阶段测试（第一章因式分解、第二章分式）测试试卷- 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

阶段测试 （第一 章因式分解、第二章分式） 单元测试试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．4x2+8x﹣1＝4x（x+2）﹣1 B． C．x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y） D．a（a+1）＝a2+a 解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下： A：右边为4x（x+2）﹣1，不是积的形式，故错误，不符合题意； B：左边为单项式，不是多项式，且变形为恒等变形，故错误，不符合题意； C：左边x2﹣9y2为多项式，右边（x+3y）（x﹣3y）为整式的积，符合定义； D：左边a（a+1）为积的形式，右边a2+a为多项式，是整式乘法，故错误，不符合题意.故选：C． 2.若分式的值为0，则x的值为（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣3 解：由题意，得：x+2＝0且x﹣3≠0，∴x＝﹣2.故选：B． 3.化简的结果为（　　） A． B． C． D． 解： .故选：C． 4.多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b中，各项的公因式是（　　） A．a2b2 B．﹣4a2b2 C．4a2b D．a2b 解：这三项系数的最大公约数是4，三项的字母部分都含有字母a、b，其中a的最低次数是2，b的最低次数是1，因此多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b中各项的公因式是4a2b．故选：C． 5.下列因式分解正确的是（　　） A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．4a2﹣8a＝a（4a﹣8） C．m2+2m+2＝（m+1）2+1 D．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 解：A、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），故此选项不符合题意； B、4a2﹣8a＝4a（a﹣2），故此选项不符合题意； C、等式右边是和的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； D、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故此选项符合题意.故选：D． 6.下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当x＝2时，的值为零 B．当x≠3时，有意义 C．无论x为何值，不可能得整数值 D．无论x为何值，的值总为正数 解：A、当x＝2时，分母x﹣2＝0，分式无意义，故A错误； B、当x≠0时，有意义，故B错误； C、当x+1＝3或1或﹣3时，的值是整数，故C错误； D、无论x为何值，的值总为正数，故D正确． 故选：D． 7.下列多项式（1）a2+b2；（2）a2﹣ab+b2；（3）（x2+y2）2﹣x2y2；（4）x2﹣9；（5）2x2+8xy+8y2，其中能用 公式法分解因式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解：（1）a2+b2中的两平方项符号相同，不能用平方差公式分解； （2）a2﹣ab+b2中的ab为2ab才能用完全平方公式分解； （3）符合平方差公式的特点，能用平方差公式分解因式． （4）符合平方差公式的特点，能用平方差公式分解因式． （5）符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式分解因式． 所以（3）（4）（5）可以利用公式分解因式．故选：B． 8.商家常将单价不同的A、B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A、B两种糖的总价 与A、B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什 锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价 贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为（　　） A．50元/千克 B．60元/千克 C．70元/千克 D．80元/千克 解：设A种糖的单价为x元/千克，则B种糖的单价为（x+40）元/千克， “什锦糖”甲的单价为（x+x+40）元/千克， “什锦糖”乙的单价为2÷（）元/千克， 根据题意，得（x+x+40）﹣2÷（）＝5，解得x＝60， 经检验x＝60是分式方程的解，也符合题意，所以A种糖的单价为60元/千克．故选：B． 9.若x2+kx+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　） A．6 B．﹣4或8 C．﹣6或6 D．0 解：根据完全平方公式的结构特征可知：x2+kx+9＝x2+kx+32， ∵多项式x2+kx+9能用完全平方公式因式分解，∴k＝±2×1×3＝±6.故选：C． 10.代数式的值为F（x取整数），则F为整数值的个数有（　　） A．0个 B．7个 C．8个 D．无数个 解： （x+6） ＝1． ∵代数式的值为F， ∴F＝1（x≠2、﹣6）． 当x﹣2＝±1、±2、±4、±8时， 即x＝3，1，4、0、6、﹣2、10时，1为整数值． ∴当x＝3，1，4、0、6、﹣2、10时，F为整数值． 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．因式分解4x2﹣4＝　 　． 解：原式＝4（x2﹣1）＝4（x+1）（x﹣1）.故答案为：4（x+1）（x﹣1）. 12.在下列各式，，，，中，是分式的有　 个． 解：根据分式定义，所给代数式中是分式的有式，，，共3个．故选：B． 13.若式子（x﹣5）0有意义，则实数x的取值范围是 　． 解：根据题意得：x﹣5≠0，解得：x≠5．故答案为：x≠5． 14.在（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2中，从左向右的变形是　 　，从右向左的变形是 　． 解：∵（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，从左向右的变形是两个整式相乘，故是整式乘法； 从右向左的变形是因式分解.故答案为：整式乘法、因式分解． 15.将下列各式约分的结果填在横线上． （1） 　． （2） 　． （3） 　． 解：（1）x2．故答案为：x2． （2）x﹣1．故答案为：x﹣1． （3）．故答案为：． 16.若2x2+ax﹣b能分解为（2x+1）（x﹣1），则a＝ 　，b＝ 　． 解：（2x+1）（x﹣1）＝2x2﹣2x+x﹣1＝2x2﹣x﹣1， ∵2x2+ax﹣b能分解为（2x+1）（x﹣1），∴2x2+ax﹣b＝2x2﹣x﹣1，∴a＝﹣1，b＝1， 故答案为：﹣1，1． 17.若多项式x2+2（m﹣1）x+9可分解因式为（x﹣3）2的形式，则m的值为 　． 解：由条件可得2（m﹣1）＝﹣6，解得：m＝﹣2.故答案为：﹣2． 18.关于x的方程只有一个实数解，则实数k所有可能的值的绝对值之和为　 　． 解：关于x的方程只有一个实数解， 去分母可得：， 简化后为：xk+x（x﹣1）（k﹣1）＝（x﹣1）（k+1）， ∴（k﹣1）x2﹣kx+（k+1）＝0，此为关于x的二次方程，但系数含 k． ①：当 k﹣1＝0，即 k＝1时，方程为一次方程． 将k＝1代入原方程，解得 x＝2，故k＝1符合条件． ②：当 k﹣1≠0，即 k≠1，方程为二次方程． 二次方程有唯一实数解时判别式为零： Δ＝（﹣k）2﹣4（k﹣1）（k+1）＝k2﹣4（k2﹣1）＝﹣3k2+4＝0，解得：． 当时，，经检验均不为0或1，故 符合条件． 情况三：考虑增根可能性． 若x＝0是根，代入二次方程得 k+1＝0，即 k＝﹣1． 当k＝﹣1，原方程解得 ，满足题意，故k＝﹣1符合条件． 若x＝1是根，代入二次方程得 k＝0． 当k＝0，原方程解得 x＝﹣1，满足题意，故 k＝0 符合条件． 综上，k 值为 ． 和为：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）因式分解： （1）ax2﹣4a； （2）4x3y+4x2y2+xy3； （3）x2﹣9y2﹣18x+81； （4）x2﹣2xy﹣35y2﹣2x+14y． 解：（1）ax2﹣4a ＝a（x2﹣4） ＝a（x+2）（x﹣2）； （2）4x3y+4x2y2+xy3 ＝xy（4x2+4xy+y2） ＝xy（2x+y）2； （3）x2﹣9y2﹣18x+81 ＝（x2﹣18x+81）﹣9y2 ＝（x﹣9）2﹣9y2 ＝（x﹣3+3y）（x﹣3﹣3y）； （4）x2﹣2xy﹣35y2﹣2x+14y ＝（x2﹣49y2）+（14y2+14y）﹣（2xy+2x） ＝（x﹣7y）（x+7y）+14y（y+1）﹣2x（y+1） ＝（x﹣7y）（x+7y）+（14y﹣2x）（y+1） ＝（x﹣7y）（x+7y）﹣2（x﹣7y）（y+1） ＝（x﹣7y）（x+7y﹣2y﹣2） ＝（x﹣7y）（x+5y﹣2）． 20．（6分）计算： （1）． （2）． （3）． 解：（1）原式•（）• ＝﹣xy3•， ． （2）原式 ． （3）原式＝﹣1． 21．（8分）解方程： （1）． （2）． （3）. 解：（1）方程两边同乘x（x+5）得：2x2﹣x（x+5）＝（x+5）2， 解得：x＝， 检验，把x＝代入x（x+5）≠0，∴原方程的解为：x＝． （2）去分母得：16+x2﹣4＝x2+4x+4， 解得：x＝2，经检验x＝2是增根， 分式方程无解． （3）解：方程两边同乘以2(2x+1)(2x-1)得：2(x+1)=6(2x-1)-4(2x+1). 解得：x＝6， 检验：当x＝6代入2(2x+1)(2x-1)≠0，∴x＝6是原方程的根. 22．（8分）（1）先化简再求值：，其中x2+3x﹣5＝0； （2）先化简，再求值：，并从﹣2≤m≤2的范围内选取一个合适的m的整数值代入求值． 解：（1） ＝[]• •• ， ∵x2+3x﹣5＝0， ∴x2+3x＝5， ∴原式； （2） [] （） • ， ∵﹣2≤m≤2且m为整数， ∴m＝﹣2，﹣1，0，1，2， ∵m+2≠0，m≠0，m﹣1≠0，m﹣2≠0， ∴m≠﹣2，0，1，2， ∴m＝﹣1， ∴原式3． 23．（9分）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每 天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需 天数相同． （1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案． 解：（1）设每台A型机器每天搬运货物x吨，则每台B型机器每天搬运货物（x+10）吨， 由题意得：， 解得：x＝90， 经检验：x＝90是分式方程的解且符合题意， ∴x+10＝90+10＝100， 答：每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B型机器每天搬运货物100吨。 (2)设购买A型机器m台，购买总金额为w万元，由题意得：， 解得：10≤m≤12，w＝1.5m+2（30﹣m）＝﹣0.5m+60； ∵﹣0.5＜0，∴w随m的增大而减小， ∴当m＝12时，w最小，此时w＝﹣0.5×12+60＝54， ∴购买A型机器12台，B型机器18台时，购买总金额最低是54万元． 24．（9分）若分式方程无解，求m值； 解：方程两边同乘(x+2)(x-2)，得2(x+2)+mx=3(x-2)． ∴ . ①当=0，即m=1时，方程为0=-10，则方程无解. ②当≠0，即m≠1时，则可得，当其为增根时，方程无解， 由题意可知增根为x=2或x=-2， ∴或． 解得：m=-4或m=6． 综上所述：m=1或m=-4或m=6时方程无解. 25．（10分）阅读以下材料 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2 再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝　 ； （2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4； （3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数． 解：（1）令x﹣y＝A， 原式＝A2﹣2A+1＝（A﹣1）2， 将“A”还原，得原式＝（x﹣y﹣1）2； 故答案为：（x﹣y﹣1）2； （2）解：令 a2﹣4a＝A， 原式＝（A+2）（A+6）+4 ＝A2+8A+12+4 ＝（A+4）2， 将“A”还原，得： 原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4； （3）证明：令 n2﹣2n＝A， 原式＝（A﹣3）（A+5）+17 ＝A2+2A﹣15+17 ＝A2+2A+2 ＝（A+1）2+1， 将 A＝n2﹣2n 还原，原式＝（n2﹣2n+1）2+1＝（n﹣1）4+1， 因为无论n为何值 （n﹣1）4≥0， 所以 （n﹣1）4+1≥1，即式子 （n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17 的值一定是一个不小于1的数． 26．（10分）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知x≠0，所以，即． ∴ ∴的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． （3）已知，，，求的值． 解：（1）由，知x≠0， 所以，即， ∴x2 ＝（x）2﹣2 ＝22﹣2＝2， ∴的值为2的倒数，即； （2）由，知x≠0， 所以：7，∴x﹣17，即， ∴x2﹣1 ＝（x）2﹣3 ＝82﹣3 ＝61， ∴的值为61的倒数，即； （3）由，知x≠0，y≠0， ∴，∴①， 由，知y≠0，z≠0， ∴，∴②， 由，知z≠0，x≠0，∴，∴③， ①+②+③得：2（）， ∴1， ∴1， ∴的值为1的倒数，即1． 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段测试 （第一 章因式分解、第二章分式） 单元测试试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．4x2+8x﹣1＝4x（x+2）﹣1 B． C．x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y） D．a（a+1）＝a2+a 2.若分式的值为0，则x的值为（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣3 3.化简的结果为（　　） A． B． C． D． 4.多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b中，各项的公因式是（　　） A．a2b2 B．﹣4a2b2 C．4a2b D．a2b 5.下列因式分解正确的是（　　） A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．4a2﹣8a＝a（4a﹣8） C．m2+2m+2＝（m+1）2+1 D．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 6.下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当x＝2时，的值为零 B．当x≠3时，有意义 C．无论x为何值，不可能得整数值 D．无论x为何值，的值总为正数 7.下列多项式（1）a2+b2；（2）a2﹣ab+b2；（3）（x2+y2）2﹣x2y2；（4）x2﹣9；（5）2x2+8xy+8y2，其中能用 公式法分解因式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8.商家常将单价不同的A、B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A、B两种糖的总价 与A、B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什 锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价 贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为（　　） A．50元/千克 B．60元/千克 C．70元/千克 D．80元/千克 9.若x2+kx+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　） A．6 B．﹣4或8 C．﹣6或6 D．0 10.代数式的值为F（x取整数），则F为整数值的个数有（　　） A．0个 B．7个 C．8个 D．无数个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．因式分解4x2﹣4＝　 　． 12.在下列各式，，，，中，是分式的有　 个． 13.若式子（x﹣5）0有意义，则实数x的取值范围是 　． 14.在（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2中，从左向右的变形是　 　，从右向左的变形是 　． 15.将下列各式约分的结果填在横线上． （1） 　． （2） 　． （3） 　． 16.若2x2+ax﹣b能分解为（2x+1）（x﹣1），则a＝ 　，b＝ 　． 17.若多项式x2+2（m﹣1）x+9可分解因式为（x﹣3）2的形式，则m的值为 　． 18.关于x的方程只有一个实数解，则实数k所有可能的值的绝对值之和为　 　． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）因式分解： （1）ax2﹣4a； （2）4x3y+4x2y2+xy3； （3）x2﹣9y2﹣18x+81； （4）x2﹣2xy﹣35y2﹣2x+14y． 20．（6分）计算： （1）． （2）． （3）． 21．（8分）解方程： （1）． （2）． （3）. 22．（8分）（1）先化简再求值：，其中x2+3x﹣5＝0； （2）先化简，再求值：，并从﹣2≤m≤2的范围内选取一个合适的m的整数值代入求值． 23．（9分）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每 天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需 天数相同． （1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案． 24．（9分）若分式方程无解，求m值； 25．（10分）阅读以下材料 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2 再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝　 ； （2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4； （3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数． 26．（10分）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知x≠0，所以，即． ∴ ∴的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． （3）已知，，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $