广东深圳市龙岗区园山实验学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

园山实验学校2026年10月初三学科素养大赛数学试 题 答题时长：90分钟分值：100分命题人：莫镇畦 审题人： 杨頔 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题的 四个选项中，只有一个最符合题意) 1.下列方程中，关于x的一元二次方程的是( A.x2-1=2xB.x3+2x2=0 C.x4是=0 D.x2-y+1=0 2.关于×的一元二次方程kx2-4x~1=0有两个实根，则k的取值范围是() A.k≥-4 B.k≥4 C.k>-4 D.k≥-4且k≠0 3.若x1,x2是方程x+2x-5=0的两个根，则2x+xX+2x2的值为（) A.-9 B.-1 C.1 4.如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为 E,当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为() A.27° B.53° C.57° D.63 5.下列四个命题中真命题是( ) A.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B.对角线垂直且相等的四边形是菱形 C.对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【.四边都相等的四边形是正方形 6.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m,宽为22m.停车场内 车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520.求车道的宽度（单位：m).设 停车场内车道的宽度为xm,根据题意所列方程为（( A.(40-2x)(22-x)=520 B.(40-2x)(22-2x)=520 C(40-x)(22-x)=520 D.(40-x)(22+x)=520 7,如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，AD长为半径画弧交CB的延长线于E:过 点D作DF∥AE交BC于点F连按AF.AB=4,AD=5,则AF的长是( A.2W5 B35 C.3 D.3v3 2卡 2 第4题图 第6题图 第7题图 8.如图①，将一个正方形纸片沿虚线对折两次，得到图②，按照图②所示剪去 一个腰长为2的等腰直角三角形，展开后得到一个如图③所示的正八边形 ABCDEFGH,将剪下的四个等腰直角三角形拼成一个正方形JKN,放在正八边 形内部，MN与BA罪合，L为EF的中点，迮接LK.将正方形JKN绕点A领时 针旋转45°，JN与HA里合，此时LK的长为( B(M)C G 图① 图② 图③ A.3 B.V10 C.2W2 D.V2 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分。把答案直接 填在答题卡相应的位置上) 9.关于x的方程x2-2x+3m=0的一个根为3，则m= 10.如图，菱形ABCD的周长为20，对角线BD=6,则菱形ABCD的面积 为 11.在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在 小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小 组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有一一支 12.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，0、0是其中两个正方形的中 心，则阴影部分的面积是 13.如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=6,E为AB的中点，G为射线AB上一动点， F为DG的中点，若直线EF⊥直线CG,则AG= G E B 第10题图 第12题图 第13题图 三、解答题（本题共7小题，14题8分，15题6分，17题8分，18 题9分，19题10分，20题12分，共61分) 14.(8分)用合适的方法解方程： (1)x-6x+4=0: (2)2y-5y+2=0: 15.(6分)如图，AD是△ABC的角平分线，请用尺规作图法，求作菱形AEDF, 使得点E、F分别在边AB、AC上，（保留作图浪迹，不写作法） D 16.(8分)己知：平行四边形ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程X-x受 -0的两个实数根。 (1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长：(4分) (2)若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？(4分) 17.(8分)如图，在Rt△ACE中，∠ACE=90°，点D是AE的中点，连接CD, 过点C作CB∥AE,过点A作AB∥CD,CB,AB交于点B,连接BD. (1)求证：四边形ABCD是菱形：(4分) (2)连接BE交AC于点G,交CD于点F,若BD=BC,CD=4, 求0G的长(4分) 18.(9分)公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规 定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4 月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率 相同。 (1)求该品牌头盔销售量的月增长率：(4分) (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时， 月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10 个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌 头盔的实际售价应定为多少元/个？(5分) 19.(10分)配方法是指将一个式子或一个式子的菜一部分通过恒等变形化为 完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常常被用到恒等变形中， 以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一 我们定义：一个整数能表示成a+b(a,b是整数)的形式，则称这个数为“完 全数”.例如，10是“完全数”，理由：因为10=3+1.再如，M=x242xy+2y =(x+y)+y2（x,y)是整数)，所以M也是“完全数”， 解决问题： (1)请你再写一个小于10的“完全数” ；并判断40是否 为“完全数” ；(2分） (2)若二次三项式x2-4x+8(x整数)是“完全数”，可配方成(x~m)+n (m,n为常数)，则nn的值为 :（2分) 探究问题：已知S=x+4y2+2x-12y+k（x,y是整数，k是常数)，要使S为 “完全数”，试求出符合条件的k值.(3分) 拓展结论：已知实数x,y满足-x43x+y-2=0,求x+y的最小值是一 (3 分) 20.综合与探究(12分) 问题情境：如图1，正方形ABCD与正方形CEFG的点C重合，点E在CD边上， 点G在BC边的延长线上.连接AF,取AF的中点M,连接DM,EM, 图I 图2 备用图1 备用图2 观察发现：(1)请写出DM与EM的数量关系 位置关系 并证明.(5 分) 操作探究：将正方形CEFC绕点C逆时针旋转一周. (2)在旋转过程中，(1)中的结论是否仍然成立？请就图2说明理由：(4 分) (3)在旋转过程中，当点D,E,F在同一条直线上时，若AB=13,CE=5, 请直接写出线段AF的长.(3分)