精品解析：浙江省嘉兴市第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段测试数学试题

嘉兴一中2026学年第一学期10月阶段测试 高二数学试题卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. “”是“直线：与直线：互相平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知圆，圆，若与有且仅有2条公切线，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间直角坐标系中，，，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 在正方体中，E，F，G分别为，，的中点，若从正方体的八个顶点中任取两个不同的顶点，记事件M为“所取两个顶点的连线与平面平行”，则事件M发生的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在长方体中，，，为棱的中点，动点满足，则点的轨迹与长方体的侧面的交线长等于（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两直线与，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线在轴上的截距为1 C. 当时， D. 当时，与之间的距离为 10. 在棱长为1的平行六面体中，，点满足，其中.则（    ） A. 当时， B. 当时，在平面内 C. 当时，的轨迹的面积为 D. 当时，点在平行四边形内部及其边上 11. 已知椭圆：，左、右焦点分别为，，点为椭圆上异于长轴端点的动点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则符合条件的点有个 B. 若，则的面积为 C. 的最大值为 D. 过的直线与椭圆交于两点，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数满足：，则_______． 13. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为________． 14. 设二次函数在上至少有一个零点，则的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三个顶点是，，． （1）求边中线所在直线方程； （2）求边上的垂直平分线的直线方程； （3）求点到边的距离． 16. 某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上．设． （1）现要在四边形ABCD内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大； （2）为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若BC＝CD，则当为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值（单位：百米）． 17. 在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. （1）求椭圆的离心率； （2）直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 18. 如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． （1）若，证明：平面； （2）若，①求的长；②若，求二面角的余弦值． 19. 已知圆：与轴交于，，过点的直线交圆于异于，的两点，． （1）当时，①直接写出直线的方程（无需过程）；②将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在一点（异于，点），使平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由； （2）将圆上每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到新的曲线．点，经过上述变化后记为，，直线与直线相交于．①求出曲线的方程；②求证：点在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网6组卷网 嘉兴一中2026学年第一学期10月阶段测试 高二数学试题卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知直线 V3x+3y-6=0 则该直线的倾斜角是(） 30° B600 c1200 D1500 【答案】D 【解析】 详解】因为3x+3y-6=0,所以少≈、 3+2 即斜索k二、 3,，设倾斜角为a,则ana=k=-5 3, 因为0°<a<180 ，所以a=150 2.“a=-3是“直线4.ac+3y+1=0与直线5,2x+(a+)y+1=0互相平行的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线1与直线上平行的充要条件，再判断即可。 【详解】若直线4：x+3y+1=0与直线：2x+(a+)y+1=0互相平行， 则a(a+)=6,解得a=-3或a=2, 第1页/共28页 学科网 命组卷网 又当a=2时，两直线重合（舍去）， 所以a=-3是直线，ax+3y+1=0与直线4：2x+(a+)y+1=0互相平行的充要条件， 故选：C 3.已知圆G:r+y+8x-6y+9=0,圆G:(x++(0y+少=a(a>0）,若G与C2有且仅有2条 公切线，则实数a的取值范围为() A.(2,10) B.(1,10) c.(2,9) D.(1,9) 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件得出圆心和半径，再利用公切线条件得出两圆相交，进而列不等式求出实数☑的取 值范围 【详解】圆G:r+y+8x-6y+9=0→(x+4+(0-3=16,圆心C(4,3),半径1=4， 圆C:(x+l°+(0y+旷=a(a>0),圆心C,,-),半径5=a 若G与C有且仅有2条公切线，则两圆相交， 又CC=V(-4+l)2+(3+1=5,4-a<5<4+a,解得1<a<9 故选：D 4.已知空间直角坐标系中，4(，0,2)，B(2,1),平面α的一个法向量为方=（-1，山V2). 则直线AB 与平面“所成角的正弦值为() V6 6 6 B.-3 c.6 D.3 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面所成角的向量求法，计算直线AB的方向向量与平面α法向量夹角余弦的绝对值 即可得到结果 第2页/共28页 6学科网列组卷网 【详解1由410,2)，B(2,11),得B=(2-11-0,1-2)=0,1-0. AB.n 线面角的向量计算规则：设直线与平面所成角为。， 则 AB成， 所以AB:i=1x(-)+1x1+(-1)×V2=-V2,故AB.月=V2】 又A=VP+1P+(=V5,闭=V2+1P+(W2y=V4=2,因此AB-团=5x2=25, 代入计算得：sin0=2。V6 2V56,因线面角正弦值非负，排除A、B,最终选C 5.如图，三棱锥0-ABC中，G为△MBC的重心，M是OC的中点，则MG=（) B 、0i+oB+oC A.3 3 B.3 6 104+208-1oc C.3 3 6 D.3 3 6 【答案】D 【解析】 0G-104+108+ 【详解】因为G为△ABC的重心，所以3 3 3 又M是OC的中点，所以OM=)0C 第3页/共28页 6学科网命组卷网 G0G-oM0)08-0 3 足流C+@>b>0上有一点，它天原点的对称为，白左为稀扇名克 且4F-BF=-0,∠AB= 6,则椭圆的离心率为() √3 √2 A B.V3-1 C.3 D.2 【答案】B 【解析】 【分析】构造椭圆左焦点，利用对称性得到矩形，结合直角三角形边角关系与椭圆的定义，建立α、C关 系求解离心率。 【详解】设椭圆左焦点为F,连接AF'、BF', 由A、B关于原点对称，可知四边形AFBF'为平行四边形， 又MF·BF=0,故AF⊥BF,即平行四边形AFBF'为矩形， sth=.A-. 在RteABF中， ∠ABF=T 6,设AF=m,则BF=V3m,AB=2m, 由椭圆的定义，MF+AF例=AF+BF=m+V3m=2a 又4B=2c,故2m=2c,即m=c, 将m=c代入m+V3m=2a,得c+5)=2a, 热心*后 =V3-1 第4页/共28页 6学科网命组卷网 故选：B B 7.在正方体 BCD-4BCD中，B,刀，G分别为AB,CG,A4D的中点，若从正方体的八个顶点中 任取两个不同的顶点，记事件M为“所取两个顶点的连线与平面EFG平行”，则事件M发生的概率为( ) 3 3 A.28 B.7 C.14 D.7 【答案】C 【解析】 D C G A B 【详解】 、y D -----1 H 公 B 如图所示， BC,CD,M4的中点H,LJ,连接EH,Hm,F,1G,G,E 可知 JGHAD IBCHF,可知FD,CHABIJE E,H,F,I,G,J 所以点 在同一平面上， 可知面EHFKG/平行的对角线有4B,DC,AD,BC,4G,AC共6条， 所有从正方体的八个顶点中任取两个不同的顶点的连线有C号=28条。 第5页/共28页 6学科网6组卷网 63 则PM)=284 8.在长方体 BCD-4B,GD中，AB=AD=6,AM=2,M为楼BC的中点，动点P满足 ∠APD=∠CPM,则点P的轨迹与长方体的侧 CCDD的交线长等于(） 2π 3π A.3 B.元 C.2 D.4π 【答案】A 【解析】 【分析】当点P在侧面 CGDD时，由长方体的性质得出ADLPD,MC LPC.群根据 ∠APD=∠CPM,,PD=2PC 力 得出 建立空间直角坐标系，利用两点间的距离公式算出点的轨迹与侧 CCDD 兮 的交线为一段圆弧，求出夹角和半径即可算出弧长. 【详解】由题可建立如图所示空间直角坐标系， A B D 则A00,0）B(60,0).C(6,60）.D(0.6,0）.G(6,62).D(0,62) 因为点M为BC中点所以M(63,0), 因为点P在侧面CCDD,所以可设P(x6,2）,其中x∈[0,6]，z∈[0,2]， 由思可得4D上侧面CCDD,MCL侧面9 CCDD 且PDc侧 CCDD,PCc侧面 CCDD 第6页/共28页 学科网 命组卷网 所以AD⊥PD,MC⊥PC. 因为∠APD=∠CPM,所以tan∠APD=tan∠CPM, MC AD 即PCPD,得PD=2PC, 所以Vx2+z2=2V(x-62+z2,化简得(x-8)}2+z2=16, 所以点P的轨迹与长方体的侧面CCDD的交线是以O(86,0)为圆心，半径为4的一段圆弧， 如图所示为其平面图， D 令2=2，得(x-8=12,解得x=8-25(含去x=8+25). 令2=0，得(x-8=16,解得x=4(舍去x=12), 设圆：(x-8+2=16与CD交于点E与CD交于点下， 8-2W3-8=4cos0 2=4sin0 ,解得0=孤，所以∠BOF=元-5红_无」 6 661 所以弧长 =∠E0=2x4=2 6 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 第7页/共28页 命学科网命组卷网 9已两直线5：m+2-3=0与：3x+4y+4=0,则《) A.直线l过定点 B.直线2在y轴上的截距为1 C.当112时， a、8 7 3 D.当八2时，4与42之间的距离为5 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A,运用消去参数，对于B,运用截距概念；对于C,运用两直线垂直时，斜率之积为-1： 对于D,两直线平行时，斜率相等，结合平行线距离公式计算我们将根据这些性质来逐一分析每个选项 （详解1对于选顶A,对于直线+2y-3=0,当x=0时.2y-3=0.￥程少=， 3、 (0,- 所以直线过定点 2,选项A正确 对于选顶B,对于直线：3x+4y+4=0,令x=0,则4y+4=0,解得y=-1 所以直线？在'轴上的截距为1，选项B错误 网T顾c,线以又+.y3 3 -1,共斜=4当1山时 k×k2=-1,即2 3a 8 =-1 a=- 8 ,解得”3，选项C正确 0-2+3 对于选项D,当时.344，解豫 2 第8页/共28页 命学科网命组卷网 此时 :2x+2y-3=0,即3x+4y-6=0 d=IC-Cl 两平行直线Ax+By+C=0与A+By+C2=0之间的距离公式为”VA+B2 d=16-4=-10=2 对于4：3x+4y-6=0与12：3x+4y+4=0,距离”V32+425 ,选项D错误， 故选；AC. 10.在棱长为1的平行六面体ABCD-4B,CD中，∠44B=∠AAD=∠DAB=60,点P满足 AP=xAB+yAD+zA,其中xz∈[0，川则() A.当x=y=z=1时， d-5 B.当+y+z=1 时，P在平面 BD 内 5 C.当2=2时，P的轨迹的面积为2 D.当+y=l时，点P在平行四边形 DBB,D内部及其边上 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量模的运算即可判断A,利用向量线性运算结合共面定理可判断BCD. 【详解】当x=y=z=1时，AP=AB+AD+A4 因为在棱长为1的平行六面体ABCD-4BCA,中，码-AD-M4=1,且 ∠AAB=∠AAD=∠DAB=60° 所以-《B+AD+A4-=VB+D+A4+2BMD+2A04+2B4 第9页/共28页 6学科网6组卷网 =V1+1+1+2×1x1×cos60°+2x1x1×cos60°+2x1x1×cos60°=V6 故A错误： 当x+y+z=1时，则4P=xAB+yAD+zAA=xAB+yAD+(1-x-y)A4 可得P-M=x(-AA+(AD-A)→AP=x4B+y4D】 向量AP,AB,AD共面，即P在平面4BD内，故B正确： 当计.=+而+兮a 因为七，y∈[0，，所以xAB+yAD表示以A为起点，终点在平行四边形ABCD的内部及其边上， 则4P=xAB+yaD+)4 表示终点P的轨迹为平行六面体中的截面MNPQ,其面积等于平行四边 形ABCD的面积， D A B 即S=1x1xsin60°= 2，故C正确： 当x+y=l时，AP=xAB+yAD+zA4=xAB+(1-x)AD+z4 可得AP-AD=x(AB-AD)+zAA→DP=xDB+zDD 当X,z∈[0，门时，可知点P在平行四边形DB,D内部及其边上， 故D正确， 第10页/供28页 6学科网命组卷网 x2.y2 11已知椭圆C:4十了1，左、右焦点分别为R,乃，点P为椭圆上异于长轴端点的动点， (2,v3). 则下列说法正确的是() A若P匠PF=1,则符合条件的点P有2个 B光∠RPR=骨，则APFE的面积为5 c.PO+PE的最大值为6 14 D.过E的直线与椭圆交于两点A,B,则AFBE3 【答案】BCD 【解析】 【分析】由椭圆方程得a=2,b=V5,c=1,焦点为(-，0)，E(,0),且P+P=4.选项A 用数量积的坐标运算判断：选项B用余弦定理求PPF后再算面积：选项C用椭圆定义把P换成 4-P后放大；选项D联立直线与椭圆，用韦达定理计算 【详解】对于选项A,设P(x),则PF=(1-x-y),P瓦=(-x,y)】 所以PFP呢=2-1+y2 由y2=3-3 4得r+y2=3+x 4 又0≤x2≤4故t+y∈3,4，从而PFPE∈[2,3] 所以方程P听·P?=1无解，A错误 第11页/共28页 6学科网命组卷网 对于选项B,在△PFB中，FE引=2 由余弦定理得F5PRP+PRP-2 eos 结合PE+PE=4得4=16-3PEPF,即PPF=4 所Pmg如号-49-5，BE 2 对于选项C,由椭圆定义PE+PF=4,则PO+Pl=4+(Pg-PE)s4+lQ5 因为1=v2-2+(W32=2,所以PO+PF≤6 当B在线段PO上时取等号，此时F为P的中点，得P(0,-V, 该点在椭圆上且不是长轴端点， 故最大值为6，C正确 对于选项D,当直线不与轴重合时，设其方程为 x=my+l 代入椭圆方程得(3m2+4)y2+6my-9=0 6m 9 设A(5,X）,B(,),则4+为=3m+4,出=3m+4. 又AE=Vm2+1yl,BE=Vm2+1y2,且y2<0 1,114-2 所以AEBF√m2+1y2l· 144(m2+1） 由0y-gP=0+y-4y%=6m+3 12Vm2+1 得以-y2= 3m2+4 1 1112Vm2+13m2+44 代入得AF BFm2+13m+4 93 第12页/供28页 6学科网命组卷网 11=1+= .14 当直线为x轴时，A(2,0),B(-2,0),此时AEBF33也成立，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12若复数2满是：也=3+41，则2 【答案】5. 【解析】 【分析】 由复数的运算可得z=4-3i,再求其模即可 3+4i Z= =4-3i 【详解】解：由于z=3+4i,所以i 2=V42+(-3)2=5 故答案为：5. 【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了复数模的运算，属基础题 x2,y2 = 13.已知方程k+53-k表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 【答案】 (-1,3) 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程的形式，列出不等式组，即可求解。 x2.y2 【详解】根据题意，要使方程k+53-k表示焦点在x轴上的椭圆， k+5>0 则满足 3-k>0 解得 ,即实数的取值范围为 k+5>3-k -1<k<3 k （-1,3) 故答案为： (-1,3) 第13页/供28页 学科网组卷网 14.设二次函数f(x)=ar+(2b+)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在B,4上至少有一个零点，则d2+b的 最小值为 1 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查函数零点与方程根的关系及点到直线的距离公式的应用，同时考查函数的单调性，难度 较大，设t为二次函数在3,4]上的零点，则有ar+(2b+1)1-a-2=0,即-)a+2b+1-2=0, a,b) 根据直线上一点 到原点的距离大于等于原点到直线的距离，得一不等式，对式子进行恰当变形后， 利用函数的单调性可求得+b 的最小值。 【详解】解：设t为二次函数在[3,4上的零点，则有a+(2b+1-a-2=0, 即(-)a+2h+t-2=0 因为直线(？-小x+2少+1-2=0上一点(a,)到原点的距离的平方大于等于原点到直线的距离的平方， 41e到数-2,2 因为y=1-2+5在， 100 ，当 =3 、2 3 b=- 25, 50时取等号， 1 所以a2+b2的最小值为100. 第14页/供28页 6学科网 命组卷网 1 故答案为：100 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知△ABC=个顶点是4(L4),B(-2,).C(2,3) V (1)求BC边中线AD所在直线方程； (2)求AC边上的垂直平分线的直线方程： (3)求点A到BC边的距离. 3x+y-1=0 【答案】(1) 3x-y+2=0 (2) (3)2V2 【解析】 【分析】(1)求出BC中点的坐标，再求中线斜率，即可用点斜式得出直线方程： (2)求出直线AC的中点及斜率，即可得出所求直线的斜率，从而可求得直线方程： (3)求出直线BC的方程，再利用点到直线的距离公式即可得解 【小问1详解】 因为B(-2,).C(2,3) 第15页/供28页 6学科网命组卷网 所以BC的中点D的坐标为(Q,), =-3 又”三03 所以BC边上的中线方程为 -1=-3x 3x+y-1=0 即 【小问2详解】 因为A(-1,4).C(2,3) C的肉引.-月 所以AC边上的垂直平分线的斜率k=3, 71 所以所求直线方程为23一2， 即3x-y+2=0 【小问3详解】 直线BC的方程为：y+1=x+2,即-y+1=0 ,即 点A-1,4)到直线BC:x-v+1=0的距离为：4=一中=2万 √2 16.某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境.如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB 长为4百米，C,D都设计在以AB为直径的半圆上.设∠COB=0 第16页/供28页 6学科网6组卷网 (1)现要在四边形ABCD内种满郁金香，若 ∠COD=z 3,则当0为何值时，郁金香种植面积最大： (2)为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC,CD和DA组成，若BC=CD,则当B为何 值时，栈道的总长1最长，并求1的最大值（单位：百米）， 0=T 【答案】(1)当3时，郁金香种植面积最大；(1)当3为时，栈道的总长1最长，1的最大值为 6百米 【解析】 【分析】(I)求出利用三角形的面积公式可得四边形ABCD关于8的函数，利用三角函数的恒等变换可以得 到“一角一函”的形式，然后根据角的范围利用正弦函数的性质可求得面积最大值： BC,DA (2)利用余弦定理求得 关于的三角函数，相加可求出关于的三角函数表达式，利用二倍角公 式和换元思想转化为二次函数的最值，进而求解 【详解】解：(1) :线段AB长为4百米，所以圆的半径为2百米，即OA=OB=OC=OD=2, ∠COD=E 3时，由三角形的面积公式得： SARCD=S.ROC+S.COD+SDOA 1 =25sim0+）+3 64 2 ∴.0<0< 一π <6+< -π 3,则6 66 sin+r 6 1,0+-，g0- 3时取等号， 第17页/共28页 命学科网组卷网 时 :当0-交 2v5sim0++5 64取得最大值， 0=T 当3时，郁金香种植面积最大： (2)由余弦定理得： BC=V22+22-2×2×2cos0=4sin 2,DA=V2+22+2×2×2×c0s20=4c0s0, 1=8sng+4eaw6oc0<到】 令t=si 2,0< 0π 24, :0<t<2 1-8sm+4-2m） =81+41-22) 0=T 2,即3时，1的最大值为6. 0-T 故当3为时，栈道的总长1最长，1的最大值为6百米. 本干面监角标系0中.飘E的丙个店点分别是5-L0.公00，并租坚达h之 (1)求椭圆E的离心率： (2)直线：”=红-2与椭因E交于不同的两点4 ,B ()求k的取值范围： 第18页/供28页 6学科网 命组卷网 (i)若OA1OB,求k的值， 3 【答案】(1)3 ea±阿 【解析】 【分析】()由条件确定C=1,再由椭圆的定义求得4=V5,即可求解， (2)①设A(x,乃).B(x,乃），联立直线椭圆方程，由判别式大于0即可求解： (ⅱ)结合韦达定理，由 OA.OB==0 即可求解. 【小问1详解】 x2.y2 因为椭圆E的焦点在x轴上，所以设椭圆E的标准方程为云+B户=1(a>6>0) 所以a=V5,则=a2-c2-2 x2 y2 3 故椭圆E的标准方程为3+2=1，则椭圆的离心率e=。= a3; 【小问2详解】 ①)设4(x,y),B(x,) y=-2 联立 +号=1,2+x-12a+6=0 第19页/供28页 6学科网列组卷网 3或6 白A-(12-4x6x2+3)小0，解狗k<-6或 3 的 12k 6 (ii)由(i)可得， x+x=2+3,=2+3k,(*) 则=(a-2)(a,-2)=2x5-2k(x+x)+4 因为0A10B,所以O1.OB=x5+=0 则得（+）x5-2k(飞+x)+4=0 61+k2）24k2 将代入，可得2+322+3+4=0 解得tV②7 3,满足△>0 所以k的值为±？ 18.如图1，在平面五边形ABCDE中，四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，AD L AE, AE=V2.将△ADE沿AD翻折至△MDP,如图2.点M在线段PD上运动. 第20页/供28页 6学科网组卷网 P(E) B D B 图1 图2 (I)若PM=MD,证明：PB∥平面MAC: (2)若，-4am=2,-4@,①求4M的长：②若M1CD,求二商角4-CD-P的余弦值. 【答案】(1)证明：如图所示，连接CA,BD,相交于点O,连接MO, C 由菱形的性质可得，点O为BD的中点， 又PM=MD,所以M为PD中点， 所以MO为△BDP的中位线， 由中位线性质可得，PBI/MO,又MOC平面MAC,PBa平面MAC, 所以PB/I平面MAC (2)① √61 3②3 【解析】 【分析】(1)连 CM.BD,相交于点O,连接 O PBMO ，由中位线性质可得 即可证明： (2)①由菱形的性质可得， BC1/AD,得到BCI/平面PAD,将'w-4m=2MD转化为 第21页/共28页 命学科网命组卷网 AM=1AP+24D MP=2MD,根据AP⊥AD, 3 3 ,计算即可得到答案 ②根据AE⊥AD,以点A为坐标原点，分别以AD,AE及垂直于平面AED的方向为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系，由MP=2MD,AM⊥CD,求出点P坐标，求出平面PCD和平面ACD的法向 量，判断二面角A-CD-P是锐二面角，代入计算即可得到答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由菱形的性质可得，BCI/AD,又ADc平面PAD,BCC平面PAD, 所以BCII平面PAD,设BC到平面PAD的距离为h, 所以m-业m5m.hm-长o-灯m 3 又因为-m=2M-4D 所以S,=2S4n,即MP=2MD】 =+Pw=P+号m=+号而-丽)-写P+号40 所以 4w-a可-G4号0-gr+号而+号0。 因为AP=V2,AD=1,AP⊥AD 所以M-写例+×P= 3 ②因为AE⊥AD, 第22页/供28页 命学科网命组卷网 所以以点A为坐标原点，分别以AD,AE及垂直于平面AED的方向为x轴，y轴，z轴，建立空间直 角坐标系，如图所示， 设翻折角为A0∈[0，]），M(xy,z)】 由翻折的性质可得P0,V2cos8,V2sin0)小 PM=2PD 由①得 3 （ky-cas8,z-2sin0）-号ios8sn) 2 x=- 3 v2cos0 解得y= 3 ,即 √2sin0 M2 V2cos0 Visino 3 33,3 因为AM⊥CD,所以 wm-g,好0 解得cos0-V6 3,则sin03 3 第23页/共28页 6学科网列组卷网 设平面PCD的法向量为m=(a,bc) 易得平面4CD的一个法向量为=(0,01）， pcm=3a-756 26 3 c=0 a=v3b 所以 23，V6。 ，解得 PD.m=a- -b- -c=0 、2b C= 3 3 取=则T面pD的-个法向为m= 542 易得二面角A-CD-P是锐二面角， √2 cos.(m= mn 所以二面角 的余弦值为 m元 A-CD-P 可r 19已知圆O:+y广=9与x轴交于A,B,过点F(,0)的直线1交圆0于异于A,B的两点M, （山当MW=42时，@直接写出直线'的方程（无需过程）：②将圆0沿”轴折成直二面角，如图，在 第24页/共28页 6学科网6组卷网 V10 上半圆上是否存在一点Q(异于A,B点)，使平面ONg与平面BMN的夹角的余弦值为5？若存在， BO 求出线段的长；若不存在，说明理由； 1 (2)将圆O上每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的3，得到新的曲线C.点M,N经过 上述变化后记为M',N',直线MA与直线WB相交于T.①求出曲线C的方程；②求证：点T在定直 线上 【答案】(1)①x=-1②Bg=3V2 (2)设圆上点M(x,),N(x,y),伸缩变换后得到对应点 易知直线的斜率不为0，设的方程为 x=my-1 x=my-1 联立圆的方程： x2+y2=9,因此有(m2+1)y2-2my-8=0, 由韦达定理 ⅓m,= 2m 8 m2+1, 百yM防广-30+3+3) 线w%的方3-到 x+32(x+3) 设交点T(x,y),联立两直线方程得，x-3(x2-3): 2(my+2）_myy2+2y2 将直线1的方程代入得，y(my2-4)myy-4y· 第25页/供28页 6学科网6组卷网 x+31 根据韦达定理化简得，x-32, 解得x=-9. 即点T在定直线x=-9上 【解析】 【分析】(1)对于①，根据题意即可写出对应方程，对于②，根据空间位置关系，建立空间直角坐标系， 表示对应坐标，结合空间中面面角的计算公式即可求解： (2)根据变换后的曲线公式，联立直线与曲线的方程，结合直线方程与韦达定理，即可证明· 【小问1详解】 2 MN ①设圆心到弦的距离为d,因此有 2=r2 2 解得d=1, 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=(x+) =d=kx0-0+。个 根据点到直线的距离公式，圆点到直线的距离 V+1√k2+1,此方程无解， 当直线的斜率不存在时，满足条件的直线方程为x=一1， 因此满足条件的直线方程为x=一1 ②由题意得，以O为原点，原x轴(AB)所在直线为'轴，下半圆所在平面内垂直于AB的方向为x轴， 上半圆所在平面内垂直于AB的方向为2轴，建立空间直角坐标系， 第26页/共28页 6学科网列组卷网 此时M(0-1,22),22,-10.B(0,30),0(0,0,0), 因此向量BM=(0,-4,2V2),BN=(22,-4,0）. 设平面BMN的法向量为”=(：，H,乙)， %·BM=0」-4+2V2a1=0 因此 7BN=0,即122x-4y=01 取片=1，解得只=(V2,1V2)】 设上半圆上点的参数为a,a∈(0，)，异于A,B, 则翻折后空间坐标为(0,3cosa,3sina) 设平面ON№的法向量为=(3，，2)， m0N=0∫22x2-为2=0 因此 h00=0'即1 3cosa.y2+3sin a.z=0' 取x=sina,则n=(sina,2V2sina,-22cosa)】 5 因此有网 了，解得6如2=0则a-子 因此2(0,0,3)，故B0=V(0-0)2+(0-3)}2+(3-0)2=3V2 【小问2详解】 ①根据变换关系，设圆0上的点为(x,%)】 第27页/供28页 6学科网 6组卷网 x=Xo xo=x 因此有 =3%,即 %=3y1 代入整理得到曲线方程有9+少=1 ②略 第28页/共28页