】把下列各式化成最简二次根式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）==； （2）===． 【举一反三5】把下列各式化为最简二次根式．(字母均为正数) （1）；    （2）4；    （3）2；    （4）. 【答案】(1)；（2） ；（3）；(4). 【解析】解:(1)； (2)原式； (3)原式； (4)原式． 学科网（北京）股份有限公司 $