精品解析：广东深圳市福田区深圳实验学校中学部2026-2027学年上学期九年级单元测试(二) 数学试卷

中学部2027届九年级单元测试（二） 数学试卷 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 说明：请考生在答题卷指定区域按要求规范作答，考试结束上交答题卷． 第Ⅰ卷 一、选择题：（每小题只有一个正确选项，每题3分，8小题，共24分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意； B、含分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、未注明，当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、含两个未知数，是二元方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 2. 如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，，由两角对应相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； B、，但对应成比例的两边的夹角不一定相等，无法得出剪下的阴影三角形与相似，符合题意； C、，，且，由两边对应成比例及夹角相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； D、由，，可得出，不符合题意． 3. 已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】计算一元二次方程根的判别式，根据其符号判断根的情况． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 4. 如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（ ） A. ①和③ B. ②和③ C. ②和④ D. ①和④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 分别求出三角形的边长，根据对应边成比例三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：第一个三角形的边长分别为：，2，； 第二个三角形的边长分别为：，，； 第三个三角形的边长分别为：2，，； 第四个三角形的边长分别为：，3，； ∵， 对应边成比例的是①和③． 故选：A． 5. 为落实山西省“一泓清水入黄河”重大生态工程部署，持续推进汾河生态廊道建设，某河段不断加大生态修复力度．该河段2024年治理水域面积为150万平方米，经过两年持续治理，预计2026年治理水域面积可达174.96万平方米．若治理水域面积的年平均增长率为，则下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以2024年治理水域面积为初始量，按年平均增长率推导2026年的面积，结合已知条件列方程即可． 【详解】解：2024年治理水域面积为150万平方米，年平均增长率为，则2025年治理水域面积为万平方米，2026年治理水域面积为万平方米， ∵2026年治理水域面积为174.96万平方米， ∴． 6. 如图所示，点分别是的中点，下面的说法中，错误的是（） A. 与是位似图形 B. 与的相似比为 C. 与的周长之比为 D. 与的面积之比为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方． 根据位似图形的性质，得出与是位似图形，进而根据位似图形一定是相似图形得出与是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：A、根据位似性质得出与是位似图形，故此选项符合题意； B、与是相似图形，且相似比是∶，故此选项不符合题意； C、与的周长比等于相似比，即，故此选项符合题意； D、根据面积比等于相似比的平方，则与的面积比为，故此选项符合题意． 故选∶B． 7. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，，下列四个判断中，错误的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 如果是直角三角形，那么四边形是矩形 C. 如果平分，那么四边形是菱形 D. 如果，且，那么四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定逐一判断即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 故选项A正确，不符合题意； ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意； 平分， ， 又， ， ， ， 四边形是菱形， 故选项C正确，不符合题意； 且， 平分， 四边形是菱形， 不能证明四边形是正方形， 故选项D错误，符合题意． 8. 如图，在平行四边形中，、相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，，则下列结论：①；②；③；④，其中一定正确的是(　　)． A. ①②③④ B. ①② C. ②③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】①根据平行四边形的性质可得出CE＝3AE，由AF∥BC可得出△AEF∽△CEB，根据相似三角形的性质可得出BC＝3AF，进而可得出DF＝2AF，结论①正确； ②根据相似三角形的性质结合S△AEF＝4，即可求出S△BCE＝9S△AEF＝36，结论②正确； ③由△ABE和△CBE等高且BE＝3AE，即可得出S△BCE＝3S△ABE，进而可得出S△ABE＝12，结论③正确； ④假设△AEF∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出∠AEF＝∠ACD，进而可得出BF∥CD，根据平行四边形的性质可得出AB∥CD，由AB、BF不共线可得出假设不成立，即AEF和△ACD不相似，结论④错误．综上即可得出结论． 【详解】①∵四边形为平行四边形， ∴，，． ∵点是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，结论①正确； ②∵，， ∴， ∴，结论②正确； ③∵和等高，且， ∴， ∴，结论③正确； ④假设，则， ∴，即． ∵， ∴和共线． ∵点为的中点，即与不共线， ∴假设不成立，即和不相似，结论④错误． 综上所述：正确的结论有①②③． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：（每题3分，5小题，共15分） 9. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，再把代入所求式子中计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 10. 设，是方程的两实数根，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入所求式子计算即可． 【详解】解：，是方程的两实数根 根据根与系数的关系可得，， ∴ ． 11. 如图的提琴模型中，点P是的黄金分割点，即满足，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义及给出的比例式，可知为线段的较长部分，利用黄金比进行计算即可． 【详解】解：点是的黄金分割点，且满足，  为较长线段，即，  ，  ． 12. 如图，在中， ，，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明四边形为矩形，得出，根据垂线段最短，得出当时，最小，根据等积法求出最小值即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， 根据勾股定理得：， ∵此时， ∴． 13. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点G，若大正方形与小正方形的面积之比为5， ，则大正方形的边长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】设小正方形在线段上的一个顶点为M，与相交于点P，由大正方形与小正方形的面积之比为5，可推出，设，，则，利用勾股定理和多项式的因式分解推出；延长交于点N，利用平行线分线段成比例定理可证N是的中点以及，设，则，证得，同理得，由此可推出；由，得，可求得与的长，最后由求出a的值即可． 【详解】解：设小正方形在线段上的一个顶点为M，与相交于点P， ∵大正方形与小正方形的面积之比为5， ∴， ∴， 设，，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长交于点N， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，因式分解等知识，灵活运用平行线分线段成比例定理和勾股定理求出线段之间的关系是解答本题的关键． 三、解答题（本题共7小题，计算题需演算步骤，解答题要写出文字说明、证明过程，共61分） 14. 计算题 （1）解分式方程：； （2）用配方法解方程：． （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） （3）；2 【解析】 【小问1详解】 解：方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时， ∴原分式方程的解是； 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ， 解得：． 【小问3详解】 解：原式 ． 当时，原式． 15. 如图，与是位似图形． （1）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，则点B的坐标为 ； （2）以点A为位似中心，在现有网格图中作，使和位似，位似比为；并写出的坐标． （3）在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为 ． 【答案】（1） （2） 如图所示，即为所求，； （3） 如图，点即为与的位似中心P， 点P的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，正确利用位似图形的性质分析是解题的关键． （1）直接利用已知点位置得出点坐标即可； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）直接利用位似图形的性质得出对应点连线的交点即为位似中心，并得出点的坐标． 【小问1详解】 解：如图，点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，分别连接，，交于点，则点即为与的位似中心P． 16. 如图，在中，于点． （1）求证：； （2）若，求． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质： （1）证明，即可证明； （2）根据相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 又， ，则． 17. 尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件． （1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是________件（直接填写结果）； （2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？ （3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价． 【答案】（1）280；（2）23元或19元；（3）19元 【解析】 【分析】（1）根据每天的平均销售量=80+降低的价格÷0.5×20，即可求出结论； （2）设每件商品降价x元，则销售每件商品的利润为（25-15-x）元，根据每天的总利润=销售每件商品的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）由（2）的结论结合平均每天至少要销售200件该商品，可确定x的值，再将其代入（25-x）中即可求出结论． 【详解】解：（1）80+5÷0.5×20=280（件）． 故答案为：280． （2）设每件商品降价x元，则销售每件商品的利润为（25-15-x）元，平均每天可售出80+×20=（40x+80）件， 依题意，得：（25-15-x）（40x+80）=1280， 整理，得：x2-8x+12=0， 解得：x1=2，x2=6， ∴25-x=23或19． 答：每件商品的定价应为23元或19元． （3）当x=2时，40x+80=160＜200，不合题意，舍去； 当x=6时，40x+80=320＞200，符合题意， ∴25-x=19． 答：商品的销售单价为19元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-利润问题，读懂题意，根据商品降价表示出商品销售件数从而列出方程是解题关键． 18. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． （1）判断四边形的形状； （2）若，，求菱形的面积和的长． 【答案】（1）矩形 （2）面积为24， 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，，由矩形的判定可求解； （2）由菱形的面积公式可求面积，利用面积法可求，即可求． 【小问1详解】 解：四边形是矩形． 在菱形中，， 又∵E是的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∵四边形是矩形． 【小问2详解】 解：菱形的面积． ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴． 由（1）知，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 19. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断下列方程是“邻根方程”的为：______； ①； ②． （2）已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程（、是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】（1）② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别解出方程的根，令两根相减，根据邻根方程的定义进行判断即可得解； （2）解出方程的根，令两根差的绝对值等于1，从而得到关于的方程，解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简可得，整体代入再配方可得，即可确定的最大值． 【小问1详解】 解：①， ， ， ． ， ∴不符合邻根方程的定义， 不是邻根方程． ②， ， ， ， ，． ， ∴符合邻根方程的定义， 是邻根方程． 【小问2详解】 解：∵关于的方程（是常数）是邻根方程， ∴解方程可得：，， ， ． 【小问3详解】 ∵关于的方程（、是常数，）是邻根方程，设两个根为、， ． ，， ， ， ． 当时，． 20. 我们把两组邻边分别相等的四边形称为“筝形”．为了解这种四边形的特征，李老师和同学们在数学实践课上以筝形为背景进行如下研究． 【概念理解】 （1）如图，在四边形中，，，，证明：四边形是筝形． 【性质探究】 （2）在四边形中，，，，过点作，垂足为，直线与交于点，过点作 ，垂足为． ①如图，若，证明：． ②如图，若． （ⅰ）用无刻度的直尺和圆规在图中按（2）的要求作出线段和（不写做法，保留作图痕迹）； （ⅱ）判断①中的结论是否仍然成立．若不成立，直接写出正确的结论：________． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，且当时，若，则的值为________． 【答案】（1）证明：∵，， ∴． 在和中， ， ， ， 四边形是筝形． （2）①证明：由（1）可知， ，，， ， ∴四边形是矩形． ， ． ②（ⅰ）如图所示： 线段和为所求． （ⅱ） （3）或 【解析】 【分析】（1）由两个直角三角形全等的判定与性质得到，再由已知条件，结合“筝形”定义判定即可； （2）①先得到四边形是矩形，由矩形性质确定，结合已知条件数形结合表示出即可； ②（ⅰ）延长，过点作射线的垂线，同理，过点作直线的垂线即可；（ⅱ）由（ⅰ）中所作的图，先得到四边形是矩形，由矩形性质确定，结合已知条件数形结合表示出即可； （3）当时，由（2）的求解过程，分两种情况：和，分情况作出图形，由相似三角形的判定与性质，结合勾股定理出相关线段长度，代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②（ⅰ）略 （ⅱ）由（1）可知， ，，， ， ∴四边形是矩形． ， ； 【小问3详解】 解：当时，由（2）的求解过程，分两种情况： 若，如图所示： ， ， ， ，则， ， ， 由（2）①可知，， 设，，则，， 在中，由勾股定理可得， 则； 若，如图所示： ， ， ， ，则， ， ，则， 由（2）②（ⅱ）可知，， 设，，则， 在中，由勾股定理可得， 则； 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中学部2027届九年级单元测试（二） 数学试卷 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 说明：请考生在答题卷指定区域按要求规范作答，考试结束上交答题卷． 第Ⅰ卷 一、选择题：（每小题只有一个正确选项，每题3分，8小题，共24分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（ ） A. ①和③ B. ②和③ C. ②和④ D. ①和④ 5. 为落实山西省“一泓清水入黄河”重大生态工程部署，持续推进汾河生态廊道建设，某河段不断加大生态修复力度．该河段2024年治理水域面积为150万平方米，经过两年持续治理，预计2026年治理水域面积可达174.96万平方米．若治理水域面积的年平均增长率为，则下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，点分别是的中点，下面的说法中，错误的是（） A. 与是位似图形 B. 与的相似比为 C. 与的周长之比为 D. 与的面积之比为 7. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，，下列四个判断中，错误的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 如果是直角三角形，那么四边形是矩形 C. 如果平分，那么四边形是菱形 D. 如果，且，那么四边形是正方形 8. 如图，在平行四边形中，、相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，，则下列结论：①；②；③；④，其中一定正确的是(　　)． A. ①②③④ B. ①② C. ②③④ D. ①②③ 第Ⅱ卷 二、填空题：（每题3分，5小题，共15分） 9. 若，则__________． 10. 设，是方程的两实数根，则____________． 11. 如图的提琴模型中，点P是的黄金分割点，即满足，若，则的长为_______． 12. 如图，在中， ，，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是_________． 13. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点G，若大正方形与小正方形的面积之比为5， ，则大正方形的边长为_____． 三、解答题（本题共7小题，计算题需演算步骤，解答题要写出文字说明、证明过程，共61分） 14. 计算题 （1）解分式方程：； （2）用配方法解方程：． （3）先化简，再求值：，其中． 15. 如图，与是位似图形． （1）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，则点B的坐标为 ； （2）以点A为位似中心，在现有网格图中作，使和位似，位似比为；并写出的坐标． （3）在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为 ． 16. 如图，在中，于点． （1）求证：； （2）若，求． 17. 尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件． （1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是________件（直接填写结果）； （2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？ （3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价． 18. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． （1）判断四边形的形状； （2）若，，求菱形的面积和的长． 19. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断下列方程是“邻根方程”的为：______； ①； ②． （2）已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程（、是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 20. 我们把两组邻边分别相等的四边形称为“筝形”．为了解这种四边形的特征，李老师和同学们在数学实践课上以筝形为背景进行如下研究． 【概念理解】 （1）如图，在四边形中，，，，证明：四边形是筝形． 【性质探究】 （2）在四边形中，，，，过点作，垂足为，直线与交于点，过点作 ，垂足为． ①如图，若，证明：． ②如图，若． （ⅰ）用无刻度的直尺和圆规在图中按（2）的要求作出线段和（不写做法，保留作图痕迹）； （ⅱ）判断①中的结论是否仍然成立．若不成立，直接写出正确的结论：________． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，且当时，若，则的值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $