浙江省嘉兴市第一中学2025-2026学年高二上学期12月阶段性检测数学试题

嘉兴一中2025学年第一学期12月阶段性检测 数 学 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B．y＝±2025x C． D． 2．已知直线，若，则的值为（　　） A． B．3 C．-1 D．3或-1 3．已知数列是公差为的等差数列，则（   ） A． B． C．2 D．4 4．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则双曲线两条渐近线的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 6．在正方体中，，分别为，的中点，点在上，且，则与所成角的余弦值为（   ）． A． B． C． D． 7．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，…，在，之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，以下能使得数列单调递增的是（   ） A．q＞1 B．1＜q＜3/2 C．d1＜d2 D．d2＜d3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．过点的直线与圆交于，两点，则（   ） A．圆心到直线的最大距离为2 B．当直线斜率为1时， C．弦中点的轨迹长度为 D．的取值范围为 10．在公比为q的等比数列中，.记数列的前n项积为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则的最大项为 D．若，则的最小项为 11．已知双曲线为的左、右焦点，点为双曲线左支上的一点，且满足，作的角平分线，过作的垂线，垂足为，若，连，则下列说法正确的有（   ） A．的标准方程为 B． C．连的外接圆半径为 D．设点为的重心，则点坐标为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为 . 13．已知数列满足，，设数列的前项和为，则 . 14．设数列的前n项和为，已知，，若，则正整数k的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．直线与圆交于两点，点（不同于点）在圆上． （1）若时，求的面积； （2）若，求直线l的方程． 16．在矩形中，，，为的中点，将沿翻折至，使得平面平面，得到如图所示的四棱锥. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．已知在数列中，，且当时，. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 18．已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项； （2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 19．设抛物线E：过焦点F的直线与抛物线E交于点当直线垂直于x轴时，. （1）已知点（如图1）直线分别与抛物线E交于点，求证：直线过定点． （2）如图2所示，设D为抛物线上的一点，过D作直线交抛物线于两点，过D作直线交抛物线于两点，且设线段与线段的交点为T，求直线斜率的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉兴一中2025学年第一学期12月阶段性检测 高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A C B B B C ACD AC 题号 11 14 答案 BD C 12． 13． 14．2024 15．解：（1）当时，直线， 因为圆，半径，所以圆心C到直线l的距离， 所以，所以； （2）由于，过点C作于点H，则， 又因为，所以， 所以， 所以，所以， 又因为，所以， 所以直线l的方程为或. 16．解：（1）在矩形中，，，为的中点， 所以，所以，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）取的中点，的中点，连接，，则，所以平面， 由题可得，所以，所以，，两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则， 取，得，，所以. 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．解：（1）当时，，又，可得， 当时，，则， 又，所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，故； （2）由（1）知， 则， 则数列的前项和 ， 又，则，故. 18．解：（1）当时，， ， 当时，由①， 得②，①②得 ， 又是首项为，公比为的等比数列， ； （2）由，得， 所以， ， 两式相减得 ， 所以， 由得恒成立，即恒成立， 时不等式恒成立； 时，，得； 时，，得； 所以. 19．解：（1）证明：由题意，当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为， 联立，可得， 则所以抛物线T的方程为 若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 同理可知，直线也不与轴重合，易知点， 设直线AB的方程为 联立，得 因此 设直线的方程为联立， 得， 因此 同理可得， 所以 因此直线的方程为 由对称性知，定点在轴上，令 则 ， 所以直线过定点. （2）设点坐标为点坐标为点坐标为 由题意可知直线的斜率存在，且不为0， 则直线的方程为 与抛物线联立，消去x得: 所以解得 直线DN的方程为, 与抛物线联立，消去x得 由韦达定理可得解得 显然直线的斜率不为0，当直线斜率存在时，直线的方程为： ，整理得： 将代入直线的方程得： , 所以直线过定点即T点坐标为 直线的斜率为, 当时，当且仅当，即a＝2时，等号成立， 当时,当且仅当即时，等号成立， 当时， 当直线的斜率不存在时，设点坐标为点的坐标为 则， 根据题意所以 解得：所以直线的方程为过点， 综上所述，直线斜率的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $